Правильно понятая ошибка это путь к открытию - Ремонт и установка крупной бытовой техники

1

ПРОЕКТ «Софизмы» «Правильно понятая ошибка – это путь к открытию». «Правильно понятая ошибка – это путь к открытию». И.П. Павлов И.П. Павлов Работа ученика 7 «а» класса Варакутина Александра с. Кваркено 2010г.

2

Вопросы для исследования: Вопросы для исследования: Известно ли вам, что такое софизм? Известно ли вам, что такое софизм? Знаете ли вы кто такие «софисты» и кто создал это направление? Знаете ли вы кто такие «софисты» и кто создал это направление? Что нужно делать, чтобы быстро найти ошибку в «теореме»? Что нужно делать, чтобы быстро найти ошибку в «теореме»? Какие софизмы достались нам от потомков? Какие софизмы достались нам от потомков? Цель работы: узнать о софизмах и людях, занимавшихся софистикой; научиться разгадывать софизмы; научиться самому представлять софизмы так, чтобы они выглядели правильно Цель работы: узнать о софизмах и людях, занимавшихся софистикой; научиться разгадывать софизмы; научиться самому представлять софизмы так, чтобы они выглядели правильно

3

Значение софизмов Софизмы влияли на развитие многих наук, в том числе и на математику

4

Происхождение названия Софизм – (от греческого sophisma, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») Софизм – (от греческого sophisma, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка»)

5

Софистика Софизмы появились еще в Древней Греции. Софизмы появились еще в Древней Греции. Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания.

6

Софисты СОФИСТЫ (софист, от греч. sophistes умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец)– представители интеллектуального течения в общественной и культурной жизни Древней Греции СОФИСТЫ (софист, от греч. sophistes умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец)– представители интеллектуального течения в общественной и культурной жизни Древней Греции Старшие софисты: Протагор, Горгий, Гиппий, Продик, Антифонт, Критий. Старшие софисты: Протагор, Горгий, Гиппий, Продик, Антифонт, Критий. Младшие софисты: Ликофрон, Алкидамант, Фрасимах. Младшие софисты: Ликофрон, Алкидамант, Фрасимах.

7

Политические убеждения В социально-политических областях софисты были сторонниками демократии и высказывали идеи равенства всех людей. В социально-политических областях софисты были сторонниками демократии и высказывали идеи равенства всех людей.

8

Религиозные убеждения Софисты неизбежно впадали в противоречие с традиционными религиозными верованиями. Софисты неизбежно впадали в противоречие с традиционными религиозными верованиями.

9

Алгебраические софизмы Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

10

«Все числа равны» Возьмём два разных числа, такие что: a + c = b Умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) Раскрываем скобки, имеем: a2 + ca ab cb = ba b2 переносим вправо, имеем: a2 + ca ab = ba b2 + cb Возьмём два разных числа, такие что: a + c = b Умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) Раскрываем скобки, имеем: a2 + ca ab cb = ba b2 переносим вправо, имеем: a2 + ca ab = ba b2 + cb a(a + c b) = b(a b + c) a(a + c b) = b(a b + c) a = b Где ошибка? a = b Где ошибка?

11

Единица равна нулю Возьмем уравнение x-a=0 Разделив обе его части на х-а, получим х-а/х- а=0/х-а Откуда сразу же получаем требуемое равенство 1=0. Возьмем уравнение x-a=0 Разделив обе его части на х-а, получим х-а/х- а=0/х-а Откуда сразу же получаем требуемое равенство 1=0. Где ошибка? Где ошибка?

12

Всякое число равно своему удвоенному значению Запишем очевидное для любого числа а тождество а2-а2= а2-а2 Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)Разделив обе части на а-а, получим а=а+а а=2а Где ошибка? Запишем очевидное для любого числа а тождество а2-а2= а2-а2 Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)Разделив обе части на а-а, получим а=а+а а=2а Где ошибка?

13

Геометрические софизмы Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. Их мало, но один из них мы рассмотрим. Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. Их мало, но один из них мы рассмотрим.

14

В се треугольники равнобедренные Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис.). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, что ОА=ОС и ОD=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе. Поэтому уголDАО=уголЕОС. В то же время ОАC=ОСА, так как треугольник АОС -равнобедренный. Получаем: ВАС=DАО+ОАС=ЕОС+ОСА=ВАС Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС- равнобедренный: АВ=ВС. В чем ошибка? Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис.). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, что ОА=ОС и ОD=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе. Поэтому уголDАО=уголЕОС. В то же время ОАC=ОСА, так как треугольник АОС -равнобедренный. Получаем: ВАС=DАО+ОАС=ЕОС+ОСА=ВАС Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС- равнобедренный: АВ=ВС. В чем ошибка?

15

Арифметические софизмы Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда. Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

16

9 тенге = тиын. Возьмем верное равенство 3 тенге = 300 тиын и возведем обе его части в квадрат. Получится 9 тенге = тиын. В чем ошибка? Возьмем верное равенство 3 тенге = 300 тиын и возведем обе его части в квадрат. Получится 9 тенге = тиын. В чем ошибка?

17

Чётное и нечётное «5 есть («два и три»). Два число чётное, три нечётное, выходит, что пять число и чётное и нечётное. «5 есть («два и три»). Два число чётное, три нечётное, выходит, что пять число и чётное и нечётное. В чем ошибка? В чем ошибка?

18

Логические софизмы Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

19

Софизм «лгун». Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?) Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)

20

«Софизм Кратила» Диалектик Гераклит, провозгласив «все течет», пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в след. раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал др. выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, пока ты входишь, она уже изменится. Диалектик Гераклит, провозгласив «все течет», пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в след. раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал др. выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, пока ты входишь, она уже изменится.

21

«Софизм Эватла» Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: «Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора». На это Эватл отвечал: «Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда». (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.) Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: «Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора». На это Эватл отвечал: «Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда». (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.)

