Систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. При этом предполагается, что систематические погрешности представляют собой определенную функцию неслучайных факторов, состав которых зависит от физических, конструкционных и технологических особенностей средств измерений, условий их применения, а также индивидуальных качеств наблюдателя. Сложные детерминированные закономерности, которым подчиняются систематические погрешности, определяются либо при создании средств измерений и комплектации измерительной аппаратуры, либо непосредственно при подготовке измерительного эксперимента и в процессе его проведения. Совершенствование методов измерения, использование высококачественных материалом, прогрессивная технология — все это позволяет на практике устранить систематические погрешности настолько, что при обработке результатов наблюдений с их наличием зачастую не приходится считаться.
Систематические погрешности принято классифицировать в зависимости от причин их возникновения и по характеру их проявления при измерениях.
В зависимости от причин возникновения рассматриваются четыре вида систематических погрешностей.
1. Погрешности метода, или теоретические погрешности, проистекающие от ошибочности или недостаточной разработки принятой теории метода измерений в целом или от допущенных упрощений при проведении измерений.
Погрешности метода возникают также при экстраполяции свойства, измеренного на ограниченной части некоторого объекта, на весь объект, если последний не обладает однородностью измеряемого свойства. Так, считая диаметр цилиндрического вала равным результату, полученному при измерении в одном сечении и в одном направлении, мы допускаем систематическую погрешность, полностью определяемую отклонениями формы исследуемого вала. При определении плотности вещества по измерениям массы и объема некоторой пробы возникает систематическая погрешность, если проба содержала некоторое количество примесей, а результат измерения принимается за характеристику данного вещества -вообще.
К погрешностям метода следует отнести также те погрешности, которые возникают вследствие влияния измерительной аппаратуры на измеряемые свойства объекта. Подобные явления возникают, например, при измерении длин, когда измерительное усилие используемых приборов достаточно велико, при регистрации быстропротекаюших процессов недостаточно быстродействующей аппаратурой, при измерениях температур жидкостными или газовыми термометрами и т.д.
2. Инструментальные погрешности, зависящие от погрешностей применяемых средств измерений.. Среди инструментальных погрешностей в отдельную группу выделяются погрешности схемы, не связанные с неточностью изготовления средств измерения и обязанные своим происхождением самой структурной схеме средств измерений. Исследование инструментальных погрешностей является предметом специальной дисциплины — теории точности измерительных устройств.
3. Погрешности, обусловленные неправильной установкой и взаимным расположением средств измерения, являющихся частью единого комплекса, несогласованностью их характеристик, влиянием внешних температурных, гравитационных, радиационных и других полей, нестабильностью источников питания, несогласованностью входных и выходных параметров электрических цепей приборов и т.д.
4. Личные погрешности, обусловленные индивидуальными особенностями наблюдателя. Такого рода погрешности вызываются, например, запаздыванием или опережением при регистрации сигнала, неправильным отсчетом десятых долей деления шкалы, асимметрией, возникающей при установке штриха посередине между двумя рисками.
По характеру своего поведения в процессе измерения систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.
Постоянные систематические погрешности возникают, например, при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке и юстировке средств измерения и остаются постоянными при всех повторных наблюдениях. Поэтому, если уж они возникли, их очень трудно обнаружить в результатах наблюдений.
Среди переменных систематических погрешностей принято выделять прогрессивные и периодические.
Прогрессивная погрешность возникает, например, при взвешивании, когда одно из коромысел весов находится ближе к источнику тепла, чем другое, поэтому быстрее нагревается и
удлиняется. Это приводит к систематическому сдвигу начала отсчета и к монотонному изменению показаний весов.
Периодическая погрешность присуща измерительным приборам с круговой шкалой, если ось вращения указателя не совпадает с осью шкалы.
Все остальные виды систематических погрешностей принято называть погрешностями, изменяющимися по сложному закону.
В тех случаях, когда при создании средств измерений, необходимых для данной измерительной установки, не удается устранить влияние систематических погрешностей, приходится специально организовывать измерительный процесс и осуществлять математическую обработку результатов. Методы борьбы с систематическими погрешностями заключаются в их обнаружении и последующем исключении путем полной или частичной компенсации. Основные трудности, часто непреодолимые, состоят именно в обнаружении систематических погрешностей, поэтому иногда приходится довольствоваться приближенным их анализом.
