Ряд тейлора для функции ошибок

In mathematics, the Taylor series or Taylor expansion of a function is an infinite sum of terms that are expressed in terms of the function’s derivatives at a single point. For most common functions, the function and the sum of its Taylor series are equal near this point. Taylor series are named after Brook Taylor, who introduced them in 1715. A Taylor series is also called a Maclaurin series when 0 is the point where the derivatives are considered, after Colin Maclaurin, who made extensive use of this special case of Taylor series in the mid-18th century.

The partial sum formed by the first n + 1 terms of a Taylor series is a polynomial of degree n that is called the nth Taylor polynomial of the function. Taylor polynomials are approximations of a function, which become generally better as n increases. Taylor’s theorem gives quantitative estimates on the error introduced by the use of such approximations. If the Taylor series of a function is convergent, its sum is the limit of the infinite sequence of the Taylor polynomials. A function may differ from the sum of its Taylor series, even if its Taylor series is convergent. A function is analytic at a point x if it is equal to the sum of its Taylor series in some open interval (or open disk in the complex plane) containing x. This implies that the function is analytic at every point of the interval (or disk).

Definition[edit]

The Taylor series of a real or complex-valued function f (x) that is infinitely differentiable at a real or complex number a is the power series

where n! denotes the factorial of n. In the more compact sigma notation, this can be written as

where f⁽ⁿ⁾(a) denotes the nth derivative of f evaluated at the point a. (The derivative of order zero of f is defined to be f itself and (x − a)⁰ and 0! are both defined to be 1.)

With a = 0, the Maclaurin series takes the form:^[1]

or in the compact sigma notation:

Examples[edit]

The Taylor series of any polynomial is the polynomial itself.

The Maclaurin series of 1/1 − x is the geometric series

So, by substituting x for 1 − x, the Taylor series of 1/x at a = 1 is

By integrating the above Maclaurin series, we find the Maclaurin series of ln(1 − x), where ln denotes the natural logarithm:

The corresponding Taylor series of ln x at a = 1 is

and more generally, the corresponding Taylor series of ln x at an arbitrary nonzero point a is:

The Maclaurin series of the exponential function e^x is

The above expansion holds because the derivative of e^x with respect to x is also e^x, and e⁰ equals 1. This leaves the terms (x − 0)ⁿ in the numerator and n! in the denominator of each term in the infinite sum.

History[edit]

The ancient Greek philosopher Zeno of Elea considered the problem of summing an infinite series to achieve a finite result, but rejected it as an impossibility;^[2] the result was Zeno’s paradox. Later, Aristotle proposed a philosophical resolution of the paradox, but the mathematical content was apparently unresolved until taken up by Archimedes, as it had been prior to Aristotle by the Presocratic Atomist Democritus. It was through Archimedes’s method of exhaustion that an infinite number of progressive subdivisions could be performed to achieve a finite result.^[3] Liu Hui independently employed a similar method a few centuries later.^[4]

In the 14th century, the earliest examples of specific Taylor series (but not the general method) were given by Madhava of Sangamagrama.^[5][6] Though no record of his work survives, writings of his followers in the Kerala school of astronomy and mathematics suggest that he found the Taylor series for the trigonometric functions of sine, cosine, and arctangent (see Madhava series). During the following two centuries his followers developed further series expansions and rational approximations.

In late 1670, James Gregory was shown in a letter from John Collins several Maclaurin series ( and ) derived by Isaac Newton, and told that Newton had developed a general method for expanding functions in series. Newton had in fact used a cumbersome method involving long division of series and term-by-term integration, but Gregory did not know it and set out to discover a general method for himself. In early 1671 Gregory discovered something like the general Maclaurin series and sent a letter to Collins including series for (the integral of ), (the integral of sec, the inverse Gudermannian function), and (the Gudermannian function). However, thinking that he had merely redeveloped a method by Newton, Gregory never described how he obtained these series, and it can only be inferred that he understood the general method by examining scratch work he had scribbled on the back of another letter from 1671.^[7]

In 1691–1692, Isaac Newton wrote down an explicit statement of the Taylor and Maclaurin series in an unpublished version of his work De Quadratura Curvarum. However, this work was never completed and the relevant sections were omitted from the portions published in 1704 under the title Tractatus de Quadratura Curvarum.

It was not until 1715 that a general method for constructing these series for all functions for which they exist was finally published by Brook Taylor,^[8] after whom the series are now named.

The Maclaurin series was named after Colin Maclaurin, a professor in Edinburgh, who published the special case of the Taylor result in the mid-18th century.

Analytic functions[edit]

If f (x) is given by a convergent power series in an open disk centred at b in the complex plane (or an interval in the real line), it is said to be analytic in this region. Thus for x in this region, f is given by a convergent power series

Differentiating by x the above formula n times, then setting x = b gives:

and so the power series expansion agrees with the Taylor series. Thus a function is analytic in an open disk centered at b if and only if its Taylor series converges to the value of the function at each point of the disk.

If f (x) is equal to the sum of its Taylor series for all x in the complex plane, it is called entire. The polynomials, exponential function e^x, and the trigonometric functions sine and cosine, are examples of entire functions. Examples of functions that are not entire include the square root, the logarithm, the trigonometric function tangent, and its inverse, arctan. For these functions the Taylor series do not converge if x is far from b. That is, the Taylor series diverges at x if the distance between x and b is larger than the radius of convergence. The Taylor series can be used to calculate the value of an entire function at every point, if the value of the function, and of all of its derivatives, are known at a single point.

Uses of the Taylor series for analytic functions include:

1. The partial sums (the Taylor polynomials) of the series can be used as approximations of the function. These approximations are good if sufficiently many terms are included.
2. Differentiation and integration of power series can be performed term by term and is hence particularly easy.
3. An analytic function is uniquely extended to a holomorphic function on an open disk in the complex plane. This makes the machinery of complex analysis available.
4. The (truncated) series can be used to compute function values numerically, (often by recasting the polynomial into the Chebyshev form and evaluating it with the Clenshaw algorithm).
5. Algebraic operations can be done readily on the power series representation; for instance, Euler’s formula follows from Taylor series expansions for trigonometric and exponential functions. This result is of fundamental importance in such fields as harmonic analysis.
6. Approximations using the first few terms of a Taylor series can make otherwise unsolvable problems possible for a restricted domain; this approach is often used in physics.

Approximation error and convergence[edit]

Pictured is an accurate approximation of sin x around the point x = 0. The pink curve is a polynomial of degree seven:

The error in this approximation is no more than |x|⁹ / 9!. For a full cycle centered at the origin (−π < x < π) the error is less than 0.08215. In particular, for −1 < x < 1, the error is less than 0.000003.

In contrast, also shown is a picture of the natural logarithm function ln(1 + x) and some of its Taylor polynomials around a = 0. These approximations converge to the function only in the region −1 < x ≤ 1; outside of this region the higher-degree Taylor polynomials are worse approximations for the function.

The error incurred in approximating a function by its nth-degree Taylor polynomial is called the remainder or residual and is denoted by the function R_n(x). Taylor’s theorem can be used to obtain a bound on the size of the remainder.

In general, Taylor series need not be convergent at all. And in fact the set of functions with a convergent Taylor series is a meager set in the Fréchet space of smooth functions. And even if the Taylor series of a function f does converge, its limit need not in general be equal to the value of the function f (x). For example, the function

is infinitely differentiable at x = 0, and has all derivatives zero there. Consequently, the Taylor series of f (x) about x = 0 is identically zero. However, f (x) is not the zero function, so does not equal its Taylor series around the origin. Thus, f (x) is an example of a non-analytic smooth function.

In real analysis, this example shows that there are infinitely differentiable functions f (x) whose Taylor series are not equal to f (x) even if they converge. By contrast, the holomorphic functions studied in complex analysis always possess a convergent Taylor series, and even the Taylor series of meromorphic functions, which might have singularities, never converge to a value different from the function itself. The complex function e^−1/z2, however, does not approach 0 when z approaches 0 along the imaginary axis, so it is not continuous in the complex plane and its Taylor series is undefined at 0.

More generally, every sequence of real or complex numbers can appear as coefficients in the Taylor series of an infinitely differentiable function defined on the real line, a consequence of Borel’s lemma. As a result, the radius of convergence of a Taylor series can be zero. There are even infinitely differentiable functions defined on the real line whose Taylor series have a radius of convergence 0 everywhere.^[9]

A function cannot be written as a Taylor series centred at a singularity; in these cases, one can often still achieve a series expansion if one allows also negative powers of the variable x; see Laurent series. For example, f (x) = e^−1/x2 can be written as a Laurent series.

Generalization[edit]

There is, however, a generalization^[10][11] of the Taylor series that does converge to the value of the function itself for any bounded continuous function on (0,∞), using the calculus of finite differences. Specifically, one has the following theorem, due to Einar Hille, that for any t > 0,

Here Δⁿ
_h is the nth finite difference operator with step size h. The series is precisely the Taylor series, except that divided differences appear in place of differentiation: the series is formally similar to the Newton series. When the function f is analytic at a, the terms in the series converge to the terms of the Taylor series, and in this sense generalizes the usual Taylor series.

In general, for any infinite sequence a_i, the following power series identity holds:

So in particular,

The series on the right is the expectation value of f (a + X), where X is a Poisson-distributed random variable that takes the value jh with probability e^−t/h·(t/h)^j/j!. Hence,

The law of large numbers implies that the identity holds.^[12]

List of Maclaurin series of some common functions[edit]

Several important Maclaurin series expansions follow.^[13] All these expansions are valid for complex arguments x.

Exponential function[edit]

The exponential function (with base e) has Maclaurin series

.

It converges for all x.

The exponential generating function of the Bell numbers is the exponential function of the predecessor of the exponential function:

Natural logarithm[edit]

The natural logarithm (with base e) has Maclaurin series

They converge for . (In addition, the series for ln(1 − x) converges for x = −1, and the series for ln(1 + x) converges for x = 1.)

Geometric series[edit]

The geometric series and its derivatives have Maclaurin series

All are convergent for . These are special cases of the binomial series given in the next section.

Binomial series[edit]

The binomial series is the power series

whose coefficients are the generalized binomial coefficients

(If n = 0, this product is an empty product and has value 1.) It converges for for any real or complex number α.

