Pgfplots: краткое руководство
О пакете
Пакет pgfplots представляет собой мощный инструмент, предназначенный для создания научных графиков. Он создан на базе tikz, не менее прекрасного пакета, который позволяет создавать векторную графику прямо на латехе.
Если вы сомневаетесь в необходимости использования pgfplots или tikz, посмотрите на простые графики, созданные с помощью этих пакетов:
Много небольших примеров применения можно посмотреть в галерее pgfplots 1.
Основная идея pgfplots — упрощение включения графиков в документ. Задача пользователя — задать формулу или данные, а остальным занимается pgfplots. Так, код графиков (см. пример на overleaf), приведенных выше (без преамбулы) выглядит так:
% Код первого графика
begin{tikzpicture}
begin{axis}
addplot[color=red]{exp(x)};
end{axis}
end{tikzpicture}% Код второго графика
begin{tikzpicture}
begin{axis}
addplot3[surf] {exp(-x^2-y^2)*x};
end{axis}
end{tikzpicture}Заметьте, от пользователя в простейшем случае не потребовалось практически ничего, кроме задания функции и вида её отображения. Разумеется, можно и вручную задать пределы построения функции и многое
другое.
Оглавление
- 0. Введение в pgfplots
- 0.1. Преамбула
- 0.2. Окружение осей
- 0.3. Пакет standalone: графики в отдельных файлах
- 1. Математика в pgfplots
- 1.1. Стандартные операторы
- 1.2. Стандартные функции
- 1.3. Генерация случайных чисел
- 2. Объявление новых функций
- 2.1. Составление функции Хевисайда. Ступенька произвольной длины
- 3. Настройка осей и сетки
- 3.1. Оси и их подписи. Настройка
- 3.2. «Тики» (метки на осях) и их подписи
- 3.2.1. Дополнительные тики
- 3.2.2. Промежуточные тики (minor ticks)
- 3.3. Максимальные и минимальные значения на графике. Масштаб осей
- 3.4. Сетка. Единицы измерения в LaTeX
- 3.4.1. Сетка через основные и промежуточные тики
- 3.4.2. Сетка через дополнительные (extra) тики
- 4. Легенда графика
- 5. Построение графика
- 5.1. Чтение данных из таблицы
- 5.1.2. Создание новых стоблцов таблицы
- 5.2. Отметки на линии графика (marks)
- 5.3. Прямоугольники ошибок
- 5.3.1. Постоянная абсолютная или относительная погрешность
- 5.3.2. Абсолютная или относительная погрешность из файла
- 5.4. Настройка линии графика
- 5.4.1. Толщина и цвет линии графика
- 5.4.2. Тип линии графика
- 5.1. Чтение данных из таблицы
- 6. Особенности построения графиков
- 6.1. Построение графиков, терпящих бесконечный скачок
- 6.2. Циклы в pgfplots и построение асимптот. Системы координат рисунка
- 6.3. Использование команд TikZ на графиках Pgfplots
- The End. Рекомендуемые источники
0. Введение в pgfplots
0.1. Преамбула
Подключается пакет стандартным образом. Вставьте этот код в преамбулу (до begin{document}):
Так же можно сразу в преамбуле сделать некоторые настройки. Во-первых, можно задать используемую версию pgfplots. Так как пакет динамично развивается, то некоторые вещи становятся несовместимыми от версии к версии. Наиболее разумным является использование текущей версии указанием параметра
pgfplotsset{width=10cm,compat=newest}но после окончания работы неплохо бы указать текущую версию вручную, чтобы если вдруг у вас будет такая функциональность, что не будет работать в следующих версиях, это не помешало бы компилировать график спустя длительное время.
Параметр width задает ширину графика. Также можно задать и высоту height. Надо заметить, что это нововведение по сравнению с tikz: в tikz картинки изменяют свой размер соответственно содержимому, pgfplots же может подогнать содержимое (масштабом осей) под график. Надо заметить, что возможно и обратное — задавать вручную масштаб осей, тогда высота и ширина будут определяться ими и содержимым, а параметры width, height будут игнорироваться.
0.2. Окружение осей
Поскольку pgfplots основан на tikz, график должен находиться в окружении tikzpicture. Сам график строится в осях (полотно графика с системой координат и некоторым масштабом).
Оси задаются окружением begin{axis} ... end{axis}. У осей могут быть свои параметры:
begin{tikzpicture}
begin{axis}[
%axis, % Обычные оси
%semilogxaxis, % По оси x логарифмический масштаб
%semilogyaxis, % По оси y логарифмический масштаб
%loglogaxis, % По обоим осям логарифмический масштаб
enlargelimits=true, % Делать размер осей чуть больше графика
]
addplot[color=red]{ln(x)};
end{axis}
end{tikzpicture}Булев параметр enlargelimits, если он включен, делает размер рисунка немного больше, так, чтобы нарисованные графики не касались края рисунка, а оставалось некоторое расстояние. По умолчанию он включен, и отключать его почти никогда не требуется.
Здесь они закомментированы. Достаточно одного из параметров, причем параметр axis используется по умолчанию, и его можно не указывать.
Чтобы добавить график, используется команда
addplot[color=red]{ln(x)};Внутри квадратных скобок могут быть переданы некоторые параметры, например здесь указан цвет линии графика. Квадратные скобки обязательны, если не передано ни одного параметра, нужно оставить между ними пробел.
Важно, что все команды (эта необходимость тянется из пакета tikz) должны заканчиваться точкой с запятой.
Внутри фигурных скобок размещается функция, задающая график. О её составлении рассказано ниже.
Так же более подробно о настройке осей и сетки см. раздел 3 «Настройка осей и сетки»
Самое подробное описание (на английском) можно найти в мануале по pgfplots 2.
0.3. Пакет standalone: графики в отдельных файлах
Компиляция графиков pgfplots может быть долгой. Особенно это касается случаев, когда строится функция с большим числом точек, уходящая на бесконечность или обрабатываются большие экспериментальные данные из файла.
В таком случае разумно, чтобы сократить время компиляции, создавать каждый рисунок как отдельный pdf-документ, а затем подключать его как картинку. С одной стороны, увеличивается скорость компиляции, с другой, документ становится проще за счет выноса длинного кода в отдельные файлы, а структура документа становится более гибкой: отдельный график можно использовать в других проектах.
Настоятельно рекомендуется использовать именно этот способ. Для него достаточно указать классом документа standalone, и документ будет компилироваться в pdf файл, причем так, что поле документа будет обрезано до размеров графика.
Стоит отметить, что этот пакет конфликтует с пакетом geometry, и последний использовать в документах класса standalone не нужно.
Дочерний документ (например, это файл img/ris1.tex):
documentclass{standalone}
usepackage[utf8]{inputenc}
usepackage{pgfplots}
pgfplotsset{width=10cm,compat=1.9}
begin{document}
begin{tikzpicture}
begin{axis}
addplot[color=red]{exp(x)};
end{axis}
end{tikzpicture}
end{document}Вставка картинки в основной документ:
begin{figure}[h!]
centering
includegraphics[scale=1]{img/ris1}
caption{Наш отдельный график}
label{fig:ris1}
end{figure}1. Математика в pgfplots
Математический аппарат pgfplots-а принадлежит пакету более низкого уровня pgf. Математические возможности pgf достаточно велики, и мы рассмотрим только некоторые аспекты составления сложных функций для построения различных графиков.
1.1. Стандартные операторы
- Без пояснения:
+,-,*,/,^ - Сравнение:
>,>=,<=,==,!= - Оператор факториала:
x!аналогичен вызову функцииfactorial(x)
Отдельно стоит сказать об условном операторе x ? y : z. Он вернет y, если x истина, и z, если ложь. Это можно использовать, например, для построения функций Хевисайда, о чем будет сказано ниже.
1.2. Стандартные функции
div(x,y)— целочисленное делениеmod(x,y)— остаток от деленияsign(x)— знак числа
Также ряд функций, не нуждающихся в объяснениях:
factorial(x),
sqrt(x),
exp(x),
ln(x),
log10(x),
log2(x),
abs(x)
Функции округления
round(x)— округлит до ближайшего целого, большего по модулю чем округляемое, числа: 1.5->2, -1.5->-2floor(x)— округлит х до ближайшего целого числа в большую сторонуceil(x)— округлит х до ближайшего целого числа в меньшую сторонуint(x)— просто вернет целую частьxfrac(x)— вернет дробную частьx
Целочисленные функции
iseven(x),isodd(x)— проверяет четность (нечетность) числа, в случае успеха вернет 1, в случае неудачи 1isprime(x)— проверяет, простое ли число (аналогично вернет 1/0)
Тригонометрические функции
sin,cos,tan,sec,cosec,cot,asin,acos,atan
Важно заметить, что все тригонометрические функции принимают на вход число в градусах, а для перевода из радиан в градусы служит функция deg, а обратно — rad. Это поведение по умолчанию, его можно поменять:
pgfkeys{/pgf/trig format=rad|deg}Кроме того, можно использовать радианы и не изменяя поведение по умолчанию — указать, что аргумент дан в радианах: cos(pi/2 r) ->0.
Гиперболические функции
sinh,cosh,tanh
1.3. Генерация случайных чисел
Присутствует и возможность генерации случайных чисел: вызов rnd вернет случайное число от 0 до 1, rand от -1 до 1.
Более подробно о функциях и операторах можно почитать в руководстве по pgf, 1000-1011 страницы 3.
2. Объявление новых функций
begin{tikzpicture}[
declare function={
myfun(x,t) = (x*t);
}
]
begin{axis}
addplot[color=red, domain=0:4, samples=300]{myfun(x,2)};
end{axis}
end{tikzpicture}Объявляется новая функция для всего рисунка. Все должно быть понятно из примера.
2.1. Составление функции Хевисайда. Ступенька произвольной длины
Используя условный оператор, несложно составить функцию Хевисайда:
Очевидно, она будет равна множителю перед скобкой при x>0 и нулю в отрицательной области. Из двух функций Хевисайда можно составить и прямоугольный импульс:
1*(x>0 ? 1 : 0)-1*(x>1 ? 1 : 0)Это прямоугольный импульс, начинающийся от нуля. Однако, можно создать функцию с аргументами высоты, ширины и начала ступеньки:
Нажмите для просмотра результата
begin{tikzpicture}[
declare function={
impuls(h,w,b,x) = h*((x>b ? 1 : 0)-(x>(b+w) ? 1 : 0));
}
]
begin{axis}
addplot[color=red, domain=0:4, samples=300]{impuls(2,2,1,x)};
end{axis}
end{tikzpicture}Заметим, что в общем случае, например для построения кусочно-гладких функций, необязательно создавать громоздкую функцию, которая будет включать в себя все остальные с помощью условного оператора.
Если заранее известно, что функция будет без скачков (скачок сам по себе можно построить, но особого смысла нет), то можно воспользоваться тем, что команда addplot имеет параметр области построения графика domain=start:end и использовать несколько плотов:
begin{tikzpicture}
begin{axis}
addplot[color=red, domain=0:1, samples=300]{x^2};
addplot[color=red, domain=1:4, samples=300]{2*x};
end{axis}
end{tikzpicture}samples здесь — количество точек графика. График не может строиться абсолютно непрерывно и берется в некотором числе точек, которые соединяются отрезками: чем выше число точек, тем качественнее картинка, но и медленнее её компиляция и отрисовка. Разумно делать это число меньше для медленно меняющихся графиков и много больше для быстро меняющихся, особенно для таких, как в предыдущем примере — со скачком.
По мере чтения руководства читатель может заметить появление новых параметров без объяснения. Предполагается, что они могут быть интуитивно понятны.
3. Настройка осей и сетки
3.1. Оси и их подписи. Заголовок графика.
Рассмотрим базовый пример настройки осей. По умолчанию, вместо координатных осей рисуется прямоугольник координат (axis lines = box), как это часто принято в научных статьях. Однако никто не мешает использовать оси-стрелки, или вообще отключить оси:
begin{tikzpicture}
begin{axis}[
axis lines = middle, % привычные оси со стрелочками с пересечением в нуле
% возможные значения: box, left, middle, center, right, none
xlabel = {$x$}, % подпись оси x
ylabel = {$f(x)$}, % подпись оси y
title={Мой первый график $f(x)=x^2 - 2cdot x - 1$},
]
addplot[domain=-10:10, samples=100, color=red] {x^2 - 2*x - 1};
end{axis}
end{tikzpicture}Обратите внимание на то, что у нас появился параметр title, задающий заголовок графику. Как правило, при использовании пакета standalone, это не нужно — заголовок графика задается командой caption в окружении figure.
Вообще говоря, положение осей можно применять и по отдельности:
axis x line=center,
axis y line=left,Можно задать и определенные правила отрисовки осей, например цвет, или сделать их пунктиром (dashed):
x axis line style ={black!40, dashed},
y axis line style ={red},Заметьте, как здесь указывается цвет. Это обозначение black!40!red означает смешение цветов, в соотношении 40% black 60% red, если цвет справа не указан, то он берется белым: значит, black!40 даст нам серый цвет. Таким образом из базовых цветов можно составить любой цвет.
Также можно перенести подписи осей к стрелкам на осях:
xlabel style={below right},
ylabel style={above left, red, scale=1.5},Здесь появился новый параметр scale, подпись к оси y будет в полтора раза больше, чем к оси x, очевидно.
Подразумевается, что все приведенные выше параметры подставляются в параметры окружения axis.
3.2. «Тики» (метки на осях) и их подписи
Когда график не качественный, важно наиболее удобно показать подписи (числа) к осям. За них отвечают ticks (тики) — маленькие перпендикулярные черты к осям с численной подписью.
Настройка расстояния между тиками:
xtick distance=1,
ytick distance=2Также можно вручную указать список основных тиков:
xtick={0,20,40,60,80,100},
ytick={0,20,40,60,80,100,120}А при необходимости, можно задать и подписи к ним (по умолчанию подпись — это координата тика):
ytick={1.5707,0.7853,1},
yticklabels={$frac{pi}{2},$, $frac{pi}{4}$, 1}, По умолчанию pgfplots пытается подобрать наиболее разумное расположение тиков.
3.2.1. Дополнительные тики
Иногда требуется специально показать положение чего-либо на осях. Для этого можно использовать дополнительные тики, задав им координаты и их подписи:
extra y ticks={-9/16,-6/16}, % положение дополнительных тиков
extra y tick labels={ % их подписи
{$U_{min}$}, {$U_{min}+Delta U$}
}, Для x аналогично.
3.2.2. Промежуточные тики (minor ticks)
Часто кроме основных меток на осях, ставят промежуточные: так, например, на линейке отмечены сантиметры рисками с подписями, а миллиметры просто рисками без подписей.
Такое задается с помощью minor ticks:
Этот параметр задает количество таких тиков (эквидистантных) между основными (major) тиками для обоих осей одинаково. А можно задать и для каждой оси отдельно:
minor x tick num=3,
minor y tick num=8,3.3. Максимальные и минимальные значения на графике. Масштаб осей
Масштаб осей задан в виде <длина орта x> <длина орта y>:
unit vector ratio = 1 1,
xmax = 8,
xmin=-2,
ymax=1.5,
ymin=-0.2,Максимальные и минимальные значения заданы очевидным образом.
3.4. Сетка. Единицы измерения в LaTeX
3.4.1. Сетка через основные и промежуточные тики
Сетка всегда проходит через тики на осях. Она может проходить как через основные (major) так и через промежуточные (minor) тики:
grid=major, % м.б. еще both - и там и там
grid style={dotted, cyan},Причем стиль можно задать как всей сетке (и основной major и промежуточной minor), так и по отдельности:
minor grid style={dashed,red, line width=0.2pt},
major grid style={solid,black, line width=0.1pt},Обратите внимание на используемые единицы измерения. em — это высота одной буквы шрифта 10pt:
pt называется типографским пунктом.
По умолчанию, сетка автоматически проведет линии и через пользовательские (дополнительные) тики, но этот стиль можно модифицировать:
extra tick style={grid=major, grid style={dotted, cyan}},Здесь мы скопировали стиль основных линий сетки и модифицировали его, сделав в точечку (dotted) и голубым (cyan).
4. Легенда графика
Для того, чтобы сопоставить какому-либо графику, который строится с помощью addplot, элемент легенды, есть специальная команда addlegendentry, которую нужно разместить после addplot:
begin{tikzpicture}
begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = {$x$},
ylabel = {$f(x)$},
title={Мой первый график $f(x)=x^2 - 2cdot x - 1$},
legend pos={south west},
]
addplot[domain=-10:10, samples=100, color=red] {x^2+2*x};
addlegendentry{$x^+2cdot x$};
end{axis}
end{tikzpicture}Здесь появился параметр legend pos, который задает положение легенды на графике:
legend pos=south west|south east|north west|north east5. Построение графика
В самом начале мы рассмотрели и далее неоднократно употребляли построение графика заданной функции (y=f(x)). Однако, часто требуется построить не такой (или не только такой график), а покоординатный график (или, как это говорят математики, функция задана таблично, а не аналитически).
