- Авторы
- Файлы
- Литература
Далингер В.А.
1
1 Омский государственный педагогический университет
1. Васин А.П., Лебедев А.К. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств (методы решения конкурсных задач). – М.: Изд-во Центра заочного обучения «Пифагор», 1994.
2. Далингер В.А. Типичные ошибки по математике на вступительных экзаменах и как их не допускать. – Омск: Изд-во Омского ИУУ, 1991.
3. Далингер В.А. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике. Выпуск 5. Показательные, логарифмические уравнения, неравенства и их системы: Учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 1996.
4. Далингер В.А. Начала математического анализа: Типичные ошибки, их причины и пути предупреждения: Учебное пособие. – Омск: «Издатель-Полиграфист», 2002.
5. Далингер В.А., Зубков А.Н. Пособие для сдачи экзамена по математике: Анализ ошибок абитуриентов по математике и пути их предупреждения. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 1991.
6. Кутасов А.Д. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы: Учебно-методическое пособие N7. – Изд-во Российского открытого университета, 1992.
Ошибки, допускаемые обучающимися при решении логарифмических уравнений и неравенств, самые разнообразные: от неверного оформления решения до ошибок логического характера. об этих и других ошибках пойдет речь в этой статье.
1. Самая типичная ошибка состоит в том, что учащиеся при решении уравнений и неравенств без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению посторонних коней.
Рассмотрим на конкретных примерах ошибки подобного рода, но прежде обращаем внимание читателя на следующую мысль: не бойтесь приобрести посторонние корни, их можно отбросить путем проверки, бойтесь потерять корни.
а) Решить уравнение:
log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x).
Это уравнение учащиеся очень часто решают следующим образом.
log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x), log3(5 – x) + log3(–1 – x) = 3, log3((5 – x)( –1 – x)) = 3, (5 – x)( –1 – x) = 33, x2 – 4x – 32 = 0,
x1 = –4; x2 = 8.
Учащиеся часто, не проводя дополнительных рассуждений, записывают оба числа в ответ. Но как показывает проверка, число x = 8 не является корнем исходного уравнения, так как при x = 8 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число x = –4 является корнем заданного уравнения.
б) Решить уравнение 
Область определения исходного уравнения задается системой
Для решения заданного уравнения перейдем к логарифму по основанию x, получим
Мы видим, что левая и правая части этого последнего уравнения при x = 1 не определены, но это число является корнем исходного уравнения (убедиться в этом можно путем непосредственной подстановки). Таким образом, формальный переход к новому основанию привел к потере корня. Чтобы избежать потери корня x = 1, следует указать, что новое основание должно быть положительным числом, отличным от единицы, и рассмотреть отдельно случай x = 1.
2. Целая группа ошибок, вернее сказать недочетов, состоит в том, что учащиеся не уделяют должного внимания нахождению области определения уравнений, хотя именно она в ряде случаев есть ключ к решению. Остановимся в связи с этим на примере.
Решить уравнение
Найдем область определения этого уравнения, для чего решим систему неравенств:
Откуда имеем x = 0. Проверим непосредственной подстановкой, является ли число x = 0 корнем исходного уравнения
Ответ: x = 0.
3. Типичной ошибкой учащихся является то, что они не владеют на нужном уровне определениями понятий, формулами, формулировками теорем, алгоритмами. Подтвердим сказанное следующим примером.
Решить уравнение
Приведем ошибочное решение этого уравнения:
х = –2.
Поверка показывает, что х = –2 не является корнем исходного уравнения.
Напрашивается вывод, что заданное уравнение корней не имеет.
Однако это не так. Выполнив подстановку х = –4 в заданное уравнение, мы можем убедиться, что это корень.
Проанализируем, почему произошла потеря корня.
В исходном уравнении выражения х и х + 3 могут быть одновременно оба отрицательными или оба положительными, но при переходе к уравнению 
эти же выражения могут быть только положительными. Следовательно, произошло сужение области определения, что и привело к потере корней.
Чтобы избежать потери корня, можно поступить следующим образом: перейдем в исходном уравнении от логарифма суммы к логарифму произведения. Возможно в этом случае появление посторонних корней, но от них, путем подстановки, можно освободиться.
4. Многие ошибки, допускаемые при решении уравнений и неравенств, являются следствием того, что учащиеся очень часто пытаются решать задачи по шаблону, то есть привычным путем. Покажем это на примере.
Решить неравенство
Попытка решать это неравенство привычными алгоритмическими способами не приведет к ответу. Решение здесь должно состоять в оценке значений каждого слагаемого левой части неравенства на области определения неравенства.
Найдем область определения неравенства:
Для всех x из промежутка (9;10] выражение 
имеет положительные значения (значения показательной функции всегда положительны).
Для всех x из промежутка (9;10] выражение x – 9 имеет положительные значения, а выражение lg(x – 9) имеет значения отрицательные или ноль, тогда выражение (– (x – 9) lg(x – 9) положительно или равно нулю.
Окончательно имеем x∈ (9;10]. Заметим, что при таких значениях переменной каждое слагаемое, стоящее в левой части неравенства, положительно (второе слагаемое может быть равно нулю), а значит их сумма всегда больше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (9;10].
5. Одна из ошибок связана с графическим решением уравнений.
Решить уравнение
Наш опыт показывает, что учащиеся, решая это уравнение графически (заметим, что его другими элементарными способами решить нельзя), получают лишь один корень (он является абсциссой точки, лежащей на прямой y = x), ибо графики функций
и 
−
это графики взаимно обратных функций.
На самом деле исходное уравнение имеет три корня: один из них является абсциссой точки, лежащей на биссектрисе первого координатного угла y = x, другой корень 
и третий корень 
Убедиться в справедливости сказанного можно непосредственной подстановкой чисел 
и 
в заданное уравнение.
Заметим, что уравнения вида logax = ax при 0 < a < e-e 
всегда имеют три действительных корня.
Этот пример удачно иллюстрирует следующий вывод: графическое решение уравнения f(x) = g(x) “безупречно”, если обе функции разномонотонны (одна из них возрастает, а другая – убывает), и недостаточно математически корректно в случае одномонотонных функций (обе либо одновременно убывают, либо одновременно возрастают).
6. Ряд типичных ошибок связан с тем, что учащиеся не совсем корректно решают уравнения и неравенства на основе функционального подхода. Покажем типичные ошибки такого рода.
а) Решить уравнение xx = x.
Функция, стоящая в левой части уравнения, – показательно-степенная и раз так, то на основание степени следует наложить такие ограничения: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части заданного уравнения:
или 
Откуда имеем x = 1.
Логарифмирование не привело к сужению области определения исходного уравнения. Но тем не менее мы потеряли два корня уравнения; непосредственным усмотрением мы находим, что x = 1 и x = –1 являются корнями исходного уравнения.
б) Решить уравнение 
Как и в предыдущем случае, мы имеем показательно-степенную функцию, а значит x > 0, x ≠ 1.
Для решения исходного уравнения прологарифмируем его обе части по любому основанию, например, по основанию 10: 
Учитывая, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл, мы имеем совокупность двух систем:
или 
Первая система не имеет решения; из второй системы мы получаем x = 1. Учитывая наложенные ранее ограничения, число x = 1 не должно являться корнем исходного уравнения, хотя непосредственной подстановкой мы убеждаемся в том, что это не так.
7. Рассмотрим некоторые ошибки, связанные с понятием сложной функции вида 
. Ошибку покажем на таком примере.
Определить вид монотонности функции 
.
Наша практика показывает, что абсолютное большинство учащихся определяют монотонность в данном случае лишь по основанию логарифма, а так как 0 < 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод – функция 
убывает.
Нет! Эта функция возрастающая.
Условно для функции вида 
можно записать:
– Возрастающая (Убывающая) = Убывающая;
– Возрастающая (Возрастающая) = Возрастающая;
– Убывающая (Убывающая) = Возрастающая;
– Убывающая (Возрастающая) = Убывающая;
8. Решите уравнение
.
Это задание взято из третьей части ЕГЭ, которое оценивается баллами (максимальный балл – 4).
Приведем решение, которое содержит ошибки, а значит за него не будет выставлен максимальный балл.
Сводим логарифмы к основанию 3. Уравнение примет вид
.
Отсюда
,
.
Потенцируя, получаем
или 
,
х1 = 1, х2 = 3.
Выполним проверку, чтобы выявить посторонние корни
x = 1:
, 1 = 1,
значит х = 1 – корень исходного уравнения.
х = 3:
, 0 ≠ 1,
значит х = 3 корнем исходного уравнения не является.
Поясним, почему это решение содержит ошибки. Суть ошибки в том, что запись 
, содержит две грубые ошибки. Первая ошибка: запись 
вообще не имеет смысла. Вторая ошибка: не верно, что произведение двух сомножителей, один из которых 0, обязательно будет нулем. Ноль будет в том и только в том случае, если один множитель – 0, а второй множитель имеет смысл. Здесь же, как раз, второй множитель смысла не имеет.
9. Вернемся к уже прокомментированной выше ошибке, но при этом приведем и новые рассуждения.
При решении логарифмических уравнений 
переходят к уравнению 
. Каждый корень первого уравнения является корнем и второго уравнения. Обратное, вообще говоря, неверно, поэтому, переходя от уравнения 
к уравнению 
, необходимо в конце проверить корни последнего подстановкой в исходное уравнение. Вместо проверки корней целесообразно заменять уравнение 
равносильной системой
Если при решении логарифмического уравнения выражения
, 
, 
,
где n – четное число, преобразовываются соответственно по формулам 
, 
, 
, то, так как во многих случаях при этом сужается область определения уравнения, возможна потеря некоторых его корней. Поэтому указанные формулы целесообразно применять в следующем виде:
n – четное число.
Обратно, если при решении логарифмического уравнения выражения 
, 
, 
, где n – четное число, преобразовываются соответственно в выражения
, 
, 
,
то область определения уравнения может расшириться, в силу чего возможно приобретение посторонних корней. Помня об этом, в подобных ситуациях необходимо следить за равносильностью преобразований и, если область определения уравнения расширяется, делать проверку получаемых корней.
10. При решении логарифмических неравенств с помощью подстановки мы всегда сначала решаем новое неравенство относительно новой переменной, и лишь в его решении делаем переход к старой переменной.
Школьники очень часто ошибочно делают обратный переход раньше, на стадии нахождения корней рациональной функции, получившейся в левой части неравенства. Этого делать не следует.
11. Приведем пример еще одной ошибки, связанной с решением неравенств.
Решите неравенство
.
Приведем ошибочное решение, которое очень часто предлагают учащиеся.
Возведем обе части исходного неравенства в квадрат. Будем иметь:
,
откуда получаем неверное числовое неравенство 
, что позволяет сделать вывод: заданное неравенство не имеет решений.
Однако полученный вывод неверен, например, при х = 1000 имеем
, 
, 
.
Полученное числовое неравенство верно, а значит х = 1000 является решением.
Значит, заданное неравенство имеет решение, и, следовательно, приведенное выше решение ошибочно.
Приведем правильное решение. Найдем область определения исходного неравенства. Она задается системой
или 
откуда 
.
Ясно, что на интервале (10;1000) нет решений, ибо левая часть заданного неравенства при любом х из этого интервала не имеет смысла.
Рассмотрим два случая.
а) 
, откуда х > 100. С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток 
. Для всех х из этого промежутка левая часть исходного неравенства неотрицательна (как значение арифметического квадратного корня), а правая часть – отрицательна. Делаем вывод о том, что 
– решение заданного неравенства.
б) 
, откуда 
. С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток 
. Для всех х из промежутка 
имеют смысл обе части неравенства и они имеют неотрицательные значения, значит обе части заданного неравенства мы можем возвести в квадрат. Будем иметь: 
, откуда 
. Это неверное числовое неравенство позволяет сделать вывод: значения х из промежутка 
решениями исходного неравенства не являются.
Ответ: 
.
12. Типичная ошибка при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем состоит в том, что неверно преобразовываются логарифмические выражения, входящие в них.
13. Часто допускаются ошибки при решении систем уравнений, в том числе и систем логарифмических уравнений, методом деления одного уравнения системы на другое.
Приведем пример такой ошибки, для чего указанным методом решим систему
Разделив первое уравнение системы на второе, будем иметь
Но легко видеть, что и пара (1;1), которая удовлетворяет области определения системы уравнений 
также является решением системы. Действительно, подставляя х = 1 и у = 1 в исходную систему, имеем
откуда 
Поясним, почему произошла потеря решения системы.
Если задана система двух уравнений с двумя неизвестными
из которой мы получаем
то вторая система уравнений будет следствием первой системы уравнений (значит содержит все решения первой системы) в том и только в том случае, когда нет ни одной пары (х; у), при которой бы функции 
и 
одновременно обращались бы в ноль.
Как мы видим, такая пара (1; 1) в данном случае нашлась, потому-то и произошла потеря решения.
Более глубокий анализ этих и других ошибок читатель найдет в наших работах [2, 3, 4, 5].
Библиографическая ссылка
Далингер В.А. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ УЧАЩИХСЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ И ПУТИ ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 4-2.
– С. 445-450;
URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=7437 (дата обращения: 25.06.2023).
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)
- Авторы
- Файлы
- Литература
Далингер В.А.
1
1 Омский государственный педагогический университет
1. Васин А.П., Лебедев А.К. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств (методы решения конкурсных задач). – М.: Изд-во Центра заочного обучения «Пифагор», 1994.
2. Далингер В.А. Типичные ошибки по математике на вступительных экзаменах и как их не допускать. – Омск: Изд-во Омского ИУУ, 1991.
3. Далингер В.А. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике. Выпуск 5. Показательные, логарифмические уравнения, неравенства и их системы: Учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 1996.
4. Далингер В.А. Начала математического анализа: Типичные ошибки, их причины и пути предупреждения: Учебное пособие. – Омск: «Издатель-Полиграфист», 2002.
5. Далингер В.А., Зубков А.Н. Пособие для сдачи экзамена по математике: Анализ ошибок абитуриентов по математике и пути их предупреждения. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 1991.
6. Кутасов А.Д. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы: Учебно-методическое пособие N7. – Изд-во Российского открытого университета, 1992.
Ошибки, допускаемые обучающимися при решении логарифмических уравнений и неравенств, самые разнообразные: от неверного оформления решения до ошибок логического характера. об этих и других ошибках пойдет речь в этой статье.