When α = −1, this is essentially the infinite geometric series mentioned in the previous section. The special cases α = 1/2 and α = −1/2 give the square root function and its inverse:

When only the linear term is retained, this simplifies to the binomial approximation.

Trigonometric functions[edit]

The usual trigonometric functions and their inverses have the following Maclaurin series:

All angles are expressed in radians. The numbers B_k appearing in the expansions of tan x are the Bernoulli numbers. The E_k in the expansion of sec x are Euler numbers.

Hyperbolic functions[edit]

The hyperbolic functions have Maclaurin series closely related to the series for the corresponding trigonometric functions:

The numbers B_k appearing in the series for tanh x are the Bernoulli numbers.

Polylogarithmic functions[edit]

The polylogarithms have these defining identities:

The Legendre chi functions are defined as follows:

And the formulas presented below are called inverse tangent integrals:

In statistical thermodynamics these formulas are of great importance.

Elliptic functions[edit]

The complete elliptic integrals of first kind K and of second kind E can be defined as follows:

The Jacobi theta functions describe the world of the elliptic modular functions and they have these Taylor series:

The regular partition number sequence P(n) has this generating function:

The strict partition number sequence Q(n) has that generating function:

Calculation of Taylor series[edit]

Several methods exist for the calculation of Taylor series of a large number of functions. One can attempt to use the definition of the Taylor series, though this often requires generalizing the form of the coefficients according to a readily apparent pattern. Alternatively, one can use manipulations such as substitution, multiplication or division, addition or subtraction of standard Taylor series to construct the Taylor series of a function, by virtue of Taylor series being power series. In some cases, one can also derive the Taylor series by repeatedly applying integration by parts. Particularly convenient is the use of computer algebra systems to calculate Taylor series.

First example[edit]

In order to compute the 7th degree Maclaurin polynomial for the function

,

one may first rewrite the function as

.

The Taylor series for the natural logarithm is (using the big O notation)

and for the cosine function

.

The latter series expansion has a zero constant term, which enables us to substitute the second series into the first one and to easily omit terms of higher order than the 7th degree by using the big O notation:

Since the cosine is an even function, the coefficients for all the odd powers x, x³, x⁵, x⁷, … have to be zero.

Second example[edit]

Suppose we want the Taylor series at 0 of the function

We have for the exponential function

and, as in the first example,

Assume the power series is

Then multiplication with the denominator and substitution of the series of the cosine yields

Collecting the terms up to fourth order yields

The values of can be found by comparison of coefficients with the top expression for , yielding:

Third example[edit]

Here we employ a method called «indirect expansion» to expand the given function. This method uses the known Taylor expansion of the exponential function. In order to expand (1 + x)e^x as a Taylor series in x, we use the known Taylor series of function e^x:

Thus,

Taylor series as definitions[edit]

Classically, algebraic functions are defined by an algebraic equation, and transcendental functions (including those discussed above) are defined by some property that holds for them, such as a differential equation. For example, the exponential function is the function which is equal to its own derivative everywhere, and assumes the value 1 at the origin. However, one may equally well define an analytic function by its Taylor series.

Taylor series are used to define functions and «operators» in diverse areas of mathematics. In particular, this is true in areas where the classical definitions of functions break down. For example, using Taylor series, one may extend analytic functions to sets of matrices and operators, such as the matrix exponential or matrix logarithm.

In other areas, such as formal analysis, it is more convenient to work directly with the power series themselves. Thus one may define a solution of a differential equation as a power series which, one hopes to prove, is the Taylor series of the desired solution.

Taylor series in several variables[edit]

The Taylor series may also be generalized to functions of more than one variable with^[14][15]

For example, for a function that depends on two variables, x and y, the Taylor series to second order about the point (a, b) is

where the subscripts denote the respective partial derivatives.

Second-order Taylor series in several variables[edit]

A second-order Taylor series expansion of a scalar-valued function of more than one variable can be written compactly as

where D f (a) is the gradient of f evaluated at x = a and D² f (a) is the Hessian matrix. Applying the multi-index notation the Taylor series for several variables becomes

which is to be understood as a still more abbreviated multi-index version of the first equation of this paragraph, with a full analogy to the single variable case.

Example[edit]

In order to compute a second-order Taylor series expansion around point (a, b) = (0, 0) of the function

one first computes all the necessary partial derivatives:

Evaluating these derivatives at the origin gives the Taylor coefficients

Substituting these values in to the general formula

produces

Since ln(1 + y) is analytic in |y| < 1, we have

Comparison with Fourier series[edit]

The trigonometric Fourier series enables one to express a periodic function (or a function defined on a closed interval [a,b]) as an infinite sum of trigonometric functions (sines and cosines). In this sense, the Fourier series is analogous to Taylor series, since the latter allows one to express a function as an infinite sum of powers. Nevertheless, the two series differ from each other in several relevant issues:

• The finite truncations of the Taylor series of f (x) about the point x = a are all exactly equal to f at a. In contrast, the Fourier series is computed by integrating over an entire interval, so there is generally no such point where all the finite truncations of the series are exact.
• The computation of Taylor series requires the knowledge of the function on an arbitrary small neighbourhood of a point, whereas the computation of the Fourier series requires knowing the function on its whole domain interval. In a certain sense one could say that the Taylor series is «local» and the Fourier series is «global».
• The Taylor series is defined for a function which has infinitely many derivatives at a single point, whereas the Fourier series is defined for any integrable function. In particular, the function could be nowhere differentiable. (For example, f (x) could be a Weierstrass function.)
• The convergence of both series has very different properties. Even if the Taylor series has positive convergence radius, the resulting series may not coincide with the function; but if the function is analytic then the series converges pointwise to the function, and uniformly on every compact subset of the convergence interval. Concerning the Fourier series, if the function is square-integrable then the series converges in quadratic mean, but additional requirements are needed to ensure the pointwise or uniform convergence (for instance, if the function is periodic and of class C¹ then the convergence is uniform).
• Finally, in practice one wants to approximate the function with a finite number of terms, say with a Taylor polynomial or a partial sum of the trigonometric series, respectively. In the case of the Taylor series the error is very small in a neighbourhood of the point where it is computed, while it may be very large at a distant point. In the case of the Fourier series the error is distributed along the domain of the function.

See also[edit]

• Asymptotic expansion
• Generating function
• Laurent series
• Madhava series
• Newton’s divided difference interpolation
• Padé approximant
• Puiseux series
• Shift operator

Notes[edit]

References[edit]

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing
• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1
• Roy, Ranjan (2021) [1st ed. 2011]. Series and Products in the Development of Mathematics. Vol. 1 (2nd ed.). Cambridge University Press.

External links[edit]

• «Taylor series», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. «Taylor Series». MathWorld.

Выражение функции в виде бесконечной суммы

По мере увеличения степени полинома Тейлора она приближается к правильной функции. На этом изображении показан грех x и его приближения Тейлора, полиномы степени 1, 3, 5, 7, 9, 11и 13.

В математике ряд Тейлора функции является бесконечная сумма члены, которые выражены в терминах производных функций в одной точке. Для наиболее распространенных функций функция и сумма ее ряда Тейлора вблизи этой точки равны. Ряды Тейлора названы в честь Брука Тейлора, который представил их в 1715 году.

Если ноль — это точка, в которой рассматриваются производные, ряд Тейлора также называется серией Маклорена, после Колина Маклорена, который широко использовал этот частный случай из серии Тейлора в 18 веке.

частичная сумма, образованная первыми членами ряда Тейлора, полиномом степени n, который называется n-м полиномом Тейлора функции. Полиномы Тейлора — это приближения, которые обычно становятся лучше при увеличении. Теорема Тейлора дает количественные оценки погрешностей, обеспечивает использование таких приближений. Если ряд Тейлора функции является сходящейся, его сумма составляет предел бесконечной последовательности полиномов Тейлора. Функция может быть не равна сумме своего ряда Тейлора, даже если ее ряд Тейлора сходится. Функция является аналитической в точке x, если она равна сумме своего ряда Тейлора в некотором открытом интервале (или открытом диске в комплексная плоскость ), содержащая x. Это означает, что функция аналитична в каждой точке интервала (или круга).

Содержание

• 1
• 2 Примеры
• 3 История
• 4 Аналитические функции
• 5 Ошибка аппроксимации и сходимость
  • 5.1 Обобщение
• 6 Список рядов Маклорена некоторых общих функций
  • 6.1 Экспоненциальная функция
  • 6.2 Натуральный логарифм
  • 6.3 Геометрический ряд
  • 6.4 Биномиальный ряд
  • 6.5 Тригонометрические функции
  • 6.6 Гиперболические функции
• 7 Вычисление ряда Тейлора
  • 7.1 Первый пример
  • 7.2 Второй пример
  • 7.3 Третий пример
• 8 Ряд Тейлора как определения
• 9 Ряд Тейлора с переменными
  • 9.1 Пример
• 10 Сравнение с рядом Фурье
• 11 См. Также
• 12 Примечания
• 13 Ссылки
• 14 Внешние ссылки

Определение

Ряд Тейлора вещественной или комплекснозначной функции f (x), который бесконечно дифференцируем при действительном или комплексном числе a, является степенным рядом

f (a) + f ′ (a) 1! (х — а) + е ″ (а) 2! (Икс — а) 2 + е ‴ (а) 3! (Икс — а) 3 + ⋯, { displaystyle f (a) + { frac {f ‘(a)} {1!}} (Xa) + { frac {f’ ‘(a)} {2! }} (xa) ^ {2} + { frac {f » ‘(a)} {3!}} (xa) ^ {3} + cdots,}

где n! обозначает факториал число n. В более компактной сигма-нотации это можно записать как

∑ n = 0 ∞ f (n) (a) n! (Икс — а) п, { Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} { гидроразрыва {е ^ {(п)} (а)} {п!}} (Ха) ^ {п},}

где f (a) обозначает n-ю производную функции f, вычисленную в точке a. (Производная нулевого порядка функции f определяет как сама f, а (x — a) и 0! оба как 1.)

Когда a = 0, ряд также называется рядом Маклорена.

Примеры

Ряд Тейлора для любого многочлена является самим многочленом.

