Определим случайные ошибки ma mb mrxy

Исследовать зависимость между результатами зимней (Х) и летней (У) сессий.
В таблице приведена средняя оценка, полученная по итогам сессии, а также указана принадлежность студента к группе А или Б.

1. Построить линейную регрессионную модель У по Х.
2. Проверить значимость коэффициентов уравнения и самого уравнения регрессии.
3. Построить регрессионную модель У по Х с использованием фиктивной переменной «группа».
4. Проверить значимость коэффициентов уравнения и самого уравнения регрессии.
5. Вычислить коэффициенты детерминации для обычной модели и модели с фиктивной переменной.

Решение:

1. Для расчёта параметров а и b линейной регрессии

необходимо решить систему нормальных уравнений относительно a и b:

Число наблюдений n = 20.

Построим таблицу исходных и расчётных данных.

Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии

№ п/п	х	у	х2	у2	х*у				Группа	z
1	3,7	4,8	13,69	23,04	17,76	3,973	0,684	0,024	Б	1
2	3,5	3,5	12,25	12,25	12,25	3,931	0,186	0,126	Б	1
3	4,3	5	18,49	25	21,5	4,098	0,814	0,198	Б	1
4	3	4	9	16	12	3,827	0,030	0,731	Б	1
5	4,6	4,2	21,16	17,64	19,32	4,160	0,002	0,555	Б	1
6	4,6	4,1	21,16	16,81	18,86	4,160	0,004	0,555	Б	1
7	3,8	4,8	14,44	23,04	18,24	3,994	0,650	0,003	А	0
8	3,6	3,5	12,96	12,25	12,6	3,952	0,204	0,065	Б	1
9	3,3	4,4	10,89	19,36	14,52	3,889	0,261	0,308	Б	1
10	3,9	3	15,21	9	11,7	4,014	1,029	0,002	Б	1
11	4,7	3,7	22,09	13,69	17,39	4,181	0,232	0,714	Б	1
12	4,6	4,4	21,16	19,36	20,24	4,160	0,057	0,555	Б	1
13	4,6	3,8	21,16	14,44	17,48	4,160	0,130	0,555	Б	1
14	3,3	3,1	10,89	9,61	10,23	3,889	0,623	0,308	Б	1
15	4,3	3,6	18,49	12,96	15,48	4,098	0,248	0,198	Б	1
16	3,1	4,8	9,61	23,04	14,88	3,848	0,907	0,570	А	0
17	3,2	3	10,24	9	9,6	3,868	0,754	0,429	А	0
18	4,2	4,8	17,64	23,4	20,16	4,077	0,523	0,119	А	0
19	3,3	3,4	10,89	11,56	11,22	3,889	0,239	0,308	Б	1
20	3,5	4,2	12,25	17,64	14,7	3,930	0,072	0,126	А	0
Итого:	77,1	80,1	303,67	328,73	310,13	80,1	7,649	6,45	х	15
Среднее:	3,855	4,005	15,184	16,4365	15,5065	х	х	х	х	х
	0,322	0,396	х	х	х	х	х	х	х	х
	0,568	0,630	х	х	х	х	х	х	х	х

Среднее значение определим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

Возведя в квадрат полученное значение, получим дисперсию:

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Следовательно, с повышением средней оценки, полученной по итогам зимней сессии, на один балл, средняя оценка по итогам летней сессии увеличивается в среднем на 0,2085.

2. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь очень слабая, практически отсутствует.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 3,53% объясняется вариацией фактора х. На долю других, не учтённых в модели факторов, приходится 96,47%. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .
Так как , следовательно, параметры уравнения определены верно.

3. Проверим значимость коэффициентов уравнения и самого уравнения регрессии.

Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-критерия Фишера.
F-критерий состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера.
F_факт определяется по формуле:

где n – число единиц совокупности;
m – число параметров при переменных х.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик принимается и признаётся их статистическая незначимость и ненадёжность.

4. Оценку статистической значимости коэффициентов регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a = b = r_xy = 0.
t_табл = 2,1 для числа степеней свободы df = n – 2 = 18 и α = 0,05.

Определим случайные ошибки m_a, m_b, m_rxy:

Фактические значения t-статистики определим по формулам:

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

1)

– случайная ошибка коэффициента корреляции.

2) Кроме того

Сравним фактические значения t-статистики с табличными значениями.

Так как фактическое значение t-критерия для коэффициента а превышает табличное, следовательно, гипотезу о несущественности коэффициента а можно отклонить.

Величина t-критерия для коэффициента регрессии меньше табличного и совпадает с величиной t_r.
Следовательно, полученная линейная зависимость является недостоверной.