Обычно такая задача возникает при обработке экспериментальных данных. Есть два способа: записать данные непосредественно в график, или записать их в текстовую таблицу (tsv или csv). Рассмотрим такие случаи.
5.1. Чтение данных из таблицы
Важно: для чтения из таблицы нужно подключить пакет:
usepackage{pgfplotstable}Рассмотрим такой пример: пусть у нас есть файл data.tsv, лежащий в той же папке, что и рисунок:
Fr Uin err
15 7.446 0.1
25 7.532 0.1
40 7.512 0.1
100 7.412 0.1
200 7.41 0.1
300 7.32 0.1
400 7.27 0.1
500 7.236 0.1
1000 7.3 0.1
2000 7.282 0.1
3000 7.27 0.1Тогда его можно построить командой:
addplot +[blue, dashed]
plot table [
x=Fr,
y=Uin
]{data.tsv};В этом примере все просто. В первых квадратных скобках пишутся параметры, управляющие отрисованным графиком, построением прямоугольников ошибок и т.п., а во вторых — параметры чтения из таблицы, создание новых столбцов таблицы путем математического выражения, составленного из существующих столбцов, о чем написано ниже.
5.1.2. Создание новых стоблцов таблицы
Рассмотрим простой пример, на основе приведенного выше файла данных. В нем в первой столбце стоит частота в герцах, но допустим, что мы хотим построить график от круговой частоты, т.е. домножить на (2pi):
addplot +[blue, dashed]
plot table [
create on use/omega/.style={
create col/expr={
thisrow{Fr}*2*pi
}
},
x=omega,
y=Uin
]{data.tsv};Здесь видно, как несложно оперировать созданием новых столбцов. При этом применима вся математика, рассмотренная в разделе выше.
5.2. Маркеры на линии графика
Часто требуется не просто соединить экспериментальные точки линией, а указать каждую конкретную точку маркером (mark), а то и вовсе составить график только из маркеров. Для этого предыдущий пример несложно модифицируется:
addplot +[blue, mark=*, mark size=1.5pt, only marks]
plot table [
create on use/omega/.style={
create col/expr={
thisrow{Fr}*2*pi
}
},
x=omega,
y=Uin
]{data.tsv};Параметр only marks принуждает рисовать только маркеры, без линии их соединяющих, mark size размер маркера, mark тип маркера.
Существует достаточно много типов:
Эта картинка взята из руководства по tikz в картинках 4.
Для маркеров можно сразу задать несколько параметров: вместо размера задать масштаб (второй способ изменить размер маркера, иногда более удобный), основной цвет (draw) и цвет заливки (fill
addplot +[
mark=*,
mark options={
scale=2,
fill=blue,
draw=red,
},
only marks
] plot table [
create on use/omega/.style={
create col/expr={
thisrow{Fr}*2*pi
}
},
x=omega,
y=Uin
]{data.tsv};5.3. Прямоугольники ошибок
Для начала рассмотрим простейший случай постоянной ошибки. Параметры прямоугольников ошибок пишутся в параметры команды plot. Рассматривать будем все на примере ошибки по y, по другим осям анологично с точностью до замены y->x,z.
Для включения прямоугольников ошибки и возможности их настройки перед последующими рассмотренными параметрами нужно вставлять параметр error bars/.cd.
5.3.1. Постоянная абсолютная или относительная погрешность
Сначала нужно определить, какая будет ошибка: строго положительная, отрицательная или в обе стороны. За это отвечает параметр y dir=minus|plus|both.
addplot +[
mark=*,
only marks,
] plot[
error bars/.cd,
y dir=both,
y fixed=0.1,
% y fixed relative=0.1,
] table [
x=Fr,
y=Uin
]{data.tsv};Здесь указана сразу абсолютная погрешность для всех значений. Аналогично можно задать сразу относительную параметром y fixed relative.
5.3.2. Абсолютная или относительная погрешность из файла
Необходимо явно указать, что ожидается чтение данных ошибки из файла, указать в каком столбце (y error=err) записана ошибка и тип ошибки:
addplot +[
mark=*,
only marks,
] plot[
error bars/.cd,
y dir=both,
y explicit relative,
] table [
x=Fr,
y=Uin,
y error=err,
]{data.tsv};Для абсолютной ошибки параметр y explicit, для относительной y explicit relative.
5.4. Настройка линии графика
5.4.1. Толщина и цвет линии графика
Толщина линии управляется либо параметром line width=, либо словесными алиасами (рекомендуется использовать именно их):
Цвет линии сам является параметром:
addplot +[
thick,
blue!20!black
] plot table [
x=Fr,
y=Uin,
]{data.tsv};О составлении цветов сказано ранее в разделе ().
5.4.2. Тип линии графика
Как и цвет, тип линии графика сам по себе параметр:
addplot +[
thick,
blue!20!black,
dashed
] plot table [
x=Fr,
y=Uin,
]{data.tsv};Существует несколько типов линий:
6. Особенности построения графиков
6.1. Построение графиков, терпящих бесконечный скачок
Рассмотрим построение графика с бесконечным скачком на примере построения (tan(x)).
Расчет функций, которые уходят на бесконечность, может привести к ошибкам компиляции. Чтобы этого избежать, можно указать в параметрах принудительное вписывание в пределы расчетов: выйдя за эти пределы, математический движок pgf просто будет пропускать эти значения, пока опять не войдет в пределы:
restrict y to domain=-20:20,Разумно выбирать эти пределы немного больше заданного предела осей xmin,xmax,ymin,ymax.
Кроме того, можно сказать pgfplots-у, как вести себя при получении бесконечности в расчетах, и не ограничивая расчет:
unbounded coords=discard|jumpЭтот ключ настраивает, что делать, если одна или несколько координат одной точки неограничена, или, например, при чтении из файла на этом месте стоит nan или ничего не стоит.
discard (по умолчанию) отбрасывает точку завершения, и в логе компиляции выдается предупреждение. При этом график строится, как если бы неограниченная точка не произошла: pgfplots интерполирует между ограниченными ближайшими точками.
jump просто пропустит значения, которые уходят на бесконечность, и график станет с разрывом.
Однако, как это ни странно, в случае тангенса это все не так: для стандартных функций с разрывом разработчики постарались, и они строятся без дополнительных усилий. Но при этом (+infty) и (-infty) точки графика соединяются, что не всегда может быть полезно: например, обычно в этом месте строят линии асимптот.
Все же придется вернуться к первоначальному определению:
documentclass[tikz,10pt]{standalone}
usepackage[T2A]{fontenc}
usepackage[utf8x]{inputenc}
usepackage[russian]{babel}
usepackage{amsmath,amssymb,cmap,pgfplots,pgfplotstable}
usetikzlibrary{arrows,calc,intersections}
pgfplotsset{compat=newest}
begin{document}
begin{tikzpicture}
begin{axis}[
xlabel={$x$},
ylabel={$tg x$},
axis lines=middle,
ymax = 10,
ymin = -10,
enlargelimits=true,
xmin=-4*pi/2,
xmax=4*pi/2,
restrict y to domain=-20:20,
xtick=empty,
ytick=empty,
]
addplot[blue!50,domain={-4*pi/2:4*pi/2},samples=1000] {tan(deg(x))};
pgfplotsinvokeforeach{-2,-1,...,2}{%
draw[dashed, black!20]
({{pi/2+pi*#1},0} |- {rel axis cs:0,0})
-- ({{pi/2+pi*#1},0}|-{rel axis cs:0,1});
}
end{axis}
end{tikzpicture}
end{document}
Здесь есть интересный код для построения асимптот. Рассмотрим его подробнее.
6.2. Циклы в pgfplots и построение асимптот. Системы координат рисунка
Стандартный цикл tikz-а, к сожалению, в pgfplots не работает. Приходится использовать его более низкоуровневый аналог:
pgfplotsinvokeforeach{-2,-1,...,2}{%
% Выражение в цикле. Счетчик цикла - #1
}Счетчик пробегает указанные значения. Можно указывать их как список {0,1,2,3},а можно указать первое значение, второе, троеточие, последнее: из первого и второго рассчитается шаг и счетчик пробежит нужные значения. Они могут быть дробными.
Теперь подробнее, как же работает код построения вертикальной асимптоты. В tikz есть интересный способ расчета координаты в угле. Если задана такая координата X: (A -| B), то она находится в точке, которая образована пересечением горизонтальной линии через A и вертикальной через B:
Можно наоборот, (B -| A), соотв. вертикальная через А и горизонтальная через B.
По умолчанию используется система координат осей, в которой начало и орты отвечают нарисованным на графике.
Есть еще так называемая rel axis cs — система координат рисунка: в ней точка (0,0) это левый нижний угол рисунка, а (1,1) — верхний правый.
Со всей этой информацией теперь нетрудно должно быть понять, как работает асимптота через точку x:
({x},0} |- {rel axis cs:0,0}) -- ({x},0}|-{rel axis cs:0,1});6.3. Использование команд TikZ на графиках Pgfplots
Ровно в предыдущем параграфе рассмотрено применение команд tikz для построения асимптот в осях графика.
Часто возникает еще потребность подписать какие-либо точки на кривой. Для этого можно создать ноду на кривой, где положение ноды задается от 0 до 1 — 0 в начале кривой, 1 в конце. Эдакие криволинейные координаты.
addplot[blue!50,domain={-4*pi/2:4*pi/2},samples=1000] {sin(deg(x))}
node[pos=0.3] (1) {}
node[pos=.3,left,black]{$x$};
draw[fill=magenta] (1) circle (1pt);Здесь мы специально создали пустую ноду с координатой (1), в которой потом можно нарисовать точку, а вторая нода уже рисует текст.
Для понимания это может быть затруднено, если вы не изучали tikz. Тогда можно просто использовать этот пример, не заботясь принципами его работы.
На кривую так можно поместить сколько угодно точек, главное, в конце списка должна стоять точка с запятой.
6.3. Качественные графики: удаление меток с осей
Достаточно добавить два параметра к окружению axis:
xtick=empty,
ytick=empty,The End. Рекомендуемые источники
Наконец, прочитав небольшое руководство по использованию pgfplots, вы почти готовы к тому, чтобы применить его для своих работ. В этом нелегком (поначалу) труде смогут помочь некоторые источники.
Дипломные работы, курсовые, контрольные, рефераты на заказ
Методические рекомендации особенности физических наблюдений.(4 часа)
Подобный материал:
- Методические рекомендации по проведению Единого Всекубанского классного часа, 33.75kb.
- Методические рекомендации «Педагогические особенности использования мультимедиа в образовании», 698.02kb.
- Постановлением Президиума Ростовского областного суда 6 августа 2004 года методические, 89.43kb.
- Методические рекомендации для учителей предметников по использованию цор в своей педагогической, 1201.3kb.
- Методические рекомендации по подготовке проекта муниципального правового акта органа, 154.99kb.
- Методические рекомендации и учебные материалы для проведения единого классного часа, 148.78kb.
- Методика преподавания темы «Многочлены» в профильной школе Методические рекомендации, 72.18kb.
- Основы метрологии в физике, 146.66kb.
- С. И. Сай «17» февраля 2003 года методические рекомендации, 234.96kb.
- Академия оценки и строительства казахстанская республиканская палата оценщиков особенности, 1159.14kb.
6/10. Определение погрешности измерений. Прямоугольник ошибок.
Дать понятие о погрешности измерений, ее влияние на вывод эмпирических зависимостей. Виды погрешностей. Погрешность измерительного прибора. Абсолютная погрешность. Погрешность отсчета. Прямоугольник ошибок.
Демонстрации
- Измерение объема колбы мензурками с разной ценой деления.
- Измерение длины нескольких тетрадных листов одной линейкой и определение среднего значения длины тетрадного листа.
— 8 —
- Определение толщины нити с помощью линейки с миллиметровыми делениями.
- Измерение длины парты линейкой, длина которой не превышает 30 см.
- Определение погрешности скорости равномерного движения математическими методами.
- Погрешность, вызываемая округлением величин.
- Построить график зависимости силы тяжести от массы, определить цену деления динамометра, точность измерения массы и указать на графике прямоугольник ошибок.
Лабораторные работы и опыты
- При измерении длины с помощью ученической линейки может быть допущена ошибка за счет неправильного расположения глаза. Как измерять правильно? Чем вызывается ошибка при таких измерениях?
- Дана таблица измерений приложенной нагрузки от положения конца образца. Постройте график этой зависимости и проанализируйте погрешности измерений на разных его участках.
| 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | Нагрузка |
| 0 | 2,1 | 4,2 | 6,3 | 8,5 | 10,6 | 12,6 | 14,6 | 16,6 | 18,6 | 20,5 | 22,3 | Растяжение |
Самостоятельные работы
- Рассмотрите шприц и охарактеризуйте его как измерительный прибор.. Определите погрешность, верхний и нижний пределы его измерений.
- Определите с земли высоту дерева, телеграфного столба или любого другого предмета, имея только небольшую линейку. Предложите несколько способов. Оцените погрешность каждого способа.
- Измерить площадь фигуры неправильной формы и подсчитать погрешность своих измерений.
7/11. Измерение коэффициента упругости пружин различной жесткости с помощью графика.
Графическая зависимость силы упругости от растяжения. Расчет коэффициента упругости с помощью графика.
Демонстрации Измерение растяжения пружин разной жесткости под действием различных сил.
Лабораторные работы и опыты
Измерение коэффициента упругости пружин различной жесткости с помощью графика.
Самостоятельные работы
Начертить график зависимости силы упругости от деформации на миллиметровой бумаге, подсчитать погрешность опыта, построить прямоугольник ошибок и вычислить коэффициент упругости пружины.
8/12. Сила трения. Измерение коэффициента трения.
Сила трения покоя, скольжения, качения. Зависимость силы трения от силы нормального давления. Коэффициент трения. Шероховатости соприкасающихся поверхностей, взаимодействие молекул. Жидкое трение.
Демонстрации
— 9 —
- Трение скольжения, покоя и качения. Равновесие тела на вращающемся диске.
- Смазывание трущихся поверхностей уменьшает трение. Почему же труднее удерживать рукоятку топора сухой рукой, чем влажной?
Лабораторные работы и опыты
Изучение зависимости силы трения скольжения от силы давления. Результат получить аналитически и графически.
Самостоятельные работы
- Карандаш удерживают на столе в вертикальном положении заостренным концом вниз. После того как его отпустили, он начинает падать, как движется при этом острие карандаша в зависимости от коэффициента трения? Оторвется ли острие карандаша от стола (в отличие от случая, когда в результате скольжения место заточки карандаша в конце концов соприкоснется со столом )?
- Карандаш находится в горизонтальном положении, опираясь концами на два моих указательных пальца. Пока я медленно сдвигаю пальцы, чтобы они встретились под центром стержня, он скользит либо по одному, либо по другому пальцу. Почему он так движется?
9/13. Закон инерции. Законы взаимодействия.
Фундаментальные законы взаимодействия. Их значение для становления физики как науки. Связь действующей силы с изменением скорости. Движение с постоянной скоростью.
Демонстрации
- Расположите на столе близко друг к другу два алюминиевых бруска. Свяжите ножки пинцета и поместите его между брусками. Пережгите нить. Почему бруски приходят в движение? Одинаковы ли их скорости? Массы?
- Повторите опыт, взяв бруски одинакового объема, но разных масс. Одинаковы ли их скорости?
- Демонстрация законов инерции.
Приборы и материалы. Бумажная тарелка, ножницы, бумажный шарик.
Ход работы.
- Отрежьте от тарелки одну половину.
- Поместите шарик на кромку отрезанной части.
- Поставьте тарелку на стол и слегка наклоните ее, чтобы шарик быстро покатился по выемке тарелки.
Шарик скатывается с тарелки и удаляется от нее по прямой.
Вывод. Предметы движутся по прямой, если на них не действуют никакие силы.
- Положите лист картона так, чтобы он опирался на две книги. На середину листа положите мешочек с песком. Резко поднимите лист вместе с мешочком. Почему изменилась его форма?
— 10 —
- Действие равно противодействию. Но почему тело движется, ведь какую бы силу мы не приложили, появится противодействующая сила. Где здесь ошибка в рассуждениях?
Лабораторные работы и опыты
- Положите шарик на лист бумаги. Отметьте положение шарика относительно стола. Выдерните лист резким движением. Изменилось ли положение шарика?
- Подвесите алюминиевый и медный цилиндры на нить к лапке штатива. Отклоните их в разные стороны и проследите, что с ними происходит после удара.
- Зацепите крючками два динамометра и слегка разведите их в стороны. Заметьте их показания.
Самостоятельные работы
- Придумайте и проделайте опыты, при помощи которых можно показать проявление инерции у покоящихся и движущихся тел.
- Придумайте опыты, при помощи которых можно показать зависимость инертности тел от массы.
- Висящий на нити, привязанной к потолку каюты, груз отклонился в сторону, хотя на него ничто не действовало. Нет ли здесь противоречия с законом инерции?
- Свойством инерции обладают не только твердые, но также жидкие и газообразные тела. Придумайте и проделайте опыты, при помощи которых можно показать проявление инерции жидких тел.
- Предмет покоится на краю горизонтального стола. Его толкают и он падает с другой стороны стола, ширина которого 1 м, через 2 с. Есть ли у предмета колеса?
10/14. Скорость равномерного движения. Относительность движения.
Мгновенная скорость. Скорость равномерного движения. Относительность движения. Относительная скорость тел. Расчет скорости движения для равномерного движения. Средняя скорость.
Демонстрации
- Самолет, летящий со скоростью 900 км/ч, во время полета заправляется горючим от другого самолета. С какой скоростью движется при этом самолет-заправщик?
- Демонстрация относительности движения на примере тележки и вращающегося диска, установленного на штативе.
- Демонстрация теневой проекции вращения тела, лежащего на горизонтально расположенном диске.
- Автомобиль проехал 60 км за 1 ч, а потом еще 240 км за 5 ч. Какова средняя скорость на всем пути?
- Двигаясь по шоссе, велосипедист проехал 900 м со скоростью 15 м/с, а затем по плохой дороге 400 м со скоростью 10 м/с. С какой средней скоростью он проехал весь путь?
- Минутная стрелка настенных часов вдвое длиннее, чем часовая. В какой момент после полуночи конец минутной стрелки будет удаляться от конца часовой стрелки с наибольшей скоростью?
Лабораторные работы и опыты
- Положите линейку на лист бумаги. Один конец линейки зажмите и с помощью карандаша переместите на некоторый угол. Определите траекторию, скорость и перемещение относительно линейки и листа бумаги.
- Положите деревянный брусок на лист бумаги. Медленно потяните за край листа. В каком состоянии относительно стола находится лист бумаги и брусок? В каком состоянии относительно листа бумаги находился брусок?
— 11 —
- Положите брусок на лист бумаги и резко потяните за край листа. В каком состоянии относительно стола находился лист бумаги? В каком состоянии относительно бумаги находился стол? В каком состоянии относительно стола находился брусок?
- Можно ли сказать, что брусок движется относительно стола в опытах, указанных в предыдущих задачах?
Самостоятельные работы
- Подсчитайте скорость своего подъема по лестнице.
- Определите среднюю скорость движения автобуса между остановками и переведите ее в м/с.
- Определите скорость, с которой перемещается конец минутной стрелки ваших часов.
- Голодный паук приготовился поймать насекомое, если оно окажется в паутинке, которая натянута между ним и стеной. Длина нити 1 м. на нить попала гусеница. Увидев паука, она стала уползать от него к стене со скоростью ν1= 1мм/с относительно нити, а паук , оставаясь на месте, стал вытягивать свой конец нити со скоростью ν0= 1 см/с, считая, что нить может растягиваться без ограничений. Доползет ли гусеница до стены? Как изменится решение предыдущей задачи, если паук не сидит на месте, а удаляется от стены, увлекая за собой конец нити?
11/15. Перемещение при равномерном движении.
Траектория. Перемещение. Путь. Связь пути и перемещения при прямолинейном равномерном движении.
Демонстрации
Сравнить движение стрелок часов; нитяного маятника; равномерное движение тележки, привязанной к грузу, подвешенному к ней через блок. На тележке стоит капельница, с помощью которой отмечаются величины перемещений за равные промежутки времени. Вращение диска с закрепленной осью.
Лабораторные работы и опыты
Расположите резиновую трубку, заполненную водой, вертикально. Перевернув трубку, проследите за движением пузырька воздуха в ней. Отмерив одинаковые расстояния, проследите за тем, соответствуют ли ударам метронома прохождение пузырьком сделанных вами меток.
Самостоятельные работы
- Определите путь и перемещение минутной стрелки часов за 10 минут, 30 минут и 1 час.
- В движущемся вагоне в любой момент времени есть точки, движущиеся в сторону, обратную движению вагона. Какие это точки?
- Две одинаковые шайбы А и В скользят без трения по льду озера. Они соединены легкой, нерастяжимой, но упругой нитью длиной √2L. В момент времени t = 0 шайба А покоится в точке с координатами (0,0), а шайба В, которая находится в точке с координатами (L,0), сообщают скорость v вдоль оси y в положительном направлении. Определите координаты и скорости шайб А и В в моменты времени t1 = 2L/v и t2 = 100L /v.
12/16. Графики зависимости скорости и перемещения от времени.
Научить строить и читать графики равномерного движения.
1. Получены данные о движения автомобиля:
| Длительность движения,ч | 0,1 | 0,4 | 0,2 |
| Скорость, км/ч | 20 | 60 | 20 |
— 12 —
- Какой путь пройдет автомобиль за первый промежуток времени?
- Какова общая длина пути, пройденного автомобилем?
- Постройте график зависимости скорости от времени для этой поездки
- За какое время автомобиль пройдет первые 14 км пути?
- Укажите площадь на вашем графике, соответствующую первым 14 км пути.
2. Проанализируем графики, приведенные ниже. Какие из них могут соответствовать графикам зависимости перемещения от времени и почему? Какие из них могут соответствовать графикам зависимости скорости равномерного движения от времени и почему?
Лабораторные работы и опыты
Проследим, как движутся пузырьки воздуха со дна водоема. Проанализируем фотографии, сделанные за одинаковые промежутки времени. Измеряя перемещения пузырьков, запишем результаты в таблицу.
| x, cм | ||||
| t, c |
По полученным данным построим график зависимости перемещения от времени.
Самостоятельные работы
На рисунке представлены графики проекций скоростей двух автомобилей, движущихся по одной прямой. Что можно сказать о направлении движения автомобилей? Меняются ли их скорости со временем? Какой из автомобилей движется быстрее?
— 13 —
13/17. Координатный метод описания движения.
Движение-это изменение положения тела относительно данного тела отсчета и связанной с ним системы координат с течением времени. Система отсчета и система координат. Положение тела в одномерной, двумерной и трехмерной системе координат. Угловая система координат.
Демонстрации
- Все вы знаете стихотворение А. С. Пушкина «У лукоморья дуб зеленый…». Что является телом отсчета для описания движения кота?
- Определим координаты люстры в классе, выбрав за тело отсчета входную дверь.
- На рисунке изображено положение двух точек в пространстве относительно координатных осей. Определить:
Цену деления осей
Координаты точки А.
Координаты точки В.
Лабораторные работы и опыты
На рисунке показано положение трех точек А, В и С, соединенных между собой кривой линией. Эта линия является траекторией движения точки из А в С. Определить:
x
- Цену деления осей координат
- Координаты точек А, В и С.
- Проекции вектора АВ, ВС и АС.
На рисунке изображен график координаты тела от времени. Определите:
- Цену деления осей.
- Время движения по оси ох
- Время остановки
- Время движения против оси ох
- Пройденный путь
- Среднюю скорость движения
- Скорость до остановки
- Скорость после остановки
- Величину перемещения
— 14 —
X,м
t,c
Самостоятельные работы
С помощью рулетки или сантиметровой измерительной ленты определите координаты точки подвеса комнатного светильника по отношению к системе отсчета, связанной с одним из нижних углов комнаты. Координаты оси направьте вдоль стен комнаты.
14/18. Движение с ускорением.
Движение с изменяющейся во времени скоростью. Ускорение. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении. Изменение скорости по направлению при вращении стрелок часов.
Демонстрации
1. Видеофильм «Основы кинематики». Элемент технологии критического мышления И.Д.Е.А.Л.
- Формулировка проблемы (все ли тела движутся равномерно)
- Формулировка проблемы в виде вопроса (как можно описать движение тел, отличающихся от равномерного)
- Генерирование как можно большего числа решений вопроса
- Выбор наилучших вариантов
- Характер изменения физические величины при движении со скоростью, меняющейся во времени
Оформление решения проблемы
2. Конический маятник.
3. Проделайте опыт Г.Галилея: убедитесь в том, что пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечетных чисел. Положив шарик вверху желоба, отпустите его и карандашом отметьте местоположения шарика под удары метронома. Пути, проходимые при равноускоренном движении за последовательные равные промежутки времени, определите по миллиметровой шкале на линейке. Наклонная плоскость должна составлять малый угол с плоскостью стола, для того чтобы шарик скатывался медленно.
Лабораторные работы и опыты
Определите среднюю скорость шарика, скатывающегося с наклонной плоскости. Как она зависит от угла наклона плоскости? От чего зависит точность ваших измерений? Как определить конечную скорость шарика? Как она зависит от угла наклонной плоскости и ее длины?
Самостоятельные работы
Пластиковый пузырек с подкрашенной жидкостью поставить на тележку и открыть отверстие в дне сосуда. Измерить расстояния между каплями, оставленными на бумажной ленте, положенной на демонстрационный стол, при скатывании тележки с наклонной плоскости, а также общее время движения и интервалы времени, соответствующие отметкам на ленте. Подсчитать среднюю скорость движения.
— 15 —
15/19. Свободное падение тел.
Движение тела из состояния покоя под действием силы тяжести. Постоянство ускорения свободного падения для данного места на земной поверхности. Измерение ускорения свободного падения.
Демонстрации
- Определите экспериментально ускорение, с которым шарик скатывается по наклонному желобу. Как изменяется ускорение шарика при увеличении угла наклона желоба?
- Шарик упал со стола. С каким ускорением он двигался? Сколько времени длилось падение шарика? Какой была скорость шарика в момент, когда он коснулся пола? Какова высота стола?
Лабораторные работы и опыты
- Пронаблюдайте за падением тел разной массы, но одинакового объема; разной формы. Сделайте вывод.
- Придумать опыт, доказывающий, что свободно падающий шарик движется по вертикали.
Самостоятельные работы
- Определите ускорение свободного падения, пользуясь отвесом, секундомером и камнями различной формы и объема. Местом проведения опыта может быть высокий мост, глубокий овраг или балкон многоэтажного дома. Возьмите округленный камень небольших размеров и под счет “раз, два, пуск” предоставьте ему возможность падать. Секундомером измерьте время падения камня, а затем по известной формуле найдите ускорение свободного падения. Повторите опыт несколько раз с разными телами и убедитесь в том, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела. Как влияет на результат расчета ускорения свободного падения погрешность измерения времени и время реакции человека?
- Маленький шарик В лежит на краю стола высотой 1 м, другой такой же шарик А подвешен на нити длинной 1 м и представляет собой математический маятник. Если нить с шариком А привести в горизонтальное положение и отпустить, то между шариками произойдет упругое столкновение. Рассматривая движение шарика В только до момента его падения на землю, ответьте на вопросы: а) какой шарик дольше находится в движении; б) у какого шарика больше длина траектории?
16/20. График скорости от времени при равноускоренном движении.
График скорости от времени при равномерном движении (повторение). Отличие графика скорости неравномерного движения от графика скорости для равномерного движения. Физический смысл угла наклона графика. График скорости свободно падающего тела. Угол наклона графика скорости тела, движущегося под действием силы тяжести.
Основной материал
- В таблице приведены значения мгновенной скорости автомобиля от времени:
| Время,с | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Скорость, м/с | 10,0 | 12,4 | 14,8 | 17,2 | 19,6 | 22,0 | 24,4 |
Постройте график скорости от времени для этой поездки и ответьте на вопросы:
- С какой скоростью двигался автомобиль в моменты времени 2,6 с и 4,8 с?
- Какой путь прошел автомобиль между этими двумя моментами времени?
2. Дан график скорости от времени.
— 16 —
V,м/c
t,c
Разобрать, как меняется скорость движения велосипедиста по графику. Какое время он двигался равномерно? Какое расстояние он проехал, двигаясь с постоянной скоростью, при разгоне и при торможении?
Лабораторные работы и опыты
По графику скорости найдите ускорение и среднюю скорость за первые две секунды его
движения.
t,c
Самостоятельные работы
t,c
t,c
Определите ускорение и среднюю скорость тел, пользуясь графиками скорости от времени.
Методические рекомендации особенности физических наблюдений.(4 часа)
Подобный материал:
- Методические рекомендации по проведению Единого Всекубанского классного часа, 33.75kb.
- Методические рекомендации «Педагогические особенности использования мультимедиа в образовании», 698.02kb.
- Постановлением Президиума Ростовского областного суда 6 августа 2004 года методические, 89.43kb.
- Методические рекомендации для учителей предметников по использованию цор в своей педагогической, 1201.3kb.
- Методические рекомендации по подготовке проекта муниципального правового акта органа, 154.99kb.
- Методические рекомендации и учебные материалы для проведения единого классного часа, 148.78kb.
- Методика преподавания темы «Многочлены» в профильной школе Методические рекомендации, 72.18kb.
- Основы метрологии в физике, 146.66kb.
- С. И. Сай «17» февраля 2003 года методические рекомендации, 234.96kb.
- Академия оценки и строительства казахстанская республиканская палата оценщиков особенности, 1159.14kb.
6/10. Определение погрешности измерений. Прямоугольник ошибок.
Дать понятие о погрешности измерений, ее влияние на вывод эмпирических зависимостей. Виды погрешностей. Погрешность измерительного прибора. Абсолютная погрешность. Погрешность отсчета. Прямоугольник ошибок.
Демонстрации
- Измерение объема колбы мензурками с разной ценой деления.
- Измерение длины нескольких тетрадных листов одной линейкой и определение среднего значения длины тетрадного листа.
— 8 —
- Определение толщины нити с помощью линейки с миллиметровыми делениями.
- Измерение длины парты линейкой, длина которой не превышает 30 см.
- Определение погрешности скорости равномерного движения математическими методами.
- Погрешность, вызываемая округлением величин.
- Построить график зависимости силы тяжести от массы, определить цену деления динамометра, точность измерения массы и указать на графике прямоугольник ошибок.
Лабораторные работы и опыты
- При измерении длины с помощью ученической линейки может быть допущена ошибка за счет неправильного расположения глаза. Как измерять правильно? Чем вызывается ошибка при таких измерениях?
- Дана таблица измерений приложенной нагрузки от положения конца образца. Постройте график этой зависимости и проанализируйте погрешности измерений на разных его участках.
| 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | Нагрузка |
| 0 | 2,1 | 4,2 | 6,3 | 8,5 | 10,6 | 12,6 | 14,6 | 16,6 | 18,6 | 20,5 | 22,3 | Растяжение |
Самостоятельные работы
- Рассмотрите шприц и охарактеризуйте его как измерительный прибор.. Определите погрешность, верхний и нижний пределы его измерений.
- Определите с земли высоту дерева, телеграфного столба или любого другого предмета, имея только небольшую линейку. Предложите несколько способов. Оцените погрешность каждого способа.
- Измерить площадь фигуры неправильной формы и подсчитать погрешность своих измерений.
7/11. Измерение коэффициента упругости пружин различной жесткости с помощью графика.
Графическая зависимость силы упругости от растяжения. Расчет коэффициента упругости с помощью графика.
Демонстрации Измерение растяжения пружин разной жесткости под действием различных сил.
Лабораторные работы и опыты
Измерение коэффициента упругости пружин различной жесткости с помощью графика.
Самостоятельные работы
Начертить график зависимости силы упругости от деформации на миллиметровой бумаге, подсчитать погрешность опыта, построить прямоугольник ошибок и вычислить коэффициент упругости пружины.
8/12. Сила трения. Измерение коэффициента трения.
Сила трения покоя, скольжения, качения. Зависимость силы трения от силы нормального давления. Коэффициент трения. Шероховатости соприкасающихся поверхностей, взаимодействие молекул. Жидкое трение.
Демонстрации
— 9 —
- Трение скольжения, покоя и качения. Равновесие тела на вращающемся диске.
- Смазывание трущихся поверхностей уменьшает трение. Почему же труднее удерживать рукоятку топора сухой рукой, чем влажной?
Лабораторные работы и опыты
Изучение зависимости силы трения скольжения от силы давления. Результат получить аналитически и графически.
Самостоятельные работы
- Карандаш удерживают на столе в вертикальном положении заостренным концом вниз. После того как его отпустили, он начинает падать, как движется при этом острие карандаша в зависимости от коэффициента трения? Оторвется ли острие карандаша от стола (в отличие от случая, когда в результате скольжения место заточки карандаша в конце концов соприкоснется со столом )?
- Карандаш находится в горизонтальном положении, опираясь концами на два моих указательных пальца. Пока я медленно сдвигаю пальцы, чтобы они встретились под центром стержня, он скользит либо по одному, либо по другому пальцу. Почему он так движется?
9/13. Закон инерции. Законы взаимодействия.
Фундаментальные законы взаимодействия. Их значение для становления физики как науки. Связь действующей силы с изменением скорости. Движение с постоянной скоростью.
