Как определить скоростную ошибку - Ремонт и установка крупной бытовой техники

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В предыдущих сериях:
1. Введение в теорию автоматического управления
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3

В это части будут рассмотрены:
2.4 Основные виды входных воздействий
2.5. Основные положения и свойства интегральных преобразований Лапласа
2.6. Основные свойства преобразований Лапласа
2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа
2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению

Будет интересно познавательно и жестко.

На рисунке 3D график функции косеканс куба, к теме лекции отношения не имеет, но чертовски красив.

2.4 Основные виды входных воздействий

Для того, что бы определить свойства системы нужно осуществить воздействие и посмотреть на реакцию.

В теории управления техническими системами принят ряд стандартных входных воздействий, по реакции на которые определяются динамические свойства (характеристики) системы управления (звена). К таким воздействиям относятся: единичное импульсное воздействие, единичное ступенчатое воздействие, единичное гармоническое воздействие, линейное воздействие и др. Рассмотрим их более подробно…

2.4.1. Единичное ступенчатое воздействие

Данное воздействие является одним из наиболее «жестких» (неблагоприятных) воздействий, по реакции на которое сравниваются переходные свойства (переходной процесс) идентичных или близко идентичных систем.

Реакция системы (звена) на такое воздействие называется переходной функцией.

Единичное ступенчатое воздействие обозначается 1(t) и бывает 3-х видов: два асимметричных и одно симметричное.

$1(y) Rightarrow left[ begin{gathered} 1_+(t) 1(t) 1_-(t) end{gathered} right. mathbf{(2.4.1)}$

Рассмотрим каждый из этих видов воздействий:

$1(t)=left { begin{gathered} 1, если t>0 frac{1}{2}, если t=0 0, если t<0 end{gathered} right. 1_-(t) = left { begin{gathered} 1, если tgeq 0 0, если t<0 end{gathered} right. 1_+(t) = left { begin{gathered} 1, если t> 0 0, если tleq0 end{gathered} right.$

Рисунок 2.4.1 – Графики единичных ступенчатых воздействий

В теории управления наибольшее распространение имеет асимметричное воздействие 1₊ (t), поскольку часто в анализе удобно рассматривать процесс, когда при t $leq$ 0 САР находится в равновесии, и анализ переходных процессов ведется только при t > 0.

Для удобства представления будем в дальнейшем записывать воздействие 1₊(t), опуская индекс. 1₊ (t) ≡ 1(t).

Поскольку рассматриваемое входное воздействие имеет разрыв при t = 0 (что часто нежелательно в численных алгоритмах, использующих конечно-разностную схему), имеется формула, позволяющая приближенно описать единичное ступенчатое воздействие, в виде неразрывной функции:

$1(t) = lim_{Tto0}(1 -e^{-frac{t}{T}}) mathbf{(2.4.2)}$

где Т – постоянная времени, а текущее время $t geq 0$

На рисунке 2.4.2 представлена графическая иллюстрация аппроксимации 1(t) по формуле (2.4.2).

Рисунок 2.4.1 – Графики единичных ступенчатых воздействий

2.4.2. Единичное импульсное воздействие: δ — функция Дирака

В математике различают три вида данного воздействия: одно симметричное и два асимметричных

$delta (t) Rightarrow left[ begin{gathered} delta_+(t) delta(t) delta_-(t) end{gathered} right.$

Рассмотрим все эти воздействия:
Симметричное единичное импульсное воздействие δ (t) определено как:

$delta (t) = left{ begin{gathered} 0, если t >0 infty, если t =0 0, если t <0 end{gathered} int_{-infty}^{+infty} delta(t) dt = 1; right.$

Графическая иллюстрация симметричного единичного импульсного воздействия представлена на рисунке 2.4.3. Фактически δ (t) – импульс (с длительностью стремящейся к нулю и амплитудой, равной бесконечности), площадь которого равна 1.