Способы обнаружения систематических погрешностей. Результаты наблюдений, полученные при наличии систематических погрешностей, будем называть неисправленными и в отличие от исправленных снабжать штрихами их обозначения (например, Х1, Х2 и т.д.). Вычисленные в этих условиях средние арифметические значения и отклонения от результатов наблюдений будем также называть неисправленными и ставить штрихи у символов этих величин. Таким образом,
Поскольку неисправленные результаты наблюдений включают в себя систематические погрешности, сумму которых для каждого /-го наблюдения будем обозначать через 8., то их математическое ожидание не совпадает с истинным значением измеряемой величины и отличается от него на некоторую величину 0, называемую систематической погрешностью неисправленного среднего арифметического. Действительно,
Если систематические погрешности постоянны, т.е. 0/ = 0, /=1,2, …, п, то неисправленные отклонения могут быть непосредственно использованы для оценки рассеивания ряда наблюдений. В противном случае необходимо предварительно исправить отдельные результаты измерений, введя в них так называемые поправки, равные систематическим погрешностям по величине и обратные им по знаку:
q = -Oi.
Таким образом, для нахождения исправленного среднего арифметического и оценки его рассеивания относительно истинного значения измеряемой величины необходимо обнаружить систематические погрешности и исключить их путем введения поправок или соответствующей каждому конкретному случаю организации самого измерения. Остановимся подробнее на некоторых способах обнаружения систематических погрешностей.
Постоянные систематические погрешности не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получаемых, например, при поверке средств измерений. Измеряемая величина при поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и значением меры с точностью, определяемой погрешностью аттестации меры и случайными погрешностями измерения, равна искомой систематической погрешности.
Одним из наиболее действенных способов обнаружения систематических погрешностей в ряде результатов наблюдений является построение графика последовательности неисправленных значений случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических.
Рассматриваемый способ обнаружения постоянных систематических погрешностей можно сформулировать следующим образом: если неисправленные отклонения результатов наблюдений резко изменяются при изменении условий наблюдений, то данные результаты содержат постоянную систематическую погрешность, зависящую от условий наблюдений.
Систематические погрешности являются детерминированными величинами, поэтому в принципе всегда могут быть вычислены и исключены из результатов измерений. После исключения систематических погрешностей получаем исправленные средние арифметические и исправленные отклонения результатов наблюдении, которые позволяют оценить степень рассеивания результатов.
Для исправления результатов наблюдений их складывают с поправками, равными систематическим погрешностям по величине и обратными им по знаку. Поправку определяют экспериментально при поверке приборов или в результате специальных исследований, обыкновенно с некоторой ограниченной точностью.
Поправки могут задаваться также в виде формул, по которым они вычисляются для каждого конкретного случая. Например, при измерениях и поверках с помощью образцовых манометров следует вводить поправки к их показаниям на местное значение ускорения свободного падения
где Р — измеряемое давление.
Введением поправки устраняется влияние только одной вполне определенной систематической погрешности, поэтому в результаты измерения зачастую приходится вводить очень большое число поправок. При этом вследствие ограниченной точности определения поправок накапливаются случайные погрешности и дисперсия результата измерения увеличивается.
Систематическая погрешность, остающаяся после введения поправок на ее наиболее существенные составляющие включает в себя ряд элементарных составляющих, называемых неисключенными остатками систематической погрешности. К их числу относятся погрешности:
• определения поправок;
• зависящие от точности измерения влияющих величин, входящих в формулы для определения поправок;
• связанные с колебаниями влияющих величин (температуры окружающей среды, напряжения питания и т.д.).
Перечисленные погрешности малы, и поправки на них не вводятся.
6.1
Классификация
систематических погрешностей
Напомним,
что систематической погрешностью
называется составляющая погрешности
измерения, остающаяся постоянной или
закономерно изменяющаяся при повторных
измерениях одной и той же величины.
Следовательно, исходя из определения,
по характеру проявления систематические
погрешности подразделяются на постоянные
и переменные.
Постоянные
систематические погрешности возникают,
например, при неправильной установке
начала отсчета, неправильной градуировке
средств измерений и остаются постоянными
по своему значению и знаку в течение
всего времени измерений.
Переменные
систематические погрешности в свою
очередь делятся на прогрессирующие,
периодические и изменяющиеся по сложному
закону.
Прогрессирующими
называются погрешности, которые в
процессе измерений постепенно убывают
или возрастают. Например, причинами
возникновения прогрессирующих
погрешностей могут быть разрядка
источников питания, старение резисторов,
конденсаторов, деформация механических
деталей и т.п.
Периодическими
называют погрешности, периодически
изменяющие значение и знак. В качестве
примера можно привести средства измерений
с круговой шкалой, стрелка которых при
измерении совершает несколько оборотов
(секундомеры, индикаторы часового типа
и т.п.). Периодическая погрешность в
показаниях
таких устройств возникает в тех случаях,
когда ось вращения стрелки не совпадает
с центром окружности шкалы. Другой
пример — наложение
гармонической помехи, источником которой
является напряжение сети, на измеряемое
с помощью вольтметра напряжение
постоянного тока.
Погрешности,
изменяющиеся
по сложному закону, могут
быть выражены в
виде
кривой или в виде формулы. В качестве
примера можно привести погрешность
меры длины, возникающую при отклонении
температуры от нормальной, т.е. той, при
которой была определена длина меры. Эти
погрешности выражаются следующей
формулой: Δlt=(a·Δt+b·Δt2),
где Δlt
– погрешность меры длины, возникающая
при изменении температуры на Δt;
1H
– длина меры при нормальной температуре;
Δt
= tИ
– tH
—
отклонение температуры от нормальной;
tH
– нормальная температура; tИ
– температура при применении меры
длины; а, b
— коэффициенты, определенные при
проведении совместных измерений.
Наличие
систематических погрешностей устойчиво
искажает результаты измерений, а
отсутствие или близость их к нулю
определяет правильность
измерений.
Таким образом, задача определения
правильности измерений должна
предусматривать обнаружение, оценку и
уменьшение (либо полное исключение)
систематических погрешностей. Те
систематические погрешности, которые
остались в результатах измерений после
этих операций, называются неис-ключенными
остатками систематических
погрешностей. Например, при измерении
сопротивления резистора вносится
поправка на влияние температуры.
Систематическая погрешность была бы
полностью устранена, если бы мы точно
знали температурные коэффициенты
резистора и температуру. И то, и другое
мы знаем с ограниченной точностью и
поэтому полностью данную погрешность
не устраним, останется ее неисключенный
остаток. Он может быть малым или большим,
это мы можем оценить, но его действительное
значение остается неизвестным. Тем не
менее эта остаточная погрешность имеет
какое-то определенное значение, остающееся
постоянным при повторных измерениях,
и поэтому является систематической.
Неисключенные остатки систематических
погрешностей при обработке результатов
наблюдений суммируются со случайными
погрешностями, т.е. они переходят при
суммировании в разряд случайных.
6.2
Способы
обнаружения и оценки систематических
погрешностей
Задача
обнаружения и оценки систематических
погрешностей относится к числу достаточно
сложных метрологических задач и не
всегда разрешима. Применяемые способы
обнаружения и оценки систематических
погрешностей можно условно разбить на
две группы: теоретические и экспериментальные.
Теоретические
способы возможны
и эффективны тогда, когда известно или
может быть получено аналитическое
выражение для искомой погрешности на
основании определенной информации.
Характерным примером является обнаружение
и оценка методических погрешностей,
которые возникают при введении различных
упрощений и допущений (например,
методическая погрешность измерения
электрического сопротивления при помощи
амперметра и вольтметра, рассмотренная
выше).
Экспериментальные
способы также
предполагают наличие определенной
априорной информации об исследуемых
погрешностях, но эта информация носит
лишь качественный характер. Обнаружение
и оценка систематических погрешностей
в таких случаях возможны после проведения
специальных экспериментальных
исследований и обработки их результатов.
Результаты
наблюдений, полученные при наличии
систематических погрешностей, называются
неисправленными
и
в отличие от исправленных (не содержащих
систематические погрешности) снабжены
штрихами при их обозначении: x1’,…,xn’.
Вычисленные в этих условиях средние
арифметические
значения
и отклонения от них результатов наблюдений
будем также называть неисправленными
и ставить штрихи у символов этих величин.
Таким образом,
(6.1)
Поскольку
неисправленные результаты наблюдений
включают в себя систематические
погрешности, сумму которых для каждого
i-ro
наблюдения будем обозначать через Δsi,
то их математическое ожидание не
совпадает с истинным значением измеряемой
величины и отличается от него на некоторую
величину Δs
, называемую систематической погрешностью
среднего арифметического. Действительно,
(6.2)
Случайные
отклонения результатов наблюдений от
средних арифметических отличаются от
неисправленных отклонений
(6.3)
Если
систематические погрешности постоянны,
т.е. Δsi
= Δs,
i
= 1, …, n,
то vi=vi‘
и
неисправленные отклонения могут быть
непосредственно использованы для оценки
рассеивания ряда наблюдений. В противном
случае необходимо предварительно
исправить отдельные результаты
наблюдений, введя в них так называемые
поправки,
равные
систематическим погрешностям по величине
и обратные по знаку:
qi=–Δsi.
(6.4)
Таким
образом, для нахождения исправленного
среднего арифметического и оценки его
рассеивания относительно истинного
значения измеряемой величины необходимо
обнаружить систематические погрешности
и исключить их путем введения поправок
или соответствующей каждому конкретному
случаю организации самого измерения.
Остановимся подробнее на некоторых
способах обнаружения систематических
погрешностей.
Постоянные
систематические погрешности, определяемые
при эксперименте, не влияют на значения
случайных отклонений результатов
наблюдений от средних арифметических,
поэтому никакая математическая обработка
результатов наблюдений не может привести
к их обнаружению. Анализ таких погрешностей
возможен только на основании некоторых
априорных знаний об этих погрешностях,
получаемых, например, при поверке средств
измерений. Измеряемая величина при
поверке обычно воспроизводится образцовой
мерой, действительное значение которой
известно. Поэтому разность между средним
арифметическим результатов наблюдения
и значением меры равна искомой
систематической погрешности.
Для
обнаружения постоянных систематических
погрешностей, зависящих от внешних
влияющих величин, необходимо изменять
значения этих влияющих величин. Если
средние арифметические результатов
наблюдений резко изменяются при изменении
влияющих величин, то данные результаты
содержат постоянную систематическую
погрешность, зависящую от влияющих
величин.
При
прогрессирующей систематической
погрешности последовательность
неисправленных отклонений результатов
наблюдений обнаруживает тенденцию к
возрастанию или убыванию. Если же в ряде
результатов наблюдений присутствует
периодическая систематическая
погрешность, то группы знаков «плюс»
и «минус» в последовательности
неисправленных отклонений результатов
наблюдений могут периодически сменять
друг друга, если, конечно, случайные
погрешности меньше систематических.
Одним из наиболее действенных способов
обнаружения систематических погрешностей
в ряде результатов наблюдений является
построение графика погрешности
неисправленных значений случайных
отклонений результатов наблюдений от
средних арифметических. Разумеется,
сделанные по результатам анализа таких
графиков выводы носят лишь качественный
характер и объективны лишь в тех случаях,
когда сопутствующие случайные погрешности
значительно меньше искомой систематической.
6.3
Способы
уменьшения систематических погрешностей
Так
как систематические погрешности являются
детерминированными величинами, уменьшение
или даже полное исключение их возможно
на всех этапах измерительного эксперимента.
Способы исключения систематических
погрешностей можно разделить на три
основные группы:
устранение
источников систематических погрешностей
до начала измерений (профилактика
систематических погрешностей);
исключение
систематических погрешностей в процессе
измерения с использованием специальных
методов (экспериментальное исключение
систематических погрешностей);
внесение
известных поправок в результат измерения
(исключение систематических погрешностей
математическим путем).
Рассмотрим эти
способы.
Устранение
источников систематических погрешностей
до начала измерений.
Этот
способ исключения систематических
погрешностей является наиболее
рациональным, так как он полностью или
частично освобождает от необходимости
устранять погрешности в процессе
измерения или вычислять результат с
учетом поправок. Другими словами,
устранение источников систематических
погрешностей существенно упрощает и
ускоряет процесс измерения.
Способ
может включать в себя: выбор таких
методов, средств измерений, планов
проведения экспериментов, которые
обеспечивали бы минимальные систематические
погрешности; тщательную установку
нулевых показаний и калибровку средств
измерений; прогрев средств измерений
в течение времени, указанного в инструкции
по эксплуатации; применение при сборке
коротких
соединительных
проводов, а на сверхвысоких частотах —
коаксиальных кабелей; применение в
необходимых случаях экранирования и
термостатирования; правильное размещение
средства измерений (установка в рабочее
положение, размещение вдали от источников
тепла и электромагнитных полей и т.п.);
применение только предварительно
поверенных средств измерений и т.д.
Исключение
систематических погрешностей в процессе
измерений.
Этот
способ является эффективным путем
исключения ряда систематических
погрешностей. При этом нет необходимости
применять какие-либо специальные
установки и приспособления. Как правило,
это методы измерений, позволяющие не
только исключать систематические
погрешности, но и оценить их.
Метод
замещения. Этот
метод измерений является одной из
модификаций метода сравнения, которые
рассмотрены в 3.2.
Метод
компенсации погрешности по знаку.
Этот
метод исключения систематических
погрешностей заключается в том, что
измерение проводят дважды так, чтобы
известная по природе, но неизвестная
по размеру погрешность входила в
результаты с противоположными знаками.
