Абсолютная ошибка опыта это

Была ли эта статья полезной?

,

где
— абсолютное значение разности между
величинойх_i,
полученной вi– том измерении и
средним значением <х>. Абсолютная
погрешность опыта характеризует таким
образом качество проведённых измерений,
т. е. указывает, на сколько истинное
значение измеряемой величины может
отличаться от значения, измеренного в
опыте.

3. Для оценки точности, с которой
определена измеряемая величина,
используется понятие относительной
погрешности:

.

Таким образом, относительная погрешность
показывает, какая часть абсолютной
погрешности приходится на каждую единицу
измеряемой величины.

Пример. При измерении толщиныh
стеклянной пластинки с помощью
микрометра было сделано четыре измерения,
результаты которых занесены в табл. 1:

Таблица 1.

Результаты измерений толщины стеклянной
пластинки

№ измерения	h, мм	< h>, мм	Δ hi, мм	Δ h, мм	εh, %
1	3,82	3,84	— 0,02	0,03	0,8
2	3,85	+ 0,01
3	3,89	+ 0,05
4	3,80	— 0,04

1. По данным таблицы рассчитываем среднее
   значение толщины:

1. Определяем абсолютную погрешность
   опыта (серии измерений):

1. Определяем относительную погрешность:

При косвенных измеренияхискомую
величину вычисляют по результатам
прямого измерения других величин,
связанных с искомой определённой
функциональной зависимостьюy = f
(x₁,х₂,…,х_n).

Абсолютная и относительная погрешности
некоторых простейших функций приведены
в табл.2.

Таблица 2

Погрешности при косвенных измерениях
в простейших случаях

Вид функции	Абсолютная погрешность Δy	Относительная погрешность εy
1	2	3
x1 + x2	Δ x1 + Δ x2
1	2	3
x1 — x2	Δ x1 + Δ x2
x1 x2	x1 Δ x2 + x2 Δ x1	εx1 + εx2
x1 / x2		εx1 + εx2
xn	nxn-1 Δ x	nεx
ex	ex Δ x	Δx

Когда функция y = f (x₁,х₂,…,х_n)удобна для логарифмирования, то вначале
лучше рассчитать относительную
погрешность ε_yфункции (в %) и затем её абсолютную
погрешность

.

Пример. Ускорение свободного паденияgопределяется по результатам
измерений периодов колебанийТ₁иТ₂двух математических
маятников с длинамиl₁иl₂соответственно (l₁>l₂)
по формуле

,

где a= l₁—l₂.
Логарифмирование даёт lng=ln(4π²)
+lna–ln.
После дифференцирования lngс заменамиdaна ΔaиdТ на ΔТполучим:

(предполагается, что погрешности
независимых измерений Δa,ΔТ₁и ΔТ₂усиливают
друг друга, и поэтому их влияние
учитывается в формуле со знаком плюс).
Затем найдём абсолютную погрешность

,
где.

Окончательный результат вычислений
– среднее арифметическое измеряемой
величины записывают в виде числа из
нескольких разрядов. Цифры в этом числе
делятся на значащие и незначащие. К
значащим цифрам относятся все верные
и сомнительные цифры. К незначащим
относятся: а) нули в начале числа,
определяющие разряды десятичных дробей
в числах меньших единицы; б) нули в конце
числа, заменившие цифры после округления;
в) неверные цифры, если они не были
отброшены.

Для определения значащих цифр в
результате измерения необходимо
вычислить абсолютную погрешность опыта,
числовое значение которой тоже может
содержать несколько разрядов. Но
абсолютная погрешность показывает, в
каком разряде полученного результата
содержится неточность. Поэтому её
числовое значение всегда округляется
до одной значащей цифры, кроме того, в
случае когда эта цифра представляет
единицу – в этом случае округление
производится до цифры первого младшего
разряда. Тогда сохранение цифр меньших
разрядов в среднем арифметическом
измеряемой величины теряет смысл.

