Как избежать грубых ошибок при геодезических измерениях

СТРОИТЕЛЬСТВО. Проектирование и строительство дорог, мостов и тоннелей

D0l.org/10.5281/zenodo.1408243 УДК 528.1

М.Д. Герасименко, В.М. Каморный

ГЕРАСИМЕНКО МИХАИЛ ДАНИЛОВИЧ — д.т.н., профессор, главный научный сотрудник, e-mail: mdg@iam.dvo.ru Институт прикладной математики ДВО РАН

(Кафедра геодезии, землеустройства и кадастра Инженерной школы ДВФУ) КАМОРНЫЙ ВАЛЕРИЙ МИХАЙЛОВИЧ — к.т.н., профессор кафедры геодезии, землеустройства и кадастра Инженерной школы, e-mail: kamornyy.vm@dvfu.ru Дальневосточный федеральный университет Суханова ул., 8, Владивосток, 690091

О методах поиска и отбраковки грубых ошибок геодезических измерений

Аннотация: Изложены теоретические основы известной методики выявления и локализации грубых ошибок измерений по поправкам из уравнивания. Обобщены и дополнены достигнутые результаты работы с ее применением. Основы методики заложены еще в 60-х годах прошлого века, но в отечественной геодезической литературе она, к сожалению, до сих пор не нашла должного освещения, хотя при современных способах регистрации измерений и вычислений проблема автоматизированного поиска возможных грубых ошибок является весьма актуальной. Указывается на достоинства и недостатки методики. Эта тема важна при геодезическом обеспечении строительства дорог, тоннелей, других сооружений и объектов. Ключевые слова: уравнивание, поправки измерений, грубые ошибки геодезических измерений.

Введение

В классической теории математической обработки геодезических измерений проблеме поиска грубых ошибок измерений уделялось сравнительно мало внимания. Предполагалось, что такие ошибки должны быть выявлены и исключены до уравнивания применением соответствующей методики измерений и дальнейшим анализом невязок условных уравнений. Этот способ при ручном счете, в зависимости от числа и расположения грубых ошибок в геодезической сети, а также, что особенно важно, от ее сложности, часто оказывается слишком трудоемким и нереализуемым даже для опытного вычислителя.

Между тем практика показала, что в последнее время проблема выявления грубых ошибок измерений обострилась в связи с применением современных методов автоматизированного сбора измерительной информации и ее математической обработки. Эти массивы информации часто вручную детально не анализируются, поэтому в окончательную обработку могут поступать измерения, содержащие грубые ошибки. Причинами их появления могут быть неточность наведения прибора на визирную цель (погрешности идентификации цели),

© Герасименко М.Д., Каморный В.М., 2018

О статье: поступила: 15.01.2018; финансирование: работа выполнена при частичной поддержке Комплексной программы фундаментальных научных исследований ДВО РАН «Дальний Восток» на 2018 г.

регистрации отсчетов, нумерации пунктов, ошибочное редуцирование, влияние внешней среды и др.

Подобная проблема особенно часто возникает в сложных для наблюдений условиях, при построении геодезических сетей специального назначения, предназначенных для выноса в натуру крупных уникальных инженерных объектов, их геодезического сопровождения в процессе строительства, а также наблюдения за возможными деформациями в процессе эксплуатации.

По указанным причинам при современных способах регистрации измерений и вычислений проблема автоматизированного поиска возможных грубых ошибок является весьма актуальной. Ее решению в последние десятилетия в зарубежной геодезической литературе посвящено множество публикаций [7-12; и др.]. Разрабатываемая методика базируется на анализе результатов уравнивания и выявления грубых ошибок по поправкам из уравнивания. Основы такой методики заложены еще в 60-х годах прошлого столетия голландским профессором В. Баарда, но в отечественной геодезической литературе она, к сожалению, до сих пор не нашла должного освещения. Причем в некоторых публикациях по данной теме по разным причинам, обычно c теоретическими погрешностями и грубыми арифметическими промахами в иллюстративных вычислениях, иногда даже отрицается возможность поиска грубых ошибок по поправкам из уравнивания, на что указывает В.А. Коугия [4, 5].

