Формула расчета среднеквадратической ошибки

  • Редакция Кодкампа

17 авг. 2022 г.
читать 3 мин

В статистике регрессионный анализ — это метод, который мы используем для понимания взаимосвязи между переменной-предиктором x и переменной отклика y.

Когда мы проводим регрессионный анализ, мы получаем модель, которая сообщает нам прогнозируемое значение для переменной ответа на основе значения переменной-предиктора.

Один из способов оценить, насколько «хорошо» наша модель соответствует заданному набору данных, — это вычислить среднеквадратичную ошибку , которая представляет собой показатель, который говорит нам, насколько в среднем наши прогнозируемые значения отличаются от наших наблюдаемых значений.

Формула для нахождения среднеквадратичной ошибки, чаще называемая RMSE , выглядит следующим образом:

СКО = √[ Σ(P i – O i ) 2 / n ]

куда:

  • Σ — причудливый символ, означающий «сумма».
  • P i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
  • O i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
  • n — размер выборки

Технические примечания:

  • Среднеквадратичную ошибку можно рассчитать для любого типа модели, которая дает прогнозные значения, которые затем можно сравнить с наблюдаемыми значениями набора данных.
  • Среднеквадратичную ошибку также иногда называют среднеквадратичным отклонением, которое часто обозначается аббревиатурой RMSD.

Далее рассмотрим пример расчета среднеквадратичной ошибки в Excel.

Как рассчитать среднеквадратичную ошибку в Excel

В Excel нет встроенной функции для расчета RMSE, но мы можем довольно легко вычислить его с помощью одной формулы. Мы покажем, как рассчитать RMSE для двух разных сценариев.

Сценарий 1

В одном сценарии у вас может быть один столбец, содержащий предсказанные значения вашей модели, и другой столбец, содержащий наблюдаемые значения. На изображении ниже показан пример такого сценария:

Пример расчета RMSE в Excel для наблюдаемых и прогнозируемых значений

Если это так, то вы можете рассчитать RMSE, введя следующую формулу в любую ячейку, а затем нажав CTRL+SHIFT+ENTER:

=КОРЕНЬ(СУММСК(A2:A21-B2:B21) / СЧЕТЧ(A2:A21))

Пример вычисления среднеквадратичной ошибки в Excel

Это говорит нам о том, что среднеквадратическая ошибка равна 2,6646 .

Расчет среднеквадратичной ошибки в Excel

Формула может показаться немного сложной, но она имеет смысл, если ее разобрать:

= КОРЕНЬ( СУММСК(A2:A21-B2:B21) / СЧЕТЧ(A2:A21) )

  • Во-первых, мы вычисляем сумму квадратов разностей между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями, используя функцию СУММСК() .
  • Затем мы делим на размер выборки набора данных, используя COUNTA() , который подсчитывает количество непустых ячеек в диапазоне.
  • Наконец, мы извлекаем квадратный корень из всего вычисления, используя функцию SQRT() .

Сценарий 2

В другом сценарии вы, возможно, уже вычислили разницу между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями. В этом случае у вас будет только один столбец, отображающий различия.

На изображении ниже показан пример этого сценария. Прогнозируемые значения отображаются в столбце A, наблюдаемые значения — в столбце B, а разница между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями — в столбце D:

Пример среднеквадратичной ошибки в Excel

Если это так, то вы можете рассчитать RMSE, введя следующую формулу в любую ячейку, а затем нажав CTRL+SHIFT+ENTER:

=КОРЕНЬ(СУММСК(D2:D21) / СЧЕТЧ(D2:D21))

СКО в Excel

Это говорит нам о том, что среднеквадратическая ошибка равна 2,6646 , что соответствует результату, полученному в первом сценарии. Это подтверждает, что эти два подхода к расчету RMSE эквивалентны.

Среднеквадратическая ошибка в Excel

Формула, которую мы использовали в этом сценарии, лишь немного отличается от той, что мы использовали в предыдущем сценарии:

= КОРЕНЬ (СУММСК(D2 :D21) / СЧЕТЧ(D2:D21) )

  • Поскольку мы уже рассчитали разницу между предсказанными и наблюдаемыми значениями в столбце D, мы можем вычислить сумму квадратов разностей с помощью функции СУММСК().только со значениями в столбце D.
  • Затем мы делим на размер выборки набора данных, используя COUNTA() , который подсчитывает количество непустых ячеек в диапазоне.
  • Наконец, мы извлекаем квадратный корень из всего вычисления, используя функцию SQRT() .

Как интерпретировать среднеквадратичную ошибку

Как упоминалось ранее, RMSE — это полезный способ увидеть, насколько хорошо регрессионная модель (или любая модель, которая выдает прогнозируемые значения) способна «соответствовать» набору данных.

Чем больше RMSE, тем больше разница между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями, а это означает, что модель регрессии хуже соответствует данным. И наоборот, чем меньше RMSE, тем лучше модель соответствует данным.

Может быть особенно полезно сравнить RMSE двух разных моделей друг с другом, чтобы увидеть, какая модель лучше соответствует данным.

Для получения дополнительных руководств по Excel обязательно ознакомьтесь с нашей страницей руководств по Excel , на которой перечислены все учебные пособия Excel по статистике.

Источник

Среднеквадратичная ошибка (Mean Squared Error) – Среднее арифметическое (Mean) квадратов разностей между предсказанными и реальными значениями Модели (Model) Машинного обучения (ML):

MSE как среднее дистанций между предсказаниями и реальными наблюдениями

Рассчитывается с помощью формулы, которая будет пояснена в примере ниже:

$$MSE = frac{1}{n} × sum_{i=1}^n (y_i — widetilde{y}_i)^2$$
$$MSEspace{}{–}space{Среднеквадратическая}space{ошибка,}$$
$$nspace{}{–}space{количество}space{наблюдений,}$$
$$y_ispace{}{–}space{фактическая}space{координата}space{наблюдения,}$$
$$widetilde{y}_ispace{}{–}space{предсказанная}space{координата}space{наблюдения,}$$

MSE практически никогда не равен нулю, и происходит это из-за элемента случайности в данных или неучитывания Оценочной функцией (Estimator) всех факторов, которые могли бы улучшить предсказательную способность.

Пример. Исследуем линейную регрессию, изображенную на графике выше, и установим величину среднеквадратической Ошибки (Error). Фактические координаты точек-Наблюдений (Observation) выглядят следующим образом:

Мы имеем дело с Линейной регрессией (Linear Regression), потому уравнение, предсказывающее положение записей, можно представить с помощью формулы:

$$y = M * x + b$$
$$yspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{y,}$$
$$Mspace{–}space{уклон}space{прямой}$$
$$xspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{x,}$$
$$bspace{–}space{смещение}space{прямой}space{относительно}space{начала}space{координат}$$

Параметры M и b уравнения нам, к счастью, известны в данном обучающем примере, и потому уравнение выглядит следующим образом:

$$y = 0,5252 * x + 17,306$$

Зная координаты реальных записей и уравнение линейной регрессии, мы можем восстановить полные координаты предсказанных наблюдений, обозначенных серыми точками на графике выше. Простой подстановкой значения координаты x в уравнение мы рассчитаем значение координаты ỹ:

Рассчитаем квадрат разницы между Y и Ỹ:

Сумма таких квадратов равна 4 445. Осталось только разделить это число на количество наблюдений (9):

$$MSE = frac{1}{9} × 4445 = 493$$

Само по себе число в такой ситуации становится показательным, когда Дата-сайентист (Data Scientist) предпринимает попытки улучшить предсказательную способность модели и сравнивает MSE каждой итерации, выбирая такое уравнение, что сгенерирует наименьшую погрешность в предсказаниях.

MSE и Scikit-learn

Среднеквадратическую ошибку можно вычислить с помощью SkLearn. Для начала импортируем функцию:

import sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error

Инициализируем крошечные списки, содержащие реальные и предсказанные координаты y:

y_true = [5, 41, 70, 77, 134, 68, 138, 101, 131]
y_pred = [23, 35, 55, 90, 93, 103, 118, 121, 129]

Инициируем функцию mean_squared_error(), которая рассчитает MSE тем же способом, что и формула выше: 

mean_squared_error(y_true, y_pred)

Интересно, что конечный результат на 3 отличается от расчетов с помощью Apple Numbers:

496.0

Ноутбук, не требующий дополнительной настройки на момент написания статьи, можно скачать здесь.

Автор оригинальной статьи: @mmoshikoo

Фото: @tobyelliott

Источник

  • Редакция Кодкампа

17 авг. 2022 г.
читать 3 мин

В статистике регрессионный анализ — это метод, который мы используем для понимания взаимосвязи между переменной-предиктором x и переменной отклика y.

Когда мы проводим регрессионный анализ, мы получаем модель, которая сообщает нам прогнозируемое значение для переменной ответа на основе значения переменной-предиктора.

Один из способов оценить, насколько «хорошо» наша модель соответствует заданному набору данных, — это вычислить среднеквадратичную ошибку , которая представляет собой показатель, который говорит нам, насколько в среднем наши прогнозируемые значения отличаются от наших наблюдаемых значений.

Формула для нахождения среднеквадратичной ошибки, чаще называемая RMSE , выглядит следующим образом:

СКО = √[ Σ(P i – O i ) 2 / n ]

куда:

  • Σ — причудливый символ, означающий «сумма».
  • P i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
  • O i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
  • n — размер выборки

Технические примечания:

  • Среднеквадратичную ошибку можно рассчитать для любого типа модели, которая дает прогнозные значения, которые затем можно сравнить с наблюдаемыми значениями набора данных.
  • Среднеквадратичную ошибку также иногда называют среднеквадратичным отклонением, которое часто обозначается аббревиатурой RMSD.

Далее рассмотрим пример расчета среднеквадратичной ошибки в Excel.

Как рассчитать среднеквадратичную ошибку в Excel

В Excel нет встроенной функции для расчета RMSE, но мы можем довольно легко вычислить его с помощью одной формулы. Мы покажем, как рассчитать RMSE для двух разных сценариев.

Сценарий 1

В одном сценарии у вас может быть один столбец, содержащий предсказанные значения вашей модели, и другой столбец, содержащий наблюдаемые значения. На изображении ниже показан пример такого сценария:

Пример расчета RMSE в Excel для наблюдаемых и прогнозируемых значений

Если это так, то вы можете рассчитать RMSE, введя следующую формулу в любую ячейку, а затем нажав CTRL+SHIFT+ENTER:

=КОРЕНЬ(СУММСК(A2:A21-B2:B21) / СЧЕТЧ(A2:A21))

Пример вычисления среднеквадратичной ошибки в Excel

Это говорит нам о том, что среднеквадратическая ошибка равна 2,6646 .

Расчет среднеквадратичной ошибки в Excel

Формула может показаться немного сложной, но она имеет смысл, если ее разобрать:

= КОРЕНЬ( СУММСК(A2:A21-B2:B21) / СЧЕТЧ(A2:A21) )

  • Во-первых, мы вычисляем сумму квадратов разностей между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями, используя функцию СУММСК() .
  • Затем мы делим на размер выборки набора данных, используя COUNTA() , который подсчитывает количество непустых ячеек в диапазоне.
  • Наконец, мы извлекаем квадратный корень из всего вычисления, используя функцию SQRT() .

Сценарий 2

В другом сценарии вы, возможно, уже вычислили разницу между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями. В этом случае у вас будет только один столбец, отображающий различия.

На изображении ниже показан пример этого сценария. Прогнозируемые значения отображаются в столбце A, наблюдаемые значения — в столбце B, а разница между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями — в столбце D:

Пример среднеквадратичной ошибки в Excel

Если это так, то вы можете рассчитать RMSE, введя следующую формулу в любую ячейку, а затем нажав CTRL+SHIFT+ENTER:

=КОРЕНЬ(СУММСК(D2:D21) / СЧЕТЧ(D2:D21))

СКО в Excel

Это говорит нам о том, что среднеквадратическая ошибка равна 2,6646 , что соответствует результату, полученному в первом сценарии. Это подтверждает, что эти два подхода к расчету RMSE эквивалентны.

Среднеквадратическая ошибка в Excel

Формула, которую мы использовали в этом сценарии, лишь немного отличается от той, что мы использовали в предыдущем сценарии:

= КОРЕНЬ (СУММСК(D2 :D21) / СЧЕТЧ(D2:D21) )

  • Поскольку мы уже рассчитали разницу между предсказанными и наблюдаемыми значениями в столбце D, мы можем вычислить сумму квадратов разностей с помощью функции СУММСК().только со значениями в столбце D.
  • Затем мы делим на размер выборки набора данных, используя COUNTA() , который подсчитывает количество непустых ячеек в диапазоне.
  • Наконец, мы извлекаем квадратный корень из всего вычисления, используя функцию SQRT() .

Как интерпретировать среднеквадратичную ошибку

Как упоминалось ранее, RMSE — это полезный способ увидеть, насколько хорошо регрессионная модель (или любая модель, которая выдает прогнозируемые значения) способна «соответствовать» набору данных.

Чем больше RMSE, тем больше разница между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями, а это означает, что модель регрессии хуже соответствует данным. И наоборот, чем меньше RMSE, тем лучше модель соответствует данным.

Может быть особенно полезно сравнить RMSE двух разных моделей друг с другом, чтобы увидеть, какая модель лучше соответствует данным.

Для получения дополнительных руководств по Excel обязательно ознакомьтесь с нашей страницей руководств по Excel , на которой перечислены все учебные пособия Excel по статистике.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).[citation needed] For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of n predictions is generated from a sample of n data points on all variables, and Y is the vector of observed values of the variable being predicted, with hat{Y} being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

{displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}.}

In other words, the MSE is the mean {textstyle left({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}right)} of the squares of the errors {textstyle left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}}. This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

{displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}(e_{i})^{2}={frac {1}{n}}mathbf {e} ^{mathsf {T}}mathbf {e} }

where e_{i} is {displaystyle (Y_{i}-{hat {Y_{i}}})} and {displaystyle mathbf {e} } is the {displaystyle ntimes 1} column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,[4] and is computed as

{displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{q}}sum _{i=n+1}^{n+q}left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}.}

Estimator[edit]

The MSE of an estimator hat{theta} with respect to an unknown parameter theta is defined as[1]

{displaystyle operatorname {MSE} ({hat {theta }})=operatorname {E} _{theta }left[({hat {theta }}-theta )^{2}right].}

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator hat{theta} is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.[5]

{displaystyle operatorname {MSE} ({hat {theta }})=operatorname {Var} _{theta }({hat {theta }})+operatorname {Bias} ({hat {theta }},theta )^{2}.}

Proof of variance and bias relationship[edit]

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} ({hat {theta }})&=operatorname {E} _{theta }left[({hat {theta }}-theta )^{2}right]&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]+operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}+2left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+operatorname {E} _{theta }left[2left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)right]+operatorname {E} _{theta }left[left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+2left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)operatorname {E} _{theta }left[{hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right]+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&&operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta ={text{const.}}&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+2left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&&operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]={text{const.}}&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&=operatorname {Var} _{theta }({hat {theta }})+operatorname {Bias} _{theta }({hat {theta }},theta )^{2}end{aligned}}}

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable {textstyle X}, {textstyle mathbb {E} (X^{2})=operatorname {Var} (X)+(mathbb {E} (X))^{2}}. By substituting {textstyle X} with, {textstyle {hat {theta }}-theta }, we have

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} ({hat {theta }})&=mathbb {E} [({hat {theta }}-theta )^{2}]&=operatorname {Var} ({hat {theta }}-theta )+(mathbb {E} [{hat {theta }}-theta ])^{2}&=operatorname {Var} ({hat {theta }})+operatorname {Bias} ^{2}({hat {theta }})end{aligned}}}

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n−p) for p regressors or (n−p−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size n from a population, X_{1},dots ,X_{n}. Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the n units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all n draws. The usual estimator for the mu is the sample average

overline{X}=frac{1}{n}sum_{i=1}^n X_i

which has an expected value equal to the true mean mu (so it is unbiased) and a mean squared error of

{displaystyle operatorname {MSE} left({overline {X}}right)=operatorname {E} left[left({overline {X}}-mu right)^{2}right]=left({frac {sigma }{sqrt {n}}}right)^{2}={frac {sigma ^{2}}{n}}}

where sigma ^{2} is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

{displaystyle S_{n-1}^{2}={frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}}right)^{2}={frac {1}{n-1}}left(sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{overline {X}}^{2}right).}

This is unbiased (its expected value is sigma ^{2}), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is[8]

