Условное
обозначение средней арифметической
величины через М (от латинского слова
Media) чаще применяется в медицинских и
педагогических исследованиях. В
математической статистике предпочитают
обозначение через 
.
Средняя арифметическая величина является
производной, обобщающей количественные
признаки ряда однородных показателей
(совокупности). Выражая одним числом
определенную совокупность, она как бы
ослабляет влияние случайных индивидуальных
отклонений, и акцентирует некую обобщенную
количественную характеристику, наиболее
типичное свойство изучаемого ряда
показателей.
Определяя
значение средней арифметической
величины, следует придерживаться
некоторых правил.
1.
Средняя арифметическая величина может
характеризовать только те признаки
изучаемого объекта, которые присущи
всей совокупности, но в разной
количественной мере (например, уровень
развития быстроты движений характерен
для каждого человека, хотя и в разной
количественной мере). Средняя арифметическая
величина не может характеризовать
количественную меру тех признаков,
которые одной части совокупности
присущи, а другой нет, т. е. она не может
отражать присутствие или отсутствие
того или иного признака (например, умение
или неумение выполнять то или иное
двигательное действие).
2.
Средняя арифметическая величина должна
включать все показатели, полученные в
данном исследовании. Произвольное
исключение даже некоторых из них
неизбежно приведет к искажению конечного
результата.
3.
Средняя арифметическая величина обязана
отражать только однородную совокупность.
Нельзя, например, определять средний
уровень физического развития школьников,
не разделив их предварительно по возрасту
и полу.
4.
Средняя арифметическая величина должна
вычисляться на достаточно большой
совокупности, размеры которой определяются
в каждом конкретном случае отдельно
(см. «Подбор исследуемых»).
5.
Необходимо стремиться к тому, чтобы
средняя арифметическая величина имела
четкие и простые свойства, позволяющие
легко и быстро ее вычислять.
6.
Средняя арифметическая величина должна
обладать достаточной устойчивостью к
действию случайных факторов. Только в
этом случае она будет отражать
действительное состояние изучаемого
явления, а не его случайные изменения.
7.
Точность вычисления средней арифметической
величины должна соответствовать
содержанию изучаемого педагогического
явления. В некоторых случаях нет
необходимости в расчетах с большой
точностью, в других — большая точность
нужна при вычислениях, но совершенно
не нужна в выводах. Например, при расчете
средних величин числа подтягиваний на
перекладине можно пользоваться и сотыми
долями целого, но представлять и выводах,
что исследуемые в среднем подтянулись
7,83 раза, было бы неграмотна, так как
невозможно измерение с подобной
точностью. В этом случае необходимо в
выводах представлять числа, округленные
до целых единиц.
В
простейшем случае этот показатель
вычисляется путем сложения всех
полученных значений (которые называются
вариантами) и деления суммы на число
вариант:
где
S — знак суммирования;
V
— полученные в исследовании значения
(варианты);
п
— число вариант.
По
этой формуле вычисляется так называемая
простая средняя арифметическая величина.
Применяется она в тех случаях, когда
имеется небольшое число вариант.
При
большом числе вариант прибегают к
вычислению так называемой взвешенной
средней арифметической величины. С этой
целью строят ряд распределения, или
вариационный ряд, который представляет
собой ряд вариант и их частот,
характеризующих какой-нибудь признак
в убывающем или возрастающем порядке.
Например, в нашем случае измерение
точности попадания мячом в цель дало
125 вариант, т. е. в группе I, где применялась
методика обучения «А», одноразово
исследовалось 125 детей с числовым
выражением от 0 (точное попадание в цель)
до 21,5 см (максимальное отклонение от
цели). Каждое числовое выражение
встречалось в исследовании один и более
раз, например «0» встретился 28 раз.
Другими словами, 28 участников эксперимента
точно попали в цель. Этот показатель
называется числом наблюдений или
частотой вариант и условно обозначается
буквой «Р» (число наблюдений составляет
часть числа вариант).
