Загрузить PDF
Загрузить PDF
Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.
-
1
Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.
-
2
Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.
-
3
Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.
-
4
Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:
-
5
Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.
-
6
Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.
Реклама
-
1
Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
-
2
Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.
- Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
-
3
Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
-
4
Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.
- В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
-
5
Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.
Реклама
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
-
1
Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
Советы
- Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
- В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 49 776 раз.
Была ли эта статья полезной?
What Is the Standard Error?
The standard error (SE) of a statistic is the approximate standard deviation of a statistical sample population.
The standard error is a statistical term that measures the accuracy with which a sample distribution represents a population by using standard deviation. In statistics, a sample mean deviates from the actual mean of a population; this deviation is the standard error of the mean.
Key Takeaways
- The standard error (SE) is the approximate standard deviation of a statistical sample population.
- The standard error describes the variation between the calculated mean of the population and one which is considered known, or accepted as accurate.
- The more data points involved in the calculations of the mean, the smaller the standard error tends to be.
Standard Error
Understanding Standard Error
The term «standard error» is used to refer to the standard deviation of various sample statistics, such as the mean or median. For example, the «standard error of the mean» refers to the standard deviation of the distribution of sample means taken from a population. The smaller the standard error, the more representative the sample will be of the overall population.
The relationship between the standard error and the standard deviation is such that, for a given sample size, the standard error equals the standard deviation divided by the square root of the sample size. The standard error is also inversely proportional to the sample size; the larger the sample size, the smaller the standard error because the statistic will approach the actual value.
The standard error is considered part of inferential statistics. It represents the standard deviation of the mean within a dataset. This serves as a measure of variation for random variables, providing a measurement for the spread. The smaller the spread, the more accurate the dataset.
Standard error and standard deviation are measures of variability, while central tendency measures include mean, median, etc.
Formula and Calculation of Standard Error
Used in algorithmic trading, the standard error of an estimate can be calculated as the standard deviation divided by the square root of the sample size:
SE = σ / √n
where
- σ = the population standard deviation
- √n = the square root of the sample size
If the population standard deviation is not known, you can substitute the sample standard deviation, s, in the numerator to approximate the standard error.
Requirements for Standard Error
When a population is sampled, the mean, or average, is generally calculated. The standard error can include the variation between the calculated mean of the population and one which is considered known, or accepted as accurate. This helps compensate for any incidental inaccuracies related to the gathering of the sample.
In cases where multiple samples are collected, the mean of each sample may vary slightly from the others, creating a spread among the variables. This spread is most often measured as the standard error, accounting for the differences between the means across the datasets.
The more data points involved in the calculations of the mean, the smaller the standard error tends to be. When the standard error is small, the data is said to be more representative of the true mean. In cases where the standard error is large, the data may have some notable irregularities.
The standard deviation is a representation of the spread of each of the data points. The standard deviation is used to help determine the validity of the data based on the number of data points displayed at each level of standard deviation. Standard errors function more as a way to determine the accuracy of the sample or the accuracy of multiple samples by analyzing deviation within the means.
Standard Error vs. Standard Deviation
The standard error normalizes the standard deviation relative to the sample size used in an analysis. Standard deviation measures the amount of variance or dispersion of the data spread around the mean. The standard error can be thought of as the dispersion of the sample mean estimations around the true population mean. As the sample size becomes larger, the standard error will become smaller, indicating that the estimated sample mean value better approximates the population mean.
Example of Standard Error
Say that an analyst has looked at a random sample of 50 companies in the S&P 500 to understand the association between a stock’s P/E ratio and subsequent 12-month performance in the market. Assume that the resulting estimate is -0.20, indicating that for every 1.0 point in the P/E ratio, stocks return 0.2% poorer relative performance. In the sample of 50, the standard deviation was found to be 1.0.
The standard error is thus:
SE = 1.0/√50 = 1/7.07 = 0.141
Therefore, we would report the estimate as -0.20% ± 0.14, giving us a confidence interval of (-0.34 — -0.06). The true mean value of the association of the P/E on returns of the S&P 500 would therefore fall within that range with a high degree of probability.
Say now that we increase the sample of stocks to 100 and find that the estimate changes slightly from -0.20 to -0.25, and the standard deviation falls to 0.90. The new standard error would thus be:
SE = 0.90/√100 = 0.90/10 = 0.09.
The resulting confidence interval becomes -0.25 ± 0.09 = (-0.34 — -0.16), which is a tighter range of values.
What Is Meant by Standard Error?
Standard error is intuitively the standard deviation of the sampling distribution. In other words, it depicts how much disparity there is likely to be in a point estimate obtained from a sample relative to the true population mean.
What Is a Good Standard Error?
Standard error measures the amount of discrepancy that can be expected in a sample estimate compared to the true value in the population. Therefore, the smaller the standard error the better. In fact, a standard error of zero (or close to it) would indicate that the estimated value is exactly the true value.
How Do You Find the Standard Error?
The standard error takes the standard deviation and divides it by the square root of the sample size. Many statistical software packages automatically compute standard errors.
The Bottom Line
The standard error (SE) measures the dispersion of estimated values obtained from a sample around the true value to be found in the population. Statistical analysis and inference often involves drawing samples and running statistical tests to determine associations and correlations between variables. The standard error thus tells us with what degree of confidence we can expect the estimated value to approximate the population value.
Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?
17 авг. 2022 г.
читать 2 мин
В статистике студенты часто путают два термина: стандартное отклонение и стандартная ошибка .
Стандартное отклонение измеряет, насколько разбросаны значения в наборе данных.
Стандартная ошибка — это стандартное отклонение среднего значения в повторных выборках из совокупности.
Давайте рассмотрим пример, чтобы ясно проиллюстрировать эту идею.
Пример: стандартное отклонение против стандартной ошибки
Предположим, мы измеряем вес 10 разных черепах.
Для этой выборки из 10 черепах мы можем вычислить среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки:
Предположим, что стандартное отклонение оказалось равным 8,68. Это дает нам представление о том, насколько распределен вес этих черепах.
Но предположим, что мы собираем еще одну простую случайную выборку из 10 черепах и также проводим их измерения. Более чем вероятно, что эта выборка из 10 черепах будет иметь немного другое среднее значение и стандартное отклонение, даже если они взяты из одной и той же популяции:
Теперь, если мы представим, что мы берем повторные выборки из одной и той же совокупности и записываем выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение для каждой выборки:
Теперь представьте, что мы наносим каждое среднее значение выборки на одну и ту же строку:
Стандартное отклонение этих средних значений известно как стандартная ошибка.
Формула для фактического расчета стандартной ошибки:
Стандартная ошибка = s/ √n
куда:
- s: стандартное отклонение выборки
- n: размер выборки
Какой смысл использовать стандартную ошибку?
