1. С помощью рулетки, цена деления которой равна 1 см, измерили длину бруска, она оказалась равна 50 см. Определите абсолютную погрешность измерения (в сантиметрах). |
Ответ: |
2. С помощью рулетки, цена деления которой равна 1 см, измерили длину стола, она оказалась равна 2 м. Определите относительную погрешность измерения (в процентах). Знак процента в ответе вводить не нужно. |
Ответ: |
3. Укажите, что влияет на погрешность, которая получается при вычислении какой-то величины с помощью компьютера. |
|
погодные условия | |
неточности в исходных данных | |
погрешности методов вычисления | |
погрешности кодирования данных | |
величина напряжения в сети |
4. В результате опыта была измерена масса ноутбука, она оказалась равной 2,1 ± 0,1 кг. |
Ответ: |
5. Размеры пластины, измеренные с точностью 1 мм, оказались равны 3 × 5 см. Найдите абсолютную погрешность (в см2) вычисленной по этим данным площади пластины. |
Ответ: |
6. Размеры листка бумаги, измеренные с точностью 1 мм, оказались равны 5 × 10 см. Найдите относительную погрешность (в процентах) вычисленной по этим данным площади этого листка. Знак процента в ответе вводить не нужно. |
Ответ: |
7. Какой метод расчёта называется вычислительно неустойчивым? |
|
требующий сложных вычислений | |
приводящий к большой ошибке при малых ошибках в исходных данных | |
приводящий к малой ошибке при больших ошибках в исходных данных | |
приводящий к неверному результату | |
приводящий к недопустимой операции (например, к делению на 0) |
8. Какой вариант вычислений обычно приводит к наибольшей относительной ошибке? |
|
большая разность больших чисел | |
малая разность больших чисел | |
малая разность малых чисел | |
деление двух больших чисел | |
деление двух малых чисел |
Точность вычислений
Власюк Антон Евгеньевич
12.05.2020.
Тест. Информатика, 10 класс
Внимание! Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного
использования.
Администрация сайта не
проверяет возможные ошибки,
которые могут встретиться в тестах.
Тест состоит из заданий, составленных на основе §69 Точность вычислений. Если в ответе получается вещественный результат, то его следует вводить в поле для ответом через ЗАПЯТУЮ!
Список вопросов теста
Вопрос 1
С помощью рулетки, цена деления которой равна 1 см, измерили длину бруска, она оказалась равна 50 см. Определите абсолютную погрешность измерения (в сантиметрах).
Вопрос 2
С помощью рулетки, цена деления которой равна 1 см, измерили длину стола, она оказалась равна 2 м. Определите относительную погрешность измерения (в процентах). Знак процента в ответе вводить не нужно
Вопрос 3
Укажите, что влияет на погрешность, которая получается при вычислении какой-то величины с помощью компьютера.
Варианты ответов
- погодные условия
- неточность в исходных данных
- погрешности методов вычисления
- погрешности кодирования данных
- величина напряжения сети
Вопрос 4
В результате опыта была измерена масса ноутбука, она оказалась равной 2,1 ± 0,1 кг.
Определите максимальную возможную массу ноутбука (в килограммах) согласно этим данным.
Вопрос 5
Размеры пластины, измеренные с точностью 1 мм, оказались равны 3 на 5 см. Найдите абсолютную погрешность (в см2) вычисленной по этим данным площади пластины.
Вопрос 6
Размеры листка бумаги, измеренные с точностью 1 мм, оказались равны 5 на 10 см. Найдите относительную погрешность (в процентах) вычисленной по этим данным площади этого листка. Знак процента в ответе вводить не нужно.
Вопрос 7
Какой метод расчёта называется вычислительно неустойчивым?
Варианты ответов
- требующий сложных вычислений
- приводящий к большой ошибке при малых ошибках
- приводящий к малой ошибке при больших ошибках
- приводящий к неверному результату
- приводящий к недопустимой операции (например, к делению на 0)
Вопрос 8
Какой вариант вычислений обычно приводит к наибольшей относительной ошибке?
Варианты ответов
- большая разность больших чисел
- малая разность больших чисел
- малая разность малых чисел
- деление двух больших чисел
- деление двух малых чисел
Инфоурок
›
Информатика
›Другие методич. материалы›Тест по информатике на тему «Точность измерений» (10 класс)
-
Скачать материал
-
02.08.2019
3261
-
DOCX
18.4 кбайт -
17
скачиваний -
Оцените материал:
-
-
Настоящий материал опубликован пользователем Федоров Евгений Евгеньевич. Инфоурок является
информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайтЕсли Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.Удалить материал
-
- На сайте: 6 лет и 8 месяцев
- Подписчики: 4
- Всего просмотров: 83136
-
Всего материалов:
10
Файлы
Рабочий лист подходит для учеников 7 класса, работающих по учебнику «Информатика. ФГОС», автор Л….