Демонстрации
- Расположите на столе близко друг к другу два алюминиевых бруска. Свяжите ножки пинцета и поместите его между брусками. Пережгите нить. Почему бруски приходят в движение? Одинаковы ли их скорости? Массы?
- Повторите опыт, взяв бруски одинакового объема, но разных масс. Одинаковы ли их скорости?
- Демонстрация законов инерции.
Приборы и материалы. Бумажная тарелка, ножницы, бумажный шарик.
Ход работы.
- Отрежьте от тарелки одну половину.
- Поместите шарик на кромку отрезанной части.
- Поставьте тарелку на стол и слегка наклоните ее, чтобы шарик быстро покатился по выемке тарелки.
Шарик скатывается с тарелки и удаляется от нее по прямой.
Вывод. Предметы движутся по прямой, если на них не действуют никакие силы.
- Положите лист картона так, чтобы он опирался на две книги. На середину листа положите мешочек с песком. Резко поднимите лист вместе с мешочком. Почему изменилась его форма?
— 10 —
- Действие равно противодействию. Но почему тело движется, ведь какую бы силу мы не приложили, появится противодействующая сила. Где здесь ошибка в рассуждениях?
Лабораторные работы и опыты
- Положите шарик на лист бумаги. Отметьте положение шарика относительно стола. Выдерните лист резким движением. Изменилось ли положение шарика?
- Подвесите алюминиевый и медный цилиндры на нить к лапке штатива. Отклоните их в разные стороны и проследите, что с ними происходит после удара.
- Зацепите крючками два динамометра и слегка разведите их в стороны. Заметьте их показания.
Самостоятельные работы
- Придумайте и проделайте опыты, при помощи которых можно показать проявление инерции у покоящихся и движущихся тел.
- Придумайте опыты, при помощи которых можно показать зависимость инертности тел от массы.
- Висящий на нити, привязанной к потолку каюты, груз отклонился в сторону, хотя на него ничто не действовало. Нет ли здесь противоречия с законом инерции?
- Свойством инерции обладают не только твердые, но также жидкие и газообразные тела. Придумайте и проделайте опыты, при помощи которых можно показать проявление инерции жидких тел.
- Предмет покоится на краю горизонтального стола. Его толкают и он падает с другой стороны стола, ширина которого 1 м, через 2 с. Есть ли у предмета колеса?
10/14. Скорость равномерного движения. Относительность движения.
Мгновенная скорость. Скорость равномерного движения. Относительность движения. Относительная скорость тел. Расчет скорости движения для равномерного движения. Средняя скорость.
Демонстрации
- Самолет, летящий со скоростью 900 км/ч, во время полета заправляется горючим от другого самолета. С какой скоростью движется при этом самолет-заправщик?
- Демонстрация относительности движения на примере тележки и вращающегося диска, установленного на штативе.
- Демонстрация теневой проекции вращения тела, лежащего на горизонтально расположенном диске.
- Автомобиль проехал 60 км за 1 ч, а потом еще 240 км за 5 ч. Какова средняя скорость на всем пути?
- Двигаясь по шоссе, велосипедист проехал 900 м со скоростью 15 м/с, а затем по плохой дороге 400 м со скоростью 10 м/с. С какой средней скоростью он проехал весь путь?
- Минутная стрелка настенных часов вдвое длиннее, чем часовая. В какой момент после полуночи конец минутной стрелки будет удаляться от конца часовой стрелки с наибольшей скоростью?
Лабораторные работы и опыты
- Положите линейку на лист бумаги. Один конец линейки зажмите и с помощью карандаша переместите на некоторый угол. Определите траекторию, скорость и перемещение относительно линейки и листа бумаги.
- Положите деревянный брусок на лист бумаги. Медленно потяните за край листа. В каком состоянии относительно стола находится лист бумаги и брусок? В каком состоянии относительно листа бумаги находился брусок?
— 11 —
- Положите брусок на лист бумаги и резко потяните за край листа. В каком состоянии относительно стола находился лист бумаги? В каком состоянии относительно бумаги находился стол? В каком состоянии относительно стола находился брусок?
- Можно ли сказать, что брусок движется относительно стола в опытах, указанных в предыдущих задачах?
Самостоятельные работы
- Подсчитайте скорость своего подъема по лестнице.
- Определите среднюю скорость движения автобуса между остановками и переведите ее в м/с.
- Определите скорость, с которой перемещается конец минутной стрелки ваших часов.
- Голодный паук приготовился поймать насекомое, если оно окажется в паутинке, которая натянута между ним и стеной. Длина нити 1 м. на нить попала гусеница. Увидев паука, она стала уползать от него к стене со скоростью ν1= 1мм/с относительно нити, а паук , оставаясь на месте, стал вытягивать свой конец нити со скоростью ν0= 1 см/с, считая, что нить может растягиваться без ограничений. Доползет ли гусеница до стены? Как изменится решение предыдущей задачи, если паук не сидит на месте, а удаляется от стены, увлекая за собой конец нити?
11/15. Перемещение при равномерном движении.
Траектория. Перемещение. Путь. Связь пути и перемещения при прямолинейном равномерном движении.
Демонстрации
Сравнить движение стрелок часов; нитяного маятника; равномерное движение тележки, привязанной к грузу, подвешенному к ней через блок. На тележке стоит капельница, с помощью которой отмечаются величины перемещений за равные промежутки времени. Вращение диска с закрепленной осью.
Лабораторные работы и опыты
Расположите резиновую трубку, заполненную водой, вертикально. Перевернув трубку, проследите за движением пузырька воздуха в ней. Отмерив одинаковые расстояния, проследите за тем, соответствуют ли ударам метронома прохождение пузырьком сделанных вами меток.
Самостоятельные работы
- Определите путь и перемещение минутной стрелки часов за 10 минут, 30 минут и 1 час.
- В движущемся вагоне в любой момент времени есть точки, движущиеся в сторону, обратную движению вагона. Какие это точки?
- Две одинаковые шайбы А и В скользят без трения по льду озера. Они соединены легкой, нерастяжимой, но упругой нитью длиной √2L. В момент времени t = 0 шайба А покоится в точке с координатами (0,0), а шайба В, которая находится в точке с координатами (L,0), сообщают скорость v вдоль оси y в положительном направлении. Определите координаты и скорости шайб А и В в моменты времени t1 = 2L/v и t2 = 100L /v.
12/16. Графики зависимости скорости и перемещения от времени.
Научить строить и читать графики равномерного движения.
1. Получены данные о движения автомобиля:
| Длительность движения,ч | 0,1 | 0,4 | 0,2 |
| Скорость, км/ч | 20 | 60 | 20 |
— 12 —
- Какой путь пройдет автомобиль за первый промежуток времени?
- Какова общая длина пути, пройденного автомобилем?
- Постройте график зависимости скорости от времени для этой поездки
- За какое время автомобиль пройдет первые 14 км пути?
- Укажите площадь на вашем графике, соответствующую первым 14 км пути.
2. Проанализируем графики, приведенные ниже. Какие из них могут соответствовать графикам зависимости перемещения от времени и почему? Какие из них могут соответствовать графикам зависимости скорости равномерного движения от времени и почему?
Лабораторные работы и опыты
Проследим, как движутся пузырьки воздуха со дна водоема. Проанализируем фотографии, сделанные за одинаковые промежутки времени. Измеряя перемещения пузырьков, запишем результаты в таблицу.
| x, cм | ||||
| t, c |
По полученным данным построим график зависимости перемещения от времени.
Самостоятельные работы
На рисунке представлены графики проекций скоростей двух автомобилей, движущихся по одной прямой. Что можно сказать о направлении движения автомобилей? Меняются ли их скорости со временем? Какой из автомобилей движется быстрее?
— 13 —
13/17. Координатный метод описания движения.
Движение-это изменение положения тела относительно данного тела отсчета и связанной с ним системы координат с течением времени. Система отсчета и система координат. Положение тела в одномерной, двумерной и трехмерной системе координат. Угловая система координат.
Демонстрации
- Все вы знаете стихотворение А. С. Пушкина «У лукоморья дуб зеленый…». Что является телом отсчета для описания движения кота?
- Определим координаты люстры в классе, выбрав за тело отсчета входную дверь.
- На рисунке изображено положение двух точек в пространстве относительно координатных осей. Определить:
Цену деления осей
Координаты точки А.
Координаты точки В.
Лабораторные работы и опыты
На рисунке показано положение трех точек А, В и С, соединенных между собой кривой линией. Эта линия является траекторией движения точки из А в С. Определить:
x
- Цену деления осей координат
- Координаты точек А, В и С.
- Проекции вектора АВ, ВС и АС.
На рисунке изображен график координаты тела от времени. Определите:
- Цену деления осей.
- Время движения по оси ох
- Время остановки
- Время движения против оси ох
- Пройденный путь
- Среднюю скорость движения
- Скорость до остановки
- Скорость после остановки
- Величину перемещения
— 14 —
X,м
t,c
Самостоятельные работы
С помощью рулетки или сантиметровой измерительной ленты определите координаты точки подвеса комнатного светильника по отношению к системе отсчета, связанной с одним из нижних углов комнаты. Координаты оси направьте вдоль стен комнаты.
14/18. Движение с ускорением.
Движение с изменяющейся во времени скоростью. Ускорение. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении. Изменение скорости по направлению при вращении стрелок часов.
Демонстрации
1. Видеофильм «Основы кинематики». Элемент технологии критического мышления И.Д.Е.А.Л.
- Формулировка проблемы (все ли тела движутся равномерно)
- Формулировка проблемы в виде вопроса (как можно описать движение тел, отличающихся от равномерного)
- Генерирование как можно большего числа решений вопроса
- Выбор наилучших вариантов
- Характер изменения физические величины при движении со скоростью, меняющейся во времени
Оформление решения проблемы
2. Конический маятник.
3. Проделайте опыт Г.Галилея: убедитесь в том, что пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечетных чисел. Положив шарик вверху желоба, отпустите его и карандашом отметьте местоположения шарика под удары метронома. Пути, проходимые при равноускоренном движении за последовательные равные промежутки времени, определите по миллиметровой шкале на линейке. Наклонная плоскость должна составлять малый угол с плоскостью стола, для того чтобы шарик скатывался медленно.
Лабораторные работы и опыты
Определите среднюю скорость шарика, скатывающегося с наклонной плоскости. Как она зависит от угла наклона плоскости? От чего зависит точность ваших измерений? Как определить конечную скорость шарика? Как она зависит от угла наклонной плоскости и ее длины?
Самостоятельные работы
Пластиковый пузырек с подкрашенной жидкостью поставить на тележку и открыть отверстие в дне сосуда. Измерить расстояния между каплями, оставленными на бумажной ленте, положенной на демонстрационный стол, при скатывании тележки с наклонной плоскости, а также общее время движения и интервалы времени, соответствующие отметкам на ленте. Подсчитать среднюю скорость движения.
— 15 —
15/19. Свободное падение тел.
Движение тела из состояния покоя под действием силы тяжести. Постоянство ускорения свободного падения для данного места на земной поверхности. Измерение ускорения свободного падения.
Демонстрации
- Определите экспериментально ускорение, с которым шарик скатывается по наклонному желобу. Как изменяется ускорение шарика при увеличении угла наклона желоба?
- Шарик упал со стола. С каким ускорением он двигался? Сколько времени длилось падение шарика? Какой была скорость шарика в момент, когда он коснулся пола? Какова высота стола?
Лабораторные работы и опыты
- Пронаблюдайте за падением тел разной массы, но одинакового объема; разной формы. Сделайте вывод.
- Придумать опыт, доказывающий, что свободно падающий шарик движется по вертикали.
Самостоятельные работы
- Определите ускорение свободного падения, пользуясь отвесом, секундомером и камнями различной формы и объема. Местом проведения опыта может быть высокий мост, глубокий овраг или балкон многоэтажного дома. Возьмите округленный камень небольших размеров и под счет “раз, два, пуск” предоставьте ему возможность падать. Секундомером измерьте время падения камня, а затем по известной формуле найдите ускорение свободного падения. Повторите опыт несколько раз с разными телами и убедитесь в том, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела. Как влияет на результат расчета ускорения свободного падения погрешность измерения времени и время реакции человека?
- Маленький шарик В лежит на краю стола высотой 1 м, другой такой же шарик А подвешен на нити длинной 1 м и представляет собой математический маятник. Если нить с шариком А привести в горизонтальное положение и отпустить, то между шариками произойдет упругое столкновение. Рассматривая движение шарика В только до момента его падения на землю, ответьте на вопросы: а) какой шарик дольше находится в движении; б) у какого шарика больше длина траектории?
16/20. График скорости от времени при равноускоренном движении.
График скорости от времени при равномерном движении (повторение). Отличие графика скорости неравномерного движения от графика скорости для равномерного движения. Физический смысл угла наклона графика. График скорости свободно падающего тела. Угол наклона графика скорости тела, движущегося под действием силы тяжести.
Основной материал
- В таблице приведены значения мгновенной скорости автомобиля от времени:
| Время,с | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Скорость, м/с | 10,0 | 12,4 | 14,8 | 17,2 | 19,6 | 22,0 | 24,4 |
Постройте график скорости от времени для этой поездки и ответьте на вопросы:
- С какой скоростью двигался автомобиль в моменты времени 2,6 с и 4,8 с?
- Какой путь прошел автомобиль между этими двумя моментами времени?
2. Дан график скорости от времени.
— 16 —
V,м/c
t,c
Разобрать, как меняется скорость движения велосипедиста по графику. Какое время он двигался равномерно? Какое расстояние он проехал, двигаясь с постоянной скоростью, при разгоне и при торможении?
Лабораторные работы и опыты
По графику скорости найдите ускорение и среднюю скорость за первые две секунды его
движения.t,c
Самостоятельные работы
t,c
t,c
Определите ускорение и среднюю скорость тел, пользуясь графиками скорости от времени.
Pgfplots: краткое руководство
О пакете
Пакет pgfplots представляет собой мощный инструмент, предназначенный для создания научных графиков. Он создан на базе tikz, не менее прекрасного пакета, который позволяет создавать векторную графику прямо на латехе.
Если вы сомневаетесь в необходимости использования pgfplots или tikz, посмотрите на простые графики, созданные с помощью этих пакетов:
Много небольших примеров применения можно посмотреть в галерее pgfplots 1.
Основная идея pgfplots — упрощение включения графиков в документ. Задача пользователя — задать формулу или данные, а остальным занимается pgfplots. Так, код графиков (см. пример на overleaf), приведенных выше (без преамбулы) выглядит так:
% Код первого графика
begin{tikzpicture}
begin{axis}
addplot[color=red]{exp(x)};
end{axis}
end{tikzpicture}% Код второго графика
begin{tikzpicture}
begin{axis}
addplot3[surf] {exp(-x^2-y^2)*x};
end{axis}
end{tikzpicture}Заметьте, от пользователя в простейшем случае не потребовалось практически ничего, кроме задания функции и вида её отображения. Разумеется, можно и вручную задать пределы построения функции и многое
другое.
Оглавление
- 0. Введение в pgfplots
- 0.1. Преамбула
- 0.2. Окружение осей
- 0.3. Пакет standalone: графики в отдельных файлах
- 1. Математика в pgfplots
- 1.1. Стандартные операторы
- 1.2. Стандартные функции
- 1.3. Генерация случайных чисел
- 2. Объявление новых функций
- 2.1. Составление функции Хевисайда. Ступенька произвольной длины
- 3. Настройка осей и сетки
- 3.1. Оси и их подписи. Настройка
- 3.2. «Тики» (метки на осях) и их подписи
- 3.2.1. Дополнительные тики
- 3.2.2. Промежуточные тики (minor ticks)
- 3.3. Максимальные и минимальные значения на графике. Масштаб осей
- 3.4. Сетка. Единицы измерения в LaTeX
- 3.4.1. Сетка через основные и промежуточные тики
- 3.4.2. Сетка через дополнительные (extra) тики
- 4. Легенда графика
- 5. Построение графика
- 5.1. Чтение данных из таблицы
- 5.1.2. Создание новых стоблцов таблицы
- 5.2. Отметки на линии графика (marks)
- 5.3. Прямоугольники ошибок
- 5.3.1. Постоянная абсолютная или относительная погрешность
- 5.3.2. Абсолютная или относительная погрешность из файла
- 5.4. Настройка линии графика
- 5.4.1. Толщина и цвет линии графика
- 5.4.2. Тип линии графика
- 5.1. Чтение данных из таблицы
- 6. Особенности построения графиков
- 6.1. Построение графиков, терпящих бесконечный скачок
- 6.2. Циклы в pgfplots и построение асимптот. Системы координат рисунка
- 6.3. Использование команд TikZ на графиках Pgfplots
- The End. Рекомендуемые источники
0. Введение в pgfplots
0.1. Преамбула
Подключается пакет стандартным образом. Вставьте этот код в преамбулу (до begin{document}):
Так же можно сразу в преамбуле сделать некоторые настройки. Во-первых, можно задать используемую версию pgfplots. Так как пакет динамично развивается, то некоторые вещи становятся несовместимыми от версии к версии. Наиболее разумным является использование текущей версии указанием параметра
pgfplotsset{width=10cm,compat=newest}но после окончания работы неплохо бы указать текущую версию вручную, чтобы если вдруг у вас будет такая функциональность, что не будет работать в следующих версиях, это не помешало бы компилировать график спустя длительное время.
