Ошибка даламбера теория вероятности

Ошибка Даламбера

Другой великий француз – Даламбер – вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов.
Задача: Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?
Решение, предложенное Даламбером: Опыт имеет три равновозможных исхода:
1. обе монеты упали на «орла»;
2. обе монеты упали на «решку»;
3. одна из монет упала на «орла», другая на «решку».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна 2/3.
Правильное решение: Опыт имеет четыре равновозможных исхода:
1. первая монета упала на «орла», вторая тоже на «орла»;
2. первая монета упала на «решку», вторая тоже на «решку»;
3. первая монета упала на «орла», а вторая на — «решку»;
4. первая монета упала на «решку», а вторая на — «орла».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна = .
Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два принципиально разных исхода в один. Чтобы не повторить эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.

Каждый год учителя жалуются на то, что падает
интерес у учеников к учебе, и каждый год
усложняются задания ГИА и ЕГЭ. Вот уже и элементы
теории вероятностей стали полноправными
заданиями в тестах. Этой теме в школьном курсе не
уделялось должного внимания и казалось, что
сложно будет побороть страх учеников перед этими
задачами. Но мы, учителя, поняли, что т.к. изменить
ситуацию невозможно, под нее надо
подстраиваться.

Проанализировав демонстрационные варианты,
убедилась, что для успешного решения указанных
задач необходимо повторить (а может быть выучить)
основные положения теории вероятностей.

Прежде всего, напомним учащимся, что же изучает
этот раздел математики?

Наблюдая со стороны за различными явлениями
или участвуя в проведении опытов, мы замечаем,
что некоторое явление может произойти, а может и
нет. Те события, исход которых предсказать
нельзя, назовем случайным.

Например, нельзя заранее предсказать будет ли
цифра «6» в номере машины, проезжающей сейчас
мимо вас, будет ли вынут именно красный шар из
коробки, в которой 4 шара разного цвета?
Предсказать исход одного испытания мы не можем, а
вот подсчитать вероятность его наступления при
большом количестве произведенных однородных
испытаний – это под силу теории вероятностей.

Основная формула классической вероятности
всего одна: , где n
– число благоприятных исходов, m – общее число
исходов.

При этом надо подчеркивать, что общее число
исходов конечно и все исходы равнозначны (в
противном случае применение этой формулы
невозможно, т.к. получим неверный результат).

Ученики школы среднего и старшего звена
знакомятся только со случайными событиями.
Причем, это знакомство в основном опирается на их
жизненный опыт, интуицию.

В своей повседневной жизни мы часто повторяем:
«с достаточной долей вероятности…», «мне
кажется невероятно, что это произойдет», «почти
со 100% вероятностью можно утверждать…». Этими
фразами мы, опираясь на знания предыдущих лет (а
иногда и на интуицию) прогнозируем исход
какого-то события. Однако, не смотря на наш
прогноз, указанное событие может произойти, а
может и нет. Так, купив лотерейный билет, мы
рассчитываем, конечно, на выигрыш. Подбрасывая
монету, скажем, 4 раза, предполагаем, что «орел» и
«решка» выпадут по 2 раза. Но проделав этот
нехитрый опыт, убеждаемся, что это совсем не так в
реальности. Вот тогда и возникает вопрос: а
сколько раз надо бросить монету, что б
вероятность выпадения нужной стороны её была
почти 50%?

На все эти вопросы и отвечает теория
вероятностей. Она дает возможность численно
характеризовать возможность наступления того
или иного события.

Еще очень важным моментом в подсчете
вероятности наступления события, является то,
что все испытания и их исход договорились
считать равновозможными (равновероятными).
Что это значит?

