Решение уравнений найти ошибку

Слайд 1

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ (НАЙДИ ОШИБКУ) 6 класс

Слайд 2

Математику нельзя изучать, наблюдая как это делает сосед.

Слайд 3

Решите уравнения Решите задачу, составив уравнение 1 2 3 4 1 2 3 4

Слайд 4

Реши уравнение : 2х+1=77; Решение: 2х=78; х=78:2; Х=39. Ответ: х=39.

Слайд 5

Реши уравнение 21-5х=6 Решение: 5х =21+6 5х = 27 х =5,4 Ответ: х =5,4

Слайд 6

Решить уравнение 10(3 х-7)=0,5 Решение: 3х-7=0.5*10 3х=5+7 3х=12 х =4 Ответ: х =4

Слайд 7

Реши уравнение 10-(х-0,5)=2 Решение: х – 0,5=10-2 х = 8+0,5 х =0,13 Ответ: х =0,13

Слайд 8

Составь уравнение по условию задачи и реши его: Маша задумала число, умножила его на 25 и результат вычла из 80. Получила 20. Какое число задумала Маша? Решение : 25 х-80=20 25х=80+20 25х=100 Ответ: х =4

Слайд 9

Составь уравнение по условию задачи и реши его: Одна из сторон прямоугольника на 3 больше другой, а площадь его равна 10 . Чему равна меньшая сторона? Решение : 2(х+3+х) =10 2х+3=10:2 2х=2 Ответ: х =1

Слайд 10

В коробку с конфетами добавили 16 конфет и разделили их поровну между 8 детьми. Каждый получил по 5 конфет . Сколько конфет было в коробке сначала? Решение: х+16:8=5 Х+2=5 Х=3 3+16:8=5 Ответ 3 -6 1 x Ответ: (-∞; -6 ]U[ 1;+∞ )

Слайд 11

Оля в 4 раза старше Юли. Сколько лет каждой девочке, если Оля на 12 лет старше Юли. Юля –х лет Оля-4+х лет 4+х+х=12 2х=8 Х=4 Ответ: Юле 8 лет, Оле 4 года.

Слайд 12

Разработано: учителем математики МАОУ «Большеямашевская СОШ» Аликовского района Чувашской Республики Ильдер Ириной Германовной

Слайд 13

http://i.allday.ru/uploads/posts/2009-08/thumbs/1250058141_12.jpg http://www.ccboe.net/Teachers/Durham_Sharon/images/918F9422010B4BB0B160956D6B9D4E34.JPG http://www.utkonos.ru/images/it/027/008/006/1238197P.jpg http://www.caringbahlearningcentre.com.au/assets/images/calc.JPG

Муниципальное
автономное общеобразовательное учреждение

Туендатская
основная общеобразовательная школа

Учебно-методическое
пособие по математике

«Найдите
ошибку»

для
учителей и учащихся средней школы

Автор:
Кара Светлана Ивановна,      

   
учитель математики.

Туендат
2019

Пояснительная
записка.

Многолетний опыт
работы учителем математики показывает, что поговорка «на ошибках учатся» на
практике не «работает». При выполнении математических заданий и упражнений
учащиеся, допуская ошибки, их не замечают и вовремя не исправляют.

Анализируя
учебники математики, обращаем внимание на то, что в них достаточно много
образцов решения различных заданий, но совсем нет рекомендаций о том, какие
ошибки мы можем допустить при выполнении математических упражнений. Поэтому
вопрос о том, как учиться без ошибок, как научиться находить собственные ошибки
в решениях, является актуальным и требует исследования.

Для пробного
исследования были выбраны математические понятия – уравнения, приводящиеся к
линейным (далее уравнения) и системы линейных уравнений (далее системы
уравнений). Считаем, что эти понятия являются основными в алгебре. Предметом
исследования будут ошибки, которые допускают учащиеся, когда решают уравнения и
системы уравнений.

На основании
детального анализа теоретического материала по проблеме исследования, можно
предположить, что при решении уравнений и систем уравнений можно допустить
ошибки в тех преобразованиях, которые мы выполняем, решая их.

Для подтверждения
данного предположения были составлены анкеты с целью опроса учащихся: анкета –
опрос, анкета – уравнение, анкета – система уравнений. В опросе приняли
участие 20 учащихся  (7, 8, 9 классы) МАОУ Туендатская ООШ.

Проанализировав
результаты анкетирования, мы получили следующий результат.

В основном все
старшеклассники считают, что они умеют решать уравнения и системы уравнений
(70%). Но при этом отмечают, что без ошибок могут решать уравнения только 25%
опрошенных учащихся и системы уравнений — 15%. Находить, же ошибки в
собственных решениях могут, по мнению ребят 40% опрошенных, и 45% учащихся с помощью
учителя или его подсказки. И абсолютно все ребята хотят решать без ошибок.

Во второй анкете
учащимся было предложено решить уравнение

Анализ результатов
показал, что ошибки допускаются в преобразованиях:

1.     
Раскрытие
скобок (30%).

2.     
Перенос
членов уравнения из одной части уравнения в другую(30%).

3.     
Приведение
подобных слагаемых (40%).

4.     
Деление
обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля (20%).

5.     
Вычислительные
ошибки (30%).

В третьей анкете
было предложено учащимся решить систему уравнений  несколькими способами: методом
подстановки, методом сложения, графическим методом и методом сравнения.

Анализ результатов
показал, что ошибки допускаются в преобразованиях:

1.     
При
решении методом подстановки – при выражении одной переменной через
другую (35%); при решении уравнения (30%); при записи ответа (15%).

2.     
При
решении методом сложения – при умножении обеих частей уравнения на одно и то же
число (20%); при сложении или вычитании равенств (10%); при решении уравнения
(30%); при подстановке найденного числового значения для одной переменной в
выражение для нахождения значения другой переменной (25%).

3.     
При
решении графическим методом – при выражении одной переменной через
другую (35%); при построении графика линейной зависимости (30%); при нахождении
решения системы уравнений по графической иллюстрации (20%).

4.     
При
решении методом сравнения – при выражении одной переменной через другую
(35%); при решении уравнения с дробными коэффициентами (30%); при подстановке
найденного числового значения одной переменной в выражение для нахождения
значения другой переменной (25%).

Таким
образом, мы получили подтверждение того, что ошибки учащиеся допускают в
преобразованиях при решении уравнений и систем уравнений. При этом не умеют
находить ошибки в собственных решениях (60%) опрошенных или находят их с
помощью подсказки (40%), но все обучающиеся хотят быть успешными по математике
и решать без ошибок.

Как
же научиться находить ошибки и использовать их с пользой для дела? Думаем, что
способы поиска ошибок в готовых решениях частично помогут решить данную
проблему.

С
этой целью было разработано учебно-методическое пособие для учителей и
учащихся, в котором представлены серии заданий по темам: «Уравнения» и «Системы
уравнений»  с ошибками в тех преобразованиях, которые мы используем при решении
данного класса задач. Задания оформили как книгу для учащихся «Найди ошибку», в
которую вошли различные уравнения и системы уравнений с ошибками. Эту книгу
можно использовать для того, чтобы научиться находить ошибки и контролировать
свои учебно-предметные действия.

Муниципальное
автономное общеобразовательное учреждение

Туендатская
основная общеобразовательная школа

Задания
с ошибками по темам:

 «Линейные
уравнения и системы линейных уравнений».

КНИГА
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Составитель:  
Кара Светлана Ивановна,

                                                            
                            учитель математики.

Туендат
2019

Оглавление                                                                                                                стр.

Предисловие………………………………………………………………………….
. 3

Тема 1. Учимся
находить ошибки в уравнениях …………………………………… 4

Тема
2. Учимся находить ошибки в системах линейных уравнений………………8

§1.
Метод подстановки…….. .…………………………………………………..8

§2.
Метод сложения……………………..………..……………………………12

§3.
Метод сравнения………….. .………………………………………………16

§4.
Графический метод………………..………..………………………………20

Литература
…………………………………………………………………………… 24

Ответы к
заданиям …………………………………………………………………… 25

«Ошибка
одного – урок другому».

Д.
Рей

Предисловие.

Дорогие
ребята!

Перед вами
необычная книга. Здесь вы не найдете привычных для вас правил и заданий по
математике. Эта книга написана для тех, кто хочет научиться решать уравнения и
системы линейных уравнений без ошибок.

В книге есть
теоретический материал, который поможет вам повторить и вспомнить алгоритмы
решения линейных уравнений и систем линейных уравнений, но для самостоятельной
работы вам предлагаются задания с ошибками. В этих заданиях вы должны сами
найти допущенную ошибку и исправить ее, а также попробовать составить свои
собственные задания с ошибками и предложить их своим друзьям.

Не пугайтесь, если
сразу не сможете найти ошибку, начните с тех заданий, в которых есть подсказка.
Помните о том, что ошибка – вещь полезная, а поиск ошибок увлекательное
занятие.

Удачи вам, ребята!

Тема 1. Учимся находить
ошибки в уравнениях.

Внимательно прочтите этот текст!

Чтобы научиться решать уравнения без
ошибок, надо знать, какие преобразования нужно выполнить при решении уравнений
и уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь уравнение, ведь именно в
преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении уравнений, которые приводятся к линейным уравнениям, мы выполняем следующие преобразования.

1.      Преобразование выражений, составляющих части уравнения (мы   раскрываем скобки, применяя распределительный закон умножения и правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс или  минус). 2.      Второе преобразование – переносим члены уравнения из одной части уравнения в другую. При переносе членов из одной части в другую мы меняем у них знак. 3.      Третье преобразование – преобразование выражений, составляющих части уравнения (мы приводим подобные слагаемые). 4.      Четвертое преобразование – делим обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

Изучите
таблицу с верно решенным уравнением.

Какие
преобразования выполняют при решении уравнений? Попробуем узнать это, решив
уравнение.
Рассмотрим
цепочку преобразований данного уравнения.

Номер шага	Преобразование	Решение уравнения
1 шаг	Преобразуем выражения в правой и левой частях уравнения —  раскроем скобки.
2 шаг	Перенесем члены, содержащие неизвестное в левую часть уравнения, а все постоянные числа в правую часть уравнения. При переносе члена уравнения из одной части в другую мы меняем у него знак.
3 шаг	Преобразуем выражения в правой и левой частях уравнения —  приведем подобные слагаемые.
4 шаг	Делим обе части уравнения на одно и то же число (в данном случае на 4).
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ:
Уравнение имеет корень , так как верным равенством уравнение  становиться при .

 
Задания для самостоятельной работы.

      
I.           
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении уравнений.

1)     
Подсказка.
Ошибка допущена при раскрытии скобок.

