Как рассчитать абсолютную ошибку измерений при использовании стрелочных приборов - Ремонт и установка крупной бытовой техники

Расчет приборной погрешности для аналоговых («стрелочных») электроизмерительных приборов

К
этому уже устаревшему, но еще
распространенному типу электроизмерительных
приборов относятся амперметры (приборы
для измерения силы тока), вольтметры
(приборы для измерения напряжения),
ваттметры (приборы для измерения
мощности), и др. Для этих приборов
существует особая методика определения
приборной погрешности. Три указанных
типа приборов обозначаются на схеме
следующим образом:

Государственным
стандартом бывшего Советского Союза
было принято деление электроизмерительных
приборов на семь классов точности,
которые указываются на платах приборов:
0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 4.0.

Класс
точности γ
— это относительная погрешность
номинального значения
измеряемой величины, выраженная в
процентах:

(4)

Номинальное
значение –
это максимальное значение, отвечающее
данному пределу измерения. Полагая
и учитывая, что,
для относительной погрешностиε
произвольного
значения величины x
находим:

(5)

т.
е. относительная приборная погрешность
ε (в
%) равна произведению класса точности
и предельного значения величины,
показываемой прибором, деленному на
показание прибора.

Пример.
Амперметр с пределом измерения 10 А
и класса точности 1,5 показывает 8 А.
Тогда

Другие разновидности систематических погрешностей

Кроме
приборной (инструментальной) погрешности,
обусловленной несовершенством
измерительных приборов, имеют место
методические
погрешности,
происходящие от несовершенства метода
измерений. Эти погрешности могут
возникать из-за принципиальных недостатков
используемого метода, из-за неточности
расчетных формул и т. п. Методическая
погрешность может быть оценена с учетом
конкретных условий эксперимента.

Субъективная
(личная) погрешность
обусловлена индивидуальными особенностями
лица, выполняющего измерения. Примерами
таких погрешностей являются погрешности
из-за неправильного отсчитывания долей
деления шкалы, асимметричной установки
штриха оптического индикатора,
запаздывания реакции человека на сигнал
(например, при нажатии головки секундомера)
и прочее. При грамотной постановке
эксперимента субъективные погрешности
обычно незначительны.

Методические
погрешности учесть и исключить, как
правило, труднее. В зависимости от
возможности их обнаружения и учета эти
погрешности делятся на три группы.

Погрешности,
природа которых известна и которые
могут быть достаточно точно определены.
В этом случае ошибку можно исключить
регулировкой прибора, введением поправки
или улучшением методики измерения.

Пример
1. Микрометр
не установлен на нуль. Возникающую при
этом ошибку можно исключить регулировкой
микрометра или введением поправки.

Пример
2. Ток J
и напряжение u
на резисторе
R
по схеме, представленной на рис. 2.

Принимая
u
равным показанию u₁
вольтметра, мы допускаем систематическую
погрешность J_r,
равную падения напряжения на сопротивлении
амперметра. Введя поправку J_r,
получим правильное значение
.

Пример
3. Если при
отсчете делений шкалы глаз не располагается
на перпендикуляре к ней, то возникает
ошибка параллакса (рис. 3).

Уэлектроизмерительных приборов для
исключения ошибки параллакса применяются
зеркальные шкалы (правильную методику
измерения с помощью зеркальных приборов
продумайте самостоятельно).

Погрешности
известного происхождения, но не известной
величины. Например,
температура горячего тела измеряется
по схеме 4а.
Очевидно, результаты измерения будут
занижены, хотя величина погрешности
трудно поддается оценке. Самое лучшее
– это изменить методику измерений,
уменьшив влияние воздуха на термометр
(как показано на рис. 4б,
4в).

3.
Погрешности, о существовании которых
мы не подозреваем, хотя величина их
может быть значительна. Например, в
схеме, представленной на рис. 2, поверхность
металла в клеммах может окисляться, что
приведет к неверным результатам
измерений.