Пример. В нескольких опытах по
результатам измерений периода колебаний
математического маятника было проведено
с различной погрешностью определение
ускорения свободного падения:

неправильная запись результата
правильная запись результата

g= (10,1835±0,433) м/с²g=
(10,2±0,4) м/с²

g= (9,8167±0,053) м/с²g=
(9,82±0,05) м/с²

g= (9,9423±0,132) м/с²g=
(9,94 ±0,13) м/с²

g= (10,8261±2,026) м/с²g=
(11±2) м/с²

При записи измеренного значения х
последней, таким образом, должна
указываться цифра того десятичного
разряда, который был использован при
указании погрешности. Это правило должно
соблюдаться и в тех случаях, когда
некоторые из цифр являются нулями.
Пусть, например, при вычислении gв
предыдущем опыте было получено значение
9,88 м/с²(точно), а погрешность
составила ± 0,004 м/с², то окончательный
результат следует представить в таком
виде:

g= 9,880± 0,004 м/с².

При записи окончательного результата
измерения наряду с основными единицами
СИ и производными от них допускаются к
применению кратные единицы (например,
см, МПа, мВ и т.д.) в тех случаях, когда
это упрощает запись. Полученные в ходе
эксперимента результаты часто изображают
в виде графика.

При построении графика чаще всего
пользуются прямоугольной системой
координат, причем значения аргумента
откладывают по горизонтальной оси, а
значения функции по вертикальной оси.
Начало координат не обязательно должно
совпадать с нулевыми значениями функции
и аргумента. При выборе масштаба величин,
откладываемых на осях координат, исходят
из того, чтобы получить примерно равные
отрезки, которые соответствуют
установленным в опыте интервалам
численных значений функции и аргумента.
Например, по результатам измерения
показателя преломления п водного
раствора глюкозы был построен графикп= п(с), гдес — концентрация
глюкозы (рис.1). На рис.1а график удовлетворяет
необходимым требованиям. На рис. 1б
из-за неудачного выбора масштаба и
начала отсчета дляпзависимостьп(с)почти незаметна, и такой график
бесполезен для практического применения.

Рис. 1

Использование гpафических методов
облегчается в тех случаях, когда гpафик
представляет собой прямую линию. С целью
«спрямления» гpафика исследуемой
зависимости, имеющей сложный характер,
целесообразно использовать нелинейные
шкалы, например, логарифмическую,
квадратичную и т.д. или откладывать не
сами величины аргумента и функции, а их
логарифмы, степени, обратные значения.
Например, в работе «Исследование
теплового излучения чёрного тела» с
целью экспериментальной проверки закона
Стефана – Больцмана

R_э=σТ⁴,

где R_э–
энергетическая светимость тела, аТ– его абсолютная температура, по оси
абсцисс откладывают Т, а по оси ординат
—.

Выбрав рациональные масштаб и размеры
гpафика, на координатные оси наносят
деления через 10-20 мм и обозначают их.
Затем наносят экспериментальные точки,
с которыми совмещают прямоугольные
крестики, размеры которых вдоль осей
координат ОхиОуравны удвоенным
погрешностям соответственно 2Δхи
2Δув выбранном масштабе. По отмеченным
точкам проводят линию так, чтобы она
прошла как можно ближе к экспериментальным
точкам, и чтобы равное количество их
оказалось по обе стороны от этой линии.

Для построения графиков, как правило,
используют масштабно-координатную
(миллиметровую) бумагу.

Если в лабораторной работе по графику
определяется какая-либо константа,
например, как угловой коэффициент
экспериментальной прямой y = x₀+kx,
то в этом случае тангенс угла α наклона
прямой к оси абсцисс может быть определён
только с учётом соответствующих масштабов
и единиц измерения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

---

Подборка по базе: конспект к № 1 теория.docx, отчет Морозова (проверка на ошибки).docx, 3 ошибки, из-за которых тебя отправят служить.pdf, 2.Эконометрика для ИМИТ_ Теоретический материал 5_ Стандартные о, РЕЧЕВЫЕ ОШИБКИ ИИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ.docx, Письменная работа 1 теория управления реферат.docx, Найдите ошибки.docx, Негрубые ошибки.doc, Исправь ошибки (1).docx, рк 1 теория вероятности 19 вариант.pdf