1. Самая типичная ошибка состоит в том, что учащиеся при решении уравнений и неравенств без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению посторонних коней.
Рассмотрим на конкретных примерах ошибки подобного рода, но прежде обращаем внимание читателя на следующую мысль: не бойтесь приобрести посторонние корни, их можно отбросить путем проверки, бойтесь потерять корни.
а) Решить уравнение:
log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x).
Это уравнение учащиеся очень часто решают следующим образом.
log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x), log3(5 – x) + log3(–1 – x) = 3, log3((5 – x)( –1 – x)) = 3, (5 – x)( –1 – x) = 33, x2 – 4x – 32 = 0,
x1 = –4; x2 = 8.
Учащиеся часто, не проводя дополнительных рассуждений, записывают оба числа в ответ. Но как показывает проверка, число x = 8 не является корнем исходного уравнения, так как при x = 8 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число x = –4 является корнем заданного уравнения.
б) Решить уравнение
Область определения исходного уравнения задается системой
Для решения заданного уравнения перейдем к логарифму по основанию x, получим
Мы видим, что левая и правая части этого последнего уравнения при x = 1 не определены, но это число является корнем исходного уравнения (убедиться в этом можно путем непосредственной подстановки). Таким образом, формальный переход к новому основанию привел к потере корня. Чтобы избежать потери корня x = 1, следует указать, что новое основание должно быть положительным числом, отличным от единицы, и рассмотреть отдельно случай x = 1.
2. Целая группа ошибок, вернее сказать недочетов, состоит в том, что учащиеся не уделяют должного внимания нахождению области определения уравнений, хотя именно она в ряде случаев есть ключ к решению. Остановимся в связи с этим на примере.
Решить уравнение
Найдем область определения этого уравнения, для чего решим систему неравенств:
Откуда имеем x = 0. Проверим непосредственной подстановкой, является ли число x = 0 корнем исходного уравнения
Ответ: x = 0.
3. Типичной ошибкой учащихся является то, что они не владеют на нужном уровне определениями понятий, формулами, формулировками теорем, алгоритмами. Подтвердим сказанное следующим примером.
Решить уравнение
Приведем ошибочное решение этого уравнения:
х = –2.
Поверка показывает, что х = –2 не является корнем исходного уравнения.
Напрашивается вывод, что заданное уравнение корней не имеет.
Однако это не так. Выполнив подстановку х = –4 в заданное уравнение, мы можем убедиться, что это корень.
Проанализируем, почему произошла потеря корня.
В исходном уравнении выражения х и х + 3 могут быть одновременно оба отрицательными или оба положительными, но при переходе к уравнению эти же выражения могут быть только положительными. Следовательно, произошло сужение области определения, что и привело к потере корней.
Чтобы избежать потери корня, можно поступить следующим образом: перейдем в исходном уравнении от логарифма суммы к логарифму произведения. Возможно в этом случае появление посторонних корней, но от них, путем подстановки, можно освободиться.
4. Многие ошибки, допускаемые при решении уравнений и неравенств, являются следствием того, что учащиеся очень часто пытаются решать задачи по шаблону, то есть привычным путем. Покажем это на примере.
Решить неравенство
Попытка решать это неравенство привычными алгоритмическими способами не приведет к ответу. Решение здесь должно состоять в оценке значений каждого слагаемого левой части неравенства на области определения неравенства.
Найдем область определения неравенства:
Для всех x из промежутка (9;10] выражение имеет положительные значения (значения показательной функции всегда положительны).
Для всех x из промежутка (9;10] выражение x – 9 имеет положительные значения, а выражение lg(x – 9) имеет значения отрицательные или ноль, тогда выражение (– (x – 9) lg(x – 9) положительно или равно нулю.
Окончательно имеем x∈ (9;10]. Заметим, что при таких значениях переменной каждое слагаемое, стоящее в левой части неравенства, положительно (второе слагаемое может быть равно нулю), а значит их сумма всегда больше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (9;10].
5. Одна из ошибок связана с графическим решением уравнений.
Решить уравнение
Наш опыт показывает, что учащиеся, решая это уравнение графически (заметим, что его другими элементарными способами решить нельзя), получают лишь один корень (он является абсциссой точки, лежащей на прямой y = x), ибо графики функций
и −
это графики взаимно обратных функций.
На самом деле исходное уравнение имеет три корня: один из них является абсциссой точки, лежащей на биссектрисе первого координатного угла y = x, другой корень и третий корень Убедиться в справедливости сказанного можно непосредственной подстановкой чисел и в заданное уравнение.
Заметим, что уравнения вида logax = ax при 0 < a < e-e всегда имеют три действительных корня.
Этот пример удачно иллюстрирует следующий вывод: графическое решение уравнения f(x) = g(x) “безупречно”, если обе функции разномонотонны (одна из них возрастает, а другая – убывает), и недостаточно математически корректно в случае одномонотонных функций (обе либо одновременно убывают, либо одновременно возрастают).
6. Ряд типичных ошибок связан с тем, что учащиеся не совсем корректно решают уравнения и неравенства на основе функционального подхода. Покажем типичные ошибки такого рода.
а) Решить уравнение xx = x.
Функция, стоящая в левой части уравнения, – показательно-степенная и раз так, то на основание степени следует наложить такие ограничения: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части заданного уравнения:
или
Откуда имеем x = 1.
Логарифмирование не привело к сужению области определения исходного уравнения. Но тем не менее мы потеряли два корня уравнения; непосредственным усмотрением мы находим, что x = 1 и x = –1 являются корнями исходного уравнения.
б) Решить уравнение
Как и в предыдущем случае, мы имеем показательно-степенную функцию, а значит x > 0, x ≠ 1.
Для решения исходного уравнения прологарифмируем его обе части по любому основанию, например, по основанию 10:
Учитывая, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл, мы имеем совокупность двух систем:
или
Первая система не имеет решения; из второй системы мы получаем x = 1. Учитывая наложенные ранее ограничения, число x = 1 не должно являться корнем исходного уравнения, хотя непосредственной подстановкой мы убеждаемся в том, что это не так.
7. Рассмотрим некоторые ошибки, связанные с понятием сложной функции вида . Ошибку покажем на таком примере.
Определить вид монотонности функции .
Наша практика показывает, что абсолютное большинство учащихся определяют монотонность в данном случае лишь по основанию логарифма, а так как 0 < 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод – функция убывает.
Нет! Эта функция возрастающая.
Условно для функции вида можно записать:
– Возрастающая (Убывающая) = Убывающая;
– Возрастающая (Возрастающая) = Возрастающая;
– Убывающая (Убывающая) = Возрастающая;
– Убывающая (Возрастающая) = Убывающая;
8. Решите уравнение
.
Это задание взято из третьей части ЕГЭ, которое оценивается баллами (максимальный балл – 4).
Приведем решение, которое содержит ошибки, а значит за него не будет выставлен максимальный балл.
Сводим логарифмы к основанию 3. Уравнение примет вид
.
Отсюда
,
.
Потенцируя, получаем
или ,
х1 = 1, х2 = 3.
Выполним проверку, чтобы выявить посторонние корни
x = 1:
, 1 = 1,
значит х = 1 – корень исходного уравнения.
х = 3:
, 0 ≠ 1,
значит х = 3 корнем исходного уравнения не является.
Поясним, почему это решение содержит ошибки. Суть ошибки в том, что запись , содержит две грубые ошибки. Первая ошибка: запись вообще не имеет смысла. Вторая ошибка: не верно, что произведение двух сомножителей, один из которых 0, обязательно будет нулем. Ноль будет в том и только в том случае, если один множитель – 0, а второй множитель имеет смысл. Здесь же, как раз, второй множитель смысла не имеет.
9. Вернемся к уже прокомментированной выше ошибке, но при этом приведем и новые рассуждения.
При решении логарифмических уравнений переходят к уравнению . Каждый корень первого уравнения является корнем и второго уравнения. Обратное, вообще говоря, неверно, поэтому, переходя от уравнения к уравнению , необходимо в конце проверить корни последнего подстановкой в исходное уравнение. Вместо проверки корней целесообразно заменять уравнение равносильной системой
Если при решении логарифмического уравнения выражения
, , ,
где n – четное число, преобразовываются соответственно по формулам , , , то, так как во многих случаях при этом сужается область определения уравнения, возможна потеря некоторых его корней. Поэтому указанные формулы целесообразно применять в следующем виде:
n – четное число.
Обратно, если при решении логарифмического уравнения выражения , , , где n – четное число, преобразовываются соответственно в выражения
, , ,
то область определения уравнения может расшириться, в силу чего возможно приобретение посторонних корней. Помня об этом, в подобных ситуациях необходимо следить за равносильностью преобразований и, если область определения уравнения расширяется, делать проверку получаемых корней.
10. При решении логарифмических неравенств с помощью подстановки мы всегда сначала решаем новое неравенство относительно новой переменной, и лишь в его решении делаем переход к старой переменной.
Школьники очень часто ошибочно делают обратный переход раньше, на стадии нахождения корней рациональной функции, получившейся в левой части неравенства. Этого делать не следует.
11. Приведем пример еще одной ошибки, связанной с решением неравенств.
Решите неравенство
.
Приведем ошибочное решение, которое очень часто предлагают учащиеся.
Возведем обе части исходного неравенства в квадрат. Будем иметь:
,
откуда получаем неверное числовое неравенство , что позволяет сделать вывод: заданное неравенство не имеет решений.
Однако полученный вывод неверен, например, при х = 1000 имеем
, , .
Полученное числовое неравенство верно, а значит х = 1000 является решением.
Значит, заданное неравенство имеет решение, и, следовательно, приведенное выше решение ошибочно.
Приведем правильное решение. Найдем область определения исходного неравенства. Она задается системой
или
откуда .
Ясно, что на интервале (10;1000) нет решений, ибо левая часть заданного неравенства при любом х из этого интервала не имеет смысла.
Рассмотрим два случая.
а) , откуда х > 100. С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из этого промежутка левая часть исходного неравенства неотрицательна (как значение арифметического квадратного корня), а правая часть – отрицательна. Делаем вывод о том, что – решение заданного неравенства.
б) , откуда . С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из промежутка имеют смысл обе части неравенства и они имеют неотрицательные значения, значит обе части заданного неравенства мы можем возвести в квадрат. Будем иметь: , откуда . Это неверное числовое неравенство позволяет сделать вывод: значения х из промежутка решениями исходного неравенства не являются.
Ответ: .
12. Типичная ошибка при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем состоит в том, что неверно преобразовываются логарифмические выражения, входящие в них.
13. Часто допускаются ошибки при решении систем уравнений, в том числе и систем логарифмических уравнений, методом деления одного уравнения системы на другое.
Приведем пример такой ошибки, для чего указанным методом решим систему
Разделив первое уравнение системы на второе, будем иметь
Но легко видеть, что и пара (1;1), которая удовлетворяет области определения системы уравнений также является решением системы. Действительно, подставляя х = 1 и у = 1 в исходную систему, имеем
откуда
Поясним, почему произошла потеря решения системы.
Если задана система двух уравнений с двумя неизвестными
из которой мы получаем
то вторая система уравнений будет следствием первой системы уравнений (значит содержит все решения первой системы) в том и только в том случае, когда нет ни одной пары (х; у), при которой бы функции и одновременно обращались бы в ноль.
Как мы видим, такая пара (1; 1) в данном случае нашлась, потому-то и произошла потеря решения.
Более глубокий анализ этих и других ошибок читатель найдет в наших работах [2, 3, 4, 5].
Библиографическая ссылка
Далингер В.А. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ УЧАЩИХСЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ И ПУТИ ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 4-2.
– С. 445-450;
URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=7437 (дата обращения: 30.01.2023).
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)
План-конспект урока на тему «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств».
Автор: Семёнов Илья Владимирович,
учитель ГАОУ РМЭ «Лицей Бауманский».
Цель урока: показать стандартные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств с целью их предотвращения.
Задачи урок:
— образовательная: научить учащихся решать сложные логарифмические уравнения и неравенства рациональным способом, при этом правильно применять свойства логарифма;
— развивающая: развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, развить навык рационального способа решения задач, развивать творческое мышление;
— воспитательная: воспитать культуру оформления сложных логарифмических уравнений и неравенств, культуру графической иллюстрации, самостоятельность, внимательность, умение работать в коллективе, умение вести диспут.
Тип урока: комбинированный урок.
Метод преподавания: словесный, объяснительно-иллюстративный.
Требования к учащимся:
- учащиеся должны знать: определение логарифма, его свойства; формулу перехода к новому основанию; особенности решения логарифмических неравенств по разному основанию; метод рационализации;
- учащиеся должны уметь: решать дробно-рациональные неравенства, использовать метод интервалов.
Оборудование: мел, доска.
Формы работы: фронтальная, индивидуальна, групповая.
Структура урока:
- Организационная часть урока.
Проверка учащихся и класса к уроку: наличие учебников и тетрадей, тишина в классе, чистота доски и влажность губки. Приветствие учащихся.
- Основная часть. Первичное закрепление.
Данный урок проводится после проведения входного контрольной работы. На основе проанализированных результатов (ошибок учащихся), а так же научных статей мы постарались выявить основные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Опишем основные из них:
А) Игнорирование модуля при вынесении четной степени из подлогарифмического выражения;
Б) Вынесение степени из подлогарифмического выражения, когда логарифм в какой-либо степени (;
В) Переменное основание (учащиеся решают логарифмические уравнения и неравенства по алгоритму, шаблонно, при этом имея скудный багаж решенных задач. По этой причине допускаются ошибки при решении логарифмического неравенства по основанию );
Г) Забывают сделать отбор корней через О.Д.З.;
Д) Хоть и не относится к логарифмическим уравнениям и неравенствам, но является частым следствием их решения решение дробно-рациональных неравенств, т.е. полное игнорирование знаменателя дроби при их решении;
Е) Нет четкой картины при использование метода интервалов;
Ж) Нет знаний элементарных функций, а в следствии и не могут верно накладывать ограничения при решении логарифмических уравнений и неравенств;
З) Неверное разложение логарифмических выражений:
—
—
И) Решая логарифмические неравенства методом замены не могут верно вернуться к введенной замене;
Й) Не видят разницы между системой и совокупностью, а в следствии не могут верно использовать равносильный переход и переход к введенной замене.