Рисунок 2.4.3 – Варианты представления симметричного импульсного воздействия

Для симметричного единичного импульсного воздействия δ(t) существует аналитическая форма представления:

$int_{-infty}^{+infty} delta(t)dt = int_{-infty}^{+infty} lim_{h to infty}frac{h}{sqrt{pi}}e^{-h^2t^2} = lim_{h to infty}frac{1}{sqrt{pi}}int_{-infty}^{+infty}e^{-(ht)^2} d(ht)$

Введем новую переменную $u = h cdot t$ , тогда:

$frac{1}{sqrt{pi}} lim_{u to infty}int_{-infty}^{+infty}e^{-(u)^2} d(u) = frac{1}{sqrt{pi}} cdot sqrt{pi} = 1, поскольку lim_{u to infty}int_{-infty}^{+infty}e^{-(u)^2} d(u) = sqrt{pi}$

Смещенные (асимметричные) единичные импульсные воздействия определяются как:

$delta_- (t) = left{ begin{gathered} 0, если t leq 0 infty, если t =-epsilon 0, если t < epsilon end{gathered} right. delta_+ (t) = left{ begin{gathered} 0, если t > epsilon leq 0 infty, если t =epsilon 0, если t leq 0 end{gathered} right. int_{-infty}^{+infty} delta(t) dt = 1;$

где $epsilon -$ сколь угодно малое положительное число (ε → 0)

Графическая иллюстрация смещенных единичных импульсных воздействий представлена на рисунке 2.4.4

Рисунок 2.4.4 – Смещенные единичные импульсные воздействия.

В дальнейшем в нашем курсе будет использоваться только δ₊ (t). ==> Индекс «+» опускается… ==> δ₊ (t) ≡ δ(t).

Поскольку смещенное единичное импульсное воздействие фактически имеет разрыва при t = 0 (что иногда нежелательно в численных алгоритмах, использующих конечно-разностную схему), имеется формула, позволяющая приближенно описать смещенное единичное импульсное воздействие:

$delta(t) = lim_{T to 0} frac{1}{T} e^{frac{-t}{T}} mathbf{(2.4.3)}$

где Т – постоянная времени, а текущее время t>0!!!
На рисунке 2.4.5 представлена графическая иллюстрация аппроксимации δ(t) по формуле (2.4.3).

Рисунок 2.4.5 – Графики аппроксимаций единичного импульсного воздействия

Реакция САУ (звена) на воздействие δ (t) называется весовой функцией.

2.4.3. Единичное гармоническое воздействие

Данное воздействие используется для анализа частотных характеристик САУ (звена) в установившемся режиме колебаний в системе, т.е. свойства САУ (звена) исследуются при больших значениях t (времени), когда влияние начальных условий пренебрежимо мало и движение (колебания) системы определяются только входным внешним воздействием.

$x(t) = sin (omega cdot t) mathbf{(2.4.4)} $

где ω — круговая частота, [1/с]; $ omega = 2 cdot picdot f$ , где $f$ — частота в Герцах.

На рисунке 2.4.6 представлен график единичного гармонического воздействия.

Рисунок 2.4.6 – Гармоничное воздействие

Поскольку при анализе частотных характеристик САУ рассматривается режим установившихся вынужденных колебаний САУ (при больших значениях времени t, когда собственная составляющая переходного процесса пренебрежимо мала), то удобнее представить x(t) в показательной форме.

$x(t) = e^{omega cdot i cdot t} mathbf{(2.4.5)}$

Необходимо отметить, что показательная форма – «комплексное» воздействие, и оно выглядит так (действительная и мнимая части условно показаны на рисунке 2.4.7):

$x(t)=e^{icdot omega cdot t} = underbrace{cos (omega cdot t)}_{Re}+ underbrace{i cdot sin(omega cdot t)}_{Im} mathbf{(2.4.6)}$

Рисунок 2.4.7 – Гармоничное воздействие действительна и менимая часть

Действительная часть «комплексного» воздействия (Re) – на самом деле косинусоидальное воздействие. Но так как частотные характеристики САУ определяются в режиме установившихся гармонических колебаний (т.е. при «очень-очень» больших значениях t), то не важно, по какому закону вводилось единичное гармоническое воздействие – по «синусу» или по «косинусу».

2.4.4. Линейное воздействие

Данный вид входного воздействия используется для оценки точности систем управления, а именно, для определения скоростных ошибок.

$x(t)= a cdot t mathbf{(2.4.7)}$

где t ≥ 0, а при t < 0 входное воздействие всегда равно нулю.

На рисунке 2.4.8 представлен график линейного входного воздействия

Рисунок 2.4.8 – Линейное входное воздействие

2.5. Основные положения и свойства интегральных преобразований Лапласа

Решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) у_соб(t) записывается в виде (если нет повторяющихся корней):

$y_{соб.}(t) = sum_{j=0}^nc_je^{lambda_i}t$

т.е. все члены уравнения имеют одну и ту же форму. Этот результат наводит на мысль: «а нельзя ли ввести какое-то преобразование, в результате которого уравнение динамики (дифференциальное) можно привести к чисто алгебраическому, решение которого не представляет проблем.» А если затем сделать соответствующее обратное преобразование, то получим у_соб (t), то есть получим цепочку:

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) $Rightarrow$ Алгебраическое уравнение Решение Обратное преобразование Результат.

Именно такими соображениями руководствовался Лаплас, предлагая такое преобразование, называемое в настоящее время преобразованием Лапласа.

Предположим, что имеется нестационарный процесс f(t). Лаплас предложил ввести интегральное преобразование, которое отображает f(t) на комплексную плоскость согласно соотношению:

$F(s) = int_0^{infty}f(t) cdot e^{-st}dt mathbf{(2.5.1)}$

Рисунок 2.5.1

где s = c+i⋅ω: ω ∈ ] -∞; +∞ [; с – абсцисса абсолютной сходимости
(обычно в курсе «УТС» с = 0); f(t) – прообраз (оригинал); F(s) – изображение (образ);

Символическое обозначение преобразования Лапласа:

$f(t) Longrightarrow F(s) mathbf{(2.5.2)}$

Преобразование Лапласа существует, если при t<0 f(t ) = 0 и выполняется условия сходимости:

$int_0^infty mid f(t) mid cdot e^{-ct} dt < infty mathbf{(2.5.3)}$

В соответствии с соотношением (2.5.1) переходной процесс f(t) отображается на комплексную плоскость, где каждому значению оператора Лапласа «s» соответствует свой вектор. Линия, соединяющая концы векторов называется годографом.

Обратное преобразование Лапласа определяется следующим соотношением:

$f(t) = lim_{omega to infty} frac{1}{2pi cdot i} int_{c-icdot omega}^{c+i cdotomega} F(s) cdot e^{st}ds mathbf{(2.5.4)}$

Необходимо подчеркнуть, что если условие сходимости выполняется, то любому оригиналу соответствует изображение. Обратное преобразование Лапласа не всегда существует, т.е. если известно F(s), это не означает, что ему соответствует оригинал f(t)!

Прямое преобразование Лапласа символически обозначается:

$f(t) longrightarrow F(s) или L[f(t)] equiv F(s) mathbf{(2.5.5)}$

Обратное преобразование Лапласа обозначается:

$F(s) longrightarrow f(t) или L^{-1}[F(s)] equiv f(t) mathbf{(2.5.6)}$

Существует двухстороннее преобразование Лапласа $L_B [f(t)]$ , частным случаем которого является обычное преобразование Лапласа

$L_B[f(t)] = int_{-infty}^{+infty}f(t) cdot e^{- s t} dt mathbf{(2.5.7)}$

Если при t ≤ 0 функция f(t) = 0, то

Частным случаем двухстороннего преобразования Лапласа (при с = 0, т.е. s = i⋅ω) является преобразование Фурье, определяемое соотношениями:

$Psi(i cdot omega) equiv L_B[f(t)]_{s=i cdot omega} = int_{ - infty}^{+infty}f(t) cdot e^{-i cdot omega cdot t} dt f(t) = frac{1}{2 pi}int_{ - infty}^{+infty}Psi(i cdot omega) cdot e^{-i cdot omega cdot t} d omega mathbf{(2.5.8)}$

2.5.1. Использование преобразования Лапласа для операции дифференцирования

Пусть известно $f(t)$ и его изображение по Лапласу: $f(t) longrightarrow F(s), $ выведем выражение для $ L[f(t)’ ]$ .