45 — Точность вычислений
1. С помощью рулетки, цена деления которой равна 1 см, измерили длину бруска, она оказалась равна 50 см. Определите абсолютную погрешность измерения (в сантиметрах).
Ответ:
2. С помощью рулетки, цена деления которой равна 1 см, измерили длину стола, она оказалась равна 2 м. Определите относительную погрешность измерения (в процентах). Знак процента в ответе вводить не нужно.
Ответ:
3. Укажите, что влияет на погрешность, которая получается при вычислении какой-то величины с помощью компьютера.
погодные условия
неточности в исходных данных
погрешности методов вычисления
погрешности кодирования данных
величина напряжения в сети
4. В результате опыта была измерена масса ноутбука, она оказалась равной
2,1 ± 0,1 кг.
Определите максимальную возможную массу ноутбука (в килограммах) согласно этим данным.
Ответ:
5. Размеры пластины, измеренные с точностью 1 мм, оказались равны 3 × 5 см. Найдите абсолютную погрешность (в см2) вычисленной по этим данным площади пластины.
Ответ:
6. Размеры листка бумаги, измеренные с точностью 1 мм, оказались равны 5 × 10 см. Найдите относительную погрешность (в процентах) вычисленной по этим данным площади этого листка. Знак процента в ответе вводить не нужно.
Ответ:
7. Какой метод расчёта называется вычислительно неустойчивым?
требующий сложных вычислений
приводящий к большой ошибке при малых ошибках в исходных данных
приводящий к малой ошибке при больших ошибках в исходных данных
приводящий к неверному результату
приводящий к недопустимой операции (например, к делению на 0)
8. Какой вариант
вычислений обычно приводит к наибольшей относительной ошибке?
большая разность больших чисел
малая разность больших чисел
малая разность малых чисел
деление двух больших чисел
деление двух малых чисел
Материал из MachineLearning.
Перейти к: навигация, поиск
Содержание
- 1 Введение
- 1.1 Постановка вопроса. Виды погрешностей
- 2 Виды мер точности
- 3 Предельные погрешности
- 4 Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере
- 5 Погрешности арифметических операций
- 6 Погрешности вычисления функций
- 7 Числовые примеры
- 8 Список литературы
- 9 См. также
Введение
Постановка вопроса. Виды погрешностей
Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.
При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.
При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается её дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для её решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.
Итак, следует различать погрешности модели, дискретизации и округления. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10−6, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10−2.
Виды мер точности
Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой
где – приближение к точному значению .
Относительная погрешность определяется формулой
Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, , абсолютная погрешность . Записывая число в виде
имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).
В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:
где — порядок (вес) старшей цифры, — количество верных значащих цифр.
В рассматриваемом примере .
Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:
где — старшая значащая цифра числа.
Для двоичного представления чисел имеем .
Тот факт, что число является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде
причем числа и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или .
Запись вида
означает, что число является приближенным значение числа с относительной погрешностью .
Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.
Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений
характеризуется невязкой
где — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.
Предельные погрешности
Пусть искомая величина является функцией параметров — приближенное значение . Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина
Предельной относительной погрешностью называется величина .
Пусть — приближенное значение . Предполагаем, что — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,
где .
Отсюда
где .
Можно показать, что при малых эта оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой
где .
Несложно показать, что:
- — предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
- — предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей.
Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере
Одним из основных источников вычислительных погрешностей является приближенное представление чисел в компьютере, обусловленное конечностью разрядной сетки (см. Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ). Число , не представимое в компьютере, подвергается округлению, т. е. заменяется близким числом , представимым в компьютере точно.
Найдем границу относительной погрешности представления числа с плавающей точкой. Допустим, что применяется простейшее округление – отбрасывание всех разрядов числа, выходящих за пределы разрядной сетки. Система счисления – двоичная. Пусть надо записать число, представляющее бесконечную двоичную дробь
где , — цифры мантиссы.
Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число
Абсолютная погрешность округления в этом случае равна
Наибольшая погрешность будет в случае , тогда
Т.к. , где — мантисса числа , то всегда . Тогда и относительная погрешность равна . Практически применяют более точные методы округления и погрешность представления чисел равна
( 1 )
т.е. точность представления чисел определяется разрядностью мантиссы .