{displaystyle operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})={frac {1}{n}}left(mu _{4}-{frac {n-3}{n-1}}sigma ^{4}right)={frac {1}{n}}left(gamma _{2}+{frac {2n}{n-1}}right)sigma ^{4},}

where mu _{4} is the fourth central moment of the distribution or population, and gamma_2=mu_4/sigma^4-3 is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for sigma ^{2} which are proportional to S^2_{n-1}, and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

{displaystyle S_{a}^{2}={frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}={frac {1}{a}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}},right)^{2}}

then we calculate:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} (S_{a}^{2})&=operatorname {E} left[left({frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}-sigma ^{2}right)^{2}right]&=operatorname {E} left[{frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}S_{n-1}^{4}-2left({frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}right)sigma ^{2}+sigma ^{4}right]&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]-2left({frac {n-1}{a}}right)operatorname {E} left[S_{n-1}^{2}right]sigma ^{2}+sigma ^{4}&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}&&operatorname {E} left[S_{n-1}^{2}right]=sigma ^{2}&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}left({frac {gamma _{2}}{n}}+{frac {n+1}{n-1}}right)sigma ^{4}-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}&&operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]=operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})+sigma ^{4}&={frac {n-1}{na^{2}}}left((n-1)gamma _{2}+n^{2}+nright)sigma ^{4}-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}end{aligned}}}

This is minimized when

a=frac{(n-1)gamma_2+n^2+n}{n} = n+1+frac{n-1}{n}gamma_2.

For a Gaussian distribution, where gamma_2=0, this means that the MSE is minimized when dividing the sum by a=n+1. The minimum excess kurtosis is gamma_2=-2,[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for {displaystyle a=n-1+{tfrac {2}{n}}.} Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be S^2_{n-1}.

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ2, for the Gaussian case.[9]

True value Estimator Mean squared error
{displaystyle theta =mu } hat{theta} = the unbiased estimator of the population mean, overline{X}=frac{1}{n}sum_{i=1}^n(X_i) operatorname{MSE}(overline{X})=operatorname{E}((overline{X}-mu)^2)=left(frac{sigma}{sqrt{n}}right)^2
{displaystyle theta =sigma ^{2}} hat{theta} = the unbiased estimator of the population variance, S^2_{n-1} = frac{1}{n-1}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2 operatorname{MSE}(S^2_{n-1})=operatorname{E}((S^2_{n-1}-sigma^2)^2)=frac{2}{n - 1}sigma^4
{displaystyle theta =sigma ^{2}} hat{theta} = the biased estimator of the population variance, S^2_{n} = frac{1}{n}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2 operatorname{MSE}(S^2_{n})=operatorname{E}((S^2_{n}-sigma^2)^2)=frac{2n - 1}{n^2}sigma^4
{displaystyle theta =sigma ^{2}} hat{theta} = the biased estimator of the population variance, S^2_{n+1} = frac{1}{n+1}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2 operatorname{MSE}(S^2_{n+1})=operatorname{E}((S^2_{n+1}-sigma^2)^2)=frac{2}{n + 1}sigma^4

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator hat{theta} predicts observations of the parameter theta with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

  • Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
  • In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
  • In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics[citation needed], though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also[edit]

  • Bias–variance tradeoff
  • Hodges’ estimator
  • James–Stein estimator
  • Mean percentage error
  • Mean square quantization error
  • Mean square weighted deviation
  • Mean squared displacement
  • Mean squared prediction error
  • Minimum mean square error
  • Minimum mean squared error estimator
  • Overfitting
  • Peak signal-to-noise ratio

Notes[edit]

  1. ^ This can be proved by Jensen’s inequality as follows. The fourth central moment is an upper bound for the square of variance, so that the least value for their ratio is one, therefore, the least value for the excess kurtosis is −2, achieved, for instance, by a Bernoulli with p=1/2.

References[edit]

  1. ^ a b «Mean Squared Error (MSE)». www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-12.
  2. ^ Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2015). Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. Vol. I (Second ed.). p. 20. If we use quadratic loss, our risk function is called the mean squared error (MSE) …
  3. ^ a b Lehmann, E. L.; Casella, George (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-98502-2. MR 1639875.
  4. ^ Gareth, James; Witten, Daniela; Hastie, Trevor; Tibshirani, Rob (2021). An Introduction to Statistical Learning: with Applications in R. Springer. ISBN 978-1071614174.
  5. ^ Wackerly, Dennis; Mendenhall, William; Scheaffer, Richard L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7 ed.). Belmont, CA, USA: Thomson Higher Education. ISBN 978-0-495-38508-0.
  6. ^ A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
  7. ^ Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 288.
  8. ^ Mood, A.; Graybill, F.; Boes, D. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 229.
  9. ^ DeGroot, Morris H. (1980). Probability and Statistics (2nd ed.). Addison-Wesley.
  10. ^ Berger, James O. (1985). «2.4.2 Certain Standard Loss Functions». Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 978-0-387-96098-2. MR 0804611.
  11. ^ Bermejo, Sergio; Cabestany, Joan (2001). «Oriented principal component analysis for large margin classifiers». Neural Networks. 14 (10): 1447–1461. doi:10.1016/S0893-6080(01)00106-X. PMID 11771723.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).[citation needed] For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of n predictions is generated from a sample of n data points on all variables, and Y is the vector of observed values of the variable being predicted, with hat{Y} being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

{displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}.}

In other words, the MSE is the mean {textstyle left({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}right)} of the squares of the errors {textstyle left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}}. This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

{displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}(e_{i})^{2}={frac {1}{n}}mathbf {e} ^{mathsf {T}}mathbf {e} }

where e_{i} is {displaystyle (Y_{i}-{hat {Y_{i}}})} and {displaystyle mathbf {e} } is the {displaystyle ntimes 1} column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,[4] and is computed as

{displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{q}}sum _{i=n+1}^{n+q}left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}.}

Estimator[edit]

The MSE of an estimator hat{theta} with respect to an unknown parameter theta is defined as[1]

{displaystyle operatorname {MSE} ({hat {theta }})=operatorname {E} _{theta }left[({hat {theta }}-theta )^{2}right].}

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator hat{theta} is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.[5]

{displaystyle operatorname {MSE} ({hat {theta }})=operatorname {Var} _{theta }({hat {theta }})+operatorname {Bias} ({hat {theta }},theta )^{2}.}

Proof of variance and bias relationship[edit]

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} ({hat {theta }})&=operatorname {E} _{theta }left[({hat {theta }}-theta )^{2}right]&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]+operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}+2left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+operatorname {E} _{theta }left[2left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)right]+operatorname {E} _{theta }left[left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+2left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)operatorname {E} _{theta }left[{hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right]+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&&operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta ={text{const.}}&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+2left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&&operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]={text{const.}}&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&=operatorname {Var} _{theta }({hat {theta }})+operatorname {Bias} _{theta }({hat {theta }},theta )^{2}end{aligned}}}

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable {textstyle X}, {textstyle mathbb {E} (X^{2})=operatorname {Var} (X)+(mathbb {E} (X))^{2}}. By substituting {textstyle X} with, {textstyle {hat {theta }}-theta }, we have

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} ({hat {theta }})&=mathbb {E} [({hat {theta }}-theta )^{2}]&=operatorname {Var} ({hat {theta }}-theta )+(mathbb {E} [{hat {theta }}-theta ])^{2}&=operatorname {Var} ({hat {theta }})+operatorname {Bias} ^{2}({hat {theta }})end{aligned}}}

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n−p) for p regressors or (n−p−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size n from a population, X_{1},dots ,X_{n}. Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the n units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all n draws. The usual estimator for the mu is the sample average

overline{X}=frac{1}{n}sum_{i=1}^n X_i

which has an expected value equal to the true mean mu (so it is unbiased) and a mean squared error of

{displaystyle operatorname {MSE} left({overline {X}}right)=operatorname {E} left[left({overline {X}}-mu right)^{2}right]=left({frac {sigma }{sqrt {n}}}right)^{2}={frac {sigma ^{2}}{n}}}

where sigma ^{2} is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

{displaystyle S_{n-1}^{2}={frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}}right)^{2}={frac {1}{n-1}}left(sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{overline {X}}^{2}right).}

This is unbiased (its expected value is sigma ^{2}), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is[8]

