Как найти абсолютную ошибку прибора - Ремонт и установка крупной бытовой техники

Ч
а с т ь I

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЙ

1.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОШИБОК

Абсолютная
и относительная ошибки

Никакую
физическую величину невозможно измерить
абсолютно точно: как бы тщательно ни
был поставлен опыт, измеренное значение
величины х
будет
отличаться от ее истинного значения Х.
Разница между этими значениями
представляет собой абсолютную
ошибку (или
абсолютную
погрешность^{^*})
измерения х:

х
= х – Х.
(1)

Абсолютная погрешность
является размерной величиной: она
выражается в тех же единицах, что и сама
измеряемая величина (например, абсолютная
погрешность измерения длины выражается
в метрах, силы тока – в амперах и т.д.).
Как следует из выражения (1), х
может быть как положительной, так и
отрицательной величиной.

Хотя
величина х
показывает, насколько измеренное
значение отличается от истинного, одной
лишь абсолютной ошибкой нельзя полностью
характеризовать точность проделанного
измерения. Пусть, например, известно,
что абсолютная погрешность измерения
расстояния равна 1 м.
Если измерялось расстояние между
географическими пунктами (порядка
нескольких километров), то точность
такого измерения следует признать
весьма высокой; если же измерялись
размеры помещения (не превышающие
десятка метров), то измерение является
грубым. Для характеристики точности
существует понятие относительной
ошибки
(или относительной
погрешности)
Е,
представляющей собой отношение модуля
абсолютной ошибки к измеряемой величине:

.
(2)

Очевидно, что
относительная погрешность – величина
безразмерная, чаще всего ее выражают в
процентах.

При
определении ошибок измерений важно
иметь в виду следующее. Выражения (1) и
(2) содержат истинное значение измеряемой
величины Х,
которое точно знать невозможно: поэтому
значения х
и Е
в принципе не могут быть рассчитаны
точно. Можно лишь оценить
эти значения, т.е. найти их приближенно
с той или иной степенью достоверности.
Поэтому все расчеты, связанные с
определением погрешностей, должны
носить приближенный (оценочный) характер.

Случайная
и приборная погрешности

Разнообразные ошибки,
возникающие при измерениях, можно
классифицировать как по их происхождению,
так и по характеру их проявления.

По происхождению
ошибки делятся на инструментальные и
методические.

Инструментальные
погрешности обусловлены несовершенством
применяемых измерительных приборов и
приспособлений. Эти погрешности могут
быть уменьшены за счет применения более
точных приборов. Так, размер детали
можно измерить линейкой или штанген-циркулем.
Очевидно, что во втором случае ошибка
измерения меньше, чем в первом.

Методические
погрешности возникают из-за того, что
реальные физические процессы всегда в
той или иной степени отличаются от их
теоретических моделей. Например, формула
для периода колебаний математического
маятника в точности верна лишь при
бесконечно малой амплитуде колебаний;
формула Стокса, определяющая силу трения
при движении шарика в вязкой жидкости,
справедлива только в случае идеально
сферической формы и т.д. Обнаружить и
учесть методическую погрешность можно
путем измерения той же величины совершенно
иным независимым методом.

По характеру проявления
ошибки бывают систематические и
случайные.

Систематическая
погрешность может быть обусловлена как
приборами, так и методикой измерения.
Она имеет две характерные особенности.
Во-первых, систематическая погрешность
всегда либо положительна, либо отрицательна
и не меняет своего знака от опыта к
опыту. Во-вторых, систематическую
погрешность нельзя уменьшить за счет
увеличения числа измерений. Например,
если при отсутствии внешних воздействий
стрелка измерительного прибора показывает
величину х₀, отличную от
нуля, то во всех дальнейших измерениях
будет присутствовать систематическая
ошибка, равная х₀.