Воспользуемся соотношением (2.5.1): $F(s) = int_0^{infty}f(t) cdot e^{-st}dt$ , тогда получаем:

$L[f'(t)] = int_0^{infty}[f(t)'] cdot e^{-st}dtRightarrow left { begin{array} по частям u = e^{-st}; Rightarrow du = -s cdot e^{-st} ; d nu = f'(t)dt; Rightarrow nu = f(t). end{array} right. Rightarrow u cdot v mid_0^{infty}-int_0^{infty} v cdot dv Rightarrow$

$Rightarrow f(t) cdot e^{-st} mid_0^{infty}+ int_0^{infty}f(t)s cdot e^{-st} dt=[f(infty) cdot underbrace{e^{-scdot infty}}_{0}-f(0) cdot e^0]+s underbrace{int_0^{infty}f(t) cdot e^{-st}}_{F(s)}=$

$=s cdot F(s) - f(0) Rightarrow L[f'(t)] = s cdot F(s) - f(0), mathbf{(2.5.9)}$

где: $f(0) $ — начальное условия.
Если начальные условия равны нулю, то $f(0)=0$ ;

$L[f'(t)] = s cdot F(s); mathbf{(2.5.9.a)}$

Аналогичным способом найдем изображение 2-ой производной:

$L[f''(t)] = int_0^{infty}[f''(t)] cdot e^{-st}dtRightarrow left { begin{array} cu = e^{-st}; Rightarrow du = -s cdot e^{-st} ; d nu = f''(t)dt; Rightarrow nu = f'(t). end{array} right. Rightarrow Rightarrow f'(t) cdot e^{-st} mid_0^{infty}+s cdot underbrace{int_0^{infty} f'(t) cdot e^{-st} dt}_{L[f'(t)]} = -f'(0)+s cdot F[f'(t)] Rightarrow$

$L[f''(t)] = s^2 cdot F(s) -s cdot f(0) - f'(0), mathbf{(2.5.10)}$

Если при $t=0, f(t) и f'(0)$ равны нулю (нулевые начальные условия), то:

$L[f''(t)] = s^2 cdot F(s) mathbf{(2.5.10.a)}$

Обобщая на производную n-го порядка при нулевых начальных условиях, имеем:

$L[f^{(n)}(t)] = s^n cdot F(s) mathbf{(2.5.11)}$

2.5.2. Использование преобразования Лапласа для операции интегрирования

Пусть известно $f(t)$ и его изображение по Лапласу: $f(t) longrightarrow F(s), $ выведем выражение для $ L[int f(t) ]$ .

$L[int f(t)dt] = int_0^{infty}[f(t)dt] cdot e^{-st}dt Rrightarrow left { begin{array} e^{-st}dt = dv; Rightarrow v = - frac{1}{s}e^{-st}; int f(t)dt = u; Rightarrow du =f(t)dt; end{array} right. Rightarrow$

$[-1 frac{1}{s}e^{-st} cdot int f(t) dt] mid_0^{infty} + frac{1}{s} underbrace{int_0^{infty}f(t) cdot e^{-st} dt}_{F(s)} = frac {1}{s}F(s)+frac {1}{s}[int f(t) dt ] mid_0$

Окончательно:

$L[int f(t)dt] =frac {1}{s}F(s)+underbrace{frac {1}{s}[int f(t) dt ] mid_0}_{добавка н.у} mathbf{(2.5.12)}$

Если начальные условия равные нулю, то:

$L[underbrace{ intintint}_{n-раз} f(t)dt] =frac {1}{s^n}F(s) mathbf{(2.5.13)}$

Таким образом, операция интегрирования в оригинале функции приводит появлению в её изображении “добавке”, равной 1/s.

