Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».
Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.
Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это
разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:
ΔА = А — Апр .
Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной
погрешности мы можем определить лишь приблизительно. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.
Относительная погрешность измерения
εА равна:
При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:
В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из
множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.
Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:
ΔА = εA· А.
«Правило ничтожных погрешностей»
при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟4 от другого.
Запись результата с указанием погрешности.
Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.
Пример:
Результат записывается в виде:
А = Аизм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.
При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении
погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения). Значение величины и погрешность следует
выражать в одних и тех же единицах!
Пример:
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?
Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за
топливо?
Погрешности косвенных измерений
Теперь
необходимо рассмотреть вопрос о том,
как находить погрешность физической
величины ,
которая определяется путем косвенных
измерений. Общий вид уравнения измерения
Y=f(Х1,Х2, … ,Хn), (1.4)
где Хj– различные физические
величины, которые получены экспериментатором
путем прямых измерений, или физические
константы, известные с заданной точностью.
В формуле они являются аргументами
функции.
В
практике измерений широко используют
два способа расчета погрешности косвенных
измерений. Оба способа дают практически
одинаковый результат.
Способ
1. Сначала находится абсолютная,
а затем относительнаяпогрешности. Этот способ рекомендуется
для таких уравнений измерения, которые
содержат суммы и разности аргументов.
Общая формула для расчета абсолютной
погрешности при косвенных измерениях
физической величины Yдля произвольного
видаf функции имеет вид:
(1.5)
где 
частные производные функцииY=f(Х1,Х2, … ,Хn) по
аргументуХj,
общая погрешность прямых измерений
величиныХj.
Для
нахождения относительной погрешности
нужно прежде всего найти среднее значение
величины Y. Для этого в уравнение
измерения (1.4) надо подставить средние
арифметические значения величинXj.
То есть
среднее значение величины Yравно:
.
Теперь легко найти относительную
погрешность:
.
Пример: найти погрешность измерения
объёмаVцилиндра. Высотуhи
диаметрDцилиндра считаем определёнными
путём прямых измерений, причём пусть
количество измеренийn=10.
Формула
для расчета объёма цилиндра, то есть
уравнение измерения имеет вид:
Пусть
приР=0,68;
приР=0,68.
Тогда,
подставляя в формулу (1.5) средние значения,
найдём:
Погрешность
Vв
данном примере зависит, как видно, в
основном от погрешности измерения
диаметра.
Средний объём
равен:
,
относительная погрешностьV
равна:
, илиV=19%.
Окончательный результат после округления:
V=(479)
мм3, V=19%,
Р=0,68.
Способ
2.Этот способ определения погрешности
косвенных измерений отличается от
первого способа меньшими математическими
трудностями, поэтому его чаще используют.
В начале
находят относительную погрешность ,
и только затем абсолютную.
Особенно удобен этот способ, если
уравнение измерения содержит только
произведения и отношения аргументов.
Порядок
действий можно рассмотреть на том же
конкретном примере — определение
погрешности при измерении объёма
цилиндра
.
Все
численные значения входящих в формулу
величин сохраним теми же, что и при
расчетах по способу 1.
Пусть
мм,
;
приР=0,68;
;
при Р=0,68.
-погрешность
округления числа
(см. рис. 1.1)
При
использовании способа 2следует
действовать так:
1) прологарифмировать
уравнение измерения (берём натуральный
логарифм)
.
найти
дифференциалы от левой и правой частей,
считая
независимыми переменными,
;
2) заменить
дифференциал каждой величины на
абсолютную погрешность этой же величины,
а знаки “минус”, если же они есть перед
погрешностями на “плюс”:
;
3)
казалось бы, что с помощью этой формулы
уже можно дать оценку для относительной
погрешности
,
однако это не так. Требуется так оценить
погрешность, чтобы доверительная
вероятность этой оценки совпадала с
доверительными вероятностями оценки
погрешностей тех членов, которые стоят
в правой части формулы. Для этого, чтобы
это условие выполнялось, нужно все члены
последней формулы возвести в квадрат,
а затем извлечь корень квадратный из
обеих частей уравнения:
.