Постараемся учесть все замечания, изложенные выше и акцентировать на них внимание при решении данных проблем.
Учащимся предлагается решить логарифмические неравенства:
Начнем с первого неравенства:
О.Д.З.:
Разложив первое неравенство системы на линейные множители получаем: . Данные неравенство равносильны друг другу. Решением данной системы является промежуток
Переходим к решению логарифмического неравенства6
Разложив подлогарифмическое выражение на линейные множители получаем: .
С данного шага надо дать возможность учащимся самим выбрать путь решения:
1 способ.
С данного шага стоит уточнить порядок действий
А) можно использовать определение логарифма и перейти к выражению . В итоге мы получили сложное выражение, с которым сложно справиться.
Б) можно вынести четную степени из подлогарифмического выражения и получится выражение: . Главное в данном шаге это то, что при вынесении четной степени из подлогарифмичесокго выражения влечет то, что появляется модуль. На этом надо сделать акцент при объяснении материала.
Продолжаем решение: .
Используя определение логарифма получаем: .
По определению модуля получаем двойное неравенство:
Осталось найти пересечение множеств решения логарифмического неравенства с О.Д.З.: Решением данной системы является промежуток:
Ответ:
2 способ. Через разложение логарифма.
Приведем лишь рекомендации к решению. Используя формулы:
—
—
получаем следующее выражение:
.
Далее, решение логарифмического неравенства аналогично первому способу.
3 способ. Метод рационализации.
Объяснение по усмотрению учителя и в зависимости от профиля обучения. Так же в зависимости от доступного времени.
Переходим к решению второго неравенства.
Учащимся предлагается решать данное неравенство самостоятельно, а учитель указывает только ответ. Ответ: . На решение выделяется около 5-7 минут.
Вероятнее всего учащиеся не придут к верному ответу. Учащиеся зададутся, верен ли ответ, данный учителем. И вывод заключается в следующем – учащиеся, что то не учли. Может быть, кто-то дойдет до проблемы, если нет, то учитель объяснит сам.
Решение.
О.Д.З.: Решение системы:
Решим неравенство:
Проблема заключается в следующем – не учитывается то, что логарифм находится в квадрате (и не забываем что выносим четную степень), т.е.
Так как неравенство определено на множестве положительных чисел (по О.Д.З.), то модуль можно раскрывать с положительным значением.
Данное логарифмическое неравенство не сложно решить методом замены. Введем замену: .
Стоит спросить учащихся, а стоит ли накладывать ограничения на
Часто учащиеся не могут верно ответить на данный вопрос, потому что не имеют четкого представления о элементарных функция.
Как стоит поступить в данном случае? Стоит спросить учащихся, чем является ? А
это то, в какую степень возводят основание логарифма и получают подлогарифмическое выражение, а степень определена на множестве действительных чисел.
Продолжаем решать:
Разложив данное квадратное выражение на линейные множители получаем:
Главная проблема заключается в следующем: учащиеся находят корни квадратного выражения и бездумно возвращаются к подстановке не дорешав неравенство с введенной заменой. Стоит акцентировать внимание, что надо дорешать наше неравенство относительно .
Следующая проблема — учащиеся не могут перейти к введенной замене.
Стоит сделать следующее – спросить учащихся как представить промежуток через двойное неравенство. Ответ:
Далее задать вопрос – как данное двойное неравенство представить через систему или совокупность: И только с данного шага можно вернуться к подстановке:
Стоит спросить учащихся, какие условия есть для решения логарифмического неравенства по определению. Речь идет о том, что если , то знак неравенства сохраняется без изменений, если же
то необходимо поменять знак на противоположный.
Продолжаем решение:
Решением данной системы является промежуток: .
Осталось объединить решение логарифмического неравенства с О.Д.З.:. Решением данной системы является промежуток:
.
Ответ: .
Так же данное неравенство можно решить методом рационализации.
- Информация о домашнем задании.
На усмотрение учителя.
- Подведение итогов урока.
На данном уроке мы постарались уделить внимание основным ошибкам при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Учитель спрашивает, полезна ли была данная информация для учащихся, весь ли материл был доступен и понятен. Есть ли у учащихся вопросы?
Учитель прощается. Урок окончен.
Конспект урока по теме «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств»
план-конспект урока по алгебре (11 класс)
Даннная разработка может быть интересна для учителей, которые хотят обратить внимание учащихся на типичные ошибки при решении логарифмических уравненияхи неравенств.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| plan-konspekt_uroka_3.docx | 27.89 КБ |
Предварительный просмотр:
План-конспект урока на тему «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств».
Автор: Семёнов Илья Владимирович,
учитель ГАОУ РМЭ «Лицей Бауманский».
Цель урока: показать стандартные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств с целью их предотвращения.
— образовательная: научить учащихся решать сложные логарифмические уравнения и неравенства рациональным способом, при этом правильно применять свойства логарифма;
— развивающая: развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, развить навык рационального способа решения задач, развивать творческое мышление;
— воспитательная: воспитать культуру оформления сложных логарифмических уравнений и неравенств, культуру графической иллюстрации, самостоятельность, внимательность, умение работать в коллективе, умение вести диспут.
Тип урока: комбинированный урок.
Метод преподавания: словесный, объяснительно-иллюстративный.
Требования к учащимся:
- учащиеся должны знать: определение логарифма, его свойства; формулу перехода к новому основанию; особенности решения логарифмических неравенств по разному основанию; метод рационализации;
- учащиеся должны уметь: решать дробно-рациональные неравенства, использовать метод интервалов.
Оборудование: мел, доска.
Формы работы: фронтальная, индивидуальна, групповая.
- Организационная часть урока.
Проверка учащихся и класса к уроку: наличие учебников и тетрадей, тишина в классе, чистота доски и влажность губки. Приветствие учащихся.
- Основная часть. Первичное закрепление.
Данный урок проводится после проведения входного контрольной работы. На основе проанализированных результатов (ошибок учащихся), а так же научных статей мы постарались выявить основные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Опишем основные из них:
А) Игнорирование модуля при вынесении четной степени из подлогарифмического выражения;
Б) Вынесение степени из подлогарифмического выражения, когда логарифм в какой-либо степени ( ;
В) Переменное основание (учащиеся решают логарифмические уравнения и неравенства по алгоритму, шаблонно, при этом имея скудный багаж решенных задач. По этой причине допускаются ошибки при решении логарифмического неравенства по основанию );
Г) Забывают сделать отбор корней через О.Д.З.;
Д) Хоть и не относится к логарифмическим уравнениям и неравенствам, но является частым следствием их решения решение дробно-рациональных неравенств, т.е. полное игнорирование знаменателя дроби при их решении;
Е) Нет четкой картины при использование метода интервалов;
Ж) Нет знаний элементарных функций, а в следствии и не могут верно накладывать ограничения при решении логарифмических уравнений и неравенств;
З) Неверное разложение логарифмических выражений:
И) Решая логарифмические неравенства методом замены не могут верно вернуться к введенной замене;
Й) Не видят разницы между системой и совокупностью, а в следствии не могут верно использовать равносильный переход и переход к введенной замене.
Постараемся учесть все замечания, изложенные выше и акцентировать на них внимание при решении данных проблем.
Учащимся предлагается решить логарифмические неравенства:
Начнем с первого неравенства:
Разложив первое неравенство системы на линейные множители получаем: . Данные неравенство равносильны друг другу. Решением данной системы является промежуток
Переходим к решению логарифмического неравенства6
Разложив подлогарифмическое выражение на линейные множители получаем: .
С данного шага надо дать возможность учащимся самим выбрать путь решения:
С данного шага стоит уточнить порядок действий
А) можно использовать определение логарифма и перейти к выражению . В итоге мы получили сложное выражение, с которым сложно справиться.
Б) можно вынести четную степени из подлогарифмического выражения и получится выражение: . Главное в данном шаге это то, что при вынесении четной степени из подлогарифмичесокго выражения влечет то, что появляется модуль. На этом надо сделать акцент при объяснении материала.
Используя определение логарифма получаем: .
По определению модуля получаем двойное неравенство:
Осталось найти пересечение множеств решения логарифмического неравенства с О.Д.З.: Решением данной системы является промежуток:
2 способ. Через разложение логарифма.
Приведем лишь рекомендации к решению. Используя формулы:
—
получаем следующее выражение:
Далее, решение логарифмического неравенства аналогично первому способу.
3 способ. Метод рационализации.
Объяснение по усмотрению учителя и в зависимости от профиля обучения. Так же в зависимости от доступного времени.
Переходим к решению второго неравенства.
Учащимся предлагается решать данное неравенство самостоятельно, а учитель указывает только ответ. Ответ: . На решение выделяется около 5-7 минут.
Вероятнее всего учащиеся не придут к верному ответу. Учащиеся зададутся, верен ли ответ, данный учителем. И вывод заключается в следующем – учащиеся, что то не учли. Может быть, кто-то дойдет до проблемы, если нет, то учитель объяснит сам.
О.Д.З.: Решение системы:
Проблема заключается в следующем – не учитывается то, что логарифм находится в квадрате (и не забываем что выносим четную степень), т.е.
Так как неравенство определено на множестве положительных чисел (по О.Д.З.), то модуль можно раскрывать с положительным значением.
Данное логарифмическое неравенство не сложно решить методом замены. Введем замену: .
Стоит спросить учащихся, а стоит ли накладывать ограничения на
Часто учащиеся не могут верно ответить на данный вопрос, потому что не имеют четкого представления о элементарных функция.
Как стоит поступить в данном случае? Стоит спросить учащихся, чем является ? А это то, в какую степень возводят основание логарифма и получают подлогарифмическое выражение, а степень определена на множестве действительных чисел.
Разложив данное квадратное выражение на линейные множители получаем:
Главная проблема заключается в следующем: учащиеся находят корни квадратного выражения и бездумно возвращаются к подстановке не дорешав неравенство с введенной заменой. Стоит акцентировать внимание, что надо дорешать наше неравенство относительно .
Следующая проблема — учащиеся не могут перейти к введенной замене.
Стоит сделать следующее – спросить учащихся как представить промежуток через двойное неравенство. Ответ:
Далее задать вопрос – как данное двойное неравенство представить через систему или совокупность: И только с данного шага можно вернуться к подстановке:
Стоит спросить учащихся, какие условия есть для решения логарифмического неравенства по определению. Речь идет о том, что если , то знак неравенства сохраняется без изменений, если же то необходимо поменять знак на противоположный.
Решением данной системы является промежуток: .
Осталось объединить решение логарифмического неравенства с О.Д.З.: . Решением данной системы является промежуток: .
Так же данное неравенство можно решить методом рационализации.
- Информация о домашнем задании.
На усмотрение учителя.
На данном уроке мы постарались уделить внимание основным ошибкам при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Учитель спрашивает, полезна ли была данная информация для учащихся, весь ли материл был доступен и понятен. Есть ли у учащихся вопросы?
math4school.ru
Ошибки в уравнениях
При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.
Потеря корней
При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .
При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.
K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .
L Неправильное решение.
2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,
Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.
Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.
J Правильное решение.
Ответ: –2; 4; 6 и 12.
При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.
K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:
J Правильное решение.
Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:
K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на lg x и получим:
J Правильное решение.
Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.
Посторонние корни
При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.
Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.
Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .
K Упражнение. Решить уравнение
| 5 – x | – | 5 + 3х | = 0 . |
| x – 1 | x 2 – 1 |
L Неправильное решение.
Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:
Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .
J Правильный ответ: х = 0.
Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .
K Упражнение. Решить уравнение
L Неправильное решение.
Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:
Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .
J Правильный ответ: решений нет.
Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.
K Упражнение. Решить уравнение
| 2 | + х 2 – | 2 | – 4х = 0 . |
| 3х 2 | 3х 2 |
L Неправильное решение.
После приведения подобных слагаемых получим:
Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .
J Правильный ответ: 4 .
Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.
Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.
K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .
L Неправильное решение.
И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.
Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения
Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.
Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения
которое уже имеет один корень –2 , к уравнению
Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение
для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.
J Правильный ответ: решений нет.
Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.
Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.
K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .
L Неправильное решение.
Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:
Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.
J Правильный ответ: 5 и 3 .
Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:
| tg ( x + y ) = | tg x + tg y |
| 1 – tg x · tg y |
| sin 2 x = | 2 tg x |
| 1 + tg 2 x |
В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .
L Неправильное решение.
так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и
Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .
Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.
J Правильное решение.
(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)
(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)
(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)
Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.
Ошибки, связанные с заменой переменной
При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.
Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .
K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^<1/4>-6=left(x-3 right)^<1/2>.)
L Неправильное решение.
Сделав замену ( left(x-3 right)^<1/2>=t), считают, что ( left(x-3 right)^<1/4>=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.
J Правильное решение.
Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^<1/4>=t), тогда ( left(x-3 right)^<1/2>=t^2) с продолжением:
Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .
K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .
L Неправильное решение.
Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .
J Правильное решение.
При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .
K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt<2x^2-8x+12>=6.)
L Неправильное (нерациональное) решение.
Чаще всего данное уравнение начинают решать так:
Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.
Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.
J Правильное решение.
и исходное уравнение принимает вид:
А дальше все просто:
Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.
Ошибки, связанные с использованием модуля
При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.
K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt<(x+3)^2>=x+3.)
L Неправильное решение.
Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.
J Правильное решение.
Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.
K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .
J Правильное решение.
Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:
На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.
1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:
так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;
2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:
что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;
3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:
так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.
Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .
Подбор корней без обоснования
К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .
K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .
L Неправильное решение.
Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.
Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.
J Правильное решение.
введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда
1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;
Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.
K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .
L Неправильное решение.
Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .
Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.
J Правильное решение.
Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.
Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях
Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.
При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.
K Упражнение 1. Решить уравнение (log7 x) 1 /3 = 1 .
L Неправильное решение.
Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.
Ответ: корней нет.
J Правильное решение.
Возведем в куб обе части уравнения, тогда
K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .
L Неправильное решение.
Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:
J Правильное решение.
Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда
Необходимо помнить, что:
из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;
степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.
При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.
L Неправильное решение.
Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .
L Неправильное решение.
J Правильное решение 1.
2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.
J Правильное решение 2.
lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.
Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.
Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .
K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _<5>>^2 ;x=0.)
L Неправильное решение.
(left(1 +2 log _<5>xright)log _<5>x=0;)
Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.
J Правильное решение.
Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.