Для
упрощения числовых операций все 125
вариант разбиваются на классы с величиной
интервала 1,9 см. Число классов зависит
от величины колебаний вариант (разности
между максимальной и минимальной
вариантами), наличия вариант для каждого
класса (если, например, для первого
класса — «0 — 1,9» — нет соответствующих
вариант, т.е. ни один исследуемый не имел
точных попаданий или отклонений от цели
в пределах от 0 до 1,9 см, то подобный класс
не вносится в вариационный ряд) и,
наконец, требуемой точности вычисления,
(чем больше классов, тем точность
вычисления выше). Вполне понятно, что
чем больше величина интервала, тем
меньше число классов при одной и той же
величине колебаний вариант.
После
разбивки вариант по классам в каждом
классе определяется срединная варианта
«Vc»,
и для каждой срединной варианты
проставляется число наблюдений. Пример
этих операций, и дальнейший ход вычислений
приведены в следующей таблице:
|
Классы |
Серединные |
Число |
VCP |
VC-M=d |
d2 |
d2P |
|
0 |
1 |
28 |
28 |
-4.6 |
21.16 |
592.48 |
|
2 |
3 |
29 |
87 |
-2.6 |
6.76 |
196.04 |
|
4 |
5 |
22 |
110 |
-0.6 |
0.36 |
7.92 |
|
6 |
7 |
13 |
91 |
1.4 |
1.96 |
25.48 |
|
8 |
9 |
11 |
99 |
3.4 |
11.56 |
127.16 |
|
10 |
11 |
13 |
143 |
5.4 |
29.16 |
379.08 |
|
12 |
13 |
4 |
52 |
7.4 |
54.76 |
219.04 |
|
14 |
15 |
2 |
30 |
9.4 |
88.36 |
176.72 |
|
16 |
17 |
1 |
17 |
11.4 |
130.00 |
130.00 |
|
18 |
19 |
1 |
19 |
13.4 |
179.60 |
179.60 |
|
20 |
21 |
1 |
21 |
15.4 |
237.20 |
237.20 |
|
125 |
697 |
2270.72 |
Очередность
числовых операций:
1)
вычислить сумму числа наблюдений (в
нашем примере она равна 125);
2)
вычислить произведение каждой срединной
варианты на ее частоту (например, 1*28 =
28);
3)
вычислить сумму произведений срединных
вариант на их частоты (в нашем примере
она равна 697);
4)
вычислить взвешенную среднюю арифметическую
величину по формуле:
Средняя
арифметическая величина позволяет
сравнивать и оценивать группы изучаемых
явлений в целом. Однако для характеристики
группы явлений только этой величины
явно недостаточно, так как размер
колебаний вариант, из которых она
складывается, может быть различным.
Поэтому в характеристику группы явлений
необходимо ввести такой показатель,
который давал бы представление о величине
колебаний вариант около их средней
величины.
Вычисление
средней ошибки среднего арифметического.
Условное обозначение средней ошибки
среднего арифметического — т. Следует
помнить, что под «ошибкой» в статистике
понимается не ошибка исследования, а
мера представительства данной величины,
т. е. мера, которой средняя арифметическая
величина, полученная на выборочной
совокупности (в нашем примере — на 125
детях), отличается от истинной средней
арифметической величины, которая была
бы получена на генеральной совокупности
(в нашем примере это были бы все дети
аналогичного возраста, уровня
подготовленности и т. д.). Например, в
приведенном ранее примере определялась
точность попадания малым мячом в цель
у 125 детей и была получена средняя
арифметическая величина примерно равная
5,6 см. Теперь надо установить, в какой
мере эта величина будет характерна,
если взять для исследования 200, 300, 500 и
больше аналогичных детей. Ответ на этот
вопрос и даст вычисление средней ошибки
среднего арифметического, которое
производится по формуле:
Для
приведенного примера величина средней
ошибки среднего арифметического будет
равна:
Следовательно,
M±m = 5,6±0,38. Это означает, что полученная
средняя арифметическая величина (M =
5,6) может иметь в других аналогичных
исследованиях значения от 5,22 (5,6 — 0,38 =
5,22) до 5,98 (5,6+0,38 = 5,98).
Соседние файлы в предмете Ветеринарная генетика
- #
- #
- #
Представление результатов исследования
В научных публикациях важно представление результатов исследования. Очень часто окончательный результат приводится в следующем виде: M±m, где M – среднее арифметическое, m –ошибка среднего арифметического. Например, 163,7±0,9 см.
Прежде чем разбираться в правилах представления результатов исследования, давайте точно усвоим, что же такое ошибка среднего арифметического.
Ошибка среднего арифметического
Среднее арифметическое, вычисленное на основе выборочных данных (выборочное среднее), как правило, не совпадает с генеральным средним (средним арифметическим генеральной совокупности). Экспериментально проверить это утверждение невозможно, потому что нам неизвестно генеральное среднее. Но если из одной и той же генеральной совокупности брать повторные выборки и вычислять среднее арифметическое, то окажется, что для разных выборок среднее арифметическое будет разным.
Чтобы оценить, насколько выборочное среднее арифметическое отличается от генерального среднего, вычисляется ошибка среднего арифметического или ошибка репрезентативности.
Ошибка среднего арифметического обозначается как m или 
Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:
где: S — стандартное отклонение, n – объем выборки; Например, если стандартное отклонение равно S=5 см, объем выборки n=36 человек, то ошибка среднего арифметического равна: m=5/6 = 0,833.
Ошибка среднего арифметического показывает, какая ошибка в среднем допускается, если использовать вместо генерального среднего выборочное среднее.
Так как при небольшом объеме выборки истинное значение генерального среднего не может быть определено сколь угодно точно, поэтому при вычислении выборочного среднего арифметического нет смысла оставлять большое число значащих цифр.
Правила записи результатов исследования
- В записи ошибки среднего арифметического оставляем две значащие цифры, если первые цифры в ошибке «1» или «2».
- В остальных случаях в записи ошибки среднего арифметического оставляем одну значащую цифру.
- В записи среднего арифметического положение последней значащей цифры должно соответствовать положению первой значащей цифры в записи ошибки среднего арифметического.
Представление результатов научных исследований
В своей статье «Осторожно, статистика!», опубликованной в 1989 году В.М. Зациорский указал, какие числовые характеристики должны быть представлены в публикации, чтобы она имела научную ценность. Он писал, что исследователь «…должен назвать: 1) среднюю величину (или другой так называемый показатель положения); 2) среднее квадратическое отклонение (или другой показатель рассеяния) и 3) число испытуемых. Без них его публикация научной ценности иметь не будет “с. 52
В научных публикациях в области физической культуры и спорта очень часто окончательный результат приводится в виде: (М±m) (табл.1).
Таблица 1 — Изменение механических свойств латеральной широкой мышцы бедра под воздействием физической нагрузки (n=34)
| Эффективный модуль
упругости (Е), кПа |
Эффективный модуль
вязкости (V), Па с |
|||
| Этап
эксперимента |
Рассл. | Напряж. | Рассл. | Напряж. |
| До ФН | 7,0±0,3 | 17,1±1,4 | 29,7±1,7 | 46±4 |
| После ФН | 7,7±0,3 | 18,7±1,4 | 30,9±2,0 | 53±6 |
Литература
- Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
- Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
- Зациорский В.М. Осторожно — статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.- №2.
- Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
- Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.
Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).
Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.
Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).
Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.
Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?
Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической
Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:
где xi – значения переменной,
n – количество значений.
Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:
Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:
где σ2 – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.
На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:
Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.
Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии
Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии
Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.
Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической
Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:
Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.
Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).
Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.
Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.
Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).
Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.
Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.
Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.
Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.
Поделиться в социальных сетях:
2.1. Стандартное отклонение среднего выборочного значения (ошибка среднего) и доверительный интервал
Результаты измерений обычно показывают с так называемой «средней статистической ошибкой средней величины» и для нашего случая (см. табл. 1.1) это будет запись: «высота сеянцев в опыте составила 5,0 ± 0,28 см». Словосочетание «средняя статистическая ошибка» обычно сокращают до названия «ошибка среднего» или просто «ошибка», обозначают буквой m и определяют по очень простой формуле. Для итогов упомянутой таблицы, где расчеты по 25 высотам дали значение δ = 1,42 см, эта ошибка составит:
(2.1)
|
где δ – |
стандартное отклонение; |
|
N – |
число наблюдений или объем выборки, шт. |
Если объем выборки взять 100 шт., то ошибка снизится в 2 раза: 
а если увеличить до 10000 шт., то в 10 раз, до 0,014 см.
Рассмотрим эту «среднюю статистическую ошибку» (далее просто ошибка) подробно, так как именно в ней скрыто понимание того, что называют статистическим мышлением. Интуитивно мы понимаем, что малая выборка дает большую ошибку, т.е. неточное определение среднего значения. Последний термин настолько привычен, что мы даже не задумываемся о том, что его правильное и полное название «среднее выборочное значение», т.е. среднее, определяемое в некоторой выборке. И выборки могут быть очень разные по численности. Начнем с самых малых. Например, что произойдет с ошибкой, если объем выборки сократить до 2 измерений? Такие выборки бывают, например, в почвенных исследованиях, когда каждое измерение достается дорогой ценой. Для этого вернемся к рис. 1.1. На нем стандартное отклонение ±δ, которое отражает разброс значений вокруг среднего в левую и правую сторону в виде холма, наблюдается при объеме выборки 1 шт. В этом случае ошибка среднего выборочного значения будет равна стандартному отклонению: m = δ = 1,42. С увеличением N ошибка уменьшается:
при объеме выборки N = 2 ошибка будет
при объеме выборки N = 4 ошибка будет
при объеме выборки N = 16 ошибка будет
Важно понять, что ряд распределения частот этих выборочных средних будет постепенно как бы съеживаться и приближаться к центру, где находится так называемое «генеральное» среднее. Поясним, что в математике генеральное среднее значение называется математическим ожиданием и его обозначают буквой «М». Например, это может быть средняя высота, рассчитанная по всем измеренным в теплице сеянцам, или среднее число семян в 1 шишке у дерева после подсчета семян во всех собранных с дерева шишках (50, 100, 500 и т.д., т.е. весьма небольшая генеральная совокупность). Распределение частот значений выборочных средних, которых может быть множество, будет иметь форму такого же холма, как и распределение единичных значений на рис. 1.1. При этом, если выборка будет из 1 шт., то холм будет в точности таким же, но при выборках из 2 шт. его форма съежится в 
= в 1,41 раза; при выборках из 4 шт. –
в 
= в 2 раза; при выборках из 9 шт. – в 
= в 3 раза и т.д.
Для этих сокращающихся рядов распределения выборочных средних можно рассчитать свое, особое стандартное отклонение. Вероятно, чтобы не путать его со СТАНДОТКЛ, его стали называть по-другому, т.е. «средней статистической ошибкой средней величины». Чем больше по объему выборки, тем короче ряд распределения средних значений этих выборок с его «хвостами» в левую и правую сторону, и тем меньше величина этого особого стандартного отклонения. Закон распределения частот выборочных средних точно такой же, и имеет те же свойства: в пределах ±2m находится 95 % всех значений выборочных средних, в пределах ±3m – 99,5 %, а в пределах ±4m находится 100 % всех значений xср. Форма этого распределения меняется от пологой при малых выборках до очень крутой, вплоть до «схлопывания» в центре при выборках большого объема, когда ошибка среднего стремится к нулю.
Здесь следует пояснить, что, на наш взгляд, словосочетание «средняя статистическая ошибка средней величины», сокращаемое до «ошибки среднего значения» или просто до «ошибки», вводит нас в некоторое заблуждение, так как мы привыкли со школы, что ошибки надобно исправлять. Более правильным, вместо слов «ошибка среднего значения», будет использование слов «стандартное отклонение выборочных средних значений от генерального среднего». Не случайно математики выбрали для обозначения величины этого отклонения букву «m», а для обозначения генерального среднего (математического ожидания) – букву «М». Слова для объяснения этих сложных явлений могут быть разными, но и у математиков, и у биологов есть единодушие в понимании статистического смысла, лежащего за этими буквенными символами. Вообще, лучше было бы ввести некий иной термин вместо слов «ошибка» или «отклонение», так как они изначально имеют в нашем сознании иной смысл; на наш взгляд, более всего подходит слово «скачок» (чем сильнее отскакивает выборочное среднее от генерального среднего, тем реже оно встречается). Но так уж получилось, что не нашлось нейтрального (иностранного) слова, и слово «ошибка» традиционно используют, и мы также будем его использовать; важно понимать его иной, чем в обыденном употреблении, математический и статистический смысл.
Для самого точного определения средней высоты сеянцев нужно измерять все растения в питомнике, и тогда мы получим «генеральное среднее значение». Но так не делают, а измеряют несколько сотен растений в разных местах и этого бывает достаточно для определения среднего выборочного значения с приемлемой точностью. В нашем примере при 100 растениях ошибка его определения составит 
а ее отнесение к средней высоте сеянцев 5,0 см, выражаемое в %, дает нам так называемую точность опыта: 0,14/5,0×100 = 2,8 %. В биологии точность опыта ±2–3 % считается высокой, ±5 % – достаточной, а ±6–7 % – пониженной, но это весьма упрощенное представление о планировании эксперимента.
Вообще, точность опыта не самоцель; гораздо важнее сократить численность (объем) выборки до минимума. Представим себе, что средняя высота сеянцев xср = 5,0 см, а ее ±δ = 1,42 см, рассмотренные выше, получены при измерении 1000 растений потомства сосны, например, из Кунгура. Поделив ±δ на корень из 1000 получаем ошибку опыта m = ±0,045 см. Далее получаем точность опыта
Р = m/xср×100 = 0,045/5,0×100 = 0,9 %.
Точность получилась очень высокой. Но в питомнике есть потомства и из других мест и такой уровень точности совершенно не нужен, так как нужно узнать еще высоты сеянцев, например, из Очера, Осы, Добрянки и других районов. Если выборку из 1 тыс. растений снижать, то будет увеличиваться ошибка в определении средней высоты. И нужно найти приемлемую величину такой ошибки, которая позволит нам, тем не менее, уверенно утверждать, что это потомство растет быстрее, либо медленнее других. Причем происхождений может быть несколько сотен и минимизация выборок крайне важна, так как масштабы работ ограничены физическими возможностями бригады селекционеров. Следовательно, надо сокращать объем выборки. Как это сделать правильно?
Рассмотрим два потомства. Первое – это упомянутые сеянцы происхождением из Кунгура (хср1), второе – сеянцы из Кизела с хср2 = 6,0 см и δ2 = ± 1,0 см (превышение высоты на 20 %). Надо это превышение доказать. При выборках из 100 растений ранее определенная ошибка m1 была равна 0,14 см, вторая ошибка m2 после расчетов по формуле (2.1) составит 0,1 см. По закону нормального распределения 99,5 % всех возможных значений этих средних хср1 и хср2 будут в пределах «плюс-минус три ошибки», что можно показать графически (рис. 2.1) или в виде формул:
хср1 ± 3m1 = 5,0 ± 3×0,14 = 5,0 ± 0,4 см
и
хср2 ± 3m2 = 6,0 ± 3×0,1 = 6,0 ± 0,3 см.
Возможные теоретические значения средних в генеральной совокупности не перекрывают друг друга, значит, различие достоверно. А если сократить выборки до 50 сеянцев? Тогда 
и 
и пределы колебаний возможных значений средних будут:
хср1 ± 3m1 = 5,0 ± 3×0,20 = 5,0 ± 0,6 см;
хср2 ± 3m2 = 6,0 ± 3×0,14 = 6,0 ± 0,3 см.
Рис. 2.1. Средние значения по выборкам из 100 растений и их тройные ошибки (пределы возможных значений выборочных средних в 99,5 % случаев)
Снова вынесем эти пределы на график (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Средние значения при N = 50 растений и их тройные ошибки
Как видим, пределы сблизились и если еще сократить выборки, то они перекроются. Можно ли далее снижать объем выборки?
Можно, но здесь вступает в силу так называемое условие безошибочного прогноза. Мы это условие задали на уровне 99,5 % и для этого взяли ±3m для распределения ошибок. Но можно взять уровень пониже, с пределами ±2δ (уровень 95 %) и даже с пределами ±1,7δ (уровень 90 %).
При выборках из 25 штук сеянцев, получаем две ошибки: 
Тогда пределы значений для этих двух выборочных средних для уровня прогноза в 95 % будут:
хср1 ± 2m1 = 5,0 ± 2×0,28 = 5,0 ± 0,56 см;
хср2 ± 2m2 = 6,0 ± 2×0,20 = 6,0 ± 0,40 см.
Выносим эти пределы опять на график (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Средние значения при N = 25 растений и их двойные ошибки (пределы возможных значений средних в 95 % случаев)
Как видим, просвет все еще есть, и поэтому между возможными значениями средних высот сеянцев в других выборках из происхождений Кунгур и Кизел различия будут опять доказаны. Но уровень доказательства понизился до 95 %, и для 5 % оставшихся случаев нет гарантии, что различия будут иметь место при выборке из 25 растений. Их может и не быть, но эту вероятность в 5 % мы допускаем.