---

Ч а с т ь I

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОШИБОК

Абсолютная и относительная ошибки

Никакую физическую величину невозможно измерить абсолютно точно: как бы тщательно ни был поставлен опыт, измеренное значение величины х будет отличаться от ее истинного значения Х. Разница между этими значениями представляет собой абсолютную ошибку (или абсолютную погрешность^*) измерения  х:

 х = х – Х. (1)

Абсолютная погрешность является размерной величиной: она выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина (например, абсолютная погрешность измерения длины выражается в метрах, силы тока – в амперах и т.д.). Как следует из выражения (1),  х может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

Хотя величина  х показывает, насколько измеренное значение отличается от истинного, одной лишь абсолютной ошибкой нельзя полностью характеризовать точность проделанного измерения. Пусть, например, известно, что абсолютная погрешность измерения расстояния равна 1 м. Если измерялось расстояние между географическими пунктами (порядка нескольких километров), то точность такого измерения следует признать весьма высокой; если же измерялись размеры помещения (не превышающие десятка метров), то измерение является грубым. Для характеристики точности существует понятие относительной ошибки (или относительной погрешности) Е, представляющей собой отношение модуля абсолютной ошибки к измеряемой величине:

. (2)

Очевидно, что относительная погрешность – величина безразмерная, чаще всего ее выражают в процентах.

При определении ошибок измерений важно иметь в виду следующее. Выражения (1) и (2) содержат истинное значение измеряемой величины Х, которое точно знать невозможно: поэтому значения  х и Е в принципе не могут быть рассчитаны точно. Можно лишь оценить эти значения, т.е. найти их приближенно с той или иной степенью достоверности. Поэтому все расчеты, связанные с определением погрешностей, должны носить приближенный (оценочный) характер.

Случайная и приборная погрешности

Разнообразные ошибки, возникающие при измерениях, можно классифицировать как по их происхождению, так и по характеру их проявления.

По происхождению ошибки делятся на инструментальные и методические.

Инструментальные погрешности обусловлены несовершенством применяемых измерительных приборов и приспособлений. Эти погрешности могут быть уменьшены за счет применения более точных приборов. Так, размер детали можно измерить линейкой или штанген-циркулем. Очевидно, что во втором случае ошибка измерения меньше, чем в первом.

Методические погрешности возникают из-за того, что реальные физические процессы всегда в той или иной степени отличаются от их теоретических моделей. Например, формула для периода колебаний математического маятника в точности верна лишь при бесконечно малой амплитуде колебаний; формула Стокса, определяющая силу трения при движении шарика в вязкой жидкости, справедлива только в случае идеально сферической формы и т.д. Обнаружить и учесть методическую погрешность можно путем измерения той же величины совершенно иным независимым методом.

По характеру проявления ошибки бывают систематические и случайные.

Систематическая погрешность может быть обусловлена как приборами, так и методикой измерения. Она имеет две характерные особенности. Во-первых, систематическая погрешность всегда либо положительна, либо отрицательна и не меняет своего знака от опыта к опыту. Во-вторых, систематическую погрешность нельзя уменьшить за счет увеличения числа измерений. Например, если при отсутствии внешних воздействий стрелка измерительного прибора показывает величину х₀ , отличную от нуля, то во всех дальнейших измерениях будет присутствовать систематическая ошибка, равная х₀ .

Случайная ошибка также может быть как инструментальной, так и методической. Причину ее появления установить трудно, а чаще всего – невозможно (это могут быть различные помехи, случайные толчки, вибрации, неверно взятый отсчет по прибору и т.д.). Случайная погрешность бывает и положительной и отрицательной, причем непредсказуемо изменяет свой знак от опыта к опыту. Значение ее можно уменьшить путем увеличения числа измерений.

Детальный анализ погрешностей измерения представляет собой сложную задачу, для решения которой не существует единого рецепта. Поэтому в каждом конкретном случае этот анализ проводят по-разному. Однако, в первом приближении, если исключена систематическая ошибка, то остальные можно условно свести к следующим двум видам: приборная и случайная.

Приборной погрешностью в дальнейшем будем называть случайную ошибку, обусловленную измерительными приборами и приспособлениями, а случайной – ошибку, причина появления которой неизвестна. Приборную погрешность измерения величины х будем обозначать как х, случайную – как _s x.

Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал

Методика оценки случайной погрешности основана на положениях теории вероятностей и математической статистики. Оценить случайную ошибку можно только в том случае, когда проведено неоднократное измерение одной и той же величины.

Пусть в результате проделанных измерений получено п значений величины х: х₁ , х₂ , …, х_п . Обозначим через среднеарифметическое значение

. (3)

В теории вероятностей доказано, что при увеличении числа измерений п среднеарифметическое значение измеряемой величины приближается к истинному:

При небольшом числе измерений (п  10) среднее значение может существенно отличаться от истинного. Для того, чтобы знать, насколько точно значение характеризует измеряемую величину, необходимо определить так называемый доверительный интервал полученного результата.

Поскольку абсолютно точное измерение невозможно, то вероятность правильности утверждения «величина х имеет значение, в точности равное » равна нулю. Вероятность же утверждения «величина х имеет какое-либо значение» равна единице (100%). Таким образом, вероятность правильности любого промежуточного утверждения лежит в пределах от 0 до 1. Цель измерения – найти такой интервал, в котором с наперед заданной вероятностью (0 <  < 1) находится истинное значение измеряемой величины. Этот интервал называется доверительным интервалом, а неразрывно связанная с ним величина  – доверительной вероятностью (или коэффициентом надежности). За середину интервала принимается среднее значение, рассчитанное по формуле (3). Половина ширины доверительного интервала представляет собой случайную погрешность _s x (рис. 1).

Рис.1
Очевидно, что ширина доверительного интервала (а следовательно, и ошибка _s x) зависит от того, насколько сильно отличаются отдельные измерения величины х_i от среднего значения . «Разброс» результатов измерений относительно среднего характеризуется среднеквадратичной ошибкой  , которую находят по формуле

, (4)

где .

Ширина искомого доверительного интервала прямо пропорциональна среднеквадратичной ошибке:

. (5)

Коэффициент пропорциональности t_n, называется коэффициентом Стьюдента; он зависит от числа опытов п и доверительной вероятности .

На рис. 1, а, б наглядно показано, что при прочих равных условиях для увеличения вероятности попадания истинного значения в доверительный интервал необходимо увеличить ширину последнего (вероятность «накрывания» значения Х более широким интервалом выше). Следовательно, величина t_n, должна быть тем больше, чем выше доверительная вероятность .

С увеличением количества опытов среднее значение приближается к истинному; поэтому при той же вероятности  доверительный интервал можно взять более узким (см. рис. 1, а,в). Таким образом, с ростом п коэффициент Сьюдента должен уменьшаться. Таблица значений коэффи-циента Стьюдента в зависимости от п и  дана в приложениях к настоящему пособию.

Следует отметить, что доверительная вероятность никак не связана с точностью результата измерений. Величиной  задаются заранее, исходя из требований к их надежности. В большинстве технических экспериментов и в лабораторном практикуме значение  принимается равным 0,95.

Расчет случайной погрешности измерения величины х проводится в следующем порядке:

1) вычисляется сумма измеренных значений, а затем – среднее значение величины по формуле (3);

2) для каждого i-го опыта рассчитываются разность между измеренным и средним значениями , а также квадрат этой разности (отклонения) ( х_i)² ;

3) находится сумма квадратов отклонений, а затем – средне-квадратичная ошибка  по формуле (4);

4) по заданной доверительной вероятности  и числу проведенных опытов п из таблицы на с. 149 приложений выбирается соответствующее значение коэффициента Стьюдента t_n, и определяется случайная погрешность _s x по формуле (5).

Для удобства расчетов и проверки промежуточных результатов данные заносятся в таблицу, три последних столбца которой заполняются по образцу табл.1.