Когда мы вычисляем среднее значение данной выборки, нас на самом деле интересует не среднее значение этой конкретной выборки, а скорее среднее значение большей совокупности, из которой взята выборка.
Однако мы используем выборки, потому что для них гораздо проще собирать данные, чем для всего населения. И, конечно же, среднее значение выборки будет варьироваться от выборки к выборке, поэтому мы используем стандартную ошибку среднего значения как способ измерить, насколько точна наша оценка среднего значения.
Вы заметите из формулы для расчета стандартной ошибки, что по мере увеличения размера выборки (n) стандартная ошибка уменьшается:
Стандартная ошибка = s/ √n
Это должно иметь смысл, поскольку большие размеры выборки уменьшают изменчивость и увеличивают вероятность того, что среднее значение нашей выборки ближе к фактическому среднему значению генеральной совокупности.
Когда использовать стандартное отклонение против стандартной ошибки
Если мы просто заинтересованы в измерении того, насколько разбросаны значения в наборе данных, мы можем использовать стандартное отклонение .
Однако, если мы заинтересованы в количественной оценке неопределенности оценки среднего значения, мы можем использовать стандартную ошибку среднего значения .
В зависимости от вашего конкретного сценария и того, чего вы пытаетесь достичь, вы можете использовать либо стандартное отклонение, либо стандартную ошибку.
Что такое Стандартная формула ошибки?
Стандартная ошибка — это ошибка, которая возникает в распределении выборки при выполнении статистического анализа. Это вариант стандартного отклонения, так как оба понятия соответствуют мерам спреда. Высокая стандартная ошибка соответствует более высокому разбросу данных для взятой выборки. Вычисление формулы стандартной ошибки выполняется для выборки. В то же время стандартное отклонение определяет генеральную совокупность.
Оглавление
- Что такое Стандартная формула ошибки?
- Объяснение
- Пример формулы стандартной ошибки
- Калькулятор стандартной ошибки
- Актуальность и использование
- Стандартная формула ошибки в Excel
- Рекомендуемые статьи
Следовательно, стандартная ошибка среднего значения будет выражаться и определяться в соответствии с соотношением, описанным следующим образом:
σ͞x = σ/√n
Здесь,
- Стандартная ошибка, выраженная как σ͞x.
- Стандартное отклонение совокупности выражается как σ.
- Количество переменных в выборке, выраженное как n.
В статистическом анализе среднее значение, медиана и мода являются центральной тенденцией. Центральная тенденция Центральная тенденция — это статистическая мера, которая отображает центральную точку всего распределения данных, и вы можете найти ее с помощью 3 различных мер, т. е. среднего, медианы и моды.Подробнее меры. Стандартное отклонение, дисперсия и стандартная ошибка среднего классифицируются как меры изменчивости. Стандартная ошибка среднего для выборочных данных напрямую связана со стандартным отклонением большей совокупности и обратно пропорциональна или связана с квадратным корнем. число. Чтобы использовать эту функцию, введите термин =SQRT и нажмите клавишу табуляции, которая вызовет функцию SQRT. Более того, эта функция принимает один аргумент из нескольких переменных, используемых для создания выборки. Следовательно, если размер выборки Размер выборкиФормула размера выборки отображает соответствующий диапазон генеральной совокупности, в которой проводится эксперимент или опрос. Он измеряется с использованием размера генеральной совокупности, критического значения нормального распределения при требуемом доверительном уровне, доли выборки и предела погрешности. Если больше, то может быть равная вероятность того, что стандартная ошибка также будет большой.
Объяснение
Можно объяснить формулу для стандартной ошибки среднего, используя следующие шаги:
- Определите и организуйте выборку и определите количество переменных.
- Затем среднее значение выборки соответствует количеству переменных, присутствующих в выборке.
- Затем определите стандартное отклонение выборки.
- Затем определите квадратный корень из числа переменных, включенных в выборку.
- Теперь разделите стандартное отклонение, вычисленное на шаге 3, на полученное значение на шаге 4, чтобы получить стандартную ошибку.
Пример формулы стандартной ошибки
Ниже приведены примеры формул для расчета стандартной ошибки.
.free_excel_div{фон:#d9d9d9;размер шрифта:16px;радиус границы:7px;позиция:относительная;margin:30px;padding:25px 25px 25px 45px}.free_excel_div:before{content:»»;фон:url(центр центр без повтора #207245;ширина:70px;высота:70px;позиция:абсолютная;верх:50%;margin-top:-35px;слева:-35px;граница:5px сплошная #fff;граница-радиус:50%} Вы можете скачать этот шаблон стандартной формулы ошибки Excel здесь — Стандартная формула ошибки Шаблон Excel
Пример №1
Возьмем в качестве примера акции ABC. В течение 30 лет акции приносили средний долларовый доход в размере 45 долларов. Кроме того, было замечено, что акции приносят прибыль со стандартным отклонением в 2 доллара. Помогите инвестору рассчитать общую стандартную ошибку средней доходности, предлагаемой акцией ABC.
Решение:
- Стандартное отклонение (σ) = $2
- Количество лет (n) = 30
- Средняя доходность в долларах = 45 долларов.
Расчет стандартной ошибки выглядит следующим образом:
- σ͞x = σ/√n
- = 2 доллара США/√30
- = 2 доллара США / 5,4773
Стандартная ошибка,
- σx = 0,3651 доллара США
Таким образом, инвестиция предлагает инвестору стандартную долларовую ошибку в среднем 0,36515 доллара при удерживании позиции ABC в течение 30 лет. Однако, если бы акции сохранялись для более высокого инвестиционного горизонта, то стандартная ошибка среднего значения в долларах значительно уменьшилась бы.
Пример #2
Возьмем в качестве примера инвестора, который получил следующую доходность акций XYZ:
Год инвестиций Предлагаемая доходность120%225%35%410%
Помогите инвестору рассчитать общую стандартную ошибку средней доходности акций XYZ.
Решение:
Сначала определите среднее значение доходности, как показано ниже: –
- ͞X = (x1+x2+x3+x4)/количество лет
- = (20+25+5+10)/4
- =15%
Теперь определите стандартное отклонение доходности, как показано ниже: –
- σ = √ ((x1-͞X)2 + (x2-͞X)2 + (x3-͞X)2 + (x4-͞X)2) / √ (количество лет -1)
- = √ ((20-15) 2 + (25-15) 2 + (5-15) 2 + (10-15) 2) / √ (4-1)
- = (√ (5) 2 + (10) 2 + (-10) 2 + (-5) 2 ) / √ (3)
- = (√25+100+100+25)/ √ (3)
- =√250/√3
- =√83,3333
- «=» 9,1287%
Теперь вычисление стандартной ошибки выглядит следующим образом:
- σ͞x = σ/√n
- = 9,128709/√4
- = 9,128709/2
Стандартная ошибка,
- σx = 4,56%
Таким образом, инвестиции предлагают инвестору стандартную ошибку в долларах в среднем 4,56% при удержании позиции XYZ в течение 4 лет.
