Абсолютная ошибка округления числа пи

Как вычислить абсолютную погрешность приближения

Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины x и ее приближенным значением a.

Абсолютная погрешность приближения = |x – a|

Приведем пример, в упаковке 145.4 грамма крупы, при округлении этого числа до 146, абсолютную погрешность вычислим как:
x = 145.4
a = 146
Абсолютная погрешность приближения = |145.4 – 146| = 0.6

Вам могут также быть полезны следующие сервисы Калькуляторы (Теория чисел) Калькулятор выражений Калькулятор упрощения выражений Калькулятор со скобками Калькулятор уравнений Калькулятор суммы Калькулятор пределов функций Калькулятор разложения числа на простые множители Калькулятор НОД и НОК Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел Калькулятор делителей числа Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых Калькулятор деления числа в данном отношении Калькулятор процентов Калькулятор перевода числа с Е в десятичное Калькулятор экспоненциальной записи чисел Калькулятор нахождения факториала числа Калькулятор нахождения логарифма числа Калькулятор квадратных уравнений Калькулятор остатка от деления Калькулятор корней с решением Калькулятор нахождения периода десятичной дроби Калькулятор больших чисел Калькулятор округления числа Калькулятор свойств корней и степеней Калькулятор комплексных чисел Калькулятор среднего арифметического Калькулятор арифметической прогрессии Калькулятор геометрической прогрессии Калькулятор модуля числа Калькулятор абсолютной погрешности приближения Калькулятор абсолютной погрешности Калькулятор относительной погрешности Дроби Калькулятор интервальных повторений Учим дроби наглядно Калькулятор сокращения дробей Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей Калькулятор возведения дроби в степень Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную Калькулятор сравнения дробей Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю Калькуляторы (тригонометрия) Калькулятор синуса угла Калькулятор косинуса угла Калькулятор тангенса угла Калькулятор котангенса угла Калькулятор секанса угла Калькулятор косеканса угла Калькулятор арксинуса угла Калькулятор арккосинуса угла Калькулятор арктангенса угла Калькулятор арккотангенса угла Калькулятор арксеканса угла Калькулятор арккосеканса угла Калькулятор нахождения наименьшего угла Калькулятор определения вида угла Калькулятор смежных углов Калькуляторы систем счисления Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел Системы счисления теория N₂ | Двоичная система счисления N₃ | Троичная система счисления N₄ | Четырехичная система счисления N₅ | Пятеричная система счисления N₆ | Шестеричная система счисления N₇ | Семеричная система счисления N₈ | Восьмеричная система счисления N₉ | Девятеричная система счисления N₁₁ | Одиннадцатиричная система счисления N₁₂ | Двенадцатеричная система счисления N₁₃ | Тринадцатеричная система счисления N₁₄ | Четырнадцатеричная система счисления N₁₅ | Пятнадцатеричная система счисления N₁₆ | Шестнадцатеричная система счисления N₁₇ | Семнадцатеричная система счисления N₁₈ | Восемнадцатеричная система счисления N₁₉ | Девятнадцатеричная система счисления N₂₀ | Двадцатеричная система счисления N₂₁ | Двадцатиодноричная система счисления N₂₂ | Двадцатидвухричная система счисления N₂₃ | Двадцатитрехричная система счисления N₂₄ | Двадцатичетырехричная система счисления N₂₅ | Двадцатипятеричная система счисления N₂₆ | Двадцатишестеричная система счисления N₂₇ | Двадцатисемеричная система счисления N₂₈ | Двадцативосьмеричная система счисления N₂₉ | Двадцатидевятиричная система счисления N₃₀ | Тридцатиричная система счисления N₃₁ | Тридцатиодноричная система счисления N₃₂ | Тридцатидвухричная система счисления N₃₃ | Тридцатитрехричная система счисления N₃₄ | Тридцатичетырехричная система счисления N₃₅ | Тридцатипятиричная система счисления N₃₆ | Тридцатишестиричная система счисления Калькуляторы площади геометрических фигур Площадь квадрата Площадь прямоугольника КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ Калькуляторы (Комбинаторика) Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия Калькулятор сложения и вычитания матриц Калькулятор умножения матриц Калькулятор транспонирование матрицы Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы Калькулятор нахождения обратной матрицы Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора Калькулятор сложения и вычитания векторов Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты Калькулятор векторного произведения векторов через координаты Калькулятор смешанного произведения векторов Калькулятор умножения вектора на число Калькулятор нахождения угла между векторами Калькулятор проверки коллинеарности векторов Калькулятор проверки компланарности векторов Генератор Pdf с примерами Тренажёры решения примеров Тренажер по математике Тренажёр таблицы умножения Тренажер счета для дошкольников Тренажер счета на внимательность для дошкольников Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ. Тренажер решения примеров с разными действиями Тренажёры решения столбиком Тренажёр сложения столбиком Тренажёр вычитания столбиком Тренажёр умножения столбиком Тренажёр деления столбиком с остатком Калькуляторы решения столбиком Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком Калькулятор деления столбиком с остатком Конвертеры величин Конвертер единиц длины Конвертер единиц скорости Конвертер единиц ускорения Цифры в текст Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения Калькулятор вычисления времени движения Калькулятор времени Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния. Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы. Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома Калькулятор Закона Кулона Калькулятор напряженности E электрического поля Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькуляторы по астрономии Вес тела на других планетах Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках Генераторы Генератор примеров по математике Генератор случайных чисел Генератор паролей

Изучаемые вопросы: Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. О вычислительной погрешности. Погрешности функций.

После изучения этой темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки.

Следует различать погрешности измерений и погрешности решения задач. Первые изучаются в физике, а вторые обуславливаются несколькими причинами: неточностью модели, описывающей то или иное явление, неточностью метода решения и неточностью данных на этапе ввода их для решения, или вывода результатов округления. Поэтому говорят о неустранимых погрешностях, погрешностях метода и вычислительных погрешностях.

Если – точное значение некоторой величины, а – приближённое, то абсолютной погрешностью приближённого значения называют величину , про которую известно, что

. (1)

Относительной погрешностью приближённого значения называют величину , про которую известно, что

. (2)

Часто её выражают в процентах.

Абсолютную и относительную погрешности принято записывать в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры в форме

. (3)

Пример 1. ○Абсолютная и относительная погрешности числа .

Число – трансцендентное число, равное 3,1415926… . Приближённое значение . Граница абсолютной погрешности , или, с учётом (3), . Граница относительной погрешности .●

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 2. ○Подчёркнуты значащие цифры в следующих числах:

Значащая цифра числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 3. ○Верные цифры числа подчёркнуты:

Если , то верных цифр в числе три: = 3,1415926,

если , то верных цифр в числе две: = 3,1415926,

если , то верных цифр в числе четыре: = 3,14115926. ●

Для оценки погрешности арифметических действий используют следующие правила.

Абсолютные погрешности суммы или разности не превосходят абсолютной погрешности их членов:

(4)

Относительные погрешности в этом случае

(5)

Абсолютные погрешности произведения и частного рассчитывают по формулам

и (6)

(7)

соответственно. Их относительные погрешности равны:

. (8)

. (9)

Пример 4. Вычислить и определить погрешности результата.

, где .

○Имеем

Тогда абсолютная погрешность равна .

Итак, . ●

Существенную часть теории численных методов составляет построение устойчивых алгоритмов, использование которых ведёт к искажению результатов вычислений с погрешностью, находящейся в заданных пределах. В этом случае говорят о вычислительной погрешности. Например, потеря значащих цифр происходит при вычитании близких больших чисел. Если такие числа округлить с большой абсолютной погрешностью, то результат вычитания их также даст большую абсолютную погрешность. Во избежание этого такие расчёты следует проводить с двойной точностью.

Следует помнить, что предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей, а предельная относительная погрешность произведения или частного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Подробнее об этой теме можно узнать из [7], c.17-34.

Вопросы для самопроверки по теме 1.1

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

2. Можно ли выражать погрешность в процентах? Какую погрешность?

3. В какой форме записывают абсолютную и относительную погрешности?

4. Чему равны погрешности суммы и разности, а также произведения и частного? О каких погрешностях в данных случаях идёт речь?

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 10034 — | 7811 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Абсолютная и относительная погрешность числа.

В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин.

Обозначим через а приближение к точному числу А.

Определени. Величина называется погрешностью приближенного числаа.

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется величина .

Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется наименьшая из верхних границ для величины , которую можно найти при данном способе получения числаа.

На практике в качестве выбирают одну из верхних границ для , достаточно близкую к наименьшей.

Поскольку , то. Иногда пишут:.

Абсолютная погрешность — это разница между результатом измерения

и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности.

Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину:

Определение. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину

Так как .

Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а.

Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить

абсолютную Dи относительную δ погрешности полученных приближенных

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

• при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
• при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
• при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Значения погрешностей числа π

№ п/п	Значение	Абсолютная ошибка	Относительная ошибка
1.	3	+0,14	4,5%
2.	3,1	+0,042	1,3%
3.	3,14	+0,0016	0,05%
4.	3,142	+0,00041	0,013%

5. Случайная погрешность

Из
самого названия случайной погрешности
следует, что её значение от измерения
к измерению не остаётся постоянным. Для
одного измерения случай­ные ошибки
не поддаются учёту, однако для ряда
измерений одной и той же величины,
проведённых с одинаковой тщательностью
величину случайной ошибки можно оценить
с некоторой вероятностью. Определение
случайных по­грешностей основано на
методах теории вероятностей и
математической стати­стики.

Количественной
характеристикой случайного события
является вероят­ность. Вероятность
Р события ( в нашем случае – вероятность
появления какого-то значения измеряемой
величины) определяется отношением числа
n
случаев, благоприятствующих его
появлению, к общему числу N
всех возможных слу­чаев, если число
N
всех произведенных измерений достаточно
велико:

.
(6)

Предположим,
что измеряемая физическая величина х
приняла ряд дис­кретных значений
При этом, при большом числе измерений
вели­чинавстречаетсяраз,
величинараз и т. д.