Поиск и локализация грубых ошибок по результатам уравнивания, к сожалению, не является тривиальной задачей. Проблема состоит в том, что нельзя отождествлять максимальную по модулю недопустимую поправку с грубым результатом измерения, так как в зависимости от геометрии сети максимальное влияние грубой ошибки может проявиться не на соответствующей поправке, а совсем в другом месте геодезической сети [7, 8, 10-12; и др.]. Дело в том, что грубая ошибка при уравнивании «расплывается» и сказывается не только на соответствующей поправке, но и на других поправках измерений. Для решения этой проблемы используются, в частности, средние квадратические ошибки поправок, которые вычисляются с использованием обратной матрицы коэффициентов нормальных уравнений параметрического способа уравнивания.

Цель настоящей статьи — обобщение результатов и дополнение достигнутых успехов в области поиска и локализации грубых ошибок измерений по результатам уравнивания.

Алгоритм поиска грубых ошибок по поправкам из уравнивания

Пусть имеется линеаризованная система уравнений поправок:

V = ЛЗХ + Ь = (Е — Ш-1 ЛТР)Ь, (1)

где V — вектор поправок к результатам измерений, А — матрица коэффициентов уравнений поправок, 5Х — вектор поправок к приближенным значениям параметров, Ь — вектор свободных членов, матрица нормальных уравнений N = ЛТРА, Р — диагональная весовая матрица независимых измерений, Е — единичная матрица.

Из выражения (1) следует, что при нормальности распределения ошибок измерений поправки V также распределены нормально и при отсутствии систематических ошибок измерений имеют нулевое математическое ожидание при дисперсиях . Тогда можно установить [ 1] допустимое значение поправок t — а , которое не может быть превышено с уровнем значимости а , т.е. вероятность

Р(у,| < I-а) = 1 -а. (2)

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 3(36)

Иначе говоря, поправки, удовлетворяющие неравенству | > г • су, можно предполагать недопустимыми. Для недопустимых нормированных поправок, что удобнее, особенно если дальнейший анализ и отбраковка измерений производятся вручную, имеем для заданного числа /, зависящего, согласно (2), от уровня значимости а , выражение

>г . (3)

Критерием (3) проверяются все поправки. Если ему удовлетворяют несколько поправок, грубая ошибка предполагается в измерении с максимальным значением нормированной поправки. Его исключают из обработки и всю процедуру уравнивания и отбраковки повторяют до тех пор, пока все грубые ошибки не будут исключены [5, 7; и др.]. В случае наличия в измеренной информации нескольких грубых ошибок задача их поиска существенно усложняется и не всегда может быть эффективно решена, причем главная опасность состоит в том, что будут отбракованы доброкачественные измерения. Этот недостаток, впрочем, не столь существенен, нежели пропуск грубой ошибки, особенно в ситуации, когда число избыточных измерений велико, как это часто наблюдается в высокоточных инженерно-геодезических сетях специального назначения. Облегчается поиск имеющихся нескольких грубых ошибок тогда, когда они располагаются на удалении в разных частях сети.

Не следует забывать и вопрос о точности собственно измерений, которая предполагается известной. В противном случае вместо принятой для отработки дисперсии единицы веса с0 применяют ее оценку СС0, полученную из уравнивания. Надежность ее вычисления существенным образом зависит от числа избыточных измерений. В случае если при вычислении СС0 были использованы грубые измерения, вместо ¿-критерия для отбраковки грубых измерений применяют т-критерий, предложенный Попом (1975), или же так называемый Датский метод [9].

Дополнительные замечания и рекомендации

Следует отметить, что до анализа отдельных поправок весьма полезным может оказаться их глобальное тестирование, которым проверяется корректность и полнота выбранной модели уравнивания. Для этого вычисляется статистика

Т2 = УТРУ /с02,

которая сравнивается с критическим значением ^-распределения, зависящим от уровня значимости а и числа степеней свободы г, равного числу избыточных измерений в сети. Подобная проверка, насколько нам известно, ранее не предлагалась, по крайней мере в отечественной геодезической литературе.

Если вычисленная величина Т не превосходит критическое значение статистики, то это говорит о том, что нет противоречия между наблюдениями и математической моделью. Но это не гарантирует правильность модели или корректность наблюдений.

В противном случае, когда Т > %, требуются дополнительные исследования на ошибочность модели обработки и собственно наблюдений.

