Определение ошибки измерения определение шансов наступления того или иного события 8 класс видеоурок

Вопросы
занятия:

•
ввести понятия «несовместные» и «независимые» события;

•
вывести формулу вероятности суммы событий;

•
вывести формулу вероятности произведения событий;

•
вывести формулы Бернули и геометрической вероятности.

Материал
урока

На
прошлых уроках мы с вами рассматривали примеры решения простейших вероятностных
задач, при этом каждый раз мы исследовали конкретную математическую модель.

Сегодня
от решения простейших вероятностных задач мы перейдём к
более сложным. И познакомимся с некоторыми инструментами для их решения.

Начнём
с задачи.

При
решении этой задачи мы применили формулу:

А
так же узнали, что несовместными называют события, которые не могут
произойти одновременно.

 В
свою очередь произведением двух событий А и Б
называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и
событие А, и событие Б.

Пример.

На
этом примере мы показали, что произведение событий А и
Б связано с пересечением множеств, соответствующих событиям А и Б.

В
9 классе мы говорили о связи понятий теории вероятности и теории множеств.

Запишем
теорему.

Теорема
1.

Сумма
вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и
вероятности суммы этих событий.

Это
понятие одно из важнейших в теории вероятностей. И определение независимым
событиям поможет дать правило умножения.

Определение.

События А и Б называют независимыми, если вероятность
произведения этих событий (то есть их одновременного наступления) равна произведению
вероятностей этих событий.

Вероятность
суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и
вероятности произведения этих событий.

Решим
задачу.

Иногда
проводят серию одинаковых испытаний и находят вероятность наступления того или иного
события.

Определение.

Назовём
наступление некоторого события А «успехом»,
а случай, когда оно не наступает, то есть наступает событие противоположное А «неудачей».

Вероятность
события А, то есть «успеха» обозначим p, а вероятность «неудачи» — q.

Сумма
противоположных событий равна одному.

Запишем
теорему,

Теорема
Бернулли.

Эта
теорема очень важна. Применим её при решении задачи.

Пример.

Запишем
ещё одну теорему.

Теорема
4.

Например,
при эн большем либо равном двум тысячам с вероятностью, большей
чем 99%, можно утверждать, что абсолютная погрешность разности частоты и
вероятности такого приближённого равенства будет меньше 0,03.

Поэтому
при социологических опросах достаточно бывает опросить около 2000 случайно
выбранных людей.

Допустим,
520 из них положительно ответили на заданный вопрос. Тогда:

И
практически достоверно, что для любого большего числа опрошенных такая
частота будет находиться в пределах от двадцати трёх сотых до двадцати девяти
сотых.

Это
явление называют явлением статистической устойчивости.

Вспомним
уже знакомое вам классическое определение вероятности, оно применимо к
испытаниям с конечным числом исходов.

Однако
часто встречаются испытания с бесконечным числом исходов. В таких случаях
прибегают к геометрической вероятности.

Рассмотрим
пример.

Можем
сформулировать общее правило для нахождения геометрической вероятности.

Аналогично
поступают и с множествами на плоскости, и с пространственными множествами. Но в
этих случаях длину заменяют на площадь и объём
соответственно.

Подведём
итоги нашего урока.

Конспект

Подбрасывание монеты для определения вероятности выпадения орла или решки, или бросание игрального кубика для определения выпавшего числа, всё это яркие примеры наступления вероятности некоторого случайного события.

Исходы при которых наступает ожидаемое событие называют благоприятными исходами для данного события.

При бросании игрального кубика, с очками на каждой стороне от 1 до 6 существует 6 равновозможных событий (исходов), ведь шансы выпадения любого очка от 1 до 6 абсолютно одинаковы.

Если шансы исходов любого эксперимента одинаковы, то все исходы принято считать равновозможными.

Вероятность обозначается буквой Р, от французского слова probabilité – вероятность.

Если все исходы испытания равновозможны, то вероятность наступления события в данном испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Существует два подхода к определению вероятности.

Статистический подход требует проведения реальных экспериментов.
Классический подход требует правильного определения числа равновозможных исходов испытания и числа благоприятных исходов.

Достоверным событием называется такое событие, которое происходит всегда при проведении эксперимента.

При бросании игрального кубика определить вероятность события, при котором выпадет менее 7 очков. Каждый из шести результатов даст такой исход (1; 2; 3; 4; 5; 6), значит

Вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим обратный пример.

При бросании игрального кубика определить вероятность события, при котором выпадет 7 очков. Данное событие ни при каких условиях не может произойти.

Невозможным событием называется такое событие, которое не может произойти ни при каком исходе эксперимента.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность наступления случайного события иногда можно определить с помощью геометрических соображений, используя вероятностую шкалу.

Допустим проведено некоторое испытание с n равновозможными исходами, среди которых m исходов являются благоприятными для наступления события А. Можем записать, что

Заметим, что всегда m ≤ n, следовательно , то есть вероятность наступления события А будет P(A) ≤ 1. Но также отметим, что P(A) ≥ 0. Сделаем вывод:
0 ≤ P(A) ≤ 1.

Геометрический смысл записи состоит в том, что, чем ниже вероятность наступления события А, тем ближе к нулю располагается точка P(A), чем выше вероятность наступления события А, тем ближе к единице располагается точка P(A).

Вероятность любого события всегда находится между 0 и 1.

Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б  Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  СЛУЧАЙНЫЕ
  СОБЫТИЯ
  8 класс
  Учитель математики
  Кушнаренко Л.В.
  ГБОУ СОШ № 20434

• 

  2 слайд

  Cлучайное событие
  Это событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.
  Достоверное событие
  Это событие, которое при данных условиях обязательно произойдёт.
  Невозможное событие
  Это событие, которое при данных условиях не может произойти.
  Равновероятные события
  Это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы
  для наступления.

• 

  3 слайд

  В корзине лежало 3 красных и 3 жёлтых яблока.
  Из корзины наугад вынимают яблоко.
  Среди следующих событий укажите случайные, достоверные, невозможные события.