Параметр width задает ширину графика. Также можно задать и высоту height. Надо заметить, что это нововведение по сравнению с tikz: в tikz картинки изменяют свой размер соответственно содержимому, pgfplots же может подогнать содержимое (масштабом осей) под график. Надо заметить, что возможно и обратное — задавать вручную масштаб осей, тогда высота и ширина будут определяться ими и содержимым, а параметры width, height будут игнорироваться.
0.2. Окружение осей
Поскольку pgfplots основан на tikz, график должен находиться в окружении tikzpicture. Сам график строится в осях (полотно графика с системой координат и некоторым масштабом).
Оси задаются окружением begin{axis} ... end{axis}. У осей могут быть свои параметры:
begin{tikzpicture}
begin{axis}[
%axis, % Обычные оси
%semilogxaxis, % По оси x логарифмический масштаб
%semilogyaxis, % По оси y логарифмический масштаб
%loglogaxis, % По обоим осям логарифмический масштаб
enlargelimits=true, % Делать размер осей чуть больше графика
]
addplot[color=red]{ln(x)};
end{axis}
end{tikzpicture}Булев параметр enlargelimits, если он включен, делает размер рисунка немного больше, так, чтобы нарисованные графики не касались края рисунка, а оставалось некоторое расстояние. По умолчанию он включен, и отключать его почти никогда не требуется.
Здесь они закомментированы. Достаточно одного из параметров, причем параметр axis используется по умолчанию, и его можно не указывать.
Чтобы добавить график, используется команда
addplot[color=red]{ln(x)};Внутри квадратных скобок могут быть переданы некоторые параметры, например здесь указан цвет линии графика. Квадратные скобки обязательны, если не передано ни одного параметра, нужно оставить между ними пробел.
Важно, что все команды (эта необходимость тянется из пакета tikz) должны заканчиваться точкой с запятой.
Внутри фигурных скобок размещается функция, задающая график. О её составлении рассказано ниже.
Так же более подробно о настройке осей и сетки см. раздел 3 «Настройка осей и сетки»
Самое подробное описание (на английском) можно найти в мануале по pgfplots 2.
0.3. Пакет standalone: графики в отдельных файлах
Компиляция графиков pgfplots может быть долгой. Особенно это касается случаев, когда строится функция с большим числом точек, уходящая на бесконечность или обрабатываются большие экспериментальные данные из файла.
В таком случае разумно, чтобы сократить время компиляции, создавать каждый рисунок как отдельный pdf-документ, а затем подключать его как картинку. С одной стороны, увеличивается скорость компиляции, с другой, документ становится проще за счет выноса длинного кода в отдельные файлы, а структура документа становится более гибкой: отдельный график можно использовать в других проектах.
Настоятельно рекомендуется использовать именно этот способ. Для него достаточно указать классом документа standalone, и документ будет компилироваться в pdf файл, причем так, что поле документа будет обрезано до размеров графика.
Стоит отметить, что этот пакет конфликтует с пакетом geometry, и последний использовать в документах класса standalone не нужно.
Дочерний документ (например, это файл img/ris1.tex):
documentclass{standalone}
usepackage[utf8]{inputenc}
usepackage{pgfplots}
pgfplotsset{width=10cm,compat=1.9}
begin{document}
begin{tikzpicture}
begin{axis}
addplot[color=red]{exp(x)};
end{axis}
end{tikzpicture}
end{document}Вставка картинки в основной документ:
begin{figure}[h!]
centering
includegraphics[scale=1]{img/ris1}
caption{Наш отдельный график}
label{fig:ris1}
end{figure}1. Математика в pgfplots
Математический аппарат pgfplots-а принадлежит пакету более низкого уровня pgf. Математические возможности pgf достаточно велики, и мы рассмотрим только некоторые аспекты составления сложных функций для построения различных графиков.
1.1. Стандартные операторы
- Без пояснения:
+,-,*,/,^ - Сравнение:
>,>=,<=,==,!= - Оператор факториала:
x!аналогичен вызову функцииfactorial(x)
Отдельно стоит сказать об условном операторе x ? y : z. Он вернет y, если x истина, и z, если ложь. Это можно использовать, например, для построения функций Хевисайда, о чем будет сказано ниже.
1.2. Стандартные функции
div(x,y)— целочисленное делениеmod(x,y)— остаток от деленияsign(x)— знак числа
Также ряд функций, не нуждающихся в объяснениях:
factorial(x),
sqrt(x),
exp(x),
ln(x),
log10(x),
log2(x),
abs(x)
Функции округления
round(x)— округлит до ближайшего целого, большего по модулю чем округляемое, числа: 1.5->2, -1.5->-2floor(x)— округлит х до ближайшего целого числа в большую сторонуceil(x)— округлит х до ближайшего целого числа в меньшую сторонуint(x)— просто вернет целую частьxfrac(x)— вернет дробную частьx
Целочисленные функции
iseven(x),isodd(x)— проверяет четность (нечетность) числа, в случае успеха вернет 1, в случае неудачи 1isprime(x)— проверяет, простое ли число (аналогично вернет 1/0)
Тригонометрические функции
sin,cos,tan,sec,cosec,cot,asin,acos,atan
Важно заметить, что все тригонометрические функции принимают на вход число в градусах, а для перевода из радиан в градусы служит функция deg, а обратно — rad. Это поведение по умолчанию, его можно поменять:
pgfkeys{/pgf/trig format=rad|deg}Кроме того, можно использовать радианы и не изменяя поведение по умолчанию — указать, что аргумент дан в радианах: cos(pi/2 r) ->0.
Гиперболические функции
sinh,cosh,tanh
1.3. Генерация случайных чисел
Присутствует и возможность генерации случайных чисел: вызов rnd вернет случайное число от 0 до 1, rand от -1 до 1.
Более подробно о функциях и операторах можно почитать в руководстве по pgf, 1000-1011 страницы 3.
2. Объявление новых функций
begin{tikzpicture}[
declare function={
myfun(x,t) = (x*t);
}
]
begin{axis}
addplot[color=red, domain=0:4, samples=300]{myfun(x,2)};
end{axis}
end{tikzpicture}Объявляется новая функция для всего рисунка. Все должно быть понятно из примера.
2.1. Составление функции Хевисайда. Ступенька произвольной длины
Используя условный оператор, несложно составить функцию Хевисайда:
Очевидно, она будет равна множителю перед скобкой при x>0 и нулю в отрицательной области. Из двух функций Хевисайда можно составить и прямоугольный импульс:
1*(x>0 ? 1 : 0)-1*(x>1 ? 1 : 0)Это прямоугольный импульс, начинающийся от нуля. Однако, можно создать функцию с аргументами высоты, ширины и начала ступеньки:
Нажмите для просмотра результата
begin{tikzpicture}[
declare function={
impuls(h,w,b,x) = h*((x>b ? 1 : 0)-(x>(b+w) ? 1 : 0));
}
]
begin{axis}
addplot[color=red, domain=0:4, samples=300]{impuls(2,2,1,x)};
end{axis}
end{tikzpicture}Заметим, что в общем случае, например для построения кусочно-гладких функций, необязательно создавать громоздкую функцию, которая будет включать в себя все остальные с помощью условного оператора.
Если заранее известно, что функция будет без скачков (скачок сам по себе можно построить, но особого смысла нет), то можно воспользоваться тем, что команда addplot имеет параметр области построения графика domain=start:end и использовать несколько плотов:
begin{tikzpicture}
begin{axis}
addplot[color=red, domain=0:1, samples=300]{x^2};
addplot[color=red, domain=1:4, samples=300]{2*x};
end{axis}
end{tikzpicture}samples здесь — количество точек графика. График не может строиться абсолютно непрерывно и берется в некотором числе точек, которые соединяются отрезками: чем выше число точек, тем качественнее картинка, но и медленнее её компиляция и отрисовка. Разумно делать это число меньше для медленно меняющихся графиков и много больше для быстро меняющихся, особенно для таких, как в предыдущем примере — со скачком.
По мере чтения руководства читатель может заметить появление новых параметров без объяснения. Предполагается, что они могут быть интуитивно понятны.
3. Настройка осей и сетки
3.1. Оси и их подписи. Заголовок графика.
Рассмотрим базовый пример настройки осей. По умолчанию, вместо координатных осей рисуется прямоугольник координат (axis lines = box), как это часто принято в научных статьях. Однако никто не мешает использовать оси-стрелки, или вообще отключить оси:
begin{tikzpicture}
begin{axis}[
axis lines = middle, % привычные оси со стрелочками с пересечением в нуле
% возможные значения: box, left, middle, center, right, none
xlabel = {$x$}, % подпись оси x
ylabel = {$f(x)$}, % подпись оси y
title={Мой первый график $f(x)=x^2 - 2cdot x - 1$},
]
addplot[domain=-10:10, samples=100, color=red] {x^2 - 2*x - 1};
end{axis}
end{tikzpicture}Обратите внимание на то, что у нас появился параметр title, задающий заголовок графику. Как правило, при использовании пакета standalone, это не нужно — заголовок графика задается командой caption в окружении figure.
Вообще говоря, положение осей можно применять и по отдельности:
axis x line=center,
axis y line=left,Можно задать и определенные правила отрисовки осей, например цвет, или сделать их пунктиром (dashed):
x axis line style ={black!40, dashed},
y axis line style ={red},Заметьте, как здесь указывается цвет. Это обозначение black!40!red означает смешение цветов, в соотношении 40% black 60% red, если цвет справа не указан, то он берется белым: значит, black!40 даст нам серый цвет. Таким образом из базовых цветов можно составить любой цвет.
Также можно перенести подписи осей к стрелкам на осях:
xlabel style={below right},
ylabel style={above left, red, scale=1.5},Здесь появился новый параметр scale, подпись к оси y будет в полтора раза больше, чем к оси x, очевидно.
Подразумевается, что все приведенные выше параметры подставляются в параметры окружения axis.
3.2. «Тики» (метки на осях) и их подписи
Когда график не качественный, важно наиболее удобно показать подписи (числа) к осям. За них отвечают ticks (тики) — маленькие перпендикулярные черты к осям с численной подписью.
Настройка расстояния между тиками:
xtick distance=1,
ytick distance=2Также можно вручную указать список основных тиков:
xtick={0,20,40,60,80,100},
ytick={0,20,40,60,80,100,120}А при необходимости, можно задать и подписи к ним (по умолчанию подпись — это координата тика):
ytick={1.5707,0.7853,1},
yticklabels={$frac{pi}{2},$, $frac{pi}{4}$, 1}, По умолчанию pgfplots пытается подобрать наиболее разумное расположение тиков.
3.2.1. Дополнительные тики
Иногда требуется специально показать положение чего-либо на осях. Для этого можно использовать дополнительные тики, задав им координаты и их подписи:
extra y ticks={-9/16,-6/16}, % положение дополнительных тиков
extra y tick labels={ % их подписи
{$U_{min}$}, {$U_{min}+Delta U$}
}, Для x аналогично.
3.2.2. Промежуточные тики (minor ticks)
Часто кроме основных меток на осях, ставят промежуточные: так, например, на линейке отмечены сантиметры рисками с подписями, а миллиметры просто рисками без подписей.
Такое задается с помощью minor ticks:
Этот параметр задает количество таких тиков (эквидистантных) между основными (major) тиками для обоих осей одинаково. А можно задать и для каждой оси отдельно:
minor x tick num=3,
minor y tick num=8,3.3. Максимальные и минимальные значения на графике. Масштаб осей
Масштаб осей задан в виде <длина орта x> <длина орта y>:
unit vector ratio = 1 1,
xmax = 8,
xmin=-2,
ymax=1.5,
ymin=-0.2,Максимальные и минимальные значения заданы очевидным образом.
3.4. Сетка. Единицы измерения в LaTeX
3.4.1. Сетка через основные и промежуточные тики
Сетка всегда проходит через тики на осях. Она может проходить как через основные (major) так и через промежуточные (minor) тики:
grid=major, % м.б. еще both - и там и там
grid style={dotted, cyan},Причем стиль можно задать как всей сетке (и основной major и промежуточной minor), так и по отдельности:
minor grid style={dashed,red, line width=0.2pt},
major grid style={solid,black, line width=0.1pt},Обратите внимание на используемые единицы измерения. em — это высота одной буквы шрифта 10pt:
pt называется типографским пунктом.
По умолчанию, сетка автоматически проведет линии и через пользовательские (дополнительные) тики, но этот стиль можно модифицировать:
extra tick style={grid=major, grid style={dotted, cyan}},Здесь мы скопировали стиль основных линий сетки и модифицировали его, сделав в точечку (dotted) и голубым (cyan).
4. Легенда графика
Для того, чтобы сопоставить какому-либо графику, который строится с помощью addplot, элемент легенды, есть специальная команда addlegendentry, которую нужно разместить после addplot:
begin{tikzpicture}
begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = {$x$},
ylabel = {$f(x)$},
title={Мой первый график $f(x)=x^2 - 2cdot x - 1$},
legend pos={south west},
]
addplot[domain=-10:10, samples=100, color=red] {x^2+2*x};
addlegendentry{$x^+2cdot x$};
end{axis}
end{tikzpicture}Здесь появился параметр legend pos, который задает положение легенды на графике:
legend pos=south west|south east|north west|north east5. Построение графика
В самом начале мы рассмотрели и далее неоднократно употребляли построение графика заданной функции (y=f(x)). Однако, часто требуется построить не такой (или не только такой график), а покоординатный график (или, как это говорят математики, функция задана таблично, а не аналитически).
Обычно такая задача возникает при обработке экспериментальных данных. Есть два способа: записать данные непосредественно в график, или записать их в текстовую таблицу (tsv или csv). Рассмотрим такие случаи.
5.1. Чтение данных из таблицы
Важно: для чтения из таблицы нужно подключить пакет:
usepackage{pgfplotstable}Рассмотрим такой пример: пусть у нас есть файл data.tsv, лежащий в той же папке, что и рисунок:
Fr Uin err
15 7.446 0.1
25 7.532 0.1
40 7.512 0.1
100 7.412 0.1
200 7.41 0.1
300 7.32 0.1
400 7.27 0.1
500 7.236 0.1
1000 7.3 0.1
2000 7.282 0.1
3000 7.27 0.1Тогда его можно построить командой:
addplot +[blue, dashed]
plot table [
x=Fr,
y=Uin
]{data.tsv};В этом примере все просто. В первых квадратных скобках пишутся параметры, управляющие отрисованным графиком, построением прямоугольников ошибок и т.п., а во вторых — параметры чтения из таблицы, создание новых столбцов таблицы путем математического выражения, составленного из существующих столбцов, о чем написано ниже.
5.1.2. Создание новых стоблцов таблицы
Рассмотрим простой пример, на основе приведенного выше файла данных. В нем в первой столбце стоит частота в герцах, но допустим, что мы хотим построить график от круговой частоты, т.е. домножить на (2pi):
addplot +[blue, dashed]
plot table [
create on use/omega/.style={
create col/expr={
thisrow{Fr}*2*pi
}
},
x=omega,
y=Uin
]{data.tsv};Здесь видно, как несложно оперировать созданием новых столбцов. При этом применима вся математика, рассмотренная в разделе выше.
5.2. Маркеры на линии графика
Часто требуется не просто соединить экспериментальные точки линией, а указать каждую конкретную точку маркером (mark), а то и вовсе составить график только из маркеров. Для этого предыдущий пример несложно модифицируется:
addplot +[blue, mark=*, mark size=1.5pt, only marks]
plot table [
create on use/omega/.style={
create col/expr={
thisrow{Fr}*2*pi
}
},
x=omega,
y=Uin
]{data.tsv};Параметр only marks принуждает рисовать только маркеры, без линии их соединяющих, mark size размер маркера, mark тип маркера.
Существует достаточно много типов:
Эта картинка взята из руководства по tikz в картинках 4.
Для маркеров можно сразу задать несколько параметров: вместо размера задать масштаб (второй способ изменить размер маркера, иногда более удобный), основной цвет (draw) и цвет заливки (fill
addplot +[
mark=*,
mark options={
scale=2,
fill=blue,
draw=red,
},
only marks
] plot table [
create on use/omega/.style={
create col/expr={
thisrow{Fr}*2*pi
}
},
x=omega,
y=Uin
]{data.tsv};5.3. Прямоугольники ошибок
Для начала рассмотрим простейший случай постоянной ошибки. Параметры прямоугольников ошибок пишутся в параметры команды plot. Рассматривать будем все на примере ошибки по y, по другим осям анологично с точностью до замены y->x,z.