Основные выводы:
-
Стандартная ошибка среднего указывает, насколько среднее значение генеральной совокупности может отличаться от среднего выборочного.
-
Вы можете уменьшить стандартную ошибку, увеличив размер выборки.
-
Стандартная ошибка среднего и стандартное отклонение являются мерами изменчивости, используемыми для обобщения наборов данных.
Если вы собираете данные для научных или статистических целей, стандартная ошибка среднего может помочь вам определить, насколько точно набор данных представляет фактическую совокупность. Проверка точности вашего образца подтверждает ваше клиническое исследование и помогает вам сделать правильные выводы.
В этой статье мы определяем стандартную ошибку среднего, объясняем, как она отличается от стандартного отклонения, и предлагаем формулу для ее расчета.
Какова стандартная ошибка среднего?
Стандартная ошибка среднего (SEM) используется для определения различий между более чем одной выборкой данных. Это помогает вам оценить, насколько хорошо ваши выборочные данные представляют всю совокупность, измеряя точность, с которой выборочные данные представляют совокупность, используя стандартное отклонение.
В статистике, среднеквадратичное отклонение является мерой того, насколько разбросаны числа. Иметь в виду относится к среднему числу. Стандартные функции ошибок используются для проверки точности выборки из нескольких выборок путем анализа отклонений в пределах средних значений.
Высокая стандартная ошибка показывает, что средние значения выборки широко разбросаны по среднему значению генеральной совокупности, поэтому ваша выборка может не точно представлять вашу генеральную совокупность. Низкая стандартная ошибка показывает, что средние значения выборки близко распределены вокруг среднего значения совокупности, что означает, что ваша выборка репрезентативна для вашей совокупности. Вы можете уменьшить стандартную ошибку, увеличив размер выборки.
Например, если вы измерите вес большой выборки мужчин, их вес может варьироваться от 125 до более чем 300 фунтов. Однако, если вы посмотрите на среднее значение выборочных данных, образцы будут различаться всего на несколько фунтов. Затем вы можете использовать стандартную ошибку среднего, чтобы определить, насколько вес отличается от среднего.
Связанный: Как рассчитать стандартную ошибку в Excel (с советами)
Стандартная ошибка среднего по сравнению со стандартным отклонением
Стандартная ошибка среднего и стандартное отклонение являются мерами изменчивости, используемыми для суммирования наборов данных.
Стандартная ошибка среднего значенияСтандартное отклонениеОценивает изменчивость в нескольких выборках генеральной совокупностиОписывает изменчивость в пределах одной выборкиВыводная статистика, которую можно оценитьОписательная статистика, которую можно рассчитатьИзмеряет, насколько вероятно, что среднее значение выборки будет отличаться от фактического среднего значения в популяции. выборка отличается от фактического среднего значенияСтандартная ошибка — это стандартное отклонение, деленное на квадратный корень размера выборкиСтандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии
Стандартная ошибка средней формулы
Формула для стандартной ошибки среднего выражается как:
SE = σ/√n
-
SE = стандартная ошибка выборки
-
σ = стандартное отклонение выборки
-
n = размер выборки
Обратите внимание, что σ — это греческая буква сигма, а √ — символ квадратного корня.
Формула стандартного отклонения выборки выражается следующим образом:
-
x̄ = среднее значение выборки, сначала найдите это значение
-
xᵢ = отдельные значения x
-
x = значение в наборе данных
-
n = количество точек данных
-
Σ — это сигма-обозначение для суммирования
Вот шаги, которые вы можете использовать для расчета стандартной ошибки среднего, используя выборку из пяти результатов теста SAT. Сначала рассчитайте стандартное отклонение, а затем подставьте это значение в формулу SEM.
1. Рассчитайте среднее
Сложите все образцы вместе и разделите общую сумму на количество образцов.
Пример: пять общих баллов SAT: 1000 + 1200 + 820 + 1300 + 680 = 5000.
Среднее (мк) = 5000 / 5 = 1000
2. Рассчитать отклонение от среднего
Рассчитайте отклонение каждого измерения от среднего, вычитая отдельные измерения из среднего.
Пример. Вычтите средний балл SAT, равный 1000, из каждого балла SAT.