K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_<4x>sqrt+ 7log_<16x>x^3-3log _x^2=0.)
L Неправильное решение.
Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.
J Правильное решение.
Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.
Ошибки в тригонометрических уравнениях
Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.
Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ РЕШЕНИИ. Рекомендацииучителю Пояснительная записка Начать работу Авторы: Мохова В.Ю. учитель математики. — презентация
Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемtriangle.ucoz.ru
Похожие презентации
Презентация по предмету «Математика» на тему: «ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ РЕШЕНИИ. Рекомендацииучителю Пояснительная записка Начать работу Авторы: Мохова В.Ю. учитель математики.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
2 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ РЕШЕНИИ. Рекомендацииучителю Пояснительная записка Начать работу Авторы: Мохова В.Ю. учитель математики школы 381, Хмелинина Л.А. учитель математики школы 478.
3 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ
4 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ X=16
5 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ X=4 или X=-4 Посмотреть решение
6 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ X=100
7 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ x=10 2/3
8 log 2 x 2 =4 x 2 =2 4 x 2 =16 х = 4 или х = -4 Ответ:4;-4. Другое решение
9 log 2 x 2 =4 2·log 2 |x|=4 log 2 |x|=2 |x|=4 x = 4 или x = -4 Ответ:4;-4.
10 log 2 (4-x)+log 2 (1-2x)=2log 2 3lgx 2 +lgx 6 =8 2lgx+6lgx=8 8lgx=8 lgx=1 x=10 Ответ: 10. Найди ошибку и запиши правильное решение ПодсказкаПодсказка 2 Ответ ПодсказкаОтветПодсказка1
11 log 2 (4-x)+log 2 (1-2x)=2log 2 3 (1) log 2 ((4-x)(1-2x))=log (2) Уравнение (1) не равносильно уравнению (2), поэтому нужно сделать проверку или указать О.Д.З., тогда увидишь посторонний корень.
12 log 2 (4-x)+log 2 (1-2x)=2log 2 3lgx 2 +lgx 6 =8 2lgx+6lgx=8 8lgx=8 lgx=1 x=10 Ответ: 10. Найди ошибку и запиши правильное решение Ответ ПодсказкаПодсказка2 Ответ — Подсказка1
13 lgx 2 +lgx 6 =8 2lgx+6lgx=8 Неправильно вынесен показатель степени. Нужно сделать так: 2lg|x|+6lg|x|=8
14 log 2 (4-x)+log 2 (1-2x)=2log 2 3lgx 2 +lgx 6 =8 2lgx+6lgx=8 8lgx=8 lgx=1 x=10 Ответ: 10. Найди ошибку и запиши правильное решение Подсказка Ответ ПодсказкаОтвет 10; -10.
15 Это уравнение lgx 2 +lgx 6 =8 можно решить иначе lg(x 2 x 6 )=8 x 8 =10 8 x=10 или x=-10 Ответ: 10; -10.
16 Найди правильное решение уравнения lgxlg(2+x)=lgx /:lgx lg(2+x)=1 2+x=10 x=8 Ответ:8. проверить lgxlg(2+x)=lgx lgxlg(2+x)-lgx=0 lgx·(lg(2+x)-1)=0 lgx=0 или lg(2+x)-1=0 x=1 2+x=10 x=8 Ответ:1;8. lgxlg(2+x)=lgx Решение первоеРешение второе
17 Правильное решение — второе. В первом случае потерян корень. Посмотреть еще раз Дальше
18 В рассмотренных примерах мы отработали две ошибки: -потеря корня; -лишний корень.
19 Реши сам Если ты уверен в своих знаниях и хочешь заработать оценку «5», то выбирай задания здесь Если ты не очень уверен в своих знаниях, то выбирай задания здесь.
20 На оценку 5 реши уравнения: 1. log 3 2 (9x 2 )=log 3 81 Проверить ответПроверить ответ 2. lg(lgx)+lg(lgx 3 -2)=0 Проверить ответПроверить ответ
21 Реши сам следующие уравнения 1. log 3 (x+4)+log 3 (x-1)=1+log 3 2 Проверить ответПроверить ответ 2. log 3 (x-2) log 3 x=log 3 (x-2) Проверить ответ Проверить ответ 3. lgx 2 +lgx 4 +6=0 Проверить ответ Проверить ответ
22 Если решил правильно, то молодец и можешь закончить занятие.
23 На оценку 5 реши уравнения: 1. log 3 2 (9x 2 )=log 3 81 Проверить ответ 2. lg(lgx)+lg(lgx 3 -2)=0 Проверить ответПроверить ответ -1; 1; 1/9; -1/9.
24 На оценку 5 реши уравнения: 1. log 3 2 (9x 2 )=log 3 81 Проверить ответПроверить ответ 2. lg(lgx)+lg(lgx 3 -2)=0 Проверить ответ 10
25 Реши сам следующие уравнения 1. log 3 (x+4)+log 3 (x-1)=1+log 3 2 Проверить ответ 2. log 3 (x-2) log 3 x=log 3 (x-2) Проверить ответ Проверить ответ 3. lgx 2 +lgx 4 +6=0 Проверить ответ Проверить ответ 2
26 Реши сам следующие уравнения 1. log 3 (x+4)+log 3 (x-1)=1+log 3 2 Проверить ответПроверить ответ 2. log 3 (x-2) ·log 3 x=log 3 (x-2) Проверить ответ 3. lgx 2 +lgx 4 +6=0 Проверить ответ Проверить ответ 3
27 Реши сам следующие уравнения 1. log 3 (x+4)+log 3 (x-1)=1+log 3 2 Проверить ответПроверить ответ 2. log 3 (x-2) ·log 3 x=log 3 (x-2) Проверить ответ Проверить ответ 3. lgx 2 +lgx 4 +6=0 Проверить ответ -1/10; 1/10.
28 Если решил правильно, то молодец и можешь закончить занятие.
29 Если решил правильно, то молодец и можешь закончить занятие Или попробуй решить на «5»
30 Если у Вас осталось время, то можете заглянуть на историческую страничку или посмотреть логарифмическую комедию. Страничка истории Логарифмическая комедия
31 Действие — возведение в степень -имеет два обратных. Если a b =c, то отыскание a есть одно обратное действие – извлечение корня; нахождение же b – другое, логарифмирование. Для чего были придуманы логарифмы? Конечно, для ускорения и упрощения вычислений. Логарифмы дают возможность производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени). Об этом можно прочитать в книге «Занимательная алгебра» Я.И.Перельмана. Немного истории Закончить работу Далее
3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)» title=»Логарифмическая комедия Докажем, что 2>3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)» > 32 Логарифмическая комедия Докажем, что 2>3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)>3lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) Имеем: 2>3. В чем ошибка этого доказательства? Решение 3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)»> 3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)>3lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) Имеем: 2>3. В чем ошибка этого доказательства? Решение»> 3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)» title=»Логарифмическая комедия Докажем, что 2>3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)»>
на на 33 Ошибка в том, что при сокращении на lg(1/2) не был изменен знак неравенства ( > на на на на на
источники:
http://math4school.ru/oshibki_v_uravnenijah.html
http://www.myshared.ru/slide/224744/
“Логарифмические” и “неравенства”. Оба слова тебе знакомы по отдельности?
Я очень надеюсь, что да. Иначе я настоятельно рекомендую (очень-очень прошу!) прочитать и освоить следующие разделы:
- Логарифмы
- Свойства степени
- Решение логарифмических уравнений
- Решение линейных неравенств
- Метод интервалов
Эти материалы очень важны для сдачи ЕГЭ по математике на максимум и поступления в ВУЗ мечты! Учти это!
Ну что, весь материал улегся в голове? Теперь ты легко сможешь ответить на вопрос, скажем, чему равен ( lo{{g}_{3}}81), ведь ясно, что это ( 4), правда?
А почему?
Да потому, что ( {{3}^{4}}=81), а логарифм – это и есть та степень, в которую нужно возвести маленькое число снизу (в данном случае ( 3)), чтобы получить большое число сверху (то есть ( 81)).
А вот ты знаешь, чему в точности равно ( lo{{g}_{2}}3)? Нет? И я нет, и никто не знает. (Для меня с такого постулата началась математика, что никто и ничего не знает)
А все почему?
Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем. Факт есть факт.
То есть логарифм, можно сказать, обобщает понятие степени.
Ну что я все про логарифмы да про логарифмы… Ты ведь мне пообещал, что прочитаешь все материалы по ним самостоятельно, и я тебе в этом вопросе полностью доверяю.
Как доверяю и в том, что с неравенствами (хотя бы простейшими), ты тоже на «ты». Ну если не совсем на «ты», то хотя бы не пугаешься одного их вида. Они же не кусаются. Тебе ведь совершенно очевидно, что неравенство, скажем
( 4{x} -2<0)
имеет решение ( x<frac{1}{2}), или, как мы это обычно записываем, ( xin left( -infty ;0.5 right).)
Ты ведь грамотный читатель и тебе не надо лишний раз напоминать, что
При делении (или умножении) на положительное число знак неравенства не меняется, а при умножении на отрицательное – меняется на противоположный?
Еще раз очень прошу тебя, если мои слова тебе мало что говорят, то срочно, прямо сейчас перечитай методы решения простейших линейных неравенств.
Азов нам пока что хватит.
Ну все, теперь, я думаю, самое время переходить к внешнему виду логарифма. Давай посмотрим на него повнимательнее.
ОДЗ логарифмического неравенства
Для логарифма (из его определения) следует, что ( 2x+4~>~0) (сейчас ( 2x+4~) выступает в роли ( b) в определении логарифма).
А как мы помним, это число обязано быть положительным (еще раз посмотри на определение логарифмического неравенства), я предупреждал, что это очень важно.
Это неравенство ты без труда решишь и скажешь, что ( x) обязан быть больше ( -2.)
Ну вот, с ОДЗ мы разобрались, время переходить непосредственно к решению неравенства ( log{{~}_{2}}left( 2x+4 right)~>~log{{~}_{2}}3).
Давайте просто отбросим ( lo{{g}_{2}}) из левой и правой частей нашего неравенства. Тогда у нас останется ( 2x+4~>~3), откуда ( 2x~>~-1) и ( x~>~-frac{1}{2}). Теперь наша с тобой цель – это «совместить» полученное решение с ОДЗ.
( left{ begin{array}{l}x>~-2x>~-frac{1}{2}end{array} right.)
Отметим эти точки (ты догадался, что под точками я имею в виду ( -2) и ( -frac{1}{2})).
Теперь тебе ясно, что является решением нашего исходного неравенства? Да, ты абсолютно прав, это та область, где проходят две дужки. Тогда запишем ответ:
( xin left( -0.5;+infty right).)
А вот тебе тот же самый пример, но я изменю в нем лишь самую малость:
( log_{0.2}~left( 2x+4 right)~>~log_{0.2}~3)
Ты без труда заметил, что изменилось совсем немного – я лишь поменял основание с ( displaystyle 2) на ( displaystyle 0.2.)
Однако решение примера изменится от этого кардинально.
О нет, ОДЗ не изменится, куда уж ему деться. Тут все по-прежнему. ОДЗ: ( displaystyle text{x}>~-2).
А вот само неравенство, которое равносильно исходному, преобразится: из ( displaystyle lo{{g}_{0.2}}~left( 2x+4 right)>~lo{{g}_{0.2}}~3) у нас теперь будет следовать, что ( displaystyle 2x+4<3).
Отчего же это произошло? Кто виноват?
А виновато основание, и только оно.
Ничего, как только мы решим до конца этот пример, я сформулирую соответствующее простое правило.
А пока что решим простейшее неравенство: ( displaystyle 2x+4< 3 Rightarrow x<-frac{1}{2}).
Тогда исходное неравенство равносильно вот такой системе:
( displaystyle left{ begin{array}{l}x>~-2x<~-frac{1}{2}end{array} right.)
И ее решением будет промежуток: ( displaystyle xin left( -2;-frac{1}{2} right).)
Все еще под впечатлением?
Изменилось ведь всего ничего (основание такое маленькое, что иногда и незаметно вовсе), а решение стало совсем другим.
Решение логарифмических неравенств
Теперь давай, наконец, запишем долгожданное правило.
( displaystyle lo{{g}_{a}}~fleft( x right)~>lo{{g}_{a}}~gleft( x right)~=>~fleft( x right)>gleft( x right)) при ( displaystyle a>1) ( displaystyle lo{{g}_{a}}fleft( x right)~>lo{{g}_{a}}~gleft( x right)~=>~fleft( x right)<gleft( x right)) при ( displaystyle 0<a<1)
Если сказать все простыми словами, то:
Если основание логарифма в неравенстве больше единицы, то знак неравенства сохраняется и для ( displaystyle fleft( x right)) и ( displaystyle gleft( x right)), если же основание логарифма больше нуля и меньше единицы, то знак между ( displaystyle fleft( x right)) и ( displaystyle gleft( x right)) заменяется на противоположный.
Теперь ты понял, почему так сильно отличались решения очень похожих неравенств?
Вся собака зарыта в основаниях!
Теперь ты во всеоружии можешь решать самые разнообразные примеры, щелкая их как орешки (хотя не все орешки имеют мягкую скорлупу).
Вот тебе еще один пример:
( displaystyle lo{{g}_{0.2}}left( {{x}^{2}}+6x+8 right)>lo{{g}_{0.2}}left( 5x+10 right)).
Ну что же, ты знаешь, что делать: вначале найдем ОДЗ (но здесь у нас будет аж два выражения в нем).
Во-первых ( displaystyle {{x}^{2}}+6x+8>0).
Как называется метод, который позволяет решать такие неравенства?
Да! Метод интервалов.
Я просил или нет, повторить его? Кажется, просил. И не зря. Тебя предупреждали, что он может пригодиться в самом неожиданном месте.
Ну ладно, я еще раз напомню, но в первый и последний раз делаю тебе маленькую поблажку.
Первое, что тебе нужно сделать, это найти корни уравнения ( displaystyle {{x}^{2}}+6x+8=0), как понимаешь, они равны ( displaystyle x1=-4,text{ }x2=-2.)
Нанесем их на координатную прямую и разобьем ее на три интервала. Найдем знак нашего выражения на каждом из интервалов.
Для этого, как помнишь, я должен выбрать число из какого-нибудь промежутка и подставить его в исходное выражение.
Мне нравится подставлять ноль (не правда ли, удобно?), то есть я найду таким образом знак на крайне правом промежутке.
