Формула расчета относительной ошибки

Статья обновлена 10.07.2022

Что такое погрешность измерения

Любой расчет состоит из истинного и вычисляемого значения. При этом всегда должны учитываться значения ошибки или погрешности. Погрешность — это расхождение между истинным значением и вычисляемым. В маркетинге выделяют следующие виды погрешностей.

1. Математическая погрешность. Она описывается алгебраической формулой и бывает абсолютной, относительной и приведенной. Абсолютная погрешность измерения — это разница между вычисляемым и истинным значением. Относительная погрешность вычисляется в процентном соотношении истинного значения и полученного. Вычисление погрешности приведенной схоже с относительной, указывается она также в процентах, но дает разницу между нормирующей шкалой и полученными данными, то есть между эталонными и полученными значениями.
2. Оценочная погрешность. В маркетинге она бывает случайной и систематической. Случайная погрешность возникает из-за любых факторов, которые случайным образом влияют на измерение переменной в выборке. Систематическая погрешность вызывается факторами, которые систематически влияют на измерение переменной в выборке.

Математическая погрешность: формула для каждого типа

Если определение погрешности можно провести точным путем, она считается математической. Зачем нужно вычисление этого значения в маркетинге?

Погрешности возникают настолько часто, что популярной практикой в исследованиях является включение значения погрешности в окончательные результаты. Для этого используются формулы. Математическая погрешность — это значение, которое отражает разницу между выборкой и фактическим результатом. Если при расчетах учитывалась  погрешность, в тексте исследования указывается что-то вроде: «Абсолютная погрешность для этих данных составляет 3,25%». Погрешность можно вычислить с любыми цифрами: количество человек, участвующих в опросе, погрешность суммы, затраченной на маркетинговый бюджет, и так далее.

Формулы погрешностей вычисляются следующим образом.

Абсолютная погрешность измерений: формула

Формула дает разницу между измеренным и реальным значением.

Относительная погрешность: формула

Формула использует значение абсолютной погрешности и вычисляется в процентах по отношению к фактическому  значению.

Приведенная погрешность: формула

Формула также использует значение абсолютной погрешности. В чем измеряется приведенная погрешность? Тоже в процентах, но в качестве «эталона» используется не реальное значение, а единица измерения любой нормирующей шкалы. Например, для обычной линейки это значение равно 1 мм.

Классификация оценочной погрешности

Определение погрешности в оценках — это всегда методическая погрешность, то есть допустимое значение ошибки, основанное на методах проведения исследования. Погрешность метода вызывает два типа погрешностей — случайные и систематические. Таблица погрешностей в графической форме покажет все возможные типы.

Что такое случайная погрешность

Случайная погрешность бывает статической и динамической. Динамическая погрешность возникает, когда мы имеем дело с меняющимися значениями — например, количество человек в выборке при маркетинговом исследовании. Статическая погрешность описывает ошибки при вычислении неизменных величин — вроде количества вопросов в вопроснике. Все они относятся к случайным погрешностям.

Типичный пример возникновения случайной погрешности — настроение участников маркетингового опроса. Как известно, эмоциональный настрой человека всегда влияет на его производительность. В ходе тестирования одни люди могут быть в хорошем расположении духа, а другие — в «миноре». Если настроение влияет на их ответы по заданному критерию выборки, это может искусственно завышать или занижать наблюдаемые оценки. Например, в случае с истинным значением 1 случайная погрешность может дать как -0,8, так и +0,5 к этому числу. Очень часто это случается при оценке времени ответа, например.

Случайная погрешность добавляет изменчивости данным, но не оказывает постоянного влияния на всю выборку. Вместо этого она произвольно изменяет измеряемые значения в диапазоне. В маркетинговой практике считается, что все случайные погрешности в распределении перекрывают друг друга и практически не влияют на конечный результат. Поэтому случайная погрешность считается «шумом» и в расчет не принимается. Эту погрешность нельзя устранить совсем, но можно уменьшить, просто увеличив размер выборки.

Что такое систематическая погрешность

Систематическая погрешность существует в результатах исследования, если эти результаты показывают устойчивую тенденцию к отклонению от истинных значений. Иными словами, если полученные цифры постоянно выше или ниже расчетных, речь идет о том, что в данных имеется систематическая погрешность.

В маркетинговых исследованиях есть два основных типа систематической погрешности: погрешность выборки и погрешность измерения. 