Или в других
обозначениях относительная погрешность
объёма равна:
,
причём вероятность этой оценки
погрешности объёма будет совпадать с
вероятностью оценки погрешностей
входящих в подкоренное выражение членов:
Сделав
вычисления, убедимся, что результат
совпадает с оценкой по способу 1:
Теперь,
зная относительную погрешность, находим
абсолютную:
V=0,19
· 47=9,4мм3,P=0,68.
Окончательный результат после округления:
V=
(47 ± 9) мм3,V
= 19%,P=0,68.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Чтобы понять основной принцип оценки погрешностей косвенных измерений, следует проанализировать источник этих погрешностей.
Пусть физическая величина Y есть функция непосредственно измеряемой величины х,
Y = f(x).
Величина х имеет погрешность Dх. Именно эта погрешность Dх – неточность в определении аргумента x является источником погрешности физической величины Y, являющейся функцией f(x).
Приращение Dх аргумента х определяет собой приращение функции 
.
Погрешность аргумента Dх косвенно определяемой физической величины Y определяет собой погрешность , где Dх – погрешность физической величины, найденной в прямых измерениях.
Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно
измеряемых величин 
, то, проводя аналогичные рассуждения для каждого аргумента xi, получим:
Очевидно, что погрешность, рассчитанная по этой формуле, является максимальной и соответствует ситуации, когда все аргументы изучаемой функции имеют одновременно максимальное отклонение от своих средних значений. На практике такие ситуации маловероятны и реализуются крайне редко, поэтому следует рассчитывать
погрешность результата косвенных измерений 
.
(Эта формула доказывается в теории ошибок [3,4,5].)
В реальных измерениях относительная точность различных величин хi может сильно отличаться. При этом, если для одной из величин xm выполняется неравенство 
, где i=1,…,m-1,m+1,…,n, то можно считать, что погрешность косвенно определенной величины DY определяется погрешностью Dxm:
Пример.
При измерении скорости V полета пули методом вращающихся дисков, скорость пули V=360lN/j есть результат косвенных измерений, где l – расстояние между дисками, 
, N – число оборотов в единицу времени, известное с точностью 
, j — угол поворота измеренный в градусах 
, следовательно, для углов поворота j £ 70о определяющим точность фактором будет погрешность угла поворота дисков.
Итак, при вычислении погрешности косвенно определяемой физической величины 
надо прежде всего выявить наименее точно определенную в прямых измерениях величину 
и, если 
, считать 
, пренебрегая погрешностями остальных хii¹m.
Рассмотрим наиболее распространенные случаи взаимосвязи физических величин.
- Степенная зависимость
, где p, q — любые числа.
В данном случае проще сначала вычислить относительную погрешность 
.
Это выражение дает завышенную погрешность. Более точная формула полученная из теории ошибок [3,4,5] имеет вид: 
.
- Логарифмическая зависимость
.
, переходя от дифференциалов к конечным приращениям, имеем:
.
В этом случае абсолютная погрешность DY пропорциональна относительной погрешности 
непосредственно измеряемой величины x. Если Dx= const, то с ростом х DY будет уменьшаться (вот почему графики логарифмических зависимостей как правило отличаются неравновеликими погрешностями DY).
Пример.
При определении тройной точки нафталина необходимо построить зависимость ln P от обратной температуры, где Р давление в мм ртутного столба, определенное с точностью до 1 мм рт. ст.
Рис 1.
Итак, для логарифмических функций вида Y = A logax проще сразу вычислять абсолютную погрешность, которая пропорциональна относительной погрешности переменной x :
Как определять погрешности измерений
Измерение – нахождение значения физической величины
опытным путем с помощью средств измерений.
Прямое
измерение
– определение значения физической
величины непосредственно средствами измерения.
Косвенное
измерение
– определение значения физической
величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми
прямыми измерениями.
А, В, С, … — физические величины.
Апр. – приближенное значение физической величины.
А – абсолютная погрешность измерения физической
величины.
