Определение статистических ошибок при радиометрических измерениях

6. схема распада изотопа: некоторые изотопы имеют сложную схему радиоактивного распада, при котором может образовываться более, чем одна частица, вызывающая образование импульса напряжения в детекторе; например:

3890 Sr → 9039 Y + β − +ν e → 4090 Zr + β − +ν e

Изменяя конструкцию детектора или форму препарата можно существенно увеличить эффективность счета. Приведем некоторые примеры.

Существуют 4π-счетчики, работа которых основана на том, что радиоактивный образец вносится внутрь чувствительного объема счетчика, что позволяет регистрировать излучение, испускаемое во всех направлениях, т.е. в пределах полного телесного угла 4π.

Близкая к 4π геометрия осуществляется в жидкостных сцинтилляционных детекторах, полупроводниковых и других детекторах с каналами («колодцами») для размещения источников. На рисунке 14 изображен твердый цилиндрический кристалл NaI в сцинтилляционном счетчике, выполненный в виде колодца, в который помещается пробирка с анализируемым образцом. Такая конструкция сцинтиллятора позволяет значительно улучшить геометрию расположения измеряемого образца относительно детектора и повысить эффективность счета, добиваясь почти полного поглощения γ-квантов.

Рис. 13. Сцинтилляционный колодезный детектор (слева – внешний вид; справа – схема расположения образца)

Вслучае измерения низкой удельной активности образца (например,

вприродных образцах) меняют не конструкцию детектора, а форму источ-

22

ника излучения, размещая его непосредственно на детекторе. Пример такого контейнера, который окружает детектор, – сосуд Маринелли (рис.14).

Рис. 14. Сосуд Маринелли (слева – внешний вид; справа – схема внутреннего строения)

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Цель работы – измерить и сравнить эффективности счета эталонных препаратов (с известной активностью), находящихся на разных позициях свинцового домика. В работе используются следующие препараты:

90Sr – источник β-излучения (Eβ = 0,55 и 2,28 МэВ);

137Cs – источник β-излучения (Eβ = 0,51 МэВ) и γ-излучения (Eγ= 0,66 МэВ);

60Co – источник γ-излучения (Eγ = 1,17 и 1,33 МэВ). Препарат изготовлен таким образом, что β-излучение, которое также возникает при распаде 60Co, поглощается слоем плексигласа, расположенном сверху препарата, поэтому в нашем случае 60Co – источник только γ-излучения.

Порядок выполнения работы

1. Включите радиометр «Эксперт-М», установите режим измерения – 100 с.

2.Измерьте количество импульсов (nф) при пустом домике (радиационный фон). Рассчитайте скорость счета фона Nф = nф/tф, [имп/с].

3.Дальнейшие измерения проводите в режиме 10 с. Измерьте количество импульсов (n) и рассчитайте скорость счета предложенных препаратов

(N = n/t) и скорость счета с учетом фона (Nпр = N – Nф), поместив их сначала на подложке на верхнюю позицию свинцового домика, а затем – на дно домика. Результаты запишите в таблицу.

23

4.Данные об абсолютной активности препаратов (Aпр) записаны на оборотной стороне каждого препарата.

5.Рассчитайте эффективности счета всех препаратов для разных позиций

в свинцовом домике. F = Nпр • 100 %

Апр

6.Сделайте вывод, в котором объясните, как и почему вид и энергия излучения, а также позиция препарата в свинцовом домике влияют на эффективность счета препаратов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Что такое эффективность счета? От каких факторов она зависит?

2.Для чего при радиометрических измерениях необходимо знать эффективность счета?

3.Можно ли на радиометре «Эксперт-М» зарегистрировать α-излучение? Почему?

4.Какой вид излучения (α-, β- или γ-излучение) регистрируется на радиометре «Эксперт-М» с наибольшей эффективностью? Почему?