Погрешность выборки

Погрешность выборки возникает, когда выборка, используемая в исследовании, не репрезентативна для всей совокупности данных. Типы такой погрешности включают погрешность структуры, погрешность аудитории и погрешность отбора.

Погрешность структуры

Погрешность структуры возникает из-за использования неполной или неточной основы для выборки. Распространенным источником такой погрешности в рамках маркетинговых исследований является проведение какого-либо опроса по телефону на основе существующего телефонного справочника или базы данных абонентов. Многие данные там указаны неполно или неточно — например, если люди недавно переехали или изменили свой номер телефона. Также такие данные часто указывают неполную или неверную демографию.

Если в качестве основы для исследования взят телефонный справочник, оно подвержено погрешности структуры, так как не учитывает всех возможных респондентов.

Погрешность аудитории

Погрешность аудитории возникает, если исследователь не знает, как определить аудиторию для исследования. Пример — оценка результатов исследования, проведенного среди клиентов крупного банка. Доля ответов на анкету составила чуть менее 1%. Анализ профессий всех опрошенных показал, что процент пенсионеров среди них в 20 раз выше, чем в целом по городу. Если эта группа значительно различается по интересующим переменным, то результаты будут неверными из-за погрешности аудитории.

Погрешность отбора

Даже если маркетологи правильно определили структуру и аудиторию, они не застрахованы от погрешности отбора. Она возникает, когда процедуры отбора являются неполными, неправильными или не соблюдаются должным образом. Например, интервьюеры при полевом исследовании могут избегать людей, которые живут в муниципальных домах. Потому что, по их мнению, жители вряд ли согласятся пройти такой опрос. Если жители муниципальных домов отличаются от тех, кто проживает в домах бизнес-класса, в результаты опроса будет внесена погрешность отбора.

Как минимизировать погрешность выборки

• Знайте свою аудиторию.
  Знайте, кто покупает ваш продукт, использует его, работает с вами и так далее. Имея базовую социально-экономическую информацию, можно составить стабильную выборку целевой аудитории. Маркетинговые исследования часто касаются одной конкретной группы населения — например, пользователей Facebook или молодых мам.
• Разделите аудиторию на группы.
  Вместо случайной выборки разбейте аудиторию на группы в соответствии с их численностью в общей совокупности данных. Например, если люди с определенной демографией составляют 35% населения, убедитесь, что 35% респондентов исследования отвечают этому условию.
• Увеличьте размер выборки.
  Больший размер выборки приводит к более точному результату.

Погрешность измерения

Погрешность измерения представляет собой серьезную угрозу точности исследования. Она возникает, когда существует разница между искомой информацией — то есть истинным значением, и информацией, фактически полученной в процессе измерения. К таким погрешностям приводят различные недостатки процесса исследования. Погрешность измерения, в основном, вызывается человеческим фактором — например, формулировкой вопросника, ошибками ввода данных и необъективными выводами.

К погрешностям измерения приводят следующие виды ошибок.

Ошибка цели

Ошибка цели возникает, когда существует несоответствие между информацией, фактически необходимой для решения проблемы, и данными , которые собирает исследование. Например, компания Kellogg впустую потратила миллионы на разработку завтраков для снижения уровня холестерина. Реальный вопрос, который нужно было бы задать в исследовании, заключался в том, купят ли люди овсяные хлопья для решения своей проблемы. Ответ «Нет» обошелся бы компании дешевле.

Предвзятость ответов

Некоторые люди склонны отвечать на конкретный вопрос определенным образом. Тогда возникает предвзятость ответа. Предвзятость ответа может быть результатом умышленной фальсификации или неосознанного искажения фактов.

Умышленная фальсификация происходит, когда респонденты целенаправленно дают неверные ответы на вопросы. Есть много причин, по которым люди могут сознательно искажать информацию. Например, они хотят скрыть  или хотят казаться лучше, чем есть на самом деле.

Бессознательное искажение информации происходит, когда респондент пытается быть правдивым, но дает неточный ответ. Этот тип предвзятости может возникать из-за формата вопроса, его содержания или по другим причинам.

Предвзятость интервьюера

Интервьюер оказывает влияние на респондента — сознательно или бессознательно. Одежда, возраст, пол, выражение лица, язык тела или тон голоса могут повлиять на ответы некоторых или всех респондентов.

Ошибка обработки

Примеры включают наводящие вопросы или элементы дизайна анкеты, которые затрудняют запись ответов или приводят к ошибкам в них.