Случайная
ошибка также может быть как инструментальной,
так и методической. Причину ее появления
установить трудно, а чаще всего –
невозможно (это могут быть различные
помехи, случайные толчки, вибрации,
неверно взятый отсчет по прибору и
т.д.). Случайная погрешность бывает и
положительной и отрицательной, причем
непредсказуемо изменяет свой знак от
опыта к опыту. Значение ее можно уменьшить
путем увеличения числа измерений.

Детальный
анализ погрешностей измерения представляет
собой сложную задачу, для решения которой
не существует единого рецепта. Поэтому
в каждом конкретном случае этот анализ
проводят по-разному. Однако, в первом
приближении, если исключена систематическая
ошибка, то остальные можно условно
свести к следующим двум видам: приборная
и случайная.

Приборной
погрешностью в дальнейшем будем
называть случайную ошибку, обусловленную
измерительными приборами и приспособлениями,
а случайной – ошибку, причина
появления которой неизвестна. Приборную
погрешность измерения величины х
будем обозначать как х,
случайную – как _sx.

Оценка
случайной погрешности. Доверительный
интервал

Методика оценки
случайной погрешности основана на
положениях теории вероятностей и
математической статистики. Оценить
случайную ошибку можно только в том
случае, когда проведено неоднократное
измерение одной и той же величины.

Пусть
в результате проделанных измерений
получено п
значений величины х:
х₁,
х₂,
…, х_п.
Обозначим через

среднеарифметическое значение

.
(3)

В
теории вероятностей доказано, что при
увеличении числа измерений п
среднеарифметическое значение измеряемой
величины приближается к истинному:

При
небольшом числе измерений (п  10)
среднее значение может существенно
отличаться от истинного. Для того, чтобы
знать, насколько точно значение

характеризует измеряемую величину,
необходимо определить так называемый
доверительный интервал полученного
результата.

Поскольку
абсолютно точное измерение невозможно,
то вероятность правильности утверждения
«величина х
имеет значение, в точности равное
»
равна нулю. Вероятность же утверждения
«величина х
имеет какое-либо значение»
равна единице (100%). Таким образом,
вероятность правильности любого
промежуточного утверждения лежит в
пределах от 0 до 1. Цель измерения – найти
такой интервал, в котором с наперед
заданной вероятностью 
(0 <  < 1)
находится истинное значение измеряемой
величины. Этот интервал называется
доверительным
интервалом,
а неразрывно связанная с ним величина

–
доверительной вероятностью
(или коэффициентом
надежности).
За середину интервала принимается
среднее значение, рассчитанное по
формуле (3). Половина ширины доверительного
интервала представляет собой случайную
погрешность _sx
(рис. 1).

Рис.1

Очевидно,
что
ширина доверительного интервала (а
следовательно, и ошибка _sx)
зависит от того, насколько сильно
отличаются отдельные измерения величины
х_i
от среднего
значения
.
«Разброс» результатов измерений
относительно среднего характеризуется
среднеквадратичной
ошибкой ,
которую находят по формуле

,
(4)

где
.

Ширина
искомого доверительного интервала
прямо пропорциональна среднеквадратичной
ошибке:

.
(5)

Коэффициент
пропорциональности t_n,_
называется
коэффициентом
Стьюдента;
он зависит от числа опытов п
и доверительной вероятности .

На
рис. 1, а, б
наглядно
показано, что при прочих равных условиях
для увеличения вероятности попадания
истинного значения в доверительный
интервал необходимо увеличить ширину
последнего (вероятность «накрывания»
значения Х
более широким интервалом выше).
Следовательно, величина t_n,_
должна быть тем больше, чем выше
доверительная вероятность
.

С
увеличением количества опытов среднее
значение приближается к истинному;
поэтому при той же вероятности 
доверительный интервал можно взять
более узким (см. рис. 1, а,в).
Таким образом, с ростом п
коэффициент Сьюдента должен
уменьшаться. Таблица значений коэффи-циента
Стьюдента в зависимости от п
и 
дана в приложениях к настоящему пособию.