Среднее
арифметическое измеряемой величины
выразится

Рис. 1

К

ривые нормального распределения
для конечного (ступенчатая) и бесконечного
(плавная) числа измерений случайной
величины

Величины

приявляются вероятностями появ­ления
соответствующих значений измеряемой
величины. Поэтому:

.
(7)

При
большом числе измерений вероятность
появления случайных погрешностей
подчиняется закону нормального
распре­деления случайных величин
Гаусса. Для объяснения закона распределения
отложим на оси абсцисс значения
,
а на оси ординат,
где—
величина интервала (рис. 1)

Величина
–
есть плотность вероятности, т.е.
вероятность по­лучения измеряемой
величины;
приходящуюся на единичный интервалзначений измеряемой величины.

Площадь всех
прямоугольников:

.
(8)

Таким
образом, вероятность того, что измеряемая
величина а примет одно из значений в
пределах от
доравна
1. Если совершить предельный пере­ход
при,
то площадь всех прямоугольников заменится
площадью под сплошной кривой,
называемой кривой нормального
распределения, а сумма в выражении (8)
заменится интегралом

.(9)

Если
проинтегрировать последнее выражение,
например, в пределах от
до,
то мы получим вероятность того, что
значение измеряемой величины окажется
в указанных пределах.

Выражение
для плотности вероятности при
было найдено Гауссом

(10)

Здесь

—
отклонение измеряемой величины от её
среднего ариф­метического;

–рассеяние
результатов измерений относительно их
среднего значения или дисперсия
измерений.

На рис 2 показаны
кривые нормального распределения
случайных ошибок, по­строенные по
формуле (10) для двух

Рис.2

Кривые
нормального распределения для двух
значений параметра σ.

значений.
Причём, у кривой 1 эта вели­чина в два
раза меньше, чем у кривой 2. Кривые
распределения симметричны относительно
оси ординат, т.е. появление разных по
величине, но противопо­ложных по знаку
случайных погрешностей равновероятно.
В средней части кривые имеют выпуклость,
по обе стороны от которой находятся
точки пере­гиба а иb,
ниже которых кривые становятся вогнутыми,
асимптотически при­ближаясь к оси
абсцисс. Промежутки между точками
перегиба и осью ординат равны ±σ. Величину
σ называют средней
квадратичной ошибкой
или средним
квадратичным отклонением.
Для неограниченно большого числа
измерений (Ν→∞) 68,3% всех случайных
погрешностей лежат в интервале ±σ и
31,7% — вне его. Интервал ±2σ охватывает
95% всех случайных погрешностей. Ордината,
соответствующая,
обратно пропорциональна σ.

При
увеличении σ ордината φ(0) уменьшается.
Так как площадь под кривой распределения
всегда равна единице, то при увеличении
σ кривая распределения становится
более плоской, растягиваясь вдоль оси
абсцисс и, наоборот, при уменьшении σ
кри­вая вытягивается вверх. Таким
образом, малому значению σ соответствует
пре­обладание малых случайных
погрешностей и большая точность
измерения, при большом же значении σ
большие случайные погрешности встречаются
чаще, следовательно, точность измерений
меньше.

Для
оценки точности отдельного измерения
пользуются величиной
или средней квадратичной ошибкой
отдельного измерения

,
(11)

где
— ошибка отдельного измерения.

Для
оценки достоверности окончательного
результата всех измерений, принимаемого
равным среднему арифметическому
,
используют величину

.
(12)

называемую
средней квадратичной ошибкой среднего
арифметического.

Для
получения полного представления о
точности и надежности резуль­тата
измерения должны быть указаны доверительные
границы, доверительный интервал и
доверительная вероятность. Смысл этих
величин становится понят­ным при
рассмотрении рис. 3

Рис.3

Расположение
границ доверительного интервала

для
доверитель­ной вероятности α=0,683 на
кривой нормального распределения
ошибок.

Вероятность
того, что случайные ошибки не выйдут
за границы какого-либо интервала,
определяется площадью под кривой
распределения и называ­ется доверительной
вероятностью α. Интервал, симметрично
расположенный относительно ∆х=0 и
соответствующий выбранной доверительной
вероятности, называется доверительным
интервалом. Концы доверительного
интервала назы­ваются доверительными
границами.

При
доверительной вероятности α = 0,683
доверительный интервал равен
,
а доверительные границы будут равны:
нижняя —,
а верхняя —.

В
зависимости от назначения измерений
может быть задана и другая ве­роятность
α. Увеличение доверительного интервала
при этом учитывается вве­дением
коэффициента t.
Доверительные границы в этом случае
записываются так: нижняя граница
,
верхняяили сокращённо.
Значенияt
для наиболее употребительных доверительных
вероятно­стей при n→
∞ приведены в табл. 4.

Таблица 4

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

© 2016–2023 Matematika-club. Все права защищены.
Копирование материалов сайта запрещено.

Если у вас возникли вопросы по работе сайта или вы хотите сообщить об ошибке, вы можете обратиться в службу поддержки.