Предельная ошибка доли при типическом отборе

Повторный и бесповторный отбор.
Ошибка выборки

Краткая теория

---

На основании выборочных данных дается оценка статистических
показателей по всей (генеральной) совокупности. Подобное возможно, если выборка
основывается на принципах случайности отбора и репрезентативности
(представительности) выборочных данных. Каждая единица генеральной совокупности
должна иметь равную возможность (вероятность) попасть в выборку.

При формировании выборочной совокупности используются следующие
способы отбора: а) собственно-случайный отбор; б) механическая выборка; в)
типический (районированный) отбор; г) многоступенчатая (комбинированная)
выборка; д) моментно-выборочное наблюдение.

Выборка может осуществляться по схеме повторного и бесповторного
отбора.

В первом случае единицы совокупности, попавшие в выборку, снова
возвращаются в генеральную, а во втором случае – единицы совокупности, попавшие
в выборку, в генеральную совокупность уже не возвращаются.

Выборка может осуществляться отдельными единицами или сериями
(гнездами).

Собственно-случайная выборка

Отбор в этом случае производится либо по жребию, либо по таблицам
случайных чисел.

На основании приемов классической выборки решаются следующие
задачи:

а) определяются границы среднего значения показателя по генеральной
совокупности;

б) определяются границы доли признака по генеральной совокупности.

Предельная ошибка средней при собственно-случайном отборе
исчисляется по формулам:

а) при повторном отборе:

б) при бесповторном отборе:

где

 – численность выборочной совокупности;

 – численность генеральной совокупности;

 – дисперсия признака;

 – критерий кратности ошибки: при

;
при

;
при

.

Значения

 
определяются

по таблице функции Лапласа.

Границы (пределы) среднего значения признака по генеральной
совокупности определяются следующим неравенством:

где

 – среднее значение признака по выборочной
совокупности.

Предельная ошибка доли при собственно-случайном отборе определяется
по формулам:

а) при повторном отборе:

при бесповторном отборе:

где

 – доля единиц совокупности с заданным
значением признака в обзей численности выборки,

 – дисперсия доли признака.

Границы (пределы) доли признака по всей (генеральной) совокупности
определяются неравенством:

где

 – доля признака по генеральной совокупности.

Типическая (районированная) выборка

Особенность этого вида
выборки заключается в том, что предварительно генеральная совокупность по
признаку типизации разбивается на частные группы (типы, районы), а затем в
пределах этих групп производится выборка.

Предельная ошибка средней
при типическом бесповторном отборе определяется по формуле:

где

 – средняя из внутригрупповых дисперсий

 по каждой типичной группе.

При пропорциональном отборе из групп генеральной совокупности
средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

где

 – численности единиц совокупности групп по выборке.

Границы (пределы) средней по генеральной совокупности на основании
данных типической выборки определяются по тому же неравенству, что при
собственно-случайной выборке. Только предварительно необходимо вычислить общую
выборочную среднюю

 из частных выборочных средних

.
Для случая пропорционального отбора это определяется по формуле:

При непропорциональном отборе средняя из  внутригрупповых дисперсий вычисляется по
формуле:

где

 – численность единиц групп по генеральной
совокупности.

Общая выборочная средняя в этом случае определяется по формуле:

Предельная ошибка доли
признака при типическом бесповторном отборе определяется формулой:

Средняя дисперсия доли
признака из групповых дисперсий доли

 при
типической пропорциональной выборке вычисляется по формуле:

Средняя доля признака по
выборке из показателей групповых долей рассчитывается формуле:

Средняя дисперсия доли при
непропорциональном типическом отборе определяется следующим образом:

а средняя доля признака:

Формулы ошибок выборки при типическом повторном отборе будут те же,
то и для случая бесповторного отбора. Отличие заключается только в том, что в
них будет отсутствовать по корнем сомножитель

.

Серийная выборка

Серийная ошибка выборки
может применяться в двух вариантах:

а) объем серий различный

б) все серии имеют
одинаковое число единиц (равновеликие серии).