Таблица 1

Номер опыта	…	х	 х	( х)2
1	…
2	…
…	…
п	…
	 =		 =

В каждом конкретном случае величина х имеет определенный физический смысл и соответствующие единицы измерения. Это может быть, например, ускорение свободного падения g (м/с²), коэффициент вязкости жидкости  (Пас) и т.д. Пропущенные столбцы табл. 1 могут содержать промежуточные измеряемые величины, необходимые для расчета соответствующих значений х.
Пример 1. Для определения ускорения а движения тела измерялось время t прохождения им пути S без начальной скорости. Используя известное соотношение , получим расчетную формулу

. (6)

Результаты измерений пути S и времени t приведены во втором и третьем столбцах табл. 2. Проведя вычисления по формуле (6), заполним

четвертый столбец значениями ускорения a_i и найдем их сумму, которую запишем под этим столбцом в ячейку «  = ». Затем рассчитаем среднее значение по формуле (3)

.

Таблица 2

Номер опыта	S, м	t, c	а, м/с2	а, м/с2	(а)2, (м/с2)2
1	5	2,20	2,07	0,04	0,0016
2	7	2,68	1,95	-0,08	0,0064
3	9	2,91	2,13	0,10	0,0100
4	11	3,35	1,96	-0,07	0,0049
		 =	8,11	 =	0,0229

Вычитая из каждого значения a_i среднее, найдем разности  a_i и занесем их в пятый столбец таблицы. Возводя эти разности в квадрат, заполним последний столбец. Затем рассчитаем сумму квадратов отклонений и запишем ее во вторую ячейку «  = ». По формуле (4) определим среднеквадратичную погрешность:

.

Задавшись величиной доверительной вероятности  = 0,95, для числа опытов п = 4 из таблицы в приложениях (с. 149) выбираем значение коэффициента Стьюдента t_n,  = 3,18; с помощью формулы (5) оценим случайную погрешность измерения ускорения

_s а = 3,180,0437  0,139 (м/с²) .

Способы определения приборных ошибок

Основными характеристиками измерительных приборов являются предел измерения и цена деления, а также – главным образом для электро-измерительных приборов – класс точности.

Предел измерения П – это максимальное значение величины, которое может быть измерено с помощью данной шкалы прибора. Если предел измерения не указан отдельно, то его определяют по оцифровке шкалы. Так, если рис. 2 изображает шкалу миллиамперметра, то его предел измерения равен 100 мА.

Р
ис.2

Цена деления Ц – значение измеряемой величины, соответствующее самому малому делению шкалы. Если шкала начинается с нуля, то

,

где N – общее количество делений (например, на рис. 2 N = 50). Если эта шкала принадлежит амперметру с пределом измерения 5 А, то цена деления равна 5/50 = 0,1 (А). Если шкала принадлежит термометру и проградуирована в С, то цена деления Ц = 100/50 = 2 (С). Многие электроизмерительные приборы имеют несколько пределов измерения. При переключении их с одного предела на другой изменяется и цена деления шкалы.

Класс точности К представляет собой отношение абсолютной приборной погрешности к пределу измерения шкалы, выраженное в процентах:

. (7)

Значение класса точности (без символа «%») указывается, как правило, на электроизмерительных приборах.

В зависимости от вида измерительного устройства абсолютная приборная погрешность определяется одним из нижеперечисленных способов.

1. Погрешность указана непосредственно на приборе. Так, на микрометре есть надпись «0,01 мм». Если с помощью этого прибора измеряется, например, диаметр шарика D (лабораторная работа 1.2), то погрешность его измерения D = 0,01 мм. Абсолютная ошибка указывается обычно на жидкостных (ртутных, спиртовых) термометрах, штангенциркулях и др.

2. На приборе указан класс точности. Согласно определению этой величины, из формулы (7) имеем

. (8)

Например, для вольтметра с классом точности 2,5 и пределом измерения 600 В абсолютная приборная ошибка измерения напряжения

.

3. Если на приборе не указаны ни абсолютная погрешность, ни класс точности, то в зависимости от характера работы прибора возможны два способа определения величины х:

а) указатель значения измеряемой величины может занимать только определенные (дискретные) положения, соответствующие делениям шкалы (например, электронные часы, секундомеры, счетчики импульсов и т.п.). Такие приборы являются приборами дискретного действия, и их абсолютная погрешность равна цене деления шкалы: х = Ц. Так, при измерении промежутка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с погрешность t = 0,2 с;

б) указатель значения измеряемой величины может занимать любое положение на шкале (линейки, рулетки, стрелочные весы, термометры и т.п.). В этом случае абсолютная приборная погрешность равна половине цены деления: х = Ц/2. Точность снимаемых показаний прибора не должна превышать его возможностей. Например, при показанном на рис. 3 положении стрелки прибора следует записать либо 62,5 либо 63,0 – в обоих случаях ошибка не превысит половины цены деления. Записи же типа 62,7 или 62,8 не имеют смысла.

