Ошибка даламбера монету бросают два раза

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Оппозиция со стороны Даламбера

Среди богатого научного наследства Ж. Даламбера (1717—1783 гг.) имеется ряд работ, посвященных тео­рии вероятностей [50}. Вопросов теории вероятностей он касается и во многих письмах [145}.

Имя Ж- Даламбера в литературе по теории вероят­ностей встречается только с целью иллюстрации того, что даже очень крупные математики ошибались иног­да при решении самых элементарных вероятностных задач.

Приведем пример: «Монета бросается два раза. Како­ва вероятность того, что хотя бы раз появится герб? Да- ламбер по поводу этой задачи рассуждал следующим об­разом: герб появится либо при первом бросании, либо при втором, либо совсем не появится. Всех случаев три, из них благоприятствуют ожидаемому событию два, сле­довательно, искомая вероятность равна 2/3» [6, стр. 35— 36]. Даламбер здесь не различает равновозможные и не­равновозможные случаи.

Э. Кольман объясняет происхождение этой ошибки тем, что основные идеи теории вероятностей не свойст­венны математике, и поэтому математики, в частности Даламбер, допускали самые элементарные ошибки [19, стр. 230}. Другие авторы вообще не касаются при­чин такой ошибки.

Даламбер вместе с Д. Дидро издавал и редактиро­вал знаменй*гуЮ «Энциклопедию». Первое ее издание выходило с 1751 г. по 1780 г. и состояло из 35 томов. После выхода 7-го тома в 1757 г. Даламбер отошел от «Энциклопедии». Но в семи томах он поместил много статей, в том числе и по теории вероятностей. Первой по времени была статья «Герб и решетка» помещенная в четвертом томе «Энциклопедии» [168]. В этой статье Да­ламбер решает вопрос о шансах получить два раза герб при двух бросаниях монеты. Эту задачу он решает не­правильно, т. к. полагает, что имеется всего три случая, которые следует учитывать, а не четыре. Если в первом броске выпадает решетка, то делать второй бросок не имеет смысла, так как два раза герб выпасть уже не мо­жет— это, по Даламберу, первый случай. Второй слу­чай состоит в получении герба в обоих бросках ( + , +). Третий — в получении герба в первом броске и решетки во втором ( + , —). Поэтому, по Даламберу, искомый шанс равен ‘/з- Даламбер не замечает, что указанные им три случая не являются равновозможными. Как лег­ко видеть, в действительности здесь имеется четыре рав­новозможных случая ( + , +), ( + , —), (—, +), (—, —) и искомая вероятность равна ‘Д.

Далее в этой же статье Даламбер ищет вероятность того, что при трех бросаниях монеты герб выпадет, по крайней мере, один раз. Вместо 8 равновозможных слу­чаев, из которых нашему событию будут благоприятны 7, и, следовательно, искомая вероятность равна 7/8. Да­ламбер составляет следующую табличку:

• герб;
• решетка, герб;
• решетка, решетка, герб;
• решетка, решетка, решетка.

Он считает, что после того, как при первом или вто­ром броске появился герб, остальные броски делать не следует. Не замечая, что эти четыре случая не равно­возможны, Даламбер ошибочно считает, что искомая вероятность равна 3/4, а не 7/8.

В этой же статье Даламбер касается Петербургской задачи и приводит следующее замечание по поводу ре­шения этой задачи Д. Бернулли: «Но мы не знаем, мож­но ли быть им удовлетворенным; здесь имеется какой-то скандал, который заслуживает внимания математиков» [168, стр. 512]. Сам он склоняется к возможности бес­конечного ожидания.

В 7-м томе «Энциклопедии» [169] Даламбер приво­дит возражения Неккера (профессор математики из Женевы) против его статьи «Герб и решетка». Неккер сообщил эти возражения Даламберу в письме. Неккер указывает, что три случая, которые рассматривает Да­ламбер, не являются равновозможными. Далее он при­водит правильное решение задачи и в конце говорит, что взгляды Даламбера по этому вопросу неприемлемы, так как они ведут к очевидной ошибке.

В статье «Отсутствующий» Даламбер касается ра­боты Н. Бернулли. Ссылаясь на таблицы смертности А. Депарсье (1703—1768 гг.), он приходит к выводу, что безвестно отсутствующий должен считаться умер­шим в возрасте 75 лет. Далее он говорит, что, учитывая замечания Бюффона о моральной вероятности событий, следует считать, что вероятность меньше 0,0001 явля­ется несуществующей.

Другие статьи, такие как «Выгода», «Бассет», (азартная игра), «Плитка» (азартная игра), «Кость», «Лотерея», «Пари», «Карты», хотя и содержат матери­ал, связанный с теорией вероятностей, но они еще менее значительны, чем рассмотренные нами.

Во II томе «Математических произведений» Далам­бера помещена его работа «Размышления о теории ве­роятностей» [50]. В начале работы он приводит обычное определение математического ожидания и замечает, что хотя это определение принято всеми математиками, но имеются случаи, когда оно оказывается несостоятель­ным. Наглядным примером вопроса, к которому непри­менимо математическое ожидание, Даламбер считает Петербургскую задачу, по поводу которой пишет: «Не­ограниченная сумма является химерой; не существует человека, который захотел бы заплатить за право иг­рать в эту игру, не говорю неограниченную, но даже и весьма скромную сумму» [50, стр. 2].