  А: Вынуто красное яблоко

  В: Вынуто жёлтое яблоко

  С: Вынуто зелёное яблоко

  D: Вынуто яблоко

  СЛУЧАЙНЫЕ

  НЕВОЗМОЖНОЕ

  ДОСТОВЕРНОЕ

• 

  4 слайд

  Три господина, придя в ресторан , сдали в гардероб свои шляпы.
  Расходились они по домам последними, и притом в полной темноте,
  поэтому разобрали свои шляпы наугад . Какие из следующих событий
  случайные, невозможные, достоверные?
  А: «каждый надел свою шляпу».

  В: «все надели чужие шляпы».

  С: « двое надели чужие шляпы , а один — свою».

  D: « двое надели свои шляпы , а один — чужую».
  ОТВЕТ: события А,В,С – случайные,
  событие D — невозможное

• 

  5 слайд

  Вероятности элементарных событий.
  Обозначим элементарные события латинскими буквами: a, b, c…
  Вероятности этих событий обозначим: Р(а), Р(b), Р(с).
  0 < P(a) < 1, 0 < P(b) < 1, 0 < P(c) < 1.
  P(a) + P(b) + P(c) = 1.
  Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

• 

  6 слайд

  Упр. 1(а,в), стр. 96.
  Упр. 3(а), стр. 97.
  Упр. 7(а), 8, стр. 97.
  Повторим опыт N раз.
  Пусть элементарное событие а произошло
  N(a) раз, событие b – N(b) раз, событие
  с – N(c) раз. Тогда
  N(a) + N(b) + N(c) = N.
  Сумма частот элементарных событий а, b,
  с равна 1:

• 

  7 слайд

  Благоприятствующие элементарные
  события.
  Обозначим случайные события
  Прописными латинскими буквами: A, B,
  C, D и т.д.
  Каждое случайное событие состоит из
  элементарных событий.
  Например. Бросим игральную кость.
  Событие «выпало четное число очков»
  состоит из трех элементарных событий:
  «выпало 2 очка», «выпало 4 очка»,
  «выпало 6 очков».

• 

  8 слайд

  Определение:
  Элементарные события, при которых
  наступает событие А, называются
  элементарными событиями,
  благоприятствующими событию А.

  Пример 1 на стр. 99.
  Упр. 1, 2 Устно) на стр. 100.
  Упр. 3 (письменно) на стр. 100.

• 

  9 слайд

  Вероятности событий.
  Р(A), Р(C) – вероятность случайного
  события.
  Правило вычисления вероятностей.
  Вероятность события равна сумме
  вероятностей элементарных
  событий, благоприятствующих
  этому событию.
  Р(А) = Р(а) + Р(b) + P(c) + P(d),
  0 ≤ P(A) ≤ 1.
  Если Р(А) = 0, то событие А называется
  невозможным.
  Если Р(А) = 1, то событие А называется
  достоверным.
  Пример 1 на стр. 103.

• 

  10 слайд

  Определение:
  События, которые имеют одинаковые
  вероятности, называются
  равновероятными.
  Равновозможные элементарные события
  являются равновероятными событиями.

  Вопросы на стр. 104.
  Упр. 1(а,б) на стр. 105.

• 

  11 слайд

  Пусть все элементарные события
  опыта равновозможны. Тогда в этом
  опыте вероятность произвольного
  события равна отношению числа
  элементарных событий,
  благоприятствующих этому событию,
  к общему числу элементарных событий.

• 

  12 слайд

  N(A) – элементарные события, благоприятствующие случайному событию А.

  N – общее число элементарных событий.

  Р(А) – вероятность произвольного события.

• 

  13 слайд

  Задача 1.
  Для экзамена подготовили билеты с
  номерами от 1 до 25 включительно.
  Какова вероятность того, что взятый
  наугад учеником билет имеет
  однозначный номер?

• 

  14 слайд

  Ответ:
  Решение:

  N(A) = 9 ( 1 до 9)
  N = 25

• 

  15 слайд

  Задача 2.
  Для новогодней лотереи отпечатали
  1500 билетов, из которых 120
  выигрышных. Какова вероятность того,
  что купленный билет окажется
  выигрышным?

• 

  16 слайд

  Ответ: 0,08 или 8 %.
  Решение:
  N(A) = 120,
  N = 1500,

• 

  17 слайд

  Домашнее задание:
  П. 28 – 31,
  Упр. 4(а), 7(б) на стр. 97,
  Упр. 4 на стр. 101,
  Упр. 1,2 на стр. 108.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 094 265 материалов в базе

• Выберите категорию:
• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:
• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»

• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Презентацию на тему «Случайные события»
(8 класс)
можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет
проекта: Математика. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам
заинтересовать своих одноклассников или аудиторию.
Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад — нажмите на
соответствующий текст под плеером. Презентация
содержит 12 слайд(ов).

Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи».

Предмет: математика

Автор урока: Ельникова Светлана Николаеевна

Тип урока: комбинированный.

Длительность: 1 учебный час.

Цель урока: Дать определение вероятности. Научиться вычислять вероятности различных видов событий. Применять знания для решения задач.

Планируемые образовательные результаты:

1) личностные: формировать умения

• работать в коллективе, парах;

• находить согласованные решения;

• самоконтроля и самостоятельного исправления ошибок;

2) метапредметные: формировать умения самостоятельно

• планировать свои действия в соответствии с учебным заданием;

• ставить цели;

• выбирать и создавать алгоритмы решения учебных математических задач;

3)предметные:                                                                                                                                                             

• сформировать представления о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей;

• научить в процессе реальной ситуации определять термины теории вероятностей: достоверные, невозможные, равновозможные, противоположные события;

• научить находить вероятности случайного события с очевидными благоприятствующими исходами; вероятности противоположного события;

• научить решать простейшие текстовые задачи на расчет вероятности случайного события;

• развить основные навыки и умения использования компьютерных устройств.

Основные виды учебной деятельности (на уровне учебных действий): учащийся научится:

• в процессе реальной ситуации определять достоверные, невозможные, равновероятностные, совместные и несовместные события;

• распознавать логически некорректные рассуждения;

• находить вероятности случайных событий с помощью классического определения вероятности;

• находить вероятность противоположного события;

• интуитивно определять независимые события и находить вероятность одновременного наступления независимых событий в задачах;

• использовать приобретенные знания и умения для сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией.