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена при раскрытии скобок.

3)     
Подсказка.
Ошибка допущена при переносе членов уравнения из одной части в другую.

4)     
Подсказка.
Ошибка допущена при делении обеих частей уравнения на одно и то же число.

Дорогой
друг! После того как ты выполнил предложенные задания, полезно будет решить эти
уравнения, с учетом найденных ошибок, так как все эти уравнения решены неверно.
Верные ответы к данным уравнениям ты найдешь в конце книги.

   
II.           
Найдите
ошибки, допущенные при решении уравнений.

Итак,
уравнения с ошибками закончились. Вы справились с предложенным заданием? Если у
вас не все получилось, не огорчайтесь. К этим уравнениям можно вернуться еще не
один раз.

А,
если вы нашли все ошибки в уравнениях, попробуйте придумать свои уравнения с
ошибками и предложите найти эти ошибки своим друзьям или одноклассникам.

Помните,
что, если вы нашли ошибку и решили уравнение правильно, всегда можно сделать
проверку, подставив найденное значение переменной в уравнение.

Тема 2. Учимся
находить ошибки в системах линейных уравнений.

§
1. Метод подстановки.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений методом подстановки без ошибок,
надо знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении систем уравнений методом подстановки, мы выполняем следующие  преобразования.

1)      Выражаем одну переменную через другую. 2)      Заменяем переменную алгебраическим выражением. 3)      Преобразования при решении линейного уравнения: a.      Раскрываем скобки. b.      Переносим члены уравнения из одной части в другую. c.       Преобразуем выражения, составляющие части уравнения      (приведение подобных слагаемых). d.      Делим обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. 4.      Подставляем найденное числовое значение одной переменной в выражение для нахождения значения другой переменной.

Изучите
таблицу с верно решенной системой линейных уравнений методом подстановки.

Какие
преобразования выполняют при решении системы уравнений методом подстановки?
Попробуем узнать это, решив систему уравнений    Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер шага	Выполняемое действие	Решение данного шага системы уравнений
1 шаг	Из первого уравнения выразим .
2 шаг	Подставляем вместово второе уравнение выражение
3 шаг	Решаем получившееся уравнение относительно y.
4 шаг	Находим x из первого уравнения системы.
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ: (2; 1)

Полное решение данной системы линейных уравнений
будет выглядеть так:

Задания для
самостоятельной работы.

      
I.           
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений методом подстановки.

1)     

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при выражении одной переменной через другую.

Ответ: (3; 1/3)

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена на третьем шаге, при решении линейного уравнения.

Ответ: (-7;
-16)

3)     
Подсказка.
Ошибка допущена на четвертом шаге, при нахождении числового значения второй
переменной.

         Ответ:
(6; 2)

 
II.           
Найдите
ошибки, допущенные при решении системы уравнений методом подстановки.

1)     
Найдите
две ошибки.

2)     

Найдите четыре
ошибки.

Ответ: (1; 15)

Дорогой
друг! Если ты нашел все ошибки, то обязательно реши эти системы самостоятельно.

Верный
ответ ты найдешь в конце книги.

§ 2. Метод сложения.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений методом сложения без ошибок, надо
знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении системы уравнений методом сложения нам приходится выполнять следующие преобразования.

1.      Умножать обе части уравнения на одно и то же число. 2.      Складывать или вычитать равенства. 3.      Выполнять преобразования при решении линейного уравнения: a.      Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую. b.      Преобразовывать выражения, составляющие части уравнения (приведение подобных слагаемых). c.       Делить обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. 4)      Подставлять найденное числовое значение для одной переменной в выражение для нахождения значения другой переменной.

Изучите таблицу с
верно решенной системой линейных уравнений методом сложения.

Какие
преобразования выполняют при решении системы уравнений методом сложения?
Попробуем узнать это, решив систему уравнений  Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер шага	Выполняемое действие	Решение данного шага системы уравнений
1 шаг	Умножим обе части второго уравнения на 3.
2 шаг	Сложим почленно оба уравнения.
3 шаг	Решаем получившееся уравнение относительно x.
4 шаг	Находим y из второго уравнения системы.
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ: (2; 1)

Полное решение данной системы
линейных уравнений будет выглядеть так:

 Ответ: (2;1)

Задания для
самостоятельной работы.

      
I.           
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений методом сложения.

1)     

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при умножении первого уравнения на число.

Ответ:
(1,8; 3,8)

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена при сложении уравнений.

 Ответ: (3; 13)

3)     

Подсказка.
Ошибка допущена на четвертом шаге, при нахождении числового значения второй
переменной.

Ответ: (-2; 7)

   
II.           
Найдите
ошибки, допущенные при решении системы уравнений методом сложения.

1)     

Найдите
три ошибки.

Ответ: (-3; 2)

2)     
Найдите
четыре ошибки.

Ответ:
(22; 9)

Дорогой
друг! После того как ты выполнил предложенные задания, полезно будет решить эти
системы уравнений, с учетом найденных ошибок. Данные системы уравнений решены неверно.
Верные ответы ты найдешь в конце книги.

 § 3. Метод сравнения.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений методом сравнения без ошибок, надо
знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении систем уравнений методом сравнения, мы выполняем следующие  преобразования.