Наиболее распространенной
в практике статистических исследований является серийная выборка с
равновеликими сериями. Генеральная совокупность делится на одинаковые по объему
группы-серии

 и
производится отбор не единиц совокупности, а серий

. Группы (серии) для обследования отбирают в
случайном порядке или путем механической выборки как повторным, так и
бесповторными способами. Внутри каждой отобранной серии осуществляется сплошное
наблюдение. Предельные ошибки выборки

 при
серийном отборе исчисляются по формулам:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

где

 – число
серий в генеральной совокупности;

 – число
отобранных серий;

 – межсерийная дисперсия, исчисляемая для случая равновеликих
серий по формуле:

где

 –
среднее значение признака в каждой из отобранных серий;

 – межсерийная
средняя, исчисляемая для случая равновеликих серий по формуле:

Определение численности выборочной совокупности

При проектировании
выборочного наблюдения важно наряду с организационными вопросами решить одну из
основных постановочных задач: какова должна быть необходимая численность
выборки с тем, чтобы с заданной степенью точности (вероятности) заранее
установленная ошибка выборки не была бы превзойдена.

Примеры решения задач

---

Задача 1

На основании результатов проведенного на заводе 5%
выборочного наблюдения (отбор случайный, бесповторный) получен следующий ряд
распределения рабочих по заработной плате:

Группы рабочих по размеру заработной платы, тыс.р.	до 200	200-240	240-280	280-320	320 и выше	Итого
Число рабочих	33	35	47	45	40	200

На основании приведенных данных определите:

1) с вероятностью 0,954 (t=2) возможные пределы, в которых
ожидается средняя заработная плата рабочего в целом по заводу (по генеральной
совокупности);

2) с вероятностью 0,997 (t=3) предельную ошибку и границы доли
рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Вычислим среднюю з/п: Для этого просуммируем произведения середин
интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму
частот.

2) Выборочная дисперсия:

Найдем доверительный интервал для средней. Предельная ошибка выборочной
средней считается по формуле:

где

 —

аргумент функции Лапласа.  

Искомые возможные пределы, в которых ожидается средняя заработная плата
рабочего в целом по заводу:

Найдем доверительный интервал для выборочной доли. Предельная ошибка
выборочной доли считается по формуле:

Доля рабочих с з/п от 320 тыс.р.:

 

Искомые границы доли рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше:

---

Задача 2

В
городе 23560 семей. В порядке механической выборки предполагается определить
количество семей в городе с числом детей трое и более. Какова должна быть
численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала
0,02 человека. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна
0,3.

Решение

Численность
выборки можно найти по формуле:

В нашем случае:

Вывод к задаче

Таким образом численность
выборки должна составить 2661 чел.

---

Задача 3

С
целью определения средней месячной заработной платы персонала фирмы было
проведено 25%-ное выборочное обследование с отбором
единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников
внутри каждого филиала использовался механический отбор. Результаты
обследования представлены в следующей таблице:

Номер филиала	Средняя месячная заработная плата, руб.	Среднее квадратическое отклонение, руб.	Число сотрудников, чел.
1	870	40	30
2	1040	160	80
3	1260	190	140
4	1530	215	190

С
вероятностью 0,954 определите пределы средней месячной заработной платы всех
сотрудников гостиниц.

Решение

Предельная
ошибка выборочной средней:

Средняя
из внутригрупповых дисперсий:

Получаем:

Средняя
месячная заработная плата по всей совокупности филиалов:

Искомые
пределы средней месячной заработной платы:

Вывод к задаче

Таким
образом с вероятностью 0,954 средняя месячная заработная плата всех сотрудников
гостиниц находится в пределах от 1294,3 руб. до 1325,7 руб.

6.1. Методические указания и решения типовых задач

На
основе выборочных данных дается оценка
статистических показателей по всей
(генеральной) совокупности. Подобное
возможно, если выборка основывается на
принципах случайности отбора и
репрезентативности (представительности)
выборочных данных. Каждая единица
генеральной совокупности должна иметь
равную возможность (вероятность) попасть
в выборку.

При
формировании выборочной совокупности
используются следующие способы отбора:
а) собственно-случайный отбор; б)
механическая выборка; в) типический
(районированный) отбор; г) серийный
отбор; д) многоступенчатая (комбинированная)
выборка; е) моментно-выборочное наблюдение
и ряд других способов отбора.

Выборка может
осуществляться по схеме повторного и
бесповторного отборов.

В
первом случае единицы совокупности,
попавшие в выборку, снова возвращаются
в генеральную совокупность, а во втором
случае единицы совокупности, попавшие
в выборку, в генеральную совокупность
уже не возвращаются.

Выборка может
осуществляться отдельными единицами
или сериями (гнездами).

Собственно-случайная
выборка.
Отбор в этом случае производится либо
по жребию, либо по таблицам случайных
чисел.

На основе приемов
классической выборки решаются задачи:

а) определяются
границы среднего значения показателя
по генеральной совокупности;

б) определяются
границы доли признака по генеральной
совокупности.

Предельная
ошибка средней при собственно-случайном
отборе исчисляется по формулам:

а) при повторном
отборе:

;
(6.1)

б)
при беcповторном
отборе:

, (6.2)

где
n
– численность выборочной совокупности;

N
— численность генеральной совокупности;

²
– дисперсия признака;

t
– критерий ошибки выборки:

при
Р = 0,683 (t=1);
при Р = 0,954 (t=2);
при Р = 0,997 (t=3).

Значения
t
определяются по соответствующим таблицам
функции Ф(t).

Границы
(пределы) среднего значения признака
по генеральной совокупности
определяются следующим неравенством:

, (6.3)

где
—
среднее значение признака по выборочной
совокупности.

Предельная
ошибка доли при собственно-случайном
отборе определяется по формулам: а) при
повторном отборе:

; (6.4)

б) при бесповторном
отборе:

, (6.5)

где
w
– доля единиц совокупности с заданным
значением признака в общей их совокупности
по выборке; w(1-w)
– дисперсия доли (альтернативного
признака).

Границы (пределы)
доли признака по всей (генеральной)
совокупности определяются неравенством:

,

где

– доля признака по генеральной
совокупности.

Задача
1. Из партии
лампочек (генеральная совокупность) в
10000штук отобрано способом случайной
бесповторной выборки 400 штук.

Средняя
продолжительность горения лампочек по
отобранной части составила 1200 часов, а
среднее квадратическое отклонение
=200
часов. С вероятностью Р = 0,997(t=3).
Определить границы среднего значения
продолжительности горения лампочек по
всей выпущенной партии:

ч.

Тогда границы
(пределы) средней продолжительности
горения по всей совокупности составят:

;

Таким
образом, с вероятностью Р=0,997 можно
утверждать, что средняя продолжительность
горения лампочек во всей партии будет
заключена в пределах от 1170,6 часов (нижняя
граница) до 1229,4 ч. (верхняя граница).

Задача
2. В дополнение
к предыдущей задаче известно, что из
отобранных лампочек 360 удовлетворяют
стандарту. С вероятностью Р=0,954 (t=2)
определить границы доли лампочек,
удовлетворяющих стандарту, во всей
партии лампочек.

Доля
лампочек, удовлетворяющих стандарту,
составила 90%
.

Вычислим предельную
ошибку доли:

,
или 2,94%.

Доля
лампочек, удовлетворяющих стандарту,
относительно всей партии будет находиться
в пределах:

;

С
вероятностью Р=0,954 можно утверждать,
что доля лампочек, удовлетворяющих
стандарту, во всей партии будет заключена
в пределах от 87,06% до 92,94%.

Типическая
(районированная) выборка.
Особенность этого вида выборки заключается
в том, что предварительно генеральная
совокупность по признаку типизации
разбивается на частные группы (типы,
районы), а затем в пределах этих групп
производится выборка.

Предельная
ошибка средней при типическом бесповторном
отборе определяется по формуле:

,
(6.7)

где
— средняя из групповых дисперсийпо
каждой типической группе.

При пропорциональном
отборе из групп генеральной совокупности
средняя из групповых дисперсий
определяется по формуле:

,
(6.8)

где
n_j
– численность единиц совокупности
групп по выборке.

Границы
(пределы) среднего значения признака
по генеральной совокупности на основе
данных типической выборки определяются
по тому же неравенству, что и при
собственно-случайной выборке. Только
предварительно необходимо вычислить
общую выборочную среднюю
из групповых выборочных средних.
Для случая пропорционального отбора
она определяется по формуле:

. (6.9)

При
непропорциональном отборе средняя из
внутригрупповых дисперсий исчисляется
по формуле:

. (6.10)

где
N_j
– численности единиц групп по генеральной
совокупности.