Приведенная методика и другие упомянутые выше методы поиска грубых ошибок измерений по поправкам из уравнивания в настоящее время широко применяются в мировой геодезической практике и доказали свою полезность. Но, как указано в работе [10], такие успехи следует считать чрезвычайно неожиданными и успешными, учитывая те теоретические предположения, по которым эти методы были получены:

1) наблюдения нормально распределены;

2) в измерениях содержится всего одна грубая ошибка;

3) грубая ошибка максимизирует тестируемую статистику соответствующей поправки;

4) одномерные тесты для каждой поправки независимы.

Дополнительную информацию по данной тематике можно найти в работах [2, 5, 8-12; и др.].

При вычислении предельных значений поправок или их нормированных аналогов следует знать диагональные элементы аV = (а^^ ).,. ковариационной матрицы поправок а^у, где а2 — дисперсия единицы веса, а — матрица весовых коэффициентов вектора поправок V . Учитывая, что вектор поправок к измерениям зависит лишь от вектора свободных членов Ь , имеющего матрицу весовых коэффициентов Q = Р -1, с учетом (1) имеем матрицу весовых коэффициентов ^ вектора поправок

а¥ = Q — т-ХЛТ . (4)

Умножая уравнение (4) на дисперсию единицы веса, получаем приведенную в работе В.А. Коугия [5] формулу для ковариационной матрицы поправок

^ = Кь — ЛКХЛТ. (5)

Следует заметить, что формула (5) известна геодезистам более 50 лет, а ее вывод можно найти в книге Ю.В. Линника [6].

Выводы

Изложенная методика реализована нами в программах для ПК и использовалась на практике [2, 3]. Следует заметить, что в работе [2] нами предложена формула, которая позволяет непосредственно вычислять предельные значения поправок измеренных направлений, когда при уравнивании параметрическим способом предварительно исключаются поправки к ориентирующим углам и решается лишь редуцированная система нормальных уравнений. Это позволило уменьшить объем требуемой памяти ЭВМ более чем в два раза и сократить во много раз время вычислений за счет уменьшения числа одновременно решаемых линейных уравнений на треть. Предложенная методика успешно использована при уравнивании производственной сети и поиске грубых ошибок двух циклов измерений в высокоточной линейно-угловой сети, построенной Приморским АГП для обеспечения строительства уникального вантового моста через бухту Золотой Рог в г. Владивостоке, а также низководного моста Де-Фриз-Седанка. В результате математической обработки при уровне значимости 0,05 отбраковывалось от 2 до 6% измерений, т.е. число грубых ошибок может быть чрезвычайно велико. Оно объясняется неблагоприятными условиями измерений: водные преграды, туман, ветер.

Таким образом, рассмотренный алгоритм и его производственное применение убедительно подтвердили правильность метода отбраковки грубых ошибок по поправкам из уравнивания, так как он достаточно уверенно распознает измерения с грубыми ошибками.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И., Практикум по теории математической обработки геодезических измерений. М.: Недра, 1984. 352 с.

2. Герасименко М.Д. К вопросу о выявлении грубых ошибок измерений // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2010. № 6. С. 3-6.

3. Герасименко М.Д., Каморный В.М., Кафтан В.И. Обработка плановых и пространственных

геодезических сетей на геодинамических полигонах // Геодезия и картография. 1993. № 2.

С.16-21.

4. Коугия В.А. Замечания о методах отбраковки грубых ошибок измерений. URL: http:// www.-spbogik.ru/images/download/kougiya2011.pdf (дата обращения: 05.01.2018).

5. Коугия В.А. Сравнение двух методов обнаружения и идентификации грубых ошибок измерений // Геодезия и картография. 1998. № 5. С. 23-28.

6. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки измерений. М.: Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1958. 334 с.

7. Ackermann F. Grundlagen und Verfahren zur Erkennung grober Datenfehler. Institut fur Photo-grammretrie der Universitat Stuttgart. Vortrage des Lehrgangs Numerische Photogrammretrie (IV). Schriftenreihe. Heft 7. Stuttgart, 1981, p. 7-23.

8. Bingcai Zhang. A new method of data snooping. Australian J. of Geodesy, Photogrammetry and Surveying. 1987;46-47:103-122.

9. Caspary W.F. Concepts of network and deformation analysis. Monograph 11 School of Surveying, The University of New South Wales, Kensington, 1987, N.S.W., Australia, 183 p.