1.      Выражаем одну переменную через другую. 2.      Преобразования при решении линейного уравнения с дробными коэффициентами: a.      Умножаем обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. b.      Раскрываем скобки. c.       Переносим члены уравнения из одной части в другую. d.      Преобразуем выражения, составляющие части уравнения (приведение подобных слагаемых). e.       Делим обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. 5.      Подставляем найденное числовое значение одной переменной в выражение для нахождения значения другой переменной.

Изучите
таблицу с верно решенной системой линейных уравнений методом сравнения.

Какие
преобразования выполняют при решении системы уравнений методом сравнения?
Попробуем узнать это, решив систему уравнений    

Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер шага	Выполняемое действие	Решение данного шага системы уравнений
1 шаг	Из первого и второго уравнений выразим .
2 шаг	Приравняем левые части данных уравнений.
3 шаг	Решаем получившееся уравнение относительно y.
4 шаг	Находим x из первого уравнения системы.
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ: (2;1)

Полное решение данной системы линейных уравнений будет
выглядеть так:

Ответ: (2;1)

Задания
для самостоятельной работы.

      
I.           
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений методом сравнения.

1)     

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при выражении одной переменной через другую.

Ответ: (3; 6)

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена на третьем шаге, при решении уравнения.

Ответ: (1; -11)

3)     

Подсказка.
Ошибка допущена на четвертом шаге, при нахождении числового значения второй
переменной.

Ответ: (1; 3)

   
II.           
Найдите
ошибки, допущенные при решении системы уравнений методом сравнения.

1)     

Найдите
две ошибки.

 Ответ:
(-6;-7)

2)     
Найдите
три ошибки.

Ответ:
(19; -5,5)

Сейчас
самое время решить эти задания самостоятельно!

§ 4. Графический метод.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений графическим способом без ошибок,
надо знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!	При решении систем уравнений методом подстановки, мы выполняем следующие  действия.
1.      Выражаем одну переменную через другую. 2.      Сроим график линейной зависимости. 3.      Находим решение системы уравнений по графической иллюстрации.

Изучите
таблицу с верно решенной системой линейных уравнений графическим методом.

Какие
действия выполняют при решении системы уравнений графическим методом? Попробуем
узнать это, решив систему уравнений  

Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер шага	Выполняемое действие	Решение данного шага системы уравнений
1 шаг	Из первого и второго уравнений выразим .
2 шаг	Строим в одной системе координат графики данных функций.	и
3 шаг	Находим решение системы уравнений по графической иллюстрации – это координаты точки пересечения графиков данных функций.	А(-2; 0)
4 шаг	Записываем ответ.	Ответ: (-2;0)

Задания для самостоятельной работы.

1.     
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений графическим методом.

1)     

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при выражении одной переменной через другую.

Построим
в одной системе координат графики функций:  и .

Координаты
точки А – решение системы уравнений, то есть  

Ответ: (1; 0)

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена на втором шаге, при построении графика.

       

    
Построим в одной системе координат графики функций:  и .

Координаты
точки А – решение системы уравнений, то есть 

 Ответ: (-2; 6)

3)     

Подсказка.
Ошибка допущена на третьем шаге, при нахождении решения системы линейных
уравнений.

Построим
в одной системе координат графики функций:  и.

                                  

Координаты
точки А – решение системы уравнений, то есть 

 Ответ:
(-2; -3)

Графический
метод – «красив» и прост. Реши эти системы графическим методом без ошибок.

Литература.

1.     
Башмаков
М.И. Алгебра: Учеб. Для 7 класса общеобразовательных учреждений.– М.:
Просвещение, 2003г. – 320с.

2.      Мордкович
А.Г. Алгебра 7 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных
учреждений. – М.: Мнемозина, 2010. -270 с.

3.     
Росошек
С.К., Хают Л.Б., Малова И.Е. Системы уравнений: Учебное пособие по математике
для 9 класса. Под редакцией Э.Г. Гельфман. – Томск: Изд-во Том. Ун-та. – 256с.

Ответы
к заданиям.

Страница 8

1.      .

2.      .

3.      .

Страница 9

4.      .

1.      .

2.      .

3.      .

4.     

Страница 10

1.     

2.     

Страница
13

1.      .

2.      .

3.      .

Страница
14

1.      .

2.      .

Страница
17

1.      .

2.      .

3.      .

1.      .

Страница 18

2.      .

Страница 21

1.      .

2.      .

3.      .

Страница 22

1.      .

2.      .

      
Страница 25, 26

1.      .

2.     

3.     

Математика 4 класс Моро. Часть 2. Страница 20. Номер №28

Найди ошибки в решении уравнений.
376 − x = 7 * 9
x = 376 + 63

y : 3 = 720 : 9
y = 8 * 3

90 : x = 15 * 6
x = 90 * 90

Решение

376 − x = 7 * 9
376 − x = 63
x = 376 + 63 − ошибка, должно быть вычитание.
Правильно так:
x = 376 − 63
x = 313

y : 3 = 720 : 9
y : 3 = 80
y = 8 * 3 − ошибка, должно быть 80 * 3 .
Правильно так:
y = 80 * 3
y = 240

90 : x = 15 * 6
90 : x = 90
x = 90 * 90 − ошибка, должно быть деление.
Правильно так:
x = 90 : 90
x = 1

math4school.ru

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

5 – x	–	5 + 3х	= 0 .
x – 1	x 2 – 1

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

2	+ х 2 –	2	– 4х = 0 .
3х 2	3х 2

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

tg ( x + y ) =	tg x + tg y
1 – tg x · tg y

sin 2 x =	2 tg x
1 + tg 2 x

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^<1/4>-6=left(x-3 right)^<1/2>.)