— относительная погрешность измерения
физической величины.
иА
– абсолютная
инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора.
оА – абсолютная погрешность отсчета, она равна в
большинстве случаев
половине цены деления; при
измерении времени – цене деления секундомера или часов.
Абсолютную погрешность измерения
обычно округляют до одной значащей цифры:
Численное значение результата
измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде,
что и цифра погрешности:
Результат
измерения записывается так:
%
Определение погрешности методом среднего арифметического
При многократных
измерениях величины погрешность можно оценить следующим образом:
1.
Определить среднее
значение величины А:
(при трех
измерениях).
2.Определить отклонение каждого значения от среднего:
3.Определить среднее значение отклонения,
его и принимают за абсолютную погрешность:
4.Определить
относительную погрешность и выразить ее в процентах:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
2 |
|
|
||
|
3 |
|
|
Многократные измерения
предпочтительнее, так как при их проведении возможна компенсация случайных
факторов, влияющих на результат. Обычно многократные измерения проводят, слегка
изменяя условия опыта, но предполагая, что значение величины А не изменяются
Определение
погрешности косвенных измерений
При косвенных измерениях значение
физической величины находится путем расчетов по формуле.
Относительную погрешность
определяют так, как показано в таблице:
|
Формула величины |
Формула |
|
1. |
|
|
2. 3. |
|
|
4. |
|
Абсолютную погрешность определяют
по формуле:
(
выражается десятичной дробью)
Пример: пусть измеряется сопротивление проводника. 
.
Результаты прямых измерений: 
Тогда 
;
, 
;
, 
;
, 
, 
.
Графическое
представление результатов эксперимента
Правила построения
графиков
выберите соответствующую бумагу;
выберите масштаб по осям координат;
напишите обозначения измеряемых физических величин;
нанесите на график данные;
нанесите на график доверительные интервалы;
проведите кривую через нанесенные точки;
составьте заголовок графика.
Для построения графиков выпускают
специальную бумагу-миллиметровку.
При выборе масштабов по осям
координат следует руководствоваться следующими правилами:
— значение независимой переменной
откладывают вдоль оси абсцисс, функции – вдоль оси ординат;
— цена наименьшего деления масштабной
сетки должна быть сравнимой с величиной погрешности измерения;
— точка пересечения оси абсцисс и оси
ординат не обязательно должна иметь координаты (0,0).
При построении графиков следует
иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник
со сторонами 
и
.
В
|
|
|||||
|
|
|||||
 |
|||||
 |
0
А
При выполнении простых лабораторных
работ достаточно обвести экспериментальную точку кружком или пометить
крестиком, не указывая доверительных интервалов.
Этот кружок или крестик будут
обозначать, что данная точка получена с каким-то приближением и истинное
значение измеряемой величины лежит где-то в ее окрестности.
Правила
приближенных вычислений
1. Основное
правило округления.
Если первая
отброшенная цифра равна 5 или больше, то последнюю из сохраняемых цифр
увеличивают на единицу; если первая отброшенная цифра меньше 5, то последнюю из
сохраняемых цифр оставляют без изменения, например:
2. При сложении и
вычитании приближенных чисел
в полученном результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их в числе
с наименьшим количеством десятичных знаков, например:
3. При умножении
и делении приближенных чисел
в полученном результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет
приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр, например:
4. При возведении
в квадрат приближенного числа
нужно в результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое
в степень число, например:
5. При извлечении
квадратного корня в результате
нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число,
например:
6. При вычислении
промежуточных результатов в
них следует сохранять на одну цифру больше, чем требуют правила 2-5. Причем при
подсчете значащих цифр запасные цифры не учитываются. В окончательном
результате запасная цифра отбрасывается по основному правилу округления.
7. При нахождении
углов или тригонометрических функций значение соответствующего угла записывают с точностью до градуса, если
значение тригонометрической функции имеет две значащие цифры; если угол задан с
точностью до градусов, то в значении тригонометрической функции сохраняют две
значащие цифры, например:
