Сложением называется действие при котором числа складываются где ошибка

Конспект урока по ТОНКМ с МП по теме «Требования к определению математических понятий»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Тема: Требования к определению понятий

Цель: добиться осознанного усвоения студентами требований, предъявляемых к определению математического понятия

Познакомиться с основными требованиями, предъявляемыми к определению математических понятий, учиться находить ошибки, допущенные в формулировке определения;

Развивать математическую речь, мышление, анализ, синтез, обобщение, классификацию;

Воспитывать познавательный интерес, коммуникативную культуру

Оборудование: учебные пособия по ТОНКМ (Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало), математике (Л.П. Стойлова); раздаточный материал.

I . Организационный момент.

III . Открытие нового знания

Чтобы оценить правильность явных определений, надо знать правила определения понятий. Так как преобладающее большинство определений в школьном курсе математики — это определения через род и видовое отличие, то речь будет идти о правилах этих определений.

Прежде всего, определяемое и определяющее понятия должны быть соразмерны . Это значит, что совокупности предметов, охватываемые ими, должны совпадать. Соразмерны, например, понятия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые а и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающиеся прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например, определение «Прямые а и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.

Второе правило определения запрещает порочный круг : нельзя определять понятие через само себя или определять его через другое понятие, которое, в свою очередь, определяется через него. Возьмем такие понятия начальной математики, как «умножение» и «произведение», и дадим им следующие определения:

Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.

Произведением чисел называется результат их умножения.

Видим, что умножение определяется через понятие произведения, а произведение — через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.

Порочный круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь Понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.

Третьим важным требованием к логически правильному определению понятия является следующее: в определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему определяемого понятия .

Рассмотрим, например, такое определение Понятия «смежные углы»: «Смежными называются углы, которые в сумме составляют 180°». Нетрудно увидеть, что под данное определение можно подвести не только углы, изображенные на рисунке 2 и действительно являющиеся смежными, но и углы, изображенные на рисунке 3. Почему так произошло? Дело в том, что в приведенном определении смежных углов указано лишь одно их свойство, а именно свойство составлять в сумме 180°, но его недостаточно для выделения смежных углов из всех других.

Рассмотрим определение: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые». Можно показать, что включенное в определение свойство «иметь равные стороны» вытекает из свойства «иметь прямые углы». Следовательно, данное определение прямоугольника избыточное и правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».

Следует сказать, что в любом определении понятия есть элемент произвола, что проявляется во-первых в выборе термина (прямоугольник в котором все стороны равны, мог бы называться и по-другому), а во-вторых, в выборе свойств, включаемых в определение. В принципе понятие квадрата можно определить так: «Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые» – или так: «Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые». Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание этого понятия, в определение включаются только некоторые.

Если одному и тому же понятию даются, например, два различных определения, то они должны быть равносильными. Это означает, что из свойств, включенных в одно определение, должны вытекать свойства, положенные в основу другого определения, и наоборот.

Чем же руководствуются, когда из возможных определений некоторого понятия выбирают одно? Исходят из того, какое определение проще, естественнее или целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же какие-либо свойства оказываются включенными в определение, то другие свойства тех же объектов могут быть логически выведены из тех, что вошли в определение. Это важное положение используют при решении задач на распознавание. Если объект А принадлежит объему определяемого понятия, то он обладает всеми свойствами, которые указаны в определении понятия. Справедливо и обратное утверждение, т. е. если известно, что объект А обладает всеми свойствами, которые указаны в он определении понятия, называемого некоторым термином, то и объект А можно назвать этим термином.

Пример. Используя определение диаметра окружности, установим, в каком из случаев, представленных на рисунке 4, отрезок CD является диаметром.

Определим диаметр окружности следующим образом: диаметром окружности называется хорда, проходящая через ее центр. Чтобы отрезок CD оказался диаметром окружности, достаточно одновременное выполнение двух условий: отрезок С D должен быть хордой окружности и проходить через ее центр. Этим двум условиям удовлетворяет отрезок С D в случае «а». В случае «б» отрезок С D — хорда, но он не проходит через центр окружности; в случае «в» отрезок С D проходит через центр окружности, но не является хордой.

Заметим, что в математике для ответа на вопрос, существует ли объект, удовлетворяющий данному определению, как правило, доказывают специальную теорему, подтверждающую возможность существования объекта, о котором говорится в определении. В геометрии существование объекта, удовлетворяющего определению, иногда обосновывают, построив его.

III . Первичное закрепление изученного материала

Найдите логические ошибки (если они есть) в следующих определениях и исправьте их.

1) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны;

2) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам;

3) Сложение – это когда числа складываются;

4) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны;

5) Параллелограмм – это многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;

6) Квадрат – это ромб с прямым углом;

7) Квадрат – это когда все стороны равны;

Прямоугольник – это параллелограмм с прямым углом;

9) Равные треугольники – это треугольники, которые равны.

10) Прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, есть квадрат.

V . Подведение итогов урока

– Назовите основные требования, предъявляемые к определению математических понятий

V . Домашнее задание (с инструктажем)

Источник

Выполнение заданий

Задание 1. Назовите по три понятий, принадлежащих объему понятий:

а) рациональное число б) четырехугольник в) математика г) мебель д)музыкальный национальный инструмент

тувинского народа е) часы

ж) специальности в колледже

e) предметы на 1 курсе

Задание 2. Укажите общие свойства следующих пар понятий:

a) трапеции и ромба; б) треугольника и параллелограмма;

в) прямоугольника и круга.

Задание 3. Определите, в каких отношениях находятся следующие понятия а, в, с и изобразите их объемы А, В, С на диаграммах Эйлера-Венна:

a) «прямая», «луч», «отрезок» б) «дерево», «растение», «кустарник»

b) «целое число», «натуральное число», «отрицательное число»

г) «треугольник», «многоугольник», «геометрическая фигура».

Задание 4. Для каждого из понятий укажите родовое понятие:

a) «кустарник», б) «квадрат», в) «стол», г) «нечетное число».

Задание 5. Для каждого из понятий укажите два видовых понятия:

a) «животное», б) «часть речи», в) «одежда», г) «параллелограмм».

Задание 6. Укажите три понятия, являющееся родовыми для понятия «прямоугольник». Какое из них ближайшее?

Задание 7. Приведите примеры разных определений из учебников математики начальных классов, разработанных по требованиям фгос ноо и выясните, к каким определениям они относятся.

Задание 8. Выясните с помощью

учебников математики начальных классов каким способом определяются в начальном курсе математики понятия:

а) «числовое выражение»; «однозначное число»;

в) «уменьшаемое»; г) «разность»; д) «площадь»; е) «квадрат».

Задание 9. Выясните, какие из определений верны (соразмерны):

a) Правильный треугольник

треугольник, у которого все стороны равны.

6) Остроугольный треугольник треугольник с острым углом.

Прямоугольник четырехугольник, у которого все углы прямые и смежные стороны равны.

Задание 10. Укажите логические ошибки, опустите лишние слова или добавьте нужные слова B следующих определениях:

a) Луч есть прямая, ограниченная с одной стороны.

6) Отрезком называется прямая, ограниченная с двух сторон.

b) Квадратом называется прямоугольник, диагонали которого равны и делят друг друга пополам.

г) Секущей называется бесконечная прямая, проходящая через какие- нибудь точки окружности.

Задание 11. Найдите ошибки в определениях, выясните тип ошибки:

б) Дуб-это дерево, которое растет в лесу.

b) Прямая, делящая сторону треугольника пополам, называется медианой.

г) Сложением называется действие, при котором числа складываются.

Задание 12. Проверьте правильность следующих классификаций понятий:

a) понятие «треугольник» делится на понятия: «остроугольный треугольник», «прямоугольный треугольник», «тупоугольный треугольник», «равносторонний треугольник», «равнобедренный треугольник»;

6) под понятие «натуральное число» делится на понятия: «четное число», «нечетное число», «число, кратное на 3»;

b) понятие «четырехугольник» делится на понятия: «параллелограмм» и «трапеция».

B случае, если классификация выполнена неправильно, укажите какое условие нарушено и

Задание 13. Выполните правильные классификации следующих понятий:

Вуз, студент, угол, музыкальный инструмент, мебель, обувь, домашнее животное, домашняя птица, посуда, часы, учитель, здание, дерево, число, буква русского алфавита, множество, житель города.

Задание 14. Докажите, что понятие «четырехугольник» родовое по отношению к понятию «квадрат». В какой зависимости находятся содержания этих понятий?

Источник

Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если можете исправьте их 1. Прямоугольником называется четырехугольник у которого противоположные.

Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если можете исправьте их 1. Прямоугольником называется четырехугольник у которого противоположные стороны равны 2. Биссектрисой угла называется прямая делящая угол пополам 3. сложением называется действие при котором числа складываются 4. Равносторонним треугольником называется треугольник у которого равны все стороны и углы 5. Параллелограммом называется многоугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны

Ответы

1) Прямоугольником называется четырехугольник у которого противоположные стороны равны и все четыре угла равны.

3)сложением называется действие при котором числа складываются: если все числа положительные или отрицательные, либо вычитаются: если числа и положительные и отрицательные.

4. Равносторонним треугольником называется треугольник у которого равны все стороны или углы

а)периметр квадрата равен сумме четырех его сторон:

б)площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон:

с)площадь круга равна произведению числа пи на квадрат его радиуса:

г)длина окружности равна удвоенному произведению радиуса окружности на число пи:

Источник

Задания по математике. В педагогическом университете профиль начальное образование.

1. Начертите три геометрические фигуры, принадлежащие объему понятия: а) параллелограмм; б) трапеция; в) окружность.

2. Назовите пять существенных свойств понятия: а) треугольник; б) круг.

3. Каков объем понятия: а) однозначное число; б) натуральное число; в) луч?

4. Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и квадрата. Какое из следующих утверждений верное: а) Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику. б) Всякое свойство прямоугольника присуще квадрату?

5. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол; в) луч и прямая; г) ромб и квадрат; д) круг и окружность?

6. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий а, в и с, если: а) а – «четырехугольник», в – «трапеция», с – «прямоугольник»; б) а – «натуральное число, кратное 3», в – «натуральное число, кратное 4», с – «натуральное число»; в) а – «треугольник», в – «равнобедренный треугольник», с – «равносторонний треугольник».

7. Приведите примеры понятий, отношения между которыми изображены на рисунке.

8. Среди понятий, изучаемых в начальном курсе математики, есть такие, как «четное число», «треугольник», «многоугольник», «число», «трехзначное число», «прямой угол», «сумма», «слагаемое», «выражение». Есть ли среди них понятия, находящиеся в отношении: а) рода и вида; б) целого и части?

9. Какие свойства понятий «прямоугольник» и «сложение» изучают в начальном курсе математики?

10. Переформулируйте следующие определения, используя слова «тогда и только тогда, когда»:

а) Четным называется число, которое делится на 2.

б) Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

в) Множества А и В называются равными, если А Ì В и В Ì А.

г) Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

11. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятие, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие: а) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны; б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

12. Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличии каждого из следующих определений: а) Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам; б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

13. Соразмеримы ли следующие определения: а) Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого есть острый угол; б) Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого есть прямой угол.

14. Учащийся определил прямой угол, стороны которого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?

15. Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если есть, то исправьте их.

а) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

б) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам.

в) Сложением называется действие, при котором числа складываются.

г) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все стороны и все углы.

д) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

16. Дайте определение: тупоугольного треугольника, равнобедренного треугольника, трапеции. Какие понятия вы выбрали в качестве родового в каждом случае? Какие свойства включили в видовое отличие?

Источник

Исправьте логические ошибки в предложениях.

Исправьте логические ошибки в предложениях.
1. Налицо незаконное разбазаривание государственного имущества.
2. День был жаркий, но ярко светило солнце.
3. Народные войска встречали тысячи жителей города.
4. Каждый рабочий закреплен за определенным станком, который следит за его состоянием.
5. Пророческие слова великого певца народной скорби и печали в нашей стране сбылись.
6. Книги у меня лежат справа, а свет слева.
7. Условия жизни города отличны от села.
8. Сидя на диване, Коля читал книгу, задумчиво уставившись в потолок.
9. Археологи заметили, что покойники из южного захоронения перекликаются с покойниками из северного захоронения.

1. На лицо незаконная кража государственного имущества.
2. День был пасмурный, но солнце светило ярко.
3. Тысячи жителей города встречали народные войска.
4. На каждый станок определён свой рабочий, который следит за его состоянием.
5. Пророческие слова и печали великого певца народной скорби в нашей стране сбылись.
6. Книги у меня лежат справа, а свечи слева.
7. Условия жизни города отличаются от условий в селе.
8. Коля читал книгу, сидя на диване.
9. Археологи заметили, что покойники из южного захоронения пересекаются с покойниками из северного захоронения.

1. Явное незаконное разбазаривание государственного имущества.
2.День был жаркий, т. к. ярко светило солнце.
3. Народные войска были встречены тысячами жителей города.
4. Каждый рабочий закреплен за определенным станком, при этом в обязанности рабочего входит контроль за состоянием оборудования.
5. Пророческие слова великого певца народной скорби и печали сбылись для нашей страны.
6. Книги у меня лежат справа, а свет направлен слева.
7. Условия жизни города отличаются от условий жизни села.
8. Сидя на диване, Коля читал книгу, иногда задумчиво уставившись в потолок.
9. Археологи заметили, что у покойников из южного захоронения есть сходства с покойниками из северного захоронения.

Источник