Рис.3
4. Если какая-либо величина не измеряется в данном оыте, а была измерена независимо и известно лишь ее значение, то она является заданным параметром. Так, в работе 2.1 по определению коэффициента вязкости воздуха такими параметрами являются размеры капилляра, в опыте Юнга по интерференции света (работа 5.1) – расстояние между щелями и т.д. Погрешность заданного параметра принимается равной половине единицы последнего разряда числа, которым задано значение этого параметра. Например, если радиус капилляра r задан с точностью до сотых долей миллиметра, то его погрешность r = 0,005 мм.

Погрешности косвенных измерений
В большинстве физических экспериментов искомая величина и не измеряется непосредственно каким-либо одним прибором, а рассчитывается на основе измерения ряда промежуточных величин x, y, z,… Расчет проводится по определенной формуле, которую в общем виде можно записать как

и = и( x, y, z,…). (9)

В этом случае говорят, что величина и представляет собой результат косвенного измерения в отличие от x, y, z,…, являющихся результатами прямых измерений. Например, в работе 1.2 коэффициент вязкости жидкости  рассчитывается по формуле

, (10)

где _ш – плотность материала шарика; _ж – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; D – диаметр шарика; t – время его падения в жидкости; l – расстояние между метками на сосуде. В данном случае результатами прямых измерений являются величины l, D и t, а коэффициент вязкости  – результат косвенного измерения. Величины _ш, _ж и g представляют собой заданные параметры.

Абсолютная погрешность косвенного измерения и зависит от погрешностей прямых измерений x, y, z…и от вида функции (9). Как правило, величину и можно оценить по формуле вида

, (11)

где коэффициенты k_x , k_y , k_z ,… определяются видом зависимостей величины и от x, y, z,… Приведенная ниже табл. 3 позволяет найти эти коэффициенты для наиболее распространенных элементарных функций (a, b, c, n – заданные константы).

Таблица 3

и(х)	kx

На практике зависимость (9) чаще всего имеет вид степенной функции

,

показатели степеней которой k, m, n,… – вещественные (положительные или отрицательные, целые или дробные) числа; С – постоянный коэффициент. В этом случае абсолютная приборная погрешность и оценивается по формуле

, (12)

где – среднее значение величины и; – относительные приборные погрешности прямых измерений величин x, y, z,… Для подстановки в формулу (12) выбираются наиболее представительные, т.е. близкие к средним значения x, y, z,…

При расчетах по формулам типа (12) необходимо помнить следующее.

1. Измеряемые величины и их абсолютные погрешности (например, х и х) должны быть выражены в одних и тех же единицах.

2. Расчеты не требуют высокой точности вычислений и должны иметь оценочный характер. Так, входящие в подкоренное выражение и возводимые в квадрат величины ( kE_x ,  mE_y ,  nE_z ,…) обычно округляются с точностью до двух значащих цифр (напомним, что ноль является значащей цифрой только тогда, когда перед ним слева есть хотя бы одна цифра, отличная от нуля). Далее, если одна из этих величин (например, | kE_x | ) по модулю превышает наибольшую из остальных ( | mE_y | ,  | nE_z | ,…) более чем в три раза, то можно, не прибегая к вычислениям по формуле (12), принять абсолютную ошибку равной . Если же одна из них более чем в три раза меньше наименьшей из остальных, то при расчете по формуле (12) ею можно пренебречь.
Пример 2. Пусть при определении ускорения тела (см. пример 1) путь S измерялся рулеткой с ценой деления 1 мм, а время t – электронным секундомером. Тогда, в соответствии с изложенными в п.3, а, б (с. 13) правилами, погрешности прямых измерений будут равны

 S = 0,5 мм = 0,0005 м;

 t = 0,01 с.