Для включения прямоугольников ошибки и возможности их настройки перед последующими рассмотренными параметрами нужно вставлять параметр error bars/.cd.
5.3.1. Постоянная абсолютная или относительная погрешность
Сначала нужно определить, какая будет ошибка: строго положительная, отрицательная или в обе стороны. За это отвечает параметр y dir=minus|plus|both.
addplot +[
mark=*,
only marks,
] plot[
error bars/.cd,
y dir=both,
y fixed=0.1,
% y fixed relative=0.1,
] table [
x=Fr,
y=Uin
]{data.tsv};Здесь указана сразу абсолютная погрешность для всех значений. Аналогично можно задать сразу относительную параметром y fixed relative.
5.3.2. Абсолютная или относительная погрешность из файла
Необходимо явно указать, что ожидается чтение данных ошибки из файла, указать в каком столбце (y error=err) записана ошибка и тип ошибки:
addplot +[
mark=*,
only marks,
] plot[
error bars/.cd,
y dir=both,
y explicit relative,
] table [
x=Fr,
y=Uin,
y error=err,
]{data.tsv};Для абсолютной ошибки параметр y explicit, для относительной y explicit relative.
5.4. Настройка линии графика
5.4.1. Толщина и цвет линии графика
Толщина линии управляется либо параметром line width=, либо словесными алиасами (рекомендуется использовать именно их):
Цвет линии сам является параметром:
addplot +[
thick,
blue!20!black
] plot table [
x=Fr,
y=Uin,
]{data.tsv};О составлении цветов сказано ранее в разделе ().
5.4.2. Тип линии графика
Как и цвет, тип линии графика сам по себе параметр:
addplot +[
thick,
blue!20!black,
dashed
] plot table [
x=Fr,
y=Uin,
]{data.tsv};Существует несколько типов линий:
6. Особенности построения графиков
6.1. Построение графиков, терпящих бесконечный скачок
Рассмотрим построение графика с бесконечным скачком на примере построения (tan(x)).
Расчет функций, которые уходят на бесконечность, может привести к ошибкам компиляции. Чтобы этого избежать, можно указать в параметрах принудительное вписывание в пределы расчетов: выйдя за эти пределы, математический движок pgf просто будет пропускать эти значения, пока опять не войдет в пределы:
restrict y to domain=-20:20,Разумно выбирать эти пределы немного больше заданного предела осей xmin,xmax,ymin,ymax.
Кроме того, можно сказать pgfplots-у, как вести себя при получении бесконечности в расчетах, и не ограничивая расчет:
unbounded coords=discard|jumpЭтот ключ настраивает, что делать, если одна или несколько координат одной точки неограничена, или, например, при чтении из файла на этом месте стоит nan или ничего не стоит.
discard (по умолчанию) отбрасывает точку завершения, и в логе компиляции выдается предупреждение. При этом график строится, как если бы неограниченная точка не произошла: pgfplots интерполирует между ограниченными ближайшими точками.
jump просто пропустит значения, которые уходят на бесконечность, и график станет с разрывом.
Однако, как это ни странно, в случае тангенса это все не так: для стандартных функций с разрывом разработчики постарались, и они строятся без дополнительных усилий. Но при этом (+infty) и (-infty) точки графика соединяются, что не всегда может быть полезно: например, обычно в этом месте строят линии асимптот.
Все же придется вернуться к первоначальному определению:
documentclass[tikz,10pt]{standalone}
usepackage[T2A]{fontenc}
usepackage[utf8x]{inputenc}
usepackage[russian]{babel}
usepackage{amsmath,amssymb,cmap,pgfplots,pgfplotstable}
usetikzlibrary{arrows,calc,intersections}
pgfplotsset{compat=newest}
begin{document}
begin{tikzpicture}
begin{axis}[
xlabel={$x$},
ylabel={$tg x$},
axis lines=middle,
ymax = 10,
ymin = -10,
enlargelimits=true,
xmin=-4*pi/2,
xmax=4*pi/2,
restrict y to domain=-20:20,
xtick=empty,
ytick=empty,
]
addplot[blue!50,domain={-4*pi/2:4*pi/2},samples=1000] {tan(deg(x))};
pgfplotsinvokeforeach{-2,-1,...,2}{%
draw[dashed, black!20]
({{pi/2+pi*#1},0} |- {rel axis cs:0,0})
-- ({{pi/2+pi*#1},0}|-{rel axis cs:0,1});
}
end{axis}
end{tikzpicture}
end{document}
Здесь есть интересный код для построения асимптот. Рассмотрим его подробнее.
6.2. Циклы в pgfplots и построение асимптот. Системы координат рисунка
Стандартный цикл tikz-а, к сожалению, в pgfplots не работает. Приходится использовать его более низкоуровневый аналог:
pgfplotsinvokeforeach{-2,-1,...,2}{%
% Выражение в цикле. Счетчик цикла - #1
}Счетчик пробегает указанные значения. Можно указывать их как список {0,1,2,3},а можно указать первое значение, второе, троеточие, последнее: из первого и второго рассчитается шаг и счетчик пробежит нужные значения. Они могут быть дробными.
Теперь подробнее, как же работает код построения вертикальной асимптоты. В tikz есть интересный способ расчета координаты в угле. Если задана такая координата X: (A -| B), то она находится в точке, которая образована пересечением горизонтальной линии через A и вертикальной через B:
Можно наоборот, (B -| A), соотв. вертикальная через А и горизонтальная через B.
По умолчанию используется система координат осей, в которой начало и орты отвечают нарисованным на графике.
Есть еще так называемая rel axis cs — система координат рисунка: в ней точка (0,0) это левый нижний угол рисунка, а (1,1) — верхний правый.
Со всей этой информацией теперь нетрудно должно быть понять, как работает асимптота через точку x:
({x},0} |- {rel axis cs:0,0}) -- ({x},0}|-{rel axis cs:0,1});6.3. Использование команд TikZ на графиках Pgfplots
Ровно в предыдущем параграфе рассмотрено применение команд tikz для построения асимптот в осях графика.
Часто возникает еще потребность подписать какие-либо точки на кривой. Для этого можно создать ноду на кривой, где положение ноды задается от 0 до 1 — 0 в начале кривой, 1 в конце. Эдакие криволинейные координаты.
addplot[blue!50,domain={-4*pi/2:4*pi/2},samples=1000] {sin(deg(x))}
node[pos=0.3] (1) {}
node[pos=.3,left,black]{$x$};
draw[fill=magenta] (1) circle (1pt);Здесь мы специально создали пустую ноду с координатой (1), в которой потом можно нарисовать точку, а вторая нода уже рисует текст.
Для понимания это может быть затруднено, если вы не изучали tikz. Тогда можно просто использовать этот пример, не заботясь принципами его работы.
На кривую так можно поместить сколько угодно точек, главное, в конце списка должна стоять точка с запятой.
6.3. Качественные графики: удаление меток с осей
Достаточно добавить два параметра к окружению axis:
xtick=empty,
ytick=empty,The End. Рекомендуемые источники
Наконец, прочитав небольшое руководство по использованию pgfplots, вы почти готовы к тому, чтобы применить его для своих работ. В этом нелегком (поначалу) труде смогут помочь некоторые источники.
Для дальнейшего уточнения этого процесса можно построить эллипс среднеквадратической ошибки. Эллипс ошибки с вероятностью 95% или 99% создается с помощью F-распределения применяемых статистических данных. Дуги эллипса являются касательными к сторонам прямоугольника ошибки, его ориентация определяется углом t и дополнительными ортогональными осями u-v. Значения из ковариационной матрицы используются для вычисления угла t и соответствующих большой и малой полуосей.
Сначала вычислим три переменных для использования в уравнениях, определяющих большую и малую оси: K, Quu и Qvv.
Используются формулы:
и
где:
- Qxx, Qyy и Qxy — значения из ковариационной матрицы.
Затем полученные значения используются для решения двух уравнений и определения Su — длины большой полуоси, и Sv — длины малой полуоси:
и
где:
- So = среднеквадратическое отклонение весового коэффициента единиц
Наконец, по следующей формуле вычисляется угол t между осями u и Y:
Скорректированная точка вероятнее всего находится в пределах этого эллипса со степенью достоверности 95% или 99%.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ
|
НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ |
ГОСТ Р (МЭК 61025:1990) |
Менеджмент
риска
АНАЛИЗ
ДЕРЕВА НЕИСПРАВНОСТЕЙ
IEC 61025:1990
Fault Tree Analysis (FTA)
(MOD)
Москва
Стандартинформ
2005
Предисловие
Задачи, основные принципы и правила проведения работ по
государственной стандартизации в Российской Федерации установлены ГОСТ Р 1.0-92
«Государственная система стандартизации Российской Федерации. Основные
положения» и ГОСТ
Р 1.2-92 «Государственная система стандартизации Российской Федерации.
Порядок разработки государственных стандартов»
Сведения о
стандарте
1. ПОДГОТОВЛЕН Научно-исследовательским центром контроля и
диагностики технических система на основе собственного аутентичного перевода
стандарта, указанного в пункте 4
2. ВНЕСЕН Научно-техническим управлением Госстандарта России
3. УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального
агентства по техническому регулированию и метрологии от 31 мая 2005
г. № 110-ст
4. Настоящий стандарт является модифицированным по
отношению к международному стандарту МЭК 61025:1990 «Анализ дерева
неисправностей (FTA)» (IEC 61025:1990 «Fault Tree Analysis (FTA)») путем
внесения технических отклонений, объяснение которых приведено во введении к
настоящему стандарту.
Наименование настоящего стандарта изменено относительно
наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие
с ГОСТ 1.5 (подраздел 3.6).
Изменения, введенные в настоящий стандарт по отношению к
международному стандарту, обусловлены необходимостью наиболее полного
достижения целей национальной стандартизации
5. ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ
Информация об
изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе «Национальные
стандарты», а текст изменений — в информационных указателях «Национальные
стандарты». В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая
информация будет опубликована в информационном указателе «Национальные
стандарты»
Содержание
1.
Область применения
2. Нормативные ссылки
3. Термины и определения
4. Символы
5. Общие положения
6. Принципы анализа
7. Процедуры анализа
8. Идентификация и
маркировка
9. Отчет
Приложение А
(обязательное) Символы
Введение
Анализ дерева неисправностей является одним из методов
идентификации опасностей и оценивания риска. Он представляет собой совокупность
приемов идентификации опасности и анализа частот нежелательного события. Анализ
дерева неисправностей позволяет выявить пути реализации опасного события,
однако в первую очередь анализ дерева неисправностей используется при оценке
риска для определения вероятностей или частот неисправностей и аварий. Общие
рекомендации по применению анализа дерева неисправностей для оценки риска и
обзор других возможных методов оценки риска приведены в ГОСТ Р 51901-2002
«Управление надежностью. Анализ риска технологических систем».
В настоящем стандарте метод анализа дерева неисправностей
изложен применительно к анализу надежности. Для эффективного использования
этого метода необходимо до его применения зафиксировать цель метода, а также
определить, будет ли применяться метод анализа дерева неисправностей
индивидуально или в комбинации с другими методами.
В отличие от применяемого международного стандарта в
настоящий стандарт не включены ссылки на МЭК 60617-12:1983 «Графические символы
для диаграмм. Часть 12. Элементы двоичной логики», которые нецелесообразно
применять в национальном стандарте из-за отсутствия принятого
гармонизированного национального стандарта. В соответствии с этим изменено
содержание раздела 3.
НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Менеджмент
риска
АНАЛИЗ
ДЕРЕВА НЕИСПРАВНОСТЕЙ
Risk management.
Fault tree
analysis
Дата
введения — 2005-09-01
1. Область применения
Настоящий стандарт устанавливает метод анализа дерева
неисправностей и содержит руководство по его применению. Метод анализа дерева
неисправностей включает:
— определение основных принципов метода;
— выполнение необходимых этапов анализа;
— идентификацию соответствующих предположений, событий и
режимов неисправностей;
— обеспечение выполнения идентификационных правил и
символов.
2. Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использована нормативная ссылка на
следующий стандарт:
ГОСТ
27.002-89 Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения
(МЭК 60050(191): 1990 «Международный электротехнический словарь. Глава 191.
Надежность и качество обслуживания», NEQ)
Примечание — При пользовании настоящим стандартом
целесообразно проверить действие ссылочного стандарта по указателю
«Национальные стандарты», составленному по состоянию на 1 января текущего года,
и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году.
Если ссылочный стандарт заменен (изменен), то при пользовании настоящим
стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если
ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на
него, применяют в части, не затрагивающей эту ссылку.
3.
Термины и определения
В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ
27.002.
4. Символы
Для графического представления дерева неисправностей
необходимо, чтобы символы, идентификаторы и метки использовались
непротиворечивым способом. Подробные правила идентификации и маркировки
приведены в разделе 8
и приложении А.
5. Общие положения
5.1 Структура дерева неисправностей
Дерево неисправностей — организованное графическое
представление условий или других факторов, вызывающих нежелательное событие,
называемое вершиной событий. Представление приводят в форме, которая может быть
понята, проанализирована и, по мере необходимости, перестроена таким образом,
чтобы облегчить идентификацию:
— факторов, воздействующих на надежность и характеристики
эффективности системы, например режимов неисправностей компонентов, ошибок
оператора, условий окружающей среды, ошибок программного обеспечения;
— противоречивых требований или спецификаций, которые могут
влиять на надежность и эффективность системы;
— общих событий, воздействующих более чем на один
функциональный компонент, который может уменьшить преимущества резервирования.
Анализ дерева неисправностей является в основном дедуктивным
(нисходящим) методом анализа, нацеленного на точное определение причины или
комбинации причин, приводящих к вершине событий. Анализ, главным образом,
качественный, но, в зависимости от некоторых условий, он может также быть
количественным (см. 7.5.2).
5.2 Цели анализа
Имеется несколько оснований для проведения анализа дерева
неисправностей независимо от других или вместе с другими исследованиями
надежности. Такими основаниями являются:
— идентификация причин или комбинации причин, ведущих к
вершине событий;
— определение соответствия уровня надежности системы
установленным требованиям;
— демонстрация того, что предположения, сделанные в других
исследованиях относительно независимости систем и нерелевантности
неисправностей, не нарушены;
— определение факторов, которые наиболее сильно влияют на
надежность системы, и изменений, необходимых для увеличения надежности;
— идентификация общих событий или общих причин
неисправностей.
5.3 Объекты применения
Дерево неисправностей используют для анализа сложных систем,
включающих несколько функционально связанных или зависимых подсистем, что
особенно удобно в случаях, когда системный проект требует сотрудничества
нескольких специализированных групп проектировщиков. Примерами систем, к
которым обычно применяют анализ дерева неисправностей, являются станции
производства ядерной энергии, самолеты, системы связи, химические и другие
промышленные процессы.
6. Принципы анализа
6.1 Общие положения
Построение дерева неисправностей должно начинаться на стадии
проектирования системы. «Рост» дерева неисправностей должен отражать
продвижение этапов проекта. В результате в процессе проектирования системы
формируется более глубокое понимание режимов неисправностей. Анализ дерева
неисправностей, проводимый параллельно с проектированием системы, позволяет на
ранних этапах проектирования учитывать изменение проекта системы, поскольку
основные режимы неисправностей идентифицированы. Часто итоговое дерево
неисправностей является достаточно большим. В этом случае его обработку
проводят при помощи компьютера. Особое внимание обращают на то, что события
дерева неисправностей не ограничены исключительно ошибками программного
обеспечения или аппаратными ошибками, но включают также все условия или другие
факторы, которые обусловливают вершину событий для проектируемой системы.
Процедура анализа дерева неисправностей должна состоять из
следующих этапов:
— определение области анализа;
— определение проекта, функций и действий системы;
— определение вершины событий;
— конструирование дерева неисправностей;
— анализ логики дерева неисправностей;
— составление отчетов о результатах анализа.
При проведении количественного анализа дерева неисправностей
необходимо определить методику количественной оценки, выбрать необходимые
данные и определить количественную оценку надежности.
6.2 Структура системы
Каждая система должна быть определена путем описания функции
системы и идентификации системных интерфейсов. Такое определение должно
включать:
— описание целей проекта;
— описание границ системы (электрические, механические и
операционные интерфейсы). Такие границы формируются на основе взаимодействия с
другими системами и должны быть описаны путем идентификации специфических
функций (например, электропитания) и частей (например, предохрани теля),
которые формируют интерфейсы;
— описание физической структуры системы;
— идентификацию рабочих режимов вместе с описанием работы
системы и ожидаемой или приемлемой эффективности системы в каждом рабочем
режиме;
— описание условий окружающей среды для системы и аспектов
воздействия человеческого фактора и т.д.;
— список применяемых документов, например рисунков,
спецификаций, рабочих инструкций, которые описывают детали оборудования и
работы. Продолжительность выполнения задачи, интервал времени (периодичность)
между испытаниями, а также время, необходимое для проведения корректирующих
действий, должны быть установлены. Кроме того, должны быть установлены
необходимое оборудование поддержки и задействованный персонал. Должна быть
приведена также точная информация относительно предписанного действия в течение
каждой стадии работы системы.
