Абсолютная ошибка функции у f х равна - Ремонт и установка крупной бытовой техники

Погрешности значения функции

При
вычислении значения функции
в точке(считаемприближенным значением точного числа)
возникают погрешности – предельная
абсолютнаяи предельная относительная.
Выразим эти погрешности через погрешности
числа(будем полагать, что функциядифференцируема в точке).

Так
как функция
дифференцируема в точке,
то

,
(4.1)

где
мало при малом(иными словами, слагаемымв формуле (4.1) можно пренебречь, еслимало).

Учитывая
равенство (4.1), истинная абсолютная
погрешность
будет оцениваться неравенством
(приближенным)

откуда по определению
предельной абсолютной погрешности

. (4.2)

Итак,
предельная
абсолютная погрешность значения функции
в точке
(– приближенное число) равна произведению
модуля производной этой функции в точкена предельную абсолютную погрешность
числа.

Соответственно
предельная относительная погрешность
вычисляется следующим образом

=. (4.3)

Найдем
с помощью формул (4.2), (4.3) погрешности
значений основных элементарных функций.

Пусть
(– действительное число). Тогда

,
.

В
частности при
:.

Пусть
.
Тогда

,
.

Пусть
.
Тогда

,
.

В
частности, если
,
то.

Аналогично
определяются погрешности значений
других основных элементарных функций
(см. таблицу 4.1).

Таблица 4.1.

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Пример
4.1. Дана
функция
.
Протабулировать ее на отрезке(считать),
разбив его наравных частей (все расчеты проводить с
4 знаками после запятой). Вычислить
предельные абсолютные, относительные
погрешности значений функции в узлах
табулирования.

Решение:
Протабулировать функцию
на отрезкес постоянным шагомозначает составить таблицу значений,(точкиназываются узлами табулирования), где

. (4.4)

В
нашем случае
,,;
узлы определяются следующим образом:

. (4.5)

Вычислим значения
функции в узлах табулирования (4.5):

Имеем
,;

,
3,3261,

и так далее.

Все
вычисления значения функции в узлах
табулирования заполняем в таблицу 4.2.

Учитывая
формулы (4.2), (4.3), находим погрешности в
узлах (4.5) (при этом число
можно считать точным, а тогда;
в остальных же узлах (4.5),00005)

,
.

Таблица 4.2.

i
0	0	0	1	3	0	0
1	0,6284	0,7927	0,5334	3,3261	4,8678	1,46
2	1,2568	1,2111	0,2846	3,4057	8,0695	2,37
3	1,8852	1,3730	0,1518	3,5248	1,0618	0,3
4	2,5136	1,5854	0,0809	3,6663	1,1724	0,32
5	3,1420	1,7726	0,0432	3,8158	1,1944	0,31

Полиномиальные интерполяции

Весьма
редко удается решить задачу прямыми
аналитическими методами, тем более
реализовать решение в виде вычислительного
алгоритма. Основными требованиями к
алгоритму являются:

—
изменяемость в зависимости от начальных
(исходных) условий, т.е. путь решения
должен быть по возможности универсальным;

—
схематизированность (однозначно должна
быть определена последовательность
действий),

—
рекурсированность – рекурсированный
алгоритм состоит из небольших частей,
которые неоднократно реализуются для
различных наборов значений;

—
решение, реализуемое алгоритмом должно
быть конечным, т.е. должно приводить к
конечному результату за конечное число
шагов. Другими словами, не должно
существовать различного рода расходимостей
(например, часто встречаются т.н.
логарифмические расходимости вида
,
разрывы первого и второго родов, скачки
значений производных и т.д.), которые
могут оказать существенное влияние на
конечный результат. Поэтому реализации
алгоритма непосредственно на ЭВМ должен
предшествовать тщательный анализ задачи
с целью выявления различных особенностей
в поведении исследуемого процесса.

Последнее требование
представляется авторам наиболее важным
с точки зрения достоверности получаемых
результатов вычисления.

Часто
при обработке статистических данных
возникает задача замены аналитического
описания некоторого реального процесса
на другое, более удобное с точки зрения
дальнейших математических преобразований.
Т.е. мы заменяем некоторую функцию f(x)
(известную, неизвестную, частично
известную), другой ψ(x),
полученной в результате некоторых
преобразований. В зависимости от цели
исследования выбирается метод
интерполяции^¹
или экстраполяции — процесс построения
приближенного или аппроксимирующего
многочлена соответственно внутри и вне
промежутка исследования. Так как методики
интерполяции и экстраполяции практически
не отличаются друг от друга, то в
дальнейшем будем ограничиваться
примерами интерполяции. В связи с этим
вышеупомянутую процедуру должен
предварять анализ исходной зависимости
f(x),
а именно:

Способ
и интервал задания функции (аналитический
или табличный);
Оценка степени
гладкости функции, имеется ли возможность
определения производных;
Требования
к интерполирующей функции ψ(x)
(определение ее класса);
Определение
критерия качества интерполяции, иначе
говоря, задание способа оценки погрешности
интерполяции. Необходимо в первую
очередь определить источники погрешностей.
Чаще всего наиболее существенное
влияние оказывают следующие:

— погрешность
исходных данных;

— погрешность
метода;

— погрешность
округления;

Погрешность
исходных данных, как правило, легче
всего поддается оценке и соответствующей
корректировке. Более того, часто удается
получить точную аналитическую формулу
ошибок, исходя из выводов теории
вероятностей и математической статистики.