{displaystyle operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})={frac {1}{n}}left(mu _{4}-{frac {n-3}{n-1}}sigma ^{4}right)={frac {1}{n}}left(gamma _{2}+{frac {2n}{n-1}}right)sigma ^{4},}

where mu _{4} is the fourth central moment of the distribution or population, and gamma_2=mu_4/sigma^4-3 is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for sigma ^{2} which are proportional to S^2_{n-1}, and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

{displaystyle S_{a}^{2}={frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}={frac {1}{a}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}},right)^{2}}

then we calculate:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} (S_{a}^{2})&=operatorname {E} left[left({frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}-sigma ^{2}right)^{2}right]&=operatorname {E} left[{frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}S_{n-1}^{4}-2left({frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}right)sigma ^{2}+sigma ^{4}right]&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]-2left({frac {n-1}{a}}right)operatorname {E} left[S_{n-1}^{2}right]sigma ^{2}+sigma ^{4}&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}&&operatorname {E} left[S_{n-1}^{2}right]=sigma ^{2}&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}left({frac {gamma _{2}}{n}}+{frac {n+1}{n-1}}right)sigma ^{4}-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}&&operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]=operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})+sigma ^{4}&={frac {n-1}{na^{2}}}left((n-1)gamma _{2}+n^{2}+nright)sigma ^{4}-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}end{aligned}}}

This is minimized when

a=frac{(n-1)gamma_2+n^2+n}{n} = n+1+frac{n-1}{n}gamma_2.

For a Gaussian distribution, where gamma_2=0, this means that the MSE is minimized when dividing the sum by a=n+1. The minimum excess kurtosis is gamma_2=-2,[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for {displaystyle a=n-1+{tfrac {2}{n}}.} Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be S^2_{n-1}.

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ2, for the Gaussian case.[9]

True value Estimator Mean squared error
{displaystyle theta =mu } hat{theta} = the unbiased estimator of the population mean, overline{X}=frac{1}{n}sum_{i=1}^n(X_i) operatorname{MSE}(overline{X})=operatorname{E}((overline{X}-mu)^2)=left(frac{sigma}{sqrt{n}}right)^2
{displaystyle theta =sigma ^{2}} hat{theta} = the unbiased estimator of the population variance, S^2_{n-1} = frac{1}{n-1}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2 operatorname{MSE}(S^2_{n-1})=operatorname{E}((S^2_{n-1}-sigma^2)^2)=frac{2}{n - 1}sigma^4
{displaystyle theta =sigma ^{2}} hat{theta} = the biased estimator of the population variance, S^2_{n} = frac{1}{n}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2 operatorname{MSE}(S^2_{n})=operatorname{E}((S^2_{n}-sigma^2)^2)=frac{2n - 1}{n^2}sigma^4
{displaystyle theta =sigma ^{2}} hat{theta} = the biased estimator of the population variance, S^2_{n+1} = frac{1}{n+1}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2 operatorname{MSE}(S^2_{n+1})=operatorname{E}((S^2_{n+1}-sigma^2)^2)=frac{2}{n + 1}sigma^4

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator hat{theta} predicts observations of the parameter theta with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

  • Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
  • In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
  • In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics[citation needed], though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also[edit]

  • Bias–variance tradeoff
  • Hodges’ estimator
  • James–Stein estimator
  • Mean percentage error
  • Mean square quantization error
  • Mean square weighted deviation
  • Mean squared displacement
  • Mean squared prediction error
  • Minimum mean square error
  • Minimum mean squared error estimator
  • Overfitting
  • Peak signal-to-noise ratio

Notes[edit]

  1. ^ This can be proved by Jensen’s inequality as follows. The fourth central moment is an upper bound for the square of variance, so that the least value for their ratio is one, therefore, the least value for the excess kurtosis is −2, achieved, for instance, by a Bernoulli with p=1/2.

References[edit]

  1. ^ a b «Mean Squared Error (MSE)». www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-12.
  2. ^ Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2015). Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. Vol. I (Second ed.). p. 20. If we use quadratic loss, our risk function is called the mean squared error (MSE) …
  3. ^ a b Lehmann, E. L.; Casella, George (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-98502-2. MR 1639875.
  4. ^ Gareth, James; Witten, Daniela; Hastie, Trevor; Tibshirani, Rob (2021). An Introduction to Statistical Learning: with Applications in R. Springer. ISBN 978-1071614174.
  5. ^ Wackerly, Dennis; Mendenhall, William; Scheaffer, Richard L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7 ed.). Belmont, CA, USA: Thomson Higher Education. ISBN 978-0-495-38508-0.
  6. ^ A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
  7. ^ Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 288.
  8. ^ Mood, A.; Graybill, F.; Boes, D. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 229.
  9. ^ DeGroot, Morris H. (1980). Probability and Statistics (2nd ed.). Addison-Wesley.
  10. ^ Berger, James O. (1985). «2.4.2 Certain Standard Loss Functions». Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 978-0-387-96098-2. MR 0804611.
  11. ^ Bermejo, Sergio; Cabestany, Joan (2001). «Oriented principal component analysis for large margin classifiers». Neural Networks. 14 (10): 1447–1461. doi:10.1016/S0893-6080(01)00106-X. PMID 11771723.

Среднеквадратичная ошибка (Mean Squared Error) – Среднее арифметическое (Mean) квадратов разностей между предсказанными и реальными значениями Модели (Model) Машинного обучения (ML):

MSE как среднее дистанций между предсказаниями и реальными наблюдениями

Рассчитывается с помощью формулы, которая будет пояснена в примере ниже:

$$MSE = frac{1}{n} × sum_{i=1}^n (y_i — widetilde{y}_i)^2$$
$$MSEspace{}{–}space{Среднеквадратическая}space{ошибка,}$$
$$nspace{}{–}space{количество}space{наблюдений,}$$
$$y_ispace{}{–}space{фактическая}space{координата}space{наблюдения,}$$
$$widetilde{y}_ispace{}{–}space{предсказанная}space{координата}space{наблюдения,}$$

MSE практически никогда не равен нулю, и происходит это из-за элемента случайности в данных или неучитывания Оценочной функцией (Estimator) всех факторов, которые могли бы улучшить предсказательную способность.

Пример. Исследуем линейную регрессию, изображенную на графике выше, и установим величину среднеквадратической Ошибки (Error). Фактические координаты точек-Наблюдений (Observation) выглядят следующим образом:

Мы имеем дело с Линейной регрессией (Linear Regression), потому уравнение, предсказывающее положение записей, можно представить с помощью формулы:

$$y = M * x + b$$
$$yspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{y,}$$
$$Mspace{–}space{уклон}space{прямой}$$
$$xspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{x,}$$
$$bspace{–}space{смещение}space{прямой}space{относительно}space{начала}space{координат}$$

Параметры M и b уравнения нам, к счастью, известны в данном обучающем примере, и потому уравнение выглядит следующим образом:

$$y = 0,5252 * x + 17,306$$

Зная координаты реальных записей и уравнение линейной регрессии, мы можем восстановить полные координаты предсказанных наблюдений, обозначенных серыми точками на графике выше. Простой подстановкой значения координаты x в уравнение мы рассчитаем значение координаты ỹ:

Рассчитаем квадрат разницы между Y и Ỹ:

Сумма таких квадратов равна 4 445. Осталось только разделить это число на количество наблюдений (9):

$$MSE = frac{1}{9} × 4445 = 493$$

Само по себе число в такой ситуации становится показательным, когда Дата-сайентист (Data Scientist) предпринимает попытки улучшить предсказательную способность модели и сравнивает MSE каждой итерации, выбирая такое уравнение, что сгенерирует наименьшую погрешность в предсказаниях.

MSE и Scikit-learn

Среднеквадратическую ошибку можно вычислить с помощью SkLearn. Для начала импортируем функцию:

import sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error

Инициализируем крошечные списки, содержащие реальные и предсказанные координаты y:

y_true = [5, 41, 70, 77, 134, 68, 138, 101, 131]
y_pred = [23, 35, 55, 90, 93, 103, 118, 121, 129]

Инициируем функцию mean_squared_error(), которая рассчитает MSE тем же способом, что и формула выше: 

mean_squared_error(y_true, y_pred)

Интересно, что конечный результат на 3 отличается от расчетов с помощью Apple Numbers:

496.0

Ноутбук, не требующий дополнительной настройки на момент написания статьи, можно скачать здесь.