Ошибка ввода

Это ошибки, возникающие при вводе информации. Например, документ может быть отсканирован неправильно, и его данные по ошибке перенесутся неверно. Или люди, заполняющие опросы на смартфоне или ноутбуке, могут нажимать не те клавиши.

Виды проводимых маркетинговых исследований различны, поэтому универсальных рецептов не существует. Мы дадим несколько общих советов, используемых для минимизации систематических погрешностей разного типа.

Как минимизировать погрешность измерения

• Предварительно протестируйте.
  Погрешностей обработки и предвзятости можно избежать, если проводить предварительные тесты вопросника до начала основных интервью.
• Проводите выборку случайным образом.
  Чтобы устранить предвзятость, при выборке респондентов можно включать каждого четвертого человека из общего списка.
• Тренируйте команду интервьюеров и наблюдателей.
  Отбор и обучение тех, кто проводит исследования, должен быть тщательным. Особое внимание нужно уделять соблюдению инструкций в ходе каждого исследования.
• Всегда выполняйте проверку сделанных записей.
  Чтобы исключить ошибки ввода, все данные, вводимые для компьютерного анализа, должны быть перепроверены как минимум дважды.

Мир без ошибок  не может существовать. Но понимание факторов, влияющих на маркетинговые исследования и измеряемые погрешности, имеет важное значение для сбора качественных данных.

Вычисление абсолютной и относительной погрешностей измерений при прямых измерениях

1. Абсолютная погрешность

Оценить отклонение
каждого из результатов измерения от
истинной величины можно лишь при наличии
данных большого числа измерений с
использованием теории вероятности.
Однако на практике, в лабораторных
условиях проводят 3-5 измерений. В этом
случае абсолютная погрешность отдельного
i-го
измерения будет следующей:

|DА_i|
= |А_СР
— А_i|,

где
А_СР
— средняя величина размера А. Средняя
арифметическая величина всех ½DА_i½
значений

называется
абсолютной погрешностью опыта.
Окончательный результат изме­рения
может быть записан в виде

А = А_СР
±
DА_СР,

где
А — искомая величина, которая лежит
внутри интервала

А_СР
±
DА_СР.

Н

14

апример, если сделаем несколько
измерений длины заготовки в столярной
мастерской и получим среднее значение
l_СР
= 75.5 см, а среднее
арифметическое абсолютной погрешности
l_СР
= 0.3 см, то результат
запишется в виде

l
= (75.5 ± 0.3) см.

Это
означает, что истинное значение длины
заготовки лежит в интервале от 75.2 см до
75.8 см. При этом не имеет смысла вычислять
среднее значение с большим числом знаков
после запятой, так как от этого точность
не увеличивается.

2. Относительная погрешность

Абсолютная
погрешность измерения не характеризует
точности проведенных измерений. Поэтому
для того, чтобы сравнить точность
различных измерений и величин разной
размерности, находят среднюю относительную
погрешность результата (Е_А).
Относительная погрешность определяется
отношением абсолютной погрешности к
среднему арифметическому значению
измеряемой величины, которая определяется
в процентах:

Е_А=100%.

Относительная
погрешность показывает, какая часть
абсолютной погрешности приходится на
каждую единицу измеренной величины.
Это дает возможность оценить точность
проведенных измерений, качество работы.

Так,
например, пусть при измерении бруска
длиной l
= 1.51 см была допущена абсолютная
погрешность 0.03 мм, а при измерении
расстояния от Земли до Луны L
= 3.64^.10⁵
км абсолютная погрешность составила
100 км. Может показаться, что первое
измерение выполнено намного точнее
второго. Однако о точности измерения
можно судить по относительной погрешности,
а она показывает, что второе измерение
было выполнено в семь раз точнее первого:

E_l
=

100% = 0.2%

и
Е_L
=
100%
= 0.03%.

Вычисление абсолютных и относительных погрешностей при косвенных2 измерениях

В
большинстве случаев при выполнении
физических экспериментов исследуемая
величина не может быть измерена
непосредственно, а является функцией
одной или нескольких переменных,
измеренных непосредственно. При косвенных
измерениях абсолютная и относительная
погрешности результатов измерений
находятся вычислением через абсолютные
и относительные погрешности непосредственно
измеренных величин.

Использование формул дифференцирования

Для
определения абсолютных и относительных
погрешностей искомой величины при
косвенных измерениях можно воспользоваться
формулами дифференцирования, потому
что абсолютная ошибка функции равна
абсолютной ошибке аргумента, умноженной
на производную этой функции, то есть
полному дифференциалу функции.