хᵢ — мю
1000 — 1000 = 0
1200 — 1000 = 200
820 — 1000 = -180
1300 — 1000 = 300
680 — 1000 = -320
3. Возведите в квадрат каждое отклонение от среднего
Вычислите квадрат отклонения каждого измерения от среднего. Измерения, которые были отрицательными, после возведения в квадрат станут положительными.
Пример: Найдите квадратный корень отклонения каждой оценки от среднего.
(xᵢ — μ)²
0² = 0
200² = 40000
-180² = 32400
300² = 90000
-320² = 102400
4. Рассчитайте сумму квадратов отклонений
Определить сумму квадратов отклонений, сложив все числа из третьего шага.
Пример: 0 + 10 + 40000 + 32400 + 90000 + 102400 = 264810 = Σ
5. Разделите эту сумму на количество точек данных.
Возьмите сумму, которую вы подсчитали на четвертом шаге, и разделите ее на единицу меньше размера выборки. Используя приведенную выше формулу, это будет выглядеть как n-1.
Пример: 264810 / (5-1) = 66202,5
6. Вычислить квадратный корень, чтобы найти стандартное отклонение
Возьмите квадратный корень из числа, которое вы вычислили на пятом шаге. Это даст вам стандартное отклонение.
Пример: σ = √ 66202,5 = 257,298
7. Разделите стандартное отклонение на квадратный корень из размера выборки.
Используя стандартное отклонение, которое вы определили на шестом шаге, разделите это число на квадратный корень из размера выборки. Это позволит вам определить стандартную ошибку.
Пример: SE = σ/√n
SE = 257,298/√5
SE = 115,067
8. Рассчитайте стандартную ошибку среднего
Вычтите из среднего значения стандартную ошибку и запишите это число. Это стандартная ошибка ниже среднего. Затем добавьте стандартную ошибку к среднему значению и запишите число. Это стандартная ошибка выше среднего.
Пример:
SE ниже среднего: 1000 — 115,067 = 884,933
SE выше среднего: 1000 + 115,067 = 1115,067
Стандартная ошибка среднего может быть представлена следующим образом:
Средний балл SAT случайной выборки испытуемых составляет 1000 ± 115,067.
Пример СЭМ
Чтобы понять силу информации, которую вы можете получить из случайной выборки, используя стандартную ошибку среднего, рассмотрим следующий пример.
Вам дан вес при рождении 17 000 детей, рожденных в больницах Нью-Йорка. Средний вес при рождении составлял семь фунтов и три унции, а стандартное отклонение — один фунт три унции. Допустим, вы хотели узнать средний вес при рождении в этом районе, но получили веса только 30 случайных рождений по сравнению с общей численностью населения. Если бы эта выборка была взята только из всего населения, то вам лучше всего было бы предположить, что средний вес при рождении в выборке также будет равен семи фунтам и трем унциям.
Это предположение вряд ли будет точным, поскольку среднее значение выборки из 30 не будет таким точным, как среднее значение выборки из 17 000. Если бы вы продолжали брать случайные выборки из 30, вполне вероятно, что среднее значение каждой из них несколько изменилось бы.
Поскольку стандартное отклонение генеральной совокупности обычно неизвестно, вам необходимо оценить его, используя стандартное отклонение выборки. Чтобы сделать это с некоторой точностью, ваша выборка должна иметь нормальное распределение и состоять как минимум из 20 измерений. Хотя оценка может быть не совсем точной даже при большой выборке, ошибки в выборочной оценке стандартного отклонения генеральной совокупности будут уменьшены, если вы разделите его на квадратный корень из размера выборки.
Допустим, у вас есть шесть случайных выборок из 30 масс при рождении со стандартными отклонениями 1,3 фунта, 1,16 фунта, 1,14 фунта, 1,2 фунта, 1,25 фунта и 1,19 фунта, что на 0,098 фунта отличается от истинного значения стандартного отклонения населения. Эти шесть образцов приводят к оценкам стандартной ошибки, которые находятся в пределах 0,017 фунта от истинного значения. Ошибки стандартной ошибки средних оценок меньше, чем ошибки оценок стандартного отклонения, а значит, они более точные. Если бы размер выборки был больше 30, стандартная ошибка среднего была бы еще больше уменьшена.