Как изменится величина предельной ошибки выборки если вероятность гарантирующую результат

Решение

Средняя
в генеральной совокупности рассчитывается
по формуле:
.Определим
среднюю по выборке:=30
ц/га

Межсерийная
дисперсия, необходимая для расчета
средней ошибки выборки, будет следующей:

.

Тогда
предельная ошибка серийной выборки (t
=2,
т.к. P
= 0,954) составит:
ц/га.

Следовательно,
средняя урожайность в хозяйстве будет
находиться в пределах:= 30 ± 0,5; 29,5ц30,5ц.
Результат гарантирован с вероятностью
0,954.

Пример
7. С
целью определения доли сотрудников
коммерческих банков в возрасте старше
40 лет предполагается организовать
типическую выборку пропорционально
численности сотрудников мужского и
женского пола с механическим отбором
внутри групп. Общее число сотрудников
банков составляет 13 тыс.чел., в т.ч. 8 тыс.
мужчин и 5 тыс.женщин. На основании
предыдущих обследований известно, что
средняя из групповых дисперсий доли
составляет 600. Определите необходимый
объем выборки при вероятности 0,997 и
ошибке.

Решение

чел.

Объем
предельных типических групп при этом
составит:

мужчины
—
чел.; женщины —чел.

Таким
образом, необходимый объем выборочной
совокупности сотрудников коммерческих
банков составляет 212 чел., в т.ч. 130 мужчин
и 82 женщины.

Задачи для самостоятельного решения

6.1.
Укажите способ отбора в следующих
выборках: 1) при изучении производительности
труда отбирался каждый десятый рабочий
завода; 2) для обследования физического
здоровья школьников отобрано 5 % школ
от их общего количества в городе; ученики
школ, попавших в выборку, обследовались
сплошь; 3) при обследовании семейных
бюджетов население города было
предварительно распределено на одиноких
и семейных, а затем производилась
пропорциональная выборка; 4) при изучении
пассажиропотоков на городском транспорте;
5) при определении длительности телефонных
разговоров абонентов.

6.2.
В области организуется выборочное
обследование наличия легковых автомобилей
в пользовании семей. Ниже описаны
возможные способы отбора. При каком из
них ошибка выборки меньше: 1) отбирался
каждый пятый населенный пункт, и в каждом
из них производилось сплошное наблюдение;
2) отбирается каждая десятая семья из
их общего списка; 3) совокупность семей
распределяется на группы, например,
городские и сельские семьи, а затем
пропорционально численности групп
производится отбор семей.

6.3.
Как изменится величина предельной
ошибки выборки, если вероятность,
гарантирующую результат: а) увеличить
с 0,683 до 0,997; б) уменьшить с 0,954 до 0,683; в)
увеличить с 0,954 до 0,997; г) уменьшить с
0,997 до 0,954?

6.4.
Определите,
как изменится средняя ошибка
собственно-случай-ной выборки, если
численность выборочной совокупности:
а) увеличить в 1,5 раза; б) уменьшить в 2,5
раза. Как изменить необходимую численность
выборки, чтобы средняя ошибка уменьшилась
в 2 раза; на 50%?

6.5.
Каким должен быть объем собственно-случайной
бесповторной выборки из генеральной
совокупности численностью 5000 единиц
при среднем квадратическом отклонении
не более 12, предельной ошибке, не
превышающей 5%, и вероятности 0,997?

6.6.
С целью определения средней продолжительности
времени поездки на работу обследовано
400 горожан, отобранных в случайном
порядке на разных маршрутах городского
транспорта. По данным обследования
установлено среднее время поездки 30
мин. при среднем квадратическом отклонении
80 мин. Определите: 1) как изменится ошибка
выборки, если объем выборочной совокупности
увеличить в 2 раза; 2) как отразится на
величине ошибки выборки увеличение
дисперсии в 1,5 раза; 3) как изменится
ошибка выборки, если с увеличением
дисперсии в 1,21 раза объем выборки
увеличить в 2,25 раза; 4) как изменится
ошибка выборки, если численность
выборочной совокупности будет в 2 раза
больше.

6.7.
Для
определения среднего размера денежного
вклада в отделениях Сбербанка города
предполагается провести механическую
выборку лицевых счетов из их общего
числа 70200. По данным предыдущего
обследования установлено среднее
квадратическое отклонение размера
вклада равно 250 грн. С вероятностью 0,954
определите необходимый объем выборочной
совокупности при условии, что ошибка
выборки не превысит 100 грн.

6.8.
Финансовая корпорация с численностью
сотрудников 784 человека путем механической
выборки планирует определить долю
сотрудников со стажем работы свыше 5
лет. Какова должна быть необходимая
численность выборки, если по данным
предыдущего обследования дисперсия
стажа составила 0,25, а результаты
выборочного наблюдения требуется
гарантировать с вероятностью 0,954 и
ошибкой не более 8 %?