Калькулятор стандартной ошибки
Вы можете использовать следующий калькулятор.
.cal-tbl td{ верхняя граница: 0 !важно; }.cal-tbl tr{ высота строки: 0.5em; } Только экран @media и (минимальная ширина устройства: 320 пикселей) и (максимальная ширина устройства: 480 пикселей) { .cal-tbl tr{ line-height: 1em !important; } } σnСтандартная формула ошибки
Формула стандартной ошибки =σ =√n 0 = 0√0
Актуальность и использование
Стандартная ошибка имеет тенденцию быть высокой, если размер выборки для анализа мал. Следовательно, выборка всегда берется из большей совокупности, которая включает больший размер переменных. Это всегда помогает статистику определить достоверность среднего значения выборки относительно среднего значения генеральной совокупности.
Большая стандартная ошибка говорит статистику, что выборка неоднородна в отношении среднего значения генеральной совокупности. Относительно населения наблюдается большой разброс в выборке. Точно так же небольшая стандартная ошибка говорит статистику, что выборка однородна относительно среднего значения генеральной совокупности. Отсутствуют или незначительные различия в выборке относительно населения.
Не следует смешивать его со стандартным отклонением. Вместо этого следует рассчитать стандартное отклонение для всей совокупности. Стандартная ошибкаСтандартная ошибкаСтандартная ошибка (SE) — это метрика, которая измеряет точность выборочного распределения, обозначающего совокупность, с использованием стандартного отклонения. Другими словами, это мера дисперсии среднего значения выборки, связанная со средним значением генеральной совокупности, а не стандартное отклонение. С другой стороны, оно определяется для среднего значения выборки.
Стандартная формула ошибки в Excel
Теперь давайте возьмем пример Excel, чтобы проиллюстрировать концепцию стандартной формулы ошибки в шаблоне Excel ниже. Предположим, администрация школы хочет определить стандартную ошибку среднего значения роста футболистов.
Выборка состоит из следующих значений: –
Помогите администрации оценить стандартную ошибку среднего значения.
Шаг 1: Определите среднее значение, как показано ниже: –
Шаг 2: Определите стандартное отклонение, как показано ниже: –
Шаг 3: Определите стандартную ошибку среднего значения, как показано ниже: –
Следовательно, стандартная ошибка среднего значения для футболистов составляет 1,846 дюйма. Руководство должно заметить, что оно значительно велико. Таким образом, выборочные данные, взятые для анализа, неоднородны и имеют большую дисперсию.
Руководству следует либо исключить более мелких игроков, либо добавить игроков значительно выше, чтобы сбалансировать средний рост футбольной команды, заменив их людьми с меньшим ростом по сравнению с их сверстниками.
Рекомендуемые статьи
Эта статья была руководством по формуле стандартной ошибки. Здесь мы обсуждаем формулу для расчета среднего значения, стандартную ошибку, примеры и загружаемый лист Excel. Вы можете узнать больше из следующих статей: –
- Формула рентабельности EBITDA
- Формула валовой прибыли
- Формула относительного стандартного отклонения
- Формула погрешности
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.
-
1
Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.
-
2
Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.
-
3
Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.
-
4
Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:
-
5
Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.
-
6
Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.
Реклама
-
1
Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
-
2
Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.
- Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
-
3
Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
-
4
Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.
- В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
-
5
Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.
Реклама
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
-
1
Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
Советы
- Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
- В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 48 054 раза.
Была ли эта статья полезной?
Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).
Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.
Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).
Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.
Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?
Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической
Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:
где xi – значения переменной,
n – количество значений.
Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:
Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:
где σ2 – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.
На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:
Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.
Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии
Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии
Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.
Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической
Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:
Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.
Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).
Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.
Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.
Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).
Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.
Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.
Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.
Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.
Поделиться в социальных сетях:
Содержание
- Расчет ошибки средней арифметической
- Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
- Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
- Вопросы и ответы
Стандартная ошибка или, как часто называют, ошибка средней арифметической, является одним из важных статистических показателей. С помощью данного показателя можно определить неоднородность выборки. Он также довольно важен при прогнозировании. Давайте узнаем, какими способами можно рассчитать величину стандартной ошибки с помощью инструментов Microsoft Excel.
Расчет ошибки средней арифметической
Одним из показателей, которые характеризуют цельность и однородность выборки, является стандартная ошибка. Эта величина представляет собой корень квадратный из дисперсии. Сама дисперсия является средним квадратном от средней арифметической. Средняя арифметическая вычисляется делением суммарной величины объектов выборки на их общее количество.
В Экселе существуют два способа вычисления стандартной ошибки: используя набор функций и при помощи инструментов Пакета анализа. Давайте подробно рассмотрим каждый из этих вариантов.
Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
Прежде всего, давайте составим алгоритм действий на конкретном примере по расчету ошибки средней арифметической, используя для этих целей комбинацию функций. Для выполнения задачи нам понадобятся операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ.
Для примера нами будет использована выборка из двенадцати чисел, представленных в таблице.
- Выделяем ячейку, в которой будет выводиться итоговое значение стандартной ошибки, и клацаем по иконке «Вставить функцию».
- Открывается Мастер функций. Производим перемещение в блок «Статистические». В представленном перечне наименований выбираем название «СТАНДОТКЛОН.В».
- Запускается окно аргументов вышеуказанного оператора. СТАНДОТКЛОН.В предназначен для оценивания стандартного отклонения при выборке. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)«Число1» и последующие аргументы являются числовыми значениями или ссылками на ячейки и диапазоны листа, в которых они расположены. Всего может насчитываться до 255 аргументов этого типа. Обязательным является только первый аргумент.
Итак, устанавливаем курсор в поле «Число1». Далее, обязательно произведя зажим левой кнопки мыши, выделяем курсором весь диапазон выборки на листе. Координаты данного массива тут же отображаются в поле окна. После этого клацаем по кнопке «OK».
- В ячейку на листе выводится результат расчета оператора СТАНДОТКЛОН.В. Но это ещё не ошибка средней арифметической. Для того, чтобы получить искомое значение, нужно стандартное отклонение разделить на квадратный корень от количества элементов выборки. Для того, чтобы продолжить вычисления, выделяем ячейку, содержащую функцию СТАНДОТКЛОН.В. После этого устанавливаем курсор в строку формул и дописываем после уже существующего выражения знак деления (/). Вслед за этим клацаем по пиктограмме перевернутого вниз углом треугольника, которая располагается слева от строки формул. Открывается список недавно использованных функций. Если вы в нем найдете наименование оператора «КОРЕНЬ», то переходите по данному наименованию. В обратном случае жмите по пункту «Другие функции…».
- Снова происходит запуск Мастера функций. На этот раз нам следует посетить категорию «Математические». В представленном перечне выделяем название «КОРЕНЬ» и жмем на кнопку «OK».
- Открывается окно аргументов функции КОРЕНЬ. Единственной задачей данного оператора является вычисление квадратного корня из заданного числа. Его синтаксис предельно простой:
=КОРЕНЬ(число)
Как видим, функция имеет всего один аргумент «Число». Он может быть представлен числовым значением, ссылкой на ячейку, в которой оно содержится или другой функцией, вычисляющей это число. Последний вариант как раз и будет представлен в нашем примере.
Устанавливаем курсор в поле «Число» и кликаем по знакомому нам треугольнику, который вызывает список последних использованных функций. Ищем в нем наименование «СЧЁТ». Если находим, то кликаем по нему. В обратном случае, опять же, переходим по наименованию «Другие функции…».
- В раскрывшемся окне Мастера функций производим перемещение в группу «Статистические». Там выделяем наименование «СЧЁТ» и выполняем клик по кнопке «OK».
- Запускается окно аргументов функции СЧЁТ. Указанный оператор предназначен для вычисления количества ячеек, которые заполнены числовыми значениями. В нашем случае он будет подсчитывать количество элементов выборки и сообщать результат «материнскому» оператору КОРЕНЬ. Синтаксис функции следующий:
=СЧЁТ(значение1;значение2;…)В качестве аргументов «Значение», которых может насчитываться до 255 штук, выступают ссылки на диапазоны ячеек. Ставим курсор в поле «Значение1», зажимаем левую кнопку мыши и выделяем весь диапазон выборки. После того, как его координаты отобразились в поле, жмем на кнопку «OK».
- После выполнения последнего действия будет не только рассчитано количество ячеек заполненных числами, но и вычислена ошибка средней арифметической, так как это был последний штрих в работе над данной формулой. Величина стандартной ошибки выведена в ту ячейку, где размещена сложная формула, общий вид которой в нашем случае следующий:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13))Результат вычисления ошибки средней арифметической составил 0,505793. Запомним это число и сравним с тем, которое получим при решении поставленной задачи следующим способом.
Но дело в том, что для малых выборок (до 30 единиц) для большей точности лучше применять немного измененную формулу. В ней величина стандартного отклонения делится не на квадратный корень от количества элементов выборки, а на квадратный корень от количества элементов выборки минус один. Таким образом, с учетом нюансов малой выборки наша формула приобретет следующий вид:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1)
Урок: Статистические функции в Экселе
Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
Вторым вариантом, с помощью которого можно вычислить стандартную ошибку в Экселе, является применение инструмента «Описательная статистика», входящего в набор инструментов «Анализ данных» («Пакет анализа»). «Описательная статистика» проводит комплексный анализ выборки по различным критериям. Одним из них как раз и является нахождение ошибки средней арифметической.
Но чтобы воспользоваться данной возможностью, нужно сразу активировать «Пакет анализа», так как по умолчанию в Экселе он отключен.
- После того, как открыт документ с выборкой, переходим во вкладку «Файл».
- Далее, воспользовавшись левым вертикальным меню, перемещаемся через его пункт в раздел «Параметры».
- Запускается окно параметров Эксель. В левой части данного окна размещено меню, через которое перемещаемся в подраздел «Надстройки».
- В самой нижней части появившегося окна расположено поле «Управление». Выставляем в нем параметр «Надстройки Excel» и жмем на кнопку «Перейти…» справа от него.
- Запускается окно надстроек с перечнем доступных скриптов. Отмечаем галочкой наименование «Пакет анализа» и щелкаем по кнопке «OK» в правой части окошка.
- После выполнения последнего действия на ленте появится новая группа инструментов, которая имеет наименование «Анализ». Чтобы перейти к ней, щелкаем по названию вкладки «Данные».
- После перехода жмем на кнопку «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ», который расположен в самом конце ленты.
- Запускается окошко выбора инструмента анализа. Выделяем наименование «Описательная статистика» и жмем на кнопку «OK» справа.
- Запускается окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика».
В поле «Входной интервал» необходимо указать диапазон ячеек таблицы, в которых находится анализируемая выборка. Вручную это делать неудобно, хотя и можно, поэтому ставим курсор в указанное поле и при зажатой левой кнопке мыши выделяем соответствующий массив данных на листе. Его координаты тут же отобразятся в поле окна.
В блоке «Группирование» оставляем настройки по умолчанию. То есть, переключатель должен стоять около пункта «По столбцам». Если это не так, то его следует переставить.
Галочку «Метки в первой строке» можно не устанавливать. Для решения нашего вопроса это не важно.
Далее переходим к блоку настроек «Параметры вывода». Здесь следует указать, куда именно будет выводиться результат расчета инструмента «Описательная статистика»:
- На новый лист;
- В новую книгу (другой файл);
- В указанный диапазон текущего листа.
Давайте выберем последний из этих вариантов. Для этого переставляем переключатель в позицию «Выходной интервал» и устанавливаем курсор в поле напротив данного параметра. После этого клацаем на листе по ячейке, которая станет верхним левым элементом массива вывода данных. Её координаты должны отобразиться в поле, в котором мы до этого устанавливали курсор.
Далее следует блок настроек определяющий, какие именно данные нужно вводить:
- Итоговая статистика;
- К-ый наибольший;
- К-ый наименьший;
- Уровень надежности.
Для определения стандартной ошибки обязательно нужно установить галочку около параметра «Итоговая статистика». Напротив остальных пунктов выставляем галочки на свое усмотрение. На решение нашей основной задачи это никак не повлияет.
После того, как все настройки в окне «Описательная статистика» установлены, щелкаем по кнопке «OK» в его правой части.
- После этого инструмент «Описательная статистика» выводит результаты обработки выборки на текущий лист. Как видим, это довольно много разноплановых статистических показателей, но среди них есть и нужный нам – «Стандартная ошибка». Он равен числу 0,505793. Это в точности тот же результат, который мы достигли путем применения сложной формулы при описании предыдущего способа.
Урок: Описательная статистика в Экселе
Как видим, в Экселе можно произвести расчет стандартной ошибки двумя способами: применив набор функций и воспользовавшись инструментом пакета анализа «Описательная статистика». Итоговый результат будет абсолютно одинаковый. Поэтому выбор метода зависит от удобства пользователя и поставленной конкретной задачи. Например, если ошибка средней арифметической является только одним из многих статистических показателей выборки, которые нужно рассчитать, то удобнее воспользоваться инструментом «Описательная статистика». Но если вам нужно вычислить исключительно этот показатель, то во избежание нагромождения лишних данных лучше прибегнуть к сложной формуле. В этом случае результат расчета уместится в одной ячейке листа.
Чтобы
судить о том, насколько точно проведенные
измерения отражают состав генеральной
совокупности, необходимо вычислить
стандартную ошибку средней арифметической
выборочной совокупности.
Стандартная
ошибка средней арифметической
характеризует степень отклонения
выборочной средней арифметической от
средней арифметической генеральной
совокупности.
Стандартная
ошибка средней арифметической вычисляется
по формуле:
,
где
– стандартное отклонение результатов
измерений, n
– объем выборки.
Зачастую
мы имеем дело с одной случайной выборкой
и с одной полученной при ее обработке
выборочной средней. Задача заключается
в суждении о величине неизвестной
генеральной средней по полученной
неточной величине случайной выборочной
средней.
Вычислим
среднюю ошибку найденного выборочного
среднего значения роста:
195
см; σ = 8,8 см;
см.
2,8 см
составляют не максимальную, а среднюю
возможную ошибку среднего. Отдельные
выборочные средние могут отклоняться
от генеральной как больше, так и меньше,
чем на 2,8 см.
Каковы
же пределы возможных ошибок случайной
выборки, какова ее максимальная ошибка?
Величина максимальной ошибки зависит
от величины средней ошибки и вычисляется
по формуле
.
При
объеме выборки n
= 10:
.
Все
случайные выборочные средние, которые
могут быть получены в подобных опытах
(в том числе и фактически полученная
выборочная средняя
= 195 см), при своем варьировании около
неизвестного генерального среднего в
подавляющем количестве группируются
около него так, что лишь ничтожный
процент их отклоняется от генеральной
средней более, чем на величину максимальной
ошибки.
Другими
словами, генеральная средняя определяется
как
.
Эти пределы
колебаний значительно сужаются, если
средняя ошибка уменьшается благодаря
увеличению численности выборки.
Искомая
генеральная средняя лежит между
и
.
Таким образом, при высокой точности
выполнения эксперимента и достаточно
большом числе измерений можно определить
среднюю арифметическую бесконечно
большого числа экспериментов.
До сих
пор мы определяли максимальную ошибку
выборочной средней, исходя из того, что
все остальные показатели известны. Если
же мы хотим достичь определенной
точности, определенного приближения к
генеральной средней, в этом случае
встает вопрос о численности выборки (о
том, сколько измерений, опытов необходимо
провести).
Допустим, что
максимальная ошибка должна быть равна
5 см. Сколько человек надо обследовать
(измерить) в нашем случае?
.
Следовательно,
мы должны провести измерения роста у
36 баскетболистов высокого класса.
10. Достоверность различий
Следующим
важным вопросом практически для каждого
экспериментатора является умение
доказать достоверность различий между
двумя рядами признаков.
Проверку
достоверности различия двух рядов
измерений производят путем вычисления
критерия достоверности различия – t:
,
где
– средняя одной выборки;
– средняя другой выборки;
– средняя ошибка первой выборки;
– второй выборки. Если t < 2, то различие
между двумя выборками считается
недостоверным, если t
2, то различие между двумя выборками
достоверно на 95%.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?
17 авг. 2022 г.
читать 2 мин
В статистике студенты часто путают два термина: стандартное отклонение и стандартная ошибка .
Стандартное отклонение измеряет, насколько разбросаны значения в наборе данных.
Стандартная ошибка — это стандартное отклонение среднего значения в повторных выборках из совокупности.
Давайте рассмотрим пример, чтобы ясно проиллюстрировать эту идею.
Пример: стандартное отклонение против стандартной ошибки
Предположим, мы измеряем вес 10 разных черепах.
Для этой выборки из 10 черепах мы можем вычислить среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки:
Предположим, что стандартное отклонение оказалось равным 8,68. Это дает нам представление о том, насколько распределен вес этих черепах.
Но предположим, что мы собираем еще одну простую случайную выборку из 10 черепах и также проводим их измерения. Более чем вероятно, что эта выборка из 10 черепах будет иметь немного другое среднее значение и стандартное отклонение, даже если они взяты из одной и той же популяции:
Теперь, если мы представим, что мы берем повторные выборки из одной и той же совокупности и записываем выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение для каждой выборки:
Теперь представьте, что мы наносим каждое среднее значение выборки на одну и ту же строку:
Стандартное отклонение этих средних значений известно как стандартная ошибка.
Формула для фактического расчета стандартной ошибки:
Стандартная ошибка = s/ √n
куда:
- s: стандартное отклонение выборки
- n: размер выборки
Какой смысл использовать стандартную ошибку?
Когда мы вычисляем среднее значение данной выборки, нас на самом деле интересует не среднее значение этой конкретной выборки, а скорее среднее значение большей совокупности, из которой взята выборка.
Однако мы используем выборки, потому что для них гораздо проще собирать данные, чем для всего населения. И, конечно же, среднее значение выборки будет варьироваться от выборки к выборке, поэтому мы используем стандартную ошибку среднего значения как способ измерить, насколько точна наша оценка среднего значения.
Вы заметите из формулы для расчета стандартной ошибки, что по мере увеличения размера выборки (n) стандартная ошибка уменьшается:
Стандартная ошибка = s/ √n
Это должно иметь смысл, поскольку большие размеры выборки уменьшают изменчивость и увеличивают вероятность того, что среднее значение нашей выборки ближе к фактическому среднему значению генеральной совокупности.
Когда использовать стандартное отклонение против стандартной ошибки
Если мы просто заинтересованы в измерении того, насколько разбросаны значения в наборе данных, мы можем использовать стандартное отклонение .
Однако, если мы заинтересованы в количественной оценке неопределенности оценки среднего значения, мы можем использовать стандартную ошибку среднего значения .
В зависимости от вашего конкретного сценария и того, чего вы пытаетесь достичь, вы можете использовать либо стандартное отклонение, либо стандартную ошибку.
Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).
Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.
Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).
Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.
Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?
Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической
Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:
где xi – значения переменной,
n – количество значений.
Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:
Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:
где σ2 – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.
На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:
Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.
Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии
Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии
Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.
Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической
Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:
Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.
Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).
Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.
Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.
Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).
Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.
Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.
Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.
Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.
Поделиться в социальных сетях:
Standard error pertains to the standard deviation of a data set, which is an essential statistical metric. This formula may be used to determine the accuracy of a sample that reflects a population. The standard error formula is the discrepancy between the sample mean and the population mean.
Standard Error
The term “sample” in statistics refers to a specific set of information that is generated. The data we obtained on the height of some people in a locality, for example, maybe the sample. A population is a collection of people from which we draw a sample. There are several ways to define a population, and we must always be clear about what constitutes a population. This collection necessitates a large number of calculations.
Standard error represents how well a given sample represents the population. The Standard Error indicates how well the sample mean predicts the real population mean.
Formula
The SE formula is used to determine the reliability of a sampling that represents a population. The sample mean that differs from the provided population and is expressed as:
SE =
where,
- S denotes standard deviation of the data
- n denotes the number of observations
Sample Problems
Question 1: Find the standard error for the sample data: 1, 2, 3, 4, 5.
Solution:
Mean of the given data = (1+2+3+4+5)/5
= 15/5
= 3
Standard Deviation = √((1 – 3)2 + (2 – 3)2 + (3 – 3)2 + (4 – 3)2 + (5 – 3)2)/(5 – 1)
= √((4 + 1 + 0 + 1 + 4)/4)
= √(10/4)
= 1.5
Now, SE = 1.5/√5
= 0.67
Question 2: Find the standard error for the sample data: 2, 3, 4, 5, 6.
Solution:
Mean of the given data = (2+3+4+5+6)/5
= 20/5
= 4
Standard Deviation = √((2 – 4)2 + (3 – 4)2 + (4 – 4)2 + (5 – 4)2 + (6 – 4)2)/(5 – 1)
= √((4 + 1 + 0 + 1 + 4)/4)
= √(10/4)
= 1.58
Now, SE = 1.58/√5
= 0.706
Question 3: Find the standard error for the sample data: 10, 20, 30, 40, 45.
Solution:
Mean of the given data = (10+20+30+40+50)/5
= 145/5
= 29
Standard Deviation = √((10 – 29)2 + (20 – 29)2 + (30 – 29)2 + (40 – 29)2 + (45 – 29)2)/(5 – 1)
= √(820/4)
= 14.317
Now, SE = 14.317/√6
= 5.84
Question 4: Find the standard error for the sample data: 2, 6, 9, 5.
Solution:
Mean of the given data = (2+6+9+5)/4
= 5.5
Standard Deviation = √((2 – 5.5)2 + (6 – 5.5)2 + (9 – 5.5)2 + (5 – 5.5)2)/(4 – 1)
= √(25/3)
= 2.88
Now, SE = 2.8/√5.5
= 1.19
Question 5: Find the standard error for the sample data: 5, 8, 10, 12.
Solution:
Mean of the given data = (5+8+10+12)/4
= 8.75
Standard Deviation = √((5 – 8.75)2 + (8 – 8.75)2 + (10 – 8.75)2 + (12 – 8.75)2)/(4 – 1)
= √(26.75/3)
= 2.98
Now, SE = 2.98/√8.75
= 1.0074
Standard error pertains to the standard deviation of a data set, which is an essential statistical metric. This formula may be used to determine the accuracy of a sample that reflects a population. The standard error formula is the discrepancy between the sample mean and the population mean.
Standard Error
The term “sample” in statistics refers to a specific set of information that is generated. The data we obtained on the height of some people in a locality, for example, maybe the sample. A population is a collection of people from which we draw a sample. There are several ways to define a population, and we must always be clear about what constitutes a population. This collection necessitates a large number of calculations.
Standard error represents how well a given sample represents the population. The Standard Error indicates how well the sample mean predicts the real population mean.
Formula
The SE formula is used to determine the reliability of a sampling that represents a population. The sample mean that differs from the provided population and is expressed as:
SE =
where,
- S denotes standard deviation of the data
- n denotes the number of observations
Sample Problems
Question 1: Find the standard error for the sample data: 1, 2, 3, 4, 5.
Solution:
Mean of the given data = (1+2+3+4+5)/5
= 15/5
= 3
Standard Deviation = √((1 – 3)2 + (2 – 3)2 + (3 – 3)2 + (4 – 3)2 + (5 – 3)2)/(5 – 1)
= √((4 + 1 + 0 + 1 + 4)/4)
= √(10/4)
= 1.5
Now, SE = 1.5/√5
= 0.67
Question 2: Find the standard error for the sample data: 2, 3, 4, 5, 6.
Solution:
Mean of the given data = (2+3+4+5+6)/5
= 20/5
= 4
Standard Deviation = √((2 – 4)2 + (3 – 4)2 + (4 – 4)2 + (5 – 4)2 + (6 – 4)2)/(5 – 1)
= √((4 + 1 + 0 + 1 + 4)/4)
= √(10/4)
= 1.58
Now, SE = 1.58/√5
= 0.706
Question 3: Find the standard error for the sample data: 10, 20, 30, 40, 45.
Solution:
Mean of the given data = (10+20+30+40+50)/5
= 145/5
= 29
Standard Deviation = √((10 – 29)2 + (20 – 29)2 + (30 – 29)2 + (40 – 29)2 + (45 – 29)2)/(5 – 1)
= √(820/4)
= 14.317
Now, SE = 14.317/√6
= 5.84
Question 4: Find the standard error for the sample data: 2, 6, 9, 5.
Solution:
Mean of the given data = (2+6+9+5)/4
= 5.5
Standard Deviation = √((2 – 5.5)2 + (6 – 5.5)2 + (9 – 5.5)2 + (5 – 5.5)2)/(4 – 1)
= √(25/3)
= 2.88
Now, SE = 2.8/√5.5
= 1.19
Question 5: Find the standard error for the sample data: 5, 8, 10, 12.
Solution:
Mean of the given data = (5+8+10+12)/4
= 8.75
Standard Deviation = √((5 – 8.75)2 + (8 – 8.75)2 + (10 – 8.75)2 + (12 – 8.75)2)/(4 – 1)
= √(26.75/3)
= 2.98
Now, SE = 2.98/√8.75
= 1.0074
Стандартная ошибка появляется при прогнозировании каких-либо данных или арифметических вычислениях, поэтому важно научиться находить этот параметр. В этой публикации разбираем, как найти и исправить стандартную ошибку путем использования инструментов Excel.
Расчет средней арифметической ошибки
В Microsoft Excel цельность и однородность выборки определяется при помощи стандартной ошибки. Стандартная ошибка — это квадратный корень из дисперсии. В приложении предусмотрено два варианта поиска стандартной ошибки: при помощи пакетного анализа и расширенных функций программы.
Чтобы найти значение средней арифметической, необходимо выполнить деление суммарной величины выборки на ее количество в электронной книге.
Расчет стандартной ошибки при помощи встроенных функций
Для того, чтобы правильно вычислять, необходимо изучить пошаговую инструкцию. В этом способе подбор результатов будет осуществляться с помощью комбинированных манипуляций.
- Для расчетов будем использовать таблицу с выборкой чисел. Кликаем на любой пустой ячейке на листе, где будет отображаться результат. Затем нажимаем кнопку «Вставить функцию.
- Далее перед вами открывается диалоговое окно, в котором необходимо использовать «СТАНДОТКЛ.В», для этого в поле «Категория» необходимо выбрать «Полный алфавитный перечень». Затем нажмите кнопку «ОК».
- В окне «Аргументы функции» кликаем в первом поле «Число 1», затем выполняем выделение мышью диапазона ячеек со значениями таблицы и нажимаем кнопку «ОК».
- Далее активируем ячейку с нашими значениями, переходим в строку формулы и ставим после значений наклонную линию. Переходим в поле наименования, кликаем на указывающий вниз флажок, где из списка выбираем «Другие функции».
- Снова активируется окно с перечнем функций, в котором необходимо выбрать категорию «Математические», затем функцию «Корень». Далее нажмите кнопку «ОК».
- Далее открывается окно, в котором необходимо заполнить поле с числом. Для этого переходим в поле «Имя», где спускаемся к пункту «Счет». Если его нет, ищите в дополнительных функциях.
После выполнения этих шагов, стандартная ошибка высчитывается автоматически, пользователю остается только сверить их и проверить значение на некорректное отображение.
Для малых и стандартных выборок необходимо использовать разные формулы. В первом случае (если находится до 30 значений), ее необходимо видоизменить.
Решение задачи с помощью опции «Описательная статистика»
Благодаря опции «Описательная статистика» удается выполнить вычисление по различным критериям. По этим правилам удается найти среднюю арифметическую ошибку. Для использования данного метода предварительно нужно запустить «Пакет анализа».
- Переходим во вкладку «Файл», где перемещаемся в пункт «Параметры». Далее нажимаем на запись «Надстройки».
- Открывается окошко, в нем в графе «Управление» должно быть прописано «Надстройки Excel», затем рядом нажимаем кнопку «Параметры».
- В появившемся окне находим «Пакет анализа» и нажимаем кнопку «ОК».
- Далее выбираем любую свободную ячейку, переходим во вкладку «Данные» и нажимаем «Анализ данных» в блоке «Анализ».
- Происходит запуск вспомогательного окошка, в котором необходимо выбрать из всех инструментов «Описательную статистику» и нажать кнопку «ОК».
- Открывается новый мастер значений. Здесь нужно вводить данные предельно внимательно. В поле «Входной интервал» вносим адрес диапазона ячеек с выборкой. Затем указываем параметр «Группирование» «По столбцам». Затем выбираем место для «выходного интервала», его должно быть столько же, сколько и «входного». Ставим галочку напротив «Итоговая статистика» и нажимаем кнопку «ОК».
В результате вычислений вы получаете небольшую таблицу, в которой указаны все данные с определенной стандартной ошибкой.
Ранее мы рассматривали пример анализа, где аналитик оценивал средние планируемые капитальные затраты клиентов на телекоммуникационное оборудование.
Если предположить, что выборка репрезентативна для совокупности, то как аналитик может оценить ошибку выборки при расчете среднего значения по совокупности?
Рассматриваемое как формула, которая использует функцию случайных исходов случайной величины, выборочное среднее само по себе является случайной величиной с распределением вероятностей. Это распределение вероятностей называется выборочным распределением статистики (англ. ‘sampling distribution’).
Иногда возникает путаница, потому что термин «выборочное среднее» также используется в другом смысле. При расчете выборочного среднего для конкретной выборки, мы получаем определенное число, скажем, 8.
Если мы говорим, что «выборочное среднее равно 8», мы используем термин «выборочное среднее» в смысле конкретного исхода выборочного среднего как случайной величины. Число 8 является, конечно же, постоянной величиной и не имеет распределения вероятностей.
В данном обсуждении, мы не рассматриваем «выборочное среднее» как постоянную величину, относящуюся к конкретной выборке.
Для того, чтобы оценить, насколько близко выборочное среднее к среднему по совокупности, аналитик должен понимать распределение выборочного среднего. К счастью, у нас есть для этого инструмент, — центральная предельная теорема, которая помогает нам понять распределение выборочного среднего для многих задач оценивания, с которыми мы сталкиваемся.
Центральная предельная теорема.
Центральная предельная теорема — одна из наиболее практически полезных теорем теории вероятностей. Она имеет важное значение для того, как мы строим доверительные интервалы и проверяем статистические гипотезы.
Формально она формулируется следующим образом:
Для данной генеральной совокупности, описанной любым распределением вероятностей, имеющим среднее ( mu ) и конечную дисперсию ( sigma^2 ), распределение выборочного среднего ( overline X), вычисленное по выборке размера (n) из этой совокупности будет приблизительно нормальным со средним ( mu ) (среднее значение совокупности) и дисперсией ( sigma^2 / n ) (дисперсия совокупности деленная на n), при большом размере выборки (n).
Центральная предельная теорема позволяет сделать довольно точные вероятностные утверждения о среднем значении совокупности на основе выборочного среднего, независимо от размера распределения совокупности (так как оно имеет конечную дисперсию), потому что выборочное среднее приблизительно соответствует нормальному распределению для выборок большого размера.
Тут сразу возникает очевидный вопрос:
«Какой размер выборки можно считать достаточно большим, чтобы мы могли считать, что выборочное среднее соответствует нормальному распределению?»
В целом, если размер выборки ( n ) больше или равен 30, то можно считать, что выборочное среднее приблизительно нормально распределено.
Если генеральная совокупность сильно отличается от нормального распределения, то чтобы получить нормальное распределение, хорошо описывающее распределение выборочного среднего, необходим размер выборки намного больше 30.
Центральная предельная теорема утверждает, что дисперсия распределения выборочного среднего равна ( sigma^2 / n ). Положительный квадратный корень из дисперсии является стандартным отклонением.
Стандартное отклонение выборочной статистики также называют стандартной ошибкой статистики (англ. ‘standard error’).
Стандартная ошибка выборочного среднего является важной величиной в применении центральной предельной теоремы на практике.
Определение стандартной ошибки среднего значения выборки.
Для среднего значения выборки ( overline X) рассчитанного на основе выборки из совокупности со стандартным отклонением ( sigma ), стандартная ошибка среднего значения выборки определяется одним из двух выражений:
( Large dst sigma_{overline X} = {sigma over sqrt n} ) (Формула 1)
когда мы знаем стандартное отклонение совокупности ( sigma ), или
( Large dst s_{overline X} = {s over sqrt n} ) (Формула 2)
когда нам не известно стандартное отклонение совокупности и необходимо использовать стандартное отклонение выборки (s), чтобы оценить его.
Необходимо отметить технический момент: Когда мы делаем выборку размера (n) из конечной совокупности размера (N), мы применяем уменьшающий коэффициент к стандартной ошибке выборочного среднего, который называется поправкой для конечной совокупности (или FPC, от англ. ‘finite population correction factor’).
FPC равна ( [(N — n)/(N — 1)]^{1/2} ).
Таким образом, если (N = 100) и (n = 20), то ( [(100 — 20)/(100 — 1)]^{1/2} = 0.898933 ).
Если мы рассчитали стандартную ошибку равную, скажем, 20, в соответствии с Формулой 1 или Формулой 2, то оценка ошибки с поправкой составляет ( 20(0.898933) = 17.978663 ).
FPC применяется только когда мы делаем выборку из конечной совокупности без замены.
На практике, большинство аналитиков не применяют FPC, если размер выборки (n) слишком мал по сравнению с ( N ) (скажем, менее 5% от (N) ).
Для получения дополнительной информации о поправке для конечной совокупности см. Daniel and Terrell (1995).
На практике, нам почти всегда приходится использовать Формулу 2. Стандартное отклонение выборки (s) можно рассчитать, найдя квадратный корень из дисперсии выборки (s^2), которая рассчитывается следующим образом:
( Large dst
s^2 = {dsum_{i=1}^{n} big ( X_i — overline {X} big )^2 over n-1 } ) (Формула 3)
Мы скоро увидим, как мы можем использовать среднее значение выборки и его стандартную ошибку, чтобы сделать вероятностные утверждения о среднем значении совокупности, используя технику доверительных интервалов.
Но сначала мы проиллюстрируем всю силу центральной предельной теоремы.
Пример (3) применения центральной предельной теоремы.
Примечательно, что выборочное среднее для выборок больших размеров будет распределяться нормально, независимо от распределения генеральной совокупности.
Чтобы проиллюстрировать центральную предельную теорему в действии, мы используем в этом примере явное ненормальное распределение и используем его для создания большого количества случайных выборок размером 100.
Затем мы рассчитываем выборочное среднее для каждой выборки. Частотное распределение рассчитываемых выборочных средних является приближением распределения выборочного среднего для данного размера выборки.
Выглядит ли выборочное распределение как нормальное распределение?
Вернемся к примеру с аналитиком, изучающим планы капитальных затрат клиентов на покупку телекоммуникационного оборудования.
Предположим, что капитальные затраты на оборудование образуют непрерывную равномерную случайную величину с нижним пределом равным $0, и верхним пределом, равным $100. Для краткости, обозначим эту равномерную случайную величину как (0, 100).
Функция вероятности этой непрерывной равномерной случайной величины имеет довольно простую форму, не соответствующую нормальному распределению. Это горизонтальная линия с пересечением на вертикальной оси в точке 1/100. В отличии от нормальной случайной величины, для которой близкие к среднему исходы были бы наиболее вероятны, для равномерной случайной величины все возможные исходы равновероятны.
Чтобы проиллюстрировать силу центральной предельной теоремы, мы проводим моделирование методом Монте-Карло для изучения планируемых капитальных расходов на телекоммуникационное оборудование.
Моделирование методом Монте-Карло предполагает использование компьютера, чтобы смоделировать работу рассматриваемой системы с учетом риска. Составной частью моделирования методом Монте-Карло является генерация большого числа случайных выборок из заданного распределения вероятностей или распределений.
[см. также: CFA — Метод Монте-Карло]
В этом моделировании мы делаем 200 случайных выборок капитальных затрат 100 компаний (200 сгенерированных случайных исходов, каждый из которых состоит из капитальных затрат 100 компаний при (n = 100 )).
В каждом испытании моделирования, 100 значений капитальных затрат генерируются из равномерного распределения (0, 100). Для каждой случайной выборки, мы вычисляем выборочное среднее. Всего мы проводим 200 имитационных испытаний.
Поскольку мы определили распределение, генерирующее выборки, мы знаем, что средние капитальные затраты генеральной совокупности равны ($0 + $100 млн.)/2 = $50 млн.; дисперсия капитальных затрат совокупности равна ( (100 — 0)^2/12 = 833.33 ).
Таким образом, стандартное отклонение составляет $28.87 млн. и стандартная ошибка равна ( 28.87 Big / sqrt {100} = 2.887 ) в соответствии с центральной предельной теоремой.
Если ( a ) является нижним пределом равномерной случайной величины и ( b ) является верхним пределом, то среднее значение случайной величины определяется по формуле ( (a + b)/2 ), а ее дисперсия определяется по формуле ( (b — a)^2/12 ).
В чтении об обычных распределениях вероятности подробно описаны непрерывные равномерные случайные величины.
Результаты этого моделирования методом Монте-Карло приведены в Таблице 2 в виде частотного распределения. Это распределение является рассчитанным выборочным распределением среднего значения.
Таблица 2. Частотное распространение:
|
Диапазон выборки |
Абсолютная частота |
|---|---|
|
42.5 (leq overline X <) 44 |
1 |
|
44 (leq overline X <) 45.5 |
6 |
|
45.5 (leq overline X <)47 |
22 |
|
47 (leq overline X <) 48.5 |
39 |
|
48.5 (leq overline X <) 50 |
41 |
|
50 (leq overline X <) 51.5 |
39 |
|
51.5 (leq overline X <) 53 |
23 |
|
53 (leq overline X <) 54.5 |
12 |
|
54.5 (leq overline X <) 56 |
12 |
|
56 (leq overline X <) 57.5 |
5 |
200 случайных выборок
равномерной случайной величины (0,100).
Примечание: ( overline X ) представляет собой средние капитальные затраты для каждой выборки.
Полученное распределение частот можно описать как колоколообразное, с центром, расположенным близко к среднему значению совокупности: 50. Наиболее частый или модальный диапазон, с 41 наблюдениями: от 48.5 до 50.
Общее среднее выборочных средних составляет $49.92, со стандартной ошибкой, равной $2.80. Рассчитанная стандартная ошибка близка к значению 2.887, заданному центральной предельной теоремой.
Расхождение между вычисленными и ожидаемыми значениями среднего и стандартного отклонения, полученными в соответствии с центральной предельной теоремой, является результатом случайности (ошибка выборки).
Таким образом, хотя распределение совокупности очень не нормальное, моделирование показало, что нормальное распределение хорошо описывает рассчитанное распределение выборочного среднего. При этом среднее и стандартная ошибка приближительно равны значениям, предсказанным с помощью центральной предельной теоремы.
Итак, в соответствии с центральной предельной теоремой, когда мы делаем выборку из любого распределения, распределение выборочного среднего будет иметь следующие свойства, если размер нашей выборки достаточно велик:
- Распределение выборочного среднего ( overline X) будет приблизительно соответствовать нормальному распределению.
- Среднее значение распределения ( overline X) будет равно среднему значению генеральной совокупности, из которой сделана выборка.
- Дисперсия распределения ( overline X) будет равна дисперсии совокупности, деленной на размер выборки.
Далее мы обсудим концепции и инструменты, связанные с оценкой параметров совокупности, с особым акцентом на среднее значение совокупности.
Мы фокусируем внимание на среднем значении совокупности, потому что интервальные оценки среднего значения совокупности интересуют финансовых аналитиков, как правило, больше, чем любой другой тип интервальных оценок.