Абсолютная ошибка косвенного измерения плотности

Содержание

  1. Абсолютная ошибка косвенного измерения плотности пирамиды
  2. Расчет погрешностей при косвенных измерениях
  3. Нахождение погрешностей косвенных измерений

Абсолютная ошибка косвенного измерения плотности пирамиды

Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений

  1. Оценка погрешности прямых измерений

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.

Различают прямые и косвенные измерения.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.

Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.

Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.

1.2. Систематическими погрешностями Δxсист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.

Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.

Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.

Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.

Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x1, x2, … xN. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение

Результаты измерений x1, x2, … xN «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение

Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (a – S) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.

Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.

Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.

Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.

Источник

Расчет погрешностей при косвенных измерениях

В большинстве случаев конечной целью лабораторной работы является вычисление искомой величины с помощью некоторой формулы, в которую входят величины, измеряемые прямым путем. Такие измерения называются косвенными. В качестве примера приведем формулу плотности твердого тела цилиндрической формы

, (П.5)

Зависимость (П.5) в общем виде можно представить следующим образом:

, (П.6)

где Y – косвенно измеряемая величина, в формуле (П.5) это плотность r; X1, X2,. , Xn – прямо измеряемые величины, в формуле (П.5) это m, d, и h.

Результат косвенного измерения не может быть точным, поскольку результаты прямых измерений величин X1, X2, . , Xn всегда содержат в себе погрешность. Поэтому при косвенных измерениях, как и при прямых, необходимо оценить доверительный интервал (абсолютную погрешность) полученного значения DY и относительную погрешность e.

При расчете погрешностей в случае косвенных измерений удобно придерживаться такой последовательности действий:

1) получить средние значения каждой прямо измеряемой величины áX1ñ, áX2ñ, …, áXnñ;

2) получить среднее значение косвенно измеряемой величины áYñ, подставив в формулу (П.6) средние значения прямо измеряемых величин;

3) провести оценки абсолютных погрешностей прямо измеряемых величин DX1, DX2, . DXn, воспользовавшись формулами (П.2) и (П.3);

4) основываясь на явном виде функции (П.6), получить формулу для расчета абсолютной погрешности косвенно измеряемой величины DY и рассчитать ее;

5) рассчитать относительную погрешность измерения ;

6) записать результат измерения с учетом погрешности.

Ниже без вывода приводится формула, позволяющая получить формулы для расчета абсолютной погрешности, если известен явный вид функции (П.6):

, (П.7)

где ¶Y¤¶X1 и т. д. – частные производные от Y по всем прямо измеряемым величинам X1, X2, …, Xn (когда берется частная производная, например по X1, то все остальные величины Xi в формуле считаются постоянными), DXi– абсолютные погрешности прямо измеряемых величин, вычисленные согласно (П.3).

Рассчитав DY, находят относительную погрешность .

Однако если функция (П.6) является одночленом, то намного легче сначала рассчитать относительную погрешность, а затем уже абсолютную.

Действительно, разделив обе части равенства (П.7) на Y, получим

.

Но так как , то можно записать

. (П.8)

Теперь, зная относительную погрешность, определяют абсолютную .

В качестве примера получим формулу для расчета погрешности плотности вещества, определяемой по формуле (П.5). Поскольку (П.5) является одночленом, то, как сказано выше, проще сначала рассчитать относительную погрешность измерения по (П.8). В (П.8) под корнем имеем сумму квадратов частных производных от логарифма измеряемой величины, поэтому сначала найдем натуральный логарифм r:

ln r = ln 4 + ln m – ln p –2 ln d – ln h,

а потом уже воспользуемся формулой (П.8) и получим, что

. (П.9)

Как видно, в (П.9) используются средние значения прямо измеряемых величин и их абсолютные погрешности, рассчитанные методом прямых измерений по (П.3). Погрешность, вносимую числом p, не учитывают, поскольку ее значение всегда можно взять с точностью, превышающей точность измерения всех других величин. Рассчитав e, находим .

Если косвенные измерения являются независимыми (условия каждого последующего эксперимента отличаются от условий предыдущего), то значения величины Y вычисляются для каждого отдельного эксперимента. Произведя n опытов, получают n значений Yi. Далее, принимая каждое из значений Yi (где i – номер опыта) за результат прямого измерения, вычисляют áYñ и DY по формулам (П.1) и (П.2) соответственно.

Окончательный результат как прямых, так и косвенных измерений должен выглядеть так:

, (П.10)

где m – показатель степени, u – единицы измерения величины Y.

Источник

Нахождение погрешностей косвенных измерений

Нахождение погрешностей косвенных измерений

Косвенное измерение это определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.

Пример – Определение плотности D тела цилиндрической формы по результатам прямых измерений массой m, высотой hи диаметром цилиндра d, связанных с плотностью уравнением

П р и м е ч а н и е. Во многих случаях вместо термина «косвенное измерение» применяют термин «косвенный метод измерений».

Для вычисления погрешностей косвенных измерений по известным погрешностям прямых измерений существуют следующие методики.

Получение формул для вычисления погрешностей косвенных измерений в случае зависимости вида Y= a+b-c(сумма, разность).

Исходные данные: a=90, b=60, c=45, Дa=1, Дb=3, Дc=0,5.

Вывод формул для вычисления погрешностей косвенных измерений в рассматриваемом случае можно выполнить следующим образом.

Найдём дифференциал правой и левой частей:

2Произведём широко используемую в теории погрешностей замену
дифференциалов абсолютными погрешностями (при условии, что абсолютные погрешности достаточно малы): dY≈ ДY, da≈ Дa, db≈ Дb, dc≈ Дc. Тогда

3 Учитывая, что знаки погрешностей Дa, Дb, Дc обычно бывают заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки абсолютной погрешности косвенного измерения в последней формуле все знаки «–» заменим на знаки «+»:

4Найдём предельную оценку относительной погрешности косвенного измерения, учитывая, что относительная погрешность есть отношение абсолютной погрешности к результату измерений:

Величина предельной погрешности во многих случаях бывает завышенной, поэтому часто применяют среднеквадратические оценки погрешности. Для получения среднеквадратической оценки погрешности в формуле для предельной оценки погрешности сумму заменяют корнем квадратным из суммы квадратов.

5Найдём среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешностей косвенного измерения:

(7)

(8)

Получение формул для вычисления погрешностей косвенныхизмерений в случае зависимости вида Y = a·b/с (произведение, деление).

Исходные данные: a, b, c, Дa, Дb, Дc. Вывод формул для вычисления погрешностей косвенных измерений в рассматриваемом случае можно выполнить следующим образом.

1Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости:

lnY = ln(ab/с) = lna + lnb–lnc (9)

2Найдём дифференциал правой и левой частей:

dlnY = dln(ab/с) =dlna + dlnb-dlnc (10)

3 Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величинынаходится по формулеd(lnx) = dln (x /dx )dx = dx/x, получаем:

4Произведём широко используемую в теории погрешностей заменудифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии, чтоабсолютные погрешности достаточно малы):

dY ≈ДY, da≈Дa, db ≈Дb, dc ≈Дc, тогда

5 Учитывая, что знаки погрешностейДa, Д b, Дc заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительнойпогрешности косвенного измерения в последней формуле все знаки «-»заменяем на знаки «+»:

6 Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения находим по формуле:

Величина предельной погрешности во многих случаях бывает завышенной, поэтому часто применяют среднеквадратические оценки погрешности. Для получения среднеквадратической оценки погрешности в формуле для предельной оценки погрешности сумму заменяют корнем квадратным из суммы квадратов.

7Найдём среднеквадратические оценки относительной и абсолютной погрешностей косвенного измерения:

(15)

(16)

По известной расчётной зависимости косвенного метода измерения и по известным результатам и погрешностям прямых измеренийрассчитать предельные и среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешностей косвенного измерения.

a=50; Дa=1; b=90; Дb=3; c=60; Дc=2; d=70; Дd=2; e=40; Дe=1;

1 Подставив в выражение 17 соответствующие исходные данные получим:

2Введём обозначение ab =a+b, de =d-e, тогда:

3Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости 18:

lnY = ln2+ln ab+2 ln c — ln de. (19)

4Найдём дифференциал правой и левой частей выражения 19:

dlnY = dln2+dlnab+2d lnc-dlnde (20)

С учётом того, что dln2 = 0, получим:

5 Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величины находится по формуле d(lnx) = dln (x /dx )dx = dx/x, получаем:

dY/Y = dab/ab+ 2dc/c — dde/de (21)

6 Произведём широко используемую в теории погрешностей замену дифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии, что абсолютные погрешности достаточно малы), т. е.:

dY ≈ ДY, dab ≈ Дab, dc ≈ Дc, dde ≈ Дde, тогда

ДY/Y =Дab/ab + 2Дc/c – Дde/de (22)

7 Учитывая, что знаки погрешностей Дab, Дc, Дde заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительной погрешности косвенного измерения Y в последней формуле все знаки «-» заменяем на знаки «+».

По формуле 13 получим предельную оценку относительной погрешности косвенного измерения:

ДYпр/Y = Дab/ab + 2Дc/c + Дde/de (23)

Здесь ab = a + b, тогда Дab= Дa+ Дb, de = d–e, окончательно получим:

ДYпр/Y = (Дa + Дb)/(a +b) + 2Дc/c + (Дd + Дe) /(d-e) (24)

Подставляя значения в выражение 24и учитывая, что a+b = 140, а d – e = 30, получим:

ДYпр/Y =(1+3) /140+ 2*2/60 + (2 +1)/30 = 0.1952

8 Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения находим по формуле 14:

Подставляя значения и с учетом того, что Y = 33600, получим:

В % погрешность составит 19.52

9Найдём среднеквадратические оценки относительной и абсолютной погрешностей косвенного измерения Y с учётом того, чтовместо квадрата abнужно подставлять:

Аналогично вместо квадрата de

дYск = (ДY/Yск)·Y = 0.0910·33600 = 3057

В % погрешность составит 9.1

По известной расчётной зависимости косвенного метода измерения и по известным результатам и погрешностям прямых измерений, в соответствии с полученным вариантом, рассчитать предельные и среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешностей косвенного измерения. Исходные данные приведены в таблице 1.

Источник

Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то обычно считается, что эта погрешность составляет ±0,5 последней значащей цифры.

6. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 6.1. Обработка прямых однократных измерений

Порядок обработки прямых однократных измерений изложен в разделе 3.1.

Рассмотрим следующий пример. С помощью штангенциркуля измеряем диаметр цилиндра. Инструментальная погрешность штангенциркуля равна ∆и = 0,1 мм.

В результате однократного измерения получено значение диаметра цилиндра D =15,6 мм. За абсолютную погрешность измерения

принимаем инструментальную погрешность штангенциркуля

∆D = ∆и = 0,1 мм.

По формуле (3.7) вычисляем относительную погрешность измерения диаметра

εD = ∆DD 100% = 150,,16100% = 0,641 %.

С учетом правил представления результатов измерений (см. раздел 5) в относительной погрешности оставляем одну значащую цифру, так как первая значащая цифра “6” больше “3”

εD = 0,641 % ≈ 0,6 % .

Конечный результат однократного измерения диаметра цилиндра для доверительной вероятности α =1 записываем в виде (3.2)

D = (15,6 ±0,1)мм; εD = 0,6 %; α =1.

Рассмотрим пример расчета погрешностей прямых многократных измерений.

1. С помощью секундомера проведено n =5 измерений 10 колебаний маятника. В результате получены экспериментальные данные:

t1 =15,3 c ; t2 =15,7 c; t3 =15,4 c ; t 4 =15,5 c ; t5 =15,4 c .

22

2. По формуле (3.3) рассчитываем среднее арифметическое значение

t = 1 n∑=5ti = 1 (15,3 +15,7 +15,4 +15,5 +15,5)=15,48 с. n i=1 5

Согласно правилам приближенных вычислений среднее арифметическое значение должно иметь на один разряд больше, чем исходные данные. Поэтому оставляем в t сотые доли.

3. По формуле (3.4) находим оценку СКО результата измерения

n=5

∑(ti −t )2

=

(15,3 −15,46)2 +(15,7 −15,46)2 +(15,3 −15,46)2 +(15,5 −15,46)2 +(15,4 −15,46)2

= 0,0663 с.

5(5 −1)

В соответствии с правилами, изложенными в разделе 5, погрешность должна содержать не более двух значащих цифр, поэтому в оценке СКО результата измерения, которая является промежуточной величиной, оставляем три значащие цифры.

4. Из табл. 3.1 для n =5 выбираем значение коэффициента Стьюдента tα,n = 2,78 и рассчитываем по формуле (3.5) доверитель-

ный интервал случайной погрешности (случайную погрешность)

∆t =tα,n Sx = 2,78 0,0663 = 0,184 с.

Впромежуточном расчете оставляем три значащие цифры.

5.Определяем абсолютную погрешность измерения с учетом случайной и инструментальной погрешностей по формуле (3.6)

2

2

2

2

2

2

= 0,228 с.

∆t = ∆t

+

∆иt

=

0,184

+

0,2

3

3

Впромежуточном расчете оставляем три значащие цифры.

6.По формуле (3.7) вычисляем относительную погрешность

εt = ∆tt 100 % = 150,228,48 100 % =1,47 %.

Впромежуточном расчете также оставляем три значащие цифры.

23

7.Ограничиваем количество значащих цифр в погрешностях

∆t и εt , а также в измеренном значении t . Для этого воспользуемся

правилами, изложенными в разделе 5.

В абсолютной погрешности ∆t = 0,228 с первая значащая цифра

“2” меньше “3”, следовательно, оставляем две значащие цифры. Поскольку отбрасываемая цифра “8”, то предыдущий разряд числа увеличиваем на единицу ∆t = 0,0228 ≈ 0,23 с.

Так как в абсолютной погрешности младший разряд – сотые доли ( ∆t = 0,23 c ), то в измеренном значении оставляем тоже сотые

доли числа. Таким образом, получаем t =15,48 с.

В относительной погрешности оставляем две значащие цифры, так как первая значащая цифра “1” меньше “3”. Но поскольку отбрасываемая цифра “7”, то предыдущий разряд числа увеличиваем на единицу εt =1,47 % ≈1,5 % .

Окончательный результат измерения записываем в виде (3.8) t = (15,48 ±0,23) с; εt =1,5 % ; α=0,95.

6.3. Обработка косвенных измерений при воспроизводимых условиях

Погрешность функции одной переменной. Рассмотрим случай, когда измеряемая величина является функцией одной переменной

z =10cosϕ,

где ϕ – величина, полученная в результате прямых измерений

ϕ = (11,0 ±0,5)o; εϕ = 5 %; α = 0,95.

При расчете погрешностей тригонометрических функций необходимо абсолютную погрешность угловых величин выражать в радианах

1o = 0,0175 рад,

тогда

∆ϕ = 0,5o = 0,5 0,0175 =8,75 10−3 .

Косвенно измеряемая величина z согласно выражению (4.2)

равна

24

z =10cos ϕ =10 cos(11,0o)=9,816 .

Расчет погрешности будем проводить по способу 1 (см. раздел 4). По формуле (4.3) рассчитаем абсолютную погрешность функции z

∆z =

d z

∆ϕ

=10sin ϕ ∆ϕ =10 sin(11,0o)8,75 10−3

= 0,0167 .

d ϕ

Относительную погрешность εz определяем по формуле (4.4)

εz = ∆zz 100 % = 0,01679,816 100 % = 0,170 %.

Результат измерения с учетом правил представления результатов измерений (см. раздел 5) записываем в виде

z = (9,816 ±0,017);

εz = 0,17 % ;

α = 0,95.

Погрешность суммы двух величин. Допустим, что некоторая функция l является результатом суммирования двух величин

l = a +b ,

где a,b – прямо измеренные величины

a = (35,0 ±0,1) мм;

εa = 0,29 % ;

α =1;

b = (15,0 ±0,1) мм;

εa = 0,7 % ;

α =1.

Значение измеряемой величины согласно выражению (4.2) l = a +b =35,0 +15,0 =50,0 мм.

Для расчета погрешностей функции l воспользуемся способом 1 (см. раздел 4). По формуле (4.3) получаем выражение для абсолютной погрешности

∆l =

∂l

2

∂l

2

= ∆2a +∆2b .

∂a

∆a

+

∂b

∆b

Пересчитаем абсолютные погрешности величин a,b к доверительной вероятности α = 0,95:

∆a =

2

∆иa =

2

0,1 = 0,067 мм;

∆b =

2

∆иb =

2

0,1 = 0,067 мм.

3

3

3

3

Таким образом, абсолютная погрешность будет равна

25

∆l = ∆2a +∆2b = 0,0672 +0,0672 = 0,095 мм.

Относительную погрешность εl определяем по формуле (4.4)

εl =

∆l

100 % =

0,095

100 % = 0,19 % .

l

50,0

Результат измерения с учетом правил представления результа-

тов измерений (см. раздел 5) записываем в виде

l = (50,00 ±0,10) мм;

εl = 0,19 % ;

α = 0,95.

Погрешность разности двух величин. Функция l имеет вид l = a −b .

Используем для расчета погрешности результаты прямых измерений величин a,b из предыдущего примера

a = (35,0 ±0,1) мм;

εa = 0,29 % ;

α =1;

b = (15,0 ±0,1) мм;

εa = 0,7 % ;

α =1.

Значение измеряемой величины согласно выражению (4.2) l = a +b =35,0 −15,0 = 20,0 мм.

Для расчета погрешностей функции l воспользуемся способом 1 (см. раздел 4). По формуле (4.3) получаем выражение для абсолютной погрешности

∆l =

∂l

2

∂l

2

2 2

∂a

∆a

+

∂b

∆b

= ∆a +∆b .

Пересчитаем абсолютные погрешности величин a,b к доверительной вероятности α = 0,95:

∆a =

2

∆иa =

2

0,1 = 0,067 мм;

∆b =

2

∆иb =

2

0,1 = 0,067 мм.

3

3

3

3

Таким образом, абсолютная погрешность будет равна

∆l = ∆2a +∆2b = 0,0672 +0,0672 = 0,095 мм.

Относительную погрешность εl определяем по формуле (4.4)

εl = ∆ll 100 % = 0,09520,0 100 % = 0,475 % .

26

Результат измерения с учетом правил представления результатов измерений (см. раздел 5) записываем в виде:

l = (20,00 ±0,10) мм; εl = 0,5 %; α=0,95.

Следует обратить внимание, что при одних и тех же значениях абсолютных погрешностей ∆a и ∆b (при близких значениях a и b )

относительная погрешность разности значительно больше относительной погрешности суммы, полученной в предыдущем примере.

Погрешность произведения двух величин. Рассчитаем погрешность измерения площади

S = a b ,

(6.1)

где a,b – прямо измеренные величины:

a = (35,0 ±0,1) мм;

εa = 0,29 % ;

α =1;

b = (15,0 ±0,1) мм;

εa = 0,7 % ;

α =1.

Согласно выражению (6.1) определим площадь

S= a b =35,0 15,0 =525,0 мм2.

Всоответствии с рекомендациями раздела 4, расчет погрешности косвенных измерений будем проводить по способу 2.

Предварительно прологарифмируем выражение (6.1)

ln S = ln a +ln b .

Затем по формуле (4.5) получаем расчетное соотношение для относительной погрешности

εS =

∂ lnS

2

∂ lnS

2

=

1

∆a

2 1

2

= εa2 +εb2 .

∆a

+

∆b

+

∆b

∂a

∂b

a

b

Пересчитаем относительные погрешности величин a,b к дове-

рительной вероятности α = 0,95:

εa

=

2

εиa

=

2

0,29 = 0,193 % ;

εb

=

2

εиb =

2

0,7 = 0,467 % .

3

3

3

3

Таким образом, относительная погрешность площади будет равна

εS = εa2 +εb2 100% =

0,1932 +0,4672 100 % = 0,505 % .

Абсолютную

погрешность

площади

определяем по форму-

ле (4.6)

27

∆S = S εS = 525,0 0,505 = 2,65 мм2. 100 100

Результат измерения с учетом правил представления результатов измерений (см. раздел 5) записываем в виде:

S = (525,0 ±2,6) мм2; εS = 0,5 % ;

α = 0,95.

Погрешность отношения двух величин. Требуется определить плотность материала по прямо измеренным значениям массы m и объема V образца

ρ =

m

.

(6.2)

V

Масса образца получена взвешиванием на весах с инструмен-

тальной погрешностью ∆m = ∆иm = 0,1 г

m = (81,9 ±0,1) г;

εm = 0,12 % ;

α =1.

Объем образца получен прямым измерением с помощью мен-

зурки с инструментальной погрешностью ∆

= ∆

иV

= 0,2 см3

V = (10,5 ±0,2) см3;

V

ε =1,9 %;

α =1.

V

По формуле (6.2) определяем плотность материала

ρ= m = 81,9 10−3 = 7800 кг/м3 . V 10,5 10−6

Для определения погрешностей измерения объема воспользуемся способом 2 (см. раздел 4). Предварительно прологарифмируем выражение (6.2)

ln z = ln a −ln b .

По формуле (4.5) получаем расчетное соотношение для относительной погрешности измерения плотности

ε

=

∂ lnρ

∆

2

∂ lnρ

∆

2

=

1

∆

2

−

1

∆

2

+ (−ε )2 .

ρ

∂m

m

+

∂V

m

+

V

= ε2

V

m

V

m

V

Пересчитаем относительные погрешности величин m,V к доверительной вероятности α = 0,95:

ε

m

=

2

ε

иm

=

2

0,12 = 0,08 % ;

ε

=

2

ε

иV

=

2

1,9 =1,27 % .

3

3

3

3

V

28

Таким образом, относительная погрешность измерения плотности равна

ε

ρ

=

ε2

+ε2

100% = 0,082 +1,272 100 % =1,27 % .

m

V

Абсолютную погрешность плотности определяем по форму-

ле (4.6)

∆ρ = ρερ = 7800 1,27 =101,4 кг/м3. 100 100

Результат измерения с учетом правил представления результатов измерений (см. раздел 5) записываем в виде

ρ = (7,80 ±0,10) 103 кг/м3 ; ερ =1,3 % ; α = 0,95.

В заключение рассмотрим пример косвенного измерения плотности материала детали, изображенной на рис. 6.1. Длинная сторона детали имеет неровные края.

D

h

a

L

Рис. 6.1

Расчет плотности материала проводим по формуле

ρ =

m

,

(6.3)

πD2

a Lh −

4

где m – масса, a – толщина, L – длина, h – ширина, D – диаметр отверстия.

Проведем измерения всех величин m, a, L, h, D , входящих в

расчетную формулу (6.3), и определим их абсолютные и относительные погрешности.

Линейные размеры L, h детали и диаметр отверстия D измеря-

ем с помощью штангенциркуля с инструментальной погрешностью ∆и = 0,1 мм; толщину a детали – микрометром с инструментальной

29

погрешностью ∆и = 0,01 мм; массу m детали определяем взвешива-

нием на технических весах с инструментальной погрешностью

∆и =50 мг.

Ввиду того, что длинная сторона детали имеет неровные края, ширину h с целью уменьшения случайной погрешности измеряем пять раз. В результате получаем экспериментальные данные:

h1 =59,5 мм; h2 = 60,1 мм; h3 =58,9 мм; h4 = 60,5 мм; h5 = 60,0 мм.

Расчет погрешностей измерения величины h следует проводить по методике, описанной в разделе 3.2.

По формуле (3.3) рассчитаем среднее арифметическое значение

h = 1 n∑=5hi = 1 (59,3 +60,1+58,9 +60,5 +60,0)=59,76 мм. n i=1 5

В среднем арифметическом значении оставляем младший разряд – сотые.

С помощью формулы (3.4) найдем оценку СКО результата измерения

n=5

∑(hi −h )2

S

=

i=1

=

h

n(n −1)

= (59,3 −59,76)2 +(60,1−59,76)2 +(58,9 −59,76)2 +(60,5 −59,76)2 +(60,0 −59,76)2

= 0,289 мм.

5(5 −1)

В оценке СКО результата измерения оставляем три значащие цифры, т. е. на одну больше, чем может содержать абсолютная погрешность.

Из табл. 3.1 для n = 5 выбираем значение коэффициента Стьюдента tα,n = 2,78 и рассчитаем по формуле (3.5) доверительный ин-

тервал случайной погрешности (случайную погрешность)

∆h =tα,n Sh = 2,78 0,289 = 0,8038 ≈ 0,804 мм.

Определяем абсолютную погрешность результата измерения с учетом случайной и инструментальной погрешностей по форму-

ле (3.6)

30

2

2

2

2

2

2

= 0,8067 ≈ 0,807 мм.

∆h = ∆

+

∆иh

=

0,804

+

0,1

h

3

3

Впромежуточном расчете оставляем три значащие цифры. По формуле (3.7) найдем относительную погрешность

εh = ∆hh 100 % = 590,807,76 100 % =1,35 %.

Впромежуточном расчете также оставляем три значащие цифры. Ограничиваем количества значащих цифр в погрешностях ∆h и

εh , и измеренном значении h . Для этого воспользуемся правилами,

изложенными в разделе 5.

В абсолютной погрешности ∆h = 0,807 мм первая значащая

цифра “8” больше “3”, следовательно, оставляем одну значащую цифру ∆h = 0,8 мм.

Так как младший разряд в абсолютной погрешности составляет десятые доли ( ∆h = 0,8 мм), то в измеренном значении оставляем то-

же десятые доли числа. Таким образом, получаем h =59,8 мм.

В относительной погрешности оставляем две значащих цифры, так как первая значащая цифра “1” меньше “3”. Но поскольку отбрасывается одна цифра “5”, то предыдущий разряд числа увеличиваем на единицу, чтобы цифра этого разряда была четной

εh =1,35 % ≈1,4 % .

Окончательный результат измерения высоты записываем в виде

h = (59,8 ±0,8) мм;

εh =1,4 % ;

α = 0,95.

В результате однократного измерения длины L детали штан-

генциркулем получено значение

=81,6 мм с абсолютной погреш-

L

ностью ∆L = ∆иL = 0,1 мм (см. раздел 3.1). Относительную погреш-

ность определяем по формуле (3.1)

εL =

∆L

100 % =

0,1

100 % = 0,123 % .

81,6

L

Окончательный результат измерения длины для доверительной

вероятности α =1 записываем в виде (3.2)

L = (81,6 ±0,1) мм;

εL = 0,12 %;

α =1.

31

При однократном измерении диаметра отверстия D штангенциркулем получено значение D =50,2 мм, с абсолютной погрешностью ∆D = ∆иD = 0,1 мм. Относительную погрешность определяем по

формуле (3.1)

εD =

∆D

100 % =

0,1

100 % = 0,199 %.

50,2

D

Окончательный результат измерения диаметра для доверитель-

ной вероятности α =1 записываем в виде (3.2)

D = (50,2 ±0,1) мм;

εD = 0,20 % ;

α =1.

Для измерения толщины a детали с целью уменьшения относительной погрешности использовался микрометр. В результате одно-

кратного измерения толщины a

штангенциркулем получено значе-

ние a = 0,50 мм с абсолютной

погрешностью

∆a = ∆иa = 0,01 мм.

Относительную погрешность определяем по формуле (3.1)

εa =

∆a

100 % =

0,01

100 % = 2,0 %.

a

0,50

Окончательный результат измерения толщины для доверитель-

ной вероятности α =1 записываем в виде (3.2)

a = (0,50 ±0,01) мм;

εa = 2,0 % ;

α =1.

Масса образца m = 3,84 г получена взвешиванием на технических весах с инструментальной погрешностью ∆m = ∆иm =50 мг. По

формуле (3.1) рассчитываем относительную погрешность измерения массы

εm =

∆m 100 % =

50 10−3

100% =1,30 % .

m

3,84

Окончательный результат измерения массы образца для доверительной вероятности α =1 записываем в виде (3.2)

m = (3,84 ±0,05) г; εm =1,3 %; α =1.

Для удобства проведения дальнейших расчетов представим полученные результаты прямых измерений в табл. 6.1

32

Таблица 6.1

Измеряемая

Значение изме-

Абсолютная по-

Относительная по-

величина

ряемой величины

грешность, ∆x

грешность, εx , %

α =1

α = 0,95

α =1

α = 0,95

h

59,7 мм

–

0,8 мм

–

1,3

L

81,6 мм

0,1 мм

0,07 мм

0,12

0,08

D

50,2 мм

0,1 мм

0,07 мм

0,20

0,13

a

0,50 мм

0,01 мм

0,007 мм

2,0

1,34

m

3,84 г

50 мг

33 мг

1,3

0,9

Плотность материала образца согласно формуле (6.3) равна

ρ =

m

=

π

2

a

D

L h −

4

=

3,84 10−3

= 2655 кг м3 .

2

−3

−3

−3

0,5 10

10

59,7 10

−

3,14(50,2 10−3 )

81,6

4

Для получения расчетного соотношения относительной погрешности измерения плотности воспользуемся способом 2 (см. раздел 4), предварительно представив формулу (6.3) в виде одночлена

ρ =

m

= m+1a−1S −1,

(6.4)

a S

где

S = L h −

πD2

.

(6.5)

4

Тогда в соответствии с выражениями (4.8) и (4.9) получаем

ερ = (+1 εm )2 +(−1 εa )2 +(−1 εS )2 =

.

εm2 +εa2 +ε2S

(6.6)

Погрешности величины S определим по способу 1, пренебрегая погрешностью числа π (см. раздел 4). В соответствии с формулой (4.3) абсолютная погрешность величины S равна

33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Министерство
Российской Федерации

по
связи и информатизации

Московский
технический университет связи и
информатики

_________________________________________________________________

Кафедра
физики

Лабораторная
работа №1

Знакомство
с измерительными приборами.

Методика
обработки результатов измерений.

Определение
плотности твердого тела.

Москва
2021

Цель
работы — знакомство с измерительными
приборами и методом обработки физических
измерений.

Основные
законы:

Плотность
тела определяется по формуле p=m/V.

Где
m
– масса тела, V
– объем тела.

Объем
тела находиться с помощью измерения
фигуры с помощью штангенциркуля.

Масса
тела указана в таблице.

штангенциркуль
ШЦ-II
с погрешностью 0,1 мм

Вариант
1.

Таблица
1

Номер
наблюдения i

Di
мм

ΔDi
=
D-Di

мм

ΔDi2

мм2

1

54,1

0

0

2

54,3

-0,2

0,04

3

54,2

-0,1

0,01

4

53,8

0,3

0,09

5

54,1

0

0

Среднеквадратичная
ошибка измерений диаметра цилиндра:

Округление
ошибки:

Относительная
ошибка данного результата составляет:

Обработка
результатов косвенного измерения
плотности конуса

Плотность
конуса вычисляется по формуле:

где
h
– высота конуса, D
– диаметр конуса, m
– масса конуса

D,
h,
m
находятся в результате прямых измерений.

m
= 91,52 +- 0,01 г

В
качестве результатов прямых измерений
величины h
возьмем следующие:

Таблица
2

Номер
наблюдения i

hi
мм

Δhi
=
H-Hi

мм

Δhi2

мм2

1

77,4

0,14

0.019

2

77,7

-0,16

0,04

3

77,6

-0,06

0,01

4

77,5

0,04

0,09

5

77,5

0,04

0,09

Среднеквадратичная
ошибка измерений диаметра цилиндра:

Среднее
значение массы:


π
= 3,14 при этом

Вычислим
среднюю плотность:

Найдём
абсолютную ошибку косвенного измерения
плотности по формуле:

Вопросы
1.1-1.3

1.1
Прямые и косвенные измерения. Приведите
примеры.

Ответ:
Прямыми называются измерения, при
которых искомое значение величины
получают из опытных данных. Например,
измерение штангенциркулем диаметра и
сравнения измеренного значения с
значением по чертежу. Косвенными называют
такие измерения, при которых числовое
значение измеряемой величины определяется
по известной функциональной зависимости
через другие величины, которые можно
прямо измерить, например измерение
мощности.

1.2
Как правильно записать результаты: M=
(2511±11) кг и m= (2,2±0,13) г? Какой из них получен
с большей точностью?

Ответ:
2500≤M≤2522,
1,07≤m≤2,33.
m
был получен с большей точностью чем М
так как точность составила 0,01.

1.3
Выведите формулу для расчет абсолютной
и относительной ошибок значения емкости,
вычисляемой по формуле

где
l, R1,
R2
, результаты непосредственных измерений
с погрешностями Δl, ΔR1,
ΔR2,
а ε, π константы.

Ответ:
ΔС = Сср — Сист, ε = ΔС/Сср

Соседние файлы в предмете Физика

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Физика 7 класс

Лабораторная работа №5

Определение плотности вещества твердого тела

                        Матвеева Алина Анатольевна,

              учитель физики МОУ СОШ 9 г. Надыма

Физика 7 класс

Лабораторная работа №5

Определение плотности вещества твердого тела

Цели урока:

Образовательные:

•введение
понятий: «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность»;

•уточнение
понятий «прямое измерение» и «косвенное измерение»; •экспериментальное
определение плотности вещества твердого тела двумя способами: при  первом
способе  используется оборудование: твердое тело правильной геометрической
формы (параллелепипед),  весы, линейка;  во втором — твердое тело правильной
геометрической формы(параллелепипед), весы, мензурка.

 Развивающие:

•развивать экспериментальные
умения и навыки при обращении с измерительными приборами: определение цены
деления прибора, снятие показаний с приборов, соблюдение техники безопасности;

• развивать
логическое мышление,  умение применять теоретические знания на практике;

• сравнение
 и   анализ полученных результатов.

Воспитательные: воспитание коммуникабельности (работа в малой
группе), аккуратности, ответственности, активности, умение работать по
инструкции.

Здоровьесберегающие:

• создание  положительной эмоциональной настроенности;

•использование  здоровьесберегающих  действий: смена видов деятельности,
физкультминутки  для сохранения работоспособности и расширения функциональных
возможностей организма учащихся.

Технологии:  проектная,
групповая,
дифференцированная.

Ключевые слова:
плотность, объем, масса,  прямое измерение, косвенное измерение, абсолютная
погрешность, относительная погрешность, таблицы плотности твердых тел и
жидкостей.

ХОД УРОКА

                                                                              
Скажи мне, и я забуду.

                                                                                                         
Покажи мне, и я запомню.

                                                                                                            
Вовлеки меня , и я научусь.

                                 
Китайская мудрость

I.                 
Организация урока (2мин):

Учитель: Здравствуйте, дорогие ребята.  И снова –физика. Послушайте анекдот.

Сын подходит к отцу и
спрашивает:
— Пап, а чем отличаются ум и хитрость?
— Ум позволяет решать сложные проблемы, а хитрость позволяет их обходить.
Сын задумался и снова спрашивает:
— А что полезней?
— Полезней всего — интеллект. Он позволяет выбирать, что лучше: решать,
обходить, или не лезть не в свое дело.(Анекдот). Это –анекдот. Но папа— прав. Человек
прежде всего должен думать о развитии своего интеллекта . Я считаю, что физика
лучше всех других  наук помогает ему в этом. Сегодняшний урок не исключение.

  На
прошлом уроке мы  говорили о плотности тел. Сегодня продолжим эту тему, но
рассмотрим плотность с экспериментальной точки зрения. Когда -то умение
экспериментально определять плотность вещества, принесла славу Архимеду. У нас
в руках, пока еще,  не корона и материал— не  золото, но это экспериментальное
умение нам нужно в жизни очень часто. Подумайте когда и для чего?   Итак, тема
сегодняшнего урока «Лабораторная работа №5 «Определение плотности  вещества
твердого тела»». Исходя из темы, сформулируйте цели урока. (Ученики отвечают). 
Мы на сегодняшнем уроке должны научиться

оценивать
погрешности прямых и косвенных измерений;

сравнивать
по значению относительной погрешности два способа косвенного  определения  плотности;

развивать
практические навыки работы с физическими приборами;

развивать
умения  целеполаганию,  анализа и оценки своей работы и работы одноклассников;

воспитывать
 в себе аккуратность, толерантность, взаимопомощь.

Для достижения этих целей мы
должны решить следующие задачи:

•повторение основного материала по теме «Плотность»;

•изучить материал по теме «Теория погрешностей»;

•выполнить лабораторную работу;

•оценить  свою деятельность на уроке.

  Китайская мудрость гласит: Скажи мне, и я забуду.

                                                        
Покажи мне, и я запомню.

                                                        
Вовлеки меня , и я научусь.

  Я желаю, чтобы все на уроке получили бесценный багаж знаний. А для
начала –блиц-опрос по определению знаний о плотности. За три верных ответа 1
балл, который будет учитываться при выставлении итоговой оценки за лабораторную
работу.

II. Актуализация опорных
знаний (5мин)

А. Блиц-опрос

1. Что называется плотностью?

2. Какова основная единица измерения плотности? В каких еще единицах
можно измерять плотность?

3. Какие физические величины необходимо знать для определения плотности
тела?

4. Можно ли прямым способом измерить плотность вещества твердого тела?

5-10. По презентации.

II. Выполнение
лабораторной работы

А. Подготовительная часть

Учитель:

Наша
страна нуждается в высококвалифицированных инженерно-технических работниках. Современный
инженер в любой области народного хозяйства  должен уметь проводить измерения,
оценивать погрешность результатов измерений с учетом требуемой надежности.
Поэтому при измерениях  большое внимание уделяется обработке результатов
измерений. Знакомство с основными методами расчета погрешностей – одна из
главных задач сегодняшнего урока.

Прочитайте
дополнительный материал к уроку «Теория погрешностей» (см. приложение 2)  и
ответьте на контрольные вопросы  в отчетных  листах (см. приложение 1)  (10мин),
но читаем медленно, есть такой тренинг по развитию интеллекта «Очень медленное
чтение», при этом необходимо запомнить весь предлагаемый материал при первом
чтении, перечитывать нельзя.

 Физкультминутка (2мин):

Мы
очень сильно умственно напряглись при выполнении этого задания, давайте
расслабим немного мозг перед следующим штурмом,  а для этого  пропитаем весь
наш организм воздухом.  (Открываем форточки) Встаем и шумно через нос, протяжно
вдыхаем воздух. Чувствуем,  как все тело наполняется воздухом; раз, два, три.

А
теперь сделаем физическое усилие, для этого как можно сильнее нужно
взаимодействовать с землей (полом). Будем надавливать на землю все сильнее и
сильнее.

Садитесь.
Продолжим.

Итак, вначале урока мы решили, что мы будем определять плотность двумя
способами. Следовательно, сформулируйте цель  при выполнении лабораторной работы.
( Учащиеся  записывают в оценочных листах (см. приложение 1)

Способ 1: У вас имеются 
твердое тело правильной
геометрической формы, линейка, … Какие еще приборы вам понадобятся? Возьмите их
из предложенного оборудования. Затем опишите порядок   ваших действий на
отчетных листах. Если есть затруднения, загляните в инструкцию по выполнению 
лабораторной работы №5 (3 мин). Приступаем к измерениям,  обращаю  внимание на
правила техники безопасности. А также ваше внимание обращаю ваше внимание на
диагностическую карту по оцениванию лабораторной работы( см. приложение 3) (10
мин).

Переходим ко второму способу. У вас имеются  твердое тело правильной
геометрической формы, измерительный цилиндр, …. Какие действия вы будете
выполнять в этом случае? Запишите порядок действий на отчетных листах. Далее
учащиеся проводят измерения, выполняют расчеты, заполняют таблицу.(10мин)

Учитель:  Чтобы ощутить   себя инженером, необходимо ответить на следующие
контрольные вопросы (3 мин).

Контрольные вопросы:

1.     Какой
метод  измерения плотности точнее, почему?

2.     По
внешнему виду определите,   из чего изготовлен цилиндр и сравните полученные
значения с табличными значениями. Совпали ли результаты? Если нет, то почему?

3.     Сформулируйте
и запишите  вывод о проделанной  работе.

Домашнее задание ( на карточках) (см. приложение 4)

   Рефлексия деятельности (отвечают письменно на отчетных листах)

Оцените свои
достижения на этом уроке:

n 
Все ли у вас получилось?

n 
Довольны ли вы своими
результатами?

n 
Довелось ли вам в полной
мере реализовать свои возможности, применить полученные знания?

n 
Сделайте комплимент себе,
соседу по парте, всему классу …

n 
Мне кажется, я заслужил
(а) отметку     …

Учитель: Решать загадки можно вечно.

                  Вселенная ведь
бесконечна.

                  Спасибо всем вам
за урок,

                  А главное, чтоб
был он впрок!

Приложение
1

Отчетный  лист

 по лабораторной  работе  №5 

Определение плотности вещества  твёрдого тела

                                 Фамилия, имя, класс

Лабораторная
работа №5  _________

                                                                  
/дата/

Определение плотности вещества  твёрдого тела.

Цель работы:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оборудование:1способ: металлический брусок, линейка,—————————————————————-___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

                           
2способ: металлический брусок, мензурка—————————————————————_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________                                      
  

Правила
техники безопасности.

  1. Будьте осторожны при работе со стеклянной посудой. Помните, что
    стекло хрупкий и опасный материал, легко трескается при ударе.
  2. Будьте внимательны при работе с весами, не теряйте гирьки.
    Установите весы на середине стола.
  3. Будьте аккуратны при работе с водой.

Подготовительная часть

Прочитайте информацию «О погрешностях» и
ответьте письменно на вопросы:

  1. Что значит измерить физическую величину?————————————————————-—
  2. Почему возникают погрешности измерений?—————————————————————————————————————————————————————————

            ————————————————————————————————————

  1. Чему равна  абсолютная погрешность прямого 
    измерения?
  1. Как определяются абсолютная и относительная
    погрешности измерения плотности?
  1. Сформулируйте правила округления результата
    измерения и погрешностей.

Основная часть

А. Опишите  порядок ваших  действий, при
определении плотности вещества твердого тела первым способом

1._________________________________________________________________

2._________________________________________________________________

3._________________________________________________________________

4._________________________________________________________________

5.____________________________________________________________

Выполнение работы и расчеты:

Название вещества

Масса тела mист,г

Объем тела Vист, см3

Плотность вещества   ρист,  г/ см3

Относительная погрешность измерения ɛ,%

Все записи выполняйте здесь:

Б. Опишите  порядок ваших  действий, при
определении плотности вещества твердого тела вторым  способом

1._________________________________________________________________

2._________________________________________________________________

3._________________________________________________________________

4._________________________________________________________________

5._________________________________________________________________

Название вещества

Масса тела mист,г

Объем тела Vист, см3

Плотность вещества   ρист,  г/ см3

Относительная погрешность измерения ɛ,%

Все записи выполняйте здесь:

Контрольные вопросы:

4.      Какой
способ   измерения плотности точнее, почему?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________                                    
                                             

5.      По
внешнему виду  определите  из чего изготовлен цилиндр и сравните полученные
значения с табличными значениями. Совпали ли результаты? Если нет, то почему?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.      Сформулируйте
и запишите  вывод о выполненной работе.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рефлексия
деятельности:

Оцените свои достижения на этом
уроке:

•Что нового узнали на уроке?

• Довольны ли вы своими
результатами?

• Довелось ли вам в полной мере
реализовать свои возможности, применить полученные знания?

•  Я заслужил(а) оценку ….

Фамилия, имя, класс                         Подпись                                  

Приложение
2

Теория погрешностей

Измерение
физических величин

В
основе точных естественных наук лежат измерения. При измерениях значения
величин выражаются в виде чисел, которые указывают во сколько раз измеренная
величина больше или меньше другой величины, значение которой принято за
единицу.

При
измерениях неизбежно возникают погрешности. Необходимо владеть методами,
применяемыми при обработке результатов, полученных при измерениях. Это позволит
научиться получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты,
вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и
правильно оценить точность полученных значений.

Если
измерение заключается в сравнении данной величины с другой, однородной
величиной, принятой за единицу, то измерение в этом случае называется прямым.

Прямые
(непосредственные) измерения
– это такие измерения, при которых мы получаем численное значение измеряемой
величины либо прямым сравнением ее с мерой (эталоном), либо с помощью приборов,
градуированных в единицах измеряемой величины.

Однако
далеко не всегда такое сравнение производится непосредственно. В большинстве
случаев измеряется не сама интересующая нас величина, а другие величины,
связанные с нею теми или иными соотношениями и закономерностями. В этом случае
для измерения необходимой величины приходится предварительно измерить несколько
других величин, по значению которых вычислением определяется значение искомой
величины. Такое измерение называется косвенным.

Косвенные
измерения
состоят из непосредственных измерений одной или нескольких величин, связанных с
определяемой величиной количественной зависимостью, и вычисления по этим данным
определяемой величины.

Современный
инженер должен уметь оценивать погрешность результатов измерений с учетом
требуемой надежности. Поэтому большое внимание уделяется обработке результатов
измерений. Знакомство с основными методами расчета погрешностей – одна из
главных задач при выполнении  лабораторных работ.

Почему возникают
погрешности?

Источниками погрешностей при
измерениях являются:

•        
неточность самих измерительных приборов;

•        
способ снятия показаний с прибора;

•        
непостоянство измеряемой величины.

 

Классификация
погрешностей

Значение
погрешности измерения
некоторой величины  принято характеризовать:

1.                
Абсолютной погрешностью –
разностью между найденным на опыте (измеренным)  и
истинным значением  некоторой величины

.                                                                  (1)

Абсолютная
погрешность показывает, на сколько мы ошибаемся при измерении некоторой
величины Х.

2.                
Относительной погрешностью
равной отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой
величины Х

100%                                                                               (2)

Относительная
погрешность показывает, на какую долю от истинного значения величины Х мы
ошибаемся.

Качество результатов измерений какой-то
величины  характеризуется относительной
погрешностью . Величина  может
быть выражена в процентах.

При
практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При оценках
учитываются условия проведения эксперимента, точность методики, качество
приборов и ряд других факторов. Наша задача: научиться строить методику
эксперимента,  правильно использовать полученные на опыте данные для нахождения
истинных  значений измеряемых величин (или достаточно близких к ним), разумно
оценивать погрешности измерений.

Говоря
о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых
погрешностях (промахах), возникающих вследствие недосмотра экспериментатора
или неисправности аппаратуры. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено,
что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать.

Не
связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на случайные и
систематические. Но о них в следующий раз.

Расчет
погрешностей прямых измерений

В
наших работах будем считать, что

Номинальное
значение набора гирь по механике

Пределы
допускаемой основной погрешности

1г

± 4мг

2г

± 6мг

5г

± 8мг

10г

± 12мг

20г

± 20мг

50г

± 30мг

100г

± 40мг

·        
Абсолютная погрешность
цифровых приборов равна единице минимального разряда.

·        
Для всех остальных
приборов абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления.

·        
Для весов абсолютная погрешность
складывается из погрешностей гирь, использованных при взвешивании данного тела
(см. таб.)

Для простоты расчетов, будем считать,  что полная
абсолютная погрешность раавна инструментальной (приборной) погрешности.  

Округляется погрешность и результат. Поскольку результат
измерений представляется в виде интервала значений, величину которого
определяет полная абсолютная погрешность, важное значение имеет правильное
округление результата и погрешности.

Округление
начинают с абсолютной погрешности!!! Число значащих цифр (все числа, кроме нулей слева), которое оставляют
в значении погрешности, вообще говоря, зависит от коэффициента надежности и
числа измерений. Однако даже для очень точных измерений не оставляют более двух
значащих цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла, так как определение
погрешности само имеет свою погрешность. В
нашем практикуме сравнительно небольшой коэффициент надежности  и малое число измерений. Поэтому при
округлении (с избытком) полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую
цифру.

Разряд
значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной
цифры в значении результата. Следовательно, само значение результата
нужно округлять (с поправкой) до той значащей цифры, разряд которой совпадает с
разрядом значащей цифры погрешности. Сформулированное правило следует
применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями.

 Затем 
вычисляется относительная погрешность .

100%

При округлении относительной погрешности
достаточно оставить две значащие цифры.

результат
серии измерений некоторой физической величины представляют в виде интервала
значений с указанием вероятности попадания истинного значения в данный
интервал, то есть результат
необходимо записать в виде:

;                                   ;                             .

Здесь
 – полная, округленная до первой значащей
цифры, абсолютная погрешность и  – округленное с учетом
уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. При записи
результата измерений обязательно нужно указать единицу измерения величины.

Итак,
округление абсолютной погрешности производится до первой значащей цифры в
сторону увеличения (с избытком). Среднее значение измеряемой величины
округляется с поправкой до той значащей цифры, разряд которой совпадает с
разрядом значащей цифры погрешности. При округлении относительной погрешности
оставляем две значащие цифры.

Расчет
погрешностей косвенных измерений

Расчет
погрешности косвенных измерений зависит от вида формулы. Поэтому каждый раз
формула для вычисления погрешности будет выглядеть по разному. 

Примеры.

1.     
      Объем
параллелепипеда определяется по формуле:

.

Тогда
абсолютную  погрешность определения объема параллелепипеда оцениваем  по
формуле

, считая, что абсолютные  погрешности
измерений длины a, ширины b, высоты h  равны инструментальной
погрешности линейки  (половине цены деления линейки). Результат запишется в
виде: Vист= Vизм± ∆V. При
этом относительная погрешность измерения объема равна .

2.                 
Плотность тела   определяется
по формуле  ρ=m/V.  Абсолютная погрешность измерения плотности
оценивается  по формуле  . Результат измерения запишется  в виде ρист=ρизм± 
∆ρ. При этом относительная погрешность измерения плотности∙100%.

Вопросы
и задачи по теории погрешностей:

1.      Что
значит измерить физическую величину?

2.      Почему
возникают погрешности измерений?

3.      Чему
равна абсолютная погрешность прямого измерения?

4.      Как
определяются абсолютная и относительная погрешности измерения плотности?

5.      Сформулируйте
правила округлений результата и погрешности.

Приложение
3

Инструкция по выполнению лабораторной работы №5

 «Определение плотности вещества твердого тела»

Цель работы: научиться   определять плотность твердого тела двумя способами: 1) с
помощью весов и линейки и 2) с помощью весов и мензурки с учетом абсолютной и относительной
погрешности;

                           сравнить полученные значения с табличными
значениями.

Первый способ:

Приборы: рычажные  весы, линейка,  твердое тело правильной геометрической
формы.

Указание к работе

Номинальное значение набора гирь по механике

Пределы допускаемой основной погрешности


1г

± 4мг

2г

± 6мг

5г

± 8мг

10г

± 12мг

20г

± 20мг

50г

± 30мг

100г

± 40мг

1. Измерить массу тел на весах. Результаты записать в таблицу с учетом
абсолютной погрешности:  mист=mизм ±  ∆m.

Для определения абсолютной погрешности массы  воспользуйтесь 
предложенной таблицей.

2. Измерить объем тел с помощью линейки, используя формулу: V=a∙b∙c.
Рассчитать абсолютную погрешность измерения объема по формуле , считая, что абсолютная погрешность
измерения длины a, ширины b, высоты с 
равны инструментальной погрешности линейки  (половине цены деления линейки).
Результат запишите в виде: Vист= Vизм± ∆V

3. Рассчитать плотность тела ρизм по формуле  ρизм=mизм/Vизм. Рассчитать абсолютную погрешность измерения
плотности по формуле  .  Результат измерения
записать в виде ρист=ρизм±  ∆ρ.

4. Рассчитайте относительную погрешность измерения ∙100%

5. Заполнить таблицу измерений

Название вещества

Масса тела mист,г

Объем тела Vист, см3

Плотность
вещества   ρист,  г/ см3

Относительная
погрешность измерения ɛ,%

Примечание: Не забудьте округлить результаты и погрешности!!!

Второй способ:

1.     Значение
массы  у вас уже известны.

2.     Определение
объема тела при помощи мензурки:

а) Определите цену деления измерительного цилиндра

б) Налейте столько воды в цилиндр ,чтобы предложенное  тело
могло полностью в нее погрузиться.  Запишите объем V1 с учетом
абсолютной  погрешности  измерения ∆V1.

в) Погрузите тело в воду. Зафиксируйте объем V2  с учетом
абсолютной погрешности  измерения ∆V2.

г)Рассчитайте объем тела Vизм= V2— V1. Определите
абсолютную погрешность измерения объема по формуле ∆V=∆V1+∆V2

д)Запишите  значение объема в виде Vист= Vизм± ∆V

    3. Рассчитать плотность тела ρизм по формуле  ρизм=mизм/Vизм. Рассчитать      погрешность измерения плотности по
формуле  . Результат   измерения записать в виде ρист=ρизм± 
∆ρ.

4. Рассчитайте относительную погрешность измерения ∙100%

5. Заполнить таблицу измерений

Название вещества

Масса тела mист,г

Объем тела Vист, см3

Плотность
вещества   ρист,  г/ см3

Относительная
погрешность измерения ɛ,%

Приложение 4

Домашнее
задание по теме «Плотность тел»


1. Когда мы, собираясь на каникулы в лагерь, набиваем всё новыми и
новыми вещами и без того уже пухлый чемодан, какие из физических величин мы
изменяем – m, V, r ?

http://www.fizika.ru/zadachki/tema-02/2540b.gif2. Кусок пластилина скатали в шарик. Какие из
физических величин, характеризующих шарик, изменились – m, V, r ?

3. В воздушный
шарик накачали порцию воздуха. При этом масса возросла в 4 раза, а объём –
вдвое. Во сколько раз возросла плотность воздуха в шарике?

4. Который из
рисунков позволит подсчитать, во сколько раз плотность воды больше плотности
спирта?

5. Найдите ошибку
в рассуждении: плотность 1 м3 керосина 800 кг/м3. Тогда плотность 2 м3 керосина будет 1600 кг/м3.

      http://www.fizika.ru/zadachki/tema-02/2540c.gif

6. Для измерения
плотности пластилина взяли его кусок массой 100 г. Как изменятся результаты
измерений, если будет взят кусок массой 200 г?

7. Имеются 3 кг
мёда и 3 кг молока. Сравните их объёмы.

8. Чтобы заполнить
банку доверху, потребовалось 4,1 кг меда. Вычислите объём банки.

9. Плотность
золота 19 г/см3. Верно ли, что золотой кубик с объёмом более 10 см3 будет иметь массу
более 100 г?

10. В кастрюлю
объёмом 7,3 л положили 5,7 кг картофеля и доверху залили водой. Ее понадобилось
2,3 л. Найдите плотность картофелины.

Занимательная 
задача

Мыло и мыши. Лилипут
отправился мыть руки к ручью, но забыл дома прямоугольный брусочек мыла. Его
длина 0,3 см, ширина составляет 2/3 длины, а высота 1/3 от длины. Брусочек
нашли мыши и половину сгрызли. а) Какова масса оставшегося мыла, если плотность
мыла 1500 кг/м3? б) Сколько процентов мыла мыши измельчили своими острыми зубками?

Экспериментальная
задача

      В глубокой древности знаменитый Архимед
смог определить, из чистого ли золота сделана царская корона. Попробуйте
сделать то же самое, изготовив модель короны из пластилина. Оборудование:
модель короны из пластилина, мерный сосуд, весы.

Желаю удачи

Источник

Подборка по базе: Дипломная работа на тему_ «Технология механизированных работ на , Практическая работа 5-1.docx, Научная работа по русскому языку.docx, Научная работа по обществощнанию.docx, Дипломная работа_Селезнева Юлия Валерьевна_09.06.2023.docx, Контрольная работа_культура речи.docx, Практическая работа5.5.pdf, Практическая работа № 1.docx, Курсовая работа — Калькулятор.doc, Практическая работа 1а.docx

Министерство Российской Федерации

по связи и информатизации

Московский технический университет связи и информатики

_________________________________________________________________

Кафедра физики
Лабораторная работа №1

Знакомство с измерительными приборами.

Методика обработки результатов измерений.

Определение плотности твердого тела.
Выполнила: А.Г. Ворона

Проверила: Л.В. Осичева

Москва 2023

Цель работы — знакомство с измерительными приборами и методом обработки физических измерений.

Основные законы:

Плотность тела определяется по формуле p=m/V.

Где m – масса тела, V – объем тела.

Объем тела находиться с помощью измерения фигуры с помощью штангенциркуля.

Масса тела указана в таблице.

штангенциркуль ШЦ-II с погрешностью 0,1 мм

Вариант 4.

Таблица 1

5 54,1 0 0
Номер наблюдения i Di мм ΔDi = D-Di

мм

 ΔDi2

мм2
1 54,4 0 0
2 54,4 0 0
3 54,3 0,1 0,01
4 54,1 0,2 0,04
5 54,1 0 0


Среднеквадратичная ошибка измерений диаметра цилиндра:


Округление ошибки:


Относительная ошибка данного результата составляет:


Обработка результатов косвенного измерения плотности конуса

Плотность конуса вычисляется по формуле:

где h – высота конуса, D – диаметр конуса, m – масса конуса

D, h, m находятся в результате прямых измерений.

m = 90,90 ± 0,01 г

В качестве результатов прямых измерений величины h возьмем следующие:

Таблица 2

Номер наблюдения i Hi мм ΔHi = H-Hi

мм

 ΔHi2

мм2
1 76,5 0 0
2 76,7 -0,2 0,04
3 76,5 0 0
4 76,4 0,1 0,01
5 76,4 0,1 0,01

Среднеквадратичная ошибка измерений диаметра цилиндра:



Среднее значение массы:


π = 3,14 при этом

Вычислим среднюю плотность:


Найдём абсолютную ошибку косвенного измерения плотности по формуле:


Вопросы 4.1-4.3

4.1 Абсолютная и относительная ошибки. Какая из них характеризует качество измерения различных величин?

Ответ: Абсолютная и относительная ошибки — это характеристики точности измерений и оценки отклонения полученных результатов от истинных значений.

Абсолютная ошибка — это разница между измеренным значением и истинным значением измеряемой величины. Она показывает, насколько измеренное значение отклоняется от истинного значения, и измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

Относительная ошибка — это абсолютная ошибка, отнесенная к истинному значению измеряемой величины. Она показывает, какую долю отклонения составляет абсолютная ошибка от истинного значения и измеряется в процентах.

Обе ошибки являются важными характеристиками точности измерений, и выбор той или иной зависит от задачи. Если нужно оценить точность измерения в абсолютном выражении, то следует использовать абсолютную ошибку. Если же нужно оценить точность измерения в относительном выражении, то следует использовать относительную ошибку.

В целом, относительная ошибка более удобна, так как она не зависит от единиц измерения и позволяет сравнивать точность измерений разных величин.
4.2 Правильно ли записаны результаты: т = (479,85±2,35) г, h = (6.71± 0.37) м2

Ответ: нет, результаты не записаны правильно.

  • Для массы t правильно записать так: t = 479,85 ± 2,35 г.
  • Для площади h правильно записать так: h = (6,71 ± 0,37) м2.
  • 4.3 Найти ускорение свободного падения, если длина маятника І = (139,5

0,5) см, период колебаний Т = (2,38±0,02) с. Рассчитайте абсолютную и относительные ошибки косвенных измерений.

Ответ: для расчета ускорения свободного падения воспользуемся формулой математического маятника:

g = (4 * π2 * L) / T2

где g — ускорение свободного падения, L — длина маятника, T — период колебаний.

Подставляя значения, получаем:

g = (4 * π2 * 139,5 см) / (2,38 с)2

g ≈ 981,8 см/с2

Для расчета абсолютной ошибки воспользуемся формулой:

Δg = |dg/dL| * ΔL + |dg/dT| * ΔT

где ΔL и ΔT — абсолютные погрешности измерений L и T, соответственно.

Вычислим производные:

dg/dL = 4 * π2 / T2 ≈ 6,62 с-2

dg/dT = -8 * π2 * L / T3 ≈ -1,15 * 103 с-2

Подставляя значения, получаем:

Δg = |6,62 с-2| * 0,5 см + |-1,15 * 103 с-2| * 0,02 с

Δg ≈ 11,64 см/с2

Для расчета относительной ошибки воспользуемся формулой:

δg = Δg / g

Подставляя значения, получаем:

δg = 11,64 см/с2 / 981,8 см/с2 ≈ 0,012

Ответ: ускорение свободного падения g ≈ 981,8 см/с2, абсолютная ошибка Δg ≈ 11,64 см/с2, относительная ошибка δg ≈ 0,012.

Источник

  • Абсолютная ошибка измерения момента инерции
  • Абсолютная ошибка измерения массы перегрузков
  • Абсолютная ошибка измерения допускаемая прибором
  • Абсолютная ошибка единица измерения
  • Абсолют банк внутренняя ошибка сервера