22

« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть, а дм- длина спички, b дм — длина столба. Тогда b – a = c. Имеем b — a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 — ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc, Получим: b2- ab — bc = ca + c2 – bc Вынесем общий множитель за скобки: b(b — a — c) = c(a+c-b) b(b-a-c)=-c(b-a-c) Разделим обе части на (b-a-c) Получим: b = — c c = b – a b = a – b a = 2b. Где ошибка? А ошибка в предпоследнем равенстве. А ошибка в предпоследнем равенстве. B(b-a-c)=-c(b-a-c). B-a-c=0, а на ноль B(b-a-c)=-c(b-a-c). B-a-c=0, а на ноль делить нельзя. делить нельзя.

23

Равнобедренные треугольники Вернемся к софизму про равнобедренные треугольники. Ошибка в чертеже, ведь серединный перпендикуляр пересечется с биссектрисой противоположного угла вне треугольника. Вернемся к софизму про равнобедренные треугольники. Ошибка в чертеже, ведь серединный перпендикуляр пересечется с биссектрисой противоположного угла вне треугольника.

24

«Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам 1 р.=100 коп, (1) 10р.=10*100коп.(2) перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.= коп. и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.= коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам. В чем ошибка? Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам 1 р.=100 коп, (1) 10р.=10*100коп.(2) перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.= коп. и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.= коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам. В чем ошибка? А ошибка в умножении. Ведь 10*100=1000 а в софизме как раз два «лишних» нуля. А ошибка в умножении. Ведь 10*100=1000 а в софизме как раз два «лишних» нуля.

25

«Равен ли полный стакан пустому?» «Равен ли полный стакан пустому?» Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому. А если перевести «полуполный» и «полупустой» в числа? Тогда получится, что и там и там будет 0,5. Но 0,5*2=1 и в первом и во втором. А если перевести «полуполный» и «полупустой» в числа? Тогда получится, что и там и там будет 0,5. Но 0,5*2=1 и в первом и во втором.

26

Заключение Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии.

27

Список литературы Научное издательство «Большая Российская энциклопедия» / Большая Советская энциклопедия- М.: «Новый диск», ил. Научное издательство «Большая Российская энциклопедия» / Большая Советская энциклопедия- М.: «Новый диск», ил «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия»- М. «Кирилл и Мефодий», ил. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия»- М. «Кирилл и Мефодий», ил.

28

А.Г.Мадера «Математические софизмы» А.Г.Мадера «Математические софизмы» Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин « Математическая шкатулка» Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин « Математическая шкатулка» Литцман В., Трир Ф. «Где ошибка?»- СПб.,1919 Литцман В., Трир Ф. «Где ошибка?»- СПб.,1919 Лямин А.А., «Математические парадоксы и интересные задачи».-М., 1911 Лямин А.А., «Математические парадоксы и интересные задачи».-М., 1911 Обреимов В.И. «Математические софизмы».- 2-е издание-СПб., 1889 Обреимов В.И. «Математические софизмы».- 2-е издание-СПб., 1889

Источник

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 49»

«Парадоксы и софизмы»

«Правильно понятая ошибка
– это путь к открытию».
И. П. Павлов.

Выполнил:

обучающийся 7 Г класса

Калугин Вадим

Руководитель:

учитель математики

Яковлева Лилия Геннадьевна

г. Новокузнецк, 2012

Цель проекта:

1. Показать какое место занимают парадоксы и софизмы в развитии таких дисциплин, как математика, логика, философия, риторика.

2. Улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

Задачи проекта:

1. Изучить теоретический материал по данной теме.

2. Расширить кругозор в области парадоксальных умозаключений и софизмов

различного вида.

3. Показать взаимосвязь математики с другими предметными дисциплинами.

Оглавление

1. Введение

2. Историческая справка

3. Парадоксы

4. Софизмы

Арифметические софизмы

Алгебраические софизмы

Логические софизмы

5. Заключение

6. Литература

6-7

8-11

1. Введение.

Парадокс — неожиданное, непривычное, расходящееся с традицией утверждение, рассуждение или вывод. В логике – противоречие, полученное в результате внешне логически правильного рассуждения, приводящее к взаимно противоречащим заключениям. Парадокс в более узком и специальном значении — это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Наиболее резкая форма парадокса — антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.

Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») — умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

2. Историческая справка.

Софизмы появились еще в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.

Антиномия – противоречие между двумя суждениями, одинаково логически доказуемыми.

Парадоксы.

Парадокс «Лжеца».

Исходная (древняя) формулировка представляет собой рассказ о том, как некий Эпименид, уроженец острова Крит, в пылу спора воскликнул: «Все критяне — лжецы!». На что услышал возражение: «Но ведь ты сам — критянин! Так солгал ты или нет?». Если предположить, что Эпименид сказал правду, то выходит, что он, как и все критяне, — лжец. А значит, он солгал. Если же он солгал, тогда получается, что он, как и все критяне, — не лжец. А значит, он сказал правду. Действительно, согласно свидетельству дренегреческого историка Плутарха (I в. н.э.), критяне пользовались в древности дурной славой людей, действующих обманом, хитростью и воровскими уловками. Эпименид был прав, говоря о лжецах (в том числе и о себе). Получается прямо по Бернсу:

Нет, у него не лживый взгляд,

Его глаза не лгут.

Они правдиво говорят,

Что их владелец — плут.

Это рассуждение, вообще говоря, некорректное, в нем есть явные ошибки. Если Эпименид солгал, то отрицание фразы «все Критяне лжецы» будет звучать так: «не все Критяне лжецы», а вовсе не так: «все критяне не лжецы». Но если внести такое исправление в рассуждение, доказательство развалится. Если Эпименид лжец, а остальные критяне — нет, то никакого парадокса не возникает.

Другая ошибка заключается в том, что лжецами мы называем не тех, кто лжет всегда, а тех, кто делает это всего лишь часто. Соответственно, даже если Эпименид — лжец, то не обязательно он солгал именно в этой фразе. Снова доказательство разваливается там, где написано: «А значит, он солгал». Может, в этот раз не солгал, а вообще он и другие критяне — лжецы и лгут регулярно. Снова нет парадокса.

В средние века распространенной была такая формулировка:

— Сказанное Платоном — ложно, — говорит Сократ.

— То, что сказал Сократ, — истина, — говорит Платон.

Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь?