Далее приводятся рассуждения о необходимости де­лать различие между метафизически возможным и фи­зически возможным. Чтобы разъяснить эти понятия, Даламбер приводит следующий пример. Метафизически возможно получить сто раз подряд по 6 очков на каж­дой кости при бросании двух костей, но физически это невозможно*,,дртому что это никогда не происходило и не произойдет. Это является для Даламбера подтверждением того, что очень малая вероятность долж­на рассматриваться равной нулю.

Даламбер предлагает устанавливать вероятность со­бытий на основании опыта. При этом он считает, что если при бросании монеты появился три раза подряд герб, то вероятнее, что при следующем броске выпадет решетка. Это соображение он приводит как аргумент против основных установленных положений теории ве­роятностей.

Работа заканчивается следующим образом: «Из этих всех размышлений заключаем: 1. Что если правило, ко­торое я дал в «Энциклопедии» (не зная лучшего), для определения отношения вероятностей при игре в герб и решетку не является строго точным, то общепринятое правило для определения этого отношения является еще менее точным. 2. Что для того, чтобы прийти к удовлет­ворительной теории вычисления вероятностей, нужно решить несколько задач, которые являются, может быть, неразрешимыми, а именно, установить истинное отно­шение вероятностей в случаях, не являющихся равно­возможными или могущих не рассматриваться как та­ковые; определить, когда вероятность должна рассматри­ваться как несуществующая, наконец, установить, как нужно оценивать ожидание или ставку в зависимости от того, является ли вероятность большей или меньшей» [50, стр. 24}.

Несмотря на свое в общем негативное отношение к теории вероятностей, Даламбер поставил такие прин­ципиально важные вопросы: 1) Как определять вероят­ность, когда нет налицо равновозможных случаев? 2) Какой вероятностью можно пренебрегать и что это означает? и др.

В работе об оспопрививании Д. Бернулли пришел к выводу, что прививка оспы увеличивает среднюю продол­жительность жизни на 3—4 года. Даламбер выступает с критикой этой работы [170]. Он не отрицает пользы оспо­прививания, но считает, что его положительные и отри­цательные стороны неправильно сравниваются и оцени­ваются Д. Бернулли. По мнению Даламбера, Д. Бернул­ли рассматривает оспопрививание с точки зрения интере­сов государства и доказывает, что оно является жела­тельным, так как увеличивает среднюю продолжитель­ность жизни. Даламбер же подходит к вопросу с точки зрения отдельного индивидуума, который может рассма­тривать выгоду выиграть три или четыре года в вероят­ной продолжительности жизни как не окупающую непо­средственной опасности от прививки. Связь между эти­ми двумя оценками, по Даламберу, настолько неопреде­ленна, что она не может служить предметом точного подсчета. По этому вопросу Даламбер выступил в Ака­демии наук с докладом 12.ХІ 1760 г., где опровергал идеи Д. Бернулли. Даламбер писал: «Я полагаю, что в среднем 30-летнему человеку предстоит прожить еще 30 лет и что он вполне может надеяться прожить еще 30 лет, полагаясь на природу и не делая себе прививки. Затем я предполагаю, что после операции средняя про­должительность жизни будет 34 года. Не кажется ли, что для оценки преимуществ прививки следует сравнить не только среднюю продолжительность жизни в 30 лет и среднюю продолжительность жизни в 34 года, но и риск, равный 1 против 200, умереть через месяц от при­вивки с отдаленным преимуществом жить на 4 года боль­ше после 60?» [170].

Даламбер обращает внимание на существование двух различных способов оценки продолжительности жизни для лиц данного возраста. Первая оценка — это сред­няя продолжительность жизни; вторая — вероятная про­должительность жизни — это такая продолжительность жизни, которая имеет равные шансы как быть недостиг­нутой, так и быть превзойденной. Даламбер не предла­гает разграничивать эти понятия. Его мысль состоит в том, что каждое из них может служить для определения ожидаемой продолжительности жизни. Именно это со­ображение он выдвигает против теории вероятностей, указывая, что она дает два ответа на один и тот же вопрос.

В I томе собраний сочинений Даламбера, изданном в 1820 г., напечатаны его «Сомнения и вопросы относитель­но теории вероятностей» и «Размышления об оспоприви­вании» [171]. Эти работы являются изложением уже упо­минавшихся выше работ и предназначены для более широкого круга читателей.

Касаясь теории вероятностей в целом, он пишет: «Я первый осмелился высказать сомнения относительно некоторых^иринципов, которые служат основанием для этой теории. Одни великие математ лки сочли эти сомне­ния достойными внимания, другие великие математики нашли их абсурдными (зачем я буду смягчать выраже­ния, которыми они пользовались). Задача состоит в том, чтобы узнать, не были ли они неправы, применяя их, и в этом случае они оказались бы вдвое неправыми. Их ре­шение, которое они не сочли нужным мотивировать, при­дало храбрость средним математикам, которые поторо­пились написать по этому вопросу и напасть на меня, не выслушав меня. Я попытаюсь объясниться настолько ясно, чтобы все мои читатели были в состоянии судить меня».