Следует
отметить, что доверительная вероятность
никак не связана с точностью результата
измерений. Величиной 
задаются
заранее, исходя из требований к их
надежности. В большинстве технических
экспериментов и в лабораторном практикуме
значение 
принимается
равным 0,95.

Расчет
случайной погрешности измерения величины
х проводится
в следующем порядке:

1) вычисляется
сумма измеренных значений, а затем –
среднее значение величины

по формуле (3);

2) для
каждого i-го
опыта рассчитываются разность между
измеренным и средним значениями
,
а также квадрат этой разности (отклонения)
(х_i)²;

3) находится
сумма квадратов отклонений, а затем –
средне-квадратичная ошибка 
по формуле (4);

4) по
заданной доверительной вероятности 
и числу
проведенных опытов п
из таблицы на с. 149 приложений выбирается
соответствующее значение коэффициента
Стьюдента t_n,_
и определяется случайная погрешность
_sx
по формуле (5).

Для
удобства расчетов и проверки промежуточных
результатов данные заносятся в таблицу,
три последних столбца которой заполняются
по образцу табл.1.

Таблица
1

Номер опыта	…	х	х	(х)²
1	…
2	…
…	…
п	…
	 =		 =

В
каждом конкретном случае величина х
имеет определенный физический смысл и
соответствующие единицы измерения. Это
может быть, например, ускорение свободного
падения g
(м/с²),
коэффициент вязкости жидкости 
(Пас)
и т.д. Пропущенные столбцы табл. 1
могут содержать промежуточные измеряемые
величины, необходимые для расчета
соответствующих значений х.

Пример
1. Для
определения ускорения а
движения тела измерялось время t
прохождения им пути S
без начальной
скорости. Используя известное соотношение
,
получим расчетную формулу

.
(6)

Результаты
измерений пути S
и времени t
приведены во втором и третьем столбцах
табл. 2. Проведя вычисления по формуле
(6), заполним

четвертый
столбец значениями ускорения a_i
и найдем их сумму, которую запишем под
этим столбцом в ячейку « 
= ». Затем рассчитаем среднее значение

по формуле (3)

Таблица
2

Номер опыта	S, м	t, c	а, м/с²	а, м/с²	(а)², (м/с²)²
1	5	2,20	2,07	0,04	0,0016
2	7	2,68	1,95	-0,08	0,0064
3	9	2,91	2,13	0,10	0,0100
4	11	3,35	1,96	-0,07	0,0049
		 =	8,11	 =	0,0229

Вычитая
из каждого значения a_i
среднее, найдем разности a_i
и занесем их в пятый столбец таблицы.
Возводя эти разности в квадрат, заполним
последний столбец. Затем рассчитаем
сумму квадратов отклонений и запишем
ее во вторую ячейку « 
= ». По формуле (4) определим
среднеквадратичную погрешность:

Задавшись
величиной доверительной вероятности
 = 0,95,
для числа опытов п = 4
из таблицы в приложениях (с. 149) выбираем
значение коэффициента Стьюдента t_n,_
= 3,18; с помощью формулы (5) оценим
случайную погрешность измерения
ускорения

_sа
= 3,180,0437  0,139 (м/с²) .

Способы
определения приборных ошибок

Основными характеристиками
измерительных приборов являются предел
измерения и цена деления, а также –
главным образом для электро-измерительных
приборов – класс точности.

Предел
измерения П
– это максимальное значение величины,
которое может быть измерено с помощью
данной шкалы прибора. Если
предел измерения не указан отдельно,
то его определяют по оцифровке шкалы.
Так, если рис. 2
изображает шкалу миллиамперметра, то
его предел измерения равен 100 мА.