Ряд Маклорена для 1/1 — x — это геометрический ряд

1 + x + x 2 + x 3 + ⋯, { displaystyle 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + cdots,}

поэтому ряд Тейлора для 1 / x при a = 1 равенстве

1 — (x — 1) + (x — 1) 2 — (x — 1) 3 + ⋯. { displaystyle 1- (x-1) + (x-1) ^ {2} — (x-1) ^ {3} + cdots.}

Интегрируя вышеуказанный ряд Маклорена, мы находим ряд Маклорена для ln ( 1 — x), где ln обозначает натуральный логарифм :

— x — 1 2 x 2 — 1 3 x 3 — 1 4 x 4 — ⋯. { displaystyle -x — { tfrac {1} {2}} x ^ {2} — { tfrac {1} {3}} x ^ {3} — { tfrac {1} {4}} x ^ {4} — cdots.}

Соответствующий ряд Тейлора для ln x при a = 1 равенстве

(x — 1) — 1 2 (x — 1) 2 + 1 3 (x — 1) 3 — 1 4 (х — 1) 4 + ⋯, { displaystyle (x-1) — { tfrac {1} {2}} (x-1) ^ {2} + { tfrac {1} {3}} ( x-1) ^ {3} — { tfrac {1} {4}} (x-1) ^ {4} + cdots,}

и, в более общем смысле, соответствующий ряд Тейлора для ln x в произвольная ненулевая точка a равна:

ln ⁡ a + 1 a (x — a) — 1 a 2 (x — a) 2 2 + ⋯. { displaystyle ln a + { frac {1} {a}} (xa) — { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { left (xa right) ^ {2} } {2}} + cdots.}

Ряд Тейлора для экспоненциальной функции e при a = 0 равен

∑ n = 0 ∞ xnn! = х 0 0! + х 1 1! + х 2 2! + х 3 3! + х 4 4! + х 5 5! + ⋯ знак равно 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24 + x 5120 + ⋯. { displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = { frac {x ^ {0}} { 0!}} + { Frac {x ^ {1}} {1!}} + { Frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3! }} + { frac {x ^ {4}} {4!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} + cdots \ = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} + { frac {x ^ {4}} {24}} + { frac {x ^ {5}} {120}} + cdots. End {align}}}

Вышеупомянутое расширение верно, потому что производная e по x также равна e, а e равно 1. Это оставляет (x — 0) в числитель и п! в знаменателе для каждого члена в бесконечной сумме.

История

Греческий философ Зенон рассматривал проблему суммирования бесконечного ряда для достижения конечного результата, но отвергал ее как невозможную; Результатом стал парадокс Зенона. Позже Аристотель показал философское разрешение парадокса, но математическое содержание, по-видимому, оставалось неразрешенным, пока его не подхватил Архимед, как это было до Аристотеля досократическим атомистом Демокрит. Именно с помощью архимедова метода исчерпания можно было выполнить бесконечное количество последовательных последовений для конечного результата. Лю Хуэй независимо использовал аналогичный метод несколько столетий спустя.

В 14 самые ранние примеры использования рядов Тейлора и близких к ним методов были даны Мадхавой из Сангамаграмы. Хотя записи о его работе не сохранились, работы более поздних индийских математиков предполагают, что он обнаружил ряд частных случаев ряда Тейлора, в числе для тригонометрических функций от синуса., косинус, тангенс и арктангенс. Керальская школа астрономии и математики дополнительно расширила его работы с помощью различных расширений рядов и рациональных приближений до 16 века.

В 17 веке Джеймс Грегори также работал в этой области и опубликовал несколько серий Маклорена. Однако только в 1715 году общий метод построения этих рядов для всех функций, которые они существуют, был наконец предоставлен Бруком Тейлором, в честь которого теперь назван ряд.

Серия Maclaurin была названа в честь Колина Маклорена, который опубликовал частный случай результата Тейлора в 18 веке.

Аналитические функции

Функция не является аналитической при x = 0: ряд Тейлора идентично 0, хотя функция не является.

Если f (x) равно заданный сходящимся степенным прямым прямым прямым расстоянием в точке b на комплексной плоскости, он называется аналитическим в круге. Таким образом, для x в этом круге f задается сходящимся степенным рядом

f (x) = ∑ n = 0 ∞ a n (x — b) n. { displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (xb) ^ {n}.}

Дифференцируя приведенную выше формулу по xn раз, затем установить x = b дает:

f (n) (b) n! = a n { displaystyle { frac {f ^ {(n)} (b)} {n!}} = a_ {n}}

, и поэтому разложение в степенной ряд согласуется с рядом Тейлора. Таким образом, функция является аналитической в ​​открытом положении с центром в точке b тогда и только тогда, когда ее ряд Тейлора сходится к значению функции в каждой точке диска.

Если f (x) равен своему ряду Тейлора для всех x в комплексной плоскости, он называется целым. Полиномы, экспоненциальная функция e и тригонометрические функции синус и косинус, являются примерами целых функций. Примеры неполных функций включают квадратный корень , логарифм , тангенс тригонометрической функции , и обратный ему арктангенс. Для этих функций ряды Тейлора не сходятся, если x далеко от b. То есть Тейлора расходится на в точке x, если расстояние между x и b больше, чем радиус сходимости. Ряд Тейлора можно использовать для вычислений значения функций в каждой точке, если значение функции и всех ее производных известно в одной точке.

Использование ряда Тейлора для аналитических функций включает:

1. Частные суммы (полиномы Тейлора ) ряд как приближения функции. Эти аппроксимации хороши.
2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов может работать построчно, и поэтому это особенно легко.
3. Аналитическая функция однозначно продолжается до голоморфной функции на открытом диске в комплексной плоскости. Это делает доступным механизмом комплексного анализа.
4. (Усеченный) ряд программных вычислений для выполнения определенных вычислений функций (часто путем преобразования полинома в форму Чебышева и вычисляя его с помощью алгоритма Кленшоу ).
5. Алгебраические операции могут быть легко выполнены с представлением степенного ряда; например, формула Эйлера следует из разложений в ряд Тейлора для тригонометрических и экспоненциальных функций. Этот результат имеет фундаментальное значение в таких областях, как гармонический анализ.
6. Аппроксимации с использованием первых нескольких функций.

Ошибка аппроксимации и сходимость

Синусоидальная функция (синий) близко аппроксимируется своим многочленом Тейлора степени 7 (розовый) для полного периода с большой степенью 7 (розовый) для полного периода сходимостиМногочлены Тейлора для ln (1 + x) обеспечивают только точные приближения В диапазоне −1 < x ≤ 1. For x>1, м Нагчлены Тейлора более высокой степени худшие приближения. Приближения Тейлора для ln (1 + x) (черный). Для x>1 приближения расходятся.

На рисунке справа показано точное приближение sin x вокруг точки x = 0. Розовая кривая представляет собой полином седьмой степени:

sin ⁡ (x) ≈ x — х 3 3! + х 5 5! — х 7 7!. { displaystyle sin left (x right) приблизительно x — { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} — { гидроразрыв {x ^ {7}} {7!}}. !}

Ошибка в этом приближении не более | х | / 9!. В частности, для -1 < x < 1, the error is less than 0.000003.

Напротив, также показано изображение функций натурального логарифма ln (1 + x) и некоторых из ее многочленов Тейлора около a = 0. Эти приближения сходятся с функциями только в области — 1 < x ≤ 1; outside of this region the higher-degree Taylor polynomials are worse approximations for the function.

Ошибка, возникающая при аппроксимации функции ее полиномом Тейлора n-й степени, называется остатком или остатком и обозначается функцией R n (x). Теорема Тейлора может Номинация для оценки размера остатка.

В общем, ряды Тейлора не обязательно должны быть сходящимися. И фактически набор функций со сходящимся рядом Тейлора представляет собой скудное множество в дизай Фреше гладких функций. И даже если ряд Тейлора функции f действительно сходится, его предел не обязательно должен быть равен значению функции f (x). Например функция,

f (x) = {e — 1 x 2, if x ≠ 0 0, if x = 0 { displaystyle f (x) = { begin {cases} e ^ {- { frac { 1} {x ^ {2}}}} { text {if}} x neq 0 \ 0 { text {if}} x = 0 end {cases}}}

равно бесконечно дифференцируема в точке x = 0 и имеет там все производные нулю. Следовательно, Тейлора функции f (x) относительно x = 0 тождественно равен нулю. Однако вокруг f (x) не является нулевой функцией, поэтому не равна ее ряду Тейлора начала координат. Таким образом, f (x) является примером неаналитической гладкой функции.

В анализа этот пример показывает, что существуют бесконечно дифференцируемые функции f (x), ряд Тейлора не равен f (x), даже если они сходятся. Напротив, голоморфные функции, изучаемые в комплексном анализе, всегда обладают сходящимся рядом Тейлора, и даже ряд Тейлора мероморфных функций, которые могут иметь особенности, никогда не сходятся к значению, отличному от самой функции. Однако комплексная функция не приближается к 0, когда z приближается к 0 вдоль мнимой оси, поэтому она не непрерывна в комплексной плоскости, и ее ряд Тейлора не определен в 0.

В более общем В смысле, каждая последовательность действительных или комплексных чисел может появиться как коэффициенты в ряду Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, определенной на вещественной прямой, как следствие леммы Бореля. В результате радиус сходимости ряда Тейлора может быть равенством нулю. Существуют даже бесконечно дифференцируемые функции, функции на вещественной прямой, чьи ряды Тейлора везде имеют радиус сходимости 0.

Функцию нельзя записать в виде ряда Тейлора с центром в сингулярности ; в этих случаях все же можно разложить в ряд, если допустить также отрицательные переменные x; см. серию Лоран. Например, f (x) = e можно записать в виде ряда Лорана.

Обобщение

Однако существует обобщение ряда Тейлора, которое сходится к значению самой функции для любой ограниченной непрерывной функции на (0, ∞), используя исчисление конечных разностей. В частности, имеется следующая теорема, благодаря Эйнару Хилле, что для любого t>0

lim h → 0 + ∑ n = 0 ∞ t n n! Δ h n f (a) h n = f (a + t). { displaystyle lim _ {h to 0 ^ {+}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n!}} { frac { Delta _ {h} ^ {n} f (a)} {h ^ {n}}} = f (a + t).}

Здесь Δ. h- n-й оператор конечных разностей с шагом h. Этот ряд в точности совпадает с рядом Тейлора, за исключением того, что вместо дифференцирования появляются отдельные различия: ряд формально аналогичен ряду серии Ньютона. Эта функция является аналитической в ​​составе ряда сходятся к ряду Тейлора и в этом смысле обобщают ряд Тейлора.