Автор оригинальной статьи: @mmoshikoo

Фото: @tobyelliott

Средняя квадратичная ошибка.

При ответственных
измерениях, когда необходимо знать
надежность полученных результатов,
используется средняя квадратичная
ошибка  (или
стандартное отклонение), которая
определяется формулой

(5)

Величина 
характеризует отклонение отдельного
единичного измерения от истинного
значения.

Если мы вычислили
по n
измерениям среднее значение

по формуле (2), то это значение будет
более точным, то есть будет меньше
отличаться от истинного, чем каждое
отдельное измерение. Средняя квадратичная
ошибка среднего значения

равна


(6)

где  — среднеквадратичная
ошибка каждого отдельного измерения,
n
– число
измерений.

Таким образом,
увеличивая число опытов, можно уменьшить
случайную ошибку в величине среднего
значения.

В настоящее время
результаты научных и технических
измерений принято представлять в виде


(7)

Как показывает
теория, при такой записи мы знаем
надежность полученного результата, а
именно, что истинная величина Х с
вероятностью 68% отличается от

не более, чем на
.

При использовании
же средней арифметической (абсолютной)
ошибки (формула 2) о надежности результата
ничего сказать нельзя. Некоторое
представление о точности проведенных
измерений в этом случае дает относительная
ошибка (формула 4).

При выполнении
лабораторных работ студенты могут
использовать как среднюю абсолютную
ошибку, так и среднюю квадратичную.
Какую из них применять указывается
непосредственно в каждой конкретной
работе (или указывается преподавателем).

Обычно если число
измерений не превышает 3 – 5, то
можно использовать среднюю абсолютную
ошибку. Если число измерений порядка
10 и более, то следует использовать более
корректную оценку с
помощью средней квадратичной ошибки
среднего (формулы 5 и 6).

Учет систематических ошибок.

Увеличением числа
измерений можно уменьшить только
случайные ошибки опыта, но не
систематические.

Максимальное
значение систематической ошибки обычно
указывается на приборе или в его паспорте.
Для измерений с помощью обычной
металлической линейки систематическая
ошибка составляет не менее 0,5 мм; для
измерений штангенциркулем –

0,1 – 0,05 мм;
микрометром – 0,01 мм.

Часто в качестве
систематической ошибки берется половина
цены деления прибора.

На шкалах
электроизмерительных приборов указывается
класс точности. Зная класс точности К,
можно вычислить систематическую ошибку
прибора ∆Х по формуле

где К – класс
точности прибора, Хпр – предельное
значение величины, которое может быть
измерено по шкале прибора.

Так, амперметр
класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с
ошибкой не более

Среднее значение
полной погрешности складывается из
случайной и систематической
погрешностей.

Ответ с учетом
систематических и случайных ошибок
записывается в виде

Погрешности косвенных измерений

В физических
экспериментах чаще бывает так, что
искомая физическая величина сама на
опыте измерена быть не может, а является
функцией других величин, измеряемых
непосредственно. Например, чтобы
определить объём цилиндра, надо измерить
диаметр D и высоту h, а затем вычислить
объем по формуле

Величины D и h будут измерены с
некоторой ошибкой. Следовательно,
вычисленная величина
V
получится также с некоторой ошибкой.
Надо уметь выражать погрешность
вычисленной величины через погрешности
измеренных величин.

Как и при прямых
измерениях можно вычислять среднюю
абсолютную (среднюю арифметическую)
ошибку или среднюю квадратичную ошибку.

Общие правила
вычисления ошибок для обоих случаев
выводятся с помощью дифференциального
исчисления.

Пусть искомая
величина φ является функцией нескольких
переменных Х,
У, Z…

φ(Х,
У, Z…).

Путем прямых
измерений мы можем найти величины
,
а также оценить их средние абсолютные
ошибки
…
или средние квадратичные ошибки Х,
У,
Z…

Тогда средняя
арифметическая погрешность 
вычисляется по формуле

где

 — частные
производные от φ по
Х, У, Z. Они
вычисляются для средних значений
…

Средняя квадратичная
погрешность вычисляется по формуле

Пример.
Выведем формулы погрешности для
вычисления объёма цилиндра.

а) Средняя
арифметическая погрешность.

Величины
D и h
измеряются соответственно с ошибкой
D
и h.

Погрешность
величины объёма будет равна

б) Средняя
квадратичная погрешность.

Величины
D и h
измеряются соответственно с ошибкой
D, h.

Погрешность
величины объёма будет равна

Если формула
представляет выражение удобное для
логарифмирования (то есть произведение,
дробь, степень), то удобнее вначале
вычислять относительную погрешность.
Для этого (в случае средней арифметической
погрешности) надо проделать следующее.

1. Прологарифмировать
выражение.

2. Продифференцировать
его.

3. Объединить
все члены с одинаковым дифференциалом
и вынести его за скобки.

4. Взять выражение
перед различными дифференциалами по
модулю.

5. Заменить
значки дифференциалов d
на значки абсолютной погрешности .

В итоге получится
формула для относительной погрешности

Затем,
зная ,
можно вычислить абсолютную погрешность


 = 

Пример.

Аналогично можно
записать относительную среднюю
квадратичную погрешность

Правила
представления результатов измерения
следующие:

  1. погрешность должна
    округляться до одной значащей цифры:

правильно  = 0,04,

неправильно —
 = 0,0382;

  1. последняя значащая
    цифра результата должна быть того же
    порядка величины, что и погрешность:

правильно
 = 9,830,03,

неправильно —
 = 9,8260,03;

  1. если результат
    имеет очень большую или очень малую
    величину, необходимо использовать
    показательную форму записи — одну и ту
    же для результата и его погрешности,
    причем запятая десятичной дроби должна
    следовать за первой значащей цифрой
    результата:

правильно —
 = (5,270,03)10-5,

неправильно —
 = 0,00005270,0000003,

 = 5,2710-50,0000003,

 =
= 0,0000527310-7,

 = (5273)10-7,

 = (0,5270,003)
10-4.

  1. Если результат
    имеет размерность, ее необходимо
    указать:

правильно – g=(9,820,02)
м/c2,

неправильно – g=(9,820,02).

Соседние файлы в папке Отчеты_Погрешность

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

среднеквадратическая ошибкаИз данной статьи вы узнаете:

  • Для чего нужна среднеквадратическая ошибка прогноза;
  • Как она рассчитывается.

+ сможете скачать пример расчета в Excel.

MSE (mean squared error) – среднеквадратическая ошибка прогноза.

MSE – среднеквадратическая ошибка прогноза применяется в ситуациях, когда нам надо подчеркнуть большие ошибки и выбрать модель, которая дает меньше больших ошибок прогноза.

Грубые ошибки становятся заметнее за счет того, что ошибку прогноза мы возводим в квадрат. И модель, которая дает нам меньшее значение среднеквадратической ошибки, можно сказать, что что у этой модели меньше грубых ошибок.

Как рассчитать среднеквадратическую ошибку?

  1. Рассчитываем ошибку для каждого значения модели;
  2. Возводим ошибку в квадрат;
  3. Рассчитываем среднее по квадрату ошибки, т.е. среднеквадратическую ошибку MSE:

ошибка среднеквадратического отклонения

Скачайте файл с примером расчета ошибки MSE

1. Ошибка = фактические продаж минус значения прогнозной модели для каждого момента времени:

среднеквадратическая ошибка измерений

2. Возводим ошибку в квадрат для каждого момента времени:

среднеквадратическая ошибка формула

3. Рассчитываем среднеквадратическую ошибку MSE, для этого определяем среднее значение квадратов ошибок:

среднеквадратическая ошибка в радиометрических измерениях

Скачайте файл с примером расчета ошибки MSE

Из данной статьи вы узнали, для чего использовать среднеквадратическую ошибку прогноза и как ее рассчитать. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте в комментариях, буду рад помочь!

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

Novo Forecast - прогноз в Excel - точно, легко и быстро!

  • Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel.
  • 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
  • Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

  • Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

Зарегистрируйтесь и скачайте решения

Статья полезная? Поделитесь с друзьями


  Перевод


  Ссылка на автора

Каждая модель машинного обучения пытается решить проблему с другой целью, используя свой набор данных, и, следовательно, важно понять контекст, прежде чем выбрать метрику. Обычно ответы на следующий вопрос помогают нам выбрать подходящий показатель:

  • Тип задачи: регрессия? Классификация?
  • Бизнес цель?
  • Каково распределение целевой переменной?