Рассмотрим
это более подробно. До­пустим, что
физическая величина А является функцией
многих переменных:

A
= f
(x,
y,
z
…).

Правило
I. Вначале
находят абсолютную погрешность величины
А, а затем относительную погрешность.
Для этого необходимо:

1) Найти полный
дифференциал функции

.

2

16

) Заменить бесконечно малые dx, dу,
dz, … соответствующими абсолютными
ошибками аргументовDx,
Dy,
Dz,
… (при этом знаки «минус» в абсо­лютных
ошибках аргументов заменяют знаками
«плюс», так чтобы величина ошибки
была максимальной):

.

Применяя
это правило к частным случаям, получим:

—
абсолютная погрешность суммы равна
сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Если X
= a
+ b,
то DX
= Da
+ Db;

—
абсолютная погрешность разности равна
сумме абсолютных погрешностей
уменьшаемого и вычитаемого. Если X
= a
— b,
то DX
= Da
+ Db;

—
абсолютная погрешность произведения
двух сомножителей равна сумме произведений
среднего значения первого множителя
(a_CP)
на абсолютную погрешность второго и
среднего значения второго множителя
(b_CP)
на абсолютную погрешность первого. Если
X
= а 
b,
то DX
= a_CP

Db
+ b_CP

Dа.
Если X
= a ⁿ
, то DX
= n 
а_CP^n-1

Dа;

—
абсолютная погрешность дроби равна
сумме произведения знаменателя на
абсолютную погрешность числителя и
числителя на абсолютную погрешность
знаменателя, деленной на квадрат
знаменателя. Если X
=,
то DX=.

3) По определению
найдем относительную погрешность

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  12.02.2015183.3 Кб27Пример работы по теме ПЕРЕСКАЗ.doc

• #

Была ли эта статья полезной?

Определение относительной погрешности измерений

Например:

Для x = 1, $7 pm 0,2$ относительная погрешность измерений

$δ = frac{0,2}{1,7} cdot 100 text{%} approx 11,8 text{%} approx 12 text{%}$ — погрешность достаточно велика.

Примеры

Пример 1. Согласно данным эксперимента, проведенного в 1975 году, скорость света равна $c = 299 792 458 pm 1,2 м/с$. Найдите относительную погрешность измерений в этом эксперименте в долях и процентах.

$$ δ = frac{1,2}{299 792 458} approx 4,0 cdot 10^{-9} $$

$$δ = 4,0 cdot 10^{-9} cdot 100 text{%} approx (4,0 cdot 10^{-7} ) text{%} $$

Пример 2. В результате школьного эксперимента ускорение свободного падения оказалось равным $g = 10,0 pm 0,1 м/с^2$. Определите относительную погрешность для данного эксперимента, а также относительную погрешность по отношению к табличной величине $g_0 = 9,81 м/с^2$. Что вы можете сказать о систематической ошибке эксперимента?

Для данного эксперимента $δ = frac{0,1}{10,0} cdot 100 text{%} = 1,0 text{%} $

Относительная погрешность по отношению к табличной величине:

$$ δ_{таб} = frac{|g-g_0 |}{g_0} cdot 100 text{%}, δ_{таб} = frac{|10,0-9,81|}{9,81} cdot 100 text{%} approx 1,9 text{%} $$

Согласно полученным результатам $9,9 le g le 10,1$, табличное значение в этот отрезок не входит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: результаты систематически завышены.

Пример 3. При взвешивании масса слона оказалась равной $M = 3,63 pm 0,01$ т, а масса муравья $m = 41,2 pm 0,5$ мг. Какое измерение точнее?

Найдем относительные погрешности измерений:

$$ δ_M = frac{0,01}{3,63} cdot 100 text{%} approx 0,28 text{%} $$

$$ δ_m = frac{0,5}{41,2} cdot 100 text{%} approx 1,21 text{%} approx ↑1,3 text{%} $$

Таким образом, масса слона определена точнее.

Пример 4. Вольтметр измеряет напряжение с относительной погрешностью 0,5%. Найдите границы точного значения величины, если при измерении получено $V_0$ = 5 В.

Абсолютная погрешность измерений данным вольтметром:

$$ Delta V = V_0 cdot δ, Delta V = 5 cdot 0,005 = 0,025 (В) approx 0,03(В) $$

Границы точного значения:

$$ V = 5,00 pm 0,03 (В) или 4,97 le V le 5,03 (В) $$