5.Расположите радионуклиды в порядке увеличения их эффективности регистрации на радиометре «Эксперт-М»: 3Н, 32Р, 14С. (Характеристики радионуклидов см. в Приложении, табл.1). Объясните, почему Вы выбрали такую последовательность.

6.Рассчитайте эффективность счета в %, если скорость счета препарата (Nпр) равна 50 имп/с, а его активность – 200 имп/с.

7.Измеренная скорость счета фона равна 2 имп/с, а скорость счета препарата (N) – 62 имп/с. Чему равна активность данного препарата, если эффективность регистрации составляет 20%?

24

Лабораторная работа № 3

Определение периода полураспада неизвестного радионуклида и его идентификация

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 3.1. Закон радиоактивного распада

Количество радионуклидов, претерпевающих ядерные превращения за какой-либо промежуток времени, определяется только степенью нестабильности их ядер и не зависит от любых факторов, обычно влияющих на скорость физических и химических процессов (давления, температуры, химической формы вещества и др.). Распад каждого отдельного атома – событие совершенно случайное, однако, при наличии в системе достаточно большого числа радиоактивных атомов процесс распада подчиняется стро-

гому статистическому закону – закону радиоактивного распада:

За единицу времени распадается всегда одна и та же часть имеющихся в наличии ядер радиоактивного вещества.

Интегральная форма закона радиоактивного распада имеет вид:

Nt = N0 • e−λt

где N0 – исходное число радиоактивных атомов,

Nt – число радиоактивных атомов, оставшихся через интервал времени t; λ – постоянная распада, характеризующая степень нестабильности радионуклида (константа распада); ее физический смысл – вероятность распада; е – основание натурального логарифма (2,718).

Количество распадов атомов, происходящих в единицу времени, (или скорость радиоактивного распада) называют активностью радиоактивного препарата или образца (А). Активность препарата зависит от количества радиоактивных атомов (Nt) в данный момент времени (t) и от степени их нестабильности:

А = Nt • λ;

Единицы измерения активности – беккерель [Бк] и кюри [Ки]. Уменьшение активности радиоактивного источника с течением вре-

мени также подчиняется основному закону радиоактивного распада:

Аt = А0 • e−λt

Поскольку активность зависит от числа радиоактивных атомов, то эта величина является количественной мерой содержания радионуклидов в изучаемом образце.

25

Для характеристики радиоактивного распада часто вместо λ пользуются другой величиной – периодом полураспада. Период полураспада

(Т1/2) – это промежуток времени, в течение которого в среднем распадается половина исходного количества радиоактивных атомов.

По прошествии одного периода полураспада остается 1/2 часть исходного количества атомов (N0/2), после двух периодов полураспада – только 1/4 часть, после трех – 1/8, после четырех – 1/16 и т.д.

Подставляя эти значения в закон радиоактивного распада, получаем:

N0/2 = N0 • e –λT1/2; отсюда 1/2 = e –λT1/2; а e λT1/2 = 2

или λT1/2 = ln2

Период полураспада и постоянная распада связаны следующим соотношением:

T1/2 = ln2/ λ = 0,693 / λ

Период полураспада, наряду с типом распада и энергией излучения, является важнейшей характеристикой любого радионуклида (см. Приложения, табл.1).

Графический вид закона радиоактивного распада – это экспоненциальная зависимость числа радиоактивных атомов от времени (рис.15А).

N0

N0/2

N0/4

N0/8

Рис. 15. А – кривая радиоактивного распада (время откладывается в величинах, кратных периоду полураспада, Т1/2); Б – график радиоактивного распада в полулогарифмическом масштабе для определения величины постоянной распада (λ)

26

• e−λt

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Цель работы – определить период полураспада неизвестного радионуклида и провести его идентификацию.

Принцип работы

Период полураспада можно определить экспериментально по уменьшению активности, а значит и скорости счета препарата.

Активность препарата с течением времени изменяется по закону радиоактивного распада:

Аt = А0 • e−λt

При работе с радиометрической аппаратурой непосредственно измеряемой величиной является не активность, а скорость счета препарата (Nпр). Причем, эти величины связаны соотношением: А = Nпр• F, где F – это эффективность счета (см. лаб. работу №2). Если F не меняется (условия измерения постоянные), то изменение во времени скорости счета радиоактивного препарата также должно подчиняться закону радиоактивного распада:

Nпрt = Nпр0

Для определения периода полураспада (Т1/2) или постоянной распада (λ) по экспериментальным данным используется полулогарифмическое представление данных, т.е. lnNi = f(t). Выполнив преобразования, получаем выражение для определения постоянной распада (λ):

lnNпрt = lnNпр0 – λ t , λ = (lnNпр0 – lnNпрt) / t

На практике препарат помещают в стандартную позицию относительно детектора радиоактивности и измеряют скорость счета (Nпр t) в разные моменты времени. На рисунке 15А изображена кривая распада радиоактивного изотопа. По горизонтальной оси отложено время (t), по вертикальной оси – скорость счета (Nпр). Кривая является экспонентой (у = аеbx). Если построить график в полулогарифмическом масштабе (по оси абсцисс – время (t), по оси ординат – натуральные логарифмы скорости счета lnNпр), то зависимость изобразится прямой линией, тангенс угла наклона которой будет равен постоянной распада tgα = λ (рис. 15Б)

27

На рис. 15Б экспериментальные точки отмечены кружками. В силу статистического характера радиоактивного распада, а также случайных ошибок измерений точки оказываются разбросанными вокруг истинных значений скоростей счета. По экспериментальным точкам строится прямая линия, которая усредняет разброс. Общее время наблюдения процесса распада должно обеспечивать заметное уменьшение активности и быть сравнимым с величиной периода полураспада. Взяв на полученной прямой значения логарифмов в двух любых точках достаточно удаленных друг от друга, соответствующих моментам времени t1 и t2, рассчитывают постоянную распада по формуле, которая вытекает из приведенного выше соотношения, если заменить Nпр0 и Nпрt на N1 и N2 и учесть, что t = t2 – t1:

λ = ln N1 −ln N2 t2 −t1

Период полураспада рассчитывается по формуле: T1/2 = ln2/ λ =

0,693/ λ.

Если в полулогарифмическом масштабе вместо прямой линии получается кривая, то это свидетельствует о наличии в препарате более, чем одного радиоактивного изотопа.

Порядок выполнения работы

1.Данная лабораторная работа выполняется по результатам измерений, выданных преподавателем каждому студенту индивидуально.

2.В задании представлены: а) скорость счета фона Nф [имп/с], б) время одного измерения данного препарата (100 с), в) время начала каждого последующего измерения (всего выполнено 10 измерений; время первого измерения принято за нулевое), г) число импульсов (n), полученных при каждом измерении.

3.Заполните представленную ниже таблицу и рассчитайте Nпр и lnNпр для каждого измерения.

4.Постройте на миллиметровой бумаге график зависимости lnNпр от относительного времени t начала счета. Старайтесь выбрать такой масштаб,

чтобы график занял весь лист (по оси ординат значения lnNпр можно откладывать не от нуля, а от наименьшего значения lnNпр). Через полученные экспериментальные точки проведите прямую линию так, чтобы она проходила максимально близко ко всем экспериментальным точкам.

5.На полученной прямой произвольно выберите две точки, достаточно

удаленные друг от друга, определите значения lnN1, lnN2, t1 и t2 и рассчитайте постоянную распада λ с точностью до трех значащих цифр.

6.Рассчитайте период полураспада радионуклида.

28

7.Пользуясь справочной таблицей радиоактивных изотопов (см. Приложения, табл. 2), определите, какой радионуклид был взят для работы.

8.Оцените точность полученного результата.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.По какому закону распадаются радиоактивные атомы?

2.Можно ли ускорить или замедлить процесс распада радиоактивных атомов?

3.Что такое период полураспада?

4.Что характеризует постоянная распада? Как она связана с периодом полураспада?

5.Каковы области использования закона радиоактивного распада?

6.Какие из предложенных радионуклидов относятся к короткоживущим, а какие – к долгоживущим: 131I, 14С, 3Н, 40K, 137Cs, 32P? (Характеристики радионуклидов см. в Приложении, табл.1).

7.Нужно ли учитывать в вегетационных опытах с радиоактивными изотопами распад 14С и 32Р, если опыты проводятся в течение месяца? Почему?

8.Сколько времени нужно выдержать на распад короткоживущий радионуклид 110Sn (Т1/2 = 4,0 ч), чтобы активность его снизилась примерно а)

в10 раз; б) в 100 раз; в) в 1000 раз?

9.Если период полураспада 137Cs – 30 лет, то во сколько раз уменьшится число радиоактивных атомов через 90 лет?

10.В год аварии на Чернобыльской АЭС уровень загрязнения земель 137Cs

водном из поселков Брянской области составлял 30 Ки/км2. Какой будет уровень загрязнения земель в этом году, если условно считать, что уменьшение активности происходит только за счет радиоактивного распада?

29

Лабораторная работа № 4

Определение статистических ошибок при радиометрических измерениях

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

4.1. Виды ошибок измерения

Цель любого измерения – получить результат наиболее приближенный к истинному значению и оценить погрешность этого результата.

При измерении любой физической величины возникают ошибки, влияющие на результат измерений. Их можно разделить на две группы:

систематические и случайные.

Систематические ошибки связаны с особенностями используемой аппаратуры и принадлежностей, такими как класс точности, степень износа, приводящая к постоянно появляющейся погрешности и т.п. Такие ошибки, как правило, отклоняют результат в одну сторону, и их необходимо устранять наладкой или ремонтом измерительных приборов, совершенствованием методики измерений.

Случайные ошибки появляются спонтанно, неконтролируемо и могут непредсказуемо изменять результат в ту или иную сторону и в разной степени. Ошибки такого рода нельзя устранить, но можно установить предел их влияния. Случайные ошибки складываются из ошибок работы прибора (аппаратурные), экспериментатора, ошибок, связанных с изменением условий измерения, а также связаны с флуктуациями (изменением) самой измеряемой величины. При радиометрических измерениях скорости счета радиоактивного препарата отклонения результата от некоторого среднего значения обусловлены, главным образом, статистическим характером радиоактивного распада – флуктуациями числа распадов атомных ядер.

При оценке достоверности экспериментальных результатов необходимо быть уверенным в том, что систематические ошибки исключены, а что касается случайных ошибок, то задача сводится к учету их влияния на результаты измерений.

Как же оценить суммарную ошибку результата измерения и вклад отдельных составляющих, в частности ошибки, обусловленной статистическим характером радиоактивного распада? Для этого проводится математическая обработка результатов измерения, основанная на общей теории случайных ошибок.

30

4.2. Элементы общей теории случайных ошибок

Обозначим через xi конкретные значения измеряемой величины, где i = 1,2…k – количество повторностей, тогда среднее арифметическое определяется так:

Очевидно, что чем больше повторностей, тем точнее определено среднее значение.

Отклонения наблюдаемых значений xi от среднего называются абсолютными ошибками отдельных измерений:

εi = ± (xi – x ).

Средняя ошибка отдельного измерения не является достаточной характеристикой разброса полученных данных. В качестве меры рассеяния случайных величин относительно среднего значения принято использовать дисперсию.