10. Cen M., Li Z., Ding X., Zhuo J. Gross error diagnostics before least squares adjustment of observations. J. of Geodesy. 2003;77:503-513.

11. Cross P.A., Price D.R. A strategy for the distinction between single and multiple gross errors in geodetic networks. Manuscripta geodaetica. 1985;10:172-178.

12. Ou Z.Q. Sequential tests for outliers in the general linear model. Australian J. of Geodesy, Photogrammetry and Surveying. 1987;50:37-49.

THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE

Design and Construction of Roads, Bridges, and Tunnels

D0l.org/10.5281/zenodo.1408243

Gerasimenko M., Kamornyy V.

MIKHAIL GERASIMENKO, Doctor of Engineering Sciences, Professor, Chief Researcher, e-mail: mdg@iam.dvo.ru

Institute of Applied Mathematics, FEB RUS (and Department of Geodesy,

Land Management and Cadastre, School of Engineering, FEFU)

VALERIY KAMORNYY, Candidate of Engineering Sciences, Professor, Department

of Geodesy, Land Management and Cadastre, School of Engineering,

e-mail: kamornyy.vm@dvfu.ru

Far Eastern Federal University

8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690091

The ways of detection and rejection of gross errors in geodetic measurements

Abstract: The article presents the theoretical basis of the well-known method to detect and localise gross errors of measurements through correction for compensation. The results of the works in which it was applied have been summarised and complemented. The foundation of the technique was laid in the 1960s, yet, unfortunately, it has not been adequately publicised in the national geodetic literature, although today’s ways of the registration of measurements and calculations make the issue of the automated detection of possible gross errors very important. Highlighted are virtues and deficiencies of the method. The issue is significant for the land surveys when building roads, tunnels, and other construction objects.

Key words: adjustment, measurement amendments, geodetic measurements, gross errors. REFERENCES

1. Bolshakov V.D., Markuse Yu.I. Practice on the theory of mathematical processing of geodetic measurements. Moscow, Nedra. 1984, 352 p.

2. Gerasimenko M.D. To the problem of revealing crude measurement errors. Izvestiya Vuzov. Geodesy and aerial photography. 2010;6:3-6.

3. Gerasimenko M.D., Kamorny V.M., Kaftan V.I. Processing of planned and spatial geodetic networks on geodynamic polygons. Geodesy and cartography. 1993;2:16-21.

4. Kougia V.A. Remarks on the methods for rejecting coarse measurement errors. URL: http://www.spbogik.ru/images/download/kougiya2011.pdf — 05.01.2018.

5. Kougiya V.A. Comparison of two methods for detecting and identifying rough measurement errors. Geodesy and Cartography. 1998;5:23-28.

6. Linnik Yu.V. The method of least squares and the foundations of the mathematical-statistical theory of processing dimensions. Moscow, State Publishing House, 1958, 334 p.

7. Ackermann F. Grundlagen und Verfahren zur Erkennung grober Datenfehler. Institut fur Photo-grammretrie der Universitat Stuttgart. Vortrage des Lehrgangs Numerische Photogrammretrie (IV). Schriftenreihe. Heft 7. Stuttgart, 1981, p. 7-23.

8. Bingcai Zhang. A new method of data snooping. Australian J. of Geodesy, Photogrammetry and Surveying. 1987;46-47:103-122.

9. Caspary W.F. Concepts of network and deformation analysis. Monograph 11 School of Surveying, The University of New South Wales, Kensington, 1987, N.S.W., Australia, 183 p.

10. Cen M., Li Z., Ding X., Zhuo J. Gross error diagnostics before least squares adjustment of observations. J. of Geodesy. 2003;77:503-513.

11. Cross P.A., Price D.R. A strategy for the distinction between single and multiple gross errors in geodetic networks. Manuscripta geodaetica. 1985;10:172-178.

12. Ou Z.Q. Sequential tests for outliers in the general linear model. Australian J. of Geodesy, Photogrammetry and Surveying. 1987;50:37-49.

Теория ошибок измерений изучает свойства ошибок и законы их распределения, методы обработки измерений с учетом их ошибок, а также способы вычисления числовых характеристик точности измерений. При многократных измерениях одной и той же величины результаты измерений получаются неодинаковыми. Этот очевидный факт говорит о том, что измерения сопровождаются разными по величине и по знаку ошибками. Задача теории ошибок – нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, оценка точности результатов измерений и их функций и установление допусков, ограничивающих использование результатов обработки измерений.