Парадокс «Лжец» произвел громадное впечатление на греков. И легко понять почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет», и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину.

Теперь «Лжец» — этот типичный бывший софизм — нередко именуется королем логических парадоксов. Ему посвящена обширная научная литература. И, тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за ним и как следует избавляться от него.

Парадокс «Крокодил и мать».

В Древней Греции пользовался большой популярностью рассказ о крокодиле и матери, совпадающий по своему логическому содержанию с парадоксом «Протагор и Еватл».

Крокодил выхватил у египтянки, стоявшей на берегу реки, ее ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову слезу, ответил:

— Твое несчастье растрогало меня, и я дам тебе шанс получить назад ребенка. Угадай, отдам я его тебе или нет. Если ответишь правильно, я верну ребенка. Если не угадаешь, я его не отдам.

Подумав, мать ответила:

— Ты не отдашь мне ребенка.

— Ты его не получишь, — заключил крокодил. — Ты сказала либо правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребенка, — правда, я не отдам его, так как иначе сказанное не будет правдой. Если сказанное — неправда, значит, ты не угадала, и я не отдам ребенка по уговору.

Однако матери это рассуждение не показалось убедительным.

— Но ведь если я сказала правду, то ты отдашь мне ребенка, как мы и договорились. Если же я не угадала, что ты не отдашь ребенка, то ты должен мне его отдать, иначе сказанное мною не будет неправдой.

Кто прав: мать или крокодил? К чему обязывает крокодила данное им обещание? К тому, чтобы отдать ребенка или, напротив, чтобы не отдать его? И к тому и к другому одновременно. Это обещание внутренне противоречиво, и, таким образом, оно не выполнимо в силу законов логики.

4. Софизмы.

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1. Арифметические софизмы.

Арифметика — (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.
Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

«Чётное и нечётное»

«5 есть 2 + 3 («два и три»).
Два — число чётное,
три — нечётное, выходит,
что пять — число и чётное и нечётное. В чем ошибка?

«Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.
Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
10 р.=100000 коп.
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

В чем ошибка?

Дважды два — пять!

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:

4:4= 5:5

После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь:

4∙(1:1)=5∙(1:1) или

(2∙2)(1:1)=5(1:1)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения

4(1:1)=5(1:1) Устанавливаем:

2∙2=5.

«Единица равна нулю»

Возьмем уравнение x-a=0

Разделив обе его части на х-а, получим

(х-а)/(х-а)=0/(х-а)

Откуда сразу же получаем требуемое равенство

1=0

2. Алгебраические софизмы.

« Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»

Возьмем два произвольных положительных числа a и b, такие, что a > b.
Умножив это неравенство на b,
получим новое неравенство ab > b·b,

отнимем от обеих его частей a·a,
получим неравенство ab-a·a > b·b — a·a, равносильное a(b-a) > (b+a)(b-a).
Разделим обе части неравенства на b-a получим a > b+a,

прибавим к этому неравенству почленно исходное неравенство a > b

имеем 2a >2b+a
откуда a > 2b

Итак, если a > b
a > 2bГде ошибка?

« Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество а2-а2= а2-а2. Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)Разделив обе части на а-а, получим
а=а+а
а=2а

3. Логические софизмы.

Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

«Лекарства»

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро.
Чем больше делать добра, тем лучше.
Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

«Не знаешь то, что знаешь»

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?»
— «Нет». —
«Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?»
— «Знаю».
— «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь»

«Равен ли полный стакан пустому?»

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

5. Заключение.

На примере рассмотренных парадоксов мы ясно ощутили волшебную силу слова (или, точнее, если воспользоваться выражением, силу «вольности речи»). Она-то и делает парадоксы столь сложными и вместе с тем столь привлекательными.

6. Литература:

«Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» — М.: «Кирилл и Мефодий», 2004
Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин «Математическая шкатулка»
Ресурсы сети Интернет: http://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм
http://slovari.yandex.ru/

Источник

Математические софизмы и задания «Найди ошибку»

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Сафарова А.Г. 1

1IT лицей № 9 имени О.А.Жолдасбекова

Ильина Светлана Владимировна 1

1IT лицей № 9 имени О.А.Жолдасбекова

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»

И. П. Павлов

ВВЕДЕНИЕ

Бесконечно разнообразны ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь такой ошибкой, мы защитим себя от повторения такой ошибки в будущем; во- вторых, сам процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.

Рассуждение, в котором допущена та или иная ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь нелепости, или так называемый софизм.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику.

Цель исследования софизмов заключается в приобщении к критическому мышлению, умению не только воспроизводить определенные логические мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления.

Наверняка, каждый человек слышал хоть раз в жизни подобную фразу:

«Дважды два равно пяти» или «Два равно трем». На самом деле таких примеров очень много. Что они обозначают? Имеют ли какое-то логическое объяснение или это вымысел?

Именно это я хочу рассмотреть в этой работе, название которой «Математические софизмы и задания «Найди ошибку». Целью моей работы является исследование разнообразных математических софизмов для формирования критического мышления, приобретения необходимых в жизни навыков правильного мышления и разбор собственных заданий «Найди ошибку» по различным темам курса алгебры и геометрии. 1

СОФИЗМЫ

Софизм (в переводе с греческого sophisma — уловка, выдумка, головоломка), формально кажущийся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренном неправильном подборе исходных положений. Каков бы не был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, форму и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

ИСТОРИЯ СОФИЗМОВ

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки математических исследований, допускаемые выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок математических рассуждение часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформировать эту аксиому можно так: через данную точку лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение на протяжении более двух тысяч лет пытались доказать, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И все же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи.

Понятие софизмов включает в себя несколько видов софизмов: арифметические, алгебраические и геометрические.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Арифметические софизмы — это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда. Рассмотрим такие примеры.

Пример 1

« 5 = 6 »

Решение:

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель

Получаем 5 = 6.

Где ошибка?

Ответ: общий множитель (7 + 2 – 9) = 0, а делить на 0 нельзя.

Пример 2

« 2 * 2 = 5 »

Решение:

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому

4 = 5 или 2 * 2 = 5.

Где ошибка?