Дисперсией случайной величины х называют среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Дисперсия учитывает не только разброс отдельных значений, но и частоту появления любых отклонений. Чем чаще встречаются большие отклонения, тем больше дисперсия. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Средняя квадратичная ошибка отдельного измерения по отноше-

нию к среднему арифметическому значению x (или стандартное отклонение) σх равно корню квадратному из дисперсии и определяется по формуле:

∑k (xi − x)2

σx = ± i=1 k −1

Смысл параметра σх можно уяснить из рассмотрения нормального распределения непрерывной случайной величины (распределения Гаусса). Закон Гаусса связывает величину случайной ошибки εi с плотностью вероятности ее появления р(εi). График нормального распределения ошибок имеет вид колоколообразной кривой. На рис. 16 приведены две кривые распределения ошибок.

31

25
Лабораторная работа № 3
Определение периода полураспада неизвестного
радионуклида и его идентификация
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
3.1. Закон радиоактивного распада
Количество радионуклидов, претерпевающих ядерные превращения за какой-либо промежуток времени, определяется только степенью неста- бильности их ядер и не зависит от любых факторов, обычно влияющих на скорость физических и химических процессов (давления, температуры, химической формы вещества и др.). Распад каждого отдельного атома – событие совершенно случайное, однако, при наличии в системе достаточно большого числа радиоактивных атомов процесс распада подчиняется стро- гому статистическому закону – закону радиоактивного распада:
За единицу времени распадается всегда одна и та же часть имею-
щихся в наличии ядер радиоактивного вещества.
Интегральная форма закона радиоактивного распада имеет вид:
N
t
= N
0
•
e
−λ
t
где N
0
– исходное число радиоактивных атомов,
N
t
– число радиоактивных атомов, оставшихся через интервал времени t;
λ – постоянная распада, характеризующая степень нестабильности радио- нуклида (константа распада); ее физический смысл – вероятность распада;
е – основание натурального логарифма (2,718).
Количество распадов атомов, происходящих в единицу времени, (или скорость радиоактивного распада) называют активностью радиоактив-
ного препарата или образца (А). Активность препарата зависит от коли- чества радиоактивных атомов (N
t
) в данный момент времени (t) и от сте- пени их нестабильности:
А = N
t
•
λ
;
Единицы измерения активности – беккерель [Бк] и кюри [Ки].
Уменьшение активности радиоактивного источника с течением вре- мени также подчиняется основному закону радиоактивного распада:
А
t
= А
0
•
e
−λ
t
Поскольку активностьзависит от числа радиоактивных атомов, то эта величина является количественной мерой содержания радионукли-
дов в изучаемом образце.

26
Для характеристики радиоактивного распада часто вместо
λ пользу- ются другой величиной – периодом полураспада. Период полураспада
(Т
1/2
) – это промежуток времени, в течение которого в среднем распада-
ется половина исходного количества радиоактивных атомов.
По прошествии одного периода полураспада остается 1/2 часть исход- ного количества атомов (N
0
/2), после двух периодов полураспада – только
1/4 часть, после трех – 1/8, после четырех – 1/16 и т.д.
Подставляя эти значения в закон радиоактивного распада, получаем:
N
0
/2 = N
0
•
e
–λT
1/2
; отсюда 1/2 =
e
–λT
1/2
; а
e
λT
1/2
= 2 или
λT
1/2
= ln
2
Период полураспада и постоянная распада связаны следующим соот- ношением:
T
1/2
= ln
2
/ λ =
0,693
/ λ
Период полураспада, наряду с типом распада и энергией излучения, является важнейшей характеристикой любого радионуклида (см. Прило- жения, табл.1).
Графический вид закона радиоактивного распада – это экспоненци-
альная зависимостьчисла радиоактивных атомов от времени (рис.15А).
Рис. 15. А – кривая радиоактивного распада (время откладывается в величинах, кратных периоду полураспада, Т
1/2
); Б – график радиоактивного распада в полулогарифмическом масштабе для определения величины по- стоянной распада (λ)
N
0
N
0
/2
N
0
/4
N
0
/8

