Абсолютные ошибки приближенных значений производной

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями  0,5 см  и линейка с
делениями  1 мм. В обоих случаях получен результат  3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины  3,5
см  от истинной, не
должно по модулю превышать  0,5 см, во втором случае 
0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае  ∆l = 0,5  и, следовательно,

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1  и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

Длина листа бумаги формата  А4  равна  (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно  (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.

РЕШЕНИЕ:

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной  погрешности не
превышает  1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает  0,1 см на  29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 
1 км 
на  650 км, что в процентном соотношении составляет

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата  А4.

Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.

Относительная погрешность.

Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах. 

Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.

ПРИМЕР:

Округлим дробь  14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины 
b 
стекла и длины  l  книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до  0,1,

l ≈ 100 с
точностью до  0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит  0,1. Однако  0,1  составляет
существенную часть числа  0,4  и
ничтожную часть числа  100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.

В результате измерения нашли,
что  b ≈ 0,4  с точностью до  0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит  0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно

то есть относительная погрешность приближения не превосходит  25%.

Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до  25%,
а во втором – с относительной точностью до  0,1%.

ПРИМЕР:

Если взять абсолютную погрешность в  1
см,  при измерении длины отрезков  10
см  и  10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны  10%  и  0,1%. Для
отрезка длиной в  10 см  погрешность
в  1
см  очень велика, это ошибка в  10%. А для десятиметрового отрезка  1 см  не имеет значения, эта ошибка всего в   0,1%.

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.

В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало  3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает  50
г. Относительная погрешность не превосходит 

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.

В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять  50 г, а за предельную относительную погрешность  1,4%.

Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность 
100 г, 150 г  и вообще всякое
число, большее чем  50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число  4,78  без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет  0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.

Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой  δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой  а, 

1. Погрешности значения функции

При
вычислении значения функции
в точке(считаемприближенным значением точного числа)
возникают погрешности – предельная
абсолютнаяи предельная относительная.
Выразим эти погрешности через погрешности
числа(будем полагать, что функциядифференцируема в точке).

Так
как функция
дифференцируема в точке,
то

,
(4.1)

где
мало при малом(иными словами, слагаемымв формуле (4.1) можно пренебречь, еслимало).

Учитывая
равенство (4.1), истинная абсолютная
погрешность
будет оцениваться неравенством
(приближенным)

,

откуда по определению
предельной абсолютной погрешности

. (4.2)

Итак,
предельная
абсолютная погрешность значения функции
в точке
(– приближенное число) равна произведению
модуля производной этой функции в точкена предельную абсолютную погрешность
числа.

Соответственно
предельная относительная погрешность
вычисляется следующим образом

=. (4.3)

Найдем
с помощью формул (4.2), (4.3) погрешности
значений основных элементарных функций.

Пусть
(– действительное число). Тогда

,
.

В
частности при
:.

Пусть
.
Тогда

,
.

Пусть
.
Тогда

,
.

В
частности, если
,
то.

Аналогично
определяются погрешности значений
других основных элементарных функций
(см. таблицу 4.1).

Таблица 4.1.

Пример
4.1. Дана
функция
.
Протабулировать ее на отрезке(считать),
разбив его наравных частей (все расчеты проводить с
4 знаками после запятой). Вычислить
предельные абсолютные, относительные
погрешности значений функции в узлах
табулирования.

Решение:
Протабулировать функцию
на отрезкес постоянным шагомозначает составить таблицу значений,(точкиназываются узлами табулирования), где

. (4.4)

В
нашем случае
,,;
узлы определяются следующим образом:

. (4.5)

Вычислим значения
функции в узлах табулирования (4.5):

.

Имеем
,;

,
3,3261,

,

и так далее.

Все
вычисления значения функции в узлах
табулирования заполняем в таблицу 4.2.

Учитывая
формулы (4.2), (4.3), находим погрешности в
узлах (4.5) (при этом число
можно считать точным, а тогда;
в остальных же узлах (4.5),00005)

,
.

Таблица 4.2.