L Неправильное решение.

Сделав замену ( left(x-3 right)^<1/2>=t), считают, что ( left(x-3 right)^<1/4>=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^<1/4>=t), тогда ( left(x-3 right)^<1/2>=t^2) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt<2x^2-8x+12>=6.)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt<(x+3)^2>=x+3.)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _<5>>^2 ;x=0.)

L Неправильное решение.

(left(1 +2 log _<5>xright)log _<5>x=0;)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_<4x>sqrt+ 7log_<16x>x^3-3log _x^2=0.)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .

2 класс. Рабочая тетрадь №2. Ответы к стр. 21

Фев 18

2 класс. Рабочая тетрадь №2. Ответы к стр. 21

Числа от 1 до 100
Сложение и вычитание (письменные приёмы)

53. Реши уравнения:

8 + х = 14 13 — х = 7 у — 5 = 9
х = 14 — 8 х = 13 — 7 у = 9 + 5
х = 6 х = 6 у = 14

54. Найди ошибки в вычислениях и реши правильно.
₊23 _—79 ₊36 ₊29 _—93
45 54 28 51 47
68 25 54 88 56

55. Определи, какое действие выполнено в каждом случае, и заполни окошки нужными числами.

Как избежать типичных ошибок, возникающих при выполнении заданий ЕГЭ по математике

Дземяшкевич Е.В., преподаватель математики
(Факультет довузовской подготовки ТулГУ)

Чтобы подготовиться к ЕГЭ по математике, необходимо уже сегодня перестать комплексовать и паниковать перед предстоящим единым экзаменом. Уже сейчас можно сказать, что на ЕГЭ можно получить вполне приличное количество баллов: время для форсированной подготовки еще не потеряно. Конечно, ЕГЭ — это не легко и просто, но и не безнадежно. Важно, чтобы школьник сам честно сформулировал для себя планируемый результат обучения. Это вовсе не означает, что выпускник, наметивший себе «3», может получить только «3» и не более, напротив, ориентируясь на намеченный результат, может и должен получить на один балл выше. Ученики, ориентированные на получение «4», должны помнить, что если постараться, то можно получить и «5».

Но не всегда так получается. Возможны ошибки при решении заданий, недостатки при подготовке, которые приводят к низким результатам ЕГЭ.

Для устранения недостатков в подготовке учеников к ЕГЭ по математике, необходимо совершенствовать процесс преподавания: активнее включать в учебный процесс идеи дифференцированного обучения; использовать практические разработки по индивидуализации обучения (создание индивидуальных модулей обучения), учитывать рекомендации психологов по организации усвоения и пр.).

Поговорим подробнее об ошибках, которые возможны при выполнении заданий ЕГЭ. Рассмотрим важные темы, встречающиеся на экзамене по математике.

Тема	Ошибки	Рекомендации
преобразование иррациональных выражений	При кажущейся простоте этого задания, решаемость его далека от 100%. Сложно заставить себя при выполнении этих заданий сделать проверку. Казалось бы, все свойства действий с корнями просты. Вроде всё просто. Только не все выпускники могут вычислить или, не обращая внимания на степень корня, извлекают корень квадратный.	Не торопясь, выполнить все действия на черновике (обязательно записать все этапы решения).
преобразование показательных выражений	Выполнить проверку показательного выражения сложно	Не торопясь, выполнить все действия на черновике (обязательно записать все этапы решения); можно составить аналогичное задание и попытаться найти закономерность.
преобразование логарифмических выражений	Особенность темы заключается в том, что большинство одиннадцатиклассников узнают о логарифмах только в ноябре-декабре. Времени на «присвоение знаний» нет. Многие выпускники бояться решать задания с логарифмами, несмотря на то, что все свойства логарифмов они знают. Самое сложное при выполнении этих заданий – выполнить проверку.	Не торопясь, выполнить все действия на черновике (обязательно записать все этапы решения).
линейные уравнения	Решают все, правда, если a 0. Как только уравнение решается автоматически, возможны ошибки. Например, . Что это? Невнимательность? Досадная ошибка?	При решении линейных уравнений никто не застрахован от ошибок. Обязательно выполняем проверку.
квадратные уравнения	Очень большой процент ошибок приходится на квадратные уравнения. Ошибки начинаются с вычисления дискриминанта. В формулах для вычисления корней есть ошибки для –b и 2a. Не стоит упоминать про формулу «четного коэффициента» — много ошибок, особенно у сильных учеников. Важно повторить теорему Виета.	Не стоит пренебрегать проверкой корней с помощью теоремы Виета или подстановкой: она занимает меньше времени, чем полная проверка всего решения сложного задания.
дробно-рациональные уравнения	Школьники решают очень тяжело. Серьезные проблемы возникают при решении такого уравнения: даже записывая такое формальное условие- знаменатель не равен нулю – они о нем тут же забывают.	Чтобы избежать многих ошибок, проверка нужна обязательно: подстановка и удовлетворение условию «знаменатель не равен нулю». Обязательно включать в каждую домашнюю работу хотя бы одно задание на решение дробно рационального уравнения
рациональные неравенства	Линейные: чаще всего при делении на отрицательное число, неравенство вида:

&#169 Факультет довузовской подготовки Тульского государственного университета

300012, город Тула, проспект Ленина, 84, кор. 8, 3-й учебный корпус ТулГУ

(4872) 25-46-83, 25-46-84, 717-535

Тульский государственный университет

300012, город Тула, проспект Ленина, 92

(4872) 33-24-10, 35-34-44

Приемная комиссия ТулГУ: (4872) 332-332

Для того, чтобы мы могли качественно предоставить Вам услуги, мы используем cookies, которые сохраняются на Вашем компьютере (сведения о местоположении; ip-адрес; источник, откуда пришел на сайт пользователь, эта же информация используется для обработки статистических данных использования сайта посредством интернет-сервисов Google Analytics и Яндекс.Метрика). Продолжая использовать сайт, Вы соглашаетесь на использовании cookies. Отключить cookies Вы можете в настройках своего браузера.

math4school.ru

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

5 – x	–	5 + 3х	= 0 .
x – 1	x 2 – 1

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

2	+ х 2 –	2	– 4х = 0 .
3х 2	3х 2

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

tg ( x + y ) =	tg x + tg y
1 – tg x · tg y

sin 2 x =	2 tg x
1 + tg 2 x

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^<1/4>-6=left(x-3 right)^<1/2>.)

L Неправильное решение.

Сделав замену ( left(x-3 right)^<1/2>=t), считают, что ( left(x-3 right)^<1/4>=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^<1/4>=t), тогда ( left(x-3 right)^<1/2>=t^2) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt<2x^2-8x+12>=6.)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt<(x+3)^2>=x+3.)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _<5>>^2 ;x=0.)

L Неправильное решение.

(left(1 +2 log _<5>xright)log _<5>x=0;)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_<4x>sqrt+ 7log_<16x>x^3-3log _x^2=0.)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .

Статья. Проблемы, типичные ошибки учащихся, допускаемые при решении уравнений и неравенств.

Задание «Проблемы, типичные ошибки учащихся»

Вспоминается расхожая истина – умные люди учатся на чужих ошибках. В математике приходится учиться, в основном, на собственных ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, правильно ее использовать.

Обидно получать плохие оценки из-за ошибок «на ровном месте». Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Сами ученики порой не могут объяснить, чем вызваны эти ошибки.

Решая уравнения и неравенства учащиеся допускают типичные ошибки:

· Незнание правил, определений, формул.

· Непонимание правил, определений, формул.

· Неумение применять правила, определения, формулы.

· Неверное применение формул.

· Невнимательное чтение условия и вопроса задания.

· Раскрытие скобок и применение формул сокращенного умножения.

Какие же проблемы, трудности общего характера возникают у учащихся при изучении математики ( их несомненно можно отнести и к трудностям, которые возникают у уч-ся при изучении темы «Уравнения и неравенства»):

· Пропуски занятий приводят к незнанию материала, пробелам в знаниях.

· Поверхностное, невдумчивое восприятие нового материала приводят к непониманию его.

· Недостаточная мозговая деятельность приводит к неумению применять правила, определения и формулы .

· Неряшливый, неаккуратный почерк ученика приводит к досадным ошибкам . Учащиеся не всегда сами понимают, что именно они написали.

· Усталость . Чрезмерная нагрузка и недостаточный сон приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам.

· Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную) приводит к утрате только что воспринятого материала, приходится все начинать сначала.

· Скорость работы. Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается не вынужденная ошибка. Скорость работы определяется физиологией конкретного школьника и навыками выполнения тех или иных операций.

· Мотивация. Следствие низкой мотивации – потеря внимания и ошибка.

Ошибки, допускаемые обучающимися при решении уравнений и неравенств, самые разнообразные: от неверного оформления решения до ошибок логического характера.

1. Самая типичная ошибка состоит в том, что учащиеся при решении уравнений и неравенств без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению посторонних корней.

Предлагаю на конкретных примерах рассмотреть ошибки подобного рода и определить способы их предупреждения и исправления, но прежде всего хочу обратить внимание на следующую мысль: не надо бояться приобрести посторонние корни, их можно отбросить путем проверки ,надо бояться потерять корни.

а) Решить уравнение:

log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x).

Это уравнение учащиеся очень часто решают следующим образом.

log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x), log3(5 – x) + log3(–1 – x) = 3, log3((5 – x)( –1 – x)) = 3, (5 – x)( –1 – x) = 33, x2 – 4x – 32 = 0,

Учащиеся часто, не проводя дополнительных рассуждений, записывают оба числа в ответ. Но как показывает проверка, число x = 8 не является корнем исходного уравнения, так как при x = 8 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число x = –4 является корнем заданного уравнения.

б) Решить уравнение

Область определения исходного уравнения задается системой

Для решения заданного уравнения перейдем к логарифму по основанию x, получим

Мы видим, что левая и правая части этого последнего уравнения при x = 1 не определены, но это число является корнем исходного уравнения (убедиться в этом можно путем непосредственной подстановки). Таким образом, формальный переход к новому основанию привел к потере корня. Чтобы избежать потери корня x = 1, следует указать, что новое основание должно быть положительным числом, отличным от единицы, и рассмотреть отдельно случай x = 1.

2. Целая группа ошибок, вернее сказать недочетов, состоит в том, что учащиеся не уделяют должного внимания нахождению области определения уравнений, хотя именно она в ряде случаев есть ключ к решению.

3. Типичной ошибкой учащихся является то, что они не владеют на нужном уровне определениями понятий, формулами, формулировками теорем, алгоритмами. Хочу подтвердить сказанное следующим примером.