Ну, в этом посте я буду обсуждать полезность каждой метрики ошибки в зависимости от цели и проблемы, которую мы пытаемся решить. Часть 1 фокусируется только на показателях оценки регрессии.

Остров Андрос в Греции

Метрики регрессии

  • Средняя квадратическая ошибка (MSE)
  • Среднеквадратическая ошибка (RMSE)
  • Средняя абсолютная ошибка (MAE)
  • R в квадрате (R²)
  • Скорректированный R квадрат (R²)
  • Среднеквадратичная ошибка в процентах (MSPE)
  • Средняя абсолютная ошибка в процентах (MAPE)
  • Среднеквадратичная логарифмическая ошибка (RMSLE)

Средняя квадратическая ошибка (MSE)

Это, пожалуй, самый простой и распространенный показатель для оценки регрессии, но, вероятно, наименее полезный. Определяется уравнением

гдеyᵢфактический ожидаемый результат иŷᵢэто прогноз модели.

MSE в основном измеряет среднеквадратичную ошибку наших прогнозов. Для каждой точки вычисляется квадратная разница между прогнозами и целью, а затем усредняются эти значения.

Чем выше это значение, тем хуже модель. Он никогда не бывает отрицательным, поскольку мы возводим в квадрат отдельные ошибки прогнозирования, прежде чем их суммировать, но для идеальной модели это будет ноль.

Преимущество:Полезно, если у нас есть неожиданные значения, о которых мы должны заботиться. Очень высокое или низкое значение, на которое мы должны обратить внимание.

Недостаток:Если мы сделаем один очень плохой прогноз, возведение в квадрат сделает ошибку еще хуже, и это может исказить метрику в сторону переоценки плохости модели. Это особенно проблематичное поведение, если у нас есть зашумленные данные (то есть данные, которые по какой-либо причине не совсем надежны) — даже в «идеальной» модели может быть высокий MSE в этой ситуации, поэтому становится трудно судить, насколько хорошо модель выполняет. С другой стороны, если все ошибки малы или, скорее, меньше 1, то ощущается противоположный эффект: мы можем недооценивать недостатки модели.

Обратите внимание, чтоесли мы хотим иметь постоянный прогноз, лучшим будетсреднее значение целевых значений.Его можно найти, установив производную нашей полной ошибки по этой константе в ноль, и найти ее из этого уравнения.

Среднеквадратическая ошибка (RMSE)

RMSE — это просто квадратный корень из MSE. Квадратный корень введен, чтобы масштаб ошибок был таким же, как масштаб целей.

Теперь очень важно понять, в каком смысле RMSE похож на MSE, и в чем разница.

Во-первых, они похожи с точки зрения их минимизаторов, каждый минимизатор MSE также является минимизатором для RMSE и наоборот, поскольку квадратный корень является неубывающей функцией. Например, если у нас есть два набора предсказаний, A и B, и скажем, что MSE для A больше, чем MSE для B, то мы можем быть уверены, что RMSE для A больше RMSE для B. И это также работает в противоположном направлении. ,

Что это значит для нас?

Это означает, что, если целевым показателем является RMSE, мы все равно можем сравнивать наши модели, используя MSE, поскольку MSE упорядочит модели так же, как RMSE. Таким образом, мы можем оптимизировать MSE вместо RMSE.

На самом деле, с MSE работать немного проще, поэтому все используют MSE вместо RMSE. Также есть небольшая разница между этими двумя моделями на основе градиента.

Градиент СКО относительно i-го прогноза

Это означает, что путешествие по градиенту MSE эквивалентно путешествию по градиенту RMSE, но с другой скоростью потока, и скорость потока зависит от самой оценки MSE.

Таким образом, хотя RMSE и MSE действительно схожи с точки зрения оценки моделей, они не могут быть сразу взаимозаменяемыми для методов на основе градиента. Возможно, нам нужно будет настроить некоторые параметры, такие как скорость обучения.

Средняя абсолютная ошибка (MAE)

В MAE ошибка рассчитывается как среднее абсолютных разностей между целевыми значениями и прогнозами. MAE — это линейная оценка, которая означает, чтовсе индивидуальные различия взвешены одинаковов среднем. Например, разница между 10 и 0 будет вдвое больше разницы между 5 и 0. Однако то же самое не верно для RMSE. Математически он рассчитывается по следующей формуле:

Что важно в этой метрике, так это то, что онанаказывает огромные ошибки, которые не так плохо, как MSE.Таким образом, он не так чувствителен к выбросам, как среднеквадратическая ошибка.

MAE широко используется в финансах, где ошибка в 10 долларов обычно в два раза хуже, чем ошибка в 5 долларов. С другой стороны, метрика MSE считает, что ошибка в 10 долларов в четыре раза хуже, чем ошибка в 5 долларов. MAE легче обосновать, чем RMSE.

Еще одна важная вещь в MAE — это его градиенты относительно прогнозов. Gradiend — это пошаговая функция, которая принимает -1, когда Y_hat меньше цели, и +1, когда она больше.

Теперь градиент не определен, когда предсказание является совершенным, потому что, когда Y_hat равен Y, мы не можем оценить градиент. Это не определено.

Таким образом, формально, MAE не дифференцируемо, но на самом деле, как часто ваши прогнозы точно измеряют цель. Даже если они это сделают, мы можем написать простое условие IF и вернуть ноль, если это так, и через градиент в противном случае. Также известно, что вторая производная везде нулевая и не определена в нулевой точке.

Обратите внимание, чтоесли мы хотим иметь постоянный прогноз, лучшим будетсрединное значение целевых значений.Его можно найти, установив производную нашей полной ошибки по этой константе в ноль, и найти ее из этого уравнения.

R в квадрате (R²)

А что если я скажу вам, что MSE для моих моделей предсказаний составляет 32? Должен ли я улучшить свою модель или она достаточно хороша? Или что, если мой MSE был 0,4? На самом деле, трудно понять, хороша наша модель или нет, посмотрев на абсолютные значения MSE или RMSE. Мы, вероятно, захотим измерить, как Во многом наша модель лучше, чем постоянная базовая линия.

Коэффициент детерминации, или R² (иногда читаемый как R-два), является еще одним показателем, который мы можем использовать для оценки модели, и он тесно связан с MSE, но имеет преимущество в том, чтобезмасштабное— не имеет значения, являются ли выходные значения очень большими или очень маленькими,R² всегда будет между -∞ и 1.

Когда R² отрицательно, это означает, что модель хуже, чем предсказание среднего значения.

MSE модели рассчитывается, как указано выше, в то время как MSE базовой линии определяется как:

гдеYс чертой означает среднее из наблюдаемогоyᵢ.

Чтобы сделать это более ясным, этот базовый MSE можно рассматривать как MSE, чтопростейшиймодель получит. Простейшей возможной моделью было бывсегдапредсказать среднее по всем выборкам. Значение, близкое к 1, указывает на модель с ошибкой, близкой к нулю, а значение, близкое к нулю, указывает на модель, очень близкую к базовой линии.

В заключение, R² — это соотношение между тем, насколько хороша наша модель, и тем, насколько хороша модель наивного среднего.

Распространенное заблуждение:Многие статьи в Интернете утверждают, что диапазон R² лежит между 0 и 1, что на самом деле не соответствует действительности. Максимальное значение R² равно 1, но минимальное может быть минус бесконечность.

Например, рассмотрим действительно дрянную модель, предсказывающую крайне отрицательное значение для всех наблюдений, даже если y_actual положительно. В этом случае R² будет меньше 0. Это крайне маловероятный сценарий, но возможность все еще существует.

MAE против MSE

Я заявил, что MAE более устойчив (менее чувствителен к выбросам), чем MSE, но это не значит, что всегда лучше использовать MAE. Следующие вопросы помогут вам решить:

Взять домой сообщение

В этой статье мы обсудили несколько важных метрик регрессии. Сначала мы обсудили среднеквадратичную ошибку и поняли, что наилучшей константой для нее является среднее целевое значение. Среднеквадратичная ошибка и R² очень похожи на MSE с точки зрения оптимизации. Затем мы обсудили среднюю абсолютную ошибку и когда люди предпочитают использовать MAE вместо MSE.

Спасибо за чтение, и я с нетерпением жду, чтобы услышать ваши вопросы :) Наслаждайтесь!

P.SСледите за моей следующей статьей, которая изучает другие более продвинутые метрики регрессии. Если вы хотите больше узнать о мире машинного обучения, вы также можете подписаться на меня в Instagram, напишите мне напрямую или найди меня на linkedin, Я хотел бы услышать от вас.

Ресурсы:
[1] https://dmitryulyanov.github.io/about


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.

  1. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 1

    1

    Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.

  2. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 2

    2

    Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.

  3. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 3

    3

    Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.

  4. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 4

    4

    Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:

  5. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 5

    5

    Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.

  6. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 6

    6

    Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 7

    1

    Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.

    • Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
      Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:

  2. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 8

    2

    Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.

    • Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:

  3. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 9

    3

    Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.

    • В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
      Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.

  4. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 10

    4

    Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.

    • В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:

  5. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 11

    5

    Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.

    • В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
      Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 12

    1

    Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.

    • В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
      Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.

Советы

  • Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
  • В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 48 054 раза.

Была ли эта статья полезной?

В предыдущих модулях мы прошли все основные шаги от постановки цели до создания обучающей выборки и тренировки алгоритмов.
В этом модуле вы узнаете:

• как с помощью метрик понять, насколько хорошо работает модель;
• какие метрики подходят для задач регрессии и классификации и в чем основные плюсы и минусы каждой;
• как выбрать метрику для проекта.

Почему мы выбираем метрику на самом старте проекта

Ваше сотрудничество с дата-сайентистом — это вариант отношений «заказчик — подрядчик», а о ключевых вещах и показателях в этом случае принято договариваться «на берегу». Метрика — один из таких ключевых показателей: с ее помощью вы будете оценивать результат работы алгоритма. Поэтому в процессе первоначального обсуждения проекта вопрос о метрике всплывет обязательно.

Давайте вспомним общую схему, по которой можно вести диалог и формулировать запрос к специалисту, и уточним ее, добавив в конец еще один шаг — выбор метрики. Чтобы вам было проще, разберем все на примере:

1. Определите бизнес-задачу

Вы: Компании нужно поднять выручку на 5% до конца года и…

2. Расскажите о конкретных шагах по ее достижению

Вы: … и для достижения этой цели мы хотим допродавать существующим клиентам цифровые продукты, которые будут удачно сочетаться с теми, что они уже у нас покупают. Но чтобы вероятность дополнительной покупки была высокой, рекомендации продуктов должны быть по-настоящему релевантными и качественными (по прикидкам отдела маркетинга, чтобы достичь показателей, мы должны убедить каждого десятого клиента).

3. Определите, можно ли решить задачу с помощью машинного обучения

Дата-сайентист: Можно проанализировать текущую базу клиентов, выявить их поведенческие паттерны и объединить клиентов со схожими паттернами в отдельные сегменты. Затем для каждого сегмента подобрать наиболее релевантные услуги или товары.

4. Определите, что у вас с данными, целевой переменной, объектами и прочим

Вы: У нас есть CRM (англ. Customer Relationship Management, система управления взаимоотношений с клиентами) и другие источники данных о клиентах — мы знаем, что и с какой частотой они покупали ранее, откуда они, какими еще услугами и продуктами компании пользовались или пользуются в их домохозяйстве.

Дата-сайентист: По идее, мы можем набрать достаточно признаков, а модель сама определит их веса и сгруппирует клиентов. Здесь угадывается задача кластеризации.

5. Определите метрику качества

Дата-сайентист: Итак, решено: мы строим рекомендательную систему. Остается понять, как мы определим, что алгоритм подсказывает именно то, что нужно людям? По какой метрике будем оценивать качество?

Чтобы вы могли ответить на этот вопрос, в модуле мы изучим основные метрики машинного обучения.

Метрики для задач регрессии: какие бывают, плюсы и минусы

Любой прогноз может быть не на 100% точен, а вот какое отклонение допустимо, решаете вы, исходя из задач и целей бизнеса. В этом видео Элен расскажет о пяти популярных метриках для работы с числовыми прогнозами и о том, как они помогают выявлять расхождения между оценкой модели и реальностью и «штрафовать» алгоритм за слишком неточные предсказания. Как всегда — с примерами.

Как считаются метрики регрессии

  • MAE (средняя абсолютная ошибка) — необходимо посчитать модуль разницы между прогнозом и реальным значением для всех объектов, а затем поделить разницу на число объектов.
  • MSE (среднеквадратическая ошибка) — необходимо посчитать разницу между прогнозом и реальным значением для каждого объекта, а затем возвести каждую в квадрат, сложить результаты и разделить на число объектов.
  • RMSE (корень из среднеквадратической ошибки) — необходимо посчитать разницу между прогнозом и реальным значением для каждого объекта, возвести каждую в квадрат, сложить результаты, поделить на число объектов, а затем взять корень из получившегося среднего значения.
  • MAPE (средняя процентная ошибка) — необходимо посчитать разницу между прогнозом и реальным значением, а затем поделить ее на реальное значение, получив среднее в виде %.

Метрики для задач классификации: как найти их все из одной таблицы

Модель предполагает, а человек располагает — в этом видео Элен разберет, как устроена матрица ошибок для классификатора на примере оттока клиентов. Вы познакомитесь с основными терминами, которые используют для описания качества работы алгоритмов, и столкнетесь с двумя на первый взгляд похожими, но очень разными по смыслу метриками — точностью и полнотой.

Как считаются метрики классификации

Серия примеров ниже даст возможность лучше понять, как разобраться в реальном отчете дата-сайентиста и принять взвешенное решение о том, поможет ли модель в достижении бизнес-цели.

1. Давайте вспомним, как устроена матрица ошибок. Перед вами матрица для модели кредитного скоринга: класс 1 — это клиенты, честно вернувшие кредит в срок, класс 0 — недобросовестные заемщики.

Например:

  • Модель предсказала, что заемщик вернет кредит, и он его вернул. Это называется английским термином True Positive, TP
  • Модель предсказала, что заемщик не вернет кредит, а он его вернул. Это называется английским термином False Negative, FP
  • Модель предсказала, что заемщик вернет кредит, а он не вернул его. Это называется английским термином False Positive, FP
  • Модель предсказала, что заемщик не вернет кредит, и он не вернул. Это называется английским термином True Negative, TN

2. Теперь перед вами результат работы модели, которая предсказывала уход клиентов. y=1 — клиент ушел, y=0 клиент не ушел.

Из таблицы мы узнаем, что:

  • Всего от компании ушло 1000 клиентов. Если сложить данные из столбца y = 1 (все ушедшие клиенты), выйдет как раз тысяча.
  • Модель спрогнозировала, что от компании уйдут 1300 человек. Если сложить данные из строки y＾ = 1 (все, кого модель отнесла к классу «ушедшие клиенты»), выйдет как раз одна тысяча триста человек.
  • Модель не смогла предсказать уход (проигнорировала) 200 человек. Именно этот факт отражен в строке y＾ = 0 (false negative) — модель считала, что эти люди останутся с компанией, а по факту те планировали отказаться от ее услуг.

3. Долю правильных ответов можно посчитать по формуле, изображенной на картинке. Сокращениями даны термины True Positive (TP), True Negative (TN), False Positive (FP) и False Negative (FN).

Откройте калькулятор, возьмите данные из таблицы ниже и посчитайте, для какого процента из выборки модель дала точный прогноз.

Правильный ответ

94% (0,94/ 0,93/ 0,939 / 93%/ 94%/ 93,9%)

4. А вот по этой формуле считают метрику точности.

Откройте калькулятор, возьмите данные из таблицы ниже и прикиньте, насколько мы можем доверять предсказаниям модели о том, что клиент уйдет (класс 1).

Правильный ответ

61% (61,5% / 61% / 0,615 / 0,62 / 62%)

5. Наверняка вы уже догадались: по этой формуле считают метрику полноты.

Откройте калькулятор, возьмите данные из таблицы ниже и посчитайте, какую долю от всех ушедших клиентов смог идентифицировать алгоритм.

Правильный ответ

80% (0,8)

Как выбрать правильную метрику классификации

Плохая новость: далеко не всегда алгоритмы будут выдавать высокие результаты по всем метрикам сразу. Хорошая новость: далеко не всегда вам на самом деле нужно ориентироваться более чем на 1 показатель. Для решения разных задач классификации хорошими могут считаться высокие или низкие значения того или иного показателя. Именно вы как представитель бизнеса должны сказать, на какой показатель стоит ориентироваться в первую очередь.

Например, в случае с алгоритмом, который предсказывал уход клиентов, компании важно было не упустить клиентов, которые на самом деле уйдут, то есть свести к минимуму процент False Negative и ориентироваться на метрику полноты.

А вот еще две задачи классификации:

1. Операторы кол-центра получают базу для обзвона и могут столкнуться с двумя типами потенциальных клиентов:

  • «холодными» — такие ничего не знают о продукте и с меньшей вероятностью будут общаться, на таких время часто тратится безрезультатно,
  • и «теплыми» — они уже почти готовы купить, конверсия среди них выше.

Руководство кол-центра хочет обучить модель предсказывать, какой клиент поднимет трубку. Вам нужно научить алгоритм определять, «теплый» (y = 1) или «холодный» (y = 0) клиент, чтобы до последнего избегать звонков «холодным» клиентам.

В такой ситуации правильным решением будет максимизировать метрику точности. Чем она выше, тем меньше «холодных» клиентов модель записала в «теплые».

2. Алгоритм кредитного скоринга должен определять надежность заемщиков. Банку хочется давать кредиты только тем, кто их вернет, и такие надежные заемщики отмечены в таблице как y = 1.

При оценке работы такого алгоритма внимание стоит обращать на метрику точности. Она покажет, в ком ошибся алгоритм. Именно таких людей, недобросовестных заемщиков, которые обманули модель, банк не хочет видеть среди клиентов. Значит, их число и надо снижать, повышая точность.

Перейти к следующему модулю

Источник

Средняя квадратичная ошибка.

При ответственных
измерениях, когда необходимо знать
надежность полученных результатов,
используется средняя квадратичная
ошибка  (или
стандартное отклонение), которая
определяется формулой

(5)

Величина 
характеризует отклонение отдельного
единичного измерения от истинного
значения.

Если мы вычислили
по n
измерениям среднее значение

по формуле (2), то это значение будет
более точным, то есть будет меньше
отличаться от истинного, чем каждое
отдельное измерение. Средняя квадратичная
ошибка среднего значения

равна


(6)

где  — среднеквадратичная
ошибка каждого отдельного измерения,
n
– число
измерений.

Таким образом,
увеличивая число опытов, можно уменьшить
случайную ошибку в величине среднего
значения.

В настоящее время
результаты научных и технических
измерений принято представлять в виде


(7)

Как показывает
теория, при такой записи мы знаем
надежность полученного результата, а
именно, что истинная величина Х с
вероятностью 68% отличается от

не более, чем на
.

При использовании
же средней арифметической (абсолютной)
ошибки (формула 2) о надежности результата
ничего сказать нельзя. Некоторое
представление о точности проведенных
измерений в этом случае дает относительная
ошибка (формула 4).

При выполнении
лабораторных работ студенты могут
использовать как среднюю абсолютную
ошибку, так и среднюю квадратичную.
Какую из них применять указывается
непосредственно в каждой конкретной
работе (или указывается преподавателем).

Обычно если число
измерений не превышает 3 – 5, то
можно использовать среднюю абсолютную
ошибку. Если число измерений порядка
10 и более, то следует использовать более
корректную оценку с
помощью средней квадратичной ошибки
среднего (формулы 5 и 6).

Учет систематических ошибок.

Увеличением числа
измерений можно уменьшить только
случайные ошибки опыта, но не
систематические.

Максимальное
значение систематической ошибки обычно
указывается на приборе или в его паспорте.
Для измерений с помощью обычной
металлической линейки систематическая
ошибка составляет не менее 0,5 мм; для
измерений штангенциркулем –

0,1 – 0,05 мм;
микрометром – 0,01 мм.

Часто в качестве
систематической ошибки берется половина
цены деления прибора.

На шкалах
электроизмерительных приборов указывается
класс точности. Зная класс точности К,
можно вычислить систематическую ошибку
прибора ∆Х по формуле

где К – класс
точности прибора, Хпр – предельное
значение величины, которое может быть
измерено по шкале прибора.

Так, амперметр
класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с
ошибкой не более

Среднее значение
полной погрешности складывается из
случайной и систематической
погрешностей.

Ответ с учетом
систематических и случайных ошибок
записывается в виде

Погрешности косвенных измерений

В физических
экспериментах чаще бывает так, что
искомая физическая величина сама на
опыте измерена быть не может, а является
функцией других величин, измеряемых
непосредственно. Например, чтобы
определить объём цилиндра, надо измерить
диаметр D и высоту h, а затем вычислить
объем по формуле

Величины D и h будут измерены с
некоторой ошибкой. Следовательно,
вычисленная величина
V
получится также с некоторой ошибкой.
Надо уметь выражать погрешность
вычисленной величины через погрешности
измеренных величин.

Как и при прямых
измерениях можно вычислять среднюю
абсолютную (среднюю арифметическую)
ошибку или среднюю квадратичную ошибку.

Общие правила
вычисления ошибок для обоих случаев
выводятся с помощью дифференциального
исчисления.

Пусть искомая
величина φ является функцией нескольких
переменных Х,
У, Z…

φ(Х,
У, Z…).

Путем прямых
измерений мы можем найти величины
,
а также оценить их средние абсолютные
ошибки
…
или средние квадратичные ошибки Х,
У,
Z…

Тогда средняя
арифметическая погрешность 
вычисляется по формуле

где

 — частные
производные от φ по
Х, У, Z. Они
вычисляются для средних значений
…

Средняя квадратичная
погрешность вычисляется по формуле

Пример.
Выведем формулы погрешности для
вычисления объёма цилиндра.

а) Средняя
арифметическая погрешность.

Величины
D и h
измеряются соответственно с ошибкой
D
и h.

Погрешность
величины объёма будет равна

б) Средняя
квадратичная погрешность.

Величины
D и h
измеряются соответственно с ошибкой
D, h.

Погрешность
величины объёма будет равна

Если формула
представляет выражение удобное для
логарифмирования (то есть произведение,
дробь, степень), то удобнее вначале
вычислять относительную погрешность.
Для этого (в случае средней арифметической
погрешности) надо проделать следующее.

1. Прологарифмировать
выражение.

2. Продифференцировать
его.

3. Объединить
все члены с одинаковым дифференциалом
и вынести его за скобки.

4. Взять выражение
перед различными дифференциалами по
модулю.

5. Заменить
значки дифференциалов d
на значки абсолютной погрешности .

В итоге получится
формула для относительной погрешности

Затем,
зная ,
можно вычислить абсолютную погрешность


 = 

Пример.

Аналогично можно
записать относительную среднюю
квадратичную погрешность

Правила
представления результатов измерения
следующие:

  1. погрешность должна
    округляться до одной значащей цифры:

правильно  = 0,04,

неправильно —
 = 0,0382;

  1. последняя значащая
    цифра результата должна быть того же
    порядка величины, что и погрешность:

правильно
 = 9,830,03,

неправильно —
 = 9,8260,03;

  1. если результат
    имеет очень большую или очень малую
    величину, необходимо использовать
    показательную форму записи — одну и ту
    же для результата и его погрешности,
    причем запятая десятичной дроби должна
    следовать за первой значащей цифрой
    результата:

правильно —
 = (5,270,03)10-5,

неправильно —
 = 0,00005270,0000003,

 = 5,2710-50,0000003,

 =
= 0,0000527310-7,

 = (5273)10-7,

 = (0,5270,003)
10-4.

  1. Если результат
    имеет размерность, ее необходимо
    указать:

правильно – g=(9,820,02)
м/c2,

неправильно – g=(9,820,02).

Соседние файлы в папке Отчеты_Погрешность

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.

  1. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 1

    1

    Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.

  2. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 2

    2

    Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.

  3. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 3

    3

    Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.

  4. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 4

    4

    Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:

  5. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 5

    5

    Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.

  6. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 6

    6

    Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 7

    1

    Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.

    • Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
      Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:

  2. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 8

    2

    Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.

    • Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:

  3. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 9

    3

    Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.

    • В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
      Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.

  4. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 10

    4

    Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.

    • В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:

  5. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 11

    5

    Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.

    • В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
      Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Standard Error Step 12

    1

    Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.

    • В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
      Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.

Советы

  • Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
  • В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 49 776 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

  • Формула расчета средней квадратической ошибки
  • Формула для определения случайной ошибки
  • Формула расчета относительной ошибки
  • Формула бесселя квадрат средней квадратической ошибки равен
  • Формула для определения предельной ошибки показателя