Форма урока отличается от уроков в традиционном обучении. Ученики не сидят пассивно, слушая учителя, а становятся главными действующими лицами урока. Роль учителя — в основном координирующая.

Используемые технологии: развивающее обучение, групповая технология, ИКТ, элементы исследовательской деятельности, элементы блочного изучения тем.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, презентация по теме «Простейшие вероятностные задачи», экран.

План урока:

1) Организационный момент.

2 Актуализация знаний. Создание мотивации.

3) Изучение нового материала.

4) Решение простейших вероятностных задач.

4) Итоги урока.

5) Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент (3 мин)

Приветствие учеников.

Наша жизнь наполнена событиями. Они бывают счастливые и не очень, происходящие с нами или с другими людьми? И всем интересно знать, что же произойдёт, что же ждёт нас впереди. С древних времён люди занимались предсказаниями. Ходили к гадалкам и шаманам, составляли гороскопы. А как же ученые математики, с их рациональным мышлением могли ли они пройти мимо такой темы?

Мало им стало рациональных чисел, придумали они дроби, мало дробей- придумали отрицательные числа, потом корни. Всё они пытаются описать графиком, заключить в формулу. А тут….Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Казалось бы, тут нет места для математики—какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности—они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями, прогнозировать наступление того или иного события, подсчитывая его вероятность.

Как Вы думаете какова тема нашего сегодняшнего урока? (Чем же мы будем заниматься на уроке- предсказывать события, вычислять события, т.е давать числовую характеристику тем или иным событиям- теория вероятности)

Сообщение темы и цели урока.

А первым вашим предсказателем (Нострадамусом ) буду я, и сейчас я прошу вас выбрать одну из фигур на экране и никому о ней не говорить. А что всё это значит, все мои предсказания в конце урока. А пока как истинные математики мы с вами начнём выстраивать кирпичики знаний.

3. Изучение нового материала

Если бы Вы писали научную работу и Вам было нужно дать определение события, то …(формулировка детей)

(В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух. Да, оно произошло. Нет, оно не произошло.)

Случайное событие_( Непредсказуемые события называются случайными. )

Теория вероятностей — наука о вычислении вероятностей случайных событий. Основной объект изучения теории вероятностей: — случайное событие и его вероятность;

Например:

В следующем году первый снег выпадет в субботу. Бутерброд упадет маслом вниз. При бросании кубика выпадет шестерка. При бросании кубика выпадет четное число.

Теория вероятностей изучает различные модели случайных событий, их свойства и характеристики. Разумеется, эта теория не может однозначно предсказать, какое событие в реальности произойдет, но может оценить, какое событие наиболее вероятно.

Равновозможные и неравновозможные события. (называются события, когда в их наступлении нет преимуществ, события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое то преимущество.)

Совместные и несовместные события. (Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, — несовместными. )

Достоверные события. (Событие, которое происходит всегда. Вероятность достоверного события равна 1)

Невозможные события. (Событие, которое не может произойти, называется невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.)

События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А – наступление события В.

Вероятность события-– это численная характеристика реальности появления того или иного события. Случайное (0,1) Невозможное-0, Достоверное-1

Примеры. (к каким событиям можно отнести)

1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь.

Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — несовместные.

1. Брошена монета.

Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные. Появление герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.

1. Пусть бросают игральную кость.

В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).

1. При бросании кубика выпадет семерка.

Это невозможные события.

5. Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара – достоверное событие; появление белого шара – невозможное событие.

ПРИДУМАЙТЕ СОБЫТИЕ (одноклассники отгадывают)

КРОССВОРД

Разгадав кроссворд, мы узнаем, кто из математиков придумал и впервые опубликовал классическую вероятностную схему.

Вопросы кроссворда:

1. результат испытания.

2. событие, которое происходит всегда.

3. численная характеристика реальности появления того или иного события.

4. события, в наступлении которых нет преимуществ.

5. непредсказуемое событие.

6. всякое наступление события А означает ненаступление события В.

7. вероятность невозможного события.

8. вероятность достоверного события.

Исторический экскурс. ( Доклад обучающегося)

• Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. (Советский энциклопедический словарь, 1982 год)

История теории вероятностей отмечена уникальными особенностями. Прежде всего, у теории вероятностей не было античных или средневековых предшественников, это «молодая» наука. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв).

Долгое время теория вероятностей считалась чисто опытной наукой и «не совсем математикой», потому, что в начале это были лишь курьёзные задачки, связанные с играми в кости и в карты.

А вот в XVII веке уже теория вероятностей нашла своё применение в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения. Над этими вопросами и работали основатели теории вероятностей французские математики Б. Паскаль, П. Ферма, голландский учёный Х. Гюйгенс.

В XVIII веке появились книга Я. Бернулли (швейцарский математик. Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. ) «Искусство предположений» (1713 год). В ней Бернулли предложил классическое определение вероятности случайного события как отношение числа равновероятных исходов, связанных с этим событием, к общему числу исходов. Он также изложил  «закон больших чисел» и мн.др.

Наиболее плодотворный период связан с именами П.Л. Чебышева (1821 – 1894 гг.) и его учениками А.А. Маркова (1856 – 1922 гг.) и А.М. Ляпунова (1857 – 1918 гг.). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой.

К концу XIX века появляются статистическая физика, строгая теория ошибок измерения.

В XX веке в физике была создана теория микромира, а в биологии — теория наследственности, обе они основаны на вероятностных методах.

Что такое «теория вероятностей»? В наши дни теория вероятностей занимает одно из первых мест в прикладных науках.

А нашла ли своё отражение теория вероятностей в вариантах ГИА?

Поэтому цель нашего урока не просто научиться решать простейшие вероятностные задачи, но и подготовиться к выполнению этого задания на экзамене.