2.6. Основные свойства преобразований Лапласа

2.6.1. Свойство линейности

Пусть есть процессы описываемые функциями $f_1(t)$ и $f_2(t)$ , каждый из которых имеет свое изображение по Лапласу: $f_1(t) longrightarrow F_1(s); f_2(t) longrightarrow F_2(s);$ . Если $f(t) = f_1(t) pm f_2(t) $ то:

$L[f(t)]=L[f_1(t) pm f_2(t)] = F_1(s) pm F_2(s) mathbf{(2.6.1)}$

Если $f(t)= a cdot f_1(t)$ , то:

$L[f(t)] = L[a cdot f_1(t)] = a cdot L[f_1(t)]= a cdot F_1(s) mathbf{(2.6.2)}$

2.6.2. Свойство подобия (свойство изменения масштаба)

Пусть $f(t) longrightarrow F(s)$ — известно, необходимо найти $L[f(a cdot t)]$

$L[f(a cdot t)] = frac{1}{a} int_0^{infty} f(a cdot t) cdot e^{-st cdot frac{a}{a}}d(at) = frac{1}{a} int_0^{infty} f(a cdot t) cdot e^{-frac{s}{a} cdot at}d(at) Rightarrow$

$L[f(at)]= frac{1}{a} F(frac{s}{a}) mathbf{(2.6.3)}$

2.6.3. Свойство запаздывания (теорема запаздывания)

Пусть $f(t) longrightarrow F(s)$ — известно, необходимо найти $L[f(t - tau )]$

Рисунок 2.6.1 – Иллюстрация переходного процесса с запаздыванием

$L[f(t - tau)] = int_0^ infty f(t -tau)e^{-s[t- tau+ tau]}d(t- tau) = e^{-s cdot tau} underbrace{int_0^infty f(t -tau)e^{-s[t- tau]}d(t- tau)}_{F(s)}$

$L[f(t pm tau)] = F(s) cdot e^{pm scdot tau} mathbf{(2.6.4)}$

2.6.4. Свойство смещения в комплексной плоскости

$L[f(t) cdot e^{pm s_0 cdot t}]= F(s pm s_0) mathbf{(2.6.5)}$

2.6.5. Первая предельная теорема

Если $f(t) longrightarrow F(s)$ — известно, а так же существует $lim_{s to infty}f(t)$ , то:

$lim_{t to infty}f(t) = lim_{s to 0}s cdot F(s) mathbf{(2.6.6)}$

Рисунок 2.6.2 – Иллюстрация первой предельной теоремы

Это означает, что оси «t» и «s» формально направлены в противоположные стороны, т.е. чем больше t, тем меньше s и наоборот.

2.6.6.Вторая предельная теорема

$lim_{t to 0}f(t)= lim_{s to infty}s cdot F(s) mathbf{(2.6.7)}$

2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа по известному изображению

Вычисление оригиналов по известному (данному) изображению можно выполнить:
— по соответствующим таблицам преобразований Лапласа;
— по формулам Хэвисайда;
— разложением на элементарные дроби;
— другими способами.

В математических справочниках приводятся обширные таблицы, по которым можно найти оригиналы большинства изображений. Приведем основыные преобразования:

Таблица основных преобразований Лапласа

Однако, нередко бывают и случаи, когда необходимое преобразование отсутствует в таблицах. В этом случае используются различные специальные способы.

Например, если изображение F(s) можно представить в виде отношения полиномов по степеням «s», то наиболее общим и эффективным способом поиска оригинала является формула Хэвисайда.

Если $F(s) = frac{D_1(s)}{D_0(s)}$ , где $D_1(s)$ и $D_0(s)$ – полиномы по степеням «s», то:

$f(t)=sum_{j=1} frac{1}{(k_j-1)!} cdot lim_{s to s_j} frac{d^{k_j-1}}{ds^{k_j-1}}[(s-s_j)^{k_j} cdot F(s) cdot e^{st}], mathbf{(2.7.1)}$

где $s_j$ – полюса изображения, т.е. те значения «s» при которых полином $D_0(s)$ обращается в ноль;
$k_j$ – кратность j – го полюса.

Если уравнение $D_0(s)=0$ имеет n различных корней, то это означает что полюса F(s) имеют кратность, равную единице, т.е. нет повторяющихся полюсов.

Необходимо отметить, что использование формулы (2.7.1) будет корректно только в том случае, когда степень полинома $D_0(s)$ выше степени полинома $D_1(s)$ . Если степени равны, то необходимо выделить целую часть (разделив «в столбик» полиномы) и чисто дробную часть, после чего для чисто дробной части корректна формула (2.7.1).

2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению

В качестве иллюстрации возможностей формулы Хэвисайда рассмотрим следующий пример:

Пример 1. Предположим, что изображение F(s) некоторого неизвестного процесса f(t) равно:

$F(s) = frac{A}{S^2(T cdot S+1)}; F(s) to f(t)=?$

$D_1(s) = A; D_0(s) = s^2(Ts+1)$

Найдем полюса:

$D_0(s) = s^2(Ts+1) Rightarrow S_1 =-frac{1}{T}; S_2=S_3=0;$

$f(t) = S_1+S_2 для j=1; S_1=- frac{1}{T} Rightarrow lim_{s to -frac{1}{T}}[(s+frac{1}{T})cdot frac{A}{S^2(T cdot S+1)} cdot e^{st}] Rightarrow frac{1}{T}cdot frac{A}{frac{1}{T^2}} cdot e^{-frac{t}{T}}=A cdot T cdot e^{-frac{t}{T}}; для j =2,3 frac{1}{(2-1)!}lim_{s to 0} frac{d}{ds}[(s-0)^2 cdot frac{A}{S^2(T cdot S+1)} cdot e^{st}] = lim_{s to 0}[-frac{A}{(TS+1)^2} cdot T cdot e^{st}+t cdot e^{st} frac{A}{TS+1}] = =[-AT +At] Rightarrow f(t) =A cdot T cdot e^{-frac{t}{T}} - A cdot T+A cdot t = A[t - T(1 -e^{-frac{t}{T}})];$

Рисунок 2.8.1 – График процесса построенный по изображению: $F(s) = frac{A}{S^2(T cdot S+1)}$ .

Разложение на элементарные дроби.

$f(t) = ? F(s) = frac{D_1(s)}{D_0(s)}$

Если корни уравнение уравнения $D_0(s) = 0$ различны, т.е. нет совпадающих, то:

$F(s) = frac{D_1(s)}{D_0(s)}=frac{a_1}{s -s_1}+frac{a_2}{s -s_2}+ ..+frac{a_k}{s -s_k} +R(s)$

где $S_i$ — корни уравнения; $R(s)$ — остаточный член (не разлагается на действительные дроби);

$s_1,s_2,...,s_k in R s_{k+1},s_{k+2},...,s_n in C$

Используя свойства линейности преобразований Лапласа, мы можем представить $f(t) $ как сумму преобразований:

$f(t) = f_1(t)+f_2(t)+...+f_k(t)+f_{ост}(t)$

Пример 2

Имеем известное изображение:

$F(s)=frac{s+3}{s^2+3s+2}$

$f(t)$ — оригинал, при нулевых начальных условиях: $t =0, f(0)=0.$

Разложение на элементарные дроби:

$left | begin{gathered} s_1 = -1; s_2 = -2; end{gathered} right. Rightarrow F(s)=frac{a_1}{s+1}+frac{a_2}{s+2}.$

Используя метод неопределенных коэффициентов, приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$a_1(s+2)+a_2(s+1) = s+3 left { begin{gathered} a_1+a_2 =1 2 cdot a_1+a_2 = 3 end{gathered} right. Rightarrow left { begin{gathered} a_1 =2 a_2 = -1 end{gathered} right.$

Тогда изображение разложенное на элементарные дроби принимает такой вид, что его решение можно получить из таблиц:

$F(s) = frac{2}{s+1} - frac{1}{s+2} и L^{-1} left[frac{2}{s+1}right] = 2 cdot L^{-1} left[frac{1}{s+1}right] = 2 cdot e^{-t} cdot 1(t) L^{-1} left[frac{1}{s+2}right] = e^{-2t} cdot 1(t) f(t) = f_1+f_2 =(2 cdot e^{-t} -e^{-2t})cdot 1(t)$

Рисунок 2.8.2 – График процесса построенный по изображению: $F(s)=frac{s+3}{s^2+3s+2}$ .