Р
ис.2

Цена
деления Ц –
значение измеряемой величины,
соответствующее самому малому делению
шкалы. Если шкала начинается с нуля, то

где
N
– общее количество делений (например,
на рис. 2
N = 50).
Если эта шкала принадлежит амперметру
с пределом измерения 5 А,
то цена деления равна 5/50 = 0,1 (А).
Если шкала принадлежит термометру и
проградуирована в С,
то цена деления Ц = 100/50 = 2 (С).
Многие электроизмерительные приборы
имеют несколько пределов измерения.
При переключении их с одного предела
на другой изменяется и цена деления
шкалы.

Класс
точности К
представляет собой отношение абсолютной
приборной погрешности к пределу измерения
шкалы, выраженное в процентах:

.
(7)

Значение класса
точности (без символа «%») указывается,
как правило, на электроизмерительных
приборах.

В зависимости от вида
измерительного устройства абсолютная
приборная погрешность определяется
одним из нижеперечисленных способов.

1. Погрешность
указана непосредственно на приборе.
Так, на микрометре есть надпись «0,01 мм».
Если с помощью этого прибора измеряется,
например, диаметр шарика D
(лабораторная работа 1.2), то погрешность
его измерения D = 0,01 мм.
Абсолютная ошибка указывается обычно
на жидкостных (ртутных, спиртовых)
термометрах, штангенциркулях и др.

2. На приборе указан
класс точности. Согласно определению
этой величины, из формулы (7) имеем

.
(8)

Например, для вольтметра
с классом точности 2,5 и пределом измерения
600 В абсолютная приборная ошибка
измерения напряжения

3. Если на приборе
не указаны ни абсолютная погрешность,
ни класс точности, то в зависимости от
характера работы прибора возможны два
способа определения величины х:

а) указатель
значения измеряемой величины может
занимать только определенные (дискретные)
положения, соответствующие делениям
шкалы (например, электронные часы,
секундомеры, счетчики импульсов и т.п.).
Такие приборы являются приборами
дискретного действия, и их абсолютная
погрешность равна цене деления шкалы:
х = Ц.
Так, при измерении промежутка времени
t секундомером с ценой
деления 0,2 с погрешность t = 0,2 с;

б) указатель
значения измеряемой величины может
занимать любое положение на шкале
(линейки, рулетки, стрелочные весы,
термометры и т.п.). В этом случае абсолютная
приборная погрешность равна половине
цены деления: х = Ц/2.
Точность снимаемых показаний прибора
не должна превышать его возможностей.
Например, при показанном на рис. 3
положении стрелки прибора следует
записать либо 62,5 либо 63,0 – в обоих
случаях ошибка не превысит половины
цены деления. Записи же типа 62,7 или 62,8
не имеют смысла.

Рис.3

4. Если какая-либо
величина не измеряется в данном оыте,
а была измерена независимо и известно
лишь ее значение, то она является заданным
параметром. Так, в работе 2.1 по
определению коэффициента вязкости
воздуха такими параметрами являются
размеры капилляра, в опыте Юнга по
интерференции света (работа 5.1) –
расстояние между щелями и т.д. Погрешность
заданного параметра принимается равной
половине единицы последнего разряда
числа, которым задано значение этого
параметра. Например, если радиус капилляра
r задан с точностью
до сотых долей миллиметра, то его
погрешность r = 0,005 мм.

Погрешности
косвенных измерений

В большинстве физических
экспериментов искомая величина и
не измеряется непосредственно каким-либо
одним прибором, а рассчитывается на
основе измерения ряда промежуточных
величин x, y, z,…
Расчет проводится по определенной
формуле, которую в общем виде можно
записать как

и = и(x, y, z,…).
(9)

В этом случае говорят,
что величина и представляет собой
результат косвенного измерения в
отличие от x, y, z,…,
являющихся результатами прямых
измерений. Например, в
работе 1.2 коэффициент вязкости жидкости

рассчитывается по формуле

,
(10)

где _ш
– плотность материала шарика; _ж
– плотность жидкости; g
– ускорение свободного падения; D
– диаметр шарика; t –
время его падения в жидкости; l
– расстояние между метками на сосуде.
В данном случае результатами прямых
измерений являются величины l,
D и t,
а коэффициент вязкости 
– результат косвенного
измерения. Величины _ш,
_ж
и g представляют
собой заданные параметры.