5. По 20 наблюдениям уравнение линейной регрессии (без учёта принадлежности студента к группе А или Б) составило:

Введём в уравнение регрессии фиктивную переменную z для отражения принадлежности студента к группе, а именно: z = 1, для группы Б и z = 0 для группы А. Уравнение регрессии примет вид:
у_xz = a + b*x + c*z + ɛ
Применяя метод наименьших квадратов для оценки параметров данного уравнения, получим следующую систему нормальных уравнений:

В виду того, что z принимает лишь два значения (1 и 0), Σz = n₁ = 15 (число студентов группы Б), Σх*z =Σх₁ =59,3 (сумма х по группе Б), Σz₂ =Σz =15, Σy*z =Σy₁ =58,5 (сумма у по группе Б).

Тогда система нормальных уравнений примет вид:

Решая её, получим уравнение регрессии:

6. Найдём индекс детерминации для данной модели по формуле:

Добавление в регрессию фиктивной переменной существенно улучшило результат модели: доля объяснённой вариации выросла с 3,53% () до 16,6% (R_ухz² = 0,166). Но, не смотря на это, связь между признаками остаётся слабой.

7. Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

Так как фактическое значение F-критерия меньше табличного, то уравнение статистически не значимо.

8. Оценка значимости коэффициентов регрессии производится, как и в парной регрессии по t-критерию Стьюдента, по формуле:

где b_i – величина параметра регрессии (в наших обозначениях это a, b и с)

a = 3,129; b = 0,335; с = — 0,5516;

m_a = 0,9578; m_b = 0,2574; m_c = 0,3376;

t_a = 3,266; t_b = 1,3; t_c = -1,634.

Величина t-статистики коэффициентов регрессии b и c меньше табличного t_табл.=2,1 при уровне значимости α 0,05, что свидетельствует о случайной природе взаимосвязи, о статистической ненадёжности всего уравнения.

Таким образом, уравнение в целом незначимо и ненадёжно и не может использоваться в дальнейшем для анализа и прогноза.

Задача 1.1.

По районам региона приводятся данные за 200Х г. (табл. 1.1).

Таблица 1.6

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение:

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.2).

;

Таблица 1.2

.

Получено уравнение регрессии: .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

; .

Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 8-10%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии показателя от нуля: .

Определим случайные ошибки Ma, mb, :

;

;

.

Тогда

; ;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

; ; ,

Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, т. е. A, B и Rxy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для A и B. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

; .

Доверительные интервалы:

;

;

;

;

;

.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры A и B, находясь в указанных границах, не принимают нулевые значения, т. е. не являются статистики незначимыми и существенно отличаются от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение промежуточного минимума составит: тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб.

5. Ошибка прогноза составит:

тыс. руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

;

руб.;

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным, но неточным, т. к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,95 раза (121/62,2).

Задача 1.2.

Зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

— уравнение регрессии ;

— индекс корреляции ;

— остаточная дисперсия .

Требуется провести дисперсионный анализ полученных результатов.

Решение:

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

;

;

;

.

В силу того, что , гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода.

Всероссийский
заочный финансово-экономический институт

Ярославский филиал

Аудиторная работа

по Эконометрике

Вариант 13

Выполнили:

г. Ярославль

2006

Условие задачи:

По данным о потребительских
расходах на товар (продукты питания, одежду и обувь, жилье, книги, образование
– у) и располагаемых (совокупных) личных доходах (х), с использованием
приложения EXCEL:

1.    
Построить модель линейной парной регрессии.

2.    
Оценить качество полученной модели.

3.    
Построить точечный и интервальный прогноз на один шаг.

Исходные
данные:

Задания по
аудиторной работе:

1.          
Построить модель линейной парной регрессии:

1.1.   Построить линейную регрессию
вида у_х= а + b*x. Дать интерпретацию
коэффициента регрессии b.

1.2.   Построить линейную регрессию
вида у_t = а₀ + b₀* t, где t –
фактор времени t = n;  n – номер наблюдения.   Дать интерпретацию коэффициента регрессии b₀.

1.3.    Определить значения коэффициентов корреляции r_yx и r_yt    и
соответственно коэффициентов детерминации R² _yx   и   R² _yt.

1.4.   Сравнить полученные в
пунктах 1.1. и 1.2. модели регрессии по значениям коэффициентов детерминации R². Сделать вывод.

2.          
Оценить качество регрессионной модели вида у_х = а + b*x,
полученной  в пункте 1.1.

2.1.   Оценить статистическую
значимость уравнения  линейной парной
регрессии по F – критерию Фишера.

2.2.   Оценить статистическую
значимость коэффициентов уравнения регрессии a  и  b,
вычислив значения:

                —  t – критерия Стьюдента;

                —  доверительных интервалов для
коэффициентов   регрессии a  и  b при 5%
уровне значимости, α=5%.

2.3. Вычислить среднюю
ошибку аппроксимации .

2.4. По показателям
адекватности и точности сделать выводы о качестве полученной  модели 
и её    пригодности для
прогнозирования.