Общая выборочная
средняя в этом случае определяется по
формуле:

. (6.11)

Предельная
ошибка доли признака при типическом
отборе определяется по формуле:

. (6.12)

Средняя
дисперсия доли признака из групповых
дисперсий доли w_j(1-w_j)
при типической пропорциональной выборке
исчисляется:

. (6.13)

Средняя доля
признака по выборке из показателей
групповых долей рассчитывается по
формуле:

. (6.14)

Средняя дисперсия
доли при непропорциональном типическом
отборе определяется:

, (6.15)

а средняя доля
признака:

. (6.16)

В
этом блоке рассмотрены лишь формулы
определения ошибок выборки при типическом
бесповторном отборе. Формулы ошибок
выборки при повторном отборе будут те
же, что и для случая бесповторного
отбора. Отличие заключается только в
том, что в них будет отсутствовать под
корнем сомножитель ().

Задача
3. Нужно
определить пределы генеральной средней
по следующим результатам типической
выборки:

Таблица 6.1.

Номер районов	Отобрано коров nj	Средний надой молока на одну корову, ц	Дисперсия надоя
1	600	30	40
2	400	35	80

Произведена 10%-ная
пропорциональная типическая выборка.

Для
определения пределов генеральной
средней рассчитаем необходимые
характеристики:

ц;

.

С
вероятностью Р=0,954 (t=2)
рассчитаем предельную ошибку средней:

ц

Границы
(пределы) среднего надоя молока по всему
стаду коров составят:

;

Задача
4. В продолжение
предыдущей задачи примем допущение,
что доля породных коров в первом районе
равна 80%, а во втором – 90%. С вероятностью
Р=0,954 (t=2)
определим границы доли породных коров
по всей (генеральной) совокупности
применительно к типической выборке.

Вычислим
среднюю долю породных коров по всей
выборочной совокупности:

,
или 84%.

Выборочная дисперсия
доли составит:

.

Вычислим предельную
ошибку доли породных коров по результатам
типической выборки:

,
или 2,2%.

Границы
доли породных коров по всей (генеральной)
совокупности составят:

;

Серийная
выборка.
Серийная выборка может применяться в
двух вариантах: 1) объем серий различный;
2) все серии имеют одинаковое число
единиц (равновеликие серии). Наиболее
распространенной в практике статистических
исследований является серийная выборка
с равновеликими сериями. Генеральная
совокупность делится на одинаковые по
объему группы – серии (R)
и производится отбор не единиц
совокупности, а серий (r).
Группы (серии) для обследования отбирают
в случайном порядке или путем механической
выборки как повторным, так и бесповторным
способами. Внутри каждой серии
осуществляется сплошное наблюдение.
Предельная ошибка средней при серийном
отборе исчисляется по формулам:

а) при повторном
отборе:

; (6.17)

б) при бесповторном
отборе:

(6.18)

Межсерийная
дисперсия для случая равновеликих серий
исчисляется по формуле:

, (6.19)

где
— среднее значение признака в каждой из
отобранных серий;

—
межсерийная средняя, которая для случая
равновеликих серий исчисляется по
формуле:

, (6.20)

r – число серий,
попавших в выборку.

Задача
5. В общежитии
университета проживает 1000 студентов
по 5 человек в каждой комнате. С целью
определения среднего возраста студентов
бесповторным методом отобрано 10 комнат
из общего числа их 200. С вероятностью Р
= 0,954 (t
= 2) определить значение предельной
ошибки выборки для случая серийного
отбора.

Исходные данные и расчет статистических
характеристик для определения ошибки
выборки приведены в табл. 6.2.

Номера серий (комнат)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Итого
Средний возраст студентов в каждой комнате, лет	19	20	23	21	22	19,5	18,5	23	22,5	21,5	210
	-2	-1	2	0	1	-1,5	-2,5	2	1,5	0,5	—
	4	1	4	0	1	2,25	6,25	4	2,25	0,25	27

Вычислим межсерийную
среднюю:

год

и межсерийную
дисперсию

.

Предельная ошибка
выборки при серийном отборе составит:

года.

Границы
(пределы) среднего возраста студентов
в общежитии составят:

;

Сравнительные
оценки выборочных характеристик.
В практике выборочных исследований
возникает необходимость сопоставления
и оценки на существенность расхождения
выборочных характеристик, рассчитанных
по двум выборкам. Проблема оценки
различий двух идентичных показателей
(средних или долей) заключается в том,
чтобы количественно объяснить, являются
ли эти расхождения зависящими от
случайности выборки или они связаны с
вариацией самих уровней исследуемых
совокупностей.

Количественная
оценка случайности или неслучайности
для расхождения средних в случае больших
выборок определяется по критерию:

,

где
—
среднее значение признака по первой
выборке;—
среднее значение признака по второй
выборке.