В общем, для любой бесконечной следовать a i выполняется следующее тождество степенного ряда:

∑ n = 0 ∞ u n n! Δ N а я знак равно е — и ∑ J знак равно 0 ∞ U J J! а я + j. { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {u ^ {n}} {n!}} Delta ^ {n} a_ {i} = e ^ {- u} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {u ^ {j}} {j!}} a_ {i + j}.}

Так, в частности,

f (a + t) = lim h → 0 + е — й ∑ j знак равно 0 ∞ f (a + jh) (th) jj!. { displaystyle f (a + t) = lim _ {h to 0 ^ {+}} e ^ {- { frac {t} {h}}} sum _ {j = 0} ^ { infty } f (a + jh) { frac { left ({ frac {t} {h}} right) ^ {j}} {j!}}.}

Ряд справа — это математическое ожидание для f (a + X), где X — распределенная по Пуассону случайная величина, которая принимает значение jh с вероятностью e · (t / h) / j!. Следовательно,

f (a + t) = lim h → 0 + ∫ — ∞ ∞ f (a + x) d P t h, h (x). { displaystyle f (a + t) = lim _ {h to 0 ^ {+}} int _ {- infty} ^ { infty} f (a + x) dP _ {{ frac {t } {h}}, h} (x).}

закон больших чисел подразумевает, что тождество выполнено.

Список серий Маклорена некоторых общих функций

Далее следуют несколько важных расширений серии Маклорена. Все эти разложения действительны для сложных аргументов x.

Экспоненциальная функция

Экспоненциальная функция e (синим цветом) и сумма первых n + 1 элементов Тейлора в 0 (красным).

экспоненциальная функция ex { displaystyle e ^ {x}}(с основанием e ) имеет ряд Маклорена

ex = ∑ п = 0 ∞ xnn! Знак равно 1 + х + х 2 2! + х 3 3! + ⋯ { displaystyle e ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + Cdots}.

Он сходится для всех x.

Натуральный логарифм

натуральный логарифм (с основанием e ) имеет ряд Маклорена

ln ⁡ (1 — x) = — ∑ n Знак равно 1 ∞ xnn = — x — x 2 2 — x 3 3 — ⋯, ln ⁡ (1 + x) = ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 xnn = x — x 2 2 + x 3 3 — ⋯. { displaystyle { begin {align} ln (1-x) = — sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n}} = — x- { frac {x ^ {2}} {2}} — { frac {x ^ {3}} {3}} — cdots, \ ln (1 + x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} { frac {x ^ {n}} {n}} = x — { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} — cdots. end {align}}}

Они сходятся для | х | < 1 {displaystyle |x|<1}. (Кроме того, ряд для ln (1 — x) сходится при x = −1, ряд для ln (1 + x) сходится при x = 1.)

Геометрический ряд

Геометрический ряд и его производные имеют ряд Маклорена

1 1 — x = ∑ n = 0 ∞ xn 1 (1 — x) 2 = ∑ n = 1 ∞ nxn — 1 1 (1 — Икс) 3 знак равно ∑ N знак равно 2 ∞ (N — 1) N 2 Иксn — 2. { displaystyle { begin {align} { frac {1} {1-x}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} x ^ {n} \ { frac {1} {(1-x) ^ {2}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} nx ^ {n- 1} \ { frac {1} {(1-x) ^ {3}}} = sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {(n-1) n} {2 }} х ^ {п-2}. end {align}}}

Все сходятся для | х | < 1 {displaystyle |x|<1}. Это частные случаи биномиального ряда, приведенного в следующем разделе.

Биномиальный ряд

биномиальный ряд — это степенной ряд

(1 + x) α = ∑ n = 0 ∞ (α n) xn { displaystyle ( 1 + x) ^ { alpha} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom { alpha} {n}} x ^ {n}}

, коэффициенты которого являются обобщенными биномиальные коэффициенты

(α n) = ∏ k = 1 n α — k + 1 k = α (α — 1) ⋯ (α — n + 1) n!. { displaystyle { binom { alpha} {n}} = prod _ {k = 1} ^ {n} { frac { alpha -k + 1} {k}} = { frac { alpha ( alpha -1) cdots ( alpha -n + 1)} {n!}}.}

(Если n = 0, этот продукт является пустым продуктом и имеет значение 1.) сходится для | х | < 1 {displaystyle |x|<1}для любого действительного или комплексного числа α.

Когда α = −1, это, по сути, бесконечный геометрический ряд, упомянутый в предыдущем разделе. Частные случаи α = 1/2 и α = −1/2 дают функцию квадратного корня и ее обратную функцию :

(1 + x) 1 2 = 1 + 1 2 x — 1 8 x 2 + 1 16 x 3 — 5 128 x 4 + 7 256 x 5 -…, (1 + x) — 1 2 = 1 — 1 2 x + 3 8 x 2 — 5 16 x 3 + 35 128 x 4 — 63 256 х 5 +…. { displaystyle { begin {align} (1 + x) ^ { frac {1} {2}} = 1 + { tfrac {1} {2}} x — { tfrac {1} {8} } x ^ {2} + { tfrac {1} {16}} x ^ {3} — { tfrac {5} {128}} x ^ {4} + { tfrac {7} {256}} x ^ {5} — ldots, \ (1 + x) ^ {- { frac {1} {2}}} = 1 — { tfrac {1} {2}} x + { tfrac {3 } {8}} x ^ {2} — { tfrac {5} {16}} x ^ {3} + { tfrac {35} {128}} x ^ {4} — { tfrac {63} { 256}} x ^ {5} + ldots. end {align}}}

Когда сохраняется только линейный член, это упрощается до биномиального приближения.

Тригонометрические функции

Обычные тригонометрические функции и обратные к ним имеют следующий ряд Маклорена:

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ (- 1) n (2 n + 1)! Икс 2 N + 1 знак равно Икс — Икс 3 3! + х 5 5! — для всех x cos ⁡ x знак равно ∑ n знак равно 0 ∞ (- 1) n (2 n)! Икс 2 N знак равно 1 — Икс 2 2! + х 4 4! — ⋯ для всех x загар ⁡ x знак равно ∑ n = 1 ∞ B 2 n (- 4) n (1 — 4 n) (2 n)! x 2 n — 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ для | х | < π 2 sec ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1) n E 2 n ( 2 n) ! x 2 n = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + ⋯ for | x | < π 2 arcsin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n) ! 4 n ( n !) 2 ( 2 n + 1) x 2 n + 1 = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ for | x | ≤ 1 arccos ⁡ x = π 2 − arcsin ⁡ x = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n) ! 4 n ( n !) 2 ( 2 n + 1) x 2 n + 1 = π 2 − x − x 3 6 − 3 x 5 40 − ⋯ for | x | ≤ 1 arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ for | x | ≤ 1, x ≠ ± i {displaystyle {begin{aligned}sin x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots {text{for all }}x\[6pt]cos x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots {text{for all }}x\[6pt]tan x=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}left(1-4^{n}right)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+cdots {text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]sec x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=1+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}+cdots {text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]arcsin x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=x+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}+cdots {text{for }}|x|leq 1\[6pt]arccos x={frac {pi }{2}}-arcsin x\={frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}={frac {pi }{2}}-x-{frac {x^{3}}{6}}-{frac {3x^{5}}{40}}-cdots {text{for }}|x|leq 1\[6pt]arctan x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots {text{for }}|x|leq 1, xneq pm iend{aligned}}}

Все углы выражены в радианах. Числа B k, появляющиеся в разложениях tan x, являются числами Бернулли. E k в разложении sec x — это числа Эйлера.

гиперболические функции

гиперболические функции имеют ряды Маклорена, тесно связанные с рядами для соответствующие тригонометрические функции:

sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 (2 n + 1)! знак равно х + х 3 3! + х 5 5! + ⋯ для всех x cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n (2 n)! Знак равно 1 + х 2 2! + х 4 4! + ⋯ для всех x tanh x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n (4 n — 1) (2 n)! x 2 n — 1 = x — x 3 3 + 2 x 5 15 — 17 x 7 315 ​​+ ⋯ для | х | < π 2 arsinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1) n ( 2 n) ! 4 n ( n !) 2 ( 2 n + 1) x 2 n + 1 for | x | ≤ 1 artanh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 for | x | ≤ 1, x ≠ ± 1 {displaystyle {begin{aligned}sinh x=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots {text{for all }}x\[6pt]cosh x=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots {text{for all }}x\[6pt]tanh x=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}4^{n}left(4^{n}-1right)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots {text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]operatorname {arsinh} x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{text{for }}|x|leq 1\[6pt]operatorname {artanh} x=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{text{for }}|x|leq 1, xneq pm 1end{aligned}}}

Числа B k, появляющиеся в ряду для tanh x, являются числами Бернулли.

Расчет ряда Тейлора

Существует несколько методов вычисления ряда Тейлора для большое количество функций. Можно попытаться использовать определение ряда Тейлора, хотя это часто требует обобщения формы коэффициентов в соответствии с очевидной закономерностью. В качестве альтернативы можно использовать такие манипуляции, как подстановка, умножение или деление, сложение или вычитание стандартных рядов Тейлора, чтобы построить ряд Тейлора функции, поскольку ряд Тейлора является степенным рядом. В некоторых случаях можно также получить ряд Тейлора, многократно применяя интегрирование по частям. Особенно удобно использовать системы компьютерной алгебры для вычисления рядов Тейлора.

Первый пример

Для вычисления полинома Маклорена 7-й степени для функции

f (x) = ln ⁡ (cos ⁡ x), x ∈ (- π 2, π 2) { displaystyle f (x) = ln ( cos x), quad x in left (- { frac { pi} {2}}, { frac { pi} {2}} right)},

сначала можно переписать функцию как

f (x) = ln ⁡ (1 + (cos ⁡ x — 1)) { displaystyle f (x) = ln { bigl (} 1 + ( cos x-1) { bigr)} !}.