1. Полиномиальные интерполяции

Весьма
редко удается решить задачу прямыми
аналитическими методами, тем более
реализовать решение в виде вычислительного
алгоритма. Основными требованиями к
алгоритму являются:

—
изменяемость в зависимости от начальных
(исходных) условий, т.е. путь решения
должен быть по возможности универсальным;

—
схематизированность (однозначно должна
быть определена последовательность
действий),

—
рекурсированность – рекурсированный
алгоритм состоит из небольших частей,
которые неоднократно реализуются для
различных наборов значений;

—
решение, реализуемое алгоритмом должно
быть конечным, т.е. должно приводить к
конечному результату за конечное число
шагов. Другими словами, не должно
существовать различного рода расходимостей
(например, часто встречаются т.н.
логарифмические расходимости вида
,
разрывы первого и второго родов, скачки
значений производных и т.д.), которые
могут оказать существенное влияние на
конечный результат. Поэтому реализации
алгоритма непосредственно на ЭВМ должен
предшествовать тщательный анализ задачи
с целью выявления различных особенностей
в поведении исследуемого процесса.

Последнее требование
представляется авторам наиболее важным
с точки зрения достоверности получаемых
результатов вычисления.

Часто
при обработке статистических данных
возникает задача замены аналитического
описания некоторого реального процесса
на другое, более удобное с точки зрения
дальнейших математических преобразований.
Т.е. мы заменяем некоторую функцию f(x)
(известную, неизвестную, частично
известную), другой ψ(x),
полученной в результате некоторых
преобразований. В зависимости от цели
исследования выбирается метод
интерполяции¹
или экстраполяции — процесс построения
приближенного или аппроксимирующего
многочлена соответственно внутри и вне
промежутка исследования. Так как методики
интерполяции и экстраполяции практически
не отличаются друг от друга, то в
дальнейшем будем ограничиваться
примерами интерполяции. В связи с этим
вышеупомянутую процедуру должен
предварять анализ исходной зависимости
f(x),
а именно:

1. Способ
   и интервал задания функции (аналитический
   или табличный);

2. Оценка степени
   гладкости функции, имеется ли возможность
   определения производных;

3. Требования
   к интерполирующей функции ψ(x)
   (определение ее класса);

4. Определение
   критерия качества интерполяции, иначе
   говоря, задание способа оценки погрешности
   интерполяции. Необходимо в первую
   очередь определить источники погрешностей.
   Чаще всего наиболее существенное
   влияние оказывают следующие:

— погрешность
исходных данных;

— погрешность
метода;

— погрешность
округления;

Погрешность
исходных данных, как правило, легче
всего поддается оценке и соответствующей
корректировке. Более того, часто удается
получить точную аналитическую формулу
ошибок, исходя из выводов теории
вероятностей и математической статистики.

Так
как вычислительный алгоритм является
рекурсивным, состоящим из целого ряда
операций, то происходит т.н. накопление
погрешностей: погрешности результата
каждого шага оказываются исходными для
следующей операции, поэтому точный
анализ погрешностей оказывается
трудновыполнимым и приходится
ограничиваться доверительными оценками.

Сформулируем
основные положения.

Первое.
Будем рассматривать как таблично, так
и аналитически заданные функции.

Второе.
В основном будем использовать
полиномиальную или кусочно-полиномиальную
интерполяцию, т.е. рассматривать в
качестве аппроксимирующих функций ψ(x)
только многочлены. Данная форма ψ(x)
выглядит в большинстве случаев более
предпочтительной с точки зрения упрощения
дальнейших математических действий
(дифференцирования, интегрирования).
Другие виды приближений (тригонометрическое,
экспоненциальное и пр.) будут применены
в следующих разделах.

Третье.
Построение аппроксимирующего многочлена
и оценку погрешности будем производить
с помощью функционалов

(1)

(2)

соответственно
для непрерывных и дискретных функций.
Оценка погрешности (степени близости
функций f(x)
и ψ(x))
по формулам (1) и (2) смысл среднеквадратичной
погрешности.

Будем
называть вычислительный метод устойчивым,
если для любого
существует такое,
что максимальная погрешность результата
вычислений меньшепри максимальной погрешности исходных
данных меньше.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Приближённые вычисления
2. Абсолютная и относительная погрешности
3. Выполнение действий над приближёнными числами
4. Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью  приближённой называется модуль разности между точным значением величины  и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа  числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность  невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях  пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра  называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется  сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку  а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число  можно записать в виде  , число  в виде  Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе  верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде: 

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись  означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись 

3. Если 

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³ — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например,  будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  (омега) приближённости х величины  называется отношением абсолютной погрешности  этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть 

Поскольку абсолютная погрешность  обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль: 

Число  называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа 

Решение: Имеем 

Следовательно 

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что  .

Решение: 

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения —  исходные данные;  пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения  и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ: 

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения   и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата: 

Ответ: 

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила. 

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.