Из
приведенных примеров видно, что
систематические погрешности могут быть
столь велики, что совершенно искажают
результаты измерений. Поэтому учет и
исключение систематических погрешностей
составляет важную часть экспериментальной
работы. Нужно очень тщательно продумать
методику измерений и оценить роль
факторов, которые могут внести
систематические погрешности в получаемые
результаты. Один из способов убедиться
в отсутствии систематических погрешностей
– это повторить измерения другим методом
и в других условиях.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Лабораторная работа №1

Ознакомление с электроизмерительными приборами и измерениями электрических величин.

1. Цель работы.

Изучение электроизмерительных приборов, используемых в лабораторных работах, выполняемых на стенде. Получение представлений о пределе измерения и цене деления, абсолютной и относительной погрешности, условиях эксплуатации и других характеристиках стрелочных электроизмерительных приборов, получение навыков работы с цифровыми измерительными приборами.

2. Краткие теоретические сведения.

Контроль работы электрооборудования осуществляется с помощью разнообразных электроизмерительных приборов. Наиболее распространенными электроизмерительными приборами являются приборы непосредственного отсчета. По виду отсчетного устройства различают аналоговые (стрелочные) и цифровые измерительные приборы.

На лицевой стороне стрелочных приборов изображены условные обозначения, определяющие классификационную группу прибора. Они позволяют правильно выбрать приборы и дают некоторые указания по их эксплуатации.

В цепях постоянного тока для измерений токов и напряжений применяются в основном приборы магнитоэлектрической системы. Принцип действия таких приборов основан на взаимодействии магнитного поля постоянного магнита и измеряемого тока, протекающего по катушке. Угол поворота стрелки α прямо пропорционален измеряемому току I: α = К × I. Шкалы магнитоэлектрических приборов равномерные.

В измерительных механизмах электромагнитной системы, применяемых для измерений в цепях переменного и постоянного тока, вращающий момент обусловлен действием магнитного поля измеряемого тока в неподвижной катушке прибора на подвижный ферромагнитный якорь. Угол поворота стрелки α здесь пропорционален квадрату тока: α = К × 2I. Поэтому шкала электромагнитных приборов обычно неравномерная, что является недостатком этих приборов. Начальная часть шкалы не используется для измерений. Для измерений токов и напряжений в цепях переменного тока применяются также приборы выпрямительной системы. Такие приборы содержат выпрямительный преобразователь и магнитоэлектрический измерительный механизм. Они имеют более линейную шкалу, чем приборы электромагнитной системы и достаточно широкий частотный диапазон.

Для практического использования стрелочного измерительного прибора необходимо знать его предел измерений (номинальное значение) и цену деления (постоянную) прибора. Предел измерений – это наибольшее значение электрической величины, которое может быть измерено данным прибором. Это значение обычно указано на лицевой стороне прибора. Один и тот же прибор может иметь несколько пределов измерений. Ценой деления прибора называется значение измеряемой величины, соответствующее одному делению шкалы прибора. Цена деления прибора — С легко определяется как отношение предела измерений A_НОМ к числу делений шкалы N:

С = A_НОМ / N.

На лицевой стороне стрелочных прибора указывается класс точности, который определяет приведенную относительную погрешность прибора γ_ПР.

Приведенная относительная погрешность прибора – это выраженное в процентах отношение максимальной для данного прибора абсолютной погрешности ΔА к номинальному значению прибора (пределу измерений) A_НОМ:

Промышленность в соответствии с ГОСТ выпускает приборы с различными классами точности (0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,5; 2,5; 4,0).

Зная класс точности прибора, можно определить абсолютную ΔА и относительную погрешности измерения γ_ИЗМ, а также действительное значение измеряемой величины A_Д:

Расчетную относительную погрешность измерения в любой точке шкалы прибора можно определить, полагая, что его допустимая абсолютная погрешность ΔА известна и постоянна:

где А_ИЗМ – условное измеренное значение величины, задаваемое в пределах

шкалы прибора от минимального значения до номинального значения данного прибора. Обратить внимание на значение относительной погрешности измерения, соответствующее предельному значению измеряемой величины, и сравнить его с классом точности прибора.

Нетрудно сделать вывод, что относительная погрешность измерения тем больше, чем меньше измеряемая величина по сравнению с номинальным значением прибора. Поэтому желательно не пользоваться при измерении начальной частью шкалы стрелочного прибора.