Рассмотрим, например, опыт, с однократным
подбрасыванием монеты. В реальной жизни может
быть несколько исходов: выпадет «орел», выпадет
«решка», монета встанет на ребро, укатится
куда-нибудь. Кроме того, при многократном
подбрасывании, может оказаться, что выпадение,
скажем, «орла» намного чаще, чем «решки».При
детальном исследовании монеты оказалось, что на
сторону «герба»ушло больше металла(при отливке
монеты) и эта сторона тяжелее. Может сказаться и
неоднородность металла при плавке, порыв ветра
при бросании монеты, неровность поверхности, на
которую падает монета и т.д. Чтоб исход испытания
не зависел от этих частностей, договорились
считать монету «правильной» или «симметричной»,
т.е. одинаковой по весу с обеих сторон, падающей
на одну и ту же плоскость в безветренную погоду.
Аналогично надо считать симметричными игральный
кубик и игральные кости при бросании их во время
эксперимента.

Следует предостеречь учеников от неверного
способа решения задач рассуждением, без учета
всех возможностей исходов. Приведу пример.

Задача. Бросают два игральных кубика.
Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
будет равна пяти.

Ошибочное решение. В данной ситуации
возможны два исхода: либо сумма будет равна пяти,
либо не будет. Значит, общее число исходов – два,
а из них благоприятных – один (т.е. сумма равна
пяти). Значит, по формуле вероятности:

В чем ошибка ученика? Как мы знаем, каждый кубик
имеет 6 граней, на которых расположены точки от
одной до шести. Бросая оба кубика одновременно,
число очков, выпавших на первом кубике, не
зависит от того, какое число очков в это время
выпадет на втором. Т.е. шесть исходов первого
кубика сочетаются с шестью исходами второго. И
общее число равновозможных исходов: 6 • 6 = 36.
Тогда, благоприятных исходов, т.е. сумма равна
пяти будет 4 : 3+2; 2+3; 1+4; 4+1. Следовательно, ответ на
вопрос задачи: 

Очень уместно здесь познакомить учеников со
знаменитой ошибкой Даламбера.

Пример. Ошибка Даламбера. Какова
вероятность, что подброшенные, вверх две
правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Решение, предложенное Даламбером. Опыт
имеет три равновозможных исхода:

1) обе монеты упали на «орла»;
2) обе монеты упали на «решку»;
3) одна из монет упала на «орла», другая на
«решку».

Из них благоприятными для нашего событиями
будут два исхода, поэтому искомая вероятность
равна .

Правильное решение. Опыт имеет четыре
равновозможных исхода:

1) первая монета упала на «орла», вторая тоже на
«орла»;
2) первая монета упала на «решку», вторая тоже на
«решку»;
3) первая монета упала на «орла», вторая – на
«решку»;
5) первая монета упала на «решку», вторая – на
«орла».

Из них благоприятными для нашего события будут
два исхода, поэтому искомая вероятность равна 

Даламбер совершил одну из самых
распространенных ошибок, допускаемую при
вычислении вероятности: он объединил два
принципиально разных исхода в один. Чтобы не
повторить эту ошибку, помните, что природа
различает все предметы, даже если внешне
они для нас неотличимы.

Надо напоминать учащимся, что нужно
анализировать полученный результат: найденная
вероятность не может быть больше 1, как не может,
например, упасть на землю яблок больше, чем их
находится на дереве. Что при бросании монеты,
вероятность выпадения «орла» или «решки» почти
одинакова, а вот вероятность, скажем, отказа
тормозов у автомобиля добросовестного водителя,
крайне мала. Поэтому учащиеся должны помнить, что
p є [0;1].

Крайне редко, но бывают задания, где
вероятность оказывается равной нулю (нулевая
вероятность). События, вероятность которых равна
нулю называются невозможными. Например,
сумма выпавших очков на двух костях равна 13 (мы
знаем, что максимальное число очков одной грани
– 6, значит для двух граней – 12).

Если же вероятность равна 1 (иногда говорят
«стопроцентная вероятность»), то событие
называем достоверным. Примером может служить
опыт с игральным кубиком и утверждение, что при
подбрасывании выпало не более 6 очков.

Все остальные события, вероятность которых
находится в интервале (0;1), будем называть случайными.
Они и составляют основную часть задач в теории
вероятностей. Их-то и решают по уже упомянутой
формуле.

Хочется еще раз напомнить, что половина успеха
в решении той или иной задачи (совсем
необязательно по теории вероятностей) заложена
во внимательном чтении условия. Очень много
ошибок допускают ученики торопясь сделать
задание, которое, как кажется, им знакомо и, не
вникнув в исходные данные, допускают
непростительные ошибки.