Продолжение лекций: 2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13

В заключение несколько полезных ссылок теме описанной в этой лекции:

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского. Учебно-методическое пособие ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА — www.lib.unn.ru/students/src/Laplace%20transform.pdf
Калькулятор Интегралов — www.integral-calculator.ru
СФУ Институт Космических и Информационых технологий Лекция ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ (МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД) — ikit.edu.sfu-kras.ru/files/3/L_10.pdf
Понятие полюсов и нулей в передаточных функциях — radioprog.ru/post/765

Источник

Исследуемая
система автоматического регулирования
является астатической по задающему
воздействию, поскольку в знаменателе
передаточной функции разомкнутой
системы имеется сомножитель в первой
степени (исполнительный механизм
является интегрирующим звеном).
Следовательно, статистическая ошибка
системы равна 0.

Коэффициент
ошибки по скорости определяется по
формуле:

3. Оценка показателей точности работы сар.

3.1. Частотные критерии качества переходных процессов.

Для
минимально-фазовых систем качество
переходных процессов может быть оценено
по амплитудной характеристике замкнутой
системы Аз(ω).

Построим
АЧХ для передаточной функции:

Для
этого заменим коэффициент р
на jω,
тогда получим:

Отделим
мнимую часть от действительной.

отделим
амплитуду от фазы

Построим
АЧХ (см. данные расчетов в табл.3 и график
на рис.4).

Таблица
3.

ω,l/c	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8
А(ω)	0,03	0.1755	0.2356	0.3033	0.1887	0.1019	0.0632	0.0433	0.0317	0.0243	0.0192	0.0156	0.0129	0.0109	0.0093	0.008	0.007

Рис.4.
График АЧХ.

По
АЧХ можно оценить колебательность и
длительность переходной характеристики
системы. Колебательность
определяется
по величине относительного максимума
характеристики, который поэтому
называется показателем колебательности:

Длительность
переходной характеристики
может
быть оценена по величине резонансной
частоты

Обычно
в качественных системах показатель
колебательности М
не должен превосходить значений 1,1…1,5.

Так
как получили, что М
= 10,1 >
1,1…1,5;
то,
следовательно,
частотный
критерий качества не выполняется.

3.2. Корневые критерии качества переходных процессов.

Чтобы
проверить корневые критерии качества,
необходимо решить следующее уравнение
четвертой степени

0,0108⁴
+ 0,372³
+ 0,43²
+  + 0,16 = 0

Найдем
корни этого уравнения:

₁= -33,33

₂= -1,54– 0,47 j

₃= -1,54 + 0,47 j

₄= -0,17

Чтобы
корневые критерии качества выполнялись,
должно выполняться соотношение:

Следовательно,
корневой
критерий качества не выполняется.

Литература

Келим
Ю. М. Основы автоматизации предприятий
почтовой связи/ВЗЭИС. – М., 1980. – 74с.
Келим
Ю. М.Электромеханические и магнитные
элементы систем автоматики. – М.: Высшая
школа, 1991. – 304 с.
Келим
Ю. М.Электрические элементы и схемы
постового оборудования/МИС. – М. , 1988.
Келим
Ю. М. Контроль и метрологическое
обеспечение средств и систем автоматизации.
– М.: Издательский центр «Академия»,
2014. – 352 с.
Теория
автоматического управления. Ч.1/Под
ред. А.А. Воронова. – М.: Высшая школа,
1986.
Юревич
Е.И. Теория автоматического управления.
– М.: Энергия, 1975. – 416с.
Цыпкин
Я.З. Основы теории автоматических
систем – М.: Изд-во «Наука», 1977.– 500с.

~
2~

Источник

C₁V –
скоростная ошибка, ошибка от скорости.

С₁
– коэффициент скоростной ошибки.

q=1, I
порядок астатизма Данная система называется системой
с астатизмом второго порядка и она содержит в разомкнутой системе 2 и более
интеграторов.

Определим коэффициент С₁ для системы с
первым порядком астатизма

K_V – Добротность
системы по скорости.

— статический
коэффициент усиления позиционной части

разомкнутой системы.

Можно сказать, что общее значение

5.2.3 Режим изменения задающей величины с постоянным
ускорением.