Ряд Тейлора для натурального логарифма (с использованием нотации большого O )

ln ⁡ (1 + x) = x — Икс 2 2 + Икс 3 3 + О (Икс 4) { Displaystyle ln (1 + х) = х — { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3} } {3}} + {O} left (x ^ {4} right) !}

и для функции косинуса

cos ⁡ x — 1 = — x 2 2 + x 4 24 — x 6 720 + О (x { displaystyle cos x-1 = — { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} — { frac {x ^ {6}} {720}} + {O} left (x ^ {8} right) !}.

В последнем разложении ряда есть нулевой постоянный член, который позволяет заменить вторую серию на первую и легко опустить члены более высокого порядка r, чем 7-я степень, используя большую нотацию O:

f (x) = ln ⁡ (1 + (cos ⁡ x — 1)) = (cos ⁡ x — 1) — 1 2 (cos ⁡ x — 1) 2 + 1 3 (cos ⁡ x — 1) 3 + O ((cos ⁡ x — 1) 4) = (- x 2 2 + x 4 24 — x 6 720 + O (x 8)) — 1 2 ( — x 2 2 + x 4 24 + O (x 6)) 2 + 1 3 (- x 2 2 + O (x 4)) 3 + O (x = — x 2 2 + x 4 24 — x 6 720 — x 4 8 + x 6 48 — x 6 24 + O (x = — x 2 2 — x 4 12 — x 6 45 + O (x 8). { Displaystyle { begin {align} е (х) = ln { bigl (} 1 + ( соз х-1) { bigr)} \ = ( соз х-1) — { tfrac {1} {2}} ( cos x-1) ^ {2} + { tfrac {1} {3}} ( cos x-1) ^ {3} + {O} left (( cos x-1) ^ {4} right) \ = left (- { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} — { frac {x ^ {6}} {720}} + {O} left (x ^ {8} right) right) — { frac {1} {2}} left (- { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} + {O} left (x ^ {6} right) right) ^ {2} + { frac {1} {3}} left (- { frac {x ^ {2}} {2}} + O left (x ^ {4} right) right) ^ {3} + {O } left (x ^ {8} right) \ = — { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} — { frac {x ^ {6}} {720}} — { frac {x ^ {4}} {8}} + { frac {x ^ {6}} {48}} — { frac {x ^ {6 }} {24}} + O left (x ^ {8} right) \ = — { frac {x ^ {2}} {2}} — { frac {x ^ {4}} { 12}} — { frac {x ^ {6}} {45}} + O left (x ^ {8} right). End {align}} !}

Поскольку косинус равен четная функция, коэффициенты для всех нечетных степеней x, x, x, x,… должны быть равны нулю.

Второй пример

Предположим, нам нужен ряд Тейлора в 0 функции

g (x) = e x cos ⁡ x. { displaystyle g (x) = { frac {e ^ {x}} { cos x}}. !}

У нас есть экспоненциальная функция

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n! Знак равно 1 + х + х 2 2! + х 3 3! + х 4 4! + ⋯ { displaystyle e ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ { 2}} {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} + Cdots !}

и, как и в первом примере,

cos ⁡ x = 1 — x 2 2! + х 4 4! — ⋯ { displaystyle cos x = 1 — { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} — cdots !}

Предположим, что степенной ряд равен

ex cos ⁡ x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ { displaystyle { frac {e ^ {x}} { cos x} } = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + cdots !}

Затем умножение на знаменатель и замена Ряд косинуса дает

ex = (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯) cos ⁡ x = (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + с 4 Икс 4 + ⋯) (1 — Икс 2 2! + Икс 4 4! -) знак равно с 0 — с 0 2 Икс 2 + с 0 4! Икс 4 + С 1 Икс — С 1 2 Икс 3 + С 1 4! х 5 + с 2 х 2 — с 2 2 х 4 + с 2 4! х 6 + с 3 х 3 — с 3 2 х 5 + с 3 4! x 7 + c 4 x 4 + ⋯ { displaystyle { begin {align} e ^ {x} = left (c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + cdots right) cos x \ = left (c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} + cdots right) left (1 — { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {4}) } {4!}} — cdots right) \ = c_ {0} — { frac {c_ {0}} {2}} x ^ {2} + { frac {c_ {0}} { 4!}} X ^ {4} + c_ {1} x — { frac {c_ {1}} {2}} x ^ {3} + { frac {c_ {1}} {4!}} X ^ {5} + c_ {2} x ^ {2} — { frac {c_ {2}} {2}} x ^ {4} + { frac {c_ {2}} {4!}} X ^ {6} + c_ {3} x ^ {3} — { frac {c_ {3}} {2}} x ^ {5} + { frac {c_ {3}} {4!}} X ^ { 7} + c_ {4} x ^ {4} + cdots end {align}} !}

Сбор членов до четвертого порядка дает

ex = c 0 + c 1 x + (c 2 — c 0 2) x 2 + (c 3 — c 1 2) x 3 + (c 4 — c 2 2 + c 0 4!) X 4 + ⋯ { displaystyle e ^ {x} = c_ {0} + c_ {1} x + left (c_ {2} — { frac {c_ {0}} {2}} right) x ^ {2} + left (c_ {3} — { frac {c_ {1 }} {2}} right) x ^ { 3} + left (c_ {4} — { frac {c_ {2}} {2}} + { frac {c_ {0}} {4!}) } right) x ^ {4} + cdots !}

Значения ci { displaystyle c_ {i}}можно найти путем сравнения коэффициентов с верхним выражением для e x { displaystyle e ^ {x}}, получаем:

e x cos ⁡ x = 1 + x + x 2 + 2 x 3 3 + x 4 2 + ⋯. { displaystyle { frac {e ^ {x}} { cos x}} = 1 + x + x ^ {2} + { frac {2x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {4}} {2}} + cdots. !}

Третий пример

Здесь мы используем метод, называемый «косвенное расширение», чтобы раскрыть данную функцию. В этом методе используется известное разложение Тейлора экспоненциальной функции. Чтобы разложить (1 + x) e как ряд Тейлора по x, мы используем известный ряд Тейлора функции e:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n! Знак равно 1 + х + х 2 2! + х 3 3! + х 4 4! + ⋯. { displaystyle e ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2} } {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} + Cdots.}

Таким образом,

(1 + x) ex = ex + xex = ∑ n = 0 ∞ xnn! + ∑ N знак равно 0 ∞ Икс N + 1 N! Знак равно 1 + ∑ N знак равно 1 ∞ Икс N N! + ∑ N знак равно 0 ∞ Икс N + 1 N! Знак равно 1 + ∑ N знак равно 1 ∞ Икс N N! + ∑ N знак равно 1 ∞ Икс N (N — 1)! Знак равно 1 + ∑ N знак равно 1 ∞ (1 N! + 1 (N — 1)!) Икс N знак равно 1 + ∑ N знак равно 1 ∞ N + 1 N! Икс N знак равно ∑ N знак равно 0 ∞ N + 1 N! х п. { displaystyle { begin {align} (1 + x) e ^ {x} = e ^ {x} + xe ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { x ^ {n}} {n!}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n + 1}} {n!}} = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} + Sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n + 1}} { n!}} \ = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {(n-1)!}} = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n!} } + { frac {1} {(n-1)!}} right) x ^ {n} \ = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n + 1} {n!}} X ^ {n} \ = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {n + 1} {n!}} X ^ {n}. End {выровнены}}}

Определения ряда Тейлора

Классически алгебраические функции определяются алгебраическим уравнением, а трансцендентные функции (включая те, которые обсуждались выше) определяются некоторым свойством, которое выполняется для них, например, дифференциальным уравнением . Например, экспоненциальная функция — это функция, которая везде равна своей производной и принимает значение 1 в начале координат. Однако с равным успехом можно определить аналитическую функцию с помощью ее ряда Тейлора.

Ряды Тейлора используются для определения функций и «операторов » в различных областях математики. В частности, это верно в тех областях, где классические определения функций не работают. Например, используя ряд Тейлора, можно расширить аналитические функции до наборов матриц и операторов, таких как экспоненциальная матрица или матричный логарифм.

. В других областях, таких как формальный анализ, это удобнее работать непосредственно с самими сериями power series. Таким образом, можно определить решение дифференциального уравнения как степенной ряд, который, как мы надеемся доказать, является рядом Тейлора искомого решения.

Ряд Тейлора от нескольких переменных

Ряд Тейлора также может быть обобщен на функции более чем одной переменной с

T (x 1,…, xd) = ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ nd знак равно 0 ∞ (x 1 — a 1) N 1 ⋯ (xd — ad) ndn 1! ⋯ н д! (∂ n 1 + ⋯ + ndf ∂ x 1 n 1 ⋯ ∂ xdnd) (a 1,…, ad) = f (a 1,…, ad) + ∑ j = 1 d ∂ f (a 1,…, ad) ∂ xj (xj — aj) + 1 2! ∑ j знак равно 1 d ∑ k знак равно 1 d ∂ 2 е (a 1,…, a d) ∂ x j ∂ x k (x j — a j) (x k — a k) + 1 3! ∑ j = 1 d ∑ k = 1 d ∑ l = 1 d ∂ 3 f (a 1,…, ad) ∂ xj ∂ xk ∂ xl (xj — aj) (xk — ak) (xl — al) + ⋯ { Displaystyle { begin {align} T (x_ {1}, ldots, x_ {d}) = sum _ {n_ {1} = 0} ^ { infty} cdots sum _ {n_ {d } = 0} ^ { infty} { frac {(x_ {1} -a_ {1}) ^ {n_ {1}} cdots (x_ {d} -a_ {d}) ^ {n_ {d} }} {n_ {1}! cdots n_ {d}!}} , left ({ frac { partial ^ {n_ {1} + cdots + n_ {d}} f} { partial x_ { 1} ^ {n_ {1}} cdots partial x_ {d} ^ {n_ {d}}}} right) (a_ {1}, ldots, a_ {d}) \ = f (a_ {1}, ldots, a_ {d}) + sum _ {j = 1} ^ {d} { frac { partial f (a_ {1}, ldots, a_ {d})} { partial x_ {j}}} (x_ {j} -a_ {j}) + { frac {1} {2!}} sum _ {j = 1} ^ {d} sum _ {k = 1} ^ {d} { frac { partial ^ {2} f (a_ {1}, ldots, a_ {d})} { partial x_ {j} partial x_ {k}}} (x_ {j} — a_ {j}) (x_ {k} -a_ {k}) \ qquad qquad + { frac {1} {3!}} sum _ {j = 1} ^ {d} sum _ {k = 1} ^ {d} sum _ {l = 1} ^ {d} { frac { partial ^ {3} f (a_ {1}, ldots, a_ {d})} { partial x_ {j} partial x_ {k} partial x_ {l}}} (x_ {j} -a_ {j}) (x_ {k} -a_ {k}) (x_ {l} -a_ {l})) + cdots end {align}}}