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события. (слайд 9)

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти:

1. число N всех возможных исходов данного испытания;

2. количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А;

3. частное оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать так: Р(А). Значит Р(А) =

По элементам теории вероятностей также целесообразно иметь опорный конспект:

Основные понятия
понятие	определение	вероятность
Случайное событие	Событие, которое может произойти или не произойти при про­ведении опыта	0 ≤ Р (А) ≤ 1
Достоверное событие	Событие, которое происходит при проведении опыта всегда	Р(А) = 1
Невозможное событие	Событие, которое не может произойти ни при каком исходе опыта	Р(А) = 0
Равновозможные событие	События, которые имеют равные возможности произойти	0 ≤ Р (А) ≤ 1
Противоположными событие	События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А – наступление события В.	Р(А) = 1- Р(В)
Нахождение вероятности	Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти: число N всех возможных исходов данного испытания; количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А; частное оно и будет равно вероятности события А.	Р(А) =

1. Решение задач

2. Какое событие произошло 59 лет назад? (полёт человека в космос)

Можно ли это событие назвать случайным (да)

Устные задачи про космос

Вселенная с ее загадочными и непредсказуемыми просторами интересует человечество на протяжении всей жизни. Исследования, проводимые в космосе, открывают постепенно завесу космических тайн, но, сколько их еще осталось не изученных.

Гагарин был очарован видом, который он увидел сквозь иллюминатор. Он увидел красоту нашей планеты и вскоре призвал людей хранить и приумножать эту красоту, а не разрушать ее!

1. Невооруженным глазом ночью на небе можно увидеть 6000 звезд. Звезды составляют созвездия.  В созвездии Большой Медведицы 7 звезд. Найдите вероятность, что случайно увиденная звезда из этого созвездия?7/6000

1. Кто действительно побывал до Гагарина в космосе, так это известные всему миру собаки Белка и Стрелка, которые после трех суток полета на орбите удачно вернулись на Землю. Далеко не все эксперименты были успешны. Во время космических испытаний погибло 20 собак. Найдите вероятность удачного полёта. 1/10

1. Для первого полёта готовили 20 кандидатов.  Какова была вероятность, что первым станет Гагарин? 1/20

1. Площадь всей поверхности Земли составляет 510 млн кв км, площадь поверхности суши равна 149 млн кв км ? Какова вероятность того, что обломки упадут в океан? 361/510

Примеры. (у доски) (РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ)

1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

2. Найдем вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадает: а) три очка; б) число очков, кратное трем; в) число очков больше трех; г) число очков, не кратное трем.

3. Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5.

4. Научная конференция проводится 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день – 30 докладов, а остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

5. Перед началом первого тура чемпионата по теннису разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким – либо теннисистом из России.

1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

Решение. Число стандартных подшипников равно 1000 – 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N(A) = 970 исходов.

Поэтому Р(А) =

Ответ: 0,97.

2. Найдем вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадает: а) три очка; б) число очков, кратное трем; в) число очков больше трех; г) число очков, не кратное трем.

Решение. Всего имеется N=6 возможных исходов: выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Считаем, что эти исходы равновозможны.

а) Только при одном из исходов N(А)=1 происходит интересующее нас

событие А – выпадение трех очков. Вероятность этого события .

б) При двух исходах N(B) = 2 происходит событие B: выпадение числа очков кратных трем: выпадение или трех или шести очков. Вероятность такого события .

в) При трех исходах N(C) = 3 происходит событие C: выпадение числа очков больше трех: выпадение четырех, пяти или шести очков. Вероятность этого события .

г) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4 и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие D,

наступает в четырех случаях, т.е. N(D) = 4. Вероятность такого события: .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

3.

Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5.

Решение. Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях:

1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 – четыре благоприятных случая (N(A) = 4). Всего возможных исходов N = 6·6 = 36 (по шесть для каждой кости). Тогда вероятность рассматриваемого события

Ответ: .

1. Научная конференция проводится 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день – 30 докладов, а остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

2. Решение. Так как в третий день будут слушать 10 докладов, то благоприятных исходов N(А) = 10, а всего докладов 50, т.е. равновозможных исходов N = 50. Поэтому .

Ответ: 0,2.

5. Перед началом первого тура чемпионата по теннису разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким – либо теннисистом из России.

Решение. Число всех исходов N = 45. Число элементарных событий, благоприятствующих событию А равно 18. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому

Ответ: 0,4.

(Физминутка- математическая зарядка по понятиям события)

Раздаточный материал

Решение задач ГИА (самостоятельно)

Задача 1. В фирме такси в данный момент свободно 12 машин: 3 черных, 3 желтых и 6 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Ответ : 0,25.

Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

 Ответ: 0,375.

 Задача 3 Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,08. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

 Ответ: 0,92.

Задача 4.Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии ку­би­ка вы­па­ло число очков, не мень­шее 1.

Результат округ­ли­те до сотых.

 Ответ: 1.

3.5. Решение задач в группах

А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями на столах. Помогайте друг другу при решении. (Преподаватель, в процессе работы обучающихся, оказывает помощь каждой группе).

Задачи лёгкого варианта. (все из сборника подготовки к ОГЭ).

1. В среднем на 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, приходится 10 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

2. На экзамене 25 билетов. Стас не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

3. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,12. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

4. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 5 или 8.

5. Коля выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 100.

6. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием года, из них 8 с машинками и 12 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Вася. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машинкой.

7. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 4 чёрных, 6 жёлтых и 10 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Задачи трудного варианта.

1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий — кому начинать игру.

Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

2. Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того,

что выпало число очков, больше чем 4?

3. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика.

Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

4. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова

вероятность того, что орел выпал ровно два раза?

5. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из

Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5-

из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены,

определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен,

который выступает последним, окажется из Швеции.

6. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России,

7 из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором

выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите

вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется

из Китая.

7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных

сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами.

Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется

качественной. Результат округлите до сотых.

Решения к задачам сложного варианта.

1. Случайный эксперимент – бросание жребия. Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечислим их:

(Вася), (Петя), (Коля) и (Лёша).

Общее число элементарных событий N = 4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны. Событию A = {жребий выиграл Петя}

благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1.

Тогда .

Ответ: 0,25.

2. Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие –число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные события: 1,2,3,4,5 и 6. Значит, N=6. Событию A={выпало больше, чем 4} благоприятствует два элементарных события: 5 и 6. Поэтому N(A) = 2. Элементарные события равновозможны. Поэтому .

Ответ: .

3. Элементарный исход в этом опыте – порядочная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе – на втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных событий N = 3.