3.  Выполнить
прогнозирование на один шаг вперед, используя полученную в п. 1.1. модель вида
у_х = а + b*x  .

 3.1. Рассчитать значение точечного прогноза у_пр.

  3.1.1. Рассчитать прогнозное значение фактора
х_пр.

 a) Построить временной ряд х_t по
фактическим данным, используя встроенные функции «Мастер диаграмм» и «График».

 б) Аппроксимировать полученный временной
ряд  функциями:

          — линейной;

        — 
степенной;

      — полиномиальной (второй степени),

используя встроенные функции
EXCEL: «Диаграмма», «Добавить линию тренда», 
«Линейная», «Степенная», «Полиномиаль­ная» (второй степени), с выводом
вида уравнения регрессия на диаграмме и значения коэффициента детерминации R².

 в) Выбрать по максимальному значению
коэффициента детерминации R² функцию, наилучшим образом
аппроксимирующую исходные данные х_t, и по ней рассчитать
прогнозное значение фактора х_пр=х_t(n+1), где n —  последний номер наблюдений.

 3.1.2. Рассчитать значение точечного прогноза
у_пр по уравнению у_х = а + b*x  (см. п. 1.1.), при значении х=х_пр.

3.2. Рассчитать значения интервального прогноза для
уровня значимости 5%,   α=5%.

4. На рисунке в координатах Х0У привести:

         —
исходные данные (х_i; у_i);

         — график линейной регрессии вида у_х =
а + b*x, полученной в 
п. 1.1.;

         —
значение точечного   прогноза на один шаг
вперед и соответствующие значения интервального прогноза.

5. Сделать общий вывод по результатам исследования.

Решение:

1. Построим линейные модели
парной регрессии.

1.1.
Линейная регрессия вида у_х= а + b*x

Определим значения
параметров a и b линейной модели:

Уравнение линейной
регрессии имеет вид:

С
увеличением располагаемых личных доходов, потребительские расходы на товары
увеличатся в среднем на 13,6.

1.2.
Линейная регрессия вида у_t = а₀ + b₀* t

Определим
значения параметров a₀ и b₀ линейной модели:

Уравнение линейной
регрессии имеет вид:

С
увеличением времени, потребительские расходы на товары увеличатся в среднем на 1573,5.

1.3. Определим
линейные коэффициенты парной корреляции r_yx и r_yt:

Определим
коэффициенты детерминации R² _yx   и   R² _yt    :

R² =r²

1.4. Большее значение
коэффициента детерминации имеет линейная модель

Поэтому
модель более точная и лучше по качеству для построения прогноза.

2.
Оценка
качества модели  у_х = а + b*x

2.1. Проверку значимости произведем на основе
вычислений F-критерия Фишера.

Т.
к. F_рас>F_табл, уравнение регрессии
следует признать адекватным.

2.2.
Выдвигаем гипотезу H₀ о статистически не значимом отличии показателей от
нуля: a=b=r_xy=0.

t_{табл(0,05;7)}=2,3646

Определим
случайные ошибки m_a, m_b, m_rxy:

Тогда:

Сравнивая фактические
значения t с табличным можно сделать вывод о том, что
параметры b и r не случайно отличаются от
нуля и являются статистически значимыми, 
параметр а статистически незначим (t_a<t_табл).

Рассчитаем
доверительный интервал для a и b. Для этого определим
предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные
интервалы:

 

Анализ
верхней и нижней границ доверительных интервалов  приводит к выводу о том, что с вероятностью
0,95 параметр a  принимается
нулевым и является статистически незначимым, а параметр b не
принимает нулевых значений и не является статистически незначимым.

2.3.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка
аппроксимации не превышает 5%, значит модель является очень точной.

2.4.
Модель имеет достаточно большое значение критерия Фишера и коэффициента
детерминации. Модель достаточно точная, её можно взять для построения прогноза.

3. Построение прогноза.

3.1.
Рассчитаем значение точечного прогноза у_пр.

Строим
временной ряд x_t:

Функция
наилучшим образом аппроксимирующая исходные данные  x_t

х_t=-2,2634t²+136,78t+3356,7

х_пр=х_t(10)=-2,2634*10²+136,78*10+3356,7=4498,16

у_пр=12,025+0,136*х_пр=12,025+0,136*4498,16=623,77

3.2. Рассчитаем значения
интервального прогноза для уровня значимости 5%,   α=5%.

Ошибка
прогноза составит:

t_табл(0,05;7)=2,3646

Х прог	Хпрог — Хсред	(Хпрог — Хсред)2	Упрог	Sу расч	Дельта	Верхняя граница	Нижняя граница
4498,16	529,26	280116,14	623,77	6,6268	18,9367	642,7067	604,8333

Выполненный прогноз оказался надежным, и достаточно
точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала
составляет 1,06 раза.