В дополнение к вышеупомянутому, рекомендуется подготовить
список символов, идентификационных маркировок, условных обозначений и форматов
для файлов данных при необходимости обмена между компьютерами данными о
структуре дерева неисправностей и описании системы.
6.3 Рассматриваемые события
В дерево неисправностей должны включаться события,
являющиеся следствием всех причин. Такие причины должны включать результаты
воздействия всех условий окружающей среды или других условий, которые могут
воздействовать на элемент, включая те, появление которых возможно в процессе
работы, даже если они не предусмотрены в проектной спецификации.
При необходимости деревья неисправностей должны учитывать
последствия ошибок и неточностей в программном обеспечении, включая случай,
когда дерево неисправностей используется для контроля состояния и управления
системой.
События, которые аналитики рассмотрели и исключили из
дальнейшего анализа, должны быть зарегистрированы. Такие события в итоговое
дерево неисправностей не включают.
Если дерево неисправностей выявляет проблему
работоспособности системы, вызванную существующей ошибкой, то событие,
описывающее эту неисправность, должно быть включено в дерево неисправностей.
Оно должно быть отмечено как событие, которое уже существует. Это необходимо
для того, чтобы учесть воздействие многократных ошибок.
6.4 Методология анализа
Развитие дерева неисправностей начинается с определения
вершины событий. Вершина событий является следствием соответствующих входных
событий, идентифицирующих возможные причины и условия появления вершины
событий. Каждое входное событие в свою очередь может быть выходным событием
более низкого уровня.
Если выходное событие определяет неспособность системы
исполнять некую функцию, то соответствующими входными событиями могут быть
неисправности оборудования или ограничения эффективности. Если выходное событие
определяет неисправность оборудования, то соответствующими входными событиями могут
быть неисправности оборудования, ошибки управления и нехватки необходимых
ресурсов, если они не включены в дерево неисправностей как часть ограничений
эффективности.
Развитие отдельной ветви дерева неисправностей заканчивается
после того, как достигнуты события хотя бы одной из следующих групп:
— основные события — независимые события, для которых
подходящие для их описания характеристики могут быть определены отличными от
дерева неисправностей способами;
— события, которые не должны разрабатываться далее по
решению аналитиков;
— события, которые были или будут рассмотрены в дальнейшем в
другом дереве неисправностей. Если событие исследовано, оно должно иметь ту же
идентификацию, что и соответствующее событие
в предыдущем дереве неисправностей так, чтобы последующее дерево
эффективно формировало продолжение предыдущего.
7. Процедуры анализа
Анализ дерева неисправностей проводится «шагами».
Определенная последовательность «шагов», выполняемая для конкретной системы, не
может быть аналогична последовательности, установленной для другой системы. При
исследовании любого дерева неисправностей должны быть проведены следующие
основные «шаги».
7.1 Область применения анализа
Определение области применения должно включать определение
анализируемой цели, глубины анализа и основных предположений. Эти предположения
должны включать предположения, касающиеся ожидаемых действий, условий
обслуживания и эффективности системы при всех возможных условиях ее
использования.
7.2 Описание системы
Для успешного анализа дерева неисправностей необходимо
детальное знание системы. Однако некоторые системы могут быть слишком сложны,
чтобы быть полностью понятыми одним человеком. В этом случае получение
необходимых специализированных знаний о системе должно включаться как
соответствующий элемент анализа дерева неисправностей.
7.3 Идентификация вершины событий
Вершина событий является центром полного анализа. Вершина
событий определяет начало или наличие опасного состояния или неспособности системы
обеспечивать желательную эффективность.
Вершина событий должна определяться по возможности в
измеримых единицах характеризующих ее параметров.
7.4 Построение дерева неисправностей
7.4.1 Формат дерева неисправностей
Деревья неисправностей могут быть изображены в вертикальном
или горизонтальном расположении. Если используется вертикальное расположение,
то вершина событий должна быть расположена наверху страницы, а основные события
— внизу. Если используется горизонтальное расположение, то вершина событий
может быть расположена слева или справа страницы.
Примеры
На рисунках 1, 2
изображены два примера дерева неисправностей. Символы, используемые в этих
примерах, включают:
— блок описания
события;
— логические символы
дерева неисправностей (клапаны);
— линию входа
клапана;
— символ «переход
из» (общий случай);
— символ «переход
в»;
— символ завершения
(например, основное событие).
Событие А на рисунке 1 будет происходить только
в случае, если произошли оба события В
и С. Событие С произойдет в случае,
если произошло событие D или E .
Рисунок 1 — Пример дерева неисправностей
Примечание
— Для каждого события А, В
и т.д. блок описания события должен включать следующую информацию:
— код события;
— вероятность появления
события (если требуется);
— наименование или описание
события.
Случай, когда событие
представляет общую причину, показан в дереве неисправностей как набор событий.
Эти события связаны с любыми событиями, с которыми они взаимодействуют. Все
общие события в наборе должны иметь один и тот же код и должны быть отмечены
символом «переход в», кроме случая, когда они расположены на самом низком
уровне в наборе, отмеченном символом «переход из».
Если дерево неисправностей представлено в нескольких частях,
то событие, представляющее общую причину, которая появляется в двух или более
частях, должно обрабатываться следующим образом:
событие должно быть отмечено символом завершения или, если
происходит дальнейшее развитие события, символом «переход из» только в одной из
частей;
в части, где используется символ завершения, местонахождение
общего события в других частях должно обозначаться символом «переход в».
Пример — Дерево неисправностей, демонстрирующее
рассмотрение общей причины, изображено на рисунке 2. Событие В — событие общей причины, которое
анализируется далее в другом дереве неисправностей. Событие D — основное событие.
Рисунок 2 —
Пример рассмотрения общей причины
Примечание — Для каждого события А, В и т.д. блок события
должен включать следующую информацию:
— код события;
— вероятность появления (при
необходимости);
— наименование или описание
события.
7.4.2 Процедура построения дерева неисправностей
Результаты анализа надежности должны быть документально
оформлены таким способом, чтобы при необходимости была обеспечена возможность
их рассмотрения и внесения необходимых корректировок, отражающих изменения в
проекте, рабочих процедурах или для более глубокого понимания физики отказа.
Для этого необходимо проводить систематическое исследование конструкции
системы. При проведении таких исследований необходимо последовательно
использовать две концепции: «непосредственная причина» и «основной элемент».
При использовании концепции «непосредственная причина»
необходимо, чтобы аналитик определил непосредственные необходимые и достаточные
причины для появления вершины событий, которые не являются основными причинами
события, но являются непосредственными причинами или механизмами для появления
события.
Таким образом, непосредственные необходимые и достаточные
причины, обусловливающие по явление вершины событий, теперь трактуются как
события, предшествующие высшему событию, а аналитик продолжает определять уже
для таких событий непосредственные необходимые и достаточные причины.
Таким образом, аналитик достигает нижнего уровня дерева
неисправностей, перемещая внимание от механизма к режимам и непрерывно
приближаясь к более высокой разрешающей способности механизма и режимов, пока
не будет достигнут предел разрешающей способности дерева неисправностей.
Строгое соблюдение концепции «непосредственная причина»
является гарантией того, что режимы неисправностей не будут пропущены.
Концепцию «основной элемент» используют для сохранения
усилий аналитика по построению схемы дерева неисправностей. В этом случае
основной элемент обрабатывают как единичный элемент или компонент или
рассматривают отдельно.
Для того чтобы элемент рассматривался как «основной»,
необходимо и достаточно, чтобы он соответствовал следующим требованиям:
— функциональные и физические границы элемента должны быть
четко определены;
— работа элемента не должна зависеть от функций поддержки. В
противном случае все события, имеющие отношение к элементу, должны быть
представлены в схеме дерева неисправностей клапаном, отмеченным знаком ИЛИ, у
которого один вход представляет отказ элемента, а другие входы — невозможность
выполнения соответствующих функций поддержки;
— отсутствуют события, связанные с элементом, который
появляется в другой части дерева неисправностей.
7.4.3 Характеристики неисправностей
Аналитик должен внимательно изучить причины отказов
элемента, особенно для категорий независимых и зависимых отказов, следующих за
независимыми и зависимыми неисправностями.
При проведении классификации отказа должны быть рассмотрены
рабочие и внешние напряжения в сравнении с максимальными напряжениями, для
которых элемент предназначен.
7.5 Анализ дерева неисправностей
Основные цели логического (качественного) и численного
(количественного) анализа системы:
— идентификация событий, которые могут непосредственно
вызвать неисправность системы, и оценка вероятности таких событий;
— оценка отказоустойчивости системы (способность системы
функционировать даже после того, как произошло указанное количество
неисправностей более низкого уровня или событий, способствующих появлению
неисправности системы);
— проверка независимости неисправностей систем, подсистем
или компонентов;
— оценка данных для определения места расположения
критических компонентов и неисправных механизмов;
— идентификация устройств диагностики неисправностей, входов
для ремонта и обслуживания, и т.д.
Оценка отказоустойчивости системы включает определение
степени избыточности в системе и проверку того, что избыточность не снижается
под воздействием общих событий (общих причин событий). Хотя главная часть
оценки отказоустойчивости не требует использования числовых данных, они
необходимы для оценки наиболее вероятных комбинаций событий, вызывающих
неисправность системы.
7.5.1 Логический анализ
Логический анализ проводят тремя основными методами:
исследованием, булевой редукцией и определением минимальных вырезок событий.
7.5.1.1 Исследование
Исследование включает обзор структуры дерева неисправностей,
идентификацию общих событий и поиск независимых ветвей. Этот метод обеспечивает
аналитика важной информацией, которая в некоторых случаях позволяет отказаться
от дальнейших исследований. Во всех других случаях проводят исследования для
принятия правильного решения о типе и глубине дальнейших исследований.
Непосредственное визуальное исследование графического изображения дерева
возможно только для маленьких деревьев, не превышающих приблизительно 70
событий. Исследование больших деревьев, являющихся результатом анализа реально
существующих систем, требует соответствующего компьютерного инструментария, но
в целом подход остается тем же самым.
Исследование начинают с обзора структуры дерева
неисправностей. Все события, которые связаны с вершиной событий через
непрерывную цепочку клапанов ИЛИ, являются событиями, которые вызывают вершину
событий. Поэтому, если дерево неисправностей состоит только из клапанов ИЛИ,
дальнейший анализ не требуется. Если дерево неисправностей включает другие типы
клапанов, то анализируемая система представляет собой некоторый вид
избыточности или других особенностей предотвращения неисправностей, реализации
которых могут помешать общие причины событий. Исследование должно
идентифицировать общие причины событий, но не должно предполагать, что их
присутствие является благоприятным. Такие заключения могут быть сделаны только
после полного анализа дерева неисправностей с использованием булевой редукции
или определения минимальных вырезок событий. Существенную трудность составляет
быстрое увеличение объема анализа с ростом
размеров дерева неисправностей. Анализ дерева неисправностей
позволяет выделять независимые ветви дерева неисправностей, которые могут
исследоваться отдельно.
7.5.1.2 Булева редукция
Булеву редукцию применяют для оценки воздействия общих
событий дерева неисправностей (идентичных событий, встречающихся в различных
ветвях), когда местонахождение вершины событий не зависит от времени и
последовательности событий. Булеву редукцию проводят путем решения булевых
уравнений для дерева неисправностей.
7.5.1.3 Методы минимальных вырезок событий
Существует несколько методов определения минимальных вырезок
событий, но их применение к большим деревьям может быть достаточно сложным.
Рекомендуется использовать соответствующие компьютерные программы.
Набор вырезок — группа событий, которые при совместном появлении
могут вызвать появление вершины событий. Минимальный набор вырезок — наименьшая
группа событий, в которой для появления вершины событий все события должны
произойти в надлежащей последовательности. Если любое из событий в минимальном
наборе вырезок не происходит, это предотвращает появление вершины событий. Если
события происходят в надлежащей последовательности, то расширяется определение
минимальных наборов вырезок для дерева неисправностей, зависящих от
последовательности событий. В этих случаях минимальный набор вырезок определяет
группу событий, потенциально обеспечивающую появление вершины событий.
Воздействие последовательности событий в этой группе может быть
проанализировано с применением диаграммы установленных переходов, которая в
настоящем стандарте не рассматривается.
7.5.2 Численный
анализ
Цель численного анализа состоит в том, чтобы обеспечить
количественную оценку вероятности появления вершины событий или выбранного
набора событий. Численный анализ применяют также как дополнение к логическому
анализу. Для численной оценки дерева неисправностей необходимы соответствующие
вероятностные данные. Для определения количественных значений могут
использоваться данные надежности, прогнозирования технического состояния,
испытаний и эксплуатации.
7.5.3 Примеры использования булевой
алгебры
7.5.3.1 Применение булевой алгебры к анализу дерева
неисправностей
В деревьях неисправностей, которые состоят только из
клапанов И, ИЛИ и НЕ, имеется взаимно однозначное соответствие между выражением
булевой алгебры и символами дерева неисправностей.
Символы ИЛИ и И для булевой алгебры могут быть
выражены другими символами, соответствующими используемым языкам компьютерных
программ. В этом случае необходимо соблюдать логику символов.
Для дерева неисправностей, представленного на рисунке 1,
можно записать следующие логические выражения:
С = D + Е,
.
Применяя дистрибутивный закон, получаем выражение:
.
7.5.3.2 Применение булевой алгебры к минимальным вырезкам
Выражение для вершины событий может быть записано в терминах
конечного числа минимальных вырезок р,
которые являются уникальными для этой вершины событий.
Общая формула для описания вершины событий
,
где Т — вершина
событий;
M i — минимальные вырезки, каждая
из которых состоит из комбинации определенных компонентов неисправностей. Общий
минимальный набор вырезок можно записать в виде выражения
,
где Х i — основное событие дерева,
с — количество
основных событий в минимальной вырезке М.
Рассмотрим дерево неисправностей, изображенное на рисунке 1.
Минимальные наборы вырезок для вершины событий в этом случае — 
и 
.
8.
Идентификация и маркировка
Каждое событие в дереве неисправностей должно быть
идентифицировано. События должны быть маркированы так, чтобы ссылки из дерева
неисправностей к соответствующей проектной документации и обратно были понятны
и легко выполнимы.
Вершина событий дерева неисправностей является нежелательным
событием, которое является первичной причиной для проведения анализа дерева
неисправностей. Необходимо отметить, что у каждого дерева неисправностей может
быть только единственная вершина событий.
Если несколько событий в дереве неисправностей относятся к
различным режимам отказа одного и того же элемента, то такие события должны
быть маркированы так, чтобы их можно было различать, но должно быть ясно, что
это — группа событий, связанных с одним и тем же элементом.
Если конкретное событие, например неспособность
специфического клапана закрываться, имеется в нескольких местах дерева или в
нескольких деревьях, то такие места должны иметь одинаковую маркировку. Однако
события, которые являются подобными, но включают различные элементы, не должны
быть одинаково идентифицированы.
Типичный код события должен содержать информацию, касающуюся
идентификации системы, идентификации элемента и режима отказа.
Дерево неисправностей является диаграммой, в которой события
связаны логическими клапанами. Каждый клапан имеет одно событие выхода, но одно
или более входных событий.
Входные события указывают возможные причины и условия для
событий выхода. Однако такая связь не обязательно определяет последовательные
во времени отношения между событиями.
В основном дереве неисправностей используют клапаны И, ИЛИ и
НЕ. Однако при анализе сложных систем могут потребоваться дополнительные
символы для клапанов, что позволяет добиться максимальной простоты дерева
неисправностей и обеспечить его читаемость. Очень важно определить и
зафиксировать используемые символы, которые должны обеспечивать однозначное и
непротиворечивое их применение при анализе конкретного дерева неисправностей.
Это особенно важно, если анализ проводят автоматизированными методами.
При разработке дерева неисправностей аналитик должен
использовать соответствующую символику и идентификацию, чтобы было ясно, что:
— событие или ветвь событий используются в другом месте
дерева неисправностей;
— изображенная часть дерева включает события, используемые
также в другой части дерева;
— событие общей причины, отраженное в одной части анализа,
далее исследуется в другом месте.
Это необходимо для графического представления дерева
неисправностей.
9. Отчет
Отчет об анализе дерева неисправностей должен включать, как
минимум, перечисленные ниже основные пункты. Отчет может включать необходимую
дополнительную информацию. Форма отчета в настоящем стандарте не
устанавливается.