Выражение в нуле равно восьми, значит знак положительный. Ставлю плюсик. Далее чередую. Получу картинку:
Плюсики меня и интересуют, тогда ОДЗ первого выражения будет множество ( displaystyle xin left( -infty ;-4 right)mathop{cup }^{}left( -2;+infty right).)
Второе ОДЗ проще: ( displaystyle 5x+10>0). Тут ты и сам справишься и запишешь, что ( displaystyle x>-2).
Тогда я пересекаю первое ОДЗ со вторым, получу:
Тогда мое окончательное ОДЗ – есть та область, над которой проходят две дужки – это промежуток ( displaystyle left( -2;+infty right).)
Теперь приступим непосредственно к решению неравенства, оно заждалось и неприлично заставлять ждать его еще больше.
( displaystyle lo{{g}_{0.2}}left( {{x}^{2}}+6x+8 right)>lo{{g}_{0.2}}left( 5x+10 right))
Поскольку основание у нас ( displaystyle 0.2<1,), то ЗНАК НЕРАВЕНСТВА МЫ МЕНЯЕМ!!
Получим:
( displaystyle {{x}^{2}}+6x+8<5x+10)
Упростим:
( displaystyle {{x}^{2}}+{x} -2<0)
И опять применяем метод интервалов. Я пропущу эти выкладки, а ты проведи их и сравни с моим ответом:
( displaystyle xin left( -2;1 right).)
Окончательное решение неравенства – пересечение ОДЗ с только что полученным множеством. Получим:
Ответом будет голубой холмик, который ты видишь на картинке.
Ответ: ( xin left( -2;1 right).)
Алгоритм решения логарифмических неравенств
Теперь давай сформулируем основной алгоритм решения простейших логарифмических неравенств вида ( lo{{g}_{a}}~fleft( x right)~>~lo{{g}_{a}}~gleft( x right).~).
- Находим ОДЗ: ( left{ begin{array}{l}fleft( x right)>0gleft( x right)>0end{array} right.) (я напомню, что знак системы (фигурная скобка) означает, что должны выполняться одновременно оба неравенства;
- Смотрим на основание: если ( a>1), то решаем неравенство ( fleft( x right)>gleft( x right).) Если же ( 0<a<1), то решаем ( fleft( x right)<gleft( x right));
- Совмещаем полученное решение неравенства из пункта 2 с нашим ОДЗ из пункта 1;
Те же самые правила применимы и к трем другим видам логарифмических неравенств.
Но ты заметил, что я немного «кривил душой»? Во-первых, кто сказал, что всегда ясно однозначно, какое значение принимает основание. Никто этого не говорил…
Основание также может быть переменным, например, ( a=2x+1). И тогда нам нужно уже рассматривать отдельно 2 случая: когда оно больше единицы и когда лежит между нулем и единицей.
Однако этому «сложному» случаю будет посвящена следующая статья, где он рассматривается отдельно.
В общем случае, внешний вид логарифмических неравенств может существенно отличаться от простейших. В таком случае что мы с тобой должны сделать вначале?
Верно, привести неравенство к виду простейшего. И мы обязательно будем это делать, но самую малость попозже.
А пока давай немного потренируемся в решении самых базовых логарифмических неравенств.
Кстати, обрати пристальное внимание на первый пример (хотя и на второй тоже). Посмотри, тебя ничего не смущает?
Видишь, что решение неравенства ( {{x}^{2}}+2{x} -2>0) никак не вошло в наш окончательный ответ? И это неслучайно.
Поскольку исходное неравенство равносильно тому, что ( x+4<{{x}^{2}}+2{x} -2,~) но при этом ( x+4>0), то второе выражение и подавно автоматически будет больше нуля, так как по условию оно строго больше.
После того как ты разобрался в решении этих трех примеров, я думаю, что ты готов к осознанию некоторого более сложного правила решения логарифмических неравенств.
Правило, позволяющее экономить время при решении логарифмических неравенств
Решение логарифмического неравенства вида ( lo{{g}_{a}}~fleft( x right)<lo{{g}_{a}}~gleft( x right)) равносильно решению следующих систем:
( 0<a<1:left{ begin{array}{l}fleft( x right)>gleft( x right)gleft( x right)>0end{array} right.)
( a>1:left{ begin{array}{l}fleft( x right)<gleft( x right)fleft( x right)>0end{array} right.)
Неравенство ( lo{{g}_{a}}~fleft( x right)>lo{{g}_{a}}~gleft( x right)) в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:
( 0<a<1:left{ begin{array}{l}fleft( x right)<gleft( x right)fleft( x right)>0end{array} right.)
( a>1:left{ begin{array}{l}fleft( x right)>gleft( x right)gleft( x right)>0end{array} right.)
Использование данного правила позволит тебе экономить время и силы при нахождении ОДЗ, так как оно уменьшает количество неравенств, которые нам с тобой нужно решить.
Но для использования данного правила тебе нужно быть еще более внимательным.
Ничего страшного, если ты сразу не научишься применять его на практике!
Ты всегда можешь следовать уже «отлаженной» схемой, которую я разбирал выше, а потом, когда почувствуешь себя увереннее, сможешь пользоваться и этим правилом!
Теперь давай перейдем к более общему случаю логарифмических неравенств.
Общий случай логарифмических неравенств
…когда его левая или правая часть (или может так выйти, что и обе разом) не приведены сразу к виду простейшего логарифмического неравенства.
Например:
( displaystyle lo{{g}_{2}}left( {{x}^{2}}+4x+3 right)>3)
Мы с тобой видим, что с левой частью все в порядке – она представляет собой логарифмическое выражение. Не в порядке у нас правая часть – она есть просто число три.
Что же нам теперь делать?
Ну, во-первых, не отчаиваться. А, во-вторых, ты не представляешь, насколько может быть продуктивным такое на первый взгляд бесполезное действие, как умножение на единицу.
( displaystyle 3=3cdot 1).
Зачем я это сделал, как ты думаешь? А вот зачем: я (и ты тоже) помню, что для любого положительного числа ( displaystyle a) имеет место равенство:
( displaystyle lo{{g}_{a}}a=1)
Тебе, я надеюсь, очевидно, почему это так? Да все потому, что а нужно возвести в первую степень, чтобы само а и получить в итоге. Тогда я запишу, что
( displaystyle 3=3cdot lo{{g}_{2}}2.)
Сам подумай, почему я выбрал два в качестве основания логарифма. Теперь я воспользуюсь простым свойством:
( displaystyle rcdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{r}})
И получу, что: ( displaystyle 3=3cdot lo{{g}_{2}}2=lo{{g}_{2}}{{2}^{3}}=lo{{g}_{2}}8.)
И наше неравенство превратилось в стандартное
( displaystyle lo{{g}_{2}}left( {{x}^{2}}+4x+3 right)>lo{{g}_{2}}8)
Которое ты и без моей помощи сам прекрасно решишь. Давай сверим ответы. У меня получилось, что ( displaystyle xin left( -infty ;-5 right)mathop{cup }^{}left( 1;+infty right)), а у тебя?
Вот видишь, каким волшебным может быть обычное умножение на единицу!!
Давай решим еще примеры на логарифмические неравенства.
Пример №4
( displaystyle 2+lo{{g}_{2}}sqrt{x+1}>1-lo{{g}_{frac{1}{2}}}sqrt{4-{{x}^{2}}}).
Решение:
Я опять представлю число ( displaystyle 2) как ( displaystyle 2cdot lo{{g}_{2}}2=lo{{g}_{2}}4), единицу как ( displaystyle lo{{g}_{2}}2), а в выражении ( displaystyle lo{{g}_{1/2}}sqrt{4-{{x}^{2}}}) воспользуюсь тем, что
( displaystyle 1/rcdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{{{a}^{r}}}}b) (все те же пресловутые свойства логарифмов!!)
Так как ( displaystyle frac{1}{2}={{2}^{-1}}) (свойства степени!!), то исходное неравенство преобразуется вот к такому:
( displaystyle lo{{g}_{2}}4+lo{{g}_{2}}sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2-left( frac{1}{-1} right)lo{{g}_{2}}sqrt{4-{{x}^{2}}}) или
( displaystyle lo{{g}_{2}}4+lo{{g}_{2}}sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2+lo{{g}_{2}}sqrt{4-{{x}^{2}}})
Теперь я воспользуюсь тем, что
( displaystyle lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}left( bc right)), тогда я получу:
( displaystyle lo{{g}_{2}}4sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2sqrt{4-{{x}^{2}}})
Вы позволите мне воспользоваться нашим новым правилом решения логарифмических неравенств?
Ясно, что так как ( displaystyle 2>1), то наше неравенство будет равносильно такому:
( displaystyle 4sqrt{x+1}>2sqrt{4-{{x}^{2}}})
Из того, что ( displaystyle 2sqrt{4-{{x}^{2}}}>0) и из того, что это выражение меньше, чем ( displaystyle 4sqrt{x+1}), будет автоматически следовать, что и подавно ( displaystyle 4sqrt{x+1}>0) и нам не надо учитывать это в ОДЗ.
Еще раз!!!
Если тебе не очень пока понятно это утверждение, ты всегда можешь воспользоваться построением «полного» ОДЗ, результат будет тоже правильным!
Тогда мое исходное неравенство будет равносильно следующей системе:
( displaystyle left{ begin{array}{l}sqrt{4-{{x}^{2}}}>04sqrt{x+1}>2sqrt{4-{{x}^{2}}}end{array} right.)
Первое имеет решение: ( displaystyle xin left( -2;2 right))
А второе: ( displaystyle xin left( -infty ;-4 right)mathop{cup }^{}left( 0;+infty right))
Пересекая первое решение со вторым пишу ответ: ( displaystyle xin left( 0;2 right))
Пример №5
Теперь я усложню тебе задачу: каждый раз я буду сводить неравенство к простейшему виду, а уже решать будешь ты сам.
Готов? Начнем!
( displaystyle lg{{left( x+1 right)}^{2}}>0)
Решение:
Во-первых, что за зверь такой ( displaystyle lg)? Слышал о нем раньше? ( displaystyle lgleft( x right)) – это десятичный логарифм, то есть логарифм с основанием ( displaystyle 10). Иначе его можно написать в следующем виде: ( displaystyle lgleft( x right)=lo{{g}_{10}}x).
Во-вторых, что нам делать с нулем справа? А нужно всего лишь вспомнить, что
( displaystyle lo{{g}_{a}}1=0) для любого ( displaystyle a>0)!!!!
Попробуй сам объяснить, почему это так.
Теперь я перехожу от исходного неравенства к простейшему:
Средний уровень
В начальном уровне теории мы с тобой разобрали, как решать простейшие логарифмические неравенства вида:
( displaystyle {{log }_{a}}f(x)<{{log }_{a}}g(x))
Мы сформулировали основное правило их решения, которое гласит, что:
решение логарифмического неравенства вида ( displaystyle {{log }_{a}}f(x)<{{log }_{a}}g(x))
равносильно решению следующих систем:
- ( displaystyle 0<a<1:left{ begin{array}{l}f(x)>g(x)g(x)>0end{array} right.)
- ( displaystyle a>1:left{ begin{array}{l}f(x)<g(x)g(x)>0end{array} right.)
Неравенство ( displaystyle {{log }_{a}}f(x)>{{log }_{a}}g(x)) в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:
- ( displaystyle 0<a<1:left{ begin{array}{l}f(x)<g(x)g(x)>0end{array} right.)
- ( displaystyle a>1:left{ begin{array}{l}f(x)>g(x)g(x)<0end{array} right.)
Также мы привели несколько примеров таких неравенств, которые некоторыми (не очень обременительными) процедурами приводятся к простейшему виду.
Так что при изложении дальнейшего материала в этой статье, я буду уже предполагать, что с базовыми навыками решения логарифмических неравенств ты знаком.
Однако за бортом у нас осталось несколько случаев…
Более сложные логарифмические неравенства
- А что, если неравенство нельзя привести к простейшему виду, описанному выше?
- А что, если основание у логарифма не постоянное число, а некоторая функция, зависящая от переменной ( displaystyle x)?
- А что, если основания в логарифмических неравенствах разные?
Ответы на эти вопросы дадут нам с тобой ключи, необходимые для решения более сложных логарифмических неравенств, нежели простейшие.
Я начну с первого метода, который мы используем не только при решении неравенств, но также и при отыскании корней некоторых уравнений: метод замены переменной.
Давай рассмотрим следующий пример:
( displaystyle {{log }_{2}}^{2}x+{{log }_{0,5}}x > 12)
Что мне видно сразу? А то, что ( displaystyle 0,5={{2}^{-1}}), и поскольку
( displaystyle frac{1}{r}cdot {{log }_{a}}b={{log }_{{{a}^{r}}}}b),
То я перейду к равносильному неравенству вида:
( displaystyle {{log }_{2}}^{2}x-{{log }_{2}}x>12)
Мы с тобой видим, что такое неравенство уже нельзя назвать элементарным. Почему? Да потому, что логарифм в него входит во второй степени.
А разве такие неравенства мы называли элементарными? Вот и я думаю, что нет. Как же нам поступить?
Логарифмическое неравенство с переменным основанием
( displaystyle {{log }_{h(x)}}f(x)V{{log }_{h(x)}}g(x)) (1)
где ( displaystyle h(x),g(x),f(x)) – некоторые функции, зависящие от ( displaystyle x), а ( displaystyle V) – один из знаков: ( displaystyle >,<,le ,ge ). Хитрые математики, когда видят логарифмы, сразу же стараются от них избавиться, переходя к равносильным неравенствам.
В частности для неравенства выше равносильным будет вот такое:
( displaystyle left{ begin{array}{l}(f(x)-g(x))cdot (h(x)-1)V0f(x)>0g(x)>0h(x)>0h(x)ne 1end{array} right.)
Бывают еще более печальные случаи, когда неравенство имеет вид:
( displaystyle {{log }_{f(x)}}h(x)V{{log }_{g(x)}}h(x)), (2)
то есть представляет собой логарифмическое неравенство с РАЗНЫМИ основаниями, но одинаковыми выражениями «сверху». Для него равносильной системой будет следующая:
( displaystyle left{ begin{array}{l}(f(x)-1)(g(x)-1)cdot (h(x)-1)(g(x)-f(x))V0f(x)>0g(x)>0h(x)>0g(x)ne 1f(x)ne 1end{array} right.)