Например, для функции f (x, y) { displaystyle f (x, y)}, который зависит от двух переменных, x и y, ряд Тейлора второго порядка относительно точки (a, b) равен

f (a, b) + (x — a) fx ( а, б) + (у — б) fy (а, б) + 1 2! ((Икс — a) 2 fxx (a, b) + 2 (x — a) (y — b) fxy (a, b) + (y — b) 2 fyy (a, b)) { displaystyle f ( a, b) + (xa) f_ {x} (a, b) + (yb) f_ {y} (a, b) + { frac {1} {2!}} { Big (} (xa) ^ {2} f_ {xx} (a, b) +2 (xa) (yb) f_ {xy} (a, b) + (yb) ^ {2} f_ {yy} (a, b) { Big)}}

где нижние индексы обозначают соответствующие частные производные.

Разложение в ряд Тейлора второго порядка скалярной функции более чем одной переменной можно компактно записать как

T (x) знак равно е (а) + (х — а) TD е (а) + 1 2! (Икс — а) T {D 2 е (а)} (Икс — а) + ⋯, { Displaystyle Т ( mathbf {x}) = F ( mathbf {a}) + ( mathbf {x} — mathbf {a}) ^ { mathsf {T}} Df ( mathbf {a}) + { frac {1} {2!}} ( mathbf {x} — mathbf {a}) ^ { mathsf {T}} left {D ^ {2} f ( mathbf {a}) right } ( mathbf {x} — mathbf {a}) + cdots,}

где D f (a) is the gradient of f evaluated at x= aand D f (a) is the Hessian matrix. Applying the multi-index notation the Taylor series for several variables becomes

T ( x) = ∑ | α | ≥ 0 ( x − a) α α ! ( ∂ α f) ( a), {displaystyle T(mathbf {x})=sum _{|alpha |geq 0}{frac {(mathbf {x} -mathbf {a})^{alpha }}{alpha !}}left({mathrm {partial } ^{alpha }}fright)(mathbf {a}),}

which is to be understood as a still more abbreviated multi-index version of the first equation of this paragraph, with a full analogy to the single variable case.

Example

Second-order Taylor series approximation (in orange) of a function f (x,y) = e ln(1 + y) around the origin.

In order to compute a second-order Taylor series expansion around point (a, b) = (0, 0) of the function

f ( x, y) = e x ln ⁡ ( 1 + y), {displaystyle f(x,y)=e^{x}ln(1+y),}

one first computes all the necessary partial derivatives:

f x = e x ln ⁡ ( 1 + y) f y = e x 1 + y f x x = e x ln ⁡ ( 1 + y) f y y = − e x ( 1 + y) 2 f x y = f y x = e x 1 + y. {displaystyle {begin{aligned}f_{x}=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{y}={frac {e^{x}}{1+y}}\[6pt]f_{xx}=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{yy}=-{frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\[6pt]f_{xy}=f_{yx}={frac {e^{x}}{1+y}}.end{aligned}}}

Evaluating these derivatives at the origin gives the Taylor coefficients

f x ( 0, 0) = 0 f y ( 0, 0) = 1 f x x ( 0, 0) = 0 f y y ( 0, 0) = − 1 f x y ( 0, 0) = f y x ( 0, 0) = 1. {displaystyle {begin{aligned}f_{x}(0,0)=0\f_{y}(0,0)=1\f_{xx}(0,0)=0\f_{yy}(0,0)=-1\f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)=1.end{aligned}}}

Substituting these values in to the general formula

T ( x, y) = f ( a, b) + ( x − a) f x ( a, b) + ( y − b) f y ( a, b) + 1 2 ! ( ( x − a) 2 f x x ( a, b) + 2 ( x − a) ( y − b) f x y ( a, b) + ( y − b) 2 f y y ( a, b)) + ⋯ {displaystyle T(x,y)=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{frac {1}{2!}}{Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){Big)}+cdots }

produces

T ( x, y) = 0 + 0 ( x − 0) + 1 ( y − 0) + 1 2 ( 0 ( x − 0) 2 + 2 ( x − 0) ( y − 0) + ( − 1) ( y − 0) 2) + ⋯ = y + x y − y 2 2 + ⋯ {displaystyle {begin{aligned}T(x,y)=0+0(x-0)+1(y-0)+{frac {1}{2}}{Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{Big)}+cdots \=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots end{aligned}}}

Since ln(1 + y) is analytic in |y| < 1, we have

e x ln ⁡ ( 1 + y) = y + x y − y 2 2 + ⋯, | y | < 1. {displaystyle e^{x}ln(1+y)=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots,qquad |y|<1.}

Comparison with Fourier series

The trigonometric Fourier series enables one to express a periodic function (or a function определенная на отрезке [a, b]) как бесконечная сумма тригонометрических функций (синусов и косинусов ). В этом смысле ряд Фурье аналогичен ряду Тейлора, поскольку последний позволяет выразить функцию в виде бесконечной суммы степеней. Тем не менее, эти две серии отличаются друг от друга в нескольких важных вопросах:

• Конечные усечения ряда Тейлора функции f (x) относительно точки x = a все в точности равны f в точке a. Напротив, ряд Фурье вычисляется путем интегрирования по всему интервалу, поэтому обычно нет такой точки, где бы все конечные усечения ряда были точными.
• Вычисление ряда Тейлора требует знания функции на произвольной малой окрестности точки, тогда как вычисление ряда Фурье требует знания функции во всей области интервала. В определенном смысле можно сказать, что ряд Тейлора является «локальным», а ряд Фурье — «глобальным».
• Ряд Тейлора определен для функции, которая имеет бесконечно много производных в одной точке, тогда как Ряд Фурье определяется для любой интегрируемой функции. В частности, функция не могла быть дифференцируемой. (Например, f (x) может быть функцией Вейерштрасса.)
• Сходимость обоих рядов имеет очень разные свойства. Даже если ряд Тейлора имеет положительный радиус сходимости, результирующий ряд может не совпадать с функцией; но если функция аналитическая, то ряд сходится поточечно к функции и равномерно на каждом компактном подмножестве интервала сходимости. Что касается ряда Фурье, если функция квадратная -интегрируемый, то ряд сходится в среднем квадратичном, но необходимы дополнительные требования для обеспечения точечной или равномерной сходимости (например, если периодическая функция класса C, то сходимость будет равномерной).
• Наконец, на практике аппроксимировать функцию конечным устройством, скажем, многочленом Тейлора или частичной суммой тригонометрической серии, соответственно, в случае ряда Тейлора ошибка очень мала в окрестности точки. к она может быть очень большой в удаленной точке. В случае ряда Фурье ошибка распределяется по области определения функции.

См. Также

• Асимптотическое разложение
• Производящая функция
• Ряд Мадхавы
• Интерполяция разделенных разностей Ньютона
• Аппроксимация Паде
• Серия Пюизо
• Оператор сдвига

Примечания

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графики и математическими таблицами, Нью-Йорк: Dover Publications, девятое издание
• Томас, Джордж Б., младший ; Финни, Росс Л. (1996), Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN 0-201-53174-7
• Гринберг, Майкл (1998), Высшая инженерная математика (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13-321431-1

Внешние ссылки

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик У. «Серия Тейлора». MathWorld.
• многочлен Тейлора — практическое введение
• Мадхава из Сангамаграммы
• «обсуждение метода Паркера-Сохацки «
• Другая визуализация Тейлора — где вы можете выбрать точку приближения и количество производных
• пересмотр Тейлора для численных методов в Численные методы для студентов STEM
• Золушка 2: расширение Тейлора
• Ряд Тейлора
• Обратные тригонометрические функции Ряд Тейлора
• «Суть исчисления: серия Тейлора» — через YouTube.

Наиболее простым
и достаточно эффективным способом
приближения функций является использование
формулы Тейлора для их разложения в
степенной ряд. Пусть задана непрерывная
функция

,
имеющая непрерывные производные до
порядка

включительно. Такую функцию можно
разложить в некоторой окрестности точки

по степеням

по формуле Тейлора:

,
(3.1)

где

– остаточный член (ошибка, погрешность),
связанный с заменой при вычислении

бесконечного степенного ряда первыми
его

членами.

Ошибку ограничения
можно оценить по формуле,
где

:

.

Формула Тейлора
не только дает возможность организовать
численный метод вычисления значений
функции

,
но и позволяет оценить величину ошибки
приближения, возникающей в результате
ограничения количества рассматриваемых
членов ряда. При ее использовании
требуется определить точку

,
в окрестностях которой будет производиться
разложение функции, при этом следует
руководствоваться соображениями
точности представления коэффициентов
ряда (3.1) и величиной используемого
интервала области определения, внутри
которого будут производиться вычисления.

Рассмотрим
разложение в ряд Тейлора функции

.
Найдем соответствующие производные и
в результате получим последовательность
функций:

,

,

,

,

,

,

,

,
… . Если положить

,
то последовательность функций
преобразуется в ряд чисел 1, 0, –1, 0, 1, 0,
–1, 0, …, тогда по формуле (3.1) мы имеем:

.

Оценим величину
ошибки приближения при рассмотрении
первых четырех членов ряда

и

,

,

поскольку

для любых

.

Из полученной
оценки погрешности видно, что ошибка
приближения зависит от

и если не изменить число членов ряда в
представлении функции

,
то для достаточно больших

значение погрешности может превысить
1.