—
средняя ошибка разности этих средних.

Если
надежность критерия
определяется с вероятностью Р=0,954, то
расхождениясчитаются несущественными при.
При расчетес вероятностью Р=0,997 расхождениясчитаются несущественными, если.

Аналогичным
путем исчисляется критерий оценки
расхождений при сопоставлении долей.
Средняя ошибка разности
определяется по формуле

,

а
критерий t_w
– в результате деления абсолютной
разности долей на среднюю ошибку этой
разности, т.е.

.

Если
расчеты ошибок выборочного наблюдения
производятся при условии бесповторного
отбора, то необходимо в формулы определения
средних ошибок выборки
добавить множитель.

Для
случая малых
выборок
(когда число наблюдений не превышает
30) критерий
рассчитывается
по формуле:

,
где
.

Оценка
существенности расхождений выборочных
средних при малых выборках осуществляется
на основе t-критерия
Стьюдента. В этом случае устанавливается
число степеней свободы V=n₁+n₂
— 2 и уровень доверительной значимости
.
По этим характеристикам на основе
распределения Стьюдента находится
табличное значениеt-критерия,
которое сравнивается с расчетным
.
Если окажется, что,
то расхождения между выборочным среднимпризнаются существенными, и наоборот.

Задача
6. При
выборочном обследовании 100 изделий (n₁)
оказалось 5% бракованных (w₁),
а при повторной выборке 100 изделий из
той же самой генеральной совокупности
(n₂)
бракованных среди них оказалось 10% (w₂).
Требуется определить, являются ли
расхождения между процентами брака в
двух партиях существенными или
несущественными?

Определим среднюю
ошибку разности долей бракованной
продукции:

.

Вычислим критерий

.

Поскольку
,
а тем более и меньше 3, то можно утверждать,
что расхождения в процентах брака в
двух сравниваемых партиях не являются
статистически существенными.

Задача
7. Рассмотрим
процедуру оценки существенности
расхождений выборочных средних в случае
малой выборки.

Таблица
6.3. Исходные
данные об уровнях урожайности сахарной
свеклы

№ № п/п	Контрольные участки	Участки с внесением удобрений (аммиачной селитры)
Урожайность сахарной свеклы, ц/га (х1)		№ № п/п	Урожайность сахарной свеклы, ц/га (х2)
1	200	40000	1	300	90000
2	210	44100	2	290	84100
3	250	62500	3	280	78400
4	230	52900	4	350	122500
5	240	57600	5	370	136900
6	260	67600	6	360	129600
7	290	84100	7	380	144400
8	280	78400	8	400	160000
9	290	84100	9	420	176400
10	300	90000	10	390	152100
Итого	2550	661300	Итого	3540	1274400

Вычислим средние значения урожайности
сахарной свеклы, а также суммы квадратов
отклонений по первому и второму опытным
испытаниям:

ц/га;

ц/га;

;

.

Определим среднее
квадратическое отклонение разности
выборочных средних:

.

Вычислим
эмпирическое значение t
– критерия:

.

С
уровнем значимости =0,05
и числом степеней свободы V=n₁+n₂-2=10+10-2=18
найдем табличное значение t-критерия.
В нашем случае t_табл.=1,8.
Следовательно,
,
что дает основание утверждать о
существенности расхождения между
средними уровнями урожайности сахарной
свеклы (т.е. эффективность применения
удобрений для повышения урожайности
сахарной свеклы считается доказанной).

Соседние файлы в папке Statistika_Praktikum

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

6.1. Методические указания и решения типовых задач

На
основе выборочных данных дается оценка
статистических показателей по всей
(генеральной) совокупности. Подобное
возможно, если выборка основывается на
принципах случайности отбора и
репрезентативности (представительности)
выборочных данных. Каждая единица
генеральной совокупности должна иметь
равную возможность (вероятность) попасть
в выборку.

При
формировании выборочной совокупности
используются следующие способы отбора:
а) собственно-случайный отбор; б)
механическая выборка; в) типический
(районированный) отбор; г) серийный
отбор; д) многоступенчатая (комбинированная)
выборка; е) моментно-выборочное наблюдение
и ряд других способов отбора.

Выборка может
осуществляться по схеме повторного и
бесповторного отборов.

В
первом случае единицы совокупности,
попавшие в выборку, снова возвращаются
в генеральную совокупность, а во втором
случае единицы совокупности, попавшие
в выборку, в генеральную совокупность
уже не возвращаются.