Тогда приближенно представленное в компьютере число можно записать в виде , где – «машинный эпсилон» – относительная погрешность представления чисел.
Погрешности арифметических операций
При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т.е. появляется погрешность округления.
Округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу , обозначается через (от англ. floating – плавающий). Выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой (1). Верна следующая запись:
где — любая из арифметических операций, .
Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибка арифметических операций не учитывается (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).
Рассмотрим сложение и вычитание приближенных чисел. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Если сумма точных чисел равна
сумма приближенных чисел равна
где — абсолютные погрешности представления чисел.
Тогда абсолютная погрешность суммы равна
Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна
( 2 )
где — относительные погрешности представления чисел.
Из (2) следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:
При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых величина может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.
Необходимо отметить, что погрешности вычислений зависят от порядка вычислений. Далее будет рассмотрен пример сложения трех чисел.
( 3 )
При другой последовательности действий погрешность будет другой:
Из (3) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлений, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ: свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных. Тогда вместо (3) будет следующая запись:
где
При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.
-
- ≅
с точностью величин второго порядка малости относительно .
Тогда .
Если , то ≅
При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков:
где – суммарная погрешность, – погрешность выполнения операций с плавающей точкой, – погрешность представления чисел с плавающей точкой.
Погрешности вычисления функций
Рассмотрим трансформированную погрешность вычисления значений функций.
Абсолютная трансформированная погрешность дифференцируемой функции , вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента , оценивается величиной .
Если , то .
Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих аргументов , вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов оценивается величиной:
-
- .
Если , то .
Практически важно определить допустимую погрешность аргументов и допустимую погрешность функции (обратная задача). Эта задача имеет однозначное решение только для функций одной переменной , если дифференцируема и :
-
- .
Для функций многих переменных задача не имеет однозначного решения, необходимо ввести дополнительные ограничения. Например, если функция наиболее критична к погрешности , то:
-
- (погрешностью других аргументов пренебрегаем).
Если вклад погрешностей всех аргументов примерно одинаков, то применяют принцип равных влияний:
Числовые примеры
Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.
ПРИМЕР 1. Вычислить все корни уравнения
Точное решение задачи легко найти:
Если компьютер работает при , то свободный член в исходном уравнении будет округлен до и, с точки зрения представления чисел с плавающей точкой, будет решаться уравнение , т.е. , что, очевидно, неверно. В данном случае малые погрешности в задании свободного члена привели, независимо от метода решения, к погрешности в решении .
ПРИМЕР 2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:
Общее решение имеет вид:
При заданных начальных данных точное решение задачи: , однако малая погрешность в их задании приведет к появлению члена , который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.
ПРИМЕР 3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения:
Его решение: , однако значение известно лишь приближенно: , и на самом деле .
Соответственно, разность будет:
Предположим, что необходимо гарантировать некоторую заданную точность вычислений всюду на отрезке . Тогда должно выполняться условие:
Очевидно, что:
Отсюда можно получить требования к точности задания начальных данных при .
Таким образом, требование к заданию точности начальных данных оказываются в раз выше необходимой точности результата решения задачи. Это требование, скорее всего, окажется нереальным.
Решение оказывается очень чувствительным к заданию начальных данных. Такого рода задачи называются плохо обусловленными.
ПРИМЕР 4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
является пара чисел .
Изменив правую часть системы на , получим возмущенную систему:
с решением , сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.
ПРИМЕР 5. Рассмотрим методический пример вычислений на модельном компьютере, обеспечивающем точность . Проанализируем причину происхождения ошибки, например, при вычитании двух чисел, взятых с точностью до третьей цифры после десятичной точки , разность которых составляет .
В памяти машины эти же числа представляются в виде:
-
- , причем и
Тогда:
Относительная ошибка при вычислении разности будет равна:
Очевидно, что , т.е. все значащие цифры могут оказаться неверными.
ПРИМЕР 6. Рассмотрим рекуррентное соотношение
Пусть при выполнении реальных вычислений с конечной длиной мантиссы на -м шаге возникла погрешность округления, и вычисления проводятся с возмущенным значением , тогда вместо получим , т.е. .
Следовательно, если , то в процессе вычислений погрешность, связанная с возникшей ошибкой округления, будет возрастать (алгоритм неустойчив). В случае погрешность не возрастает и численный алгоритм устойчив.
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
- http://www.mgopu.ru/PVU/2.1/nummethods/Chapter1.htm
- http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/1/4.html
См. также
- Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008