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник какой-либо систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной ошибкой, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений (строгостью теории), точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий. Закономерности случайных ошибок проявляются в массе, то-есть, при большом количестве измерений; такие закономерности называют статистическими. Освободить результат единичного измерения от случайных ошибок невозможно; невозможно также предсказать случайную ошибку единичного измерения. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения Δ – это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением X:
(1.25)

Свойства случайных ошибок. Случайные ошибки подчиняются некоторым закономерностям:

1. при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, она считается грубой,
2. положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны,
3. среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений. Третье свойство случайных ошибок записывается так:
(1.26)
4. малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Кроме того, во всей массе случайных ошибок не должно быть явных закономерностей ни по знаку, ни по величине. Если закономерность обнаруживается, значит здесь сказывается влияние какой-то систематической ошибки.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения. Для оценки точности измерений можно применять разные критерии; в геодезии таким критерием является средняя квадратическая ошибка. Это понятие было введено Гауссом; он же разработал основные положения теории ошибок. Средняя квадратическая ошибка одного измерения обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:
(1.27)

где: ;
n – количество измерений одной величины.

Средняя квадратическая ошибка очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, так как каждая ошибка возводится в квадрат. В то же время она является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом количество измерений; начиная с некоторого n дальнейшее увеличение числа измерений почти не изменяет значения m; доказано, что уже при n = 8 значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается Δпред; она обычно принимается равной 3*m при теоретических исследованиях и 2*m или 2.5*m при практических измерениях. Считается, что из тысячи измерений только три ошибки могут достигать или немного превосходить значение Δпред = 3*m.

Отношение mx/X называется средней квадратической относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, mx/X = 1/10 000.

Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин. Выведем формулу средней квадратической ошибки функции нескольких аргументов произвольного вида:

F = f( X, Y, Z … ),                        (1.28)

здесь: X, Y, Z … – истинные значения аргументов,
F – истинное значение функции.

В результате измерений получены измеренные значения аргументов lX, lY, lZ, при этом:
(1.29)

где ΔX, ΔY, ΔZ – случайные истинные ошибки измерения аргументов.

Функцию F можно выразить через измеренные значения аргуметов и их истинные ошибки:

Разложим функцию F в ряд Тейлора, ограничившись первой степенью малых приращений ΔX, ΔY, ΔZ:
(1.30)

Разность является случайной истинной ошибкой функции с противоположным знаком, поэтому:
(1.31)

Если выполнить n измерений аргументов X, Y, Z, то можно записать n уравнений вида (1.31). Возведем все эти уравнения в квадрат и сложим их; суммарное уравнение разделим на n и получим

В силу третьего свойства случайных ошибок члены, содержащие произведения случайных ошибок, будут незначительными по величине, и их можно не учитывать; таким образом,
(1.32)

Как частные случаи формулы (1.32) можно написать выражения для средней квадратической ошибки некоторых функций:

Если функция имеет вид произведения нескольких аргументов,

F = x * y * z,

то для нее можно записать выражение относительной ошибки функции:
(1.33)

которое в некоторых случаях оказывается более удобным, чем формула (1.32).

Принцип равных влияний. В геодезии часто приходится определять средние квадратические ошибки аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции. Если аргумент всего один, то решение задачи не представляет трудности. Если число аргументов t больше одного, то возникает задача нахождения t неизвестных из одного уравнения, которую можно решить, применяя принцип равных влияний. Согласно этому принципу все слагаемые правой части формулы (1.32) или (1.33) считаются равными между собой.

Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то-есть,
(1.34)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:
(1.35)

Величина   (1.36)

называется средним арифметическим или простой арифметической серединой. Запишем (1.35) в виде

по третьему свойству ошибок (1.26) можно написать:

что означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины. При ограниченном количестве измерений арифметическая середина является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

Запишем формулу (1.36) в виде

и подсчитаем среднюю квадратическую ошибку арифметической середины, которая обозначается буквой M. Согласно формуле (1.32) напишем:

или

Но ml1 = ml2 = … = mln= m по условию задачи, так как величина X измеряется при одних и тех же условиях. Тогда в квадратных скобках будет n * m2, одно n сократится и в итоге получим:

M2 = m2/n

или
(1.37)

то-есть, средняя квадратическая ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Вычисление средней квадратической ошибки по уклонениям от арифметической середины. Формулу Гаусса (1.27) применяют лишь в теоретических выкладках и при исследованиях приборов и методов измерений, когда известно истинное значение измеряемой величины. На практике оно, как правило, неизвестно, и оценку точности выполняют по уклонениям от арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l1, l2 , …, ln .