Ответ: допущена ошибка в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5. Общий множитель нельзя вынести.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений, т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример 1

«Любое число равно его половине»

Возьмем два равных числа а и b, а =b обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b². Получим: а² – b² = ab — b² или (а + b)(a — b)=b(a — b).

Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = a.

Значит, 2а = а, .

Где ошибка?

Ответ: нельзя делить на (а – b), так как ( a – b) = 0.

Пример 2

«Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х и бесконечного числа слагаемых, равных а:

х = а + а + а + а + … . (1)

Очевидно, что мы можем представить эту сумму как

х = а + (а + а + а +…), (2)

в которой сумма, стоящая в скобках, так же ровна х, как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0

Где ошибка?

Ответ: ошибка допущена в равенстве (1), в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х.

Пример 3

«Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество:

а² – а² = а² – а².

Вынесем множитель а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим:

а (а — а) = ( а + а) ( а – а ). (1)

Разделив обе части на ( а – а ), получим:

а = а + а , а = 2а.

Где ошибка?

Ответ: используется распространенная ошибка, а именно деление на 0 в неравенстве (1) (а—а=0).

Пример 4

«Все числа равны между собой»

Возьмем любые два числа х , у.

Рассмотрим тождество:

х²— 2ху + у²= у²— 2ху + х². Имеем: ( х – у )²= ( у – х )².

отсюда: х – у = у – х или 2х = 2у, а значит, х = у.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что из равенства ( х – у )² = (у – х )² следует, что х = у, а это равенство справедливо для любых чисел х, у.

Пример 5

Если «а» больше «b», в тогда «а» всегда больше, чем «2b».

Возьмем два произвольных положительных числа а и b, такие, что а > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство аb > bb, а отняв от обеих его частей аа, получим неравенства аb – аа > bb – аа, которое равносильно следующему: а ( b – a ) > ( b + a ) ( b — a ). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на (b – а), получим а > b + a (2).

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство а > b, имеем 2а > 2b + a, откуда а > 2b. Итак, если а > b, то а > 2b.

Где ошибка?

Ответ: ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Так как а > b, то b – a < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – а, мы должны

поменять знак неравенства на противоположный.

Пример 6

« 8 = 6 »

Решим систему уравнений:

Решим подстановкой у из второго уравнения в первое, получаем

х + 8 – х = 6, откуда 8 = 6.

Где ошибка?

Ответ: второе уравнение системы можно записать как х + 2у = 8, так что исходная система запишется в виде:

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые у = 3 — и у = 4 — параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 7

«Неравные числа равны»

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b.

Пусть их разность равна с, то есть а – b = с. Умножив обе части этого равенства на ( а – b ), получим ( а – b )² = с ( а – b ). Раскрыв скобки, придем к равенству а²– 2аb + b²= ca – cb. После преобразования получаем а²– аb — ас= аb – b² – bc. Выносим общий множитель а слева и общий множитель b справа, получим: а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ).

Разделив последнее равенство на ( а – b – c ), получаем : а = b.

Где ошибка?

Ответ: здесь ошибка совершена при переходе от равенства а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, то есть а – b = с, откуда а – b — c = 0. Можно записать равенство а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) в виде: а*0 = b*0. Переход от этого равенства к равенству, а=b осуществляется путем деления обеих частей на равное нулю число а – b – с = 0.Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство, а*0=b*0 выполняется при любых а и b. Поэтому, вывод о том, что числа а и b равны, неверен.

Пример 8

« 7 = 13 »

Рассмотрим уравнение: . (1)

Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, получим

= , откуда – = , или

= . (2)

Поскольку числители дробей в левой и в правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7 = 13.

Где ошибка? Ответ: область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х, кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство (2) является не уравнением, а тождеством, равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому, утверждение софизма неверно.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Геометрические софизмы – это умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример 1

«Катет равен гипотенузе»

Доказательство

Угол С равен 90°, ВД — биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярно СА, О – точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярно АВ, ОL перпендикулярно ВС. Имеем: ∆LВО равен ∆МВО, ВL=ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, ∆КОА = ∆ОМА (ОА- общая сторона, КА = ОМ, ∠ОКА и ∠ОМА- прямые), ∠ОАК= ∠МОА, ОК=МА=СL, ВА= ВМ+МА, ВС=ВL+LС, но ВМ=ВL, МА=СL, и потому ВА=ВС.

С К D A

К D

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Пример 2

«Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны»

Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки которых АВ и СD заключены между сторонами этого угла.

Как известно параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, откуда АЕ · DE = BE · CE.

Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность

АВ – СD , запишем AE · DE · AB – AE · DE · CD = AE · DE · CD – BE · CE · CD,

ИлиАВ (AE · DE – BE · CE) = CD (AE · DE – BE · CE).

Разделив обе части последнего равенства на (AE · DE – BE · CE) получим равенство АВ = СD.

D А

B С

Где ошибка?

Ответ: так как АЕ · DE = BE · CE, то АЕ · DE – ВЕ · СЕ = 0, то ошибка в делении на 0.

Пример 3

«Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе»

Пусть BO (рис.1) – биссектриса угла B, D – середина катета AC, DO ┴ AC, OE ┴ BC, OF ┴ BA.

Так как О — на биссектрисе угла B,

то Δ BFO = Δ BEO (по гипотенузе и острому углу). Поэтому

BF = BE. (1)

Далее, OA = OC, ибо каждая точка перпендикулярна к отрезку AC,

9проходящего через середину AC, равноудалена от А и С. Так как ОF = OE,

то Δ AOF = Δ СОЕ, и поэтому АF = СЕ. (2)

n DD D

кладывая почленно (1) и (2), получим AB = CB, то есть катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.

n O

O O

В В

E A C

F F О Е

А D С Рис. 2

Рис. 1

Где ошибка? Ответ: точка О не может быть внутри Δ ABC. Тогда можно показать, что если точка О лежит вне Δ ABC или на его стороне, то опять AB = CB (рис.2). Именно, показываем, что BF = BE, АF = СЕ. Отсюда AB = CB.

Пример 4

«Прямой угол равен тупому!»

Пусть угол АDC — прямой, угол DCВ — тупой, СВ=DА, СМ=DМ, АF=ВА, МО ┴ СD, FО ┴ АВ. Следовательно, ∆DMO = ∆СМО (по двум катетам). Поэтому, ∠ МDО= ∠ МСО. (1) OD=ОС, ∆ AFO =∆ ВFО (по двум катетам).

Следовательно, АО=ОВ и ∆ АDО= ∆ ВСО (по трем сторонам).

Значит, ∠АDО = ∠ВСО. (2)

A F B

D M C

∠АDO –∠ МDО =∠ ВСО – ∠МСО, то есть ∠АDC=∠ BCD.

Таким образом, прямой угол равен тупому углу. Что и требовалось доказать.

ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ»

В процессе изучения и исследования математических софизмов мне стало интересно, а как можно предупредить ошибки учеников моего класса в решении примеров на уроках. Ведь часто при неправильном решении получается явно неверный результат, который не могут увидеть сами ученики. Поэтому, я заинтересовалась заданиями с ошибками в решении. Используя учебную литературу, я попробовала самостоятельно составить задания, в которых есть ошибка.

Пример 1

Решить неравенство:

( 4 — х²)³ ( х – 3 )²≥ 0.

( х²-4)³ ( х – 3 )²≤ 0,

( х – 2 )³( х + 2 )³( х – 3 )²≤ 0.

Найдем нули выражения

х – 2 =0, х + 2 =0, х – 3 = 0,

х = 2, х = -2, х = 3.

— + — +

-2 2 3

х (-∞; -2] υ [2; 3]

Где ошибка?

Ответ: в выражении второй множитель в квадрате. Поэтому, при переходе через точку х=3 знак выражения не должен измениться.

+ — + +

-2 2 3

х [-2; 2] Ответ: [-2; 2]

Пример 2

Найти производную функции f(х) = sin⁶ .

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ = 3sin⁵ .

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в нахождении производной степенной функции.

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ =sin⁵ .

Пример 3 Решить биквадратное уравнение:

9х⁴– 2х²— 7 = 0.

Введем замену х²=z, решаем квадратное уравнение:

9z²— 2z – 7 = 0, k=

Д₁ = k²— ac = (-1)²— 9 · (-7) = 1 +63 = 64 > 0, имеет 2 корня

z_1,2= =

z₁₌-1, z₂= ,

х²= — 1, х²= ,

не имеет решения, х = ± .

Где ошибка? Ответ: при нахождении корней уравнения допущена ошибка: k=-1, а в формуле корней знак не изменен. Правильное решение:

z_1,2 = = ,

z₁= 1,z₂=- ,

х²= 1 , х²= — ,

х = ± 1, не имеет решения. Ответ: ± 1

Пример 4

Решить тригонометрические уравнения:

а) 2соsх = 1.

соsх = ,

х = аrccos + 2n, n Z,

x = + 2n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в неправильном определении табличного значения косинуса.

х = аrccos + 2 n, n Z

x = + 2 n, n Z

б) 3sin²x — 2sinx -1 = 0.

Введем замену sinx=t , тогда получим и решим квадратное уравнение:

3t²-2t -1 = 0.

По свойству коэффициентов a+ b +c = 0 получаем:

t₁ = 1, t₂ = — ,

sinx= 1, sinx= — ,

х =(-1)ⁿ + n, n Z. х= (-1)ⁿarcsin(- ) + n, n Z,

х= — (-1)ⁿarcsin + n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: 1) ошибка заключается в нахождении корня тригонометрического уравнения sinx= 1. Это частный случай. Поэтому, х = + 2n, n Z.

2) ошибка при определении корня уравнения sinx= — . Отрицательное значение синуса увеличивает степень числа (-1) на единицу.

Правильный ответ: х= (-1)ⁿ⁺¹arcsin + n, n Z

Пример 5. Задача.

Стороны параллелограмма АВСD относятся как 2:3, а его периметр равен 20 см, угол между сторонами равен 60°. Найдите его площадь.

А В

С D

Решение.

АВ : АD = 2 : 3.

х – коэффициент пропорциональности,

тогда АВ = 2х (см), АD = 3х (см)., Р_АВ_CD = 2(АВ + АD), получим

(2х + 3х) · 2 = 20,

5х = 10,

х = 2 (см).

АВ = 2 · 2 = 4 (см), АD = 2 · 3 = 6 (см).

S_АВ_CD = аbsinα = АВ · АD · sin60°,

S_АВ_CD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

Где ошибка?

Ответ: ошибка в определении значения синуса. Правильно sin60° = .

Поэтому, S_АВ_CD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовать софизмы очень интересно и необычно. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.

Изучая и исследуя математические софизмы, я научилась контролировать логические рассуждения при решении задач и примеров.. Поэтому, я могу найти ошибку в своем решении и увидеть ошибку в решении других учеников во время урока.

Мне было очень интересно изучать и исследовать математические софизмы, а особенно придумывать новые задания, содержащие ошибку и анализировать их.

Такие задания помогут мне еще лучше подготовиться к государственному экзамену по математике и сдаче ЕНТ.

Литература

1. М. Б. Балк, Г. Д. Балк, «Математика после уроков», «Просвещение», Москва, 1971

2. сайт ppt4.web.rumatematisheskie—sofizmy.htlm

3. А. Н. Шыныбеков, учебник «Геометрия 8», «Атамура», Алматы, 2004

4. А. Н. Шыныбеков, учебник «Алгебра 8», «Атамура», Алматы, 2004

5. А. Е. Абылкасомова, З .А Жумагулова, К. Д. Шойынбеков,

6. В. Е. Корчевский, учебник «Алгебра и начала анализа 10», «Мектеп», Алматы, 2014

7. И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Тренажер по математике для подготовки к Единому Национальному Тестированию (ЕНТ)», Алматы,2011

Просмотров работы: 108

Источник

«Правильно понятая ошибка
– это путь к открытию».
И. П. Павлов.