3.1.2. Полиномы Чебышева

Формула Тейлора
при разложении функции в степенной ряд
дает сходимость, зависящую от значения

.
Возникает идея поиска такого многочлена

,
чтобы максимальная ошибка приближения
функции

была бы наименьшей. Данная задача была
решена великим русским математиком
П.Л.Чебышевым и получила название задачи
о наилучшем приближении.

Пусть задана
некоторая функция

,
которую на отрезке

требуется приблизить многочленом

таким образом, чтобы

,

т.е. подобрать
такие коэффициенты

,
чтобы максимальная величина модуля
разности между

и

была наименьшей для любых

.

Определение.
Полиномом Чебышева называется многочлен
вида

,
где

.

Заметим, что
полиномы Чебышева не являются
тригонометрическими функциями, однако
доказательство данного утверждения
приводить не будем. Используя известные
формулы тригонометрии, найдем первые
три многочлена:

,

,

.

Для вычисления
многочленов Чебышева практичнее
использовать следующее рекуррентное
соотношение:

.
(3.2)

Свойства
многочленов Чебышева:

1. Учитывая формулу
   (3.2), можно установить, что
   
   ,

   
   ,
   то есть коэффициент
   при старшей степени

   многочлена Чебышева равен
   
   .

2. Полиномы Чебышева

   

   образуют ортогональный базис (с весом

   
   )
   на множестве функций, непрерывных на
   отрезке
   
   ,
   и удовлетворяют следующим равенствам:

(3.3)

3. Многочлены
Чебышева доставляют минимум максимальной
ошибки приближения, то есть являются
многочленами наилучшего приближения
для класса функции, непрерывных на
отрезке

.
Докажем данный факт.

Чебышев показал,
что точная верхняя грань (supremum,
супремум) многочлена

среди всех многочленов

с коэффициентом 1 при старшей степени

на отрезке

наименьшая. Действительно,

,
откуда

,
тогда

,
причем экстремумы принимают попеременно
положительные и отрицательные значения
на отрезке [–1,1], так как

– гармоническая функция. Количество
экстремумов равно

.
Рассмотрим разность:

,
которая является многочленом степени

(поскольку члены

уничтожаются). Если экстремальное
значение

меньше, чем у

,
то в

экстремальных точках полинома

функция

принимает по очереди положительные и
отрицательные значения. Следовательно,

имеет

действительных
корней, чего не тожет быть, так как
степень многочлена равна

.
Тогда выполняется тождество

или

.

Последнее свойство
полиномов Чебышева представляет большой
интерес для численного анализа. Если
какая-либо ошибка приближения может
быть выражена многочленом Чебышева
степени

,
то любое другое выражение для ошибки в
виде многочлена степени

,
имеющего тот же самый коэффициент при
старшей степени

,
будет иметь на отрезке [–1,1] большую
максимальную ошибку, чем чебышевское.

Практика
использования полиномов Чебышева для
решения задачи приближения функции

заключается в следующем. Поскольку
система функций

образует базис, то на отрезке [–1,1] любую
функцию можно представить как линейную
комбинацию

,

:

.
(3.4)

Коэффициенты
разложения можно определить, используя
свойство ортогональности (3.3) полиномов
Чебышева. Для определения

почленно умножим левую и правую часть
выражения (3.4) на

и проинтегрируем:

.

Учитывая
ортогональность, имеем:

или

.

Аналогично можно
вычислить остальные коэффициенты
разложения (3.4):

,

.
(3.5)

Единственной
проблемой разложения функции

по полиномам Чебышева является вычисление
достаточно сложных интегралов вида
(3.5).

Соседние файлы в папке 3-й семестр

• #
• #

Степенные ряды в форме рядов Тейлора и Маклорена

Степенные ряды и, в частности, ряды Тейлора являются одним из видов функциональных рядов.

Степенной ряд в общем виде записывается как:

a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n+…=<msubsup>∑k=0∞</msubsup>ak(x−x0)ka_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ldots+a_n(x-x_0)^n+ldots=sumlimits_{k=0}^{infty} a_k(x-x_0)^k

где a0,a1,…,an,…a_0, a_1, ldots, a_n, ldots — постоянные, коэффициенты ряда,

x0x_0 – центр интервала сходимости ряда ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R,

RR – радиус сходимости, когда для частичных сумм Sn(x)S_n(x) существует предел, сумма ряда S(x)S(x):

Sn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n,<mspace width=»1em»/><munder>lim⁡n→∞</munder>Sn(x)=S(x)S_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ldots+a_n(x-x_0)^n, quad limlimits_{n to infty } S_n (x) = S (x)

Возьмем функцию действительной переменной f(x)f(x), которая является бесконечно дифференцируемой в точке x0x_0. Такую функцию можно разложить в степенной ряд следующего вида:

f(x)=f(x0)+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f′(x0)1!</mfrac></mstyle>(x−x0)+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f′′(x0)2!</mfrac></mstyle>(x−x0)2+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f(n)(x0)n!</mfrac></mstyle>(x−x0)n+…=<msubsup>∑k=0∞</msubsup><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f(k)(x0)k!</mfrac></mstyle>(x−x0)kf(x)=f(x_0)+dfrac{f{‘}(x_0)}{1!}(x-x_0) +dfrac{f{»}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд по степеням двучлена (x−x0)(x-x_0) называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0 полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f′(0)1!</mfrac></mstyle>x+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f′′(0)2!</mfrac></mstyle>(x−x0)2+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f(n)(x0)n!</mfrac></mstyle>(x−x0)n+…=<msubsup>∑k=0∞</msubsup><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f(k)(x0)k!</mfrac></mstyle>(x−x0)kf(x)=f(0)+dfrac{f{‘}( 0)}{1!} x +dfrac{f{»}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно записать в другом виде. Полагая:

x−x0=t,<mspace width=»1em»/>f(x)=f(x0+t)=g(t)x-x_0=t, quad f(x)=f(x_0+t)=g(t)

ряд Тейлора

f(x)=f(x0+t)=f(0)+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f′(x0)1!</mfrac></mstyle>t+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f′′(x0)2!</mfrac></mstyle>t2+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f(n)(x0)n!</mfrac></mstyle>tn+…=<msubsup>∑k=0∞</msubsup><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f(k)(x0)k!</mfrac></mstyle>tkf(x)=f(x_0+t)=f(0)+dfrac{f{‘}(x_ 0)}{1!} t +dfrac{f{»}(x_0)}{2!}t^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}t^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}t^k

сводится к ряду Маклорена:

g(t)=g(0)+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>g′(0)1!</mfrac></mstyle>t+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>g(n)(0)n!</mfrac></mstyle>tn+…=<msubsup>∑k=0∞</msubsup><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>g(k)(0)k!</mfrac></mstyle>tkg(t)=g(0)+dfrac{g{‘}( 0)}{1!}t +ldots+dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}t^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}t^k

Как и в случае произвольного степенного ряда, ряды Тейлора и Маклорена имеют интервал сходимости.

Пример

Разложим в ряд Тейлора функцию:

f(x)=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1x</mfrac></mstyle>f(x)=dfrac{1}{x}

в окрестности точки x0=1x_0=1.

С помощью замены:

x−x0=x−1=tx-x_0=x-1=t

функция сводится к виду:

f(x)=f(t+1)=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>11+t</mfrac></mstyle>f(x)=f(t+1)=dfrac {1}{1+t}

Полученное выражение при ∣t∣<1|t|<1 является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем (−t)(-t), и ряд записывается в виде:

<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>11+t</mfrac></mstyle>=1−t+t2−t3+…+(−1)ntn+…=<msubsup>∑k=0∞</msubsup>(−1)ktkdfrac {1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+ldots+(-1)^{n}t^{n}+ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} (-1)^{k}t^{k}

Возвращаясь к переменной xx, получаем разложение по степеням двучлена (x−1)(x-1):

<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1x</mfrac></mstyle>=1−(x−1)+(x−1)2−(x−1)3+…+(−1)n(x−1)n+…=<msubsup>∑k=0∞</msubsup>(−1)k(x−1)k,<mspace width=»1em»/>∣x−1∣<1dfrac {1}{x}=1-(x-1)+ (x-1)^2-(x-1)^3+ldots+(-1)^{n}(x-1)^{n}+ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} (-1)^{k}(x-1)^{k}, quad |x-1|<1

Формула Тейлора

Следствием разложения функции в степенной ряд является соответствующая формула Тейлора. Если функция f(x)f(x) имеет в точке x0x_0 производные до nn –го порядка включительно, то функцию f(x)f(x) можно представить с помощью формулы Тейлора:

f(x)=f(x0)+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f′(x0)1!</mfrac></mstyle>(x−x0)+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f(n)(x0)n!</mfrac></mstyle>(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)+dfrac{f{‘}(x_0)}{1!}(x-x_0) +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +R_n (x)

или

f(x)=<msubsup>∑k=0n</msubsup><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f(k)(x0)k!</mfrac></mstyle>(x−x0)k+Rn(x)f(x)= sumlimits_{k=0}^{n} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +R_n (x),

где функция Rn(x)R_n (x) называется остаточным членом.

Формы остаточного члена

Существует несколько форм для остаточного члена. В частности, если f(x)f(x) дифференцируема (n+1)(n+1) раз в окрестности x0x_0, то Rn(x)R_n (x) может быть представлена в форме Лагранжа:

Rn(x)=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>f(n+1)(ξ)(n+1)!</mfrac></mstyle>xn+1,<mspace width=»1em»/>x<ξ<x0R_n (x)=dfrac {f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!} x^{n+1}, quad x<xi<x_0 или x<ξ<x0x<xi<x_0.

Если функция f(x)f(x) дифференцируема (n−1)(n-1) раз в окрестности x0=0x_0=0, то Rn(x)R_n(x) может быть представлена в форме Пеано:

Rn(x)=o((x−x0)n)R_n(x)=o((x-x_0)^n).

Учитывая, что ряд Тейлора можно свести к ряду Маклорена, запишем формулу Тейлора для основных элементарных функций в окрестности x0=0x_0=0 и укажем соответствующие интервалы сходимости.