1 2 3 4 5 6

2	3	4	5	6	7
3	4	5	6	7	8
4	5	6	7	8	9
5	6	7	8	9	10
6	7	8	9	10	11
7	8	9	10	11	12

1

2

3

4

5

6

Напишем в каждой клетке таблицы сумму выпавших очков и закрасим клетки где сумма равна 8. Таких ячеек 5. Значит событию А = {сумма равна 8} благоприятствует пять элементарных исходов. Следовательно, N(A) = 5.

Поэтому

Ответ:

1. Орёл обозначим буквой О, решку – буквой Р. В описанном эксперименте элементарные исходы – тройки, составленные из букв О и Р. Выпишем все их в таблицу:

Элементарный исход	Число орлов
ООО	3
ООР	2
ОРО	2
ОРР	1
РОО	2
РОР	1
РРО	1
РРР	0

Всего исходов получилось 8. Значит, N=8. Событию А = {орёл выпал ровно два раза} благоприятствует элементарные события ООР, ОРО, РОО. Поэтому N(A)=3. Тогда

Ответ: 0,375.

5. Элементарный исход – спортсмен, который выступает последним. Последним может оказаться любой спортсмен. Всего спортсменов N=4+7+9+5+5=25. Событию А = {последний из Швеции} благоприятствуют только 9 исходов (столько, сколько участвует шведских спортсменов). Поэтому N(A)=9.

Тогда

Ответ: 0,36.

6. Элементарные события – спортсменка, выступающая первой. Поэтому N=20. Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию А = {первой выступает спортсменка из Китая}, нужно подсчитать число спортсменок из Китая: N(A)=20-(8+7)=5. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому

Ответ: 0,25.

7. Элементарный исход – случайно выбранная сумка. Поэтому N = 108.

Событию А = {качественная сумка} благоприятствуют 100 исходов.

Поэтому N(A) = 100.

Тогда

Ответ: 0,93.

Отчет групп о проделанной работе

(ЗАДАЧА ДАЛАМБЕРА слайды)

4. Итоги урока (слайд 20)

Обучающиеся проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят. При выходе из кабинета каждый обучающийся выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт.

8. Итоги урока

Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят.

9. Домашнее задание § 20; №20.8; 20.9; сборник подгот. к ОГЭ, вар.12, №1-8;

Задачи:

1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

2. Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше чем 4?

3. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

4. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза?

5. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5- из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

6. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решения к задачам

1. Случайный эксперимент – бросание жребия. Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечислим их:

(Вася), (Петя), (Коля) и (Лёша).

Общее число элементарных событий N = 4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны. Событию A = {жребий выиграл Петя}

благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1.

Тогда .

Ответ: 0,25.

2. Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие –число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные события: 1,2,3,4,5 и 6. Значит, N=6. Событию A={выпало больше, чем 4} благоприятствует два элементарных события: 5 и 6. Поэтому N(A) = 2. Элементарные события равновозможны, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому .

Ответ: .

3. Элементарный исход в этом опыте – порядочная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе – на втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных событий N = 3.

1 2 3 4 5 6

2	3	4	5	6	7
3	4	5	6	7	8
4	5	6	7	8	9
5	6	7	8	9	10
6	7	8	9	10	11
7	8	9	10	11	12

1

2

3

4

5

Напишем в каждой клетке таблицы сумму выпавших очков и закрасим клетки где сумма равна 8. Таких ячеек 5. Значит событию А = {сумма равна 8} благоприятствует пять элементарных исходов. Следовательно, N(A) = 5.

Поэтому

Ответ:

1. Орёл обозначим буквой О, решку – буквой Р. В описанном эксперименте элементарные исходы – тройки, составленные из букв О и Р. Выпишем все их в таблицу:

Элементарный исход	Число орлов
ООО	3
ООР	2
ОРО	2
ОРР	1
РОО	2
РОР	1
РРО	1
РРР	0

Всего исходов получилось 8. Значит, N=8. Событию А = {орёл выпал ровно два раза} благоприятствует элементарные события ООР, ОРО, РОО. Поэтому N(A)=3. Тогда

Ответ: 0,375.

5. Элементарный исход – спортсмен, который выступает последним. Последним может оказаться любой спортсмен. Всего спортсменов N=4+7+9+5+5=25. Событию А = {последний из Швеции} благоприятствуют только 9 исходов (столько, сколько участвует шведских спортсменов). Поэтому N(A)=9.

Тогда

Ответ: 0,36.

6. Элементарные события – спортсменка, выступающая первой. Поэтому N=20. Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию А = {первой выступает спортсменка из Китая}, нужно подсчитать число спортсменок из Китая: N(A)=20-(8+7)=5. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому

Ответ: 0,25.

7. Элементарный исход – случайно выбранная сумка. Поэтому N = 108.

Событию А = {качественная сумка} благоприятствуют 100 исходов.

Поэтому N(A) = 100.

Тогда

Ответ: 0,93.

Методическая информация

Методологическая база:

1. программа: Математика. 5 – 6 классы. Алгебра. 7 – 9 классы. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы. Авторы – составители И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. Москва: Мнемозина, 2009 год.

2. УМК:

• А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник;

• А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник;

• И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь/ Под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Москва. Издательство МЦНМО, 2012;

• Задача В10. Открытый банк заданий по математике. ЕГЭ 2012.

1. интернет – источники:

http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/1_3/;

http://ssau2011.narod2.ru/l1.htm;

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%E2%E5%F0%EE%FF%F2%ED%EE%F1%F2%E5%E9;

http://redpencil.ru/index2.php?option=com_content&task=view&id=92&pop=1&page=0&Itemid=35.

Муниципальное  образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №32

Вероятность события

(урок с элементами исследования в 8 классе)

                                                                                          Разработала и провела

                                                                                          Александрова Э.В.

                                                                                                      учитель математики

Подольск,

2014 г.