«Людям, которые желают идти верной дорогой, важно также знать и об отклонениях».
Аристотель

Авторы: Садекова Кадрия
Холичева Илона
Аракелова Галина

Научный руководитель:
учитель математики
Счетчикова Н. В.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Цитаты. Авторы. 2

2. Введение. 4

3. Понятие «Софизм». 5

4. Экскурс в Историю 6-8

5. Алгебраические софизмы. 9-23

6. Геометрические софизмы. 24-32

7. Арифметические софизмы. 33-35

8. Логические софизмы. 36-42

9. Заключение. 43-44

10. Список литературы. 45

2. Введение.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь произрастали новые софизмы и парадоксы. В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов известно очень давно, и можно найти в различных сборниках, журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение.

3. Понятие «Софизм»

4. Экскурс в Историю.

Софизмы появились еще в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.
Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста (софист, от греч. sophistes — умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец) — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. С этой же идеей обычно связывают «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины.
5. Алгебраические софизмы.

1.«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его»
Возьмем два положительных равных числа a и b и напишем для них следующие неравенства: a > — b
b > — b. Перемножив оба этих неравенства почленно,
получим неравенство
a·b>b·b,
разделим его на b (это законно, т.к. b>0), получим a > b. Записав же два других столь же бесспорных неравенства: b > — a
a > — aПеремножив оба этих неравенства почленно,
что b·a > a·a, а разделив на a>0,
получим b·a > a·a ,
разделим на а>0,
придем к b > a. Итак, число a, равное числу b, одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка?
2.« Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»

прибавим к этому неравенству почленно исходное неравенство a > b

имеем 2a >2b+a
откуда a > 2b

Итак, если a > b
a > 2bГде ошибка? 3. «Все числа равны»Возьмём два разных числа, такие что:
a <> 0, что:
a + c = b У
Умножим обе части на (a − b),
имеем:
(a + c)(a − b) = b(a − b) Раскрываем скобки, имеем:
a2 + ca − ab − cb = ba − b2+ cb
переносим вправо, имеем:
a2 + ca − ab = ba − b2 + cb a(a + c − b) = b(a − b + c) a = b Где ошибка?

4. Дважды два — пять!Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5.После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения

4(1:1)=5(1:1)

Устанавливаем: 2∙2=5.Где ошибка?

5.«Единица равна двум» Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства 1-3=4-6Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство 1-3+=4-6+ в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т.е. 2 = 2 Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство 1- = 2- Откуда следует, что 1=2Где ошибка?
6. «Неравные числа равны» Возьмём два неравных между собой произвольных числа a и b.
Пусть их разность равна c, т.е. a-b = c.
Умножив обе части этого равенства на (a-b), получим: (a-b)2 = c(a-b)раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab+b2 = ca-cbПреобразованием получаем a2-ab-ac = ab-b2-bcВынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа получим a(a-b-c) = b(a-b-c)Разделив последнее равенство на (a-b-c), получаем a = b Где ошибка?
7. «Любое число равно нулю»Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а: х=а+а+а+а+… .Очевидно, что мы можем представить эту сумму как х=а+(а+а+а+….)в которой сумма, стоящая в скобках, также равна х как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а.
Так что можем записать, что х=а+х,
откуда заключаем, что а=0 Где ошибка?

8. «Единица равна нулю»Возьмем уравнение x-a=0Разделив обе его части на х-а, получим х-а/х-а=0/х-аОткуда сразу же получаем требуемое равенство 1=0Где ошибка?

9. « Всякое число равно своему удвоенному значению»Запишем очевидное для любого числа а тождество а2-а2= а2-а2Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)Разделив обе части на а-а, получим
а=а+а
а=2аГде ошибка?

10. « Если одно число больше другого, то эти числа равны»Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т > п , и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т.е. а+b+c=d. Умножив обе части этого равенства на n, а затем на m, получим: ma+mb+mc=md,
na+nb+nc=ndСложив почленно равенства ma+mb+mc=md nd= na+nb+nc получим
ma+mb+mc+nd=na+nc+nb+md.
Перенося здесь nd вправо,
а md влево, имеем

ma+mb+mc-md=na+nb+nc-nd
Вынося слева число m, а справа число n за скобки, придем к соотношению m(a+b+c-d)=n(a+b+c-d), Разделив обе части последнего равенства на (a+b+c-d), находим, что m=n.Где ошибка?

11. «Единица равна минус единице»Пусть число х равно 1.
Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1=0.
Раскладывая х2-1 по формуле разности квадратов, получим: (х-1)(х+1)=0 Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем: х+1=0 и х = -1 Поскольку по условию х=1, то отсюда приходим к равенству 1= -1Где ошибка?
12. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

Пусть, а дм- длина спички,
b дм — длина столба.
Тогда b – a = c .

Имеем b — a = c,
b = a + c.
Перемножаем два эти равенства по частям, находим:
b2 — ab = ca + c2.
Вычтем из обеих частей bc.
Получим:
b2- ab — bc = ca + c2 – bc
Вынесем общий множитель за скобки:
b(b — a — c) = c(a+c-b)
b(b-a-c)=-c(b-a-c)
Разделим обе части на (b-a-c)
Получим:
b = — c
c = b – a
b = a – b
a = 2b. Где ошибка?
6. Геометрические софизмыГеометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

1. «из точки на прямой можно опусть два перпендикуляра»
Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра.
С этой целью возьмем треугольник АВС.
На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности.
Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д.

Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В.
Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой.
Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС.
Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
В чем ошибка?

2.«Катет равен гипотенузе»

Дано:
Угол С равен 90˚
ВД — биссектриса угла СВА
СК = КА
ОК перпендикулярна СА
О — точка пересечения прямых ОК и ВД
ОМ перпендикулярна АВ
ОL перпендикулярна ВС
Имеем: треугольник LВО = треугольнику МВО,
ВL = ВМ,
ОМ = ОL = СК = КА,
треугольник КОА= треугольнику ОМА (ОА — общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА — прямые),
угол ОАК = углу МОА,
ОК = МА = СL,
ВА = ВМ + МА,
ВС = ВL + LС,
ВМ = ВL,
МА = СL,
ВА = ВС.
Где ошибка?
3.«Внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним» Рассмотрим четырехугольник ABCD, такой, в котором ADC+ABC=180˚Через точки A, D и С проведем окружность, которая пересечет стороны АВ и ВС в некоторых точках E и F. Соединив точки С и Е, получим вписанный в эту окружность четырехугольник ADCE. Но сумма противоположных углов всякого вписанного четырехугольника, как известно, равна 180˚ , потому ADC + AEC = 180˚Сравнив равенства (1) и (2), получим ADC+ABC = ADC + AEC ABC = AEC Где ошибка?
4. Через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра.