Расчетную формулу (6) можно записать в виде степенной функции

a( S, t) = 2S ¹t ^– 2 ;

тогда на основании (12) погрешность косвенного измерения ускорения а определится выражением

.

В качестве наиболее представительных значений измеренных величин возьмем (см. табл. 2) S  8 м; t  3 с и оценим по модулю относительные приборные ошибки прямых измерений с учетом их весовых коэффициентов:

;

.

Очевидно, что в данном случае величиной E_S можно пренебречь и принять погрешность а равной

Пример 3. Вернемся к определению коэффициента вязкости жидкости (работа 1.2). Расчетную формулу (10) можно представить в виде

,

где . Тогда для оценки приборной погрешности , согласно (12), получим выражение

, (13)

где .

Пусть расстояние между метками l измерено сантиметровой лентой с ценой деления 0,5 см, диаметр шарика – микрометром, время его падения – электронным секундомером. Тогда l = 0,25 см; D = 0,01 мм; t = 0,01 с. Предположим, что измеренные значения равны: l  80 cм; D  4 мм; t  10 с; Пас. Оценим величины, входящие в формулу (13):

Пренебрегая величиной Е_t , проведем расчет по формуле (13):

.
Полная ошибка. Окончательный результат измерений
В результате оценки случайной и приборной ошибок измерения величины х получено два доверительных интервала, характеризуемые значениями _s x и х. Результирующий доверительный интервал характеризуется полной абсолютной ошибкой , которая, в зависимости от соотношения между величинами _s x и х, находится следующим образом.

Если одна из погрешностей более чем в три раза превышает другую (например, _s x > 3х), то полная ошибка  принимается равной этой большей величине (в приведенном примере   _s x). Если же величины _s x и х близки между собой, то полная ошибка вычисляется как

. (14)
Запись окончательного результата измерений должна включать в себя следующие обязательные элементы.

1) Доверительный интервал вида

с указанием значения доверительной вероятности  . Величины и  выражаются в одних и тех же единицах измерения, которые выносятся за скобку.

2) Значение полной относительной погрешности

,

выраженное в процентах и округленное до десятых долей.
Полная ошибка  округляется до двух значащих цифр. Если полученное после округления число оканчивается цифрами 4, 5 или 6, то дальнейшее округление не производится; если же вторая значащая цифра 1, 2, 3, 7, 8 или 9, то значение  округляется до одной значащей цифры (примеры: а) 0,2642  0,26; б) 3,177  3,2  3; в) 7,8310 ^– 7   810 ^– 7  и т.д.). После этого среднее значение округляется с той же точностью.
Пример 4. В результате определения ускорения движения тела (примеры 1 и 2) получено среднее значение ускорения = 2,03 м/с², случайная ошибка _s а = 0,139  м/с² с доверительной вероятностью  = 0,95 и приборная ошибка а = 0,0136  м/с². Так как а более чем в десять раз меньше _s а, то ею можно пренебречь и принять округленную полную абсолютную погрешность равной   _s а  0,14 м/с². Оценим относительную ошибку:

и запишем окончательный результат измерений:

Пример 5. Пусть при определении скорости звука и (лабораторная работа 4.2) получены следующие результаты: среднее значение = 343,3 м/с; случайная погрешность _s и = 8,27 м/с при  = 0,90; абсолютная приборная погрешность и = 1,52 м/с. Очевидно, что и в данном случае величиной и можно пренебречь по сравнению с _s и, и расчет по формуле (14) не требуется. Полная ошибка после округления равна   _s и  8 м/с; округленное среднее значение  343 м/с. Полная относительная погрешность

.

Окончательный результат измерений имеет вид

Пример 6. При определении длины волны  лазерного излучения (работа 5.1) получено: при  = 0,95;  = 1,8610 ^— 5 мм. В данном случае значения приборной и случайной погрешностей близки между собой, поэтому полную ошибку найдем по формуле (14):

.

Округленное среднее будет равно мм. Оценим полную относительную ошибку

и запишем окончательный результат:

Е = 4,4 %.