Тема урока: Вероятность  события

8 класс

«Истинная логика нашего мира – правильный подсчет вероятностей»

Джеймс Максвелл

Тип урока: урок изучения нового материала, с элементами исследования

Цели урока: 

-образовательная: в  результате урока учащиеся формируют понятия  события, видов  

 событий, вероятности события;

      — развивающая: учащиеся развивают:  навыки выделения элементов математической    

        модели при решении текстовых задач; умения применять теоретические знания на

        практике, умения формулировать выводы при наблюдениях.

      — воспитательная: в результате урока учащиеся совершенствуют коммуникативные

        навыки

Оборудование:

       —  двенадцать 5-ти рублёвых монет

 — компьютер

 — мультимедийный проектор и экран;

  — авторская презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power Point;

Содержание урока

1. Организационный момент

1. Актуализация опорных знаний

Вступительное слово учителя:

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики,  – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

 Итак, у вас на парте лежит монета. Если подбросить монету, какой стороной она ляжет вверх?

Учащиеся разделяются на 2 группы: одни учащиеся  считают, что  выпадет «Орёл», а другие – «Решка».

Учитель: «Проверьте своё предположение. Что получили?»

У некоторых учащихся прогноз подтвердился, а у других нет.

Учитель: «Все зависит от случая. Может показаться, что в подобных задачах нет никаких закономерностей. Но что происходит при большом количестве бросков?» Проведём исследование.

Математическое исследование 

Учитель: «Ваша задача: провести серию экспериментов (10 испытаний) с подбрасыванием  монеты и фиксированием результатов выпадения орла и решки на листе». Лист лежит на краю парты

Учитель: «Что происходит с увеличение числа испытаний?» 

Ученик, которому было дано индивидуальное домашнее задание, демонстрирует полученные результаты

К-во испытаний Исход	10	30	100	150
Орёл	7	18	54	76
Решка	3	12	46	74

Учащиеся:  При большом количестве бросков примерно в половине случаев выпадает “орел” .

Учитель: «Какую долю занимает количество появления орла и решки по отношению к общему количеству испытаний?»

Учащиеся:  Приблизительно половина —  0,5

Учитель: Числовая оценка шансов на успех стара как мир.

Французский естествоиспытатель Жорж Бюссон (1707-1788) бросал монету 4040 раз, и “орел” выпал в 2048 случаях. Английский математик Чарльз Пирсон (1857-1936)  — 24000 раз подбросил монету, “орел” выпал 12012 раз. 

Вывод: Результаты бросания монеты обладают некоторой закономерностью, хотя итог каждого броска неизвестен.

Учитель: В практической деятельности человеку  часто не требуется знать исход одного испытания, но необходимо знать закономерности, появляющиеся при проведении большого числа испытаний.

1. Изучение нового материала

Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, изучением которых  занимается раздел математики, который называется «теорией вероятностей»

Основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров:

«Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Основным понятием в теории вероятности является событие. 

Учитель: Что  понимают под словом событие?

Учащиеся : Событием называется результат опытов наблюдений или испытаний.

В ходе фронтальной беседы формулируются определения

Достоверное событие  – событие, которое при данных условиях всегда произойдет , например, в ящике 10 белых шаров, то событие извлеченный шар – белый – достоверное.

Невозможное событие – то, которое в данных условиях не может произойти. В  ящике 10 белых шаров, то событие вытащить черный шар — невозможное.

Случайным называется событие, результат которого мы не можем точно предсказать заранее. При бросании монеты событие – выпал орёл – случайное.

Равновозможные – события, любое из которых не обладает никаким преимуществом появляться чаще других при многократных испытаниях.

Учитель:  Возьмем игральный кубик, то при бросании этого кубика каковы шансы выпадения на его верхней грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков?

Учащиеся: Одинаковы, т.к. нет оснований считать, что выпадение одного из очков, например 6 более вероятно, чем 2.

Фронтальная работа  (первичный контроль)

1.О каком событии идёт речь? «Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 февраля».

А) достоверное;

 В) невозможное;  

 С) случайное

2. Это событие является случайным:

А) слово начинается с буквы «ь»;

В) ученику 8 класса 6 месяцев;

С) бросили две игральные кости: сумма выпавших на них очков равна 8.

3. Найдите достоверное событие:

А) На уроке математики ученики   делали физические упражнения;

В) Сборная России по футболу не станет чемпионом мира 2005 года;

 С) Подкинули монету и она упала на «Орла».

4. Среди пар событий, найдите несовместимые.

А) В сыгранной Катей и Славой партии шахмат, Катя проиграла и Слава проиграл.

В) Из набора домино вынута одна костяшка, на ней одно число очков больше 3, другое число 5.

С) Наступило лето, на небе ни облачка.

5. Колобок катится по лесным тропкам, куда глаза глядят. На полянке его тропинка расходится на четыре тропинки, в конце которых Колобка поджидают Заяц, Волк, Медведь  и Лиса. Сколько исходов для выбора Колобком наугад одной из четырёх тропинок?

А) 1;    

В) 4;    

С) 5

Учитель: Итак, мы выяснили что такое событие, испытание. А что же  такое вероятность события?

А – некоторое событие,

m – количество исходов, при которых событие А появляется,

n – конечное число равновозможных исходов.

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов:

Такое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим.

Рассмотрим применение данной формулы при решении задачи.

Видео разбор решения задачи 1: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет число меньше 4?

1. Осмысление  изученного материала

Задача2:

Мама, папа, сын и дочка бросили жребий – кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть папа.

Учащиеся самостоятельно записывают решение и проверяют его по слайду 15    

3 и 4  задачи решают два ученика у доски

 3. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

4 . В мешочке 5 карточек. На каждой карточке написана одна из букв О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вытянутых по одной и разложенных в линию карточках можно будет прочесть слово “СПОРТ”?

5. Первичный контроль ЗУН

Затем учащиеся решают задачи по вариантам

I вариант 1. Маша, Лена, Маша, Таня и Коля  бросили жребий – кому идти в магазин. Найдите вероятность того, что в магазин  надо будет идти Тане. 2. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам  участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шахматистов, среди которых 4 участника из России, в том числе Александр Русов. Найдите вероятность того, что в первом туре Александр Русов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

II вариант 1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок  приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной 2. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них  встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется   вопрос по ботанике.

Учащиеся сдают работы на проверку учителю.