Выборка может
осуществляться отдельными единицами
или сериями (гнездами).

Собственно-случайная
выборка.
Отбор в этом случае производится либо
по жребию, либо по таблицам случайных
чисел.

На основе приемов
классической выборки решаются задачи:

а) определяются
границы среднего значения показателя
по генеральной совокупности;

б) определяются
границы доли признака по генеральной
совокупности.

Предельная
ошибка средней при собственно-случайном
отборе исчисляется по формулам:

а) при повторном
отборе:

;
(6.1)

б)
при беcповторном
отборе:

, (6.2)

где
n
– численность выборочной совокупности;

N
— численность генеральной совокупности;

²
– дисперсия признака;

t
– критерий ошибки выборки:

при
Р = 0,683 (t=1);
при Р = 0,954 (t=2);
при Р = 0,997 (t=3).

Значения
t
определяются по соответствующим таблицам
функции Ф(t).

Границы
(пределы) среднего значения признака
по генеральной совокупности
определяются следующим неравенством:

, (6.3)

где
—
среднее значение признака по выборочной
совокупности.

Предельная
ошибка доли при собственно-случайном
отборе определяется по формулам: а) при
повторном отборе:

; (6.4)

б) при бесповторном
отборе:

, (6.5)

где
w
– доля единиц совокупности с заданным
значением признака в общей их совокупности
по выборке; w(1-w)
– дисперсия доли (альтернативного
признака).

Границы (пределы)
доли признака по всей (генеральной)
совокупности определяются неравенством:

,

где

– доля признака по генеральной
совокупности.

Задача
1. Из партии
лампочек (генеральная совокупность) в
10000штук отобрано способом случайной
бесповторной выборки 400 штук.

Средняя
продолжительность горения лампочек по
отобранной части составила 1200 часов, а
среднее квадратическое отклонение
=200
часов. С вероятностью Р = 0,997(t=3).
Определить границы среднего значения
продолжительности горения лампочек по
всей выпущенной партии:

ч.

Тогда границы
(пределы) средней продолжительности
горения по всей совокупности составят:

;

Таким
образом, с вероятностью Р=0,997 можно
утверждать, что средняя продолжительность
горения лампочек во всей партии будет
заключена в пределах от 1170,6 часов (нижняя
граница) до 1229,4 ч. (верхняя граница).

Задача
2. В дополнение
к предыдущей задаче известно, что из
отобранных лампочек 360 удовлетворяют
стандарту. С вероятностью Р=0,954 (t=2)
определить границы доли лампочек,
удовлетворяющих стандарту, во всей
партии лампочек.

Доля
лампочек, удовлетворяющих стандарту,
составила 90%
.

Вычислим предельную
ошибку доли:

,
или 2,94%.

Доля
лампочек, удовлетворяющих стандарту,
относительно всей партии будет находиться
в пределах:

;

С
вероятностью Р=0,954 можно утверждать,
что доля лампочек, удовлетворяющих
стандарту, во всей партии будет заключена
в пределах от 87,06% до 92,94%.

Типическая
(районированная) выборка.
Особенность этого вида выборки заключается
в том, что предварительно генеральная
совокупность по признаку типизации
разбивается на частные группы (типы,
районы), а затем в пределах этих групп
производится выборка.

Предельная
ошибка средней при типическом бесповторном
отборе определяется по формуле:

,
(6.7)

где
— средняя из групповых дисперсийпо
каждой типической группе.

При пропорциональном
отборе из групп генеральной совокупности
средняя из групповых дисперсий
определяется по формуле:

,
(6.8)

где
n_j
– численность единиц совокупности
групп по выборке.

Границы
(пределы) среднего значения признака
по генеральной совокупности на основе
данных типической выборки определяются
по тому же неравенству, что и при
собственно-случайной выборке. Только
предварительно необходимо вычислить
общую выборочную среднюю
из групповых выборочных средних.
Для случая пропорционального отбора
она определяется по формуле:

. (6.9)

При
непропорциональном отборе средняя из
внутригрупповых дисперсий исчисляется
по формуле:

. (6.10)

где
N_j
– численности единиц групп по генеральной
совокупности.