Абсолютная
погрешность косвенного измерения и
зависит от погрешностей прямых измерений
x,
y,
z…и
от вида функции (9). Как правило, величину
и
можно оценить по формуле
вида

,
(11)

где
коэффициенты k_x,
k_y,
k_z,…
определяются видом зависимостей величины
и от x,
y, z,…
Приведенная ниже табл. 3 позволяет
найти эти коэффициенты для наиболее
распространенных элементарных функций
(a, b, c, n
– заданные константы).

Таблица
3

и(х)	k_x

На
практике зависимость (9) чаще всего имеет
вид степенной функции

показатели степеней
которой k,
m, n,…
– вещественные (положительные или
отрицательные, целые или дробные) числа;
С – постоянный коэффициент. В этом
случае абсолютная приборная погрешность
и
оценивается по формуле

,
(12)

где

– среднее значение величины и;

– относительные приборные погрешности
прямых измерений величин x,
y, z,…
Для подстановки в формулу (12) выбираются
наиболее представительные, т.е.
близкие к средним значения x,
y, z,…

При расчетах по
формулам типа (12) необходимо помнить
следующее.

1. Измеряемые
величины и их абсолютные погрешности
(например, х и х)
должны быть выражены в одних и тех же
единицах.

2. Расчеты не требуют
высокой точности вычислений и должны
иметь оценочный характер. Так, входящие
в подкоренное выражение и возводимые
в квадрат величины (kE_x,
mE_y,
nE_z,…)
обычно округляются с точностью до
двух значащих цифр (напомним, что ноль
является значащей цифрой только тогда,
когда перед ним слева есть хотя бы одна
цифра, отличная от нуля). Далее, если
одна из этих величин (например, |kE_x|)по
модулю превышает наибольшую из остальных
(|mE_y|,
|nE_z|,…)
более чем в три раза, то можно, не прибегая
к вычислениям по формуле (12), принять
абсолютную ошибку равной
.
Если же одна из них более чем в три раза
меньше наименьшей из остальных, то при
расчете по формуле (12) ею можно пренебречь.

Пример 2.
Пусть при определении ускорения тела
(см. пример 1) путь S
измерялся рулеткой с ценой деления
1 мм, а время t
– электронным секундомером. Тогда, в
соответствии с изложенными в п.3, а, б
(с. 13) правилами, погрешности прямых
измерений будут равны

S = 0,5 мм = 0,0005 м;

t = 0,01 с.

Расчетную формулу
(6) можно записать в виде степенной
функции

a(S, t) = 2S¹t^– 2;

тогда на основании
(12) погрешность косвенного измерения
ускорения а
определится выражением

В
качестве наиболее представительных
значений измеренных величин возьмем
(см. табл. 2) S  8 м;
t  3 с
и оценим по модулю относительные
приборные ошибки прямых измерений с
учетом их весовых коэффициентов:

;

Очевидно,
что в данном случае величиной E_S
можно пренебречь и принять погрешность
а
равной

Пример 3.
Вернемся к определению коэффициента
вязкости жидкости (работа 1.2). Расчетную
формулу (10) можно представить в виде

Источник

Загрузить PDF

Абсолютная ошибка – это разность между измеренным значением и фактическим значением.^[1] Эта ошибка характеризует точность измерений. Если вам известны фактическое и измеренное значения, можно с легкостью вычислить абсолютную ошибку. Но иногда фактическое значение не дано, поэтому в качестве абсолютной ошибки пользуются максимально возможной ошибкой.^[2] Если даны фактическое значение и относительная ошибка, можно вычислить абсолютную ошибку.