Погрешность исключается при вычислении
среднего значения. В алгебраической
форме это можно выразить следующим
образом.
Пусть x1 и x2 — результаты двух измерений;
Δs — систематическая погрешность, природа
которой известна, но неизвестно ее
значение; хд — значение измеряемой
величины, свободное от данной погрешности.
Тогда х1 = хд + Δs; x2 = хд — Δs. Среднее значение
равно
(6.5)
Этот
метод применяется ограниченно. Его
используют для исключения только
таких погрешностей, источники которых
имеют направленное действие.
Одним
из характерных примеров является
исключение погрешности, обусловленной
влиянием магнитного поля Земли. Для
этого используют средство
измерений,
о котором известно, что под действием
магнитного поля Земли в его показаниях
могут возникнуть систематические
погрешности.
Первое
измерение можно проводить, когда средство
измерений находится в любом положении.
Перед тем как выполнить второе измерение,
средство измерений поворачивают в
горизонтальной плоскости на 180 град.
Если в первом случае магнитное поле
Земли, складываясь с полем средства
измерений, вызывает положительную
погрешность, то при повороте его на 180
град магнитное поле Земли будет оказывать
противоположное действие и вызовет
отрицательную погрешность по размеру,
равную первой.
Пользуясь
методом компенсации погрешности по
знаку, можно исключить систематические
погрешности, вызванные явлениями
гистерезисного характера (магнитный
гистерезис в ферромагнитных материалах,
механический гистерезис в упругих
материалах и т.п.).
Метод
изменения знака входной величины. Этот
метод основан на том, что величина и
знак систематической погрешности не
изменяются при смене знака измеряемой
величины на противоположный. Так же,
как и в предыдущем методе, измерения
проводятся дважды, и погрешность
исключается при вычислении среднего
значения разности двух показаний. В
алгебраической форме это можно выразить
следующим образом:
x1=xд+Δs
; x2=
-xд+Δs
;
(6.6)
Метод,
например, может применяться в компенсаторах
постоянного тока для
исключения погрешности от термо- и
контактных э.д.с. Здесь используется
то
обстоятельство, что знак термо- и
контактных э.д.с. не зависит от знака
измеряемого и питающего напряжений.
Метод
противопоставления.
Этот
метод имеет большое сходство с методом
компенсации погрешности по знаку. Он
заключается в том, что измерения
проводят два
раза, причем так, чтобы причина, вызывающая
погрешность при первом измерении,
оказала противоположное действие на
результат второго.
В
качестве примера может служить взвешивание
на равноплечих весах (способ, предложенный
Гауссом для исключения погрешности
вследствие остаточной неравноплечести).
При
первом взвешивании массу Мх,
помещенную на одну чашку весов,
уравновешивают гирями с общей массой
M1,
помещенными на другую чашку. Тогда
,
(6.7)
где
l2/l1
— действительное отношение плеч.
Затем
взвешиваемую массу перемещают на ту
чашку, где находились гири, а гири — на
ту, где находилась масса. Так как отношение
плеч l2/l1
не точно равно единице, равновесие
нарушится и для уравновешивания массы
Мх
придется использовать гири с общей
массой М2:
.
(6.8)
Разделив равенство
(6.7) на выражение (6.8), получим
Mx=M1·M2
(6.9)
или,
если Ml
и М2
лишь немногим отличаются друг от друга,
.
(6.10)
Это выражение и равенство (6.5) одинаковы.
Однако равенство (6.5), получаемое для
метода компенсации погрешности по
знаку, точно отражает сущность исключения
погрешности. В данном же случае формула
является приближенной.
Если
сравнить оба метода в их математическом
выражении, то можно обнаружить, что в
способе компенсации погрешности по
знаку погрешность, подмостах
для измерения параметров электрических
цепей, главным образом, при измерении
электрического сопротивления на
постоянном токе.
Метод
периодических наблюдений. В
случае
периодических погрешностей действенным
методом исключения последних является
метод периодических наблюдений,
основанный на наблюдениях четного числа
раз через полупериоды. Периодическая
погрешность изменяется по закону
Δs(t)
= A·sin(2·π·t/T),
(6.11)
где
Т — период изменения погрешности; t
— независимая переменная, от которой
зависит погрешность (время, угол поворота
стрелки прибора и т.п.).
Пусть
при t
= to
значение погрешности
Δs(t0)
= A·sin(2·π·t0/T).
Найдем
значение этой погрешности для t
= t0
+ Δt,
где интервал Δt
такой,
что Δs(t0
+ Δt)
= -Δs(t0).