Следует отметить, что доводы, приводимые против теории вероятностей, повторяют доводы предыдущих ра­бот и нового материала, по существу, не содержат.

В 4-м томе «Математических произведений» [145] по­мещены выдержки из писем Даламбера, касающиеся те­ории вероятностей. В них рассматривается «Петербург­ская задача», анализ отдельных игр, вопросы продолжи­тельности жизни, оспопрививание и другие вопросы. В одном из писем он возражает против общепринятого уже в то время понятия математического ожидания: «Пусть будет предложено выбрать из 100 сочетаний одно. Из этих ста 99 дают выигрыш по 1000 экю и сотое дает выигрыш в 99 тысяч экю. Кто будет настолько бессмы­сленным, чтобы предпочесть сочетание, которое дает 99 тысяч экю. Ожидание в обоих случаях в действитель­ности не является одним и тем же, хогя оно является од­ним и тем же согласно правилам теории вероятностей».

Даламбер в своих письмах неоднократно повторяет знакомые нам возражения против теории вероятностей: «Уже около тридцати лет тому назад у меня сформиро­вались эти сомнения при чтении превосходной книги г. Бернулли».

Возвращаясь к решению задачи о получении двух гербов при двух бросаниях монеты, Даламбер пишет: «Если три случая, единственные, которые могут произой­ти в этой игре, не являются одинаково возможными, то это вовсе, как мне кажется, не на том основании, которое этому придают, что вероятность первого есть 1/2, а веро­ятности двух других 1/2 • 1/2 или 1/4. Чем больше об этом я думаю, тем больше мне представляется, что, гово­ря математически, эти три бросания являются одинаково возможными».

Он считает, что для подсчетов вероятностей не будет одинаково, бросают ли п раз последовательно одну моне­ту или одновременно бросают п монет.

В одном из писем Даламбер рассматривает вопрос: при скольких последовательных бросаниях кости можно заключать пари на появление заданного числа очков? Даламбер указывает, что, согласно общепринятым пра­вилам, это пари с выгодой можно заключать при четырех бросаниях. Действительно: (5/6) ⁴< 1/2; 1—(5/6) ⁴> 1/2, но (5/4) ³> 1/2 и 1—(5/6) ³< 1/2. Но, ссылаясь на одного иг­рока, он заявляет, что в данном случае теория не соот­ветствует практике.

Далее Даламбер ссылается на письма к нему трех математиков, одного из которых характеризует как очень образованного писателя, который разрабатывал с успе­хом математику и который известен превосходной рабо­той по филологии. Этот его корреспондент писал: «Все, что вы высказываете о вероятности, превосходно и весь­ма очевидно; старое исчисление вероятностей разруше­но». Даламбер делает примечание к этому месту: «Я вов­се не претендую на это, я не претендую вовсе разрушить исчисление вероятностей, я желаю, чтобы оно было изме­нено и улучшено».

В 7-м томе, опубликованном в 1780 г., помещен его мемуар «Об исчислении вероятностей» [172]. Этот мемуар посвящен главным образом «Петербургской задаче». Да­ламбер начинает этот мемуар словами: «Я прошу проще­ния у математиков за то, что снова возвращаюсь к этому вопросу. Но я признаюсь, что чем больше я о нем думаю, тем более я убеждаюсь в своих сомнениях относительно принципов общепринятой теории. Я желаю, чтобы эти сомнения были разъяснены и чтобы эта теория, будут ли в ней изменены некоторые принципы, или она будет сох­ранена такой, какая она есть, по меньшей мере излага­лась бы впредь так, чтобы не было места туману».

Даламбер предлагает следующее совершенно произ­вольное и необоснованное решение. Он считает, что если герб выпадет при первом бросании, то шансы на его вы-

14-а

падение при втором бросании будут —— , а не 1/2. Если

герб выпал при первом и втором бросании, то шансы на его появление:

Причем а, р,~.— положительные числа, а их сумма мень­ше единицы. В заключение этого решения он пишет. «Этого достаточно, чтобы показать, что члены ставки, начиная с третьего бросания, уменьшаются. Мы доказа­ли, что вся ставка, являющаяся суммой этих членов, ко­нечна даже при предположении бесконечного числа требований. Таким образом, даваемый нами здесь ре­зультат решения петербургской задачи не подвержен неразрушимой трудности обычных решений».

Любопытно, что к статье Даламбера «Отсутствую­щий» написал дополнение Дидро.

Конечно, против основных принципов теории вероят­ностей выступал не только Даламбер. Вся история этой науки наполнена борьбой с ее извращениями, борьбой с неоправданными применениями ее к законам развития общества, борьбой за признание ее равноправной мате­матической дисциплиной, борьбой с различными идеали­стическими извращениями (см. [65]).