1

Запишите формулу для вычисления абсолютной ошибки. Формула: $Delta x=x_{{0}}-x$ , где $Delta x$ – абсолютная ошибка (разность между измеренным и фактическим значениями), $x_{{0}}$ – измеренное значение, $x$ – фактическое значение.^[3]
2
Подставьте в формулу фактическое значение. Фактическое значение должно быть дано; в противном случае используйте принятое опорное значение. Фактическое значение подставьте вместо $x$ .
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м: $Delta x=x_{{0}}-105$ .
3
Подставьте в формулу измеренное значение. Оно будет дано; в противном случае измерьте величину (длину или ширину и так далее). Измеренное значение подставьте вместо $x_{0}$ .
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м: $Delta x=104-105$ .
4
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[4] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- В нашем примере: $Delta x=104-105=-1$ , то есть абсолютная ошибка измерения равна 1 м.
Реклама

1

Запишите формулу для вычисления относительной ошибки. Формула: $delta x={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ , где $delta x$ – относительная ошибка (отношение абсолютной ошибки к фактическому значению), $x_{{0}}$ – измеренное значение, $x$ – фактическое значение.^[5]
2
Подставьте в формулу относительную ошибку. Скорее всего, она будет дана в виде десятичной дроби. Относительную ошибку подставьте вместо $delta x$ .
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ .
3
Подставьте в формулу фактическое значение. Оно будет дано. Фактическое значение подставьте вместо $x$ .
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-105}{105}}$ .
4

Умножьте обе стороны уравнения на фактическое значение. Так вы избавитесь от дроби.
5

Прибавьте фактическое значение к каждой стороне уравнения. Так вы найдете $x_{{0}}$ , то есть измеренное значение.
6
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[6] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так: $107,1-105=2,1$ . Таким образом, абсолютная ошибка равна 2,1 м.
Реклама

1
Определите единицу измерения. То есть выясните, было ли значение измерено с точностью до сантиметра, метра и так далее. Возможно, эта информация будет дана (например, «длина поля измерена с точностью до метра»). Чтобы определить единицу измерения, посмотрите на то, как округлено данное значение.^[7]
- Например, если измеренная длина поля равна 106 м, значение было округлено до метров. Таким образом, единица измерения равна 1 м.
2
3
Используйте максимально возможную ошибку в качестве абсолютной ошибки.^[9] Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[10] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренная длина поля равна $106pm 0,5$ м, то есть абсолютная ошибка равна 0,5 м.
Реклама

Советы

Если фактическое значение не указано, найдите принятое опорное или теоретическое значение.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 25 861 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

Шкала измерительного прибора
Цена деления
Виды измерений
Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Абсолютная погрешность серии измерений
Представление результатов эксперимента
Задачи

п.1. Шкала измерительного прибора

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера.
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c
b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*}

п.3. Виды измерений

Вид измерений

Определение

Пример

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.

Составляющие погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$

Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см})
Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см})
Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта	1	2	3	Сумма
Масса, г	99,8	101,2	100,3	301,3
Абсолютное отклонение, г	0,6	0,8	0,1	1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то

абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$

абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$

Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:

относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$

относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$

Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:

относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности

$$ delta_{a^2}=2delta_a $$

относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности

$$ delta_{a^3}=3delta_a $$

относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна

$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	(triangle=frac{b-a}{n+1}), мл
1	20	40	4	(frac{40-20}{4+1}=4)
2	100	200	4	(frac{200-100}{4+1}=20)
3	15	30	4	(frac{30-15}{4+1}=3)
4	200	400	4	(frac{400-200}{4+1}=40)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем (V_0), мл	Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл	Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%})
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})

Источник

Абсолютной
погрешностью
измерительного прибора называется
разность между его показанием и истинным
значением измеряемой величины. Так как
истинное значение измеряемой величины
установить невозможно, в измерительной
технике используется так называемое
действительное
значение,
полученное с помощью образцового прибора
[1-2].