Общая выборочная
средняя в этом случае определяется по
формуле:

. (6.11)

Предельная
ошибка доли признака при типическом
отборе определяется по формуле:

. (6.12)

Средняя
дисперсия доли признака из групповых
дисперсий доли w_j(1-w_j)
при типической пропорциональной выборке
исчисляется:

. (6.13)

Средняя доля
признака по выборке из показателей
групповых долей рассчитывается по
формуле:

. (6.14)

Средняя дисперсия
доли при непропорциональном типическом
отборе определяется:

, (6.15)

а средняя доля
признака:

. (6.16)

В
этом блоке рассмотрены лишь формулы
определения ошибок выборки при типическом
бесповторном отборе. Формулы ошибок
выборки при повторном отборе будут те
же, что и для случая бесповторного
отбора. Отличие заключается только в
том, что в них будет отсутствовать под
корнем сомножитель ().

Задача
3. Нужно
определить пределы генеральной средней
по следующим результатам типической
выборки:

Таблица 6.1.

Номер районов	Отобрано коров nj	Средний надой молока на одну корову, ц	Дисперсия надоя
1	600	30	40
2	400	35	80

Произведена 10%-ная
пропорциональная типическая выборка.

Для
определения пределов генеральной
средней рассчитаем необходимые
характеристики:

ц;

.

С
вероятностью Р=0,954 (t=2)
рассчитаем предельную ошибку средней:

ц

Границы
(пределы) среднего надоя молока по всему
стаду коров составят:

;

Задача
4. В продолжение
предыдущей задачи примем допущение,
что доля породных коров в первом районе
равна 80%, а во втором – 90%. С вероятностью
Р=0,954 (t=2)
определим границы доли породных коров
по всей (генеральной) совокупности
применительно к типической выборке.

Вычислим
среднюю долю породных коров по всей
выборочной совокупности:

,
или 84%.

Выборочная дисперсия
доли составит:

.

Вычислим предельную
ошибку доли породных коров по результатам
типической выборки:

,
или 2,2%.

Границы
доли породных коров по всей (генеральной)
совокупности составят:

;

Серийная
выборка.
Серийная выборка может применяться в
двух вариантах: 1) объем серий различный;
2) все серии имеют одинаковое число
единиц (равновеликие серии). Наиболее
распространенной в практике статистических
исследований является серийная выборка
с равновеликими сериями. Генеральная
совокупность делится на одинаковые по
объему группы – серии (R)
и производится отбор не единиц
совокупности, а серий (r).
Группы (серии) для обследования отбирают
в случайном порядке или путем механической
выборки как повторным, так и бесповторным
способами. Внутри каждой серии
осуществляется сплошное наблюдение.
Предельная ошибка средней при серийном
отборе исчисляется по формулам:

а) при повторном
отборе:

; (6.17)

б) при бесповторном
отборе:

(6.18)

Межсерийная
дисперсия для случая равновеликих серий
исчисляется по формуле:

, (6.19)

где
— среднее значение признака в каждой из
отобранных серий;

—
межсерийная средняя, которая для случая
равновеликих серий исчисляется по
формуле:

, (6.20)

r – число серий,
попавших в выборку.

Задача
5. В общежитии
университета проживает 1000 студентов
по 5 человек в каждой комнате. С целью
определения среднего возраста студентов
бесповторным методом отобрано 10 комнат
из общего числа их 200. С вероятностью Р
= 0,954 (t
= 2) определить значение предельной
ошибки выборки для случая серийного
отбора.

Исходные данные и расчет статистических
характеристик для определения ошибки
выборки приведены в табл. 6.2.

Номера серий (комнат)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Итого
Средний возраст студентов в каждой комнате, лет	19	20	23	21	22	19,5	18,5	23	22,5	21,5	210
	-2	-1	2	0	1	-1,5	-2,5	2	1,5	0,5	—
	4	1	4	0	1	2,25	6,25	4	2,25	0,25	27

Вычислим межсерийную
среднюю:

год

и межсерийную
дисперсию

.

Предельная ошибка
выборки при серийном отборе составит:

года.

Границы
(пределы) среднего возраста студентов
в общежитии составят:

;

Сравнительные
оценки выборочных характеристик.
В практике выборочных исследований
возникает необходимость сопоставления
и оценки на существенность расхождения
выборочных характеристик, рассчитанных
по двум выборкам. Проблема оценки
различий двух идентичных показателей
(средних или долей) заключается в том,
чтобы количественно объяснить, являются
ли эти расхождения зависящими от
случайности выборки или они связаны с
вариацией самих уровней исследуемых
совокупностей.