Основные пункты отчета:
— цель и область применения;
— описание системы:
а) описание проекта,
b)
функционирование системы,
с) подробные определения границ системы;
— предположения:
а) предположения, использованные в проекте системы,
b)
предположения, связанные с работой, обслуживанием, испытаниями и контролем,
с) модельные предположения задач анализа надежности и
эффективности;
— определение отказа системы и его критериев;
— анализ дерева неисправностей:
а) анализ,
b)
данные,
с) используемые символы;
— результаты и заключения.
Дополнительные сведения, которые могут быть включены в
отчет:
— графические изображения, схемы, чертежи;
— краткое описание данных надежности и ремонтопригодности и
их источников;
— описание дерева неисправностей в читаемой компьютерной
форме (для анализа сложных систем).
Приложение
А
(обязательное)
Символы
Таблица А.1
|
Предпочтительный символ |
Допустимый символ |
Функция |
Описание |
|
|
|
Клапан И |
Событие |
|
|
|
Клапан ИЛИ |
Событие |
|
|
|
Клапан «исключительное ИЛИ» |
Событие |
|
|
|
Клапан НЕ |
Событие |
|
|
— |
Клапан ЗАПРЕЩЕНИЯ |
Событие |
|
|
|
Избыточная структура |
Событие |
|
|
— |
Клапан (общая форма) |
Общий |
|
|
— |
Блок описания события |
Название |
|
|
— |
Основное событие |
Событие, |
|
|
— |
Неразработанное событие |
Событие, |
|
|
— |
Анализированное в другом |
Событие, |
|
|
— |
Дом |
Событие, |
|
|
— |
Нулевое событие |
Событие, |
|
|
— |
«Переход в» |
Событие, |
|
|
— |
«Переход из» |
Событие, |
Ключевые слова: риск, надежность, вероятность отказа, система, элемент, отказ, дерево неисправностей,
вершина событий.
Анализ дерева отказов (Fault tree analysis (FTA))
История
Методика
Графические символы
Базовая математическая основа
Анализ
Сравнение с другими аналитическими методами
Анализ дерева отказов (АДО) или в английской терминологии FTA метод анализа отказов сложных систем, в котором нежелательные состояния или отказы системы анализируются с помощью методов булевой алгебры, объединяя последовательность нижестоящих событий (отказов низшего уровня), которые приводят к отказу всей системы.
Анализ дерева отказов интенсивно используется в различных отраслях, например, машиностроении, чтобы понять, как система может выйти из строя, выявить способ уменьшения рисков или определения частоты системного отказа.
Анализ дерева отказов эффективно используется в аэрокосмической отрасли, атомной энергетике, химической и перерабатывающих отраслях, в фармацевтической, нефтехимической и других, связанных с высокой степенью риска.
В аэрокосмической отрасли используется более общий термин «Условие отказа системы» для обозначения «нежелательного состояния»/ Верхнего события дерева неисправностей.
Условия отказа классифицируются по тяжести последствий. Наиболее тяжелые условия требуют наиболее обширного анализа дерева отказов.
Эти «условия отказа системы» и их классификация часто предварительно определяются в функциональном анализе опасностей и рисков возникновения отказов.
FTA или АДО эффективно используются, чтобы:
- Понимать логику, ведущую к верхнему событию/нежелательному состоянию (отказу системы).
- Показать соответствие с системой безопасности/требованиям к надежности.
- Ранжировать участников, ведущих к вершине – создание важного оборудования/запчастей/списков событий.
- Мониторить и контролировать показатели состояния сложных систем Например, безопасно ли летать на конкретном самолете, если топливный клапан имеет определенное количество неисправностей? Как долго можно летать с неисправностью клапана? Как долго можно эксплуатировать технику с данным дефектом и тд.
- Минимизировать и оптимизировать ресурсы
- Помочь в проектировании системы. FTA может быть использован как средство проектирования, которое помогает создать требования. (Выход/нижний уровень)
- АДО может быть использован в качестве диагностического инструмента для выявления и исправления причин верхнего события. Это может помочь с созданием диагностических руководств / процессов.
История
FTA был первоначально разработан в 1962 году в «Bell Laboratories» Уотсоном, по контракту с подразделением баллистических систем ВВС США для того, чтобы оценить систему Launch Control межконтинентальной баллистической ракеты (МБР) Minuteman I.
Использование деревьев неисправностей с тех пор получило широкую поддержку и часто используется экспертами в качестве инструмента анализа отказов по степени надежности.
После первого использования опубликованных результатов использования АДО в 1962 для запуска исследования контроля безопасности Minuteman I, Boeing и AVCO нашли расширенное применение FTA для всей системы Minuteman II в 1963-1964 гг. FTA получил широкое освещение в 1965 году на симпозиуме по системам безопасности в Сиэтле при поддержке Boeing и Вашингтонского университета. Boeing начал использовать АДО для гражданских самолетов дизайна 1966 года.
В 1970 году Федеральная авиационная администрация США (FAA) опубликовало изменения в 14 CFR 25,1309 норме летной годности для самолетов транспортной категории в Федеральном реестре на 35 FR 5665 (1970-04-08). Это изменение принимало критерий вероятности отказа для самолетных систем и оборудования, что привело к широкому использованию FTA в гражданской авиации.
В пределах индустрии атомной энергетики, комиссия ядерного регулирования США начала использовать методы вероятностной оценки риска (probabilistic risk assessment methods (PRA)), включая FTA в 1975 году, и значительно расширила исследования после инцидента в 1979 году на Три-Майл-Айленд. В конечном итоге это привело к публикации комиссией ядерного регулирования справочника по дереву неисправностей 1981 году, и к обязательному использованию PRA органов, которые она регулирует.
После следующих случаев промышленных бедствий, таких как Бхопальская катастрофа(1984) и взрыв на нефтяной платформе Piper Alpha (1988), в 1992 году Департамент труда США о безопасности и гигиене труда (OSHA) опубликовал в Федеральном реестре на 24.02.1992 свой процесс управления безопасностью полетов (PSM). OSHA PSM признает АДО как приемлемый метод для анализа опасностей (PHA).
FTA состоит из логических схем, которые отображают состояние системы, и построен с использованием графических методов проектирования.
Первоначально, инженеры были ответственны за развитие FTA, так как требовалось глубокое знание анализируемой системы.
Часто FTA определяется как другая часть, или метод, или надежность техники. Хотя в обеих моделях одинаковый основной аспект, они возникли из двух разных точек зрения. Надежность техники была, по большей части, разработана математиками, а открыта – инженерами.
FTA обычно включает в себя события изнашивания аппаратных средств, материала, неисправности или сочетания детерминированных вкладов в событие.
Частота отказов оценивается из исторических данных, таких как среднее время между отказами компонентов, блоков, подсистем или функций.
Прогнозирование и введение человеческого процента ошибок не является основной целью анализа дерева отказов, но он может быть использован, чтобы получить некоторое знание того, что происходит с человеческим неправильным вводом или после вмешательства в неподходящее время.
FTA может использоваться как ценный инструмент проектирования, который может выявить потенциальные отказы, позволяя исключить дорогостоящие конструктивные изменения.
FTA также может быть использован в качестве диагностического инструмента, предсказания вероятных системных ошибок при сбое системы.
Методика
АДО методика описана в нескольких отраслевых и государственных стандартах: NUREG СРН-0492 для атомной энергетики. Ориентированная на космос версия этого стандарта используется NASA, стандарт SAE ARP4761 для гражданской аэрокосмической отрасли, MIL–HDBK–338 – для военных систем. IEC стандарт предназначен для межотраслевого использования и был принят в качестве европейского стандарта EN 61025.
Так как ни одна система не совершенна, имеем дело с неисправностью подсистем. Любая работающая система в конечном итоге будет иметь неисправность в каком-нибудь месте.
Однако вероятность полного или частичного успеха выше полной или частичной неисправности.
Проведение FTA таким образом, не так утомительна, как построение дерева успехов.
Поскольку FTA для всей системы может быть дорогостоящим и громоздким, разумный метод заключается в рассмотрении подсистем.
Таким образом, решение небольшими системами может обеспечить меньшую вероятность ошибки работы, меньше системного анализа. После этого подсистемы интегрируются для образования хорошо проанализированной большой системы.
Нежелательное последствие берется в качестве корневого («главное событие») дерева логики. Логика для того, чтобы добраться до верхнего события может быть разнообразной.
Один из типов анализа, который может помочь — функциональный анализ опасности, основанный на опыте. Там должно быть только одно главное событие, и все задачи дерева должны идти вниз от него.
Затем каждая ситуация, которая может привести к такому эффекту, добавляется к дереву в виде серии логических выражений. Когда деревья отказов помечены реальными цифрами о вероятности неудачи, компьютерные программы могут вычислить вероятности неисправности из дерева неисправностей.
Дерево, как правило, написано с использованием обычных логических символов. Маршрут между событием и инициатором события называется сечением. Самый короткий путь от неисправности до исходного события называется минимальное сечение.
Некоторые отрасли промышленности используют как деревья отказов, так и деревья событий (см. PRA). Событие дерева начинается от нежелательного инициатора (потеря критического питания, отказа компонентов и т.д.) и следует возможным дальнейшим событиям системы через ряд окончательных последствий.
Новый узел на дереве добавляет разделяет вероятность, таким образом последовательно может быть обнаружена вероятность ряда верхних событий, связанных с исходным.
Графические символы
Основные символы, используемые при построении дерева отказов, делятся на символы событий, элементов и передачи.
Символы событий
Символы событий используются для первичных и промежуточных событий. Первичные события далее не развиваются на дереве отказов. Промежуточные события находятся на выходе элементов.
Символы событий показаны ниже:
Основное событие
Внешнее событие
Неразвитое событие
Принадлежность события
Промежуточное событие
Символы первичных событий, как правило, используются следующим образом:
Основное событие — сбой или ошибка в компоненте системы или элементе (например: выключатель заклинило в открытом положении)
Внешнее событие — обычно ожидается (само по себе не ошибка).
Неразвитое событие — событие, о котором не имеется достаточной информации или которое не имеет никакого значения.
Принадлежность события — условия, которые ограничивают или влияют на логические элементы.
Промежуточное событие можно использовать непосредственно над первичным событием, чтобы обеспечить больше места для ввода описания события. АДО использует движение сверху вниз.
Символы элементов
Символы элементов описывают отношения между входными и выходными событиями.
Символы событий следуют классической булевой логике:
Элемент «ИЛИ»
Элемент «И»
Исключительный элемент «ИЛИ»
Приоритетный элемент «И»
Блокирующий элемент
Элементы работают следующим образом:
Элемент «ИЛИ» — выходное событие происходит, если есть любое входное событие.
Элемент «И» — выходное событие происходит только тогда, когда происходят все входные (входы независимы).
Исключительный элемент «ИЛИ» — выходное событие происходит, если происходит только одно входное событие
Приоритетный элемент «И» — выход происходит, если входы происходят в определённой последовательности указанного события
Блокирующий элемент – выход происходит, если вход происходит при благоприятных условиях для указанного события
Элементы передачи
Элементы передачи используются для соединения входов и выходов соответствующих деревьев отказов, таких как дерево отказов подсистемы в своей системе.
Вход
Выход
Базовая математическая основа
События в дереве отказов связаны со статистической вероятностью, иными словами, вероятность каждого события оценивается на практике.
Например, сбои в работе компонентов, как правило, происходят с некоторой постоянной интенсивностью λ.
В этом простейшем случае вероятность отказа зависит от интенсивности λ, времени t и описывается экспоненциальным законом:
Вероятность того, что отказ данного узла или компоненты оборудования произойдет в течение t часов эксплуатации системы, равна 1 — exp(-λt).
Дерево отказов часто нормировано на заданном временном интервале, например, час полета или среднее время.
Вероятность события зависит от отношения функции опасности к данному интервалу.
В отличие от обычных диаграмм логических символов, в которых входы и выходы принимают двоичные значения (Правда – 1, ложь -0), символы вероятности выходного события дерева отказов связаны с набором операций булевой логики.
Вероятность выходного события зависит от вероятности события входа.
Символ «И» представляет собой сочетание независимых событий. Это значит, что любое событие входа не зависит от других событий входа. По теории множеств это равнозначно пересечению событий входа, вероятность выхода определяется по формуле:
P (A and B) = P (A∩B) = P (A)P(B)
«ИЛИ», наоборот, соответствует объединению.
P (A or B) = P (A ∪ B) = P(A) + P(B) — P (A ∩ B)
Так как вероятность отказа в дереве отказов, как правило, небольшая (<0.01), P (A∩B) обычно становится очень малым, выход символа «ИЛИ» может быть приблизительно оценен из предположения, что входы – взаимоисключающие события:
P (A or B) ≈ P(A) + P(B), P (A ∩ B) ≈ 0
Исключающий символ «ИЛИ» с 2 входами представляет собой вероятность того, что активны либо один, либо другой вход, но не оба одновременно:
P (A xor B) = P(A) + P(B) — 2P (A ∩ B)
Т.к. P (A∩B) обычно мало, исключающее «ИЛИ» имеет ограниченное значение в дереве отказов.
Анализ
Многие различные подходы могут быть использованы для моделирования FTA, но наиболее распространенные способы могут быть сведены в несколько шагов.
Одиночное дерево отказов используется для анализа только одного нежелательного события (верхнего), которое потом становится в другом дереве неисправностей основным событием.
Хотя природа нежелательного события может значительно варьироваться, FTA использует одну и ту же природу для любого нежелательного события, например, задержка в 0,25 мсек для получения электрической энергии или незамеченный пожар в грузовом отсеке.
Из-за затрат FTA применяется только для серьезных нежелательных последствий.
FTA включает 5 шагов:
-
Определить нежелательное событие
Определение нежелательного события может быть очень трудным, хотя некоторые события просты и очевидны для наблюдения.
Инженер с широким знанием конструкций системы или системный аналитик с техническим образованием является лучшим человеком для определения и подсчета нежелательных событий. Нежелательное событие используется для построения дерева отказов, одно событие для одного дерева.
Никакие 2 события не могут быть использованы для построения одного дерева отказов.
-
Углубленное понимание причин.
После того как нежелательное событие выбрано, все причины, которые влияют на нежелательное событие, с вероятностями 0 и более изучаются и анализируются.
Получение точной цифры для вероятностей приводит к событию, которое обычно невозможно по причине того, что предсказать его может быть очень дорого и затратно по времени.
Компьютерное программное обеспечение используется для изучения вероятностей, что позволяет снизить стоимость системного анализа.
Системный анализ может помочь в понимании всей системы. Разработчики систем располагали полной информацией о системе, и это знание очень важно для того, чтобы не пропустить причины, влияющие на нежелательное событие.
Для выбранного события все причины нумеруются, затем группируются в порядке появления и используются для следующего шага, который рисует и выстраивает дерево отказов.
-
Построение дерева отказов на основе изученных причин.
После выбора нежелательного события и анализа системы, такого, что мы знаем все вызываемые эффекты ( и возможно их вероятности), мы можем построить дерево отказов. Дерево отказов основано на символах «И» и «ИЛИ», определяющих основные характеристики дерева неисправностей.
-
Оценка дерева отказов
После того, как дерево отказов было собрано для определенного нежелательного события, оно оценивается и анализируется на предмет возможного улучшения или, другими словами, провести анализ рисков и найти пути улучшения системы.
Этот этап является подготовительным для заключительного шага анализа, который будет контролировать идентификацию опасности. Итак, на этом этапе мы выявляем все возможные опасности, прямо или косвенно влияющие на систему.
-
Контроль определения опасности
Этот шаг очень специфичный и отличается для различных систем, но главное то, что после идентификации опасности последуют методы для уменьшения вероятности возникновения.
Сравнение с другими аналитическими методами
FTA – дедуктивный, нисходящий метод, направленный на анализ последствий возникновения неисправностей и событий в сложной системе. Это противоположность анализу характера и последствий отказов (АХПО), который является индуктивным, восходящим методом анализа, направленным на анализ эффектов одного компонента или функции аварии на оборудовании или подсистеме.
FTA очень хорошо показывает, как устойчивые системы в одиночку или вместе инициируют неисправности. Это не хорошо для поиска всех возможных возникающих неисправностей. АХПО хорош для исчерпывающей классификации возникающих неисправностей, а так же для идентификации их локальных эффектов. Но он не подходит для изучения множественных отказов или их эффектов на системном уровне.
FTA рассматривает внешние события, АХПО нет.
В аэрокосмической отрасли в обычной практике выполняют оба анализа, АДО и АХПО, с суммарным эффектом режима неудач (СЭРН), в качестве интерфейса между АХПО и АДО.
Альтернативы FTA включают диаграмму зависимости (ДЗ), так же известную как блок-схема надежности или анализ Маркова. Диаграмма зависимости эквивалентна анализу дерева успехов (АДУ) и изображает систему, используя пути вместо символов.
В начало
Содержание портала