Для обеспечения малой методической погрешности измерения необходимо, чтобы сопротивление амперметра было значительно меньше сопротивления нагрузки, а сопротивление вольтметра было значительно больше сопротивления исследуемого участка.

В табл. 1 приведены некоторые условные обозначения, приводимые на лицевых панелях стрелочных измерительных приборов, определяющие их свойства и условия эксплуатации.

При проведении измерений в электрических цепях широкое применение получили цифровые измерительные приборы, например мультиметры – комбинированные цифровые измерительные приборы, позволяющие измерять постоянное и переменное напряжение, постоянный и переменный ток, сопротивления, проверять диоды и транзисторы. Представление результата измерения происходит на цифровом отсчетном устройстве в виде обычных удобных для считывания десятичных чисел. Наибольшее распространение в цифровых отсчетных устройствах мультиметров получили жидкокристаллические и светодиодные индикаторы. В лабораторном стенде используются цифровые приборы для измерения постоянных и переменных токов, а также цифровой измеритель мощности. Для переключения режима работы цифровых амперметров стенда (РА1, РА2, РА3 и РА4) на его передней панели установлен тумблер, который для измерения постоянного тока следует установить в позицию «=», для измерения действующих значений переменных токов – в позицию «~». Для измерения постоянного тока входная клемма (+) цифрового амперметра выделена красным цветом.

Цифровой измеритель мощности предназначен для измерения параметров электрической цепи:

– действующего значения напряжения U (True RMS) в диапазоне 0…30 В;

– действующего значения тока I (True RMS) в диапазоне 0…300 мА;

– активной мощности P в диапазоне 0…600 Вт;

– частоты f в диапазоне 35…400 Гц;

– cos ϕ;

– угла сдвига фаз ϕ (Fi) между током и напряжением.

Таблица 1

Условное графическое обозначение	Содержание условного обозначения
A, V, W, Ω, Hz, cosφ, F, H	Наименование измеряемой величины (ампер, вольт, ватт, ом, герц, коэффициент мощности, фарада, генри)
	Магнитоэлектрический измерительный механизм
	Электромагнитный измерительный механизм
	Магнитоэлектрический измерительный механизм с выпрямителем
0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,5; 2,5; 4,0	Класс точности прибора
	Рабочее положение шкалы прибора: горизонтальное; вертикальное; под углом, например 60°
	Прибор предназначен для работы в цепи постоянного тока; переменного тока; постоянного и переменного; в трехфазной цепи переменного тока
А Б В1; В2; В3	А (или отсутствие буквы) – прибор для сухих отапливаемых помещений с температурой +10°С …+35°С и влажности до 80% при 30°С; Б – прибор для закрытых не отапливаемых помещений с температурой — 30°С …+40°С и влажности до 90% при 30°С; B – приборы для полевых и морских условий: В1 – при температуре -40°С … +50°С и В2 – при температуре -50°С … +60°С и влажности до 95% при 35°С; В3 – при температуре -40°С … +50°С и влажности до 98% при 40°С
	Измерительная цепь прибора изолирована от корпуса и испытана напряжением, например, 2 кВ
30 – 200 Hz	Рабочий частотный диапазон прибора

Прибор содержит:

– клеммы подачи входного измеряемого сигнала (генератора): клемму «Вх» и общую клемму, клеммы подключения потребителя (нагрузки): клемму «Вых» и общую клемму. Шунт для измерения тока нагрузки подключен между клеммами «Вх» и «Вых»;

– жидкокристаллический четырехстрочный индикатор для вывода информации;

– кнопку «f/cosϕ/ϕ» изменения вывода информации в четвертой строке индикатора (соответственно, частоты, коэффициента мощности cosϕ или угла сдвига фаз Fi между током и напряжением).

С задней стороны прибора установлены розетка для подключения питания сети и колодка предохранителя.

С помощью кнопки «f/cosϕ/ϕ» можно изменять вывод информации в четвертой строке индикатора. Для вывода требуемого параметра в четвертой строке индикатора кнопку необходимо нажать на 1…2 секунды.

Изменения схемы подключения прибора и лабораторной установки выполнять при выключенном питании прибора. В противном случае возможны изменения показаний прибора, а также возникновение нарушений в работе индикатора прибора.

3. Порядок выполнения работы.

3.1. Изучение паспортных характеристик стрелочных электроизмерительных приборов. Для этого внимательно рассмотреть лицевые панели стрелочных амперметров и заполнить табл. 2.

Таблица 2

Характеристика электроизмерительного прибора
Наименование прибора	Вольтметр №1	Вольтметр №2
Система измерительного механизма
Предел измерения
Цена деления
Минимальное значение измеряемой величины
Класс точности
Допустимая максимальная абсолютная погрешность
Род тока
Нормальное положение шкалы
Прочие характеристики

3.2. Построить график зависимости относительной погрешности измерения от измеряемой величины γ_ИЗМ = f (А_ИЗМ) для прибора, указанного преподавателем. Сделать вывод о величине относительной погрешности измерения в начальной и конечной части шкалы, о характере изменения погрешности вдоль шкалы прибора.

3.3. Измерить величину сопротивления, заданного преподавателем, методом амперметра и вольтметра. Для этого собрать электрическую цепь по рис. 1. Установить тумблер режима работы измерителя тока в позицию «=».

После проверки схемы, включить электропитание и занести полученные данные в табл. 3. Выключить электропитание. Рассчитать, используя закон Ома, величину заданного сопротивления R. Результат занести в табл. 3.

Таблица 3

4. Содержание отчета

Отчет по работе должен содержать:

а) наименование работы и цель работы;

б) технические данные измерительных приборов;

в) график зависимости относительной погрешности измерений

γ_ИЗМ = f (А_ИЗМ);

г) результаты измерений;

д) выводы по работе.

5. Контрольные вопросы

1. Каков принцип действия приборов магнитоэлектрической и электромагнитной систем?

2. Что такое предел измерения?

3. Как определяется цена деления прибора?

4. Что такое абсолютная и относительная погрешности измерения?

5. Что характеризует класс точности прибора?

6. В какой части шкалы прибора измерение точнее и почему?

7. Каковы основные достоинства цифровых измерительных приборов?

8. Как можно измерить величину сопротивления резистора?

Систематические погрешности (ошибки) обычно остаются постоянными на протяжении всей серии измерений. Например, при переключении шкалы вольтметра с одного предела на другой меняется его внутреннее сопротивление, что может внести в последующие измерения систематическую погрешность.

Систематические погрешности надо стараться отслеживать и учитывать, корректируя полученные результаты, т.е. исправляя их на необходимую величину. Однако обнаружение систематических погрешностей требует, как правило, дополнительных более точных или альтернативных экспериментов, проведение которых невозможно в рамках лабораторных работ. В этих случаях достаточно указать возможный источник ошибок.

Все остальные погрешности являются случайными.

Промахи — грубые ошибки, обычно они связаны с неправильным отсчетом по шкале прибора, нарушением условий эксперимента и т.д. Их надо отбросить. В сомнительных случаях вопрос о том, является ли данный результат промахом, решают с помощью повторного, если возможно, более точного эксперимента или привлекая математические методы обработки полученных результатов, изучение которых лежит за рамками излагаемого элементарного анализа оценки погрешностей.

Приборные погрешности определяются двумя факторами:

1. классом точности прибора, связанным с его устройством – элементной базой и принципом действия.

Абсолютная погрешность через класс точности оценивается следующим образом:
(Dx) к.т.= (g/100)A,
где g — класс точности в %, указанный на панели прибора,
А= Аmax – предел измерения для стрелочных приборов, либо А есть текущее значение для магазинов сопротивления, индуктивности, емкости;

2. ценой делений шкалы прибора:

(Dx) ц.д.= h,

где h – цена деления шкалы прибора, т.е. расстояние между ближайшими штрихами шкалы, выраженное в соответствующих единицах измерения.
Погрешности разброса возникают вследствие различия экспериментальных значений при многократном повторении измерений одной и той же величины. Простейший способ определения (Dх)р дает метод Корнфельда, который предписывает следующий образ действий, если физическая величина х измерена n раз:

1) имея х1 , …,хn – значений измеряемой величины х, выбираем из хmax и хmin и находим среднее значение х:
;
2) находим абсолютную погрешность Dxр =
3) Записываем результат в виде: с , где a — доверительная вероятность того, что истинное значение измеренной величины находится на отрезке .
Доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, полученных в аналогичных сериях измерений, попадающих в доверительный интервал. (Эта формула доказывается в теории ошибок.)
Недостатком метода Корнфельда является то обстоятельство, что вероятность приводимого результата определяется исключительно количеством n проведенных измерений и не может быть изменена посредством увеличения или уменьшения доверительного интервала ± Dх. Такую возможность предусматривает несколько более сложный метод расчета погрешностей Стьюдента [2,3,7]. Последовательность расчета погрешностей этим методом такова:

1)   Вы измерили и получили несколько i = 1,…,m значений случайной
      величины i. Сначала исключаем промахи, то есть заведомо неверные
      результаты.
2)   По оставшимся n значениям определяем среднее значение величины :
                                                                            i
3)   Определяем среднеквадратичную погрешность среднего значения :

                                   i
4)   Задаемся доверительной вероятностью a. По таблице коэффициентов
      Стьюдента (Приложение 1) определяем по известному значению
      числа измерений n и доверительной вероятности a коэффициент
      Стьюдента tan.
5)   Определяем погрешность среднего значения величины (доверительный интервал)
                                  D= tan s<X>
6)   Записываем результат
= ( ± D ) с указанием доверительной вероятности a.

В научных статьях обычно приводят доверительный интервал
D = s<X>,

соответствующий доверительной вероятности α =0,7. Такой интервал называется стандартным, при его использовании часто значение доверительной погрешности не приводят. Использование метода Стьюдента является необходимым, когда требуется знать значение физических параметров с заданной доверительной вероятностью (как в ряде лабораторных работ). На практике доверительная вероятность погрешности разброса выбирается в соответствии с доверительной вероятностью, соответствующей классу точности измерительного прибора.
Для большинства исследований, в которых не выдвигается жестких требований к вероятности полученных результатов, метод Корнфельда является вполне приемлемым.
В теории ошибок показывается, что результирующая погрешность , если все эти погрешности рассчитаны для одной и той же доверительной вероятности. На практике, т.к. суммарная погрешность округляется до одной значащей цифры, достаточно выбрать максимальную из трех вычисленных погрешностей, и если она в 3 или более раз превосходит остальные, принять ее за погрешность измеренной величины, при этом фактор, с которым связана эта погрешность и будет в данном случае определять собой точность (а вернее — погрешность) эксперимента (подробнее см. в работе [1]).

Источник

Расчет приборной погрешности для аналоговых («стрелочных») электроизмерительных приборов

(4)

(5)

Пример.
Амперметр с пределом измерения 10 А
и класса точности 1,5 показывает 8 А.
Тогда

Другие разновидности систематических погрешностей

Пример
2. Ток J
и напряжение u
на резисторе
R
по схеме, представленной на рис. 2.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

Шкала измерительного прибора
Цена деления
Виды измерений
Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Абсолютная погрешность серии измерений
Представление результатов эксперимента
Задачи

п.1. Шкала измерительного прибора

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера.
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c
b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*}

п.3. Виды измерений

Вид измерений

Определение

Пример

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.

Составляющие погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$

Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см})
Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см})
Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта	1	2	3	Сумма
Масса, г	99,8	101,2	100,3	301,3
Абсолютное отклонение, г	0,6	0,8	0,1	1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то

абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$

абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$

Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:

относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$

относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$

Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:

относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности

$$ delta_{a^2}=2delta_a $$

относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности

$$ delta_{a^3}=3delta_a $$

относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна

$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	(triangle=frac{b-a}{n+1}), мл
1	20	40	4	(frac{40-20}{4+1}=4)
2	100	200	4	(frac{200-100}{4+1}=20)
3	15	30	4	(frac{30-15}{4+1}=3)
4	200	400	4	(frac{400-200}{4+1}=40)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем (V_0), мл	Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл	Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%})
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})

Источник