Приведу пример двух похожих, но абсолютно
разных по смыслу (и, естественно, по способу
решения) задач.

Задача №1. Фабрика выпускает сумки. В
среднем, на 100 сумок, приходится 8 сумок со
скрытыми дефектами. Найдите вероятность того,
что купленная сумка окажется качественной. (Если
необходимо, результат округлите до сотых).

Решение.  Вероятность найдем по
формуле:  .
Здесь из 100 сумок 8 некачественных, следовательно,
остальные качественные, т.е.   100 – 8 = 92 сумки.
m = 100,
n = 92

Ответ: 0,92

Задача №2. Фабрика выпускает сумки. В
среднем, на каждые 100 качественных сумок
приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите
вероятность того, что купленная сумка окажется
качественной. (Если необходимо, результат
округлите до сотых).

Решение. Вероятность найдем по формуле: . В этой задаче, в
отличие от предыдущей общее количество сумок
складывается из качественных ( 100 штук) и
некачественных (8 штук), т.е.  m = 100 + 8 = 108 .

Среди этих 108 сумок, качественных было 100 штук, n
= 100

Ответ: 0,93

Литература.

1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. «Вероятность и
   статистика» .М «Дрофа». 2002г.
2. Колмогоров А.Н.и др. Введение в теорию
   вероятностей.. М. «Наука» 1982г.
3. Скопец З.А. «Дополнительные главы по курсу
   математики». М. «Просвещение» .1974г.
4. Чистяков В.П. «Курс теории вероятностей». М.
   «Наука» 1982г.

Пример 1.  Правильная монета подбрасывается 2 раза.

Событие A:  Выпадение хотя бы одного “орла”.

Решение. Число возможных исходов в серии из двух испытаний равно 4:

ОО,  ОР,  РО,  РР.

Число исходов, благоприятствующих событию A, равно 3:

ОО,  ОР,  РО.

Следовательно,

.

Пример 2.  В семье имеется 2 ребенка.

Событие A:  Хотя бы один из детей – мальчик.

Решение. Задача по своей сути не отличается от предыдущей. Только под испытанием теперь следует понимать рождение ребенка. Если рождение мальчика или девочки в одном испытании представляют собой случайные события, то число равно­вероятных исходов равно 4:

ММ,  МД,  ДМ,  ДД.

Только первые 3 исхода благоприятствуют событию A. Поэтому

.

Ошибочное решение. Число возможных вариантов в серии из двух испытаний равно 3:

ММ,  МД,  ДД.

Первые два исхода благоприятствуют событию A. Поэтому

.

Анализ. Три события:

          “2 мальчика”,

         “1 мальчик и одна девочка”  и

         “2 девочки”

не являются равно­возможными, поскольку ММ и ДД представляют собой элементарные события, тогда как событие “1 мальчик и одна девочка” – составное событие, которое разлагается на 2 исхода: МД и ДМ.

Любопытно, что подобную ошибку в рассуждениях допустил в свое время великий математик Даламбер, рассматривая задачу о подбрасывании монеты (см. Пример 1).

---

Авторы проекта

• Учащиеся 9″Е» класса
• Шляпникова Дарья
• Ревина Дарья

Руководитель проекта

• учитель математики
• Сиськова Наталья Алексеевна

Цель

Воспользовавшись различными источниками информации дать наиболее полное представление о применении теории вероятности и статистики в различных средах жизнедеятельности человека.

Задачи

• 1)История возникновения и развития теории вероятности и статистики.
• 2)Определение теории вероятности и исследование «Вероятность сдачи ЕГЭ по алгебре».
• 3)Определение статистики и статистические исследования.

Из истории возникновения теории вероятностей и статистики

Первыми открывателями теории вероятности считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля, эти французские учёные открыли ключ к составлению количественной оценки. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом, или проще комбинаторикой. В ХХ веке появилась математическая статистика — наука, основанная на законах теории вероятности.

• Блез Паскаль(19.06.1623 — 19.08.1662)

Определение теории вероятностей

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов. Это определение называют классическим определением вероятности.
• Статистическое: вероятность приближенно равна частоте появление события А в длинной серии экспериментов.
• Классическое: вероятность – это отношение числа благоприятных для события А исходов к числу к числу всех исходов эксперимента.
• Геометрическое: вероятность – это отношение площади события А ко всей площади области, где случайно выбирается точка.

Примеры вероятностных исследований

Другой французский учёный вошёл в историю со своей знаменитой ошибкой.

Ошибка Даламбера

Задача: Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?
Решение, предложенное Даламбером:
Опыт имеет три возможных исхода:

• 1) Обе монеты упали на «орла»;
• 2) Обе монеты упали на «решку»;
• 3) Одна из монет упала на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными для нашего события будут 2 исхода, поэтому вероятность равна 2/3.
Ошибкак сосотиот в том, что Даламбер определил два принципиально разных исхода в один, поэтому опыт будет иметь четыре возможных исхода:

• 1) Обе монеты упали на «орла»;
• 2) Обе монеты упали на «решку»;
• 3)Первая монета упала на «орла», а вторая – на «решку».
• 4)Первая монета упала на «решку», а вторая – на «орла».

Из них благоприятными для нашего события будут 2 исхода, поэтому искомая вероятность равна 2/4=1/2

«Вероятность сдачи ЕГЭ по алгебре»

Дано: в 2008-2009 году
положительные годовые оценки: 57 человек.
подтвердили: 56 человек.
Решение:

P(А) – вероятность сдачи экзамена на «4»и«5».
m(A) – сколько человек подтвердят свою отметку.
n – кол-во человек.

-вероятность сдачи экзамена на положительную отметку.

Дано:
На «4»и«5»: 2009-2010 год – 53 человека.
m(A) — ? человек(подтвердили свою отметку)
Решение:

Ответ: 52 ученика подтвердят свою отметку.

Определение и виды статистики

Статистика — (от лат. Status — состояние) – наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.
Наш словарик:

• 1. Среднее арифметическое (Х) ряда чисел– это частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
• 2. Размах (A) ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
• 3. Модой (Мо) ряда чисел — называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
• 4. Медианой (Ме) ряда чисел – называется число этого ряда

(или полусумму двух его чисел), справа и слева от которого на числовой прямой лежит одинаковое количество членов ряда.

Виды статистики

• Математическая
• Медицинска
• Экономическая
• Демографическая
• Налоговая
• Метеорологическая
• Финансовая
• Биологическая

Статистические исследования

Исследование по результатам проведения зимней олимпиады в Ванкувере в 2010 году

Исследование по теме «Крупнейшие реки»

Выводы

• Теория вероятностей устанавливает закономерности для случайных событий.
• Теория вероятностей и статистика представляют средство для одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в разных комбинациях.
• Статистика и теория вероятностей неразрывно связаны с нашей повседневной жизнью, помогает решить насущные задачи: выбор наилучшего из возможных вариантов, оценка степени риска, шансов на успех.

Источники

• 1.Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. “Математика в школе”. № 7. 2004 г. стр. 24.
• 2.В.А.Булычев, Е.А.Бунимович. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. “Математика в школе”. № 4. 2003 г. стр. 59.
• 3.Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. М. «Дрофа», 2004.
• 4.http://www.hi-edu.ru.
• 5.http://www.BankReferatov.ru
• 6.Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.- М.: Наука,1983.
• 7.Боровков А.А. Математическая статистика.- М.: Наука, 1984.
• 8.Боровков А.А. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1986.
• 9.Володин И.Н. «Лекции по теории вероятностей и математической статистике».
• 10.Е.А. Буминович, В.А. Булычев «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы»
• 11.Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: Мир, 1975.
• 12.Лютикас В.С. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. М.«Просвещение» 1990.
• 13.Статистика. В.С. Мхитарян, 2002 год.
• 14.Ткачева М.В. Домашняя математика. М.«Просвещение», 1994.
• 15.Элементы статистики и вероятности. М.В.Ткачева, Н. Е. Федорова. Просвещение, 2004 год.