Определим значение интервала Δt.
Имеем
2·π·(t0+Δt)/T=2·π·t0/T+π
откуда
2·π·Δt/T=π
и Δt=T/2
. (6.12)
В этом случае
[Δs(t0)
+ Δs(t0
+ Δt)]
= 0 . (6.13)
Следовательно,
периодическая погрешность исключается,
если взять среднее из двух наблюдений,
произведенных одно за другим через
интервал, равный полупериоду независимой
переменной t,
определяющей значение периодической
погрешности. То же будет и для множества
пар подобного рода наблюдений.
Например,
применение этого метода в цифровых
вольтметрах постоянного тока с двухтактным
интегрированием позволяет высокую
помехозащищенность таких вольтметров,
Это достигается благодаря тому, что
время интегрирования измеряемого
напряжения равно четному числу
полупериодов помех от напряжения сети.
Метод
симметричных наблюдений. Используется
для исключения прогрессирующей
погрешности, которая изменяется по
линейному закону, например, пропорционально
времени.
Такой
характер имеет погрешность измерения
напряжения с помощью потенциометра,
если происходит заметное падение
напряжения источника, создающего рабочий
ток. Формально, если известно, что рабочий
ток потенциометра изменяется линейно
во времени, то для устранения возникающей
погрешности достаточно двух наблюдений,
выполненных с фиксацией времени после
регулировки рабочего тока по нормальному
элементу. Пусть
E1=Ux+k·t1
; E2=Ux+k·t2
, (6.14)
где
t1
и t2
— интервалы времени между регулировкой
рабочего тока и наблюдениями;
k
– коэффициент пропорциональности между
погрешностью измерения и временем, E1
и Е2
— результаты наблюдений.
Отсюда
.
(6.15)
Однако
при точных измерениях целесообразно
пользоваться более сложным алгоритмом,
который состоит в том, что несколько
наблюдений выполняют через равные
промежутки времени и затем вычисляют
средние арифметические симметрично
расположенных наблюдений.
Метод
рандомизации.
Эффективным способом уменьшения
систематических погрешностей является
их рандомизация, т.е. перевод в случайные.
Пусть, например, имеется n
однотипных приборов с систематической
погрешностью одинакового происхождения.
Если для данного прибора эта погрешность
постоянна,
то от прибора к прибору она изменяется
случайным образом. Поэтому измерение
одной и той же величины всеми приборами
и усреднение результатов полученных
наблюдений позволяют значительно
уменьшить эту погрешность. Того же
эффекта можно добиться, изменяя методику
и условия эксперимента или те параметры,
от которых не зависит значение измеряемой
величины, но зависят систематические
погрешности ее измерения.
Внесение
известных поправок в результат измерения.
Систематические
погрешности являются детерминированными
величинами, поэтому в принципе могут
быть вычислены и исключены из результатов
измерения. Для исправления результатов
наблюдений их складывают с поправками,
равными систематическим погрешностям
по величине и обратными им по знаку:
,
(6.16)
где
xi,
x’i
— соответственно исправленный и
неисправленный результаты наблюдений.
Иногда
результаты наблюдений умножают на
поправочные
множители
(η):
. (6.17)
ЛИТЕРАТУРА
1 Бурдун Г.Д., Марков
Б.Н. Основы метрологии: Учеб. пособие
для вузов.- М.: Изд-во стандартов, 1975.
2
Тюрин Н.И. Введение в метрологию: Учеб.
пособие. — М.: Изд-во стандартов, 1985.
3
Короткое В.П., Тайц Б.А. Основы метрологии
и теории точности измерительных
устройств: Учеб. пособие для вузов. — М.:
Изд-во стандартов, 1978.
4
Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация
и управление качеством: Учеб. пособие
для вузов. — М.: Изд-во стандартов, 1990.
5 Рабинович С.Г.
Погрешности измерений. — Л.: Энергия,
1978.
6
Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка
погрешностей результатов измерений. —
Л.: Энергоатомиздат, 1985.
4
Систематические погрешности при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону.
Когда судят о погрешности, подразумевают не значение, а интервал значений, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение. Поэтому говорят об оценке погрешности. Если бы погрешность оказалась измеренной, т.е. стали бы известны её знак и значение, то её можно было бы исключить из действительного значения измеряемой физической величины и получить истинное значение.
Для получения результатов, минимально отличающихся от истинного значения измеряемой физической величины, проводят многократные наблюдения и проводят математическую обработку полученного массива с целью определения и минимизации случайной составляющей погрешности.
Минимизация систематической погрешности в процессе наблюдений выполняется следующими методами: метод замещения (состоит в замещении измеряемой величины мерой), метод противопоставления (состоит в двух поочерёдных измерениях при замене местами меры и измеряемого объекта), метод компенсации погрешности по знаку (состоит в двух поочерёдных измерениях, при которых влияющая величина становится противоположной).
При многократных наблюдениях возможно апостериорное (после выполнения наблюдений) исключение систематической погрешности в результате анализа рядов наблюдений. Рассмотрим графический анализ. При этом результаты последовательных наблюдений представляются функцией времени либо ранжируются в порядке возрастания погрешности.
Рассмотрим временную зависимость. Будем проводить наблюдения через одинаковые интервалы времени. Результаты последовательных наблюдений являются случайной функцией времени. В серии экспериментов, состоящих из ряда последовательных наблюдений, получаем одну реализацию этой функции. При повторении серии получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.
Реализации отличаются преимущественно из-за влияния факторов, определяющих случайную погрешность, а факторы, определяющие систематическую погрешность, одинаково проявляются для соответствующих моментов времени в каждой реализации. Значение, соответствующее каждому моменту времени, называется сечением случайной функции времени. Для каждого сечения можно найти среднее по всем реализациям значение. Очевидно, что эта составляющая и определяет систематическую погрешность. Если через значения систематической погрешности для всех моментов времени провести плавную кривую, то она будет характеризовать временную закономерность изменения погрешности. Зная закономерность изменения, можем определить поправку для исключения систематической погрешности. После исключения систематической погрешности получаем «исправленный ряд результатов наблюдений».
Известен ряд способов исключения систематических погрешностей, которые условно можно разделить па 4 основные группы:
- устранение источников погрешностей до начала измерений;
- исключение почетностей в процессе измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставления, симметричных наблюдений;
- внесение известных поправок в результат измерения (исключение погрешностей начислением);
- оценка границ систематических погрешностей, если их нельзя исключить.
По характеру проявления систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные и периодические.
Постоянные систематические погрешности сохраняют свое значение в течение всего времени измерений (например, погрешность в градуировке шкалы прибора переносится на все результаты измерений).
Прогрессивные погрешности – погрешности, которые в процессе измерении подрастают или убывают (например, погрешности, возникающие вследствие износа контактирующих деталей средств измерения).
И группу систематических погрешностей можно отнести: инструментальные погрешности; погрешности из-за неправильной установки измерительного устройства; погрешности, возникающие вследствие внешних влияний; погрешности метода измерения (теоретические погрешности); субъективные погрешности.
Систематическая погрешность (или, на физическом жаргоне, систематика) характеризует неточность измерительного инструмента или метода обработки данных. Если точнее, то она показывает наше ограниченное знание этой неточности: ведь если инструмент «врет», но мы хорошо знаем, насколько именно, то мы сможем скорректировать его показания и устранить инструментальную неопределенность результата. Слово «систематическая» означает, что вы можете повторять какое-то измерение на этой установке миллионы раз, но если у нее «сбит прицел», то вы систематически будете получать значение, отличающееся от истинного.
Конечно, систематические погрешности хочется взять под контроль. Поскольку это чисто инструментальный эффект, ответственность за это целиком лежит на экспериментаторах, собиравших, настраивавших и работающих на этой установке. Они прилагают все усилия для того, чтобы, во-первых, корректно определить эти погрешности, а во-вторых, их минимизировать. Собственно, они этим начинают заниматься с самых первых дней работы установки, даже когда еще собственно научная программа исследований и не началась.
Возможные источники систематических погрешностей
Современный коллайдерный эксперимент очень сложен. В нём есть место огромному количеству источников систематических погрешностей на самых разных стадиях получения экспериментального результата. Вот некоторые из них.
Погрешности могут возникать на уровне «железа», при получении сырых данных:
- дефектные или неработающие отдельные регистрирующие компоненты или считывающие элементы. В детекторе миллионы отдельных компонентов, и даже если 1% из них оказался дефектным, это может ухудшить «зоркость» детектора и четкость регистрации сигналов. Надо подчеркнуть, что, даже если при запуске детектор работает на все 100%, постоянное детектирование частиц (это же жесткая радиация!) с течением времени выводит из строя отдельные компоненты, так что следить за поведением детектора абсолютно необходимо;
- наличие «слепых зон» детектора; например, если частица вылетает близко к оси пучков, то она улетит в трубу и детектор ее просто не заметит.
Погрешности могут возникать на этапе распознавания сырых данных и их превращение в физическое событие:
- погрешность при измерении энергии частиц в калориметре;
- погрешность при измерении траектории частиц в трековых детекторах, из-за которой неточно измеряется точка вылета и импульс частицы;
- неправильная идентификация типа частицы (например, система неудачно распознала след от π-мезона и приняла его за K-мезон). Более тонкий вариант: неправильное объединение адронов в одну адронную струю и неправильная оценка ее энергии;
- неправильный подсчет числа частиц (две частицы случайно вылетели так близко друг к другу, что детектор «увидел» только один след и посчитал их за одну).
Наконец, новые систематические погрешности добавляются на этапе позднего анализа события:
- неточность в измерении светимости пучков, которая влияет на пересчет числа событий в сечение процесса;
- наличие посторонних процессов рождения частиц, которые отличаются с физической точки зрения, но, к сожалению, выглядят для детектора одинаковыми. Такие процессы порождают неустранимый фон, который часто мешает разглядеть искомый эффект;
- необходимость моделировать процессы (в особенности, адронизацию, превращение кварков в адроны), опираясь частично на теорию, частично на прошлые эксперименты. Несовершенство того и другого привносит неточности и в новый экспериментальный результат. По этой причине теоретическую погрешность тоже часто относят к систематике.
В отдельных случаях встречаются источники систематических погрешностей, которые умудряются попасть сразу во все категории, они совмещают в себе и свойства детекторного «железа», и методы обработки и интерпретации данных. Например, если вы хотите сравнить друг с другом количество рожденных частиц и античастиц какого-то сорта (например, мюонов и антимюонов), то вам не стоит забывать, что ваш детектор состоит из вещества, а не из антивещества! Этот «перекос» в сторону вещества может привести к тому, что детектор будет видеть мюонов меньше, чем антимюонов, подробности см. в заметке Немножко про CP-нарушение, или Как жаль, что у нас нет детекторов из антивещества!.
Всю эту прорву источников потенциальных проблем надо распознать и оценить их влияние на выполняемый анализ. Здесь никаких абсолютно универсальных алгоритмов нет; исследователь должен сам понять, на какие погрешности надо обращать внимание и как грамотно их оценить. Конечно, тут на помощь приходят разные калибровочные измерения, выполненные в первые год-два работы детектора, и программы моделирования, которые позволяют виртуально протестировать поведение детектора в тех или иных условиях. Но главным в этом искусстве всё же является физическое чутье экспериментатора, его квалификация и накопленный опыт.
Почему важна грамотная оценка систематики
Беспечная оценка систематических погрешностей может привести к двум крайностям, причем обе очень нежелательны.
Заниженная погрешность — то есть неоправданная уверенность экспериментатора в том, что погрешности в его детекторе маленькие, хотя они на самом деле намного больше, — исключительно опасна, поскольку она может привести к совершенно неправильным научным выводам. Например, экспериментатор может на их основании решить, что измерения отличаются от теоретических предсказаний на уровне статистической значимости 10 стандартных отклонений (сенсация!), хотя истинная причина расхождения может просто состоять в том, что он проглядел источник ошибок, в 10 раз увеличивающий неопределенность измерения, и никакого расхождения на самом деле нет.
В борьбе с этой опасностью есть соблазн впасть в другую крайность: «А вдруг там есть еще какие-то погрешности? Может, я что-то не учел? Давай-ка я на всякий случай увеличу погрешности измерения в 10 раз для пущей безопасности.» Такая крайность плоха тем, что она обессмысливает измерение. Неоправданно завышая погрешность, вы рискуете получить результат, который будет, конечно, правильным, но очень неопределенным, ничем не лучше тех результатов, которые уже были получены до вас на гораздо более скромных установках. Такой подход, фактически, перечеркивает всю работу по разработке технологий, по изготовлению компонентов, по сборке детектора, все затраты на его работу и на анализ результатов.
Грамотный и ответственный анализ систематики должен удерживать оптимальный баланс (максимальная достоверность при максимальной научной ценности), не допуская таких крайностей. Это очень тонкая и сложная работа, и первые страницы в большинстве современных экспериментальных статей по физике частиц посвящены тщательному обсуждению систематических (а также статистических) погрешностей.
Мы не будем обсуждать подробности того, как обсчитывать систематические погрешности. Подчеркнем только, что это серьезная наука с множеством тонкостей и подводных камней. В качестве примера умеренно простого обсуждения некоторых вопросов см. статью Systematic Errors: facts and fictions.