Так
как вычислительный алгоритм является
рекурсивным, состоящим из целого ряда
операций, то происходит т.н. накопление
погрешностей: погрешности результата
каждого шага оказываются исходными для
следующей операции, поэтому точный
анализ погрешностей оказывается
трудновыполнимым и приходится
ограничиваться доверительными оценками.

Сформулируем
основные положения.

Первое.
Будем рассматривать как таблично, так
и аналитически заданные функции.

Второе.
В основном будем использовать
полиномиальную или кусочно-полиномиальную
интерполяцию, т.е. рассматривать в
качестве аппроксимирующих функций ψ(x)
только многочлены. Данная форма ψ(x)
выглядит в большинстве случаев более
предпочтительной с точки зрения упрощения
дальнейших математических действий
(дифференцирования, интегрирования).
Другие виды приближений (тригонометрическое,
экспоненциальное и пр.) будут применены
в следующих разделах.

Третье.
Построение аппроксимирующего многочлена
и оценку погрешности будем производить
с помощью функционалов

(1)

(2)

соответственно
для непрерывных и дискретных функций.
Оценка погрешности (степени близости
функций f(x)
и ψ(x))
по формулам (1) и (2) смысл среднеквадратичной
погрешности.

Будем
называть вычислительный метод устойчивым,
если для любого
существует такое,
что максимальная погрешность результата
вычислений меньшепри максимальной погрешности исходных
данных меньше.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y = f(x), вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента Dx, оценивается величиной :.

Если значения функции f(x) положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка:

Пример 1

Абсолютные погрешности синуса и косинуса находится по формулам:

D sin x = |cos x|×Dx,

D cos x = |sin x|×Dx, где x изменяется в радианах.

Погрешность вычисления значения функции нескольких переменных (общая формула для погрешности)

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y = f(x₁, x₂, x₃, …, x_n), вызываемая достаточно малыми погрешностями Dx₁, Dx₂,…,Dx_n аргументов x₁, x₂, x₃,…,x_n, оценивается величиной:

Пример 2

Если значения функции положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка:

Пример 3

Вычислить значение функции f, абсолютную и относительную погрешности вычисления f, если

Сначала найдем относительную погрешность вычисления значения f, а затем абсолютную погрешность. Функция f положительна и дифференцируема, поэтому воспользуемся формулой:

; ;

;

Найдем относительные погрешности аргументов:

; .

Относительная погрешность является величиной порядка 1 %, следовательно, значение f содержит 2 верные значащие цифры. Следовательно, в записи f нужно указать три значащие цифры, две из которых будут верными и одна сомнительная. Вычислим xy²z³ = 801133.57, оставляя три значащие цифры, получим: f = 801*10³. Зная значение f и её относительную погрешность, найдем абсолютную погрешность:

Основная задача теории погрешности заключается в следующем: с какой точностью можно найти значение функции Y=f(X1*, x2*,…, xn*), если аргументы XI* Известны с некоторой точностью. И обратная задача: с какой точностью надо задать значения аргументов функции, чтобы погрешность функции не превосходила заданной величины? Решение таких задач опираются на теорему Лагранжа, согласно которой предельная абсолютная погрешность функции равна произведению абсолютной величины ее производной на предельную абсолютную погрешность аргумента D(F*)=|F ’|D(X*). Если задана дифференцируемая функция Y= f(X1, x2,…, xn) и ее приближенное значение Y*= f(X1*, x2*,…, xn*), где Xi — Точные значения аргументов функции, а Xi* – приближенные к ним, и пусть D(Xi*) (I=1,2,…,n) абсолютные погрешности аргументов функции.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью функции А(Y*) называют наилучшую при имеющейся информации оценку погрешности величины Y*= f(X1*+D(X1*), x2+D(X2*) , …, xn+D(Xn*) ),

Т. е. А(Y*)=Sup| F(X1, X2,…, Xn)- F(X1*, X2*,…, Xn*)|.

Линейная оценка погрешности функции записывается в виде:

Разделив обе части неравенства на y*, будем иметь оценку для Предельной относительной погрешности функции D (Y*):

=D(Y*).

< Предыдущая		Следующая >

Загрузить PDF

Абсолютная ошибка – это разность между измеренным значением и фактическим значением.^[1] Эта ошибка характеризует точность измерений. Если вам известны фактическое и измеренное значения, можно с легкостью вычислить абсолютную ошибку. Но иногда фактическое значение не дано, поэтому в качестве абсолютной ошибки пользуются максимально возможной ошибкой.^[2] Если даны фактическое значение и относительная ошибка, можно вычислить абсолютную ошибку.

1

Запишите формулу для вычисления абсолютной ошибки. Формула: $Delta x=x_{{0}}-x$ , где $Delta x$ – абсолютная ошибка (разность между измеренным и фактическим значениями), $x_{{0}}$ – измеренное значение, $x$ – фактическое значение.^[3]
2
Подставьте в формулу фактическое значение. Фактическое значение должно быть дано; в противном случае используйте принятое опорное значение. Фактическое значение подставьте вместо $x$ .
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м: $Delta x=x_{{0}}-105$ .
3
Подставьте в формулу измеренное значение. Оно будет дано; в противном случае измерьте величину (длину или ширину и так далее). Измеренное значение подставьте вместо $x_{0}$ .
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м: $Delta x=104-105$ .
4
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[4] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- В нашем примере: $Delta x=104-105=-1$ , то есть абсолютная ошибка измерения равна 1 м.
Реклама

1

Запишите формулу для вычисления относительной ошибки. Формула: $delta x={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ , где $delta x$ – относительная ошибка (отношение абсолютной ошибки к фактическому значению), $x_{{0}}$ – измеренное значение, $x$ – фактическое значение.^[5]
2
Подставьте в формулу относительную ошибку. Скорее всего, она будет дана в виде десятичной дроби. Относительную ошибку подставьте вместо $delta x$ .
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ .
3
Подставьте в формулу фактическое значение. Оно будет дано. Фактическое значение подставьте вместо $x$ .
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-105}{105}}$ .
4

Умножьте обе стороны уравнения на фактическое значение. Так вы избавитесь от дроби.
5

Прибавьте фактическое значение к каждой стороне уравнения. Так вы найдете $x_{{0}}$ , то есть измеренное значение.
6
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[6] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так: $107,1-105=2,1$ . Таким образом, абсолютная ошибка равна 2,1 м.
Реклама

1
Определите единицу измерения. То есть выясните, было ли значение измерено с точностью до сантиметра, метра и так далее. Возможно, эта информация будет дана (например, «длина поля измерена с точностью до метра»). Чтобы определить единицу измерения, посмотрите на то, как округлено данное значение.^[7]
- Например, если измеренная длина поля равна 106 м, значение было округлено до метров. Таким образом, единица измерения равна 1 м.
2
3
Используйте максимально возможную ошибку в качестве абсолютной ошибки.^[9] Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[10] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренная длина поля равна $106pm 0,5$ м, то есть абсолютная ошибка равна 0,5 м.
Реклама

Советы

Если фактическое значение не указано, найдите принятое опорное или теоретическое значение.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 24 549 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Теорема.
Предельная абсолютная погрешность
функции y=f(x) равна
произведению абсолютной
величины
ее производной на ее абсолютную
погрешность аргумента.

Предельная
относительная погрешность функции:

Пусть,
например, .
Тогда

т.е.
предельная относительная погрешность
степени равна предельной относительной
погрешности основания, умноженной на
абсолютную величину показателя степени.

Рассмотрим
теперь вопрос об оценке предельной
абсолютной погрешности функции двух
независимых переменных:

(2.1)

предельная
относительная погрешность

Ясно, что аналогичное
равенство имеет место и для дифференцируемой
функции любого большего числа аргументов.

Погрешности арифметических действий

1. Пусть u
= x
+ y
+ z
+ … + t.
Тогда

Следовательно,
предельная абсолютная погрешность
суммы равна сумме предельных абсолютных
погрешностей слагаемых.

При
установлении предельной относительной
погрешности суммы надо различать два
случая:

a)
все слагаемые имеют одинаковые знаки.
В первом случае, считая для простоты
все слагаемые положительными, имеем:

т.е.,
относительная погрешность суммы
слагаемых одного знака заключена между
наименьшей и наибольшей относительными
погрешностями слагаемых.

б)
слагаемые имеют разные знаки. Пусть x
> 0, y
> 0 и u
= x
— y.
Тогда (сохраняя прежние обозначения)
будем иметь:

2.
Положим
u
= xyz
.

Формула позволяет
определить предельную абсолютную
погрешность

Отсюда

т.е.,
предельная относительная погрешность
произведения равна сумме предельных
относительных погрешностей сомножителей.

3.
Положим, наконец,
,

.
Формула (2.1) позволяет определить
предельную абсолютную погрешность.

Отсюда

т.е.,
предельная относительная погрешность
частного равна сумме предельных
относительных погрешностей делимого
и делителя.

Итак, для оценки
погрешности мы получили следующие
правила:

1)
При сложении и вычитании абсолютные
погрешности складываются.

2)
При умножении и делении относительные
погрешности складываются; при возведении
в степень относительные погрешности
умножаются на абсолютную величину
показателя степени.

3)
При отыскании значения функции абсолютная
погрешность функции равна произведению
абсолютной погрешности аргумента на
абсолютную величину производной.

Требования,
предъявляемые к вычислительному
алгоритму

1.
Требование точности.

2.
Требование реализуемости.

3.
Требование экономичности.

4.
Требования отсутствия аварийной
остановки ЭВМ в процессе вычислений.

Результаты
вычислительного эксперимента:

Машинная
бесконечность
.

Машинный
нуль

.

Машинное
эпсилон
.

Сложение чисел
различной абсолютной точности

1)
выделить числа, десятичная запись
которых обрывается ранее других, и
оставить их без изменения;

2)
остальные числа округлить по образцу
выделенных, сохраняя один или два
запасных десятичных знака;

3)
произвести сложение данных чисел,
учитывая все сохраненные знаки;

4)
полученный результат округлить на один
знак.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Если значения функции f(x) положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка:

Пример 1

Абсолютные погрешности синуса и косинуса находится по формулам:

D sin x = |cos x|×Dx,

D cos x = |sin x|×Dx, где x изменяется в радианах.

Погрешность вычисления значения функции нескольких переменных (общая формула для погрешности)

Пример 2

Если значения функции положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка:

Пример 3

Вычислить значение функции f, абсолютную и относительную погрешности вычисления f, если

; ;

;

Найдем относительные погрешности аргументов:

; .

Источник

Вычисление погрешности функций. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функций

Страницы работы

Фрагмент текста работы

б) 0,096835; . б)
0,66385; .

3) а)12,688 ; б)
4,636. 3) а) 6,743; б) 0,543 .

18.4.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ФУНКЦИЙ

18.4.1. Функции одной переменной. Абсолютная погрешность дифференцируемой
функции , вызываемая достаточно малой погрешностью
аргумента , оценивается величиной

,
(18.12)

Если значения функции положительны, то для относительной погрешности
имеет место оценка

. (18.13)

Например, для
тригонометрических функций абсолютные погрешности синуса и косинуса не
превосходят абсолютных погрешностей аргумента:

, . (18.14)

18.4.2. Функции нескольких
переменных. Пусть
задана некоторая функция , от п аргументов
и пусть значения каждого из аргументов , определены с некоторыми погрешностями , i = 1, 2,…, п.
Требуется найти погрешность данной функции.

Для
решения этой задачи будем предполагать, что функция является
дифференцируемой в некоторой области D. Абсолютная погрешность функции
y при заданных абсолютных погрешностях
аргументов равна

. (18.15)

Предполагая, что величины , i = 1, 2,…, п достаточно
малы, можно записать приближенные равенства

(18.16)

Следовательно, предельная абсолютная
погрешность функции y равна

,
(18.17)

где предельная
абсолютная погрешность аргумента .

Оценка для относительной
погрешности функции получается путем деления обеих частей неравенства (18.15)
на

(18.18)

Из формулы (18.18) получаем выражение
для предельной относительной погрешности функции у

(18.19)

Рассмотрим
отдельные примеры на вычисление погрешностей различных функциональных
соотношений. Будем предполагать, что в каждом примере заданы те или иные
погрешности аргументов.

1. Пусть .
По формуле (18.17) предельная абсолютная погрешность суммы п слагаемых
равна

. (18.20)

2. Пусть . По
формуле (18.17) предельная абсолютная погрешность разности двух чисел равна

3. Пусть , причем x_i (i=1, 2, …, п) положительны. В соответствии с формулой (18.19)
проведем преобразования с целью получения выражения для предельной
относительной погрешности произведения п сомножителей

4. Пусть . По
формуле (18.19) предельная относительная погрешность частного равна

5. Пусть . Тогда .

6. Пусть .
Следовательно, .

18.5. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой
погрешности функций

Задача определения какими должны быть
погрешности исходных приближений, чтобы полученный результат имел заданную
степень точности, имеет однозначное решение только для функции одной переменной
: если эта функция дифференцируема и , то

.
(18.21)

Для функций
нескольких переменных эта задача решается
неоднозначно. Для ее решения необходимо наложить какие-либо условия на
погрешность исходных данных. Если использовать принцип равных влияний, считая что в формуле (18.17) все
слагаемые равны между собой, получим