1. Рефлексия

Ребята, а сейчас  оцените свою работу и общее впечатление от занятия тезисом или афоризмом.

1. Подведение итога. Выставление оценок.

1. Домашнее задание

      № 568, 571, 574

Содержание:

1. Случайные опыты и события
2. Элементарные события
3. Частота события
4. Формула классической вероятности
5. Комбинаторные методы решения вероятностных задач
6. Геометрическая вероятность
7. Операции над событиями
8. Несовместные события. Формула сложения вероятностей
9. Совместные события. Формула сложения вероятностей
10. Независимые события. Формула умножения вероятностей
11. Зависимые события. Формула умножения вероятностей
12. Сложение и умножение вероятностей
13. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Элементы теории вероятности

Элементы теории вероятностей

Теория вероятностей (ТВ) — раздел математики, изучающий вероятности событий. ТВ разрабатывает методы, с помощью которых можно вычислить вероятности одних событий, зная вероятности других. ТВ изучает также случайные величины и их распределения.

Случайные опыты и события

То или иное событие может осуществиться только при определенных условиях.

Определение. Случайное событие -событие, которое может наступить в ходе некоторого опыта, а может не наступить.

Например, при бросании игральной кости невозможно предсказать, какая из шести граней выпадет.

Определение. Те условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие, называют случайным опытом (экспериментом, испытанием).

Например, в опыте «подбрасывание симметричной монеты» возможно случайное событие «появление орла».

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Элементарные события

В каждом опыте можно выделить такие элементарные события, из которых состоят все остальные события.

Определение. События, которые нельзя разбить на более простые, называют элементарными событиями (исходами, случаями).

• Например, событие «выпало четное число очков» при бросании игральной кости состоит из трех элементарных событий: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков».

Определение. Элементарные события, при которых наступает событие А, называют элементарными событиями, благоприятствующими (благоприятными) событию А.

Например, событию «сумма очков на обеих костях равна 7» при двойном бросании игральной кости благоприятствуют только шесть элементарных событий (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).

Определение. Элементарные события, шансы наступления которых одинаковы, называют равновозможными событиями.

Примером может служить опыт, состоящий в бросании правильной игральной кости. В этом опыте шесть элементарных событий, и все они равновозможны.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Частота события

Пусть при проведении п случайных опытов событие А наступило к раз. Частотой события А называют отношение

Сумма частот всех элементарных событий случайного опыта равна единице.

Пример 10.

Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Найдите частоту рождения мальчика в такой серии наблюдений.

Решение:

Определим событие А -«рождение мальчика». Из условия задачи имеем . Тогда частота события А в данной серии наблюдений равна

Ответ: 0,515.

Формула классической вероятности

Вероятность — есть число, характеризующее возможность наступления события.

Определение. Вероятностью Р события А называют отношение числа т исходов, благоприятных этому событию, к общему числу л исходов

Сумма вероятностей всех элементарных событий случайного эксперимента равна 1.

Пример 11.

Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты, не возвращая карту обратно. Какова вероятность того, что они одного цвета?

Решение:

Обозначим через А событие «обе карты одного цвета». Подсчитаем общее количество исходов, используя правило умножения « = 36-35 (для первой карты 36 вариантов, для второй — 35 вариантов). Количество благоприятствующих исходов m =36 17(для первой карты 36 вариантов, для второй — 17 вариантов). Искомая вероятность

Ответ:

Комбинаторные методы решения вероятностных задач

Умение находить число перестановок, размещений, сочетаний по формулам позволяет также решать задачи на вычисление вероятности.

Пример 12.

В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября, которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить два мальчика.

Решение:

Обозначим через А событие «будут дежурить два мальчика». Общее число исходов (число сочетаний из 21 по

2) Число благоприятных исходов (число сочетаний из 7 по

2) . Согласно определению вероятности имеем

Ответ: 0,1.

Геометрическая вероятность

Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события А есть отношение меры А (длины, площади, объема и т.д.) к мере О пространства элементарных событий.

Пример 13.

В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

Решение:

Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

Ответ: =0,4137.

Операции над событиями

Действия над случайными событиями определяют по аналогии с действиями в теории множеств.

Определение. Суммой (объединением) событий А и В называют событие (обозначение ), состоящее в появлении либо только события А, либо только события В. либо и события А и события В одновременно.

Фразу «наступит или событие А или событие В или оба события А и В» обычно заменяют фразой «наступит хотя бы (по крайней мере) одно из данных событий».

Пример 14.

Если событие А — попадание в цель при первом выстреле, событие В — попадание в цель при втором выстреле, то событие С = А + В есть попадание в цель вообще (или только при первом выстреле, или только при втором выстреле, или при 1-м и при 2-м выстрелах).

Определение. Событием, противоположным событию А, называют событие (обозначение ), которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А.

Выпадение герба и выпадение решки при одном бросании монеты, попадание и промах при одном выстреле — события противоположные.

Определение. Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие (обозначение АВ или ), состоящее в совместном выполнении события А и события В .

Пример 15.

Если событие А — попадание в цель при первом выстреле, событие В — попадание в цель при втором выстреле, то событие С = АВ есть попадание при обоих выстрелах (и при первом выстреле и при втором выстрелах).

Несовместные события. Формула сложения вероятностей

Рассмотрим теоремы, при помощи которых по вероятностям одних случайных событий вычисляют вероятности других случайных событий.

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы — три несовместных события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна 1:

Пример 16.

Зачет по стрельбе курсант сдаст, если получит оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что курсант получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,6?

Решение:

Данный опыт состоит в том, что проведены стрельбы и по ним курсант получил оценку. В этом опыте обозначим через А событие «по стрельбе курсант получил оценку 5» и через В событие «по стрельбе курсант получил оценку 4». Эти события несовместны. Событие С «зачет сдан» является их суммой С = А + В . Из условия задачи следует, что вероятности и . По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем:

Ответ: 0,9.

Пример 17.

Наудачу берется трехзначное число. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

Решение:

Данный опыт состоит в том, что наудачу берется натуральное число из чисел от 100 до 999 и смотрят, есть ли в нем одинаковые цифры. Очевидно, что исходы «взяли наудачу трехзначное число» равновероятны, число этих исходов т = 900 . Введем событие А «у выбранного числа совпадают хотя бы две цифры». Проще подсчитать вероятность противоположного события А «у выбранного числа все цифры различны». Количество благоприятных событий равно .