6.9.
Для
определения средней дневной выработки
ткачих требуется, чтобы предельная
ошибка выборки, проведенной
собственно-случайным способом, не
превышала 0,4 м. Какой должна быть
численность повторной выборки, чтобы
результаты ее можно было гарантировать
с вероятностью 0,954 при среднем
квадратическом отклонении 2,5 м? Каким
будет объем выборки, если предельную
ошибку уменьшить в два раза?

6.10.
В районе проживает 8000 семей. Предполагается
провести их выборочное обследование
методом случайного бесповторного отбора
для определения среднего размера семьи.
Определите необходимую численность
выборки при условии, что с вероятностью
0,954 ошибка выборки не превысит одного
человека при среднем квадратическом
отклонении три человека.

6.11.
В городе с числом семей 15 тыс. предполагается
методом случайного бесповторного отбора
определить долю семей, имеющих детей
школьного возраста. Какова должна быть
численность выборки, чтобы с вероятностью
0,683 ошибка выборки не превышала 0,05, если
дисперсия равна 0,30?

6.12.
На
склад торговой фирмы поступило
280
коробок с микрокалькуляторами, в каждой
из которых упаковано по 28 штук. С целью
установления соответствия этого товара
международным стандартам планируется
выборочная проверка калькуляторов.
Определите необходимый объем выборки,
если результат требуется гарантировать
с вероятностью 0,954 и ошибкой не более
5%, а межсерийная дисперсия равна 40.

6.13.
При планировании выборочного обследования
занятости женского населения сельских
районов области использованы следующие
данные:

Район	Численность женщин в трудоспособном возрасте, тыс. чел.	Удельный вес занятых женщин, %
1 2 3 4	3,6 2,2 5,8 4,7	70 62 85 80

С
вероятностью 0,954 определите необходимый
объем типической пропорциональной
выборки для установления границ
генеральной доли при повторном отборе,
чтобы ошибка выборки не превышала 5 %.

6.14
При подготовке выборочного обследования
качества импортируемых кондитерских
изделий была проведена пробная проверка
6 ящиков этой продукции для получения
данных о колеблемости веса изделий. При
этом получены следующие результаты:

№ ящика	1	2	3	4	5	6
Средний вес коробки в ящике, г	470	445	450	420	470	430

Сколько
ящиков с кондитерскими изделиями
необходимо отобрать в порядке бесповторного
отбора для проверки качества, чтобы с
вероятностью 0,954 ошибка выборки не
превышала 25 г, если генеральная
совокупность насчитывает 600 равных по
величине серий?

6.15.
Для
определения процента углерода в стали
отобрано по схеме собственно-случайного
отбора 80 проб:

% содержания углерода в стали	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10
Количество проб	8	14	27	18	7	6

Определите:
1) с вероятностью 0,997 возможные пределы
среднего процента углерода в стали во
всей генеральной совокупности; 2)
вероятность, с которой можно утверждать,
что средний процент углерода во всей
генеральной совокупности будет не более
0,085 и не менее 0,080.

6.16.
С целью определения среднего уровня
издержек обращения торговых фирм
проведена 5%-ная механическая выборка
их по области. Результаты обследования
представлены в таблице:

Уровень издержек обращения, %	До 4	4-6	6-8	8-10	Свыше 10
Количество торговых фирм	11	19	30	15	5

Определите
для
всех торговых фирм области: 1) средний
уровень из-держек обращения; 2) долю
фирм, имеющих уровень издержек обраще-ния
свыше 8%. Результаты расчетов гарантируйте
с вероятностью 0,954.

6.17.
Для определения среднего возраста
рабочих предприятия была произведена
10%-ная механическая выборка рабочих. В
результате обследования получены
следующие данные:

Возраст рабочих, лет	До 20	20-30	30-40	40-50	Свыше 50
Число рабочих	12	32	45	26	15

С
вероятностью 0,997 определите: 1) пределы,
в которых находится средний возраст
рабочих предприятия; 2) пределы, в которых
находится доля рабочих предприятия в
возрасте старше 50 лет.

6.18.
С
целью определения средней месячной
заработной платы персонала гостиниц
города было проведено 20%-ное выборочное
обследование с отбором единиц
пропорционально численности типических
групп. Для отбора сотрудников каждого
типа гостиниц использовался механический
отбор. Результаты обследования
представлены данными таблицы:

Тип гостиниц	Средняя месячная зарплата, грн.	Среднее квадратическое отклонение, грн.	Число сотрудников
1 2 3	380 520 640	18 45 52	70 130 200

С
вероятностью 0,954 определите пределы
средней месячной зарплаты всех сотрудников
гостиниц города.