Количественная
оценка случайности или неслучайности
для расхождения средних в случае больших
выборок определяется по критерию:

,

где
—
среднее значение признака по первой
выборке;—
среднее значение признака по второй
выборке.

—
средняя ошибка разности этих средних.

Если
надежность критерия
определяется с вероятностью Р=0,954, то
расхождениясчитаются несущественными при.
При расчетес вероятностью Р=0,997 расхождениясчитаются несущественными, если.

Аналогичным
путем исчисляется критерий оценки
расхождений при сопоставлении долей.
Средняя ошибка разности
определяется по формуле

,

а
критерий t_w
– в результате деления абсолютной
разности долей на среднюю ошибку этой
разности, т.е.

.

Если
расчеты ошибок выборочного наблюдения
производятся при условии бесповторного
отбора, то необходимо в формулы определения
средних ошибок выборки
добавить множитель.

Для
случая малых
выборок
(когда число наблюдений не превышает
30) критерий
рассчитывается
по формуле:

,
где
.

Оценка
существенности расхождений выборочных
средних при малых выборках осуществляется
на основе t-критерия
Стьюдента. В этом случае устанавливается
число степеней свободы V=n₁+n₂
— 2 и уровень доверительной значимости
.
По этим характеристикам на основе
распределения Стьюдента находится
табличное значениеt-критерия,
которое сравнивается с расчетным
.
Если окажется, что,
то расхождения между выборочным среднимпризнаются существенными, и наоборот.

Задача
6. При
выборочном обследовании 100 изделий (n₁)
оказалось 5% бракованных (w₁),
а при повторной выборке 100 изделий из
той же самой генеральной совокупности
(n₂)
бракованных среди них оказалось 10% (w₂).
Требуется определить, являются ли
расхождения между процентами брака в
двух партиях существенными или
несущественными?

Определим среднюю
ошибку разности долей бракованной
продукции:

.

Вычислим критерий

.

Поскольку
,
а тем более и меньше 3, то можно утверждать,
что расхождения в процентах брака в
двух сравниваемых партиях не являются
статистически существенными.

Задача
7. Рассмотрим
процедуру оценки существенности
расхождений выборочных средних в случае
малой выборки.

Таблица
6.3. Исходные
данные об уровнях урожайности сахарной
свеклы

№ № п/п	Контрольные участки	Участки с внесением удобрений (аммиачной селитры)
Урожайность сахарной свеклы, ц/га (х1)		№ № п/п	Урожайность сахарной свеклы, ц/га (х2)
1	200	40000	1	300	90000
2	210	44100	2	290	84100
3	250	62500	3	280	78400
4	230	52900	4	350	122500
5	240	57600	5	370	136900
6	260	67600	6	360	129600
7	290	84100	7	380	144400
8	280	78400	8	400	160000
9	290	84100	9	420	176400
10	300	90000	10	390	152100
Итого	2550	661300	Итого	3540	1274400

Вычислим средние значения урожайности
сахарной свеклы, а также суммы квадратов
отклонений по первому и второму опытным
испытаниям:

ц/га;

ц/га;

;

.

Определим среднее
квадратическое отклонение разности
выборочных средних:

.

Вычислим
эмпирическое значение t
– критерия:

.

С
уровнем значимости =0,05
и числом степеней свободы V=n₁+n₂-2=10+10-2=18
найдем табличное значение t-критерия.
В нашем случае t_табл.=1,8.
Следовательно,
,
что дает основание утверждать о
существенности расхождения между
средними уровнями урожайности сахарной
свеклы (т.е. эффективность применения
удобрений для повышения урожайности
сахарной свеклы считается доказанной).

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ().

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки () равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

.

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

• степени вариации единиц генеральной совокупности;
• объема выборки;
• выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
• уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

1. Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

1. По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

1. Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки

   

2. Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

1. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна

   

2. Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

   

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

1. рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

1. рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

;

1. средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

1. зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

1. установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

   

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

1. Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Здесь — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

• общий объем выборочной совокупности:

  n = 2550/130*5 =128 (чел.);

• количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

  

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

1. Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:

   

2. Средняя из внутригрупповых дисперсий

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

   С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

   

4. Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

1. Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

1. Среднее значение признака в выборке равно

   

2. Значение среднего квадратического отклонения составляет

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

4. Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
5. Предельная ошибка выборки:

   

6. Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

1. вид предполагаемой выборки;
2. способ отбора (повторный или бесповторный);
3. выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.