Тогда и

Ответ: 0,28.

Совместные события. Формула сложения вероятностей

Рассмотрим формулу для вероятности суммы двух событий в общем случае (не обязательно несовместных).

Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появления решки на другой монете.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть

Частным случаем приведенной формулы является формула сложения вероятностей для несовместных событий, так как их совместное наступление есть невозможное событие и Р(АВ) = 0.

Для случая трех совместных событий формула имеет вид:

Пример 18.

Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если выходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока составляет 0,9, второго — 0,8, обоих блоков — 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.

Решение:

Обозначим через А событие «первый блок работает безотказно в течение определенного промежутка времени», через В событие «второй блок работает безотказно в течение определенного промежутка времени», через АВ событие «оба блока работают безотказно в течение определенного промежутка времени». Событие С «прибор работает безотказно в течение определенного промежутка времени» является суммой событий А и В: С = А + В . Из условия задачи известны вероятности Р( А) = 0,9,

. По формуле сложения вероятностей имеем:

Ответ: 0,95.

Рассмотрим обратную задачу.

Пример 19.

Школьнику надо сдать зачет по математике. В каждом билете — по два вопроса. Всего 25 билетов. Из них 5 билетов школьник вообще не учил. В каждом из оставшихся 20 билетов он хотя бы один вопрос выучил, причем в 18 билетах школьник выучил первый вопрос и в 15 билетах — второй вопрос. Школьник может получить удовлетворительную оценку, если вытащит такой билет, оба вопроса которого он знает. Какова вероятность того, что школьник сдаст зачет, если он первый тянет билет?

Решение:

Обозначим через А событие «школьнику достанется билет, первый вопрос которого он знает», через В событие «школьнику достанется билет, второй вопрос которого он знает», тогда событие А + В означает, что «школьник знает хотя бы один вопрос из 20».

Надо определить Р(АВ), где событие АВ означает, что «школьник ответит на 2 вопроса билета». Событию АВ благоприятствуют 20 вопросов из 25, поэтому

Так как из условия задачи имеем вероятности , то из формулы сложения вероятностей получаем:

Ответ: 0,52.

Независимые события. Формула умножения вероятностей

Часто возникает вопрос о том, как влияет на возможность осуществления некоторого события В наступление некоторого другого события А.

Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления)двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема обобщается на любое число попарно независимых событий.

Следствие. Вероятность появления хотя бы одного события из л попарно независимых событий равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть

Пример 20.

Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Чему равна вероятность того, что:

а) потребитель увидит обе рекламы;

б) потребитель увидит хотя бы одну рекламу?

Решение:

Обозначим через А событие «потребитель увидит рекламу продукта по телевидению», через В событие «потребитель увидит рекламу продукта на рекламном стенде». События А и В независимые.

а) Событие С «потребитель увидит обе

рекламы» является произведением событий . Из условия задачи известны вероятности и

По формуле умножения вероятностей независимых событий имеем:

б) Определим событие D «потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Тогда получаем:

Ответ: а) 0,0024; б) 0,0976.

Зависимые события. Формула умножения вероятностей

В теории вероятностей характеристикой связи событий служит так называемая условная вероятность.

Определение. Условной вероятно-С7ль/о(обозначение ) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, то есть

Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий. Например, для трех событий формула имеет вид

Пример 21.

В урне 6 шаров — 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Пусть событие Бх состоит в том, что первый шар белый, а событие Б₂ — второй шар белый. Из условия задачи имеем вероятность

После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 5 шаров и среди них 1 белый. Тогда получаем . По теореме умножения зависимых событий находим

Ответ:

Рассмотрим обратную задачу.

Пример 22.

В рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы — женщины, а 6,4% работников — женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Решение:

Переформулируем задачу: какова вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?

Определим событие А — «случайно выбранный работник — женщина», событие В — «случайно выбранный работник имеет высокую заработную плату».

Имеем

Так как 0,16 меньше, чем 0,21, то можно заключить, что женщины, работающие в этой рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

Сложение и умножение вероятностей

Рассмотрим задачи, в которых используют обе теоремы: сложения вероятностей и умножения вероятностей.

Пример 23.

С первого станка на сборку поступает 40% , со второго — 30% и с

третьего — 30% всех деталей. Вероятности изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная.

Решение:

Обозначим через события, состоящие в том, что деталь изготовлена соответственно на первом станке, втором станке и третьем станке. Пусть события означают, что деталь, изготовленная соответственно на первом станке, втором станке и третьем станке, бракованная. Из условия задачи следует, что вероятности . Событие «наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная» является суммой трех несовместных событий

По формуле сложения вероятностей несовместных событий, а затем по формуле умножения вероятностей зависимых событий имеем:

Ответ: 0,028.

Повторение испытаний. Формула Бернулли

В одном опыте нас интересует один вопрос, произойдет или не произойдет некоторое событие. В серии опытов (испытаний) важен вопрос, сколько раз произойдет или не произойдет данное событие.

Например, игральный кубик бросили 10 раз подряд. Какова вероятность того, что «пятерка» выпадет ровно три раза?

Математик Я. Бернулли объединил такие примеры в единую вероятностную задачу (схему).

Рассматривают независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называют «успех» и «неудача». Какова вероятность того, что при n таких повторениях произойдет ровно к «успехов»?

Эту вероятность можно найти по формуле Бернулли

где вероятность появления события А в одном опыте равна р, а его непоявления равна

Пример 24.

В части А Единого государственного экзамена по математике в 2005 году было 10 заданий с выбором ответа. К каждому из них предлагается 4 варианта ответа, из которых только один верный. Если ученик не знает предмет и отвечает наугад, то с вероятностью он выберет правильный ответ, а с вероятностью — ошибется. Для получения положительной оценки за экзамен необходимо правильно ответить минимум на 6 заданий. Какова вероятность того, что нерадивый ученик сдаст экзамен?

Решение:

Из условия задачи имеем

Тогда получаем по формуле Бернулли

Ответ: 0,016.