С этой целью возьмем ∆АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности.
Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D.
Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ – прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр, угол ВDC также прямой.
Следовательно, ВЕ║АС и ВD║АС.
Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

В чем ошибка?

5. Докажем, что все треугольники равнобедренные.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис.). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОД на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, чтоОА=ОС иОД=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОД и СОЕ равны по катету и гипотенузе.Поэтому ÐДАО=ÐЕОС. В то же время ÐОАС=ÐОСА, так как треугольник АОС -равнобедренный. Получаем: ÐВАС=ÐДАО+ÐОАС=ÐЕОС+ÐОСА=ÐВАСИтак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС- равнобедренный: АВ=ВС.

В чем ошибка?
6. Все треугольники равносторонние.
Рассмотрим ∆ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно. Т.к. DO одновременно и высота, и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC. Т.к. BO — биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF), EO = OF. Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO, т.е. AE = FC. Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC. Проведя такое же рассуждение для основания не AC, а, например, AB, получим, что BC = CA. Из этого следует, что все треугольники на свете — равносторонние. В частном случае, если треугольник прямоугольный, то катеты равны гипотенузе. В чем ошибка?
7. «В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру” В окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем ∆ ABD и ∆CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению. Отсюда, ∆ABD = ∆CDE (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ=СЕ т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды. В чем ошибка?
7. Арифметические софизмы.

1. 9 тенге = 90000 тиын.

Возьмем верное равенство 3 тенге = 300 тиын и возведем обе его части в квадрат. Получится 9 тенге = 90000 тиын.

В чем ошибка?

2. 4=5.
Имеем числовое тождество: 4:4 = 5:5.
Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель.
Получим 4(1:1)= 5(1:1).
Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5.

В чем ошибка?

3. «Чётное и нечётное»
«5 есть 2 + 3 («два и три»).
Два — число чётное,
три — нечётное, выходит,
что пять — число и чётное и нечётное. В чем ошибка?
4. «Один рубль не равен
ста копейкам»

В чем ошибка?

8. Логические софизмы.Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять аб сурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

1. «Не знаешь то, что знаешь»«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?»
— «Нет». —
«Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?»
— «Знаю».
— «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь». 2. «Лекарства»«Лекарство, принимаемое больным, есть добро.
Чем больше делать добра, тем лучше.
Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». 3. «Вор»«Вор не желает приобрести ничего дурного.
Приобретение хорошего есть дело хорошее.
Следовательно, вор желает хорошего».

4. «Отец — собака»«Эта собака имеет детей, значит, она — отец.
Но это твоя собака.
Значит, она твой отец.
Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят». 5. «Рогатый»«Что ты не терял, то имеешь.
Рога ты не терял.
Значит, у тебя рога». 6. «Самое быстрое не догонит самое медленное»Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

7. «Нет конца»Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца.
Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет. 8. «Медимн зерна»Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум.
Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум.
Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно.
Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом! 9. «Куча»Одна песчинка не есть куча песка.
Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка — тоже не куча.
Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка. 10. «Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?»Если не может — значит, он не всемогущий.
Если может — значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.
11. Софизм «лгун».
Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун.
В таком случае он скажет правду.
Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)

12. «Равен ли полный стакан пустому?»Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

13. «Софизм Кратила»Диалектик Гераклит, провозгласив «все течет», пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в след. раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил, сделал др. выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, пока ты входишь, она уже изменится.
14. «Софизм Эватла»Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: «Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора». На это Эватл отвечал: «Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда». (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.)

9. Заключение.

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Некоторые

софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Мы поняли, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы — это лишь часть одного большого течения.
Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

10. Список литературы

1. Научное издательство «Большая Российская энциклопедия» / Большая Советская энциклопедия – М.: «Новый Диск», 2003. – ил.
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм
3. http://slovari.yandex.ru/
4. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» — М.: «Кирилл и Мефодий», 2004. – ил.
5. http://www.sunhome.ru/philosophy/1749
6. А. Г. Мадера «Математические софизмы»
7. Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин «Математическая шкатулка»
8. Литцман В., Трир Ф. «Где ошибка?» — СПб., 1919
9. Лямин А. А., «Математические парадоксы и интересные задачи». –М., 1911
10. Обреимов В. И. «Математические софизмы». – 2-е изд. – СПб., 1889.

Источник

Скачать материал

Мастер-класс
«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»
Кустова Е.В. у...

Скачать материал

Сейчас обучается 27 человек из 18 регионов

Сейчас обучается 44 человека из 25 регионов

Сейчас обучается 100 человек из 38 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Мастер-класс
«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»
Кустова Е.В. учитель математики МБОУ «Ошьинская СОШ-БШ»
30.03.2017
2 слайд

Наш мозг универсален
Почему иногда мы видим одно, думаем другое, а говорим третье?

Может ли мозг нас обмануть?
3 слайд

На что способен наш мозг!
Читайте текст до конца, не обращая внимание на то,
что он как-то не так выглядит…

Из исслднеовиай агнлйксиих унёычх селудет, что сошвнерено вёс-рнаво в ккаом пкоярде сотят бвкуы в совле, смаое гавлоне,что перавя и псоленядя бквуы длжоны соттяь на свиох мсеатх.
Оталсьное мжеот бтыь ернуодй и ты смжоешь эот порчтиать.
Птомоу-что мы чтаием солво цлекиом, а не бквуа за бквуой.
4 слайд

Мозг воспринимает оставленные разрывы как части куба.
5 слайд

Если что-то крутиться — тебе нужен отдых!!!
Посмотри внимательно на каждый круг в отдельности –
он стоит на месте!
6 слайд

Опять всё крутится? А если поглядеть внимательно, то нет.
9 слайд

Гипотеза:
Во всех наших ошибках виноват мозг!
10 слайд

«Человек, который не делает ошибок,
обычно вообще ничего не делает»
Эдвард Фелпс
11 слайд

Рекомендации
При обучении математике много внимания уделяется оформлению, записи решения. И учащиеся испытывают затруднения в
нестандартных ситуациях.