Вычислим арифметическую середину X0 = [1]/n и образуем разности:
(1.38)

Сложим все разности и получим [l] – n * X0 = [V]. По определению арифметической середины n * X0 = [l], поэтому:

[V] = 0.                   (1.39)

Величины V называют вероятнейшими ошибками измерений; именно по их значениям и вычисляют на практике среднюю квадратическую ошибку одного измерения, используя для этого формулу Бесселя:
(1.40)

Приведем вывод этой формулы. Образуем разности случайных истинных ошибок измерений Δ и вероятнейших ошибок V:
(1.41)

Разность (X0 – X) равна истинной ошибке арифметической середины; обозначим ее Δ0 и перепишем уравнения (1.41):
(1.42)
Возведем все уравнения (1.42) в квадрат, сложим их и получим:
.

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,
.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Δ2]/n =m2, получим:
(1.43)

Заменим истинную ошибку арифметической середины Δ0 ее средней квадратической ошибкой ; такая замена практически не изменит правой части формулы (1.43). Итак,

,
откуда ;

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.40).

Для вычисления средней квадратической ошибки арифметической середины на основании (1.37) получается формула:
(1.44)

Веса измерений. Измерения бывают равноточные и неравноточные. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом, и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол можно измерить разным количеством приемов; результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что средние квадратические ошибки неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия; вес обозначается буквой p. Значение веса измерения получают по формуле:

p = C/m2                  (1.45)

где C – в общем случае произвольное положительное число.

При неравноточных измерениях одной величины наиболее надежное ее значение получают по формуле средневесовой арифметической середины:
(1.46)
или              X0 = [l*p] / [p] .

Ошибку измерения, вес которого равен 1, называют средней квадратической ошибкой единицы веса; она обозначается буквой m. Из формулы (1.45) получаем

откуда  (1.47)

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:
(1.48)

Согласно (1.46) и (1.32) напишем:

Подставим сюда вместо mli2 их выражения через вес m2 = C/p , тогда:

Подставим это выражение в формулу (1.48) и получим,

P = [p],                 (1.49)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице, формула (1.49) принимает вид:

P = n.                  (1.50)

При обработке больших групп измерений (при уравнивании геодезических построений по МНК) вычисляются значение ошибки единицы веса, веса измерений и других элементов после уравнивания, а ошибка любого уравненного элемента подсчитывается по формуле:
(1.51)

где pi – вес i-того элемента.

МЕТОДЫ ВЫЯВЛЕНИЯ ГРУБЫХ ОШИБОК В МАРКШЕЙДЕРСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Алексенко Анастасия Геннадьевна¹, Гребенщикова Алена Николаевна², Грибунина Ксения Антоновна³, Пучнина Алена Ивановна^4
1Санкт-Петербургский горный университет, кандидат технических наук, ассистент кафедры маркшейдерского дела
²Санкт-Петербургский горный университет, студент кафедры маркшейдерского дела
³Санкт-Петербургский горный университет, студент кафедры маркшейдерского дела
⁴Санкт-Петербургский горный университет, студент кафедры маркшейдерского дела

Аннотация
Статья посвящена обзору методов выявления и исключения грубых ошибок в маркшейдерских измерениях. Данный вопрос является актуальным, поскольку напрямую влияет на точность полученных результатов. В ходе исследования способов контроля измерений по невязкам и по результатам уравнивания был сделан вывод о несовершенстве существующих методов выявления грубых ошибок.

Ключевые слова: анализ точности, грубые ошибки, маркшейдерские измерения, маркшейдерское обеспечение, точность измерений

---

Рубрика: 25.00.00 НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Библиографическая ссылка на статью:
Алексенко А.Г., Гребенщикова А.Н., Грибунина К.А., Пучнина А.И. Методы выявления грубых ошибок в маркшейдерских измерениях // Современные научные исследования и инновации. 2017. № 5 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2017/05/82381 (дата обращения: 03.06.2023).