Показательная функция:

ex=1+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x1!</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x22!</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x33!</mfrac></mstyle>+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>xnn!</mfrac></mstyle>+o(xn),<mspace width=»1em»/>∣x∣<∞e^x=1+dfrac{x}{1!} +dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!}+ldots+dfrac{x^n}{n!}+o(x^n),quad |x|<infty

Тригонометрические функции:

sin⁡x=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x1!</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x33!</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x55!</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x77!</mfrac></mstyle>+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(−1)n+1x2n−1(2n−1)!</mfrac></mstyle>+o(x2n),<mspace width=»1em»/>∣x∣<∞sin x=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^3}{3!} +dfrac{x^5}{5!} -dfrac{x^7}{7!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+ o(x^{2n}),quad |x|<infty

cos⁡x=1−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x22!</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x44!</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x66!</mfrac></mstyle>+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(−1)n+1x2n(2n)!</mfrac></mstyle>+o(x2n+1),<mspace width=»1em»/>∣x∣<∞cos x=1 -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^4}{4!} -dfrac{x^6}{6!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+ o(x^{2n+1}),quad |x|<infty

arctg⁡x=x−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x33</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x55</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x77</mfrac></mstyle>+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(−1)nx2n+12n+1</mfrac></mstyle>+o(x2n+2),<mspace width=»1em»/>∣x∣≤1arctg x=x-dfrac{x^3}{3} +dfrac{x^5}{5} -dfrac{x^7}{7} +ldots+dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+ o(x^{2n+2}),quad |x|le{1}

Логарифмическая функция:

ln⁡(1+x)=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x1!</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x22!</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>x33!</mfrac></mstyle>−…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(−1)n+1xnn!</mfrac></mstyle>+o(xn),<mspace width=»1em»/>x∈(−1;1]ln (1+x)=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!} -ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}+ o(x^n),quad xin (-1;1]

Степенная функция:

(1+x)α=1+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>α1!</mfrac></mstyle>x+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>α(α−1)2!</mfrac></mstyle>x2+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>α(α−1)(α−2)3!</mfrac></mstyle>x3+…+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>α(α−1)…(α−n+1)n!</mfrac></mstyle>xn+o(xn)(1+x)^alpha=1+dfrac{alpha }{1!}x+dfrac{alpha (alpha -1)}{2!}x^2 +dfrac{alpha (alpha -1)( alpha -2)}{3!} x^3 +ldots+dfrac{alpha (alpha -1) ldots ( alpha-n+1)} {n!} {x^n}+ o(x^n)

Пример 1

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

f(x)=(x+1)ln⁡(x2+2x+2)f(x)=(x+1)ln (x^2+2x+2)

в окрестности точки x0=−1x_0=-1 с точностью до o((x+1)7)o((x+1)^7).

Выполнив замену переменной

x−x0=x+1=tx-x_0=x+1=t

получаем:

g(t)=tln⁡(1+t2)g(t)=tln(1+t^2)

Используя разложение логарифмической функции, получаем:

g(t)=t(<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>t21!</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(t2)22!</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(t2)33!</mfrac></mstyle>+o((t2)3))=t3−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>t52</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>t76</mfrac></mstyle>+o(t7)g(t)=t left( dfrac{t^2}{1!}-dfrac{(t^2)^2}{2!}+dfrac{(t^2)^3}{3!}+o((t^2)^3) right)=t^3-dfrac{t^5}{2}+dfrac{t^7}{6}+o(t^7)

Выполняем далее обратную замену переменной:

f(x)=(x+1)3−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(x+1)52</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(x+1)76</mfrac></mstyle>+o((x+1)7)f(x)= (x+1)^3-dfrac{(x+1)^5}{2}+dfrac{(x+1)^7}{6}+o((x+1)^7)

Пример 2

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

f(x)=(x2−4x)cos⁡(2x−4)f(x)=(x^2-4x)cos{(2x-4)}

в окрестности точки x0=2x_0=2 с точностью до o((x−5)5)o((x-5)^5).

Выполнив замену переменной:

x−x0=x−2=t,<mspace width=»1em»/>x=t+2x-x_0=x-2=t, quad x=t+2

получаем:

g(t)=(t2−4)cos⁡2tg(t)=(t^2-4)cos{2t}

Используя разложение тригонометрической функции, получаем:

g(t)=(t2−4)(1−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(2t)22!</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(2t)44!</mfrac></mstyle>+o(t5))=(t2−4)(1−2t2+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>2t43</mfrac></mstyle>+o(t5))g(t) =(t^2-4) left( 1-dfrac{(2t)^2}{2!}-dfrac{(2t)^4}{4!}+o(t^5) right) =(t^2-4) left( 1-2t^2+dfrac{2t^4}{3}+o(t^5) right)

Раскрываем скобки, ограничиваясь слагаемыми со степенью t не выше пяти:

g(t)=(t2−2t4)−(4−8t2+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>8t43</mfrac></mstyle>+o(t5))=−4+9t2−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>143</mfrac></mstyle>t4+o(t5)g(t) =(t^2-2t^4)- left( 4-8t^2+dfrac{8t^4}{3}+o(t^5) right) =-4+9t^2-dfrac{14}{3} t^4+o(t^5)

Выполняя обратную замену переменной, получаем:

f(x)=−4+9(x−2)2−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>143</mfrac></mstyle>(x−2)4+o((x−2)5)f(x)=-4+9(x-2)^2-dfrac{14}{3}(x-2)^4+o((x-2)^5)

Применение формулы Тейлора при x, стремящемся к бесконечности

При необходимости представить функцию с помощью формулы Тейлора при x→∞x to infty с точностью до o(<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1xn</mfrac></mstyle>)oleft( dfrac {1} {x^n}right), последовательно:

• выполняем замену переменной t=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1x</mfrac></mstyle>t=dfrac{1}{x};
• полученную функцию g(t)g(t) представляем с помощью формулы Тейлора с необходимой точностью;
• с помощью обратной замены переменных находим искомое выражение для f(x)f(x).

Пример

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

f(x)=2x−<msqrt>x2−1</msqrt>f(x)=2x-sqrt{x^2-1}

с точностью до o(<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1×3</mfrac></mstyle>)oleft( dfrac {1} {x^3}right) при x→+∞x to +infty.

Выполнив замену переменной

t=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1x</mfrac></mstyle>,<mspace width=»1em»/>x=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1t</mfrac></mstyle>t=dfrac{1}{x}, quad x=dfrac{1}{t}

получаем:

g(t)=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>2t</mfrac></mstyle>−<msqrt><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1t2</mfrac></mstyle>−1</msqrt>=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>2−(1−t2)1/2t</mfrac></mstyle>g(t)=dfrac {2}{t}-sqrt {dfrac{1}{t^2}-1}=dfrac{2-(1-t^2)^{1/2}}{t}

Учитывая требуемую точность o(t3)o(t^3), используем разложение степенной функции в ряд Тейлора с точностью до o(t4)o(t^4):

g(t)=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>2−(1−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>t22</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>t48</mfrac></mstyle>)+o(t4)t</mfrac></mstyle>=<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1t</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>t2</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>t38</mfrac></mstyle>+o(t3)g(t)=dfrac {2-left( 1-dfrac{t^2}{2}-dfrac{t^4}{8}right)+o(t^4)}{t}=dfrac{1}{t}+dfrac{t}{2}-dfrac{t^3}{8}+o(t^3)

Выполняя обратную замену переменной, находим:

f(x)=x+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>12x</mfrac></mstyle>−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>18×3</mfrac></mstyle>+o(<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1×3</mfrac></mstyle>),<mspace width=»1em»/>x→+∞f(x)=x+dfrac{1}{2x}- dfrac {1}{8x^3}+ oleft( dfrac {1} {x^3}right), quad x to +infty

Применение формула Тейлора при вычислении пределов

С помощью разложения функции с использованием формулы Тейлора при вычислении пределов можно избавиться от неопределённостями различного вида. Проиллюстрируем использование формулы Тейлора на примере вычисления предела функции с неопределенностью вида (<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>00</mfrac></mstyle>)left( dfrac {0} {0}right).

Пример 1

Вычислим, используя формулу Тейлора, предел:

<munder>lim⁡x→1</munder><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>ex−ecos⁡(x−1)sin⁡(x−1)</mfrac></mstyle>limlimits_{x to 1 } dfrac {e^{x}-e cos{(x-1)}}{sin {(x-1)}}

Заменим ex{e^{x}} и тригонометрические функции их разложениями в степенные ряды в окрестности x0=1x_0=1, находим:

<munder>lim⁡x→1</munder><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>ex−ecos⁡(x−1)sin⁡(x−1)</mfrac></mstyle>=<munder>lim⁡x→1</munder><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(e+e(x−1)+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>e(x−1)22!</mfrac></mstyle>+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>e(x−1)33!</mfrac></mstyle>+…)−e(1−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(x−1)22!</mfrac></mstyle>+…)(x−1)−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(x−1)33!</mfrac></mstyle>+…</mfrac></mstyle>=e<munder>lim⁡x→1</munder><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(x−1)+(x−1)2+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(x−1)36</mfrac></mstyle>+…(x−1)−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(x−1)36</mfrac></mstyle>+…</mfrac></mstyle>=e<munder>lim⁡x→1</munder><mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>1+(x−1)+<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(x−1)26</mfrac></mstyle>+…1−<mstyle displaystyle=»true» scriptlevel=»0″><mfrac>(x−1)26</mfrac></mstyle>+…</mfrac></mstyle>=elimlimits_{x to 1 } dfrac {e^{x}-e cos{(x-1)}}{sin {(x-1)}}=limlimits_{x to 1} dfrac {left(e+e(x-1)+dfrac{e(x-1)^2}{2!}+dfrac{e(x-1)^3}{3!} +ldots right)-eleft( 1-dfrac{(x-1)^2}{2!}+ ldots right)} {(x-1)-dfrac{(x-1)^3}{3!}+ ldots}= elimlimits_{x to 1 } dfrac {(x-1)+(x-1)^2+ dfrac{(x-1)^3}{6}+ldots} {(x-1)- dfrac{(x-1)^3}{6}+ldots} =e limlimits_{x to 1 } dfrac {1+(x-1) +dfrac{(x-1)^2}{6}+ldots} {1- dfrac{(x-1)^2}{6}+ldots} =e

Тест по теме «Формула и ряд Тейлора»