Абсолютная
погрешность:
Δ = Х_п
— Q₀,

где
Х_п
— значение, полученное при измерении
величины рабочим измерительным прибором;
Q₀
— действительное значение измеряемой
величины.

Относительная
погрешность измерительного прибора
— это
отношение абсолютной погрешности к
действительному значению, выраженное
в %:

При
вычислении относительной погрешности
абсолютную погрешность можно также
относить к показанию рабочего прибора
X_п.

Если
прибор работает в условиях, отличных
от условий, оговоренных в паспорте, то
возникает дополнительная
погрешность, увеличивающая
общую погрешность прибора. К дополнительным
погрешностям относятся: температурная
погрешность, вызванная отклонением
температуры окружающей среды от
нормальной; инструментальная погрешность,
обусловленная отклонением положения
прибора от нормального рабочего положения
и т.п. За нормальную температуру
окружающего воздуха принимают 20° С, а
за нормальное атмосферное давление —
101325 Н/м²
(760 мм рт. ст.).

Приведённая
относительная погрешность
– это отношение абсолютной погрешности
к нормирующему значению:

где
Х_норм
— чаще всего диапазон шкалы измеряемого
прибора

Вариацией
измерительного
прибора N
называется
наибольшая экспериментально полученная
разность между показаниями измерительного
прибора при прямом и обратном ходе,
соответствующими одному и тому же
действительному значению измеряемой
величины при одинаковых условиях
измерения. Вариации вызываются трением
в механизме прибора, зазорами (люфтами)
в кинематических парах, гистерезисом
и упругим последействием чувствительных
элементов прибора. Таким образом, N
— это абсолютная вариация прибора.

Приведенная
вариация прибора :

где
ΔN
– абсолютная вариация прибора; N_max
и N_min
– соответственно верхнее и нижнее
предельные значения шкалы прибора.

1.8. Класс точности приборов

Обобщенной
характеристикой средств измерения
является класс точности, определяемый
предельными значениями допускаемых
основных и дополнительных погрешностей,
а также другими свойствами средств
измерения, влияющими на точность,
значение которых устанавливается в
стандартах на отдельные виды средств
измерений. Класс точности средств
измерений характеризует их точностные
свойства, но не является непосредственным
показателем точности измерений,
выполняемых с помощью этих средств.
Например, класс точности вольтметра
характеризует пределы допускаемой
основной погрешности и допускаемых
изменений показаний, вызываемых внешним
магнитным полем и отклонением от
нормальных значений температуры, частоты
переменного тока и некоторых других
влияющих факторов [1-2].

В
настоящее время в нашей стране используются
два вида классов точности: 1) по абсолютным
погрешностям (порядковые номера классов);
2) по относительным приведенным
погрешностям (отношение абсолютной
погрешности Δ к диапазону шкалы прибора,
выраженное в процентах).

Государственными
стандартами для разных приборов
установлены различные классы точности.
Класс точности обозначается на циферблате
прибора либо в паспорте прибора.

Согласно
ГОСТ 8.401-80 (взамен ГОСТ 13600-68) классы
точности выбираются из ряда:

К=(1;1.5;2.0;2.5;3.0;4.0;5.0;6.0)*10ⁿ,

где
n=1,0,-1,2….

Средства
измерений с двумя и более шкалами могут
иметь соответственно два и более классов
точности.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Вычисление погрешностей измерений

Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин, т. е. определением значений величин опытным путём с помощью измерительных приборов (средств измерения), и обработкой результатов измерений.

Различают прямые и косвенные измерения. При этом результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность измерения. Точность измерения физической величины характеризуют абсолютная и относительная погрешности.

Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно с помощью измерительного прибора.

Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δ_иx + Δ_оx при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.

Абсолютная инструментальная погрешность Δ_иx связана с классом точности прибора. Абсолютные инструментальные погрешности некоторых средств измерений представлены в таблице 1.

