Математические софизмы
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
Атеев А.С. 1Самарина Е.А. 1
1МБОУ «ООШ № 12» Асбестовского городского округа
Самофалова В.В. 1
1МБОУ «ООШ № 12»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
1. Введение
Математика — один из наших любимых школьных предметов. Он нам нравится не только потому, что это основной школьный предмет, но и потому, что без математических знаний в жизни не обойтись. Занятие математикой развивает логическое мышление, сосредоточенность, находчивость, устойчивое внимание, хорошую память, смекалку.
Тема нашей работы «Софизмы в нашей жизни». Мы выбрали эту тему для своего проекта не случайно. Как-то вечером папа задал мне вопрос: «Саша, а ты знаешь, что 6 = 7? Мне стало интересно. Папа с легкостью доказал это равенство.
Вот как это было: 6=7.
Запишем верное равенство: 42 +12 — 54 = 49 +14 – 63.
Вынесем общий множитель за скобки: 6(7 + 2 – 9) = 7(7 + 2 – 9)
Разделим обе части на общий множитель (7 + 2 – 9).
Получим, что 6 = 7 , что и требовалось доказать. Где ошибка? Ведь этого быть не может. Папа сказал, что есть такое понятия, как софизм. Так я определился с темой проекта. Катя сама выбрала тему из списка, который был предложен учителем математики. Для нее понятие софизм тоже было неизвестно, поэтому она решила узнать, что означает это незнакомое и интересное слово.
В процессе работы мы выяснили, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой (например, 34 =7), так и то, что прямой угол равен тупому.
Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм — это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.
Цель: узнать, что такое софизмы и научиться находить ошибку в софизмах.
Задачи:
1. Познакомиться с историей софизмов.
2. Узнать, какие бывают софизмы. Классификация софизмов.
3. Понять, как найти ошибку в софизмах?
4. Разбор софизмов.
5. Составить анкету для обучающихся, познакомить одноклассников с результатами работы.
6. Составить рекомендации для нахождения ошибок в софизмах.
Гипотеза: софизмы — тренировка для ума.
Объект и предмет исследования: софизмы
Методы исследования:
1. Анализ литературы и информации, полученной из Интернет источников
2. Обсуждение темы с учителем, родными и одноклассниками
3. Анкетирование одноклассников
4. Анализ и обобщение полученных данных.
2. Теоретическая часть
Что такое софизмы?
Софизм (от греч. — мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.
Что же такое математический софизм? Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм — гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.
2.2. История возникновения софизмов
Мы изучили историю возникновения софизмов. Софистика – это искусство ведения спора. Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. Имея в этом выгоду или просто интерес, многие умные и хитрые люди строго логически доказывали, что черное – это белое, истина – это ложь, добро – это зло и т.д. Так появились софизмы – формально кажущиеся правильными, но по существу ложными умозаключениями. Эти рассуждения могут быть истинны в каждой отдельной части, но неверные в целом.
Софизм – слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на формально – логическое установление абсурдного положения. В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях.
Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: «неправильности речи» и ошибки «вне речи», т.е. в мышлении. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит замаскированные ошибки. Часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил.
Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.
Софист – это:
1. Человек, прибегающий к софизмам для доказательства заведомо неверных мыслей, положений.
2. В древней Греции первоначальный мудрец, знаток, потом платный учитель философии, красноречия, искусства спора, а также — философ, расходившийся с общепринятыми взглядами в вопросах религии и морали и обвинявшийся противниками в пользовании софизмами.
Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элеи. Например, одна из них: «В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не сможет начаться».
В истории развития математики софизмы способствовали повышению строгости в рассуждениях и более глубокому пониманию понятий и методов математики.
2.3. Классификация ошибок в софизмах
Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.
Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:
Логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство. Но закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено», или «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа;
Терминологические ошибки – неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы треугольника равны 180 градусам» в смысле «Сумма углов треугольника равна 180 градусам».
Ошибки в применении формул. Например : Чётное и нечётное. 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!
Практическая часть
3.1. Разбор математических софизмов
Рассмотрим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики. Как было сказано ранее, в математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Математические софизмы делятся на 4 вида: арифметические, алгебраические, геометрические, логические. Мы рассмотрим некоторые из них.
Арифметические софизмы– это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
Дважды два – пять (2 * 2 = 5)
Доказательство:
Пусть исходное соотношение — очевидное равенство:
4:4= 5:5 (1) .
Вынесем за скобки общий множитель каждой части (1) равенства, и мы получим:
4*(1:1)=5*(1:1) (2)
Разложим число 4 на произведение 2 *2
(2*2)* (1:1)=5*(1:1) (3)
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2) устанавливаем: 2*2=5.
Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в в частном, множитель можно выносить либо из суммы, либо из разности.
Один рубль не равен ста копейкам
Доказательство:
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.
Наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп., таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: необходимо переходить к единым единицам измерения.
Софизм «5 = 6»
Докажем, что 5 =6. С этой целью возьмем числовое равенство 35 + 10- 45 = 42 + 12 — 54. Вынесем общий множитель левой и правой части за скобки. Получим 5(7 + 2 — 9) = 6 (7 + 2 — 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (7 + 2 — 9). Получаем 5=6. В чем ошибка?
Ошибка: нельзя делить на равенство (7 + 2 — 9), т. к. (7 + 2 — 9)= 0. Ма знаем еще из начальной школы, что на 0 делить нельзя.
Таки образом, можно доказать равенство любых разных двух чисел.
Софизм «Пропавший рубль»
Три подруги зашли в кафе выпить по чашке кофе7 Выпили. Официант принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли. Однако хозяин кафе решил сделать скидку посетительницам, сказав что кофе стоит 25 рублей. Официант взял деньги и побежал доганять подруг, но пока он бежал, подумал, что им будет трудно делить 5 рублей, ведь их трое, поэтому решил отдать им по 1 рублю, а 2 рубля оставить себе. Так и сделал.
Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей. 9 . 3 = 27 рублей, да 2 рубля осталось у официанта. А где же еще 1 рубль?
Ошибка. Задача сформулирована так, чтобы запутать читателя. Подруги заплатили 27 рублей, из этой суммы 25 рублей осталось у хозяина кафе, а 2 рубля у официанта. И никакого пропавшего рубля!
Логические софизмы
Софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры:
Полный стакан равен пустому
Рассмотрим стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому.
Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен
стакану пустому. Где ошибка?
Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно, т.к. пустое увеличить вдвое не возможно.
Софизм учебы
Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:
The more you study, the more you know
The more you know, the more you forget
The more you forget, the less you know
The less you know, the less you forget
The less you forget, the more you know
So why study?
Перевод:
Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
Это стихотворение можно смело назвать логическим софизмом!
Геометрические софизмы
Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
Софизм «Загадочное исчезновение» (Приложение 1). У нас есть произвольный прямоугольник на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Куда исчезла 13-я линия?
Разбор софизма. 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины.
Примеры софизмов приведены в Приложении 2.
Работая над проектом, мы составили рекомендации по нахождению ошибок в софизмах (Приложение 3).
3.2. Анкетирование
Мы провели анкетирование среди обучающихся 7 классов на знание софизмов. В анкетировании приняло участие 40 человек. Были заданы следующие вопросы:
1. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы «Два равно трём»?
«Да» – 24 человека, 60 %
2. Знакомо ли вам понятие «софизм»?
«Да» — 10 человек, 25 %
3. Хотелось ли вам познакомиться с софизмами?
«Да» — 36 человек, 90 %.
Анкетирование показало, что немногим ребятам известно понятие «софизм». 90 % обучающихся хотели бы больше узнать о софизмах. Мы выступим перед ребятами с нашим проектом.
Заключение
Из года в год появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих быстро забудут. Ведь софизмы — это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений.
Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.
Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться. К концу работы над проектом ошибки стали находиться быстрее. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свою речь.
Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Работая над проектом, мы составили рекомендации по разбору софизмов (Приложение 3). Наш проект будет полезен людям, которые начинают работать с софизмами с целью развития свих интеллектуальных способностей.
Мы считаем, наш проект актуален и имеет практическое применение. Задачи выполнены, цель достигнута.
Решение софизмов тренируют наш мозг, то есть наша гипотеза верна.
Действительно, софизмы являются тренировкой для ума.
Информационные источники
«Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.
«Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.
Т.Н. Михеева. Софизмы
«Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.
«Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство «Молодая гвардия», 1978 г.
Приложение 1
«Загадочное исчезновение»
Приложение 2
Лекарства
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
Девушка — не человек
Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка – молодая, значит девушка – молодой человек. Молодой человек – это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.
Вор
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.
Разговор софиста и любителя спорить
Софист: “Может ли мёд быть сладким и несладким одновременно?”
Любитель: “нет”
Софист: “ А мёд сладкий?”
Любитель: “Да”
Софист: “А мёд желтый?”
Любитель: “Да”
Софист: “А жёлтый — значит сладкий?”
Любитель: “Нет”
Софист: “Значит мёд сладкий и несладкий одновременно!”
Не знаешь то, что знаешь
— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.
— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.
Примеры геометрических софизмов, которые можно услышать на уроке геометрии:
— Смежные углы равны 180 градусам;
— Накрест лежащие углы равны.
Приложение 3
Рекомендации по нахождению ошибок в софизмах
Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи.
Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат получается из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки.
Установить темы, которые отражены в софизме. Обучающиеся, учителя привыкли, что задания, предлагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. И если вы увидели эти темы, попытайтесь зрительно разбить «большой софизм» на маленькие.
Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, логичности. Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений, используемых в софизме. Например: 2 * 2 =5. Если произнести эту фразу вслух, то мы можем услышать ошибку, услышав самого себя, или более подробно разобраться в смысле софизма.
Проверять преобразования. После каждого перехода проверить полученный результат обратным действием. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».
Просмотров работы: 10450
Софизмы в математике
Секция: Математические науки.
Автор: Шеметова Анастасия, Глазунова Екатерина, 8 класс
МБОУ «СОШ №18».
Научный руководитель: Лукьянова Ольга Георгиевна, учитель
математики МБОУ «СОШ №18».
Г. Миасс
Челябинская
область
Оглавление
Введение
I.
Софизм и история его возникновения
1.1. Софизм и софистика
1.2. Экскурс в историю
II.
Математические софизмы и их классификация
2.1. Софизмы и типичные ошибки в
них
2.2. Математические софизмы
2.3. Разбор математических
софизмов
2.4. Логические софизмы
2.5. Источники софизмов
III. «Софизмы из наших школьных тетрадей»
Заключение
Список литературы
Приложение 1.
Приложение 2. Арифметические софизмы
Приложение 3. Алгебраические софизмы
Приложение 4. Геометрические софизмы
В
математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.
И. Ньютон
Введение
У ученых есть такое свойство — поставят в
тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с
трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости.
И одним из средств не только учёных, но и любознательных остроумных людей,
любящих ставить окружающих в тупик, является «софизм». Нас заинтересовал факт
глубокой древности зарождения софизмов и популярности их у ученых.
Актуальность: Наверное,
каждый человек хоть раз в жизни слышал фразу: «Дважды два равно пяти» или «Два
равно трем». Что они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь
логическое объяснение или же это лишь вымысел? Чтобы ответить на эти и подобные
им вопросы, мы в своей работе рассматриваем математические софизмы. Математический софизм – удивительное утверждение, в
доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Поэтому нам представляется актуальным изучение ошибок в софизмах, потому что их
понимание ведёт к пониманию математике в целом, помогает развивать логику и
навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее
осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших
математических рассуждениях.
Цель: изучение типичных ошибок, которые возникают у учащихся
в процессе изучения математики, их причин и способов предупреждения на примере
математических софизмов.
Задачи:
1.
изучить понятие софизма и историю его возникновения;
2.
рассмотреть виды софизмов и дать классификацию их ошибок;
3.
составить сборник разбора задач на софизмы по различным разделам
математики для 6 — 9 классов.
Гипотеза исследования: если в процессе обучения математике целенаправленно
и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на
примере софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической
подготовки учащихся.
I. Софизм и история его возникновения
1.1. Софизм и софистика
Софизм в
переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство. Этим
термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента
логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным.
Софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.
Софизм — преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать
противника и выдать ложное суждение за истинное.
Софистика –
направление философии, которое возникло в V — IV вв. до н.э. в Греции и
стало очень популярным в Афинах.
1.2. Экскурс в историю
Во
второй половине V века до н.э. в Греции появились софисты. Софистами называли
группу древнегреческих философов достигших большого искусства в логике. Они
появились во время становления демократии в Афинах и на подвластных Афинам
территориях. Софисты — это мудрецы, но мудрецы особого рода. Этих мудрецов
истина не интересовала. Они были, как правило, платными «учителями мудрости».
Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою предвыборную компанию, в
частности, переспорить оппонентов на собрании, а также для того, чтобы выиграть
судебное дело. В Греции софистами называли и простых ораторов —
философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить,
говорить и делать». Одним из представителей
софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а
это и есть гражданское искусство» (приложение 1, рис. 1).
Чтобы выйти победителем в словесном
поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко
знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и
поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного
поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя
побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. Софизмы существуют и
обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с
годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на
чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним
непонятны. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а
наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под
влиянием Сократа философских школах.(Приложение 1,рис.2)
Термин «софизм» впервые ввел Аристотель
(приложение 1, рис.3), охарактеризовавший софистику как мнимую, а не
действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и «апории Зенона» (внешне парадоксальные рассуждения
на тему о движении и множестве), направленные
против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и
все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о
том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то
обычным для многих школ античной философии. Аристотель называл софизмом «мнимые
доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто
субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа.
Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана
с хорошо замаскированной ошибкой, с использованием, например, «неразрешённых»
или даже «запрещённых» правил или действий.
Современный софизм, основной задачей
которого является манипуляция общественным сознанием, существует в
многочисленных формах. Современные софисты, прежде всего, — специалисты по
пиару. Работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных
политических деятелей.
В обычном и распространенном понимании
софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий
и завуалированный. Цель софизма – выдать ложь за истину.
В нашей работе мы рассматриваем
математические софизмы.
II. Математические софизмы и их классификация
2.1. Софизмы и типичные ошибки в
них
Математический софизм — удивительное утверждение, в
доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
История математики полна неожиданных и
интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым
открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно
продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью
записи чертежей, за законностью математических операций. Поиск и нахождение
ошибок в софизме способствует пониманию математики в целом и развивает
логическое мышление.
К типичным ошибкам
в софизмах относятся:
· запрещенные
действия;
· пренебрежение условиями
теорем, формул и правил;
· ошибочный чертеж;
· опора на ошибочные
умозаключения.
Нередко, ошибки,
допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не
сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в
софизмах.
2.2. Математические софизмы
Математические
софизмы делятся на:
1. Арифметические софизмы — это числовые
выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
Пример: « Дважды два — пять!».
Возьмем в качестве исходного соотношения
следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения за скобки общего
множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1)
или (2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения 4(1:1)=5(1:1)
устанавливаем: 4=5, 2∙2=5.
Ошибка.
Распределительный закон умножения применяется
только для сложения и вычитания: ав + ас = а(в + с).
2. Алгебраические
софизмы —
намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
Алгебра — один из больших разделов
математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших
ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры отличаются от других отраслей
математики.
Приёмы
эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений.
Пример: «Любое отрицательное число больше
положительного, имеющего то же абсолютное значение».
Этот софизм основан на очевидной истине:
«Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в n раз, то и в
правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».
Напишем следующие равенства:
и 
; т.е. 
.
Другими словами, если в левой части
равенства + a > — a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же
соотношение.
Т.е. – a > + a.
Ошибка.
Чтобы получить из равенства +a > -a
равенство –a>+a, нужно первое равенство умножить на -1, но при это нужно сменить
знак неравенства (–a<+a).
3.Геометрические софизмы – это
умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость,
абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и
действиями над ними.
Пример: «Из точки на прямую можно
опустить два перпендикуляра.»
Рассмотрим
треугольник АВС.
Разделим стороны АВ и ВС пополам точками M
и N. На этих сторонах, как на диаметрах, опишем окружности с центрами в точках
M и N. Окружности пересекут сторону АС в точках D и E.
Углы
AEB и BDC опираются на диаметры АВ и ВС соответственно, значит они прямые.
Следовательно, отрезки BD и BE, исходящие
из точки В, будут перпендикулярны, стороне АС, следовательно, из точки В можно
опустить два перпендикуляра на сторону АС.
Ошибка.
Действительно, опустив из B перпендикуляр
на AC , получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут
стороны BC и AB, и если вокруг этих треугольников описать окружности, их
гипотенузы будут диаметрами. Неправильный чертеж. Известно,
что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах,
пересекаются в одной точке, лежащей на третьей стороне.
2.3. Разбор математических софизмов
В математических софизмов выделяются 6 основных
ошибок:
1. Деление на 0.
Софизм №1 «Пять равно шести».
Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.
В каждой части вынесем за скобки общий
множитель:
5(7+2-9)=6(7+2-9).
Теперь, получим, что 5=6.
Ошибка.
При делении верного равенства
5(7+2-9)=6(7+2-9) на число 7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать. Любое
равенство можно делить только на число, отличное от 0.
Софизм №2 «Уравнение x-a=0 не имеет
корней».
Дано уравнение x –a = 0. Разделив обе
части этого уравнения на x-a, получим, что 1 = 0. Поскольку это равенство
неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.
Ошибка.
Поскольку x = a – корень уравнения, то,
разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому
получили неверное равенство 1=0.(x—a=0 -на ноль делить нельзя).
2. Неправильные выводы из равенства дробей;
Софизм №3 «Отклонение от алгоритма может
привести к приобретению посторонних корней данного уравнения».
3. Неправильное извлечение квадратного корня из
квадрата выражения.
Софизм №4 
= 
= 
=2-
Ошибка.
При
вычислении квадратного корня 2-
< 0
= = 
=ç2- ç= — 2
4. Нарушения правил действия с величинами.
Софизм №5 «Один метр не равен ста
сантиметрам».
Известно, что любые два равенства можно
перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d,
то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 метр =
100сантиметрам и 10 метров = 1000 сантиметрам. Перемножая эти равенства почленно,
получим 10 метров = 100000 сантиметров и, разделив последнее равенство на 10,
получим, что 1 метр = 10000 сантиметров .
Ошибка.
Она состоит в нарушении правила действий
с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо
совершать также и над их размерностями.
«Один рубль не равен ста копейкам».
Возьмем верное равенство: 2р. = 200к. и
возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р. = 40 000 к.
Ошибка.
Здесь надо вспомнить, что
возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не
величины.
5. Проведение преобразований над математическими
объектами, не имеющими смысла.
Софизм №6 «Два
неодинаковых натуральных числа равны между собой».
Решим систему двух уравнений:
.
Сделаем это
подстановкой у из 2-го уравнения в 1-е, получаем х+8-х=6, откуда
8=6.
Ошибка
Уравнение (2)
можно записать как х+2у=8, так, что исходная система запишется в виде: 
.
В этой системе
уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между
собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного
решения.
Графически это
означает, что прямые у=3-
и у=4- параллельны и не совпадают. Перед
тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли
система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений
вообще.
6. Неравносильный переход от одного неравенства к
другому.
Софизм №7 «Если А
больше В, то А всегда больше, чем 2В».
Возьмем два произвольных
положительных числа А и В, такие, что А>В. Умножив это неравенство на В,
получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим
неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А).
(1)
После деления обеих частей
неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), А прибавив к этому
неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к
примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.
Ошибка.
Здесь совершен неравносильный
переход от неравенства (1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию А
> В, поэтому В – А < 0.Это означает, что обе части неравенства (1)
делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств
при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак
неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из
неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к
которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное
неравенство А+В<В+2А.
7. Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
Софизм
№8 ∟С=90, ВД — биссектриса угла СВА, СК=КА, ОК перпендикулярна СА, О —
точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС.
∟С=90, ВД — биссектриса ∟ СВА,
СК=КА, ОК ^ СА, О —
точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ ^ АВ, ОL ^
ВС.
Имеем: D
LВО=D МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА,
D КОА=D ОМА (ОA- общая сторона, КА = ОМ, ∟ ОКА и
∟ ОМА — прямые), ∟ ОАК =
∟ МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и
потому ВА = ВС
Ошибка.
 |
Рассуждения о
том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка
пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к
катету АС, находится вне треугольника АВС.
2.4. Логические софизмы
Один из видов
математических софизмов является логический софизм.
Пример № 1: «Полупустое или полуполное».
Полупустое есть то же, что и полуполное.
Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же,
что и полное
Ошибка.
Полупустое не является половиной чего либо
пустого, а является чем либо наполовину наполненным.
Пример
№2: «Когда
же учиться?»
1. По ночам занятий нет, половина суток свободна.
Остаётся: 365-182=183 дня. 2.
2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая
половина (или четвёртая часть суток) может быть свободна.
Остаётся:183-183:4=137 дней. 3. В году 52 воскресенья. Из них на каникулы
приходится 15 дней, таким образом, выходных в учебном году52-15=37 дней.
Итого остаётся 137-37=100 дней.
4. Есть ещё каникулы: осенние (5 дней), зимние (10 дней), весенние
(7 дней), летние (78 дней). Всего 5+10+7+78=100 дней.
5. Итак, школьники заняты в году 100-100=0 дней. Когда же
учиться?!
2.5. Источники софизмов
Источниками
софизмов может выступать терминология, которая используется во время спора.
Многие слова имеют несколько смыслов (доктор может быть врачом или же научным
сотрудником, имеющим ученую степень), за счет чего и происходит нарушение
логики. Софизмы в математике, например, основаны на изменении чисел путем
перемножения их и последующего сравнения исходных и полученных данных.
Неправильное ударение тоже может быть оружием софиста, ведь множество слов при
изменении ударения меняют и смысл. Построение фразы иногда очень запутанно,
как, например, «два умножить на два плюс пять». В данном случае непонятно
имеется ли в виду сумма двойки и пятерки, умноженная на два, или же сумма
произведения двоек и пятерки.
Разбор и
решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных,
помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к
таким задачам.
III.
«Софизмы из наших школьных тетрадей»
Цель практической работы: проанализировать наши тетради для
контрольных работ по математике, выявить софизмы и найти ошибки, заключенные
в них.
Известная истина гласит «Умные люди учатся
на чужих ошибках». В математике приходится учиться, в основном, на собственных
ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и
полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, правильно ее использовать.
Обидно получать плохие оценки из-за ошибок
«на ровном месте». Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря
знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и
всевозможные ляпы. Сами ученики не могут объяснить, чем вызваны эти ошибки.
С помощью задач,
содержащих противоречие в условии, можно предупредить ошибки учащихся,
связанные с работой над математическими объектами, которые не существуют при
заданных условиях. Если учащиеся решают задачу, работая с несуществующими
объектами, то происходит выход за границы применяемости теоремы, свойства и
т.д. Эти ошибки возникают по той причине, что большинство учебных задач
содержит информацию непротиворечивую и приводящую к единственному решению.
|
Софизм |
Ошибка |
|
№1 |
Неправильный
|
|
№2
|
Нарушение
|
|
|
|
|
№4
ОДЗ:
Умножим обе 2 Разложили 2 = (x — 2) (2x + 1) (x — 2) (2x + 1) = x2 (x — 2) Разделим х — X2 -2x -1 =0 Д=4+4=8 X1= X2=1- Корни Ответ: |
Ошибка: (x-2)(2x+1)=x2 (x-2) , на x-2произошла Верное x2 (x-2) – (x-2) (2x+1)=0 (x-2) (x2-2x-1)=0 х — x = 2 или x1=1 + Уравнение 1 + Но Ответ: |
|
№5
|
Верное Ошибка: Правило: |
|
№6 Периметр треугольника равен 6, его стороны относятся как |
Задача провоцирует учащихся на то, чтобы дать ответ 2. При |
|
|
Известные элементы (радиус окружности и угол, образуемый |
Заключение
Исторические
сведения о софистике и софистах помогли нам разобраться, откуда же все-таки
началась история софизмов. Вначале мы думали, что софизмы бывают исключительно
математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой
области, мы поняли, что софистика — это целая наука, а именно математические
софизмы — это лишь часть большого течения.
Разбор софизмов
развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению изучаемого
материала, воспитывая вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к
тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Мы с большим
интересом воспринимали софизмы, чем труднее софизм, тем большее удовлетворение
доставляет его разбор. Порой сам попадаешься на уловки софиста.
Гипотеза, которую
мы ставили в начале работы «Если в процессе обучения математике целенаправленно и
систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на примере
софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки
учащихся», подтвердилась.
Благодаря знанию
софизмов можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится
грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Когда ребенок раз
притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не
делать. Он будет много осторожнее. Так, изучающий математику, впоследствии
проявит больше осторожности, чтобы не повторить осознанную ошибку. Значит, математические софизмы заставляют внимательно
и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью
формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за
законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно. Только очень сухого
человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить
ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах.
Математические софизмы показали нам, как важно строго соблюдать правила и
формулировки теорем при логических умозаключениях.
Нам
было очень интересно работать над данной темой. Мы создали сборник «Софизмы из
наших школьных тетрадей».
Задания,
предложенные нами в работе, можно использовать как на уроках алгебры и
геометрии, так и на внеклассных мероприятиях.
Список
литературы
1. «Софисты»
под редакцией Б.С. Чернышева
2. «Софизмы. Алгебра.
Геометрия. Тригонометрия» под редакцией Т.Н. Михеевой
3. http://gamzatovasm.ru/node/88 — Алгебраические
софизмы
4. http://reshit.ru/sofizm — Геометрические
софизмы
5. http://sophisms.ucoz.ru/index/arifmeticheskie_sofizmy/0-6 — Арифметические софизмы
6. http://referatwork.ru/category/logika/view/131832_sofizmy — Логические софизмы
7. https://ru.wikipedia.org/wiki/Апории_Зенона — Апории Зенона
Приложения
Приложение 1.
Рис. 1 Протагор
Рис.
2 Сократ
Рис. 3 Аристотель
Приложение 2.
Арифметические софизмы
1.
Верно ли равенство 7 = 8?
35 +
14 – 49 = 40 + 16 — 56
7(5 +
2 — 7)=8(5 + 2 — 7)
Следовательно,
7 = 8
Ошибка.
Обе части равенства разделили на (5 + 2 — 7),
но нарушено правило, что на «0» делить нельзя (5 + 2 – 7 = 0)
2.
Некто
утверждал, что 45-45=45. Рассуждал он так: «Записываем вычитаемое в виде суммы
последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же
чисел, но взятых в обратном порядке (от 1 до 9):
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
8 + 6 + 4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 2
Будем
последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой. Например, так как
9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем единицу из двух, имеем 11-9=2 и т. д. Теперь
нетрудно установить,
8 + 6 + 4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 2 = 45.
Итак,
45 – 45 = 45.
Ошибка состоит в том,
что занимаемую единицу возводили в ранг десятка.
3.Меньшее число больше, чем большее».
Очевидно,что7 > 5 и что – 8 = — 8
Тогда:7 – 8 > 5 — 8 или – 1 > — 3
Это не противоречит основному понятию об
отрицательных величина, на основании которого мы считаем меньшей ту
отрицательную величину, численное значение которой больше, и наоборот.
Умножим обе части последнего неравенства на (- 4).
Получим (-1)*(-4)>(-3)*(-4) или 4 > 12
Ошибка.
При умножении неравенства на отрицательное
число, знак неравенства изменяется на противоположный.
Приложение 3. Алгебраические софизмы
1.«Отрицательное число больше положительного».
Возьмем два положительных
числа а и с. Сравним два отношения: 
и 
Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить
пропорцию: 
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего,
то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем
случае а > — с, следовательно, должно быть –а > с, т.е. отрицательное
число больше положительного.
Ошибка.
Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые
члены пропорции отрицательны.
2. « Если
одно число больше другого, то эти числа равны»
Возьмем два
произвольных числа т и п, такие, что m > n , и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых
равна d, т.е. а + b + c = d. Умножив обе части этого равенства на n, а затем на
m, получим:
ma + mb + mc
= md, na + nb + nc = nd.
Сложив почленно равенства:
ma + mb + mc
= md и nd = na
+ nb + nc
получим: ma + mb + mc + nd = na + nc + nb + md.
Перенося здесь nd вправо, а md влево, имеем
ma + mb + mc
– md = na + nb + nc — nd.
Вынося слева число m, а справа число n за скобки,
придем к соотношению m (a + b + c — d) = n (a + b + c — d).
Разделив обе части последнего равенства на
(a + b + c — d), находим, что m = n.
Ошибка.
a + b + c – d =0, на ноль делить нельзя.
4.
«Любое число равно нулю»
Возьмем произвольное положительное число а и
рассмотрим сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а: х = а + а + а + а +…
Очевидно, что мы можем представить эту сумму как х = а + (а + а + а +….) в
которой сумма, стоящая в скобках, также равна х как сумма бесконечного числа слагаемых,
равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0.
Ошибка допущена в равенстве (1) , в котором бесконечная сумма чисел
а обозначена конечным числом х.
4.
Решим систему двух
уравнений:
Сделаем это подстановкой у из 2го
уравнения в 1, получаем х + 8 — х = 6, откуда
8 = 6
Ошибка.
Уравнение (2) можно записать как х + 2у = 8,
так что исходная система запишется в виде: 
В этой системе
уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между
собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного
решения.
Графически это
означает, что прямые у=3 — и у = 4
— параллельны и не совпадают. Перед
тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли
система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений
вообще.
5. «Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше,
чем “2b”»
Возьмем два
произвольных положительных числа a и b, такие, что a > b. Умножив это
неравенство на b, получим новое неравенство:
ab > bb, а отняв от обеих
его частей a·a, получим
неравенство:
ab—aa > bb — aa, которое
равносильно следующему: a(b—a) > (b+a)(b—a).(1)
После деления обеих частей неравенства (1)
на b—a получим, что a > b+a (2),
Прибавив к этому неравенству почленно
исходное неравенство a> b, имеем
2a >
2b + a,
откуда a > 2b.
Итак, если a > b, то a > 2b.
Ошибка совершена при
переходе от равенства (1) к (2).
Т.к. a > b, то b — a<0,
следовательно, при делении неравенства (1) на b – a, мы должны
поменять знак неравенства на противоположный.
6.«Единица равна двум»
Простым вычитанием легко убедиться в
справедливости равенства
1 — 3 = 4-6.
Добавив к обеим частям этого равенства
число 9/4, получим новое равенство
1 — 3 + 9/4 = 4 — 6
+ 9/4,
в котором, как нетрудно заметить, правая и
левая части представляют собой полные квадраты, т. е. (1 — 3/2)
=(2 — 3/2)
Извлекая из правой и левой частей предыдущего
равенства квадратный корень, получаем равенство: 1 — 3/2
=2 — 3/2
откуда следует, что 1=2.
Ошибка.
По определению 
представляет собой некоторое
неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, даст х. Ясно, что
этому определению удовлетворяют два числа, а именно х и -х. Итак, если число х
неотрицательно (х ≥ 0), то
= х; если же число х отрицательно (х<0), то есть число –х положительно, то 
= — x. Отсюда заключаем, что 
(свойство
арифметического квадратного корня), что не учитывается в содержании этих
софизмов и приводит к ложным выводам.
7.
«Всякое
число равно своей половине.»
Запишем очевидное для любого числа a
тождество a2— a2= a2— a2,где
а — любое число.
Вынесем a в левой части за скобку,
а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим
a(a – a) = (a + a)(a — a).
Разделив обе части на a — a, получим a = a + a, или a=2a.
Разделим на 2 и получим а
= а/2
Ошибка.
Мы делим обе части на ноль, а деление на
ноль запрещено
Приложение 4. Геометрические софизмы
1. 
, а длина всякой окружности равна ее
диаметру.
Построим
на отрезке МN как на диаметре окружность. Радиус окружности обозначим через 
. Тогда длина окружности будет
равна: 
Поделим
MO и NO пополам точками 
и
и построим новые окружности с центрами в
этих точках радиусами 
.
Найдем
длины новых окружностей: 
Сумма
их длин будет равна 
т.е.
равна длине большой окружности C.
Таким
же образом будем строить окружности и далее и находить сумму их длин.
Так,
сумма длин окружностей 
и 
. и будет равна
Продолжая
деление далее, мы будем делить диаметр NM на все меньшие части, а радиусы новых
окружностей будут равны 
и т.д. При этом сумма длин всех этих
окружностей всегда будет равна 
.
Так
как число делений большого диаметра будет бесконечно большим, окружности станут
настолько малыми, что сольются с диаметром, и сумма их длин в пределе будет
равна длине диаметра, так что она будет равна
.
С
другой стороны, сумма длин этих окружностей постоянна и равна 
, следовательно,
Из
этого равенства получаем 
или, деля на 
:
Ошибка: Так как сумма
длин бесконечно малых окружностей постоянна, то она и в пределе равна 
. Пусть 
— длина малой
окружности
,
— ее радиус. Как бы такая окружности ни была мала, всегда имеем 
или
Отсюда
видим, что эта бесконечно-малая окружность никогда не будет равна своему
диаметру ,
что следовало бы из результата софизма.
2.« Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами
угла, равны»
Рассмотрим произвольный угол с
вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки
которых АВ и CD заключены между сторонами этого угла.
Как известно параллельные
прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, АЕ :
CE = BE : DE,
Откуда АЕ·DE = BE·CE
Умножив обе части последнего
равенства на отличную от нуля разность (АВ –CD), запишем
AE·DE·AB — AE·DE·CD = AE·DE·CD
— BE·CE·CD,
или
AB(AE·DE — BE·CE) = CD(AE·DE —
BE·CE)
Разделив обе части последнего равенства на (AE·DE — BE·CE), получим
равенство АВ=CD.
Ошибка.
AE·DE — BE·CE=0
3.Все треугольники равнобедренные.
Рассмотрим
произвольный ∆АВС (рис.2).
Проведем
в нем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их
пересечения обозначим через О.
Из
точки O опустим перпендикуляр OD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону
ВС. Очевидно, что ОА = ОС и OD = ОЕ. Но тогда ∆AOD = ∆СОЕ по катету и
гипотенузе. Поэтому ∟DAO = ∟ЕСО. В то же время ∟ОАС = ∟ОСА,
так как ∆АОС -равнобедренный.
Получаем:
∟ВАС = ∟DAO + ∟ОАС = ∟ЕСО + ∟ОСА = ∟ВСА
Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому ∆АВС — равнобедренный:
АВ=ВС.
Ошибка. При построения чертежа. Серединный перпендикуляр к
стороне и биссектриса противоположного ей угла для не равнобедренного
треугольника, пересекаются вне этого треугольника.
Приложение 4.
Логические софизмы.
1.
Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше.
Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
2. Одна
песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1
песчинка – тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу
песка. К этому парадоксу можно сделать следующий комментарий: метод полной
математической индукции нельзя применять, как показывает парадокс, к объёмно
неопределённым понятиям, каковым является понятие «куча песка».
3.
Что появилось раньше: яйцо или курица. Для того чтобы появилось яйцо, должна
существовать курица, но ведь курица может вылупиться только из яйца, а значит,
первичным является именно оно.
4.«Может ли
всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?»
Если не может – значит, он не всемогущий.
Если может – значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это
камень.
6.В мире нет ни одного человека,
говорящего на моем языке; или короче: ни одного человека, говорящего; или еще
короче: ни одного человека.
Скачано с www.znanio.ru
Муниципальное
бюджетное образовательное учреждение
средняя
общеобразовательная школа №4
городского
округа г.Выкса Нижегородской области
Софизмы
в математике
Физико-
математическое отделение
Секция
математическая
Работу
выполнила:
ученица 8 класса
Дегтева Алёна Александровна,
14 лет
Научный руководитель:
учитель математики,
МБОУ СОШ №4
Мухина Ольга Александровна
г.
Выкса
2014г
Оглавление:
o Аннотация…………………………………………………………………
3
o Введение…………………………………………………………………..
4-5
o Глава
1. Обзор литературы………………………………………………. 6
o Глава
2. История софизмов…………………………………………….. 7
2.1. История возникновения софизмов…………………………………… 7-10
2.2. Софисты ………………………………………………………..… 10-11
2.3. Классификация софизмов………………………………………..…….. 11
2.3.1. Арифметические софизмы…………………………………..… 12-13
2.3.2. Алгебраические софизмы……………………………..………. 13-14
2.3.3. Геометрические софизмы……………………………….…….. 14-16
2.3.4. Логические софизмы……………………….………..………… 16-17
o Глава
3. Результаты и их обсуждения……………….…………… 18-19
o Заключение……………………………………………………….…..20-21
o Список
использованной литературы…………………………………22
o Приложение………………………………………………………..…….23
Аннотация.
В данной работе содержатся сведения
о софистике –
направлении философии, которое возникло в V-IV вв. до н.э. в
Греции и стало очень популярным в Афинах; о софизмах,
истории их возникновения, их классификации. Готовя данную исследовательскую
работу, я изучила ряд источников, из которых ясно, что софизмы – очень
интересное понятие, а решать софизмы – очень увлекательное занятие.
Цель моей работы: выяснить,
что такое софизмы, и каково их значение в жизни человека.
Мною поставлены следующие задачи:
— познакомиться с историей
возникновения софизмов;
— научиться решать софизмы,
распознавать ошибки, замаскированные в них;
— подобрать софизмы, согласно
классификации;
— придумать интересные задания по
данной теме для друзей, одноклассников.
Основные методы исследования:
Анализ информации следующих
источников:
— научной, методической литературы;
— посещение библиотеки, просмотр
Интернет сайтов.;
— проведение анкетирования.
На основе этих методов и поставленных
мною целей, я получила следующие результаты своей работы:
— собран материал о софизмах;
— мною подобраны различные софизмы по
их классификации;
— создана брошюра «Решаем софизмы на
уроках математики», презентация.
Введение
В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими
ошибками.
И. Ньютон
Я выбрала эту тему для своей исследовательской работы, потому
что она меня заинтересовала. Мне было интересно узнать, что некоторые заведомо
ложные утверждения, оказывается, можно доказать. В процессе работы я выяснила,
что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать
практически что угодно: как равенство всех чисел между собой, так и то, что
прямой угол равен тупому.
Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм — это обман, а так
как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг
друга в наше время, как и тысячелетия назад. На мой взгляд, с помощью
софизмов можно сделать уроки алгебры и геометрии более интересными.
Я хочу узнать как можно больше о
возникновении софизмов, о их классификации, их значении в нашей жизни.
Проблема: Софизм основан на
преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.
Гипотеза:
Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных
ошибок.
Цель исследования: Научиться
распознавать софизмы и обнаруживать ошибки, чтобы не допустить ложного решения.
Задачи:
— изучить понятие
софизмов;
— выявить недостатки в
истолковании софизмов;
— выяснить, какие бывают софизмы в математике;
-выяснить, какие основные ошибки допускаются в математических
софизмах;
— выявить роль софизмов в математике.
Над своим исследованием я
работала три месяца. Посещала школьную, городскую библиотеку. Искала
информацию, используя ресурсы Интернет-сайтов.
Глава
1. Обзор литературы.
В книге «Краткий очерк истории математики» Д.Я. Стройк [1], я узнала о
достижениях великого философа Аристотеля. Здесь рассматривается также введение
им понятия «софизм». Он охарактеризовал
софистику как мнимую, а не действительную мудрость. Здесь также я узнала, что
софистам
идейно
противостоял знаменитый греческий философ Сократ, который
утверждал, что объективная истина есть, только неизвестно точно, какая она, что
собой представляет; в силу чего задача каждого думающего человека заключается в
том, чтобы искать эту единую для всех истину.
О роли софизмов в истории математики я познакомилась из книги «Математическая
шкатулка» Ф.Ф.Нагибина и Е.С.Канина [2]. Роль софизмов в развитии математики
сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических
исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. И.П.Павлов говорил,
что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию». Также из этой книги я
поняла, как решаются софизмы, какие ошибки часто встречаются в них. Для своего
сборника я использовала задания, представленные в этой книги.
Также для выбора примеров софизмов я использовала книгу «Математические
софизмы» А.Г.Мадера, Д.А.Мадера [3], где представлены очень много интересных
софизмов.
Толковый словарь С.И.Ожегова [4] я использовала для введения понятия «софизм».
Глава 2.
История софизмов
Софизм
— формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение,
основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. (по С.И.Ожегову).
Софизм
— (от греческого sophisma
– уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение,
обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное
утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.
Термин «софизм» впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как
мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории
Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения
собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских
школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а
являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.
Характерно, что для широкой публики софистами были также Сократ, Платон и сам
Аристотель.
Широкую распространенность софизмов в Древней Греции можно понять, только
предположив, что они как-то выражали дух своего времени и являлись одной из
особенностей античного стиля мышления.
2.1. История возникновения софизмов
Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов (Древняя
Греция, V-IV вв. до новой эры), которая их обосновывала и оправдывала. Однако
софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и
интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа
философских школах.
Процесс познания человеком окружающего мира можно сравнить с радостным
торжеством, ибо каждая раскрытая тайна укрепляет веру в свои силы. Но на пути
победоносной человеческой мысли возникают большие, казалось бы, непреодолимые,
преграды, перед которыми умозаключения были бессильными. Древнегреческий
философ Диодор Кронос (примерно 307 год до н.э.), не решив одну
из древнейших логических задач – парадокс Эвклида, умер от разочарования, а
другой философ Фигет Косский, познав такую же неудачу, покончил
жизнь самоубийством. Древнегреческие ученые часто сталкивались с такими
задачами в математике. Они прикладывали много усилий, чтобы выявить механизм
образования подобных загадок. Было установлено, что наши рассуждения тоже
подчинены определенным законам (законам логики), нарушение которых обесценивает
результаты, добытые в этих рассуждениях. Неразрешенность задач, с которыми
встретились Диодор Кронос и Фигет Косский, объясняется, как правило, нарушением
законов логики. Поэтому уже тогда остро встал вопрос о системе «профилактических
приемов» – определенных правил с целью устранения логических ошибок.
Первая в истории проба проведения «логической профилактики» в
математике принадлежит гениальному древнегреческому математику, автору «Начал»
– Евклиду (IV в до н.э.). Он создал удивительный сборник
«Псевдарий», где поместил разнообразные ошибочные рассуждения, к которым часто
приходят те, кто начинает играть в математику. Таким образом, Евклид был
автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов.
Остается сожалеть, что этот труд не дошел до нас. За то требовательность
Евклида и строгость к культуре рассуждений нашла многочисленных последователей.
Сами же софизмы также появились в Древней Греции. Они тесно связаны с
философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех
желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству
красноречия). Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а
наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под
влиянием Сократа философских школах.
Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека
доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем
из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали
разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим
приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако,
одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно, ведь если
объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае,
проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо
понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и
психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно
дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не
существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире
субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда
софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии:
побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет
приемами полемики.
Софистам идейно противостоял знаменитый греческий философ Сократ,
который утверждал, что объективная истина есть, только неизвестно точно, какая
она, что собой представляет; в силу чего задача каждого думающего человека
заключается в том, чтобы искать эту единую для всех истину.
Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины
зародилась приблизительно в V в. до н.э. С тех пор она продолжается до
настоящего времени. Среди наших современников можно встретить немало людей,
которые поддерживают софистов. «Сколько людей, столько и мнений», –
говорят они. Однако и в нынешнюю эпоху есть те, которые вслед за Сократом
считают, что, хотя мир и человек сложны и многогранны, тем не менее, нечто
объективное и общезначимое существует, точно так же, как существует солнце в
небе – одно для всех.
В
наше время ученые продолжают обращаться к софизмам совсем не для того, чтобы
удивить кого-то. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он
умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем
хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения
приносит он тому, кто разгадал его, так как это – маленькое открытие и
прекрасная школа культуры математических вычислений.
2.2. Софисты
Изначально софистом называли каждого, кто отличался выдающимися познаниями или
редкими умениями (например, Пифагора, семь мудрецов и натурфилософов). С
середины V в. до н. э. так стали называть себя странствующие учителя мудрости.
Однако насмешки староаттической комедии, а прежде всего диалоги Платона
(Протагор, Горгий, Гиппий, Эвтидем) придали этому первоначально высокому
определению уничижительное значение. Платон упрекал софистов в том, что они
ищут не истины, а собственной славы и богатства (запрашивая высокие гонорары за
индивидуальные или групповые занятия). Кроме этого, он критиковал их
самовосхваление, болтливость и стремление победить противника любой ценой (не
всегда при помощи корректных аргументов). Большая часть сочинений софистов
утрачена. Сохранились только некоторые произведения Горгия, отрывки из
Протагора, Двойные речи неизвестного автора и пара других фрагментов. Софисты
были соединительным звеном между досократической натурфилософией и
сократистами, занимавшимися этическими проблемами, но не составляли единой
группы и часто расходились во взглядах. Сами они полагали, что занимают среднее
положение между философами и политиками (Продик) или философами и риторами
(Алкимад).
Значение софистов не ограничивается их собственными достижениями, а основано на
том, что они впервые поставили определенные вопросы, ответы на которые ищут по
сей день. Влияние софистов было огромным.
Во времена Римской Империи, особенно начиная со II в. н. э., понятие софистики
приобрело новое значение (хотя софисты этой эпохи имели достаточно оснований
полагать, что придерживаются традиций Горгия). Софистами часто называли риторов
и учителей риторики, которая служила в основном для составления образцовых
речей все более литературного характера. Этот период в истории греческой
литературы называют второй софистикой. Этот термин появился впервые в
Жизнеописаниях софистов Филострата (II), который и сам был софистом,
представителем второй софистики. Другие ее представители — это прежде всего
Дион Прусский, Герод Аттик, Элий Аристид, Максим Тирский, Лукиан. Поскольку
риторика господствовала в школе, особенно в высшей, софистика играла
чрезвычайно важную роль в культурной жизни. В IV в. н. э. софисты оказались на
стороне язычников против победившего христианства. К наиболее выдающимся
представителям поздней софистики принадлежат Либаний и Фемистий.
2.3.
Классификация софизмов
Разбор и решение любого рода математических задач, а в
особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические
софизмы относятся именно к таким задачам.
В этом разделе работы я рассмотрю все виды математических
софизмов: арифметические, алгебраические, геометрические, логические.
2.3.1. Арифметические софизмы.
Арифметические софизмы – это
числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого
взгляда.
Рассмотрим некоторые из них.
1.
Дважды два – пять.
Доказательство:
Пусть исходное соотношение — очевидное равенство:
4:4 = 5:5 (1) .
Вынесем за скобки общий множитель каждой части (1) равенства, и мы
получим: 4 ∙ (1:1)=5∙(1:1) (2)
Разложим число 4 на произведение 2∙2:
(2∙2)∙ (1:1)=5∙(1:1) (3)
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2)
устанавливаем:
2∙2=5.
Ошибка:
Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за
скобки, как это сделано в уравнение №2.
А вот ещё одно доказательство:
Рассмотрим
числовое равенство 16 – 36 = 25 – 45 |
+ 20
Получим:
16 – 36 + 20
= 25 – 45 + 20
По
формуле квадрата разности: (4 — 4
)2 = (5 — 4 )2
Извлечем
квадратный арифметический корень: 4 — 4 = 5 — 4
|
+ 4 
Получим
4 = 5
Ошибка:
Арифметический квадратный корень из x2
равен |x|
.
Следовательно,
(4 — 4 )2 = (5 — 4 )2 равно
|4
— 4 |
= |5 — 4 |.
А
так как 4 — 4 <
0, то |4 — 4 |
= 4
– 4
Следовательно,
(4 — 4 )2 = (5 — 4 )2 равно
4 – 4 = 5 — 4
2.
Неравные числа равны.
Докажем, например, что 2 = 3.
Доказательство:
Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства
4 – 10 = 9 – 15
Добавим к обеим частям этого равенства число 6 
, получим
новое равенство 4 – 10 + 6 = 9 – 15 + 6
,
в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части
представляют собой полные квадраты, т.е. (2 — 
)2
= (3 — )2
(1)
извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный
корень, получаем равенство 2 — = 3 — (2)
Откуда следует, что 2 = 3
Ошибка:
Неправильное извлечение корня из квадрата числа в переходе от
равенства (1) к (2).
2.3.2.
Алгебраические
софизмы
Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
1.
«Все
числа равны»
Возьмём два разных числа,
такие что: a < b
Тогда существует такое c
> 0, что: a + c = b
Умножим обе части на (a
− b), имеем: (a + c)(a − b) = b(a
− b)
Раскрываем скобки,
имеем: a2 + ca − ab − cb = ba − b2
cb переносим вправо, имеем: a2 + ca − ab = ba − b2 + cb
a(a + c − b)
= b(a − b + c)
a = b
Ошибка:
По определению : a
+ c = b
Значит, a + c
− b = 0
И выражение a(a + c − b) = b(a + c − b)
Тождественно a
∙ 0 = b ∙ 0.
2.
«Единица
равна нулю»
Возьмем
уравнение x—a=0
Разделив
обе его части на х-а, получим 
=
Откуда
сразу же получаем требуемое равенство 1=0
Ошибка:
Ошибка
заключается в деление на нуль!
2.3.3.
Геометрические
софизмы
Геометрические софизмы
– это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую
нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими
фигурами и действиями над ними.
1.
«Катет равен гипотенузе»
ÐС =
90˚, ВД — биссектриса ÐСВА, СК = КА, ОК ^ СА,
О
— точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ ^
АВ, ОL ^ ВС.
Имеем:
D
LВО = D МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА,
D
КОА = D ОМА (ОА — общая сторона, КА = ОМ, Ð
ОКА и Ð ОМА — прямые),
Ð
ОАК = Ð МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС
= ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.
 |
Ошибка:
Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж.
Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного
перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.
2.
« Отрезки параллельных
прямых, заключенные между сторонами угла, равны»
Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя
параллельными прямыми, отрезки которых АВ и CD
заключены между сторонами этого угла.
Как известно параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные
отрезки, следовательно, АЕ : CE
= BE : DE,·
откуда
АЕ·DE=BE·CE
Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность (АВ – CD),
запишем
AE·DE·AB
— AE·DE·CD = AE·DE·CD — BE·CE·CD,
или
AB(AE·DE — BE·CE) =
CD(AE·DE — BE·CE)
Разделив обе части последнего равенства на (AE·DE
— BE·CE),
получим равенство АВ=CD.
Ошибка:
Т.к.
АЕ·DE=BE·CE,
то AE·DE
— BE·CE
= 0, то ошибка в деление на 0.
2.3.4.
Логические софизмы
Логические софизмы — софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных
рассуждениях.
1.
«Полупустое и полуполное»
Доказательство:
Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины,
значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное
Ошибка:
Полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем
либо наполовину наполненным.
2.
«Когда же учиться?»
1. По ночам занятий нет, половина суток свободна. Остаётся:
365-182=183 дня.
2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая половина (или
четвёртая часть суток) может быть свободна. Остаётся:
183-183:4=137 дней.
3. В году 52 воскресенья. Из них на каникулы приходится 15 дней, таким
образом, выходных в учебном году 52-15=37 дней.
Итого остаётся 137-37=100 дней.
4. Есть ещё каникулы: осенние (5 дней), зимние (10 дней), весенние (7
дней), летние (78 дней). Всего 5+10+7+78=100 дней.
5. Итак, школьники заняты в году
100-100=0 дней.
Когда же учиться?!
Глава
3. Результаты и их обсуждения.
1.
Изучив литературу по теме исследования, я
составила схему «Классификация софизмов» и где их можно применить.
«Классификация
софизмов»
Схема
№1
Математические софизмы
Арифметические
Логические
( математика 5-6
кл) (уроки
математики,
внеклассные мероприятия)
Алгебраические
Геометрические
(алгебра 7-11
кл) (геометрия 7-11 кл)
2.
В ходе своего исследования мной было
проведено анкетирование среди обучающихся 8-9 классов для выявления их осведомленности
о софизмах и их практическом применении. В опросе участвовало 60 обучающихся.
Результата
своего анкетирования я занесла в таблицу.
|
Вопрос |
Количество |
% |
|
Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно |
54 |
90 |
|
Знакомо ли вам понятие «Софизм»? |
48 |
80 |
|
Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами? |
39 |
65 |
|
Хотел бы ты больше узнать софизмов? |
57 |
95 |
Многим учащимся стало интересно узнать, что такое софизм.
3.
На предметной недели – недели точных наук
— я провела информационный час «А что такое софизм?» для своих одноклассников.
Сделала небольшую историческую справку о возникновении софизма, привела
несколько примеров согласно классификации, показала, как решаются софизмы.
Далее я предложила ребятам попробовать самим отыскать ошибку, заключенную в
софизмах. Им было очень интересно.
Далее мы с одноклассниками решили проанализировать наши тетради для
контрольных работ по алгебре. И к нашему удивлению там нашли несколько
софизмов. Мы с ребятами нашли ошибки, заключенные в них.
4.
Итогом моей работы стал небольшой сборник «Решаем
софизмы на уроках математики» (См.Приложение 1).
Заключение
Исторические
сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки
началась история софизмов. Вначале я думала, что софизмы бывают исключительно
математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой
области, я поняла, что софистика — это целая наука, а именно математические
софизмы — это лишь часть большого течения.
Разбор софизмов развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению
изучаемого материала, воспитывая вдумчивость, наблюдательность, критическое
отношение к тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Я с
большим интересом воспринимала софизмы, чем труднее софизм, тем большее
удовлетворение доставляет его разбор.
Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам
попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений.
Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине
кажутся верными.
Гипотеза, которую я ставила в начале работы «Каким
бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных
ошибок», подтвердилась.
Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других,
научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Когда
ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается
этого не делать. Он будет много осторожнее. Так и изучающий математику
впоследствии проявит больше осторожности, чтобы не повторить осознанную ошибку. Значит,
математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться
вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и
чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все
это нужно и полезно. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого
человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить
ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. И
чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет разбор его. Математические
софизмы показали мне, как важно строго соблюдать правила и формулировки теорем
при логических умозаключениях.
Мне было очень интересно работать над данной темой. В
дальнейшем я продолжу изучать софизмы и создам еще один сборник, но уже не из
известных софизмов, а из тех, что получаются из-за несоблюдения нами законов
математики. И, возможно, он будет называться «Софизмы из наших школьных
тетрадей».
Задания, предложенные мной в работе, можно использовать как на
уроках математики, алгебры и геометрии, так и на внеклассных мероприятиях, на
предметной неделе.
Список использованной
литературы
1.
Д.Я. Стройк Краткий очерк истории
математики.-М.:Наука,1978.
2.
Ф.Ф.Нагибина, Е.С.Канина Математическая
шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл.средн.шк. –М.: Просвещение, 1988.
3.
А.Г.Мадера, Д.А.Мадера Математические
софизмы. – М.: Просвещение,2003.
4.
С.И.Ожегова, Н.Ю. Шведова Толковый
словарь русского языка- М.: ООО «ИТИ Технологии», 2006.
Сайты
Интернет:
5.
http://sofizmy.narod.ru
Приложение
№1.
Классический софизм и софистика: что это за философия
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Знания всегда считались одним из ключевых показателей человеческого интеллекта и основным признаком образованности.
Но разве не намного более ценно обладать умением использовать их на практике, чтобы сделать жизнь проще? Ну или, как минимум, убедить оппонента в собственной правоте.
Тем не менее в некоторых случаях можно ничего не знать о конкретном предмете или быть абсолютно неправым, и при этом все равно победить в споре – софисты давно это доказали!
Софизм – это…
В дискуссиях достаточно эрудированных современников нередко можно услышать уничижительные констатации в духе «да бросьте, это софизм чистой воды». Однако мало кто из нас, простых обывателей, все еще помнит, что означает это вроде бы знакомое слово.
На деле же все просто – речь идет о непосредственном значении древнегреческого термина σόφισμα, который дословно переводится как:
- мастерство;
- умение;
- выдумка;
- измышление;
- уловка.
СОФИЗМ (греч. sophisma — хитрая уловка, измышление) — рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению.
Слово, кстати, является однокоренным с греческим понятием «мудрость». Тогда почему, несмотря на такое «родство», со временем софистика утратила свою тождественность с уникальными талантами и обрела столь снисходительную коннотацию?
Лингвисты считают, что причина тому – многозначность термина. Изначально софизмы служили своеобразной разновидностью школьных упражнений для развития логического мышления. Это на долгое время определило базовые трактовки такого рода задач:
- многогранное/многозначное суждение;
- загадка с несколькими решениями.
Часто тезис преднамеренно усложняли и запутывали, чтобы обескуражить собеседника, который, по идее, должен попасть в логическую ловушку. Благодаря умению переговорить оппонента софист демонстрировал окружающим свое интеллектуальное превосходство.
Философские корни софистики
Главным оружием у истоков этого философского направления была риторика. Школы софистики опирались на эту концепцию в качестве основного приема для обучения и умозрительного исследования.
Примечательно, что именно софисты в Греции периода IV-V вв. до н.э. почитались как наиболее востребованные наемные преподаватели для аристократов и получали невероятные по тем временам гонорары.
И это понятно, поскольку тогда слово «софист» в основном применялось для обозначения сведущего, мудрого и искусного во многих вещах человека. И только спустя столетия под софизмом стали понимать:
- неправильный исходный довод;
- заведомо ложный аргумент;
- двусмысленное утверждение;
- ошибочное суждение.
Но все испортили сами софисты, которые вместо поиска истины стали злоупотреблять своим авторитетом, «играя» с риторикой и используя в полемике нечестные приемы.
В итоге они подверглись критике со стороны представителей других философских школ, и даже сам Аристотель в своем трактате «Опровержение софистических аргументов» посчитал необходимым дать критический анализ софизму.
Довольно жестко критиковал софистов и Сократ, считавший, что вместо истинных знаний юные подопечные таких учителей приобретают навыки элементарной риторики, когда посредством оперирования словами и двусмысленностью понятий учатся доказывать корректность самых абсурдных высказываний.
Со временем софистические рассуждения стали отождествляться с хитроумной демагогией, направленной на то, чтобы убедить кого-либо из людей в том мнении, которое выгодно софисту.
Таким образом, софизм в философии – это цепочка ложных и логически несостоятельных суждений, представленных специально для получения ошибочных выводов. По сути это интеллектуальное мошенничество, когда заведомо неправильное выдается за правильное с игнорированием объективной истинности тезисов.
Типичные софизмы: примеры, сбивающие с толку
Обратимся к одному из классических примеров софизма – примеру с рогами. В рамках этого рассуждения делается весьма вольный вывод на основании трех умозаключений:
- Вещь, которую ты не потерял, остается при тебе.
- Ты не терял рогов.
- У тебя есть рога.
Первый пункт логичен, второй – правдив, но третий – определенно ложный. Но связывает их как раз первое заявление, которое сложно опровергнуть. Просто из него выпущен важнейший нюанс о том, что вещь при этом ты уже должен у себя иметь. Вот на таких допущениях и упущениях строятся умозаключения софистов.
Вот еще несколько известных примеров:
Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное.
«Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной».
Чем больше самоубийц, тем меньше самоубийц.
Недаром другие философы называли софистику фокусничеством. Постепенно эти приемы отдалились от философии, сконцентрировавшись целиком на способах убеждения оппонента в споре. При этом ключевыми инструментами софизма стали:
- логика;
- терминология;
- психология.
Логику софисты стараются обойти, нарушая законы силлогизма. Для этого, как правило, они вводят одну корректную предпосылку и одну ошибочную, которые затем объединяют ложным выводом. Обычно в арсенале софистов присутствует несколько приемов для оперирования словами:
- игра со смыслами;
- использование синонимов, омонимов, омоформ;
- акценты на посторонних словах;
- запутанное построение фраз и т.п.
Благодаря этому выступающий приобретает дополнительное преимущество и подавляет слушателей психологически. Атака также ведется по трем направлениям:
- интеллектуальному – апелляция к сферам знаний, в которых окружающие плохо разбираются и не могут возразить;
- аффективному – заигрыванию с предпочтениями и склонностями собеседника для получения расположения;
- волевому – когда желание спорить просто исчезает.
За пределами уроков логики и философии чаще всего такие умения используются в политике, маркетинге и социальной сфере.
Вместо заключения
В XXI веке многие остаются при мнении, что софизмы вредны и присущи лишь лживым людям. Однако софистика все еще остается великолепным тренажером для развития гибкости ума и логического мышления. Если стремитесь стать более красноречивыми, стоит уделять софизму больше времени!
Библиографическое описание:
Южакова, Е. А. Математические софизмы: обман или путь к открытию? / Е. А. Южакова, М. Ю. Сизова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2015. — № 2 (2). — С. 95-98. — URL: https://moluch.ru/young/archive/2/133/ (дата обращения: 31.01.2023).
Наше общество развивается быстрыми темпами, сегодня научным центрам и крупным предприятиям требуются квалифицированные техники, инженеры, ученые, знания которых базируются на точных науках: математике, физике, химии. От специалистов требуются не только знания, но и умения быстро принимать решения, искать ошибки, приводить аргументы в пользу того или иного решения и пр. А все эти качества в полной мере позволяет развивать математика. Одним из действенных её «инструментов» являются софизмы.
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т. е. прививает навыки правильного мышления.
С одной стороны цель софизма — выдать ложь за истину. Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина. С другой стороны, И. П. Павлов писал: «правильно понятая ошибка — это путь к открытию», а, значит, уяснение ошибок в математическом рассуждении способствует развитию математического знания. Разбор софизмов не только интересен, но и очень полезен при изучении математики, ведь обнаружить ошибку в софизме — это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.
Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причём острота их обсуждения не снижается с годами.
Термин «софизм» происходит от греческого слова, означающего «измышление», «хитрость». Своё значение термин «софизм» приобрёл в связи с характеристикой приёмов рассуждения, которыми злоупотребляли древнегреческие философы в 4–5 вв. до н. э. и их последователи, достигшие большого искусства в логике. Термин «софизм» впервые ввёл древнегреческий философ Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.
Сборники математических софизмов были всегда популярными. Многие преподаватели математики в своей работе использовали математические софизмы. В конце 19 — начале 20 веков особенно большой известностью пользовалась книга преподавателя Екатеринбургской гимназии Василия Ивановича Обреимова «Математические софизмы». Этой книжкой зачитывались. Трудно было найти гимназиста, который не читал бы её. В. И. Обреимову удалось собрать и обработать более сорока интересных софизмов. Математические софизмы не случайно явились предметом особого внимания В. И. Обреимова как преподавателя: он считал, что ложные доказательства заставляют учащихся анализировать, дают пищу для вопросов, для товарищеских научных собеседований.
Определение софизма в различных толковых словарях и энциклопедиях подобны. Рассмотрим самые известные из них.
Софизм — логически порочное умозаключение, в котором ложные посылки выдаются за истинные или делается вывод с нарушением законов логики (Большая советская энциклопедия, том 40, стр.136).
Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (Толковый словарь русского языка С. И. Ожегова).
Софизм — мудрствованье, ложный вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. Софистическое рассуждение — ложное, ошибочное, под видом истинного (Толковый словарь В. И. Даля).
Софизм — формально правильное, но ложное по существу умозаключение, основанное на натяжке, на преднамеренно неправильном подборе исходных положений в цепи рассуждений (Толковый словарь русского языка Д. Н. Ушакова).
Таким образом, анализируя определения софизма из различных энциклопедий и толковых словарей, можно выделить основные существенные признаки:
— это утверждение (умозаключение);
— формально — правильное;
— по существу — ложное;
— ошибка допущена и замаскирована намеренно.
Исходя, из выделенных признаков, дадим следующее общее определение: «Софизм — умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного».
Софизмы встречаются в различных областях знаний, но выделенные критерии всегда присутствуют. Поэтому определение математического софизма не будет существенно отличаться от всех вышеперечисленных. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.
Будем использовать следующее уточнённое определение математического софизма: «Математический софизм — формально кажущееся правильным, но ложное по существу математическое доказательство абсурдного факта, основанное на преднамеренном нарушении правил и законов математики».
Решить софизм — это, значит, указать ошибку в рассуждениях, с помощью которой была создана внешняя видимость правильности доказательства.
Рассмотрим несколько математических софизмов.
Софизм 1. «2
2 = 5»
Доказательство:
1) 16–36 = 25–45
2) 16–36 + 
= 25–45 +
3) 42–2 4 
+ ()2 = 52–2 5 + ()2
4) (4 — )2 = (5 — )2
5) 
4 — = 5 —
6) 4 = 5
7) 2 x 2 = 5.
Решение: 
4 — = 5 —
Софизм 2. «5 = 7»
Доказательство:
Пусть даны два числа х и у, причём х больше у в 1,5 раза, то есть х = 
у.
Умножим обе части равенства на 4 и получим: 4х = 6у.
Представим левую часть в виде: 4х = 14х — 10х и правую: 6у = 21у — 15у.
Так как 4х = 6у, то 14х — 10 х = 21у — 15у или 15у — 10х = 21у — 14х.
В обеих частях вынесем общий множитель за скобки: 5(3у — 2х) = 7(3у — 2х).
Разделим обе части равенства на выражение 3у — 2х и получим, что 5 = 7.
Решение: если х = у, то 3у = 2х, то есть 3у — 2х = 0, а на 0 делить нельзя.
Софизм 3. «Нуль больше любого числа»
Если число а отрицательное, то утверждение очевидно.
Пусть а — сколь угодно большое положительное число.
Ясно, что а — 1 < а. Умножим обе части неравенства почленно на -а,
получим: -а2 + а < -а2.
Прибавим к обеим частям полученного неравенства по а2, получим: -а2 + а + а2 < -а2 + а2, то есть а<0.
Следовательно, любое, даже сколь угодно большое положительное число меньше нуля.
Решение: при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства надо поменять на противоположный.
Е. И. Игнатьев говорил, что «Софизмы подобны приведениям, они не выносят света» 
, попытаемся лишить их некой «таинственности» с пользой для себя, дабы потом не допускать этих ошибок при решении школьных задач.
При решении математических софизмов были выделены основные типы ошибок:
1. деление на 0;
2. неправильные выводы из равенства произведений или дробей;
3. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
4. нарушения правил действия с именованными величинами;
5. неправильное вынесение общего множителя за скобки;
6. неравносильный переход от одного равенства или неравенства к другому.
Если знать точно формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, внимательно выполнять равносильные преобразования, всегда можно обнаружить ошибку, заложенную в софизме. Поэтому у математически грамотного человека абсурдных результатов получиться не может.
Математический софизм — это не обман, он побуждает нас к более внимательным и точным действиям, он предлагает идти нам по пути, выстроенному логически строго. Математический софизм — это путь к верному открытию математики для каждого из нас как достаточно серьезного средства познания мира.
Софизмы сыграли существенную роль и в истории развития математики. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.
Разбор софизмов прививает навыки правильного мышления, помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач.
Литература:
1. Ганеев Х. Ж. Учителю математики об элементах краеведения. Кн. для учителя.- Екатеринбург, 1996.
2. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах.- Ростов н/Д: Кн. изд-во, 1995.
3. Литцман В. Где ошибка?. — М., 1962.
4. Мадера А. Г., Мадера Д. А. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям. — М.: Просвещение, 2003.
5. Минковский В. Л. Василий Иванович Обреимов// Математика в школе. — 1951- № 5 — с. 68–71.
6. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся.- М.: Просвещение, 1984.
7. Обреимов В. И. Математические софизмы. — С-Петербург, 1889.
Основные термины (генерируются автоматически): софизм, математический софизм, Толковый словарь, ложное умозаключение, разбор софизмов, глубокое уяснение, неправильный подбор, общий множитель, положительное число, правильное мышление.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
» Средняя общеобразовательная школа №42″
«Софизмы и их роль в математике»
(научно-исследовательская работа)
Выполнил: ученик 9«Б» класса
Кропотов Андрей
Руководитель: Минаева Л. А.
учитель математики
Пермь 2015
Содержание
1. Введение
2. Основная часть
- Немного из истории софизма
- Софизм – что это такое?
- Математический софизм
3.1.Арифметические
3.2.Алгебраические
3.3.Логические
3.4.Софизмы в геометрии
- Классификация ошибок
- Математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.
3. Практическая часть
Сборник задач
5.Исследовательская работа
Приложение
4. Заключение
5. Список используемой литературы
Введение
Мы очень любим решать задачи и разгадывать математические ребусы, но в математике есть задачи, которые не похожи на другие, они как будто бы правильные, но в то же время неправильные.
У ученых есть такое свойство: поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости. И одним из средств не только учёных, но и любознательных остроумных людей, любящих ставить окружающих в тупик, является «софизм». Я посчитал эту тему интересной и актуальной, так как софизмы развивают мышление и логику. Софизмы не самый важный раздел логики. В некоторых учебниках о них упоминается вскользь. Однако я решил все-таки поближе познакомиться с софизмами.
Софизмы имеют прямое отношение к математике, с помощью которых можно опровергнуть практически все теоремы и понятные любому, не требующие объяснения, гипотезы, доказав обратное.
Во-первых, считается, что именно софисты заставили задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.
Во-вторых, разбор софизмов сам по себе развивает навыки правильного мышления.
В-третьих, это просто увлекательно.
Целью моей работы является всесторонний анализ понятия «софизма», установление связи между софистикой и математикой, доказательство того, что софизмы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли.
Я поставил перед собой задачи:
- Узнать:
- что же такое софизм?
- важность математических софизмов для изучения математики.
- как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях?
- критерии классификации софизмов.
2. Составить сборник задач на софизмы по различным разделам математики для 6-9 классов.
Основная часть
1. Немного из истории софизма
История появления термина «софизм» была замечена еще в древности. Один из отцов философии — Аристотель называл это явление мнимыми доказательствами, которые появляются из-за недостатка логического анализа, что приводит к субъективности всего суждения. Убедительность доводов является всего лишь маскировкой для логической ошибки, которая в каждом софистском утверждении, бесспорно, есть.
Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.
Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов (Древняя Греция, V—IV вв. до новой эры), которая их обосновывала и оправдывала. В Древней Греции «софисты» (от греческого слова «sofos», означающего мудрость) – мыслители, люди, авторитетные в различных вопросах. Их задачей обычно было научить убедительно защитить любую точку зрения. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах.
Термин “софизм” впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.
2.Софизм – что это такое?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть пример древнего нарушения логики: «Имеешь то, что не терял. Терял рога? Значит, у тебя есть рога». Здесь есть упущение. Если первую фразу видоизменить: «Имеешь все, что не терял», тогда вывод становится верным, но довольно неинтересным. Одним из правил первых софистов было утверждение о том, что необходимо наихудший аргумент представить как лучший, а целью спора являлась только победа в нем, а не поиск истины.
Софисты утверждали, что любое мнение может быть законным, тем самым отрицая закон противоречия, позднее сформулированный Аристотелем. Это породило многочисленные виды софизмов в разных науках.
Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство. Этим термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным.
Софизм — преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.
Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)
Софизм — это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим.
Софизмы строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам. Их (ошибки) допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками.
Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.
3.Математический софизм
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Особенно часто в софизмах выполняют «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.
Обычно, математические софизмы доказывают равенство неравных чисел или арифметических выражений. Один из самых простых образцов – это сравнение пятерки и единицы. Если от 5 отнять 3, то получится 2. При вычитании 3 из 1 получается -2. При возведении обоих полученных чисел в квадрат. получаем одинаковый результат. Таким образом, первоисточники этих операций равны, 5=1.
Рождаются математические задачи-софизмы чаще всего, благодаря преобразованию исходных чисел (например – возведению в квадрат). В итоге, получается, что результаты этих преобразований равны, из чего делается вывод о равенстве исходных данных.
Распределим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление, и проверим, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики.
3.1.Арифметические
Арифметика (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы?
Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда.
Пример. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В».
Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.
Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство А∙В>В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:
А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)
После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что
А>В+А (2),
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда
А>2В.
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.
(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А).
2.2. Алгебраические
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
Пример1. 5 = 6.
Возьмём числовое тождество:
35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54
Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.
Получим:
5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)
Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).
Получаем 5 = 6
(Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя).
Пример 2. Один рубль не равен ста копейкам
Возьмем верное равенство:
1 р. = 100 к.,
Возведем его по частям в квадрат, получим:
1 р. = 10000 к.
Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
(Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).
Пример3. «Отрицательное число больше положительного».
Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:
а и – а
–с с
Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:
а = –а
– с с
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.
(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).
Пример4. «Всякое положительное число является отрицательным»
Пусть п — положительное число.
Очевидно, 2п-1<2п. (1)
Возьмем другое произвольное положительное число а и умножим обе части неравенства на ( – а): – 2ап + а< – 2ап. (2)
Вычитая из обеих частей этого неравенства величину ( – 2ап),
получим неравенство а<0, доказывающее, что всякое положительное число является отрицательным.
(Ошибка: в софизме нарушено следующее правило: при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.)
3.3. Логические
Софизмы, примеры которых будут рассмотрены ниже, сформулированы довольно давно и являются простыми нарушениями логики, использующимися лишь для тренировки умения спорить, так как увидеть несоответствия в этих фразах достаточно легко.
Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят, как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
В софизмах есть смутное предвосхищение многих конкретных законов логики, открытых гораздо позднее. Особенно часто обыгрывается в них тема недопустимости противоречий в мышлении.
— Скажи, — обращается софист к молодому любителю споров, — может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его?
— Очевидно, нет.
— Посмотрим. Мед сладкий?
— Да.
— И желтый тоже?
— Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого?
— Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый — это сладкий или нет?
— Конечно, нет. Желтый — это желтый, а не сладкий.
— Значит, желтый — это не сладкий?
— Конечно.
— О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согласился, что желтый значит не сладкий, и потому как бы сказал, что мед является сладким и не сладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать и не обладать каким-то свойством.
Конечно, софисту не удалось доказать, что мед имеет противоречащие друг другу свойства, являясь сладким и несладким вместе. Подобные утверждения невозможно доказать: они несовместимы с логическим законом противоречия, говорящим, что высказывание и его отрицание (“мед сладкий” и “мед не является сладким”) не могут быть истинными одновременно.
И вряд ли софист всерьез стремится опровергнуть данный закон. Он только делает вид, что нападает на него, ведь он упрекает собеседника, что тот путается и противоречит себе. Такая попытка оспорить закон противоречия выглядит скорее защитой его. Ясной формулировки закона здесь, разумеется, нет, речь идет только о приложении его к частному случаю.
Примеры нарушений логики
Полное и пустое – если две половины равны, то и две целые части тоже являются одинаковыми. В соответствии с этим – если полупустое и полуполное одинаково, значит, пустое равно полному.
Апельсин- планета
Земля, Марс и т. д. — круглые. Значит все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин — планета?
Нет конца
Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.
Куча
Одна песчинка ,не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка — тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.
Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?
Если не может — значит, он не всемогущий. Если может — значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.
Софизм «лгун»
Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
«Софизм Кратила»
Диалектик Гераклит, провозгласив «все течет», пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты входишь, она уже изменится.
Софизм учебы
Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:
The more you study, the more you know
The more you know, the more you forget
The more you forget, the less you know
The less you know, the less you forget
The less you forget, the more you know
So why study?
Перевод
Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
Не философия, а мечта лентяев!
3.4. Софизмы в геометрии
Умозаключения, имеющие название геометрические софизмы, обосновывают какой-либо неверный вывод, связанный с действиями над геометрическими фигурами или их анализом.
Пример: спичка длиннее, чем телеграфный столб, причем вдвое.
Длину спички будет обозначать а, длину столба – б. Разность между этими величинами – c. получается, что b — a = c, b = a + c. Если данные выражения перемножить, получится следующее: b2 — ab = ca + c2. При этом из обеих частей выведенного равенства возможно вычесть составляющую bc. Получится следующее: b2 — ab — bc = ca + c2 — bc, или b (b — a — c) = — c (b — a — c). Откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b. То есть спичка и правда вдвое длиннее столба. Ошибка в данных вычислениях заключается в выражении (b – a — c), которое равно нулю. Такие задачи-софизмы обычно путают школьников или людей, далеких от математики
4. Классификация ошибок
1. Логические
Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:
- Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;
- Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;
- Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;
- Особенно распространённая ошибка quaternio terminorum, то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза — металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.
2. Терминологические
- Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются:в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы. Наиболее характерные:
- Ошибка гомонимия (aequivocatio). например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.
- Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника >2 π в том смысле, что сумма <2 π.
- Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника = 2 π» в смысле «каждый угол = сумме 2 прямых углов».
- Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
- Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (= (2*2)+5)) или 14 (= 2 * (2+5)).
3.Психологические
К психологическим причинам софизмов относят интеллект человека, его эмоциональность и степень внушаемости . То есть более умному человеку достаточно завести своего оппонента в тупик, чтобы тот согласился с предложенной ему точкой зрения. Подверженный аффективным реакциям человек может поддаться своим чувствам и пропустить софизмы. Примеры таких ситуаций встречаются везде, где есть эмоциональные люди. Чем более убедительной будет речь человека, тем больше шанс, что окружающие не заметят ошибок в его словах. На это и рассчитывают многие из тех, кто пользуется такими приемами в споре.
Психологические причины софизма бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.
а) Интеллектуальные причины
Развитая интеллектуальная личность имеет возможность следить не только за своей речью, но еще и за каждым аргументом собеседника, обращая при этом свое внимание на аргументы, приводимые собеседником. Такого человека отличает больший объем внимания, умение искать ответ на неизвестные вопросы вместо следования заученным шаблонам, а также большой активный словарный запас, при помощи которого мысли выражаются наиболее точно.
Объем знаний тоже имеет немаловажное значение. Умелое применение такого вида нарушений, как софизмы в математике, недоступно малограмотному и не развивающемуся человеку.
К таковым относится боязнь последствий, из-за чего человек не способен уверенно высказать свою точку зрения и привести достойные аргументы. Говоря об эмоциональных слабостях человека, нельзя забывать о надежде, найти в любой получаемой информации подтверждение своих взглядов на жизнь. Для гуманитария могут стать проблемой математические софизмы.
б) Аффективные причины
Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т.. д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей.
в) Волевые причины
Во время обсуждения точек зрения происходит воздействие не только на разум и чувства, но еще и на волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть волевой элемент — элемент внушения. Уверенный в себе и напористый человек с большим успехом отстоит свою точку зрения, даже если та была сформулирована с нарушением логики. Особенно сильно такой прием действует на большие скопления людей, подверженных эффекту толпы и не замечающих софизм. Что это дает оратору? Возможность убедить практически в чем угодно. Еще одной особенностью поведения, позволяющей победить в споре при помощи софизма, является активность. Чем более пассивен человек, тем больше шансов убедить его в своей правоте.
Вывод – эффективность софистских высказываний зависит от особенностей обоих людей, задействованных в разговоре. При этом эффекты всех рассмотренных качеств личности складываются и влияют на исход обсуждения проблемы.
Таким образом, всякий софизм предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: a + b + c + d + e + f. Успешность софизма определяется величиной этой суммы, в которой (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы.
- а — отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием).
- b — положительные качества лица (способность активно мыслить)
- с — аффективный элемент в душе искусного диалектика
- d — качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления
- е — категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика
- f — пассивность слушателя
5.Математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.
Итак, софизм – что это? Прием, помогающий в споре, или бессмысленные рассуждения, не дающие никакого ответа и потому не имеющие ценности? И то, и другое.
Итак, что появилось, благодаря софистам? Абстрагирующая деятельность, объектом которой стал язык. В словесных упражнениях, какими были софистические рассуждения, неосознанно отрабатывались первые, еще не ловкие приемы логического анализа языка и мышления. А превращение языка в серьезный предмет особого анализа, в объект систематического исследования было первым шагом в направлении создания науки логика. Софизмы содействовали строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Действительно, уяснение ошибок в математическом рассуждении часто содействовало развитию математики.
Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Одна из формулировок этой теоремы такова: «Через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной». Это утверждение на протяжении более чем двух тысячелетий пытались доказать, т.е. вывести из остальных аксиом многие выдающиеся математики. Поясним, что аксиомой называется исходное положение, принимаемое без доказательств. Все попытки доказать V постулат Евклида не увенчались успехом. Однако, многочисленные «доказательства» этого постулата принесли немало пользы.
Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывают, что математика – это живая наука.
Понятно, что, отыскивая ошибку в «доказательстве» утверждения, что половина равна целому, мы не обязательно откроем новое направление в математике, но задуматься над законами логики и языка ведь тоже полезно?
Значит, софизмы все-таки внесли свой вклад в развитие математики.
Практическая часть
«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным», — писал выдающийся ученый XVII века Блез Паскаль. Многим ученикам школьная математика кажется слишком сложной и скучной наукой. Но издавна существуют и используются на уроках занимательные задачи, так называемые «задачи-шутки». Результаты проведенного опроса свидетельствуют, что ребятам очень нравится решать примеры на восстановление стертых цифр, на отыскание ошибок, допущенных при решении или доказательстве. Недосказанное условие задачи, недописанная фраза, незаконченное решение стимулируют активность учащихся на уроке.
Но ведь эти задачи решаются не только ради развлечения на уроке. Учителя предлагают их, чтобы глубже проникнуть в суть правила, лучше его запомнить.
Часто ученик действует по образцу, по накатанной схеме для данного типа задач. Это приводит к снижению внимания, притуплению бдительности, а, следовательно, увеличивает вероятность ошибки. В математике издавна существует способ формирования интеллектуальной бдительности. И средство это – софизм.
Рассуждения, содержащие нарочито скрытые ошибки, широко распространены и могут служить учебным, тренировочным материалом в формировании способности правильно мыслить и понимать задачу. Математический софизм — своего рода прививка от бездумного и некритического потребления информации. Решение или разоблачение софизма дает опыт соответствующей деятельности в житейской ситуации и формирует алгоритм соответствующего поведения. И в этом своем предназначении софизмы важны не только для математики.
Анализ действующих учебников по математике показал, что задания на софизмы в них практически отсутствуют. Заданий на нахождение ошибок в решении задач нет совсем, а задачи на восстановление стертых цифр имеются только в учебниках 5 и 6 классов , да и то в небольшом количестве. Поэтому я решил составить сборник задач по алгебре на софизмы для 6-9 классов, в котором подборка задач по каждому классу отдельно будет интересна учащимся и удобна учителям для использования на уроках и дополнительных занятиях.
Выделяются основные ошибки, “прячущиеся” в математических софизмах:
- деление на 0;
- неправильные выводы из равенства дробей;
- неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
- нарушения правил действия с именованными величинами;
- путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
- проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
- неравносильный переход от одного неравенства к другому;
- выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
Сборник задач
Алгебра
6 класс
№1. 5 = 6.
Решение:
Запишем равенство: 35 + 10 — 45 = 42 + 12 — 54
Вынесем за скобку общие множители:
5∙(7 + 2 — 9) = 6∙(7 + 2 — 9).
Разделим обе части этого равенства на общий множитель (он заключен в скобки):
5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
Значит, 5=6.
№2. Любое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение.
Решение:
Этот софизм основан на очевидной истине: «Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в n раз, то и в правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».
Напишем следующие равенства:
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. Другими словами, если в левой части равенства +a > — a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же соотношение.
В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного: –a > +a.
(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).
№3. Один рубль не равен ста копейкам.
Решение:
1р=100коп.
10р=1000коп.
Умножим обе части этих верных равенств, получим:
10р=100000коп, откуда следует:
1р=10000коп., т.е. 1р.
7 класс
№4. Все числа равны между собой.
Решение:
Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество: а -2ab+b = b -2ab+ а.
Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать (а-b)2 = (b-а)2. (1)
Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим: a-b = b-a (2)
или 2а = 2b, или окончательно a=b.
№5.1. Всякое число равно своему удвоенному значению
Решение:
Запишем очевидное для любого числа a тождество a2 — a2 = a2 — a2,
Вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a — a). Разделив обе части на a — a, получим a = a + a, или a=2a.
Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.
№5.2. Любое число равно своей половине.
Решение:
Имеется тождество: a2-a2=a2-a2, где a – какое угодно число.
Вынесем в левой части a за скобку, а правую разложим на множители по формуле разности квадратов: a(a – a)=(a + a)(a – a).
Разделим обе части на (a – a), тогда a=a+a, или a=2a.
Разделим на 2 и получим 
№5.3. Любое число равно своей половине.
Решение:
Предположим, что a = b.
Умножим обе части неравенства на a и получим: 
Вычтем 
Разложим на множители: 
Разделим левую и правую части на 
Так как a = b, то: 
Разделим обе части выражения на 2:
№6. Неравные числа равны.
Решение:
Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-Ь = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим (а-b)2 = = c(a-b),
a раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 = = ca-cb, из которого следует равенство а2— аb — ас = аb -b2 -bc. Вынося общий множитель а, слева и общий множитель b справа за скобки, получим а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)
Разделив последнее равенство на (а-Ь-с), получаем, что a=b, значит, два неравных между собой произвольных числа равны.
№7. Единица равна нулю.
Решение:
Возьмем уравнение х-а = 0. (1)
Разделив обе его части на х-а, получим 
№8. Единица равна минус единице.
Решение:
Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1 = 0. Раскладывая х2-1 по формуле разности квадратов, получим (х+1)(х-1) = 0. (1)
Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем х + 1 = 0 и х = -1. (2)
Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству 1 = -1.
№9. Если одно число больше другого, то эти числа равны.
Решение:
Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т. е. a + b + c = d. Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.. Сложив почленно равенства та + mb + тс = md и , nd = na + nb + nc, получим ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md.. Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем та + mb + mc- md= na + nb + nc- nd,а вынося слева число т, а справа число п за скобки, придем к соотношению т(а+b+с-d) = п(а+b+с-d),
откуда, разделив обе части последнего равенства на (а + b + c-d), находим, что m= n.
№10. Все натуральные числа, большие единицы, равны между собой.
Решение:
Рассмотрим известные алгебраические формулы x2-l = (x-l)(х+l), х3-1 = (х-1)(х2 + х + 1) и вообще для любого натурального п имеем хп —1 = (х — 1)(хп-1 + хп—2 + … + x2 + x + l).
Разделив обе части этих формул на х-1, получим 
При х = 1 левые части этих равенств принимают одно и то же значение 
2 = 3 = ••• = n.
№11. 
Решение:
Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.
Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).
Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или
(Ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).
8 класс
№12. 7 = 13.
Решение:
Дано уравнение: 
Преобразуем следующим образом
Следовательно, 7 = 13.
№13. Все числа равны между собой.
Решение:
Возьмем два произвольных и неравных друг другу числа a и b и предположим, что a>b. Обозначим их разность буквой c, получим 
Умножим обе части последнего равенства на (a – b):
Вычтем из обеих частей ac:
Вынесем общие множители за скобку:
Делим обе части на (a – b – c): a=b.
Таким образом, два взятых произвольно числа a и b равны друг другу.
№14. Один ноль не равен другому
Решение:
Пусть даны числа a, b, c, d, x, y, m, и n, причём:
a=b, (1), x=y, (3)
c=d, (2), m, (4)
Почленно сложим равенства (1) и (2): a+c=b+d; (5)
Вычтем (с+b) из обеих частей полученного уравнения: a – b=d – c. (6)
Разделим почленно уравнение (3) на уравнение (6): 
Сложим уравнение (7) с неравенством (4):
Приведем к общему знаменателю обе части неравенства, умножив их на произведение знаменателей (a – b)(d – c):
Так как a – b = 0 и d – c = 0, то обе части полученного неравенства обращаются в ноль. Поэтому мы и приходим к заключению, что 0<0.
№15. a = ma при всяком значении m
Решение:
Пусть ma = b. Докажем, что a = b. При перестановке множителей произведение не меняется, следовательно можно записать: ab = ba.
Так как – 1= – 1, то – 1∙ab = – 1∙ba.
Но: 
Для чисел a и b можно записать равенства: 
Подставим выражения (2) и (3) в (1): 
Раскроем скобки: 
Так как: 
Но: 
Следовательно: 
Отсюда 
Можно записать: 
Сложив почленно равенства (4) и (5), получим: a = b.
Но b = ma, следовательно: a = ma при любом значении m., что и требовалось доказать.
Пользуясь данным способом, легко доказать равенство двух каких угодно неравных между собой величин.
№16.1 Сумма двух одинаковых чисел равна нулю.
Решение:
Пусть 
Для этого предположим, что x=a. Умножим обе части на 
Получаем: 
Окончательный результат:
№16.2 Всякое положительное число меньше нуля.
Решение:
Пусть n – целое положительное число, тогда: 
№17. Любое положительное число равно отрицательному с той же абсолютной величиной.
Решение:
Из алгебры известно, что 
С другой стороны, 
Отсюда следует, что – a = +a
№18. Любое число равно единице.
Решение:
Пусть a – произвольное число. Возьмем два числа x и y, каждое из которых равно 
Выпишем ряд равенств, в котором каждое последующее равенство получается путем сложения двух предыдущих: x=y;
Перепишем уравнение (1) следующим образом:
Сократим: 
По условию, 
Подставим выражения (4) и (5) в уравнение (3): 
Итак, мы доказали, что произвольное число a равно 1.
№19. Любое число равно
Решение:
Возьмем два произвольных положительных действительных и равных друг другу числа х и z. Поскольку по условию x = z> то 
x-
Сложив эти два равенства почленно, получим х-г =
Прибавив и отняв в левой части равенства (3) величину 
x + 
х +
В левой части последнего равенства первый и второй члены представим в виде
(
(
и окончательно может быть записано так:
(
(если вынести за скобки общий множитель (
Для того чтобы равенство (6) имело место, необходимо выполнение условия
а так как в силу исходного равенства x = z, заключаем, что
2
№20. Единица наибольшее натуральное число
Решение:
Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, … называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим натуральным числом является единица.
Пусть число k 
Последнее равенство показывает, что принятое нами в качестве наибольшего натурального числа число k не является таковым, так как ясно, что число, равное k2, больше этого числа k 
№21. Единица равна двум.
Решение:
Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства 1-3 = 4-6.
Добавив к обеим частям этого равенства число 
1-3 + 
Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство: 1-
№22. Любые два неравных числа равны.
Решение:
Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х и z и обозначим их сумму а,
т. е. x + z = a. Умножив обе части этого равенства на x-z, получим (x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства скобки: x2-z2 = ax- az. Перенесем ах из правой части равенства в левую, a z2 из левой части в правую. В результате получим x2-ax = z2-az.
Прибавляя к обеим частям последнего равенства число 
х2 – а х + 
или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты, получим 
Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратные корни, придем к выражению
№23. Половина любого числа равна половине числа, ему противоположного.
Решение:
Возьмем произвольное число а и положим х =-
х2 + 2ах + а2 = х2. Так как х2 + 2ах+а2 = (х + а)2, то предыдущее равенство можно записать в виде (х + а)2 = х2 (1), а после извлечения квадратного корня из обеих частей последнего равенства получаем х + а = х. (2) Поскольку по условию х =-
№24. Если a и b – положительные числа, то a>b и b>a.
Решение:
Даны два неравенства. Оба со знаком > (больше) или оба со знаком < (меньше), поэтому их можно сложить или перемножить их почленно, причем в новом неравенстве будет тот же знак.
Т.е., если a>b и c>d, то: 
Пусть имеется два положительных числа a и b. Запишем для них два очевидных неравенства: 
Перемножим неравенства почленно и получим, что ab>b2.
Разделим обе части неравенства на b (b>0): a>b.
Если написать для чисел a и b другие очевидные неравенства: b>-a, a>-a, то после аналогичных рассуждений окажется, что ba>a2, т.е. b>a.
Следовательно, для любых двух положительных чисел каждое больше другого.
№25. Чётное число равно нечётному.
Решение:
Возьмем произвольное четное число 2n, где п — любое целое число, и запишем тождество
(2n)2-2n(2(2п) + 1) = (2n + 1)2-(2n + 1)(2(2n)+1), в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.
Прибавив к обеим частям этого тождества 
или в таком: (2n-
2n —
№26. Восемь равно шести.
Решение:
Решим систему двух уравнений 
№27. 4 = 5.
Решение:
Пусть a = 4, b = 5, c =
Умножим первое на второе, получим: a2 — 2ac = b2 — 2bc
a2 — 2ac + c2 = b2 — 2bc + c2
(a — c)2 = (b — c)2
a — c = b — c
Откуда a = b, или 4 = 5.
№26. «доказательство равенства 1 = — 1»
Решение:
9 класс
№29. Любое число есть произведение бесконечного числа единиц.
Решение:
Рассмотрим равенство:
Перепишем его в следующем виде:
Так как 
Извлечём из обеих частей корень степени 
При х = 3 имеем: 
Так как: 
№30. «любое число а равно меньшему числу b».
Решение:
Начнем с равенства
а = b + c.
Умножив обе его части на a — b, получим
а² — аb = аb + аc — b² — be.
Перенесем ас в левую часть:
а² — аb — аc = аb — b² — be
и разложим на множители:
а(а — b — c) = b(а — b — c).
Разделив обе части равенства на а — b — c, найдем
а = b,
что и требовалось доказать.
№31. «спичка длиннее, чем телеграфный столб, причем вдвое»
Решение:
Длину спички обозначим — а, длину столба – b.
Разность между этими величинами – c. получается, что b — a = c, b = a + c.
Если данные выражения перемножить, получится следующее: b² — ab = ca + c².
При этом из обеих частей выведенного равенства возможно вычесть составляющую bc. Получится следующее: b² — ab — bc = ca + c² — bc, или b (b — a — c) = — c (b — a — c).
Откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.
То есть спичка и правда вдвое длиннее столба.
(Ошибка в данных вычислениях заключается в выражении (b – a — c), которое равно нулю.)
Логика
Полупустое и полуполное
«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».
Равен ли полный стакан пустому?
Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.
Не знаешь то, что знаешь
«Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». – «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». – «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».
Лекарство
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
Вор
«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».
Рогатый
«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».
Чем больше
«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки. Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю. Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».
Апельсин- планета
Земля, Марс и т. д. — круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин — планета?
Сидящий стоит
«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
Логический софизм
Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен. Если нарушитель попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если его утверждение было верно, его обезглавливали, а если ложно, то его вешали. Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать установленного правила и остаться живым?«Меня повесят, естественно».
Ты не человек
Я человек, ты не я, значит ты не человек.
Самое быстрое не догонит самое медленное
Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
Нет конца
Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.
Куча
Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка — тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.
Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?
Если не может — значит, он не всемогущий. Если может — значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.
Софизм «лгун»
Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
«Софизм Кратила»
Диалектик Гераклит, провозгласив «все течет», пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты ходишь, она уже изменится.
Исследовательская часть
Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов и парадоксов в жизни, я провел исследовательскую работу в сфере учебной деятