Расчет средней ошибки аппроксимации для нелинейных уравнений регрессии

Средняя ошибка аппроксимации

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская респ.	68,8	45,1
Свердловская обл.	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55,0	58,8
Курганская обл.	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49,3	55,2

Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А_ср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии.
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода.
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс — индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии: y = -0.35 x + 76.88

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(y i -y cp ) 2	(y-y(x)) 2	|y — y x |:y
45,1	68,8	2034,01	4733,44	3102,88	61,28	119,12	56,61	0,1094
59	61,2	3481	3745,44	3610,8	56,47	10,98	22,4	0,0773
57,2	59,9	3271,84	3588,01	3426,28	57,09	4,06	7,9	0,0469
61,8	56,7	3819,24	3214,89	3504,06	55,5	1,41	1,44	0,0212
58,8	55	3457,44	3025	3234	56,54	8,33	2,36	0,0279
47,2	54,3	2227,84	2948,49	2562,96	60,55	12,86	39,05	0,1151
55,2	49,3	3047,04	2430,49	2721,36	57,78	73,71	71,94	0,172
384,3	405,2	21338,41	23685,76	22162,34	405,2	230,47	201,71	0,5699

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
. . .

Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических:

F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Задача №1 Построение уравнения регрессии

Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).

Индекс розничных цен на продукты питания (х)	Индекс промышленного производства (у)
1	100	70
2	105	79
3	108	85
4	113	84
5	118	85
6	118	85
7	110	96
8	115	99
9	119	100
10	118	98
11	120	99
12	124	102
13	129	105
14	132	112

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

В) равносторонней гиперболы.

2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.

Решение:

1. Для расчёта параметров линейной регрессии

Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.

Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии

№ п/п	х	у	ху	x 2	y 2
1	100	70	7000	10000	4900	74,26340	0,060906
2	105	79	8295	11025	6241	79,92527	0,011712
3	108	85	9180	11664	7225	83,32238	0,019737
4	113	84	9492	12769	7056	88,98425	0,059336
5	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
6	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
7	110	96	10560	12100	9216	85,58713	0,108467
8	115	99	11385	13225	9801	91,24900	0,078293
9	119	100	11900	14161	10000	95,77849	0,042215
10	118	98	11564	13924	9604	94,64611	0,034223
11	120	99	11880	14400	9801	96,91086	0,021102
12	124	102	12648	15376	10404	101,4404	0,005487
13	129	105	13545	16641	11025	107,1022	0,020021
14	132	112	14784	17424	12544	110,4993	0,013399
Итого:	1629	1299	152293	190557	122267	1299,001	0,701866
Среднее значение:	116,3571	92,78571	10878,07	13611,21	8733,357	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х	х

Среднее значение определим по формуле:

Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

и занесём полученный результат в таблицу 1.

Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:

Таким образом, уравнение регрессии:

Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь прямая, достаточно тесная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .

,

следовательно, параметры уравнения определены правильно.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических:

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.

Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.

F-тест состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера.

F_факт определяется по формуле:

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

2. Степенная регрессия имеет вид:

Для определения параметров производят логарифмиро­вание степенной функции:

Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наи­меньших квадратов:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.

Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

№п/п	х	у	lg x	lg y	lg x*lg y	(lg x) 2	(lg y) 2
1	100	70	2,000000	1,845098	3,690196	4,000000	3,404387
2	105	79	2,021189	1,897627	3,835464	4,085206	3,600989
3	108	85	2,033424	1,929419	3,923326	4,134812	3,722657
4	113	84	2,053078	1,924279	3,950696	4,215131	3,702851
5	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
6	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
7	110	96	2,041393	1,982271	4,046594	4,167284	3,929399
8	115	99	2,060698	1,995635	4,112401	4,246476	3,982560
9	119	100	2,075547	2,000000	4,151094	4,307895	4,000000
10	118	98	2,071882	1,991226	4,125585	4,292695	3,964981
11	120	99	2,079181	1,995635	4,149287	4,322995	3,982560
12	124	102	2,093422	2,008600	4,204847	4,382414	4,034475
13	129	105	2,110590	2,021189	4,265901	4,454589	4,085206
14	132	112	2,120574	2,049218	4,345518	4,496834	4,199295
Итого	1629	1299	28,90474	27,49904	56,79597	59,69172	54,05467
Среднее значение	116,3571	92,78571	2,064624	1,964217	4,056855	4,263694	3,861048
	8,4988	11,1431	0,031945	0,053853	х	х	х
	72,23	124,17	0,001021	0,0029	х	х	х

Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

№п/п	х	у
1	100	70	74,16448	17,34292	0,059493	519,1886
2	105	79	79,62057	0,385112	0,007855	190,0458
3	108	85	82,95180	4,195133	0,024096	60,61728
4	113	84	88,59768	21,13866	0,054734	77,1887
5	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
6	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
7	110	96	85,19619	116,7223	0,11254	10,33166
8	115	99	90,88834	65,79901	0,081936	38,6174
9	119	100	95,52408	20,03384	0,044759	52,04598
10	118	98	94,35840	13,26127	0,037159	27,18882
11	120	99	96,69423	5,316563	0,023291	38,6174
12	124	102	101,4191	0,337467	0,005695	84,90314
13	129	105	107,4232	5,872099	0,023078	149,1889
14	132	112	111,0772	0,85163	0,00824	369,1889
Итого	1629	1299	1296,632	446,4152	0,703074	1738,357
Среднее значение	116,3571	92,78571	х	х	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

Связь достаточно тесная.

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

3. Уравнение равносторонней гиперболы

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:

Произведем замену переменных

и получим следующую систему нормальных уравнений:

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.

Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.

Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

№п/п	х	у	z	yz
1	100	70	0,010000000	0,700000	0,0001000	4900
2	105	79	0,009523810	0,752381	0,0000907	6241
3	108	85	0,009259259	0,787037	0,0000857	7225
4	113	84	0,008849558	0,743363	0,0000783	7056
5	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
6	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
7	110	96	0,009090909	0,872727	0,0000826	9216
8	115	99	0,008695652	0,860870	0,0000756	9801
9	119	100	0,008403361	0,840336	0,0000706	10000
10	118	98	0,008474576	0,830508	0,0000718	9604
11	120	99	0,008333333	0,825000	0,0000694	9801
12	124	102	0,008064516	0,822581	0,0000650	10404
13	129	105	0,007751938	0,813953	0,0000601	11025
14	132	112	0,007575758	0,848485	0,0000574	12544
Итого:	1629	1299	0,120971823	11,13792	0,0010510	122267
Среднее значение:	116,3571	92,78571	0,008640844	0,795566	0,0000751	8733,357
	8,4988	11,1431	0,000640820	х	х	х
	72,23	124,17	0,000000411	х	х	х

Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

№п/п	х	у
1	100	70	72,3262	0,033231	5,411206	519,1886
2	105	79	79,49405	0,006254	0,244083	190,0458
3	108	85	83,47619	0,017927	2,322012	60,61728
4	113	84	89,64321	0,067181	31,84585	77,1887
5	118	85	95,28761	0,121031	105,8349	60,61728
6	118	85	95,28761	0,121031	105,8349	60,61728
7	110	96	86,01027	0,10406	99,79465	10,33166
8	115	99	91,95987	0,071112	49,56344	38,6174
9	119	100	96,35957	0,036404	13,25272	52,04598
10	118	98	95,28761	0,027677	7,357059	27,18882
11	120	99	97,41367	0,016024	2,516453	38,6174
12	124	102	101,46	0,005294	0,291565	84,90314
13	129	105	106,1651	0,011096	1,357478	149,1889
14	132	112	108,8171	0,028419	10,1311	369,1889
Итого:	1629	1299	1298,988	0,666742	435,7575	1738,357
Среднее значение:	116,3571	92,78571	х	х	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х

Значения параметров регрессии a и b составили:

Связь достаточно тесная.

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 4,76%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной и степенной регрессиями. Средняя ошибка аппроксимации остаётся на допустимом уровне.

Оценка корреляции для нелинейной регрессии

Оценка тесноты корреляционной зависимости в случае нелинейной регрессии производится с помощью индекса корреляции (R):

, (39.1)

где , , (39.2)

y¯_x значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии.

Величина данного показателя находится в границах: 0≤ R ≤ 1 , чем она ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем надежнее найденное уравнение регрессии.

Следует помнить, что если для линейной зависимости имеет место равенство: r_yx =r_xy , то при криволинейной зависимости y=f(x) R_yx не равен R_xy.

Величина R 2 называется индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надежности коэффициента корреляции. Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера:

, (39.3)

где R 2 — индекс детерминации;

n — число наблюдений;

m — число параметров при переменных х.

Индекс детерминации R 2 _yx можно сравнивать с коэффициентом детерминации r 2 _yx для обоснования возможности применения линейной функции.

Если величина (R 2 _yx — r 2 _yx) не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия между R 2 _yx и r 2 _yx , вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t — критерий Стьюдента:

, (39.4)

где , (39.5)

Если t _факт> t _табл, то различия между R_yx и r_yx существенны и замена нелинейной регрессии линейной — невозможна. Практически, если t ≤ 2, то различия между R_yx и r_yx несущественны, и, следовательно, возможно применение линейной регрессии.

Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, т.е. y и y_x. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, лучше качество модели. Чтобы иметь общее представление о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

(39.6)

Существует и другая формула определения средней ошибки аппроксимации:

, (39.7)

где . (39.8)

Ошибка аппроксимации в пределах 5-7% свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

Возможность построения нелинейных моделей, как с помощью их приведения к линейному виду, так и путем использования нелинейной регрессии, значительно повышает универсальность регрессионного анализа, но и усложняет задачу исследователя.

Возникает вопрос: с чего начать — с линейной зависимости или с нелинейной, и если с последней, то, какого типа.

Если ограничиться парной регрессией, то можно построить график наблюдений у и х и принять решение. Однако очень часто несколько разных нелинейных функцией приблизительно соответствуют наблюдениям, если они лежать на некоторой кривой. А в случае множествен6ной регрессии невозможно даже построить график.

37. Проверка гипотезы о значимости нелинейной модели регрессии. Проверка гипотезы о линейной зависимости между переменными модели регрессии

Хотя во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат, однако ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Так близость линейного коэффициента корреляции к нулю еще не значит, что связь между соответствующими экономическими переменными отсутствует. При слабой линейной связи может быть очень тесной, например, не линейная связь. Поэтому необходимо рассмотреть и нелинейные регрессии, построение и анализ которых имеют свою специфику.

В случае, когда между экономическими явлениями существует нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных эконометрических моделей.

38. Двухфакторная производственная функция Кобба-Дугласа

Производственная функцию Кобба –Дугласа выглядит следующим образом:

(44.1)

где Р –объем продукции

L— затраты труда;

К — величина капитала;

Логарифмируя ее, получим линейное в логарифмах уравнение

(44.2)

Оценив параметры этого уравнения по МНК, можно найти теоретические значения объема продукции Р^ и соответственно остаточную сумму квадратов Σ (Р — Р^) 2 которая используется в расчете индекса детерминации:

(44.3)

Следует помнить, что МНК применяется не к исходным данным продукции, а к их логарифмам. Поэтому в индексе корреляции с общей суммой квадратов Σ (Р — Р¯) 2 сравнивается остаточная дисперсия, которая определена по теоретическим значениям логарифмов продукции:

Σ (Р — антилогарифм (ln Р)) 2 . Т.е. Р^ находится в следствии потенцированиия ln Р.

39. Отбор факторов для экономертических моделей

Хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качест­венного теоретико-экономического анализа, который обычно осуществляется в две стадии: на первой подби­раются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии. Коэффициенты интеркорреляции (т. е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменных явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если . Ес­ли факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочте­ние при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множест­венной регрессии как метода исследования комплексного воз­действия факторов в условиях их независимости друг от друга. Наибольшие труд­ности в использовании аппарата множественной регрессии воз­никают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимос­тью. Наличие мультиколлинеарности факторов может озна­чать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полно­стью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого факто­ра в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Включение в модель мультиколлинеарныхфакторов нежела­тельно в силу следующих последствий:

1. затрудняется интерпретация параметров множественной ре­грессии как характеристик действия факторов в «чистом» ви­де, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

2. оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стан­дартные ошибки и меняются с изменением объема наблюде­ний. Для оценки мультиколлинеарности факторов может исполь­зоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреля­ции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей. Для включающего три объ­ясняющих переменных уравнения: y=a+b₁x₁+b₂+b₃x₃+e.Матрица коэф-в корреляции м/у факторами имела бы определитель равный

Det =1, т.к. r_x1x1=r_x2x2=1 и r_x1x2=r_x1x3=r_x2x3=0.

Если м/у факторами сущ-ет полная линейная зависимость и все коэф-ты корреляции =1, то определитель такой матрицы =0. Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной кор­реляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

40. Метод наименьших квадратов для двухфакторной производственной функции.

Метод наименьших квадратов.Некоторые более общие типы регрессионных моделей рассмотрены в разделе Основные типы нелинейных моделей. После выбора модели возникает вопрос: каким образом можно оценить эти модели? Если вы знакомы с методами линейной регрессии (описанными в разделе Множественная регрессия) или дисперсионного анализа (описанными в разделе Дисперсионный анализ), то вы знаете, что все эти методы используют оценивание по методу наименьших квадратов. Основной смысл этого метода заключается в минимизации суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений зависимой переменной от значений, предсказанных моделью. (Термин наименьшие квадраты впервые был использован в работе Лежандра — Legendre, 1805.)

Функция потерь.В стандартной множественной регрессии оценивание коэффициентов регрессии происходит “подбором” коэффициентов, минимизирующих дисперсию остатков (сумму квадратов остатков). Любые отклонения наблюдаемых величин от предсказанных означают некоторые потери в точности предсказаний, например, из-за случайного шума (ошибок). Поэтому можно сказать, что цель метода наименьших квадратов заключается в минимизации функции потерь. В этом случае, функция потерь определяется как сумма квадратов отклонений от предсказанных значений (термин функция потерь был впервые использован в работе Вальда — Wald, 1939). Когда эта функция достигает минимума, вы получаете те же оценки для параметров (свободного члена, коэффициентов регрессии), как, если бы мы использовали Множественную регрессию. Полученные оценки называются оценками по методу наименьших квадратов.

Продолжая в том же духе, можно рассмотреть другие функции потерь. Например, при минимизации функции потерь, почему бы вместо суммы квадратов отклонений не рассмотреть сумму модулей отклонений? В самом деле, иногда это бывает полезно для уменьшения влияния выбросов. Влияние, оказываемое крупными остатками на всю сумму, существенно увеличивается при их возведении в квадрат. Однако если вместо суммы квадратов взять сумму модулей выбросов, влияние остатков на результирующую регрессионную кривую существенно уменьшится.

Существуют несколько методов, которые могут быть использованы для минимизации различных видов функций пот

41. Двухфакторная производственная функция Солоу

Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция.

С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение – не у всех будут места).

2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:

,

где — объем выпуска;
K- капитал (оборудование);
М- сырье, материалы;
Т – технология;
N – предпринимательские способности.

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба – Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы

,

где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

K, L- капитал и труд;

α, β -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

Если = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба — Дугласа можно выделить:
1) пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

α + β =1(Q=K 0,5 *L 0,2 ) .
2) непропорционально – возрастающую α + β > 1 (Q = K 0,9 *L 0,8 );
3) убывающую α + β 0,4 *L 0,2 ).

Рассмотрим короткий период деятельности фирмы, в котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. График производственной функции Кобба – Дугласа с одной переменной изображен на рис. 10.1 (кривая ТР_н).

В краткосрочном периоде действует закон убывающей предельной производительности.

Закон убывающей предельной производительности действует в краткосрочном временном интервале, когда один производственный фактор остается неизменным. Действие закона предполагает неизменное состояние техники и технологии производства, если в производственном процессе будут применены новейшие изобретения и другие технические усовершенствования, то рост объема выпуска может быть достигнут при использовании тех же самых производственных факторов. То есть технический прогресс может изменить границы действия закона.

Если капитал является фиксированным фактором, а труд – переменным, то фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. Но по закону убывающей предельной производительности, последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведет к убывающей отдаче данного фактора, то есть к снижению предельного продукта или предельной производительности труда. Если же наем рабочих будет продолжаться, то в конечном итоге, они будут мешать друг другу (предельная производительность станет отрицательной) и объем выпуска сократится.

Предельная производительность труда (предельный продукт труда – MP_L) – это прирост объема производства от каждой последующей единицы труда

,

т.е. прирост производительности к совокупному продукту (TP_L)

.

Аналогично определяется предельный продукт капитала MP_K.

Основываясь на законе убывающей производительности, проанализируем взаимосвязь общего (TP_L), среднего (АP_L) и предельного продуктов (MP_L) (рис. 10.1).

В движении кривой общего продукта (ТР) можно выделить три этапа. На этапе 1 она поднимается вверх ускоряющимися темпами, так как предельность продукта (MP) возрастает (каждый новый рабочий приносит больше продукции, чем предыдущий) и достигает максимума в точке А, то есть скорость роста функции максимальна. После точки А (этап 2) в силу действия закона убывающей отдачи, кривая MP падает, то есть каждый нанятый рабочий дает меньшее приращение общего продукта по сравнению с предшествующим, поэтому темп роста ТР после ТС замедляется. Но пока МР будет положительным, ТР будет все равно увеличиваться и достигнет максимума при МР=0.

На 3 этапе, когда количество рабочих становится избыточным по отношению к фиксированному капиталу (станки), МР приобретает отрицательное значение, поэтому ТР начинает снижаться.

Конфигурация кривой среднего продукта АР также обусловлена динамикой кривой МР. На 1 этапе обе кривые растут, пока приращение объема выпуска от вновь нанятых рабочих будет большим, чем средняя производительность (АР_L) ранее нанятых рабочих. Но после точки А (max MP), когда четвертый рабочий добавляет к совокупному продукту (ТР) меньше чем третий, МР уменьшается, поэтому средняя выработка четырех рабочих также сокращается.

Производственные функции Солоу, представляют собой одно из ближайших обобщений многофакторных функций с постоянной и одинаковой эластичностью замены факторов.

42. Гомоскедастичность и гетероскедастичность остатков модели регрессии. Последствия гетероскедастичности

С определения гомоскедастичности и гетероскедастичности остатков модели регрессии строиться график зависимости остатков e_i от теоретических значений результативного признака:

Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки e_i представляют собой случайные величины и МНК оправдан, те­оретические значения у_х хорошо аппроксимируют фактические значения у.

Возможны варианты: если e_i зависит от у_x, то: 1.остатки e_i не случайны.2. остатки e_i, не имеют постоянной дисперсии. 3. Остатки e_i носят систематический характер в дан­ном случае отрицательные значения e_i, соответствуют низким значениям у_х, а положительные — высоким значениям. В этих случаях необходимо либо применять дру­гую функцию, либо вводить дополнительную информацию.

Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков e_i одинакова для каждого значения х.Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции. а — дисперсия остатков растет по мере увеличения х; б — дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной х и уменьшается при минимальных и максимальных значениях х; в — максимальная дисперсия остатков при малых значениях х и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений х. Графики гомо- и гетеро-ти.

Оценка отсутствия автокорреляции остатков(т.е. значения остатков e_i распределены независимо друг от друга). Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Коэффициент корреляции между e_i и e_j , где e_i — остатки текущих наблюдений, e_j — остатки предыдущих наблю­дений, может быть определен по обычной формуле линейного коэффициента корреляции . (51.1)

Если этот коэффициент окажется существенно отличным от ну­ля, то остатки автокоррелированы и функция плотности вероят­ности F(e) зависит j-й точки наблюдения и от распределения значений остатков в других точках наблюдения. Для регрессионных моделей по статической информации ав­токорреляция остатков может быть подсчитана, если наблюдения упорядочены по фактору х. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечива­ет состоятельность и эффективность оценок коэффициентов ре­грессии. Особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении регрессионных моделей по рядам динами­ки, где ввиду наличия тенденции последующие уровни динами­ческого ряда, как правило, зависят от своих предыдущих уров­ней.

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреля­ции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным методом. Обобщенный МНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Обобщенный МНК для корректировки гетероскедастичности. В общем виде для уравнения y_i=a+bx_i+e_i при где K_i – коэффициент пропорциональности. Модель примет вид: y_i= + x_i+ e_i .

В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафик­сированные в ходе i-го наблюдения на . Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной. От регрессии у по х перейдем к регрессии на новых переменных: y/ и х/ . Уравнение регрессии примет вид: . (51.2)

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешен­ную регрессию, в которой переменные у и х взяты с весами . Коэф-т регрессии b можно определить как (51.3)

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Модель примет вид:

. (51.4)

Модель с преобразованными переменными составит

. (51.5)

Это уравнение не содержит свободного члена, применяя обычный МНК получим:

(51.5)

Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к то­му, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных х/К имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменны­ми.

43. Тест Глейзера обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии

Наличие гетероскедастичности в отдельных случаях может привести к смущенности оценок коэффициентов регрессии, хотя несмещенности оценок коэффициентов регрессии в основном зависит от соблюдения второй предпосылки МНК, т. е. независимости остатков и величин факторов. Гетероскедастичность будет сказываться на уменьшении эффективности оценок b_i,. В частности, становится затруднительным использование формулы стандартной ошибки коэффициента регрессии m_bi, предполагающую единую дисперсию остатков для любых значений фактора.

Тест Глейзера основывается на регрессии абсолютных значений остатков | ε | , т.е. рассматривается функция | ε_i| = a +bx_i c + u_i ,. Регрессия | ε_i| от x_i cстроится при разных значениях параметра с, и далее отбирается та функция, для которой коэффициент регрессии b оказывается наиболее значимым, т.е. имеет место наибольшее значение (критерия Стьюдента или F-критерия Фишера и R 2 .

При обнаружении гетероскедастичности остатков регрессии ставится цель ее устранения, чему служит применение обобщенного метода наименьших квадратов

44. Тест Голдфелда-Квандта обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии

При малом объеме выборки, для оценки гетероскедастичности используют метод Гольфреда — Квандта, разработанный в 1965 г. Гольдфельд и Квандт рассмотрели однофакторную линейную модель, для которой дисперсия остатков возрастает пропорционально Квадрату фактора. Для того чтобы оценить нарушение гомоскедастичности они предложили параметрический тест. Данный тест заключается в следующих стадиях:

1) Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной х.

2) Исключение из рассмотрения С центральных наблюдений;

при этом (n — С)/ 2 > р, где р — число оцениваемых параметров.

3) Разделение совокупности из ( n — С) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями факторах) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

4) Определение остаточной суммы квадратов для первой (S₁) и второй (S₂) групп и нахождение их отношения R=S₁/S₂, где S₁> S₂.

При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности от ношение R будет удовлетворять F-критерию с (n — С- 2р) : 2 степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем сильнее R превышает табличное значение F -критерия тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

45. Устранение гетероскедастичности остатков модели регрессии

Автокорреляция остатков может быть вызвана следующими причинами:

1) Ошибками измерения при первоначальном сборе данных по результативному признаку;

2) Неправильно выбранная формулировка исходной модель.

При формировании модели мог быть упущен из виду фактор, оказывающий существенное влияние на результат. В итоге влияние этого фактора отражается в остатках в виде автокорреляции остатков. Часто этим фактором является показатель времени. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных включенных в модель. Либо модель не учитывает несколько равнозначных факторов, которые оказывают совместное влияние при совпадении тенденций и циклов колебаний. От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

46. Автокорреляция остатков модели регрессии. Последствия автокорреляции. Автокорреляционная функция

В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора х_j остатки _i имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.

Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно видеть и по рассмотренному выше графику зависимости остатков от теоретических значений результативного признака у_x.

Для множественной регрессии данный вид графиков является наиболее приемлемым визуальным способом изучения гомо- и гетероскедастичности.

При построении регрессионных моделей чрезвычайно важно соблюдение четвертой предпосылки МНК – отсутствие автокорреляции остатков, т.е. значения _i распределены независимо друг от друга.

Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений.

Отсутствие автокорреляции остатков обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.

Предпосылка о нормальном распределении остатков позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью критериев t и F. Вместе с тем оценки регрессии, найденные с применением МНК, обладает хорошими свойствами даже при отсутствии нормального распределения остатков.

При несоблюдении основных предпосылок МНК приходится корректировать модель, изменяя ее спецификацию, добавлять (исключать) некоторые факторы и т.д.

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным МНК.

Обобщенный МНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии

47. Критерий Дарбина-Уотсона обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

1) путем построения графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции; 2) использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет величины

(56.1)

d – отношение суммы квадратов разностей последовательных занчений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Чащен всего критерий Дарбина –Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критерия

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона d_L и d_U для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1-) производится на основе данных, приведенных в таблице 5.1.

Таблица 47.1 Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков.

Есть положительная автокорреляция остатков. Н0 отклоняется. С вероятностью Р=(1-) принимается гипотеза Н1	Зона неопределенности	Нет оснований отклонять Н0 (автокорреляция остатков отсутствует)	Зона неопределенности	Есть отрицательная автокорреляция остатков. Н0 отклоняется. С вероятностью Р=(1- ) принимается гипотеза
0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н₀.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина – Уотсона:

— он непременим к модели авторегрессии;

— данный критерий можно использовать только для выявления автокорреляции остатков 1-го порядка;

— критерий дает достоверные результаты только для больших выборок.

Средняя ошибка аппроксимации

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская респ.	68,8	45,1
Свердловская обл.	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55,0	58,8
Курганская обл.	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49,3	55,2

Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А_ср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии.
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода.
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс — индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии: y = -0.35 x + 76.88

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(y i -y cp ) 2	(y-y(x)) 2	|y — y x |:y
45,1	68,8	2034,01	4733,44	3102,88	61,28	119,12	56,61	0,1094
59	61,2	3481	3745,44	3610,8	56,47	10,98	22,4	0,0773
57,2	59,9	3271,84	3588,01	3426,28	57,09	4,06	7,9	0,0469
61,8	56,7	3819,24	3214,89	3504,06	55,5	1,41	1,44	0,0212
58,8	55	3457,44	3025	3234	56,54	8,33	2,36	0,0279
47,2	54,3	2227,84	2948,49	2562,96	60,55	12,86	39,05	0,1151
55,2	49,3	3047,04	2430,49	2721,36	57,78	73,71	71,94	0,172
384,3	405,2	21338,41	23685,76	22162,34	405,2	230,47	201,71	0,5699

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
. . .

Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических:

F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Нелинейная регрессия. Корреляция для нелинейной регрессии. Средняя ошибка аппроксимации

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1) Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

· полиномы различных степеней — , ;

• · равносторонняя гипербола — ;
• · полулогарифмическая функция — .
• 2) Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: , . В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК, приводит к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы (например, кривая А.В. Филлипса), расходов на непродовольственные товары от доходов или общей суммы расходов (например, кривые Э. Энгеля) и в других случаях. Гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости , и другие.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция -, показательная — , экспоненциальная — , логистическая — , обратная — .

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели: , .

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

где , , , . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование — он является коэффициентом эластичности. (Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%.) Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

Средний коэффициент эластичности,

Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не имеет смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения в процентах.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

где — общая дисперсия результативного признака , — остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии;

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии по -критерию Фишера:

где — индекс детерминации, — число наблюдений, — число параметров при переменной. Фактическое значение -критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы (для остаточной суммы квадратов) и (для факторной суммы квадратов).

О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить и по средней ошибке аппроксимации.

Проверить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8-10%.

По проведенному опросу восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты с уровнем доходов семьи.

O линейные уравнения множественной

o нелинейные уравнения парной

o линейные уравнения парной

o нелинейные уравнения множественной

349. Способом включения случайного возмущения в регрессионную модель y=a+bx, при котором сохраняется линейная форма модели, является .

• аддитивный
• мультипликативный
• экспоненциальный
• мультиколлинеарный

350. Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является:

O линейность параметров

o равенство нулю средних значений результативной переменной

o нелинейность параметров

o равенство нулю средних значений факторного признака

351. Укажите последовательность этапов оценки параметров нелинейной регрессии Y=aX b Z c .

352. Укажите последовательность этапов оценки параметров нелинейной регрессии, линейной относительно параметров.

• определяются оценки исходные параметры нелинейной модели, которые совпадают с параметрами линеаризованной модели
• применяется метод наименьших квадратов для оценки линеаризованной модели
• задаётся линейная спецификация модели в новых переменных
• выбирается метод линеаризации исходной модели

353. Уравнение может быть линеаризовано при помощи подстановки …

o (верно)

o

o

o

Тема: Оценка качества нелинейных уравнений регрессии

1. Выражение позволяет вычислить значение …
   • средней ошибки аппроксимации
   • F-критерия Фишера
   • коэффициента эластичности
   • индекса корреляции
2. Гипотеза о значимости в целом уравнения нелинейной регрессии проверяется с помощью критерия …
   • Дарбина–Уотсона
   • Пирсона
   • Фишера
   • Стьюдента

356. Если значение индекса корреляции для нелинейного уравнения регрессии стремится к 1, то

O нелинейная связь достаточно тесная

o нелинейная связь отсутствует

o линейная связь достаточно тесная

o нелинейная связь недостаточно тесная

357. Значение индекса корреляции находится в пределах …

O нелинейной

359. Коэффициент эластичности показывает …

• отношение коэффициента детерминации к коэффициенту корреляции
• величину остаточной дисперсии на одну степень свободы
• на сколько единиц изменится результативный показатель при изменении величины факторного признака на единицу
• на сколько процентов изменится результативный показатель при изменении величины факторного признака на 1%
1. Коэффициент эластичности является постоянной величиной в модели вида …
   • Y=ab X ε
   • Y=a+bX+ε
   • Y=aX b ε
   • Y=a+bX+cX 2 +ε

361. Назовите показатель корреляции для нелинейных моделей регрессии

O индекс корреляции

o линейный коэффициент корреляции

o индекс детерминации

o парный коэффициент линейной корреляции

362. Назовите показатель тесноты связи для нелинейных моделей регрессии:

O индекс детерминации

o индекс корреляции

o линейный коэффициент корреляции

o парный коэффициент линейной корреляции

363. Нелинейная связь между рассматриваемыми признаками тем теснее, чем значение индекса корреляции ближе к …

364. Оценить статистическую значимость нелинейного уравнения регрессии можно с помощью …

O критерия Фишера

o средней ошибки аппроксимации

o линейного коэффициента корреляции

o показателя эластичности

365. При хорошем качестве модели допустимым значением средней ошибки аппроксимации является …

366. Пусть R 2 – индекс детерминации; n – число наблюдений; m – число параметров при независимых переменных. Тогда при проверке значимости в целом уравнения нелинейной регрессии расчетное значение F-критерия Фишера вычисляется по формуле …

1. Пусть y_i – наблюдаемые значения зависимой переменной, а – её расчётные значения. В принятых обозначениях средняя ошибка аппроксимации модели может быть определена по формуле …

368. Расчёт средней ошибки аппроксимации для нелинейных уравнений регрессии связан с расчётом разности между ____________________________ переменной

Прогноз по линейному уравнению регрессии. Средняя ошибка аппроксимации.

Проверить значимость уравнения регрессии
– значит установить, соответствует ли
математическая модель, выражающая
зависимость между переменными,
экспериментальным данным и достаточно
ли включенных в уравнение объясняющих
переменных (одной или нескольких) для
описания зависимой переменной.

Чтобы иметь общее суждение о качестве
модели из относительных отклонений по
каждому наблюдению, определяют среднюю
ошибку аппроксимации:

.
(1.8)

Средняя ошибка аппроксимации не должна
превышать 8–10%.

В прогнозных расчетах по уравнению
регрессии определяется предсказываемое
значение как точечный прогнозпри,
т.е. путем подстановки в уравнение
регрессиисоответствующего значения.
Однако точечный прогноз явно не реален.
Поэтому он дополняется расчетом
стандартной ошибки,
т.е.,
и соответственно интервальной оценкой
прогнозного значения:

,

где
,
а– средняя ошибка прогнозируемого
индивидуального значения:

.

Нелинейная регрессия. Классы нелинейных регрессий. Оценка нелинейной регрессии в целом

Если между экономическими явлениями
существуют нелинейные соотношения, то
они выражаются с помощью соответствующих
нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных
регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно
   включенных в анализ объясняющих
   переменных, но линейные по оцениваемым
   параметрам, например

– полиномы различных степеней –
,;

– равносторонняя гипербола –
;

– полулогарифмическая функция –
.

1. Регрессии, нелинейные по оцениваемым
   параметрам, например

– степенная –
;

– показательная –
;

– экспоненциальная –
.

Уравнение нелинейной регрессии, так
же, как и в случае линейной зависимости,
дополняется показателем тесноты связи.
В данном случае это индекс корреляции:

,
(1.21)

где
– общая дисперсия результативного
признака,– остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится
в пределах:
.
Чем ближе значение индекса корреляции
к единице, тем теснее связь рассматриваемых
признаков, тем более надежно уравнение
регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит
название индекса детерминации и
характеризует долю дисперсии
результативного признака
,
объясняемую регрессией, в общей дисперсии
результативного признака:

,
(1.22)

т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной
регрессии;
.

Индекс детерминации
можно сравнивать с коэффициентом
детерминациидля обоснования возможности применения
линейной функции. Чем больше кривизна
линии регрессии, тем величинаменьше.
А близость этих показателей указывает
на то, что нет необходимости усложнять
форму уравнения регрессии и можно
использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для
проверки существенности в целом уравнения
регрессии по
-критерию
Фишера:

,
(1.23)

где
– индекс детерминации,– число наблюдений,– число параметров при переменной.
Фактическое значение-критерия
(1.23) сравнивается с табличным при уровне
значимостии числе степеней свободы(для остаточной суммы квадратов) и(для факторной суммы квадратов).

О качестве
нелинейного уравнения регрессии можно
также судить и по средней ошибке
аппроксимации

Регрессии нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных.

Регрессии нелинейные по включенным
переменным приводятся к линейному виду
простой заменой переменных, а дальнейшая
оценка параметров производится с помощью
метода наименьших квадратов. Рассмотрим
некоторые функции.

Парабола второй степени
приводится к линейному виду с помощью
замены:.
В результате приходим к двухфакторному
уравнению,
оценка параметров которого при помощи
МНК, как будет показано в параграфе 2.2
приводит к системе следующих нормальных
уравнений:

А после обратной замены переменных
получим

(1.17)

Парабола второй степени обычно применяется
в случаях, когда для определенного
интервала значений фактора меняется
характер связи рассматриваемых признаков:
прямая связь меняется на обратную или
обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола может быть использована для характеристики
связи удельных расходов сырья, материалов,
топлива от объема выпускаемой продукции,
времени обращения товаров от величины
товарооборота, процента прироста
заработной платы от уровня безработицы
(например, кривая А.В. Филлипса), расходов
на непродовольственные товары от доходов
или общей суммы расходов (например,
кривые Э. Энгеля) и в других случаях.
Гипербола приводится к линейному
уравнению простой заменой:.
Система линейных уравнений при применении
МНК будет выглядеть следующим образом:

(1.18)

Аналогичным
образом приводятся к линейному виду
зависимости
,и другие

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Средняя ошибка аппроксимации

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская респ.	68,8	45,1
Свердловская обл.	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55,0	58,8
Курганская обл.	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49,3	55,2

Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А_ср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии.
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода.
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс — индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии: y = -0.35 x + 76.88

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(y i -y cp ) 2	(y-y(x)) 2	|y — y x |:y
45,1	68,8	2034,01	4733,44	3102,88	61,28	119,12	56,61	0,1094
59	61,2	3481	3745,44	3610,8	56,47	10,98	22,4	0,0773
57,2	59,9	3271,84	3588,01	3426,28	57,09	4,06	7,9	0,0469
61,8	56,7	3819,24	3214,89	3504,06	55,5	1,41	1,44	0,0212
58,8	55	3457,44	3025	3234	56,54	8,33	2,36	0,0279
47,2	54,3	2227,84	2948,49	2562,96	60,55	12,86	39,05	0,1151
55,2	49,3	3047,04	2430,49	2721,36	57,78	73,71	71,94	0,172
384,3	405,2	21338,41	23685,76	22162,34	405,2	230,47	201,71	0,5699

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
. . .

Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических:

F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Нелинейная регрессия. Корреляция для нелинейной регрессии. Средняя ошибка аппроксимации

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1) Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

· полиномы различных степеней — , ;

• · равносторонняя гипербола — ;
• · полулогарифмическая функция — .
• 2) Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: , . В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК, приводит к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы (например, кривая А.В. Филлипса), расходов на непродовольственные товары от доходов или общей суммы расходов (например, кривые Э. Энгеля) и в других случаях. Гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости , и другие.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция -, показательная — , экспоненциальная — , логистическая — , обратная — .

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели: , .

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

где , , , . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование — он является коэффициентом эластичности. (Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%.) Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

Средний коэффициент эластичности,

Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не имеет смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения в процентах.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

где — общая дисперсия результативного признака , — остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии;

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии по -критерию Фишера:

где — индекс детерминации, — число наблюдений, — число параметров при переменной. Фактическое значение -критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы (для остаточной суммы квадратов) и (для факторной суммы квадратов).

О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить и по средней ошибке аппроксимации.

Проверить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8-10%.

По проведенному опросу восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты с уровнем доходов семьи.

O линейные уравнения множественной

o нелинейные уравнения парной

o линейные уравнения парной

o нелинейные уравнения множественной

349. Способом включения случайного возмущения в регрессионную модель y=a+bx, при котором сохраняется линейная форма модели, является .

• аддитивный
• мультипликативный
• экспоненциальный
• мультиколлинеарный

350. Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является:

O линейность параметров

o равенство нулю средних значений результативной переменной

o нелинейность параметров

o равенство нулю средних значений факторного признака

351. Укажите последовательность этапов оценки параметров нелинейной регрессии Y=aX b Z c .

352. Укажите последовательность этапов оценки параметров нелинейной регрессии, линейной относительно параметров.

• определяются оценки исходные параметры нелинейной модели, которые совпадают с параметрами линеаризованной модели
• применяется метод наименьших квадратов для оценки линеаризованной модели
• задаётся линейная спецификация модели в новых переменных
• выбирается метод линеаризации исходной модели

353. Уравнение может быть линеаризовано при помощи подстановки …

o (верно)

o

o

o

Тема: Оценка качества нелинейных уравнений регрессии

1. Выражение позволяет вычислить значение …
   • средней ошибки аппроксимации
   • F-критерия Фишера
   • коэффициента эластичности
   • индекса корреляции
2. Гипотеза о значимости в целом уравнения нелинейной регрессии проверяется с помощью критерия …
   • Дарбина–Уотсона
   • Пирсона
   • Фишера
   • Стьюдента

356. Если значение индекса корреляции для нелинейного уравнения регрессии стремится к 1, то

O нелинейная связь достаточно тесная

o нелинейная связь отсутствует

o линейная связь достаточно тесная

o нелинейная связь недостаточно тесная

357. Значение индекса корреляции находится в пределах …

• R

O нелинейной

359. Коэффициент эластичности показывает …

• отношение коэффициента детерминации к коэффициенту корреляции
• величину остаточной дисперсии на одну степень свободы
• на сколько единиц изменится результативный показатель при изменении величины факторного признака на единицу
• на сколько процентов изменится результативный показатель при изменении величины факторного признака на 1%
1. Коэффициент эластичности является постоянной величиной в модели вида …
   • Y=ab X ε
   • Y=a+bX+ε
   • Y=aX b ε
   • Y=a+bX+cX 2 +ε

361. Назовите показатель корреляции для нелинейных моделей регрессии

O индекс корреляции

o линейный коэффициент корреляции

o индекс детерминации

o парный коэффициент линейной корреляции

362. Назовите показатель тесноты связи для нелинейных моделей регрессии:

O индекс детерминации

o индекс корреляции

o линейный коэффициент корреляции

o парный коэффициент линейной корреляции

363. Нелинейная связь между рассматриваемыми признаками тем теснее, чем значение индекса корреляции ближе к …

364. Оценить статистическую значимость нелинейного уравнения регрессии можно с помощью …

O критерия Фишера

o средней ошибки аппроксимации

o линейного коэффициента корреляции

o показателя эластичности

365. При хорошем качестве модели допустимым значением средней ошибки аппроксимации является …

366. Пусть R 2 – индекс детерминации; n – число наблюдений; m – число параметров при независимых переменных. Тогда при проверке значимости в целом уравнения нелинейной регрессии расчетное значение F-критерия Фишера вычисляется по формуле …

1. Пусть y_i – наблюдаемые значения зависимой переменной, а – её расчётные значения. В принятых обозначениях средняя ошибка аппроксимации модели может быть определена по формуле …

368. Расчёт средней ошибки аппроксимации для нелинейных уравнений регрессии связан с расчётом разности между ____________________________ переменной

Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

А) линейной;

Б) степенной;

В) равносторонней гиперболы.

2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.

Решение:

1. Для расчёта параметров линейной регрессии

 

Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.

Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии

Среднее значение определим по формуле:

Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

и занесём полученный результат в таблицу 1.

Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:

Таким образом, уравнение регрессии:

Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь прямая, достаточно тесная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .

Так как

,

следовательно, параметры уравнения определены правильно.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических:

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.

Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.

F-тест состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера.

F_факт определяется по формуле:

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

2. Степенная регрессия имеет вид:

Для определения параметров производят логарифмиро­вание степенной функции:

Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наи­меньших квадратов:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.

Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

 Решая   систему   нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

Связь достаточно тесная.

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

3. Уравнение равносторонней гиперболы

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:

Произведем замену переменных

и получим следующую систему нормальных уравнений:

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.

Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.

Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

Значения параметров регрессии a и b составили:

Получено уравнение:

Индекс корреляции:

Связь достаточно тесная.

 

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 4,76%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной и степенной регрессиями. Средняя ошибка аппроксимации остаётся на допустимом уровне.