Пусть

— ускорение

Чтобы система имела необходимо,
чтоб С₀, С₁=0, иначе ошибка будет неограниченно расти.

Установившееся значение ошибки

С₂ – коэффициент ошибки от ускорения

Система с ошибкой от ускорения

Система
с астатизмом второго порядка (q=2), содержит в разомкнутом виде два интегрирующих
звена.

— позиционная часть разомкнутой
системы.

Система без ошибки от ускорения

Если в системе С₂=0, ε_в=0, то
это система без ошибки от ускорения.

Система
с астатизмом выше второго порядка

q>2

Свяжем С₂ с передаточной функцией
разомкнутой системы

— коэффициент
усиления позиционной части разомкнутой системы, добротность системы по
ускорению.

5.2.4 Связь астатизма системы с ЛАЧХ разомкнутой
системы.

Порядок астатизма – целое число q, которое равно
порядку в описании входного сигнала , при котором
установившаяся ошибка постоянна и отлична от нуля.

q=2
q>2

На практике астатизм выше второго порядка (q>2)
не применяется, поэтому мы их не рассматриваем.

5.2.5 Способы определения порядка астатизма

1. По коэффициентам ошибок

2. По количеству интегрирующих звеньев в передаточной
функции разомкнутой системы.

— позиционная
часть системы

Система имеет r интеграторов и q=r

3.По наклону ЛАЧХ в низкочастотной области.

Предположим, что передаточная функция разомкнутой
системы имеет вид

Тогда
ЛАЧХ будет иметь следующий вид.

Пусть , где

— позиционная
часть

Этот случай в жизни практически не встречается

В итоге, астатизм системы определяется по ЛАЧХ
следующим образом

5.2.6 Исследование точности в условиях действия
управляющих и возмущающих сигналов

В общем случае на систему действуют как управляющие
(задающие), так и возмущающие сигналы.

Источник

Скоростная ошибка

Cтраница 1

Скоростная ошибка в контуре самонастройки обратно пропорциональна квадрату произведения коэффициента усиления регулятора ( без множительного звена) на коэффициент усиления объекта.
[1]

Скоростная ошибка, или первый член формулы ( 10 — 336), не изменилась и после введения форсировки. Это свойство сохраняется для первых членов рядов ошибок у всех астатических систем.
[2]

Скоростная ошибка импульсной следящей САУ может быть получена, если задать входной сигнал в виде равномерно нарастающей решетчатой функции.
[3]

Скоростная ошибка возникает при двигателях как постоянного, так и переменного тока. Она увеличивается с возрастанием скорости заводки Q и уменьшается при увеличении коэффициента усиления системы.
[4]

Скоростная ошибка системы при этом уменьшается во столько же раз.
[5]

Скоростные ошибки разомкнутого контура в этих схемах больше, так как в него входят или все ( рис. 2 6), или некоторые ( рис. 2 а) постоянные времени системы, охваченные относительно разомкнутого контура лишь местными обратными связями. Ниже при рассмотрении способа снижения частоты вычисления в цифровых САР будет показано, что применение этого варианта системы мало эффективно.
[7]

Если скоростная ошибка мало отличается от общей ошибки установившегося режима, то добротность может быть численно приблизительно равна коэффициенту усиления К.
[8]

Для устранения скоростной ошибки в схему дальномера может быть введено второе интегрирующее звено. Дальномер с двойным интегратором является системой регулирования с астатизмом второго порядка. В установившемся режиме при постоянной скорости изменения входного сигнала ошибка в такой системе равна нулю.
[9]

Упругое звено на скоростную ошибку в данном случае влияния не оказывает. Однако могут быть случаи, когда это влияние имеет место.
[10]

Упругое звено на скоростную ошибку в данном случае влияния не оказывает. Однако могут быть случаи, когда это влияние имеет место.
[11]

Параметр ai компенсирует скоростную ошибку системы.
[12]

Это значит, что скоростная ошибка обеих систем одинакова независимо от интервала дискретности.
[13]

Примеры показывают, что установившиеся скоростные ошибки могут достигать значительных величин. Они могут быть сведены к нулю повышением порядка астатизма контуров настройки параметров до второго.
[14]

Страницы:

Источник