6.19.
Для выявления затрат времени на обработку
деталей рабочими разной квалификации
на предприятии была проведена 10%-ная
типическая выборка пропорционально
численности выделенных групп. Результаты
обследования представлены данными:

Группы рабо-чих по уровню квалификации	Число рабочих	Средние затраты времени на обработку одной детали, мин.	Среднее квадра-тическое откло-нение, мин.
Высокий Средний Низкий	30 50 20	18 22 28	2 5 3

С
вероятностью 0,954 определите по предприятию:
1) пределы, в которых находятся средние
затраты времени на обработку деталей
рабочими; 2) пределы доли рабочих,
затрачивающих на обработку одной детали
в среднем 18 мин.

6.20.
Для определения среднего возраста
мужчин, вступающих в брак, в районе была
проведена 5%-ная типическая выборка с
отбором единиц пропорционально
численности типических групп. Внутри
групп применялся механический отбор.
Результаты проведения выборки следующие:

Социальная группа	Число муж-чин, чел.	Средний возраст, лет	Дисперсия возраста	Удельный вес мужчин,вступаю—щих в брак во второй раз,%
Рабочие Служащие	110 90	23 32	25 85	20 28

С
вероятностью 0,954 определите для
генеральной совокупности: 1) пределы
среднего возраста мужчин, вступающих
в брак; 2) долю мужчин, вступающих в брак
во второй раз.

6.21.
Качество
партии молочных продуктов, состоящей
из 2000 пакетов, помещенных в ящики по 25
пакетов, проверялось с помощью 2%-ной
серийной бесповторной выборки. Результаты
проверки представлены следующими
данными:

Показатели	Ящики
1	2	3	4	5
Средний срок хранения, дн.	3	5	7	2	4
Удельный вес продуктов со сроком хранения не менее 4 дней	0,75	0,84	0,94	0,70	0,98

С
вероятностью 0,997 определите во всей
партии: 1) пределы среднего срока хранения
молочных продуктов; 2) пределы доли
молочных продуктов со сроком хранения
не менее 4 дней.

6.22.
В сборочном цехе машиностроительного
завода работает в десяти бригадах 100
рабочих. В целях изучения уровня их
квалификации была проведена 20%-ная
серийная бесповторная выборка, в которую
были включены 2 бригады. При этом получено
следующее распределение обследованных
рабочих по разрядам:

Рабочие	Разряды рабочих
бригада №1	бригада №2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	4 5 2 6 3 4 3 3 6 5	5 4 6 6 4 3 5 5 6 3

Определите
с вероятностью 0,954 для сборочного цеха
завода: 1) пределы, в которых находится
средний разряд рабочих; 2) пределы доли
рабочих, имеющих 6-й разряд.

6.23.
Для обследования всхожести семян они
были распределе-ны на 50 равновеликих
серий. На основе механического отбора
было проверено 10 серий, в которых удельный
вес взошедших семян сос-тавил 85%. С
вероятностью 0,683 установите границы
доли всхожес-ти семян во всей партии,
если межсерийная дисперсия равна 729.

6.24.
При
проведении контроля качества произведенной
продукции методом случайного отбора
было проверено 60 изделий, из которых 3
оказались бракованными. Можно ли с
вероятностью 0,683 утверждать, что доля
бракованных изделий во всей партии не
превысит 8%, если процент отбора составляет
10?

6.25.
Выборочное обследование 200 работников
родственных ма-лых предприятий показало,
что средний процент выполнения норм
вы-работки составляет 110%. Дисперсия
этого показателя у данной катего-рии
работников 576. С вероятностью 0,954
рассчитайте пределы средне-го процента
выполнения норм выработки в генеральной
совокупности.

6.26.
Проведено 25%-ное собственно-случайное
выборочное обследование 40 продавцов
супермаркета с целью определения дневной
производительности их труда. В результате
установлено, что объем товарооборота
в расчете на одного продавца составляет1620
грн. в день при среднем квадратическом
отклонении 180 грн. С вероятностью 0,997
определите средний объем товарооборота,
приходящегося на одного продавца, в
целом по супермаркету.

6.27.
Из партии готовой продукции в 1000 шт. в
случайном бесповторном порядке
обследовано 100 шт., из которых продукция
высшего сорта составила 85%. Определите
вероятность того, что допущенная при
выборочном обследовании погрешность
в оценке среднего процента продукции
высшего сорта не превысит 10%.