Все становится все ужаснее и ужаснее, правда? Но ничего, скоро мы перейдем к примерам (очень важным!) и все встанет на свои места!
Вот последний вид «сложного» неравенства:
( displaystyle text{lo}{{text{g}}_{text{t}left( text{x} right)}}text{f}left( text{x} right)cdot text{lo}{{text{g}}_{text{h}left( text{x} right)}}text{g}left( text{x} right)text{V }!!~!!text{ }0) (3)
Ему равносильна следующая система:
( displaystyle left{ begin{array}{l}(f(x)-1)(t(x)-1)cdot (h(x)-1)(g(x)-1)V0f(x)>0g(x)>0h(x)>0t(x)>0t(x)ne 1h(x)ne 1end{array} right.)
Представленный метод решения неравенств (1), (2), (3) говорит нам о том, как от сложного логарифмического неравенства (но одного!) перейти к простым неравенствам (но к целой системе!).
По сути этот метод позволяет одно сложное свести к системе простых. Этот метод получил название..
Метод декомпозиции (рационализации)
На самом деле, можно и не запоминать все формулы в каждой системе. Все, кроме первой – это просто-напросто ОДЗ (ну в самом деле, просто взгляни на них), а первое – это так называемое условие сохранения знака.
К нему ты всегда можешь прийти, рассматривая случаи, когда ( displaystyle 0<hleft( x right)<1) и когда ( displaystyle hleft( x right)>1).
В частности, если ( displaystyle 0<hleft( x right)<1), то неравенство ( displaystyle lo{{g}_{hleft( x right)}}fleft( x right)>~lo{{g}_{hleft( x right)}}gleft( x right)) влечет за собой ( displaystyle fleft( x right)<gleft( x right)).
С другой стороны, так как ( displaystyle hleft( x right)-1<0) неравенство ( displaystyle left( fleft( x right)-gleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) имеет место только тогда, когда ( displaystyle fleft( x right)-gleft( x right)<0) или ( displaystyle fleft( x right)<gleft( x right)).
Получили, что при ( displaystyle 0<hleft( x right)<1) неравенства ( displaystyle lo{{g}_{hleft( x right)}}fleft( x right)>~lo{{g}_{hleft( x right)}}gleft( x right)) и ( displaystyle left( fleft( x right)-gleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) равносильны (учитывая, конечно, ОДЗ). Аналогично ты можешь получить, что эти же неравенства будут равносильны и при ( displaystyle hleft( x right)>1).
Но если ты и эту формулу забыл, то ничего страшного, просто придется дольше поработать. Ты всегда можешь решить логарифмическое неравенство, опираясь только на определение логарифмической функции. В частности, неравенство
( displaystyle lo{{g}_{hleft( x right)}}fleft( x right)>~lo{{g}_{hleft( x right)}}gleft( x right))
Равносильно следующей системе:
( displaystyle left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}f(x)>g(x)h(x)>1end{array} right.left{ begin{array}{l}f(x)<g(x)<h(x)<1end{array} right.end{array} right.f(x)>0g(x)>0h(x)>0h(x)ne 0end{array} right.)
Где сложное условие ( displaystyle left( fleft( x right)-gleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) я заменил совокупностью из двух систем.
Решение любого сложного логарифмического уравнения я рекомендую начинать с ОДЗ.
В некоторых случаях это позволит тебе не решать одну из двух систем, поскольку будет заведомо известно, что ее решение не лежит в ОДЗ.
Ты уже в трепете перед этими сложными формулами? Я тебя понимаю. Однако, все, что я могу сказать: аппетит приходит во время еды.
И большинство «монструозных» задач сложного уровня, имеющих в своем составе логарифмы, сводятся в конечном счете к одному из неравенств вида (1)-(3), либо решаются при помощи некоторой замены переменной.
Я не хочу быть более голословным, поэтому перейду к примерам прямо сейчас. Обрати внимание, все следущие примеры взяты из ЕГЭ предыдущих лет!
Пример из ЕГЭ предыдущих лет №1 (на хорошую замену)
( displaystyle lo{{g}_{x}}3+2lo{{g}_{3x}}3-6lo{{g}_{9x}}3le 0)
Решение:
Во многих случаях, при решении «сложных» неравенств, может полезной оказаться одна из следующих формул:
( displaystyle lo{{g}_{a}}b=frac{lo{{g}_{c}}b}{lo{{g}_{c}}a}), ( displaystyle lo{{g}_{a}}b=frac{1}{lo{{g}_{b}}a}).
В данном случае мне удобно воспользоваться второй формулой. Понимаешь, почему? Да все потому, что все три логарифма содержат в себе тройку «наверху»!!
Если я преобразую исходное неравенство, то у меня получится:
Пример из ЕГЭ предыдущих лет №2 (на “сложную” замену переменной)
( displaystyle frac{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}49}{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}left( -49x right)}le frac{1}{lo{{g}_{7}}lo{{g}_{frac{1}{7}}}{{7}^{x}}})
Решение:
Вначале найдем ОДЗ:
( displaystyle left{ begin{array}{l}xne -1xne -frac{1}{49}xne -3x<0end{array} right.)
Вы можете оспорить второе выражение системы. В самом деле, откуда оно берется?
А во всем виновато соотношение: ( displaystyle lo{{g}_{a}}b=frac{lo{{g}_{c}}b}{lo{{g}_{c}}a}), которое применимо к нашему случаю даст:
( displaystyle frac{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}49}{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}left( -49x right)}=lo{{g}_{left( -49x right)}}49=frac{1}{lo{{g}_{49}}left( -49x right)}=frac{1}{1+lo{{g}_{49}}left( -x right)}=frac{2}{2+lo{{g}_{7}}left( -x right)})
Второе выражение преобразуем вот так:
( displaystyle frac{1}{lo{{g}_{7}}lo{{g}_{frac{1}{7}}}{{7}^{x}}}=frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -lo{{g}_{7}}{{7}^{x}} right)}=frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -xlo{{g}_{7}}7 right)}=frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -x right)}.)
Тогда наше неравенство преобразуется к вот такому виду:
( displaystyle frac{2}{2+lo{{g}_{7}}left( -x right)}le frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -x right)}.)
Ага, теперь замена напрашивается сама собой!!
Пример из ЕГЭ предыдущих лет №4
( displaystyle lo{{g}_{12{{x}^{2}}-41x+35}}left( 3-x right)le lo{{g}_{2{{x}^{2}}-5x+3}}left( 3-x right))
Решение:
Данное неравенство имеет вид (2). Значит перейдем к равносильной ему системе:
( displaystyle left{ begin{array}{l}left( 12{{x}^{2}}-41x+34 right)left( 2-x right)left( 2{{x}^{2}}-5x+2 right)left( 10{{x}^{2}}-36x+32 right)le 012{{x}^{2}}-41x+35>02{{x}^{2}}-5x+3>03-x>012{{x}^{2}}-41x+35ne 12{{x}^{2}}-5x+3ne 1end{array} right.)
Теперь твоя цель – решить методом интервалов каждое из указанных в системе неравенств, а затем найти область их пересечения. Я самоустраняюсь от этой (хоть и тривиальной, но достаточно трудоемкой) задачи, и доверяю ее тебе. Окончательный ответ будет вот таким:
( displaystyle left( -infty;frac{1}{2}right)mathop{cup }^{}left(frac{3}{2}; frac{8}{5}right])
Итак….
В данной статье я постарался объяснить тебе подходы к решению одних из самых трудных задач, встречающихся в школьном курсе – решению логарифмических неравенств.
Я надеюсь, чтение и разбор примеров оказались для тебя полезными и время ты потратил не зря. Опять-таки повторюсь: чтобы освоить методы решения, тебе нужно совсем немного: всего три вещи: практика, практика и практика.
Мини-максный метод решения логарифмических неравенств
В дополнение к уже изложенному материалу (который, увы, не охватывает и не может охватывать весь спектр способов решения логарифмических неравенств), я рассмотрю еще один способ, который может быть полезен там, где ничего больше не помогает (но опять-таки, я сразу оговорюсь, что изложенный метод не является панацеей).
Данный метод будет основан на некоторых свойствах логарифмической функции: на ее монотонности и на наибольших и наименьших значениях на интервале ее существования.
Прежде чем приступать к рассмотрению метода, я напомню тебе, что такое монотонность функции:
Определение монотонности функции:
( displaystyle fleft( x right)) монотонно возрастает на ( displaystyle left[ a,b right]), если для любых ( displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right).)
Определение:
( displaystyle fleft( x right)) монотонно убывает на ( displaystyle left[ a,b right]), если для любых ( displaystyle {{x}_{1}},~{{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right).)
Простые рисунки иллюстрируют эти определения:
Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции ( displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x4), известно, что выполняется следующая:
Теорема: если ( displaystyle a>1), то функция ( displaystyle fleft( x right)=~lo{{g}_{a}}x) является монотонно возрастающей, если ( displaystyle 0<a<1), то функция ( displaystyle fleft( x right)=~lo{{g}_{a}}x) является монотонно убывающей.
На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции. Теперь я могу приступать к рассмотрению одного из приемов решения логарифмических неравенств.
Рассмотренный здесь метод называется мини-максным.
Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:
( displaystyle left{ begin{array}{l}fleft( x right)le gleft( x right)fleft( x right)ge Agleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)fleft( x right)ge Agleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=Agleft( x right)=Aend{array} right.)
Иногда данный метод позволяет решать на первый взгляд «безнадежные» неравенства вроде
( displaystyle lo{{g}_{2}}left( 6x-{{x}^{2}}-7 right)ge {{7}^{left| x-3 right|}})
Давай введем в рассмотрение две функции
( displaystyle fleft( x right)=~lo{{g}_{2}}left( 6x-{{x}^{2}}-7 right)), ( displaystyle gleft( x right)=~{{7}^{left| x-3 right|}})
Найдем для каждой из них область значений ( displaystyle Eleft( f right),Eleft( g right)):
Пусть ( displaystyle t=6x-{{x}^{2}}-7)
( displaystyle 6x-{{x}^{2}}-7=-{{left( x-3 right)}^{2}}+2,~) то есть ( displaystyle tle 2), с другой стороны, по определению логарифма ( displaystyle t>0).
Так как ( displaystyle y=fleft( t right)) возрастает на ( displaystyle left( 0;2 right]).
Причем, при ( displaystyle t) стремящемся к нулю, ( displaystyle fleft( t right)) стремится к минус бесконечности (смотри рисунок выше), а при ( displaystyle t=2,~fleft( t right)=fleft( 2 right)=1).
Таким образом, область значений ( displaystyle f(x)) есть множество:
( displaystyle Eleft( f right)=left( -infty ;1 right].)
Теперь найдем область значений ( displaystyle g(x)): вновь введем замену ( displaystyle z=left| x-3 right|,) ( displaystyle zge 0) (по определению модуля), так как ( displaystyle gleft( z right)={{7}^{z}}) возрастает на всей числовой прямой, то наименьшее значение ( displaystyle gleft( z right)) при ( displaystyle zge 0) достигается при ( displaystyle z=0), ( displaystyle gleft( 0 right)=1), ( displaystyle gleft( z right)>1) при ( displaystyle z>0). Таким образом:
( displaystyle Eleft( g right)=left[ 1;+infty right).)
Воспользуемся мини-максным методом: он говорит нам о том, что решение неравенства может иметь место только при
( displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)=A). В нашем случае ( displaystyle A=1.)
Тогда ( displaystyle fleft( x right)=1) эквивалентно: ( displaystyle lo{{g}_{2}}left( 6x-{{x}^{2}}-7 right)=1) а из ( displaystyle gleft( x right)=1) получится ( displaystyle {{7}^{left| x-3 right|}}=1.) Первое уравнение имеет корень: ( displaystyle x=3), это же число является и корнем второго уравнения. Тогда наше исходное неравенство имеет место только при ( displaystyle x=3).
Вот такой пример (позаковырестее) я предлагаю решить тебе самому:
( displaystyle left{ begin{array}{l}lo{{g}_{frac{1}{3}}}left( 3+left| sinx right| right)ge {{2}^{left| x right|}}-2lo{{g}_{left( x+2.5 right)}}{{left( frac{x-5}{2x-3} right)}^{2}}>0end{array} right.)
Давай посмотрим, что у нас получилось:
Я начну с анализа первого неравенства: Слева у меня стоит монотонно убывающая функция, а справа – монотонно возрастающая. Вначале мы разберемся с ( displaystyle fleft( x right)=lo{{g}_{frac{1}{3}}}left( 3+left| sinx right| right)), пусть ( displaystyle t=3+left| sinx right|), тогда из того, что ( displaystyle 0le left| sinx right|le 1), следует, что ( displaystyle 3le tle 4).
Функция ( displaystyle fleft( t right)) является монотонно убывающей при ( displaystyle 3le tle 4), тогда своего наибольшего значения она достигает при ( displaystyle t=3), а наименьшего – при ( displaystyle t=4).
Тогда:
( displaystyle -lo{{g}_{3}}4le fleft( t right)le -1)
Теперь рассмотрим ( displaystyle gleft( x right)={{2}^{left| x right|}}-2), сделаем замену ( displaystyle t=left| x right|,~tge 0). Тогда ( displaystyle gleft( t right)={{2}^{t}}-2) монотонно возрастает и наименьшего значения достигает при ( displaystyle t=0.) Это значение будет равно ( displaystyle gleft( 0 right)=-1.) При ( displaystyle t>0~gleft( t right)>-1.)
Вновь воспользуемся мини-максным методом. В данном случае первое неравенство может иметь место только при ( displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)=-1). Ясно, что первое уравнение имеет бесконечное количество корней, задаваемых формулой
( displaystyle x=pi n,~nin Z.)
Тогда как второе имеет только один корень ( displaystyle x=0). Ясно, что при подстановке ( displaystyle n=0) в формулу корней первого уравнения, я получу, что ( displaystyle x=0). Тогда первое неравенство выполняется только при ( displaystyle x=0).
Что же теперь? Нужно ли нам решать второе неравенство? А смысл? Ведь если оно и имеет решение, то нам нужно будет его пересекать с тривиальным решением первого неравенства. Так не проще ли нам подставить во второе неравенство ( displaystyle 0) и проверить, имеет ли оно при этом место? Я думаю, что это не представляет никакого труда.
( displaystyle lo{{g}_{left( 0+2.5 right)}}{{left( frac{0-5}{2*0-3} right)}^{2}}=lo{{g}_{2.5}}left( frac{25}{9} right)>lo{{g}_{2.5}}1>0)
Тогда с чистой совестью записываю ответ: ( displaystyle x=0).
Конечно, мини-максный метод является не единственным методом решения сложных логарифмических неравенств, однако он в полной мере демонстрирует мощь «функционального» подхода к решению неравенств (кстати, и уравнений тоже).
План-конспект урока на тему «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств».
Автор: Семёнов Илья Владимирович,
учитель ГАОУ РМЭ «Лицей Бауманский».
Цель урока: показать стандартные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств с целью их предотвращения.
Задачи урок:
— образовательная: научить учащихся решать сложные логарифмические уравнения и неравенства рациональным способом, при этом правильно применять свойства логарифма;
— развивающая: развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, развить навык рационального способа решения задач, развивать творческое мышление;
— воспитательная: воспитать культуру оформления сложных логарифмических уравнений и неравенств, культуру графической иллюстрации, самостоятельность, внимательность, умение работать в коллективе, умение вести диспут.
Тип урока: комбинированный урок.
Метод преподавания: словесный, объяснительно-иллюстративный.
Требования к учащимся:
- учащиеся должны знать: определение логарифма, его свойства; формулу перехода к новому основанию; особенности решения логарифмических неравенств по разному основанию; метод рационализации;
- учащиеся должны уметь: решать дробно-рациональные неравенства, использовать метод интервалов.
Оборудование: мел, доска.
Формы работы: фронтальная, индивидуальна, групповая.
Структура урока:
- Организационная часть урока.
Проверка учащихся и класса к уроку: наличие учебников и тетрадей, тишина в классе, чистота доски и влажность губки. Приветствие учащихся.
- Основная часть. Первичное закрепление.
Данный урок проводится после проведения входного контрольной работы. На основе проанализированных результатов (ошибок учащихся), а так же научных статей мы постарались выявить основные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Опишем основные из них:
А) Игнорирование модуля при вынесении четной степени из подлогарифмического выражения;
Б) Вынесение степени из подлогарифмического выражения, когда логарифм в какой-либо степени (;
В) Переменное основание (учащиеся решают логарифмические уравнения и неравенства по алгоритму, шаблонно, при этом имея скудный багаж решенных задач. По этой причине допускаются ошибки при решении логарифмического неравенства по основанию );
Г) Забывают сделать отбор корней через О.Д.З.;
Д) Хоть и не относится к логарифмическим уравнениям и неравенствам, но является частым следствием их решения решение дробно-рациональных неравенств, т.е. полное игнорирование знаменателя дроби при их решении;
Е) Нет четкой картины при использование метода интервалов;
Ж) Нет знаний элементарных функций, а в следствии и не могут верно накладывать ограничения при решении логарифмических уравнений и неравенств;
З) Неверное разложение логарифмических выражений:
—
—
И) Решая логарифмические неравенства методом замены не могут верно вернуться к введенной замене;
Й) Не видят разницы между системой и совокупностью, а в следствии не могут верно использовать равносильный переход и переход к введенной замене.
Постараемся учесть все замечания, изложенные выше и акцентировать на них внимание при решении данных проблем.
Учащимся предлагается решить логарифмические неравенства:
Начнем с первого неравенства:
О.Д.З.:
Разложив первое неравенство системы на линейные множители получаем: . Данные неравенство равносильны друг другу. Решением данной системы является промежуток
Переходим к решению логарифмического неравенства6
Разложив подлогарифмическое выражение на линейные множители получаем: .
С данного шага надо дать возможность учащимся самим выбрать путь решения:
1 способ.
С данного шага стоит уточнить порядок действий
А) можно использовать определение логарифма и перейти к выражению . В итоге мы получили сложное выражение, с которым сложно справиться.
Б) можно вынести четную степени из подлогарифмического выражения и получится выражение: . Главное в данном шаге это то, что при вынесении четной степени из подлогарифмичесокго выражения влечет то, что появляется модуль. На этом надо сделать акцент при объяснении материала.
Продолжаем решение: .
Используя определение логарифма получаем: .
По определению модуля получаем двойное неравенство:
Осталось найти пересечение множеств решения логарифмического неравенства с О.Д.З.: Решением данной системы является промежуток:
Ответ:
2 способ. Через разложение логарифма.
Приведем лишь рекомендации к решению. Используя формулы:
—
—
получаем следующее выражение:
.
Далее, решение логарифмического неравенства аналогично первому способу.
3 способ. Метод рационализации.
Объяснение по усмотрению учителя и в зависимости от профиля обучения. Так же в зависимости от доступного времени.
Переходим к решению второго неравенства.
Учащимся предлагается решать данное неравенство самостоятельно, а учитель указывает только ответ. Ответ: . На решение выделяется около 5-7 минут.
Вероятнее всего учащиеся не придут к верному ответу. Учащиеся зададутся, верен ли ответ, данный учителем. И вывод заключается в следующем – учащиеся, что то не учли. Может быть, кто-то дойдет до проблемы, если нет, то учитель объяснит сам.
Решение.
О.Д.З.: Решение системы:
Решим неравенство:
Проблема заключается в следующем – не учитывается то, что логарифм находится в квадрате (и не забываем что выносим четную степень), т.е.
Так как неравенство определено на множестве положительных чисел (по О.Д.З.), то модуль можно раскрывать с положительным значением.
Данное логарифмическое неравенство не сложно решить методом замены. Введем замену: .
Стоит спросить учащихся, а стоит ли накладывать ограничения на
Часто учащиеся не могут верно ответить на данный вопрос, потому что не имеют четкого представления о элементарных функция.
Как стоит поступить в данном случае? Стоит спросить учащихся, чем является ? А
это то, в какую степень возводят основание логарифма и получают подлогарифмическое выражение, а степень определена на множестве действительных чисел.
Продолжаем решать:
Разложив данное квадратное выражение на линейные множители получаем:
Главная проблема заключается в следующем: учащиеся находят корни квадратного выражения и бездумно возвращаются к подстановке не дорешав неравенство с введенной заменой. Стоит акцентировать внимание, что надо дорешать наше неравенство относительно .
Следующая проблема — учащиеся не могут перейти к введенной замене.
Стоит сделать следующее – спросить учащихся как представить промежуток через двойное неравенство. Ответ:
Далее задать вопрос – как данное двойное неравенство представить через систему или совокупность: И только с данного шага можно вернуться к подстановке:
Стоит спросить учащихся, какие условия есть для решения логарифмического неравенства по определению. Речь идет о том, что если , то знак неравенства сохраняется без изменений, если же
то необходимо поменять знак на противоположный.
Продолжаем решение:
Решением данной системы является промежуток: .
Осталось объединить решение логарифмического неравенства с О.Д.З.:. Решением данной системы является промежуток:
.
Ответ: .
Так же данное неравенство можно решить методом рационализации.
- Информация о домашнем задании.
На усмотрение учителя.
- Подведение итогов урока.
На данном уроке мы постарались уделить внимание основным ошибкам при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Учитель спрашивает, полезна ли была данная информация для учащихся, весь ли материл был доступен и понятен. Есть ли у учащихся вопросы?
Учитель прощается. Урок окончен.
Тема: Решение логарифмических неравенств. Методы отбора корней. Типичные ошибки обучающихся.
Добрый день. Предлагаю рассмотреть способы решения и ошибки в решениях задания профильного уровня математики ЕГЭ этого года №15. Данное здание входит в число тех, к которым учащиеся приступают чаще всего. Поэтому, применяя различные методы решения данного задания мы можем предупредить те ошибки, которые ученики допускают на экзамене и тем самым позволить учащимся быть более успешными. Текст задания вы видите на экране.
Решить неравенство:
Рассмотрим, как можно было бы решать данное неравенство разными подходами. Заметим, что 625 это 54, следующее, что можно заметить, что выражение 
это точный квадрат выражения (х+2)2, следовательно, неравенство может быть записано следующим образом:
Далее приводим множители в левой и правой части к такому виду, чтобы они стали одинаковыми:
В правой части выносим 2 очень аккуратно, не забываем, что появляется модуль, но за счет того, что выражение (х+2) есть в левой части, используя свойства логарифмической функции модуль опускаем, но не забываем, что х-2. Исходное неравенство мы преобразовали в неравенство вида: 
.
Далее рассмотрим несколько способов решения данного неравенства.
Способ 1. Левая часть неравенства — это произведение двух множителей, значит есть две возможности, когда оба выражения принимают неотрицательные или неположительные значения.
Первая возможность: 
→
→
Отметим все на числовой прямой:
-1
Зафиксируем этот момент: [
Рассмотрим вторую возможность, когда оба множителя принимают неположительные значения. Аналогично повторим все для 2 случая: 
→
→
-1
-2
Отметим все на числовой прямой:
Получаем: ( .
Объединяем решения и получаем ответ: ( ]
Способ 2. (Метод рационализации, композиции, метод замены множителей).
Заметим, что в произведении, стоящем в левой части мы можем заменить логарифм на следующее выражение: -2)(5-1)(х+2-1)≥0
умножаем обе части на 4, получаем
-8)(5-1)(х+2-1)≥0, далее разделим обе части на 4:
. Но еще мы должны учитывать, что х-2. Используя метод интервалов, проставляем знаки на числовой прямой
-1
-2
Получаем ответ: ( ]
.
Способ 3. (Классический метод интервалов)
Рассмотрим функцию После введения функции определяем ее область определения Df=(-2 При таком способе явно выписываем область определения.
Далее решаем уравнение f(x)=0
=8 x+2=1
=-
x=-1
=
Замечаем, что корень =- .
Отмечаем нули функции только на области определения, это важно. На каждом из промежутков находим знаки функции.
-1
-2
+ — +
Решением неравенства будет объединение промежутков ( ]
.
Способ 4. Он основан на выяснении знака одного из множителей.
У нас есть три варианта:
х+21
х-1
х2-8≥0
-1
Получаем промежуток .
0
-2
-1
-2
Получаем промежуток ( ).
х+2=1
х=-1
Объединяя все решения, получаем ответ: ( ]
.
Далее рассмотрим типичные ошибки, которые допускают ученики при решении данного неравенства
1.Деление обеих частей неравенства на выражение, которое может принимать отрицательное значение.
В неравенстве делят обе части неравенства на выражение и получают неравенство
, не учитывая, что данное выражение может быть отрицательным.
2. Сокращение логарифмов в обеих частях неравенства при том, что в неравенстве остались другие элементы:
Ошибка от того, что при решении логарифмических неравенств мы учим детей «отбрасывать» логарифмы, забывая о том, что это работает только в том случае, когда в уравнении нет других элементов.
3. Этот случай похож на второй:
4. Некорректное применение свойств разности логарифмов в случаях, когда при логарифмах стоят коэффициенты:
5. Использование того, что показательная функция возрастает, хотя она может и убывать:
Ученики убирают основания степени забывая, что здесь рассматриваются 2 возможности, идущие от свойств показательной функции.
Спасибо за внимание!
Конспект урока по теме «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств»
план-конспект урока по алгебре (11 класс)
Даннная разработка может быть интересна для учителей, которые хотят обратить внимание учащихся на типичные ошибки при решении логарифмических уравненияхи неравенств.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| plan-konspekt_uroka_3.docx | 27.89 КБ |
Предварительный просмотр:
План-конспект урока на тему «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств».
Автор: Семёнов Илья Владимирович,
учитель ГАОУ РМЭ «Лицей Бауманский».
Цель урока: показать стандартные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств с целью их предотвращения.
— образовательная: научить учащихся решать сложные логарифмические уравнения и неравенства рациональным способом, при этом правильно применять свойства логарифма;
— развивающая: развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, развить навык рационального способа решения задач, развивать творческое мышление;
— воспитательная: воспитать культуру оформления сложных логарифмических уравнений и неравенств, культуру графической иллюстрации, самостоятельность, внимательность, умение работать в коллективе, умение вести диспут.
Тип урока: комбинированный урок.
Метод преподавания: словесный, объяснительно-иллюстративный.
Требования к учащимся:
- учащиеся должны знать: определение логарифма, его свойства; формулу перехода к новому основанию; особенности решения логарифмических неравенств по разному основанию; метод рационализации;
- учащиеся должны уметь: решать дробно-рациональные неравенства, использовать метод интервалов.
Оборудование: мел, доска.
Формы работы: фронтальная, индивидуальна, групповая.
- Организационная часть урока.
Проверка учащихся и класса к уроку: наличие учебников и тетрадей, тишина в классе, чистота доски и влажность губки. Приветствие учащихся.
- Основная часть. Первичное закрепление.
Данный урок проводится после проведения входного контрольной работы. На основе проанализированных результатов (ошибок учащихся), а так же научных статей мы постарались выявить основные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Опишем основные из них:
А) Игнорирование модуля при вынесении четной степени из подлогарифмического выражения;
Б) Вынесение степени из подлогарифмического выражения, когда логарифм в какой-либо степени ( ;
В) Переменное основание (учащиеся решают логарифмические уравнения и неравенства по алгоритму, шаблонно, при этом имея скудный багаж решенных задач. По этой причине допускаются ошибки при решении логарифмического неравенства по основанию );
Г) Забывают сделать отбор корней через О.Д.З.;
Д) Хоть и не относится к логарифмическим уравнениям и неравенствам, но является частым следствием их решения решение дробно-рациональных неравенств, т.е. полное игнорирование знаменателя дроби при их решении;
Е) Нет четкой картины при использование метода интервалов;
Ж) Нет знаний элементарных функций, а в следствии и не могут верно накладывать ограничения при решении логарифмических уравнений и неравенств;
З) Неверное разложение логарифмических выражений:
И) Решая логарифмические неравенства методом замены не могут верно вернуться к введенной замене;
Й) Не видят разницы между системой и совокупностью, а в следствии не могут верно использовать равносильный переход и переход к введенной замене.
Постараемся учесть все замечания, изложенные выше и акцентировать на них внимание при решении данных проблем.
Учащимся предлагается решить логарифмические неравенства:
Начнем с первого неравенства:
Разложив первое неравенство системы на линейные множители получаем: . Данные неравенство равносильны друг другу. Решением данной системы является промежуток
Переходим к решению логарифмического неравенства6
Разложив подлогарифмическое выражение на линейные множители получаем: .