Ученик предлагает следующее ошибочное решение этого уравнения:

х = –2.

Поверка показывает, что х = –2 не является корнем исходного уравнения.

Напрашивается вывод, что заданное уравнение корней не имеет.

Однако это не так. Выполнив подстановку х = –4 в заданное уравнение, мы можем убедиться, что это корень.

Предлагаю проанализировать, почему произошла потеря корня.

В исходном уравнении выражения х и х + 3 могут быть одновременно оба отрицательными или оба положительными, но при переходе к уравнению эти же выражения могут быть только положительными. Следовательно, произошло сужение области определения, что и привело к потере корней.

Чтобы избежать потери корня, можно поступить следующим образом: перейти в исходном уравнении от логарифма суммы к логарифму произведения. Возможно в этом случае появление посторонних корней, но от них, путем подстановки, можно освободиться.

4. Многие ошибки, допускаемые при решении уравнений и неравенств, являются следствием того, что учащиеся очень часто пытаются решать задачи по шаблону, то есть привычным путем. Предлагаю рассмотреть это на следующем примере.

Попытка решать это неравенство привычными алгоритмическими способами не приведет к ответу. Решение здесь должно состоять в оценке значений каждого слагаемого левой части неравенства на области определения неравенства.

Найдем область определения неравенства:

Для всех x из промежутка (9;10] выражение имеет положительные значения (значения показательной функции всегда положительны).

Для всех x из промежутка (9;10] выражение ( x – 9) имеет положительные значения, а выражение lg(x – 9) имеет значения отрицательные или ноль, тогда выражение

– (x – 9) lg(x – 9) положительно или равно нулю.

Окончательно имеем x ∈ (9;10]. Хочу заметить, что при таких значениях переменной каждое слагаемое, стоящее в левой части неравенства, положительно (второе слагаемое может быть равно нулю), а значит их сумма всегда больше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (9;10].

5. Одна из ошибок связана с графическим решением уравнений.

Некоторые учащиеся, решая это уравнение графически (хочу отметить, что его другими элементарными способами решить нельзя), получают лишь один корень (он является абсциссой точки, лежащей на прямой y = x), ибо графики функций

и −

это графики взаимно обратных функций.

На самом деле исходное уравнение имеет три корня: один из них является абсциссой точки, лежащей на биссектрисе первого координатного угла y = x, другой корень и третий корень Убедиться в справедливости сказанного можно непосредственной подстановкой чисел и в заданное уравнение.

Этот пример удачно иллюстрирует следующий вывод: графическое решение уравнения f(x) = g(x) “безупречно”, если обе функции «разномонотонны» (одна из них возрастает, а другая – убывает), и недостаточно математически корректно в случае одномонотонных функций (обе либо одновременно убывают, либо одновременно возрастают).

6. Ряд типичных ошибок связан с тем, что учащиеся не совсем корректно решают уравнения и неравенства на основе функционального подхода. Остановлюсь на типичных ошибки такого рода.

а) Решить уравнение x х = x.

Функция, стоящая в левой части уравнения, – показательно-степенная и раз так, то на основание степени следует наложить такие ограничения: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части заданного уравнения:

или

Откуда имеем x = 1.

Логарифмирование не привело к сужению области определения исходного уравнения. Но тем не менее произошла потеря двух корней уравнения; непосредственным усмотрением мы находим, что x = 1 и x = –1 являются корнями исходного уравнения.

7. При решении неравенств с помощью подстановки мы всегда сначала решаем новое неравенство относительно новой переменной, и лишь в его решении делаем переход к старой переменной.

Школьники очень часто ошибочно делают обратный переход раньше.Этого делать не следует.

8.Хочу привести пример еще одной ошибки, связанной с решением неравенств.

.

Привожу ошибочное решение, которое очень часто предлагают учащиеся.

Возведем обе части исходного неравенства в квадрат. Будем иметь:

,

откуда получаем неверное числовое неравенство , что позволяет сделать вывод: заданное неравенство не имеет решений.

Однако полученный вывод неверен, например, при х = 1000 имеем

, , .

Полученное числовое неравенство верно, а значит х = 1000 является решением.

Значит, заданное неравенство имеет решение, и, следовательно, приведенное выше решение ошибочно.

Привожу правильное решение. Найдем область определения исходного неравенства. Она задается системой

или

откуда .

Ясно, что на интервале (10;1000) нет решений, ибо левая часть заданного неравенства при любом х из этого интервала не имеет смысла.

Рассмотрим два случая.

а) , откуда х > 100. С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из этого промежутка левая часть исходного неравенства неотрицательна (как значение арифметического квадратного корня), а правая часть – отрицательна. Делаем вывод о том, что – решение заданного неравенства.

б) , откуда . С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из промежутка имеют смысл обе части неравенства и они имеют неотрицательные значения, значит обе части заданного неравенства мы можем возвести в квадрат. Будем иметь: , откуда . Это неверное числовое неравенство позволяет сделать вывод: значения х из промежутка решениями исходного неравенства не являются.

Ответ: .

9. Типичная ошибка при решении уравнений, неравенств и их систем состоит в том, что неверно преобразовываются выражения.

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления.

Необходимо осуществлять процесс обучения правилам с помощью специальной модели с использованием приема, активизирующего рефлексивную деятельность учащихся по предупреждению и исправлению ошибок, которые возникают в результате формального усвоения правил.