6.28.
В
порядке 5%-ной
серийной выборки обследовано 40 отделений
Сбербанка области. Результаты обследования
показали, что средний размер вклада
составляет 5000 грн., доля рабочих в общей
численности вкладчиков обследованных
отделений Сбербанка равна 60%, межсерийные
дисперсии: а) для средней – 965775; б) для
доли – 0,0125. С вероятностью 0,954 определите
средний размер денежного вклада и долю
рабочих в общей численности вкладчиков.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Средняя и предельная ошибки выборки

Средняя ошибка выборкивсегда
присутствует в выборочных исследованиях
и появляется вследствие того, что
обследуются не все единицы статистической
совокупности, а лишь ее часть.

Средняя ошибка выборки превращается в
предельную ошибкуΔ
при умножении ее на коэффициент
доверияt, который задается
предварительно, исходя из требуемой
точности наблюдения. Предельная ошибка
позволяет судить об «истинном» размере
параметра в генеральной совокупности
с определенной степенью вероятности

, -предельная ошибка ,-средняя ошибка, t – коэффициент доверия

При типическом и серийном
отборе, при расчете ошибки выборки
вместо общей дисперсии (σ²)
следует использовать
среднюю из внутригрупповых дисперсий
и межгрупповую дисперсию,
где—
частная дисперсия i группы,объем i группы

Формулы предельной ошибки случайной
выборки при определении средней

Для повторного отбора

где средняя ошибка выборки

Для бесповторного отбора

Формулы предельной ошибки случайной
выборки при определении доли

Для повторного отбора

где средняя ошибка выборочной доли

Для бесповторного отбора

где средняя ошибка выборочной доли

Формулы численности случайной
выборки при определении средней величины

Для повторного отбора	Для бесповторного отбора

Формулы численности случайной выборки при определении доли изучаемого признака

Для повторного отбора	Для бесповторного отбора

Предельная разница между генеральной
и выборочной средней соответствует
величине предельной ошибки

для средней	для доли:

Значения вероятности и соответственно
tнаходятся по таблицам
распределения:

• Лапласа

• Стьюдента (в случае малой выборки)

Формулы случайной выборки подходят и
для механической выборки.

При необходимости округления, при
случайной выборке – округление в большую
сторону, при механической – в меньшую.

Малая выборка

Если численность выборочной совокупности
не более 30 единиц, то средняя ошибка
малой выборки при определении средней
величины рассчитывается по формуле:

	при определении доли по формуле:

Для расчета ошибки малой выборки
применяется уточненная формула дисперсии

где n-1 — представляет собой «число степеней свободы», т.е. количество вариантов, могущих принимать произвольные значения, не меняющие величины средней.

Типы задач выборочного наблюдения

• определение ошибки выборки,

• определение численности выборочной
  совокупности n
  ,

• определение вероятности того, что
  выборочная средняя (или доля) отклонится
  от генеральной не более, чем на заданную
  величину t=Δ/μ,

• оценка случайности расхождений
  показателей выборочных наблюдений,

• перенос выборочных характеристик на
  генеральную совокупность.

Проверка гипотез о средней и доле

Оценка случайности расхождений
показателей выборочных наблюдений

• Если при n>30 коэффициент t<3, то делается
  вывод о случайности расхождений.

• Если n≤ 30 , то полученное
  значение t сравнивают с табличным,
  определяемым по таблице распределения
  Стьюдента

• Если,
  расхождение считается существенным.

• Если
  ,
  расхождение считается случайным.

Методы переноса выборочных данных на
генеральную совокупность

• метод взвешивания;

• метод перевзвешивания;

• метод заполнения случайным подбором
  в классах замещения.

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ().

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки () равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

.

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

• степени вариации единиц генеральной совокупности;
• объема выборки;
• выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
• уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

1. Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

1. По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

1. Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки

   

2. Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

1. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна

   

2. Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

   

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

1. рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

1. рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

;

1. средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

1. зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

1. установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

   

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

1. Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Здесь — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

• общий объем выборочной совокупности:

  n = 2550/130*5 =128 (чел.);

• количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

  

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

1. Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:

   

2. Средняя из внутригрупповых дисперсий

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

   С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

   

4. Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

1. Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

1. Среднее значение признака в выборке равно

   

2. Значение среднего квадратического отклонения составляет

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

4. Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
5. Предельная ошибка выборки:

   

6. Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

1. вид предполагаемой выборки;
2. способ отбора (повторный или бесповторный);
3. выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

• Задача 1  Имеются данные за апрель по предприятию:  • Фактически отработано рабочими, чел.-дн. Вариант 5
• Задача 2  Определите индекс физического объема основных фондов, если в исследуемом периоде их стоимость возросла в 2 раза Вариант 5
• Тема «Ряды динамики»  Известна списочная численность работников организации на некоторые даты 2000 года: на 1.01 – 530 чел., на 1.03 – 570 чел.
• Тема «Индексы»  Как в среднем изменились цены на молочную продукцию, если известно, что объем реализации этих продуктов увеличился на 15%