Разница между абсолютной ошибкой и относительной ошибкой

Содержание

• Ключевое различие — абсолютная ошибка против относительной ошибки
   
• Что такое абсолютная ошибка?
• Что такое относительная ошибка?
• В чем разница между абсолютной ошибкой и относительной ошибкой?
•  
•  

Ключевое различие — абсолютная ошибка против относительной ошибки
 

Абсолютная ошибка и относительная ошибка — это два способа указания ошибок в экспериментальных измерениях, хотя существует разница между абсолютной ошибкой и относительной ошибкой на основе их расчета. Большинство измерений в научных экспериментах содержат ошибки из-за инструментальных ошибок и ошибок человека. В некоторых случаях для конкретного измерительного прибора существует заранее определенное постоянное значение абсолютной погрешности. (Наименьшее показание. Например: — линейка = +/- 1 мм.) Это разница между истинным значением и экспериментальным значением. Однако относительная ошибка варьируется в зависимости от экспериментального значения и абсолютной ошибки. Он определяется отношением абсолютной ошибки к экспериментальному значению. Таким образом ключевое отличие между абсолютной ошибкой и относительной ошибкой, абсолютная ошибкаэтовеличина разницы между точным значением и приближением в то время как Относительная погрешность рассчитывается путем деления абсолютной погрешности на величину точного значения.

Что такое абсолютная ошибка?

Абсолютная ошибка — это показатель неопределенности измерения. Другими словами, он измеряет, в какой степени истинное значение может отличаться от экспериментального. Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и измерения.

Пример: Допустим, мы хотим измерить длину карандаша с помощью линейки с миллиметровыми отметками. Мы можем измерить его длину с точностью до миллиметра. Если вы получите значение 125 мм, оно будет выражено как 125 +/- 1 мм. Абсолютная погрешность составляет +/- 1 мм.

Что такое относительная ошибка?

Относительная ошибка зависит от двух переменных; абсолютная погрешность и экспериментальное значение измерения. Следовательно, эти два параметра должны быть известны для расчета относительной ошибки. Относительная ошибка вычисляется как отношение абсолютной ошибки к экспериментальному значению. Выражается в процентах или дробях; так что в нем нет единиц.

Относительная ошибка интегрирования Монте-Карло для вычисления числа пи

В чем разница между абсолютной ошибкой и относительной ошибкой?

Определение абсолютной ошибки и относительной ошибки

Абсолютная ошибка:

Абсолютная ошибка — это значение Δx (+ или — значение), где x — переменная; это физическая погрешность измерения. Он также известен как фактическая ошибка измерения.

Другими словами, это разница между истинным значением и экспериментальным значением.

Абсолютная ошибка = фактическое значение — измеренное значение

Относительная ошибка:

Относительная ошибка — это отношение абсолютной ошибки (Δx) к измеренному значению (x). Он выражается либо в процентах (процентная погрешность), либо в виде дроби (дробная погрешность).

 

Единицы и расчет абсолютной погрешности и относительной погрешности

Единицы

Абсолютная ошибка:

Он имеет те же единицы измерения, что и измеренное значение. Например, если вы измеряете длину книги в сантиметрах (см), абсолютная ошибка также будет иметь те же единицы.

Относительная ошибка:

Относительная погрешность может быть выражена в виде дроби или процента. Однако у обоих нет единицы в стоимости.

Расчет ошибок

Пример 1:Фактическая длина земли составляет 500 футов. Измерительный прибор показывает, что длина составляет 508 футов.

Абсолютная ошибка:

Абсолютная ошибка = [Фактическое значение — измеренное значение] = [508-500] футов = 8 футов

Относительная ошибка:

В процентах:

В виде дроби:

 

Пример 2:

Студент хотел измерить высоту стены в комнате. Он измерил значение с помощью метровой линейки (с точностью до миллиметра), оно составило 3,215 м.

Абсолютная ошибка:

Абсолютная погрешность = +/- 1 мм = +/- 0,001 м (Наименьшее значение, которое можно прочитать с помощью линейки)

Относительная ошибка:

Относительная погрешность = Абсолютная погрешность ÷ Экспериментальное значение = 0,001 м ÷ 3,215 м * 100 = 0,0003%