Самостоятельная работа учащихся над ошибками обеспечивает более осознанный их анализ и анализ собственных действий по решению конкретной задачи, что оказывает благоприятное влияние на качество получаемых знаний и стимулирует развитие логического мышления.

Пример неосознанного применения алгоритма: получив уравнение sin x = 1,2, ученик автоматически ищет его корни по хорошо известной формуле, не обращая внимания на недопустимые значения sin x .

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок.

Систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своему решению. Для этого подходят задания типа «найди ошибку в решении». Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей:

а) умения обнаружить ошибку;

б) умения её объяснить и исправить.

В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:

· проверка вычисления и тождественного преобразования путём выполнения обратного действия или преобразования;

· проверка правильности решения задач путём составления и решения задач, обратных к данной;

· оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла;

· проверка аналитического решения графическим способом.

Способы исправления и предупреждения ошибок

Свести ошибки к минимуму способствуют следующие профилактические меры:

• Тексты письменных заданий должны быть удобными для восприятия: грамотно сформулированными, хорошо читаемыми.
• Активная устная отработка основных ЗУН, регулярный разбор типичных ошибок.
• При объяснении нового материала предугадать ошибку и подобрать систему заданий на отработку правильного усвоения понятия. Акцентировать внимание на каждом элементе формулы, выполнение разнотипных заданий позволит свести ошибочность к минимуму.
• Подбирать задания, вызывающие интерес, формирующие устойчивое внимание.
• Прочному усвоению (а значит, отсутствию ошибок) способствуют правила, удобные для запоминания, четкие алгоритмы, следуя которым заведомо придешь к намеченной цели.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок. В математике, как ни в какой другой науке, особенно сильна взаимосвязь материала. Изучение и понимание последующего невозможно без знания предыдущего, отсюда неизбежность повторения на каждом уроке. При объяснении нового материала следует использовать ряд определений и теорем, которые были изучены ранее.

Проверочная работа по теме « Решение линейных уравнений» 6 класс.

При выполнении проверочной работы ученик допустил ошибки в решении некоторых уравнений. Постарайся найти ошибки . Запиши правильное решение справа, напротив той строки, в которой, по твоему мнению, находится ошибка.

Выбери тип ошибки :

В- вычислительная,

С- раскрытие скобок,

П— перенос слагаемых из одной части равенства в другую часть.

Напротив строки, где, по твоему мнению, допущена ошибка поставьте букву, соответствующую типу ошибки «В», «П», «С» и запишите правильное преобразование.

По окончании выполнения работы проверь правильность своих ответов по образцам, выданным учителем. Затем приступайте к выполнению самостоятельной работы выбранного вами уровня сложности.

1) —5,2а = 10,4;
а= 10,4:(-5,2);
а= -2.
2) -12+х=-24,4;
х = 24,4-12;
х = 12,4.
3) 3х – 18 = 6х – 12;
3х + 6х = 18 – 12;
9х = 6;
х = ;
х = .
4) 5(2у-1,2) = 4,3у-0,3;
10у- 6 = 4,3у-0,3;
10у — 4,3у = 6 -0,3;
5,7у = 5,7; у=5,7:5,7;
У=0,1.
5) -18+ 4( х-1,5) = 9+ 7х;
-18+ 4х-1,5 = 9+7х;
-18 -1,5 -9 = 7х+4х;
-11х=28,5;
х= — ;
х= —;
х= —.
6) 2-(8а+2,7)+(-3а-8)=13,3;
2-8а-2,7-3а-8=14,3;
-11а=13,3 +8,7;
-11а=22;
а=-2.

Выполни устный анализ выполнения своей работы.

Реши уравнения выбранного уровня сложности.

5-6 баллов — «3», 7-9 баллов – «4», 10-12 баллов –«5».

1 вариант 2 вариант

1 уровень.(1 балл) 1 уровень (1 балл)

1) -5х -1 = 4; 1) -3Х+6=-9;

2) -5х + 2 = -10х; 2) 9Х+14= -6Х+5;

3) -6 – 4х = -9х – 4,5; 3) -1,5Х+2,5=-5,5Х+12,5;

2 уровень(2 балла) 2 уровень(2 балла)

1) 4( 2 -3х) = -7х + 10; 1) 7(4+5Х)= -15Х-28;

2) -4( -7 -0,6Х) = -9,6Х – 6; 2) -2х+1-3(Х-4)=4(3-Х)+4;

3) 6,5(а+3)-5 = -6,5а + 14,5; 3) 0,9(4у-2)=0,5(3у-4)+4,4;

3 уровень ( 3 балла). 3 уровень( 3 балла)

1) 8+Х= ; 1) 7+ =Х+4;

2) = ; 2) =;

2 вариант

1) -4,3Х=12,9; Х= 12,9: (-4,3); Х= 3,3.
2) -13 + а=-15,2; а = 15,2-13; а= 2,2.
3) 6 -2Х = 3Х -10; -2Х -3 = -10 -6; -5Х = -16; Х = 3,2.
4) 6( 5 – 3Х) = — 8Х-5; 30-3Х = -8Х -5; -3Х +8Х=-5-30; 5Х = -35; Х=-7.
5) 6 — = ; 18 – 7Х = 3Х; -7Х-3Х=-18; -10Х=-18; Х= 1,8.
6) -5а-5+5(а-5)=-(5-а)-4: -5а-5+5а-25=-5+а-4; -5а+5а+а=5+25-5-4; а = 21.