Таблица 1

Средства измерений	Диапазон измерений	Абсолютная инструментальная погрешность
Линейки: металлические деревянные пластмассовые	150, 300, 500 мм 400, 500, 750 мм 200, 250, 300 мм	0,1 мм 0,5 мм 1 мм
Лента измерительная	150 см	0,5 см
Мензурки 2-го класса	100, 200, 250 см³	5 см³
Амперметр школьный	2 А	0,05 А
Миллиамперметр	от 0 до I_max	4 % максимального предела измерений I_max
Вольтметр школьный	6 В	0,15 В
Термометр лабораторный	100 °С	1 °С
Барометр-анероид	720–780 мм рт. ст.	3 мм рт. ст.
Штангенциркули с ценой деления 0,1; 0,05 мм	155, 250, 350 мм	0,1; 0,05 мм в соответствии с ценой деления нониуса
Микрометры с ценой деления 0,01 мм	0–25, 25–50, 50–75 мм	0,004 мм

Абсолютная погрешность отсчёта Δ_оx связана с дискретностью шкалы прибора. Если величину измеряют с точностью до целого деления шкалы прибора, то погрешность отсчёта принимают равной цене деления. Если при измерении значение величины округляют до половины деления шкалы, то погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления.

Абсолютная погрешность определяет значение интервала, в котором лежит истинное значение измеренной величины:

Относительную погрешность прямого измерения определяют отношением абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:

$straight epsilon subscript x equals fraction numerator increment x over denominator x subscript изм end fraction times 100 percent sign.$

Относительная погрешность характеризует точность измерения: чем она меньше, тем точность измерения выше.

Косвенное измерение — определение значения физической величины с использованием формулы, связывающей её с другими величинами, измеренными непосредственно с помощью приборов.

Одним из методов определения погрешности косвенных измерений является метод границ погрешностей. Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей представлены в таблице 2.

Таблица 2

Вид функции y	Абсолютная погрешность Δy	Относительная погрешность $fraction numerator bold increment bold y over denominator bold y end fraction$
x₁ + x₂	Δx₁ + Δx₂	$fraction numerator increment x subscript 1 plus increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 1 plus x subscript 2 close vertical bar end fraction$
x₁ − x₂	Δx₁ + Δx₂	$fraction numerator increment x subscript 1 plus increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 1 minus x subscript 2 close vertical bar end fraction$
Cx	CΔx	$fraction numerator increment x over denominator x end fraction$
x₁x₂	\|x₁\| Δx₂ + \|x₂\| Δx₁	$fraction numerator increment x subscript 1 over denominator open vertical bar x subscript 1 close vertical bar end fraction plus fraction numerator increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 2 close vertical bar end fraction$
	$fraction numerator open vertical bar x subscript 1 close vertical bar increment x subscript 2 plus open vertical bar x subscript 2 close vertical bar increment x subscript 1 over denominator x subscript 2 superscript 2 end fraction$	$fraction numerator increment x subscript 1 over denominator open vertical bar x subscript 1 close vertical bar end fraction plus fraction numerator increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 2 close vertical bar end fraction$
xⁿ	\|n\|\|x\|ⁿ⁻¹Δx	$open vertical bar n close vertical bar fraction numerator increment x over denominator open vertical bar x close vertical bar end fraction$
lnx	$fraction numerator increment x over denominator x end fraction$	$fraction numerator increment x over denominator x open vertical bar ln x close vertical bar end fraction$
sinx	\|cosx\| Δx	$fraction numerator increment x over denominator open vertical bar tg x close vertical bar end fraction$
cosx	\|sinx\| Δx	\|tgx\| Δx
tgx	$fraction numerator increment x over denominator cos squared x end fraction$	$fraction numerator 2 increment x over denominator open vertical bar sin 2 x close vertical bar end fraction$

Абсолютную погрешность табличных величин и фундаментальных физических постоянных определяют как половину единицы последнего разряда значения величины.

Источник