Поэтому следует проконсультировать учащихся, каким образом можно
систематично, четко, аккуратно и кратко
фиксировать информацию, записывать решения, делать пометки
при решении заданий в нестандартных ситуациях,
в том числе, при работе с текстами, например, последовательно
выбирая, сравнивая и систематизируя информацию,
выполняя подсчет объектов
Итоги мониторинга
по математике
учащихся 6-х классов
2015 – 2016 уч.год

Пермский край
12 слайд

Выполняя математические задания, учащиеся допускают типичные ошибки:
Вычислительные ошибки.
Невнимательное чтение условия и вопроса задания.
Незнание правил, определений, формул.
Непонимание правил, определений, формул.
Неумение применять правила, определения, формулы.
Непонимание связи между десятичной дробью, процентом числа и обыкновенной дробью, неумение переходить от одной формы записи числа к другой
Неумение работать с иррациональными выражениями
Раскрытие скобок и применение формул сокращенного умножения
Не использование свойств фигур при решении геометрических задач.
Логические ошибки при решении текстовых задач.
13 слайд

Анализ распространенных ошибок в письменных работах 9 классов ОГЭ по математике
15 слайд

Укажите причины появления ошибок по математике
Пропуски занятий приводят к незнанию материала, пробелам в знаниях.
Поверхностное, невдумчивое восприятие нового материала приводят к непониманию его.
Недостаточная мозговая деятельность приводит к неумению применять правила, определения и формулы .
Неряшливый, неаккуратный почерк ученика приводит к досадным ошибкам. Учащиеся не всегда сами понимают, что именно они написали.
Чрезмерная нагрузка и недостаточный сон приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам.
Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную) приводит к утрате только что воспринятого материала, приходится все начинать сначала.
Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой.
Мотивация. Следствие низкой мотивации – потеря внимания и ошибка.
16 слайд

Какие приемы можно использовать на уроках, чтобы ученики делали меньше ошибок?
17 слайд

Софизмы
Софи́зм (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость»)
(1) сложное рассуждение, иногда намеренно запутанное с целью показать умственное превосходство или ввести в заблуждение;
(2) нестандартная задача, как правило, имеющая несколько решений;
(3) приём обучения и метод исследования, введённый древнегреческими софистами; широко практиковался в средневековых университетах (sophismata), послужил прообразом современных сборников задач и упражнений;
(4) ошибочное рассуждение, неправильный аргумент.
Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.
https://ru.wikipedia.org
18 слайд

2∙2 = 5.
Имеем числовое равенство (верное): 4:4 = 5:5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1) = 5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2∙2 = 5.
Ошибка. Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5
5 = 6.
Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество: 35 + 10 — 45 = 42 + 12 — 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7 + 2 — 9) = 6(7 + 2 — 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5 = 6.
Ошибка. Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.
4 = 5.
Имеем числовое равенство (верное): 16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;
(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2;
4 – 4,5 = 5 – 4,5; значит 4 = 5.
Ошибка. (4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 равносильно |4 – 4,5| = |5 – 4,5|.
С помощью цифр доказать можно все что угодно.
Т. Карлейль
19 слайд

Вычислительные навыки
.
20 слайд

Работа над ошибками – одна из основных форм преодоления пробелов в знаниях и умениях учащихся. Эта работа приносит пользу только тогда, когда она находится постоянно в центре внимания учителя.
Выводы:
Используем визуальные образы для формирования связей. В этом суть запоминания.
Чем более красочный или оригинальный образ, тем лучше он запоминается
Лучше потратить пару минут на придумывание образов и запомнить потом за 6 секунд, чем «зубрить» пару минут информацию и забыть ее к вечеру.
Запоминание — это регулярное ИЗВЛЕЧЕНИЕ из ПАМЯТИ, а не просмотр внешних источников.
Цифровые коды (Шпаргалки) — облегчают запоминание
«Директории» в голове можно и нужно создавать так же как и в компьютере
21 слайд

Изображения и анимация способны ускорить обучение.
Добавляйте каракули, фотографии, схемы, рисунки, шаржи, графики своим урокам. Используйте цвета и диаграммы, чтобы проиллюстрировать новые знания.
22 слайд

1. Обращение к органам чувств
сделайте свои уроки запоминающимися, при составлении технологической карты урока учитывайте такие органы чувств, как зрительные, слуховые и тактильные.
2. Значимые связи
позволяйте своим ученикам анализировать и осмысливать новую информацию. Мозговой штурм – мощная, но в то же время простая стратегия, позволяющая школьникам соединить их опыт и достаточные знания с тем, что им предстоит узнать на уроке.
3. Повторяйте, повторяйте, повторяйте
повторяйте основные понятия урока системно. Отсутствие системы в повторении не развивает память.
4. Много материала – не значит хорошо
научитесь давать новый материал небольшими понятными блоками и предоставляйте учащимся достаточно времени, чтобы осмыслить информацию. Слишком много материала за короткий промежуток времени – не значит хорошо, мозг всё равно не сможет обработать и сохранить его.
23 слайд

Чтобы избегать ошибок, надо набираться опыта; чтобы набираться опыта, надо делать ошибки. Лоуренс Питер

Краткое описание документа:

Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Сами ученики эти ошибки называют «дурацкими» и часто не могут объяснить, как они их смогли сделать? А может в этом виноват учитель или родитель или мозг? Изучите мой мастер-класс и вы разберетесь.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 303 225 материалов в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

«Математика (в 3-х частях)», Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.

«Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.

«Математика (в 2 частях)», Аргинская И.И., Ивановская Е.И., Кормишина С.Н.

31.03.2020
375
11

«Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.

«Математика (в 3-х частях)», Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.

31.03.2020
366
9

«Математика», Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др.

«Математика», Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Источник