С данного шага надо дать возможность учащимся самим выбрать путь решения:
С данного шага стоит уточнить порядок действий
А) можно использовать определение логарифма и перейти к выражению . В итоге мы получили сложное выражение, с которым сложно справиться.
Б) можно вынести четную степени из подлогарифмического выражения и получится выражение: . Главное в данном шаге это то, что при вынесении четной степени из подлогарифмичесокго выражения влечет то, что появляется модуль. На этом надо сделать акцент при объяснении материала.
Используя определение логарифма получаем: .
По определению модуля получаем двойное неравенство:
Осталось найти пересечение множеств решения логарифмического неравенства с О.Д.З.: Решением данной системы является промежуток:
2 способ. Через разложение логарифма.
Приведем лишь рекомендации к решению. Используя формулы:
—
получаем следующее выражение:
Далее, решение логарифмического неравенства аналогично первому способу.
3 способ. Метод рационализации.
Объяснение по усмотрению учителя и в зависимости от профиля обучения. Так же в зависимости от доступного времени.
Переходим к решению второго неравенства.
Учащимся предлагается решать данное неравенство самостоятельно, а учитель указывает только ответ. Ответ: . На решение выделяется около 5-7 минут.
Вероятнее всего учащиеся не придут к верному ответу. Учащиеся зададутся, верен ли ответ, данный учителем. И вывод заключается в следующем – учащиеся, что то не учли. Может быть, кто-то дойдет до проблемы, если нет, то учитель объяснит сам.
О.Д.З.: Решение системы:
Проблема заключается в следующем – не учитывается то, что логарифм находится в квадрате (и не забываем что выносим четную степень), т.е.
Так как неравенство определено на множестве положительных чисел (по О.Д.З.), то модуль можно раскрывать с положительным значением.
Данное логарифмическое неравенство не сложно решить методом замены. Введем замену: .
Стоит спросить учащихся, а стоит ли накладывать ограничения на
Часто учащиеся не могут верно ответить на данный вопрос, потому что не имеют четкого представления о элементарных функция.
Как стоит поступить в данном случае? Стоит спросить учащихся, чем является ? А это то, в какую степень возводят основание логарифма и получают подлогарифмическое выражение, а степень определена на множестве действительных чисел.
Разложив данное квадратное выражение на линейные множители получаем:
Главная проблема заключается в следующем: учащиеся находят корни квадратного выражения и бездумно возвращаются к подстановке не дорешав неравенство с введенной заменой. Стоит акцентировать внимание, что надо дорешать наше неравенство относительно .
Следующая проблема — учащиеся не могут перейти к введенной замене.
Стоит сделать следующее – спросить учащихся как представить промежуток через двойное неравенство. Ответ:
Далее задать вопрос – как данное двойное неравенство представить через систему или совокупность: И только с данного шага можно вернуться к подстановке:
Стоит спросить учащихся, какие условия есть для решения логарифмического неравенства по определению. Речь идет о том, что если , то знак неравенства сохраняется без изменений, если же то необходимо поменять знак на противоположный.
Решением данной системы является промежуток: .
Осталось объединить решение логарифмического неравенства с О.Д.З.: . Решением данной системы является промежуток: .
Так же данное неравенство можно решить методом рационализации.
- Информация о домашнем задании.
На усмотрение учителя.
На данном уроке мы постарались уделить внимание основным ошибкам при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Учитель спрашивает, полезна ли была данная информация для учащихся, весь ли материл был доступен и понятен. Есть ли у учащихся вопросы?
math4school.ru
Ошибки в уравнениях
При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.
Потеря корней
При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .
При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.
K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .
L Неправильное решение.
2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,
Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.
Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.
J Правильное решение.
Ответ: –2; 4; 6 и 12.
При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.
K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:
J Правильное решение.
Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:
K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на lg x и получим:
J Правильное решение.
Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.
Посторонние корни
При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.
Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.
Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .
K Упражнение. Решить уравнение
| 5 – x | – | 5 + 3х | = 0 . |
| x – 1 | x 2 – 1 |
L Неправильное решение.
Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:
Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .
J Правильный ответ: х = 0.
Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .
K Упражнение. Решить уравнение
L Неправильное решение.
Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:
Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .
J Правильный ответ: решений нет.
Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.
K Упражнение. Решить уравнение
| 2 | + х 2 – | 2 | – 4х = 0 . |
| 3х 2 | 3х 2 |
L Неправильное решение.
После приведения подобных слагаемых получим:
Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .
J Правильный ответ: 4 .
Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.
Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.
K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .
L Неправильное решение.
И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.
Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения
Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.
Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения
которое уже имеет один корень –2 , к уравнению
Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение
для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.
J Правильный ответ: решений нет.
Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.
Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.
K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .
L Неправильное решение.
Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:
Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.
J Правильный ответ: 5 и 3 .
Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:
| tg ( x + y ) = | tg x + tg y |
| 1 – tg x · tg y |
| sin 2 x = | 2 tg x |
| 1 + tg 2 x |
В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .
L Неправильное решение.
так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и
Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .
Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.
J Правильное решение.
(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)
(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)
(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)
Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.
Ошибки, связанные с заменой переменной
При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.
Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .
K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^<1/4>-6=left(x-3 right)^<1/2>.)
L Неправильное решение.
Сделав замену ( left(x-3 right)^<1/2>=t), считают, что ( left(x-3 right)^<1/4>=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.
J Правильное решение.
Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^<1/4>=t), тогда ( left(x-3 right)^<1/2>=t^2) с продолжением:
Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .
K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .
L Неправильное решение.
Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .
J Правильное решение.
При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .
K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt<2x^2-8x+12>=6.)
L Неправильное (нерациональное) решение.
Чаще всего данное уравнение начинают решать так:
Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.
Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.
J Правильное решение.
и исходное уравнение принимает вид:
А дальше все просто:
Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.
Ошибки, связанные с использованием модуля
При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.
K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt<(x+3)^2>=x+3.)
L Неправильное решение.
Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.
J Правильное решение.
Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.
K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .
J Правильное решение.
Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:
На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.
1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:
так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;
2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:
что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;
3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:
так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.
Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .
Подбор корней без обоснования
К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .
K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .
L Неправильное решение.
Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.
Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.
J Правильное решение.
введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда
1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;
Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.
K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .
L Неправильное решение.
Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .
Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.
J Правильное решение.
Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.
Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях
Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.
При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.
K Упражнение 1. Решить уравнение (log7 x) 1 /3 = 1 .
L Неправильное решение.
Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.
Ответ: корней нет.
J Правильное решение.
Возведем в куб обе части уравнения, тогда
K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .
L Неправильное решение.
Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:
J Правильное решение.
Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда
Необходимо помнить, что:
из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;
степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.
При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.
L Неправильное решение.
Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .
L Неправильное решение.
J Правильное решение 1.
2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.
J Правильное решение 2.
lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.
Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.
Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .
K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _<5>>^2 ;x=0.)
L Неправильное решение.
(left(1 +2 log _<5>xright)log _<5>x=0;)
Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.
J Правильное решение.
Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.
K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_<4x>sqrt+ 7log_<16x>x^3-3log _x^2=0.)
L Неправильное решение.
Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.
J Правильное решение.
Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.
Ошибки в тригонометрических уравнениях
Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.
Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ РЕШЕНИИ. Рекомендацииучителю Пояснительная записка Начать работу Авторы: Мохова В.Ю. учитель математики. — презентация
Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемtriangle.ucoz.ru
Похожие презентации
Презентация по предмету «Математика» на тему: «ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ РЕШЕНИИ. Рекомендацииучителю Пояснительная записка Начать работу Авторы: Мохова В.Ю. учитель математики.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
2 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ РЕШЕНИИ. Рекомендацииучителю Пояснительная записка Начать работу Авторы: Мохова В.Ю. учитель математики школы 381, Хмелинина Л.А. учитель математики школы 478.
3 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ
4 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ X=16
5 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ X=4 или X=-4 Посмотреть решение
6 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ X=100
7 Устно реши уравнения Проверь ответ Проверь ответ Проверь ответ log 2 x=4log 2 x 2 =4lgx=2lgx 3 =2 Проверь ответ x=10 2/3
8 log 2 x 2 =4 x 2 =2 4 x 2 =16 х = 4 или х = -4 Ответ:4;-4. Другое решение
9 log 2 x 2 =4 2·log 2 |x|=4 log 2 |x|=2 |x|=4 x = 4 или x = -4 Ответ:4;-4.
10 log 2 (4-x)+log 2 (1-2x)=2log 2 3lgx 2 +lgx 6 =8 2lgx+6lgx=8 8lgx=8 lgx=1 x=10 Ответ: 10. Найди ошибку и запиши правильное решение ПодсказкаПодсказка 2 Ответ ПодсказкаОтветПодсказка1
11 log 2 (4-x)+log 2 (1-2x)=2log 2 3 (1) log 2 ((4-x)(1-2x))=log (2) Уравнение (1) не равносильно уравнению (2), поэтому нужно сделать проверку или указать О.Д.З., тогда увидишь посторонний корень.
12 log 2 (4-x)+log 2 (1-2x)=2log 2 3lgx 2 +lgx 6 =8 2lgx+6lgx=8 8lgx=8 lgx=1 x=10 Ответ: 10. Найди ошибку и запиши правильное решение Ответ ПодсказкаПодсказка2 Ответ — Подсказка1
13 lgx 2 +lgx 6 =8 2lgx+6lgx=8 Неправильно вынесен показатель степени. Нужно сделать так: 2lg|x|+6lg|x|=8
14 log 2 (4-x)+log 2 (1-2x)=2log 2 3lgx 2 +lgx 6 =8 2lgx+6lgx=8 8lgx=8 lgx=1 x=10 Ответ: 10. Найди ошибку и запиши правильное решение Подсказка Ответ ПодсказкаОтвет 10; -10.
15 Это уравнение lgx 2 +lgx 6 =8 можно решить иначе lg(x 2 x 6 )=8 x 8 =10 8 x=10 или x=-10 Ответ: 10; -10.
16 Найди правильное решение уравнения lgxlg(2+x)=lgx /:lgx lg(2+x)=1 2+x=10 x=8 Ответ:8. проверить lgxlg(2+x)=lgx lgxlg(2+x)-lgx=0 lgx·(lg(2+x)-1)=0 lgx=0 или lg(2+x)-1=0 x=1 2+x=10 x=8 Ответ:1;8. lgxlg(2+x)=lgx Решение первоеРешение второе
17 Правильное решение — второе. В первом случае потерян корень. Посмотреть еще раз Дальше
18 В рассмотренных примерах мы отработали две ошибки: -потеря корня; -лишний корень.
19 Реши сам Если ты уверен в своих знаниях и хочешь заработать оценку «5», то выбирай задания здесь Если ты не очень уверен в своих знаниях, то выбирай задания здесь.
20 На оценку 5 реши уравнения: 1. log 3 2 (9x 2 )=log 3 81 Проверить ответПроверить ответ 2. lg(lgx)+lg(lgx 3 -2)=0 Проверить ответПроверить ответ
21 Реши сам следующие уравнения 1. log 3 (x+4)+log 3 (x-1)=1+log 3 2 Проверить ответПроверить ответ 2. log 3 (x-2) log 3 x=log 3 (x-2) Проверить ответ Проверить ответ 3. lgx 2 +lgx 4 +6=0 Проверить ответ Проверить ответ
22 Если решил правильно, то молодец и можешь закончить занятие.
23 На оценку 5 реши уравнения: 1. log 3 2 (9x 2 )=log 3 81 Проверить ответ 2. lg(lgx)+lg(lgx 3 -2)=0 Проверить ответПроверить ответ -1; 1; 1/9; -1/9.
24 На оценку 5 реши уравнения: 1. log 3 2 (9x 2 )=log 3 81 Проверить ответПроверить ответ 2. lg(lgx)+lg(lgx 3 -2)=0 Проверить ответ 10
25 Реши сам следующие уравнения 1. log 3 (x+4)+log 3 (x-1)=1+log 3 2 Проверить ответ 2. log 3 (x-2) log 3 x=log 3 (x-2) Проверить ответ Проверить ответ 3. lgx 2 +lgx 4 +6=0 Проверить ответ Проверить ответ 2
26 Реши сам следующие уравнения 1. log 3 (x+4)+log 3 (x-1)=1+log 3 2 Проверить ответПроверить ответ 2. log 3 (x-2) ·log 3 x=log 3 (x-2) Проверить ответ 3. lgx 2 +lgx 4 +6=0 Проверить ответ Проверить ответ 3
27 Реши сам следующие уравнения 1. log 3 (x+4)+log 3 (x-1)=1+log 3 2 Проверить ответПроверить ответ 2. log 3 (x-2) ·log 3 x=log 3 (x-2) Проверить ответ Проверить ответ 3. lgx 2 +lgx 4 +6=0 Проверить ответ -1/10; 1/10.
28 Если решил правильно, то молодец и можешь закончить занятие.
29 Если решил правильно, то молодец и можешь закончить занятие Или попробуй решить на «5»
30 Если у Вас осталось время, то можете заглянуть на историческую страничку или посмотреть логарифмическую комедию. Страничка истории Логарифмическая комедия
31 Действие — возведение в степень -имеет два обратных. Если a b =c, то отыскание a есть одно обратное действие – извлечение корня; нахождение же b – другое, логарифмирование. Для чего были придуманы логарифмы? Конечно, для ускорения и упрощения вычислений. Логарифмы дают возможность производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени). Об этом можно прочитать в книге «Занимательная алгебра» Я.И.Перельмана. Немного истории Закончить работу Далее
3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)» title=»Логарифмическая комедия Докажем, что 2>3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)» > 32 Логарифмическая комедия Докажем, что 2>3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)>3lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) Имеем: 2>3. В чем ошибка этого доказательства? Решение 3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)»> 3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)>3lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) Имеем: 2>3. В чем ошибка этого доказательства? Решение»> 3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)» title=»Логарифмическая комедия Докажем, что 2>3; «Комедия» начинается с неравенства 1/4>1/8 — бесспорно правильного. Затем следует преобразование: (1/2) 2 >(1/2) 3, также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg(1/2)»>
на на 33 Ошибка в том, что при сокращении на lg(1/2) не был изменен знак неравенства ( > на на на на на
источники:
http://math4school.ru/oshibki_v_uravnenijah.html
http://www.myshared.ru/slide/224744/