27
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Цель работы – определить период полураспада неизвестного радио- нуклида и провести его идентификацию.
Принцип работы
Период полураспада можно определить экспериментально по умень- шению активности, а значит и скорости счета препарата.
Активность препарата с течением времени изменяется по закону ра- диоактивного распада:
А
t
= А
0
•
e
−λ
t
При работе с радиометрической аппаратурой непосредственно изме- ряемой величиной является не активность, а скорость счета препарата
(N
пр
). Причем, эти величины связаны соотношением: А = N
пр
•
F, где F – это эффективность счета (см. лаб. работу №2). Если F не меняется (условия измерения постоянные), то изменение во времени скорости счета радиоак- тивного препарата также должно подчиняться закону радиоактивного рас- пада:
N
прt
= N
пр0
•
e
−λ
t
Для определения периода полураспада (Т
1/2
) или постоянной распада
(
λ
) по экспериментальным данным используется полулогарифмическое представление данных, т.е. lnN
i
= f(t). Выполнив преобразования, получаем выражение для определения постоянной распада (
λ):
lnN
прt
= lnN
пр0
–
λ t ,
λ = (
lnN
пр0
– lnN
прt
) / t
На практике препарат помещают в стандартную позицию относитель- но детектора радиоактивности и измеряют скорость счета (N
пр t
) в разные моменты времени. На рисунке 15А изображена кривая распада радиоак- тивного изотопа. По горизонтальной оси отложено время (t), по вертикаль- ной оси – скорость счета (N
пр
). Кривая является экспонентой (у = ае bx
). Ес- ли построить график в полулогарифмическом масштабе (по оси абсцисс – время (t), по оси ординат – натуральные логарифмы скорости счета lnN
пр
), то зависимость изобразится прямой линией, тангенс угла наклона которой будет равен постоянной распада tgα = λ (рис. 15Б)

28
На рис. 15Б экспериментальные точки отмечены кружками. В силу статистического характера радиоактивного распада, а также случайных ошибок измерений точки оказываются разбросанными вокруг истинных значений скоростей счета. По экспериментальным точкам строится прямая линия, которая усредняет разброс. Общее время наблюдения процесса рас- пада должно обеспечивать заметное уменьшение активности и быть срав- нимым с величиной периода полураспада. Взяв на полученной прямой зна- чения логарифмов в двух любых точках достаточно удаленных друг от друга, соответствующих моментам времени t
1
и t
2
, рассчитывают постоян- ную распада по формуле, которая вытекает из приведенного выше соотно- шения, если заменить N
пр0
и N
прt
на N
1
и N
2
и учесть, что t = t
2
– t
1
:
λ =
1 2
2 1
ln ln
t
t
N
N
−
−
Период полураспада рассчитывается по формуле:
T
1/2
= ln
2
/ λ =
0,693
/ λ.
Если в полулогарифмическом масштабе вместо прямой линии получа- ется кривая, то это свидетельствует о наличии в препарате более, чем од- ного радиоактивного изотопа.
Порядок выполнения работы
1. Данная лабораторная работа выполняется по результатам измерений, выданных преподавателем каждому студенту индивидуально.
2. В задании представлены: а) скорость счета фона N
ф
[имп/с], б) время од- ного измерения данного препарата (100 с), в) время начала каждого по- следующего измерения (всего выполнено 10 измерений; время первого измерения принято за нулевое), г) число импульсов (n), полученных при каждом измерении.
3. Заполните представленную ниже таблицу и рассчитайте N
пр и lnN
пр для каждого измерения.
4. Постройте на миллиметровой бумаге график зависимости lnN
пр
от отно- сительного времени t начала счета. Старайтесь выбрать такой масштаб, чтобы график занял весь лист (по оси ординат значения lnN
пр
можно от- кладывать не от нуля, а от наименьшего значения lnN
пр
). Через получен- ные экспериментальные точки проведите прямую линию так, чтобы она проходила максимально близко ко всем экспериментальным точкам.
5. На полученной прямой произвольно выберите две точки, достаточно удаленные друг от друга, определите значения lnN
1
, lnN
2
, t
1
и t
2
и рас- считайте постоянную распада λ с точностью до трех значащих цифр.
6. Рассчитайте период полураспада радионуклида.

29 7. Пользуясь справочной таблицей радиоактивных изотопов (см. Приложе- ния, табл. 2), определите, какой радионуклид был взят для работы.
8. Оцените точность полученного результата.
N
ф
= имп/с, t
изм
= 100 с
№ измерения
Время начала счета, t
n, имп
N = n/ t
изм
,
имп/с
N
пр
= N –
N
ф
, имп/с
lnN
пр
1 0 2
3
…
…
10
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. По какому закону распадаются радиоактивные атомы?
2. Можно ли ускорить или замедлить процесс распада радиоактивных ато- мов?
3. Что такое период полураспада?
4. Что характеризует постоянная распада? Как она связана с периодом по- лураспада?
5. Каковы области использования закона радиоактивного распада?
6. Какие из предложенных радионуклидов относятся к короткоживущим, а какие – к долгоживущим:
131
I,
14
С,
3
Н,
40
K,
137
Cs,
32
P? (Характеристики радионуклидов см. в Приложении, табл.1).
7. Нужно ли учитывать в вегетационных опытах с радиоактивными изото- пами распад
14
С и
32
Р, если опыты проводятся в течение месяца? Поче- му?
8. Сколько времени нужно выдержать на распад короткоживущий радио- нуклид
110
Sn (Т
1/2
= 4,0 ч), чтобы активность его снизилась примерно а) в 10 раз; б) в 100 раз; в) в 1000 раз?
9. Если период полураспада
137
Cs – 30 лет, то во сколько раз уменьшится число радиоактивных атомов через 90 лет?
10. В год аварии на Чернобыльской АЭС уровень загрязнения земель
137
Cs в одном из поселков Брянской области составлял 30 Ки/км
2
. Какой будет уровень загрязнения земель в этом году, если условно считать, что уменьшение активности происходит только за счет радиоактивного рас- пада?

30
Лабораторная работа № 4
Определение статистических ошибок
при радиометрических измерениях
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
4.1. Виды ошибок измерения
Цель любого измерения – получить результат наиболее приближен- ный к истинному значению и оценить погрешность этого результата.
При измерении любой физической величины возникают ошибки, влияющие на результат измерений. Их можно разделить на две группы:
систематические и случайные.
Систематические ошибки связаны с особенностями используемой аппаратуры и принадлежностей, такими как класс точности, степень изно- са, приводящая к постоянно появляющейся погрешности и т.п. Такие ошибки, как правило, отклоняют результат в одну сторону, и их необходи- мо устранять наладкой или ремонтом измерительных приборов, совершен- ствованием методики измерений.
Случайные ошибки появляются спонтанно, неконтролируемо и могут непредсказуемо изменять результат в ту или иную сторону и в разной сте- пени. Ошибки такого рода нельзя устранить, но можно установить предел их влияния. Случайные ошибки складываются из ошибок работы прибора
(аппаратурные), экспериментатора, ошибок, связанных с изменением усло- вий измерения, а также связаны с флуктуациями (изменением) самой изме- ряемой величины. При радиометрических измерениях скорости счета ра- диоактивного препарата отклонения результата от некоторого среднего значения обусловлены, главным образом, статистическим характером ра- диоактивного распада – флуктуациями числа распадов атомных ядер.
При оценке достоверности экспериментальных результатов необхо- димо быть уверенным в том, что систематические ошибки исключены, а что касается случайных ошибок, то задача сводится к учету их влияния на результаты измерений.
Как же оценить суммарную ошибку результата измерения и вклад от- дельных составляющих, в частности ошибки, обусловленной статистиче- ским характером радиоактивного распада? Для этого проводится матема- тическая обработка результатов измерения, основанная на общей теории случайных ошибок.

31
4.2. Элементы общей теории случайных ошибок
Обозначим через x
i
конкретные значения измеряемой величины, где i = 1,2…k – количество повторностей, тогда среднее арифметическое определяется так:
k
x
x
k
i
i
∑
=
=
1
Очевидно, что чем больше повторностей, тем точнее определено среднее значение.
Отклонения наблюдаемых значений x
i
от среднего называются абсо-
лютными ошибками отдельных измерений:
ε
i
= ± (x
i
–
x
).
Средняя ошибка отдельного измерения не является достаточной ха- рактеристикой разброса полученных данных. В качестве меры рассеяния случайных величин относительно среднего значения принято использовать дисперсию.
Дисперсией случайной величины х называют среднее значение квад- рата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Дисперсия учитывает не только разброс отдельных значений, но и частоту появления любых отклонений. Чем чаще встречаются большие отклонения, тем больше дисперсия. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Средняя квадратичная ошибка отдельного измерения по отноше- нию к среднему арифметическому значению
x
(или стандартное откло-
нение) σ
х
равно корню квадратному из дисперсии и определяется по фор- муле:
1
)
(
1 2
−
−
±
=
∑
=
k
x
x
k
i
i
x
σ
Смысл параметра σ
х
можно уяснить из рассмотрения нормального
распределения непрерывной случайной величины (распределения Гаусса).
Закон Гаусса связывает величину случайной ошибки ε
i
с плотностью веро- ятности ее появления р(ε
i
). График нормального распределения ошибок имеет вид колоколообразной кривой. На рис. 16 приведены две кривые распределения ошибок.

32
σ – мала σ – велика
Рис. 16. Кривые распределения случайных ошибок (распределение Га- усса)
По горизонтальной оси отложены величины абсолютных ошибок ε, а по вертикальной – вероятность появления ошибки, имеющей данную вели- чину ε. Чем больше ошибка ε, тем меньше вероятность ее появления. Левая кривая построена для случая, когда стандартное отклонение отдельного измерения σ имеет малую величину. Результаты отдельных измерений со- средоточены тогда вблизи среднего значения, и большие ошибки встреча- ются редко. Правая кривая относится к случаю, когда σ – велико и резуль- таты измерения часто имеют значения, заметно отклоняющиеся от средне- го значения.
Из закона Гаусса следует, что вероятность появления ошибки ε
i
в ин- тервале –σ < ε
i
< +σ составляет 68,3%, в интервале –2σ < ε
i
< +2σ – 95,4%, а в интервале –3σ < ε
i
< +3σ – 99,7%. На практике принимается, что если ве- личина ошибки данного измерения лежит в пределах ±3σ, то значение учи- тывается, а если превышает ±3σ, то такое измерение должно быть отбро- шено, как не принадлежащее к данному ряду случайных величин.
На практике нас интересует не степень возможных отклонений каж- дой повторности от среднего, а возможность предсказать предел ожидае- мого отклонения среднего результата
x
от истинного среднего значения.
Такая оценка дается с помощью средней квадратичной ошибки среднего
арифметического (результата) или стандартного отклонения среднего от истинного среднего σ
рез
, которое определяется по формуле:
)
1
(
)
(
1 2
−
−
±
=
∑
=
k
k
x
x
k
i
i
рез
σ
ε
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ
ε
p(ε)
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ
p(ε)

33
Окончательный результат измерений приводится обычно в виде:
x
± σ
рез
Такая запись означает, что истинное среднее значение измеряемой ве- личины с вероятностью 68,3% находится в интервале
x
± σ
рез
. Указание одной только величины ошибки без указания соответствующего ей дове- рительного интервала лишено смысла.
Итак, описанная выше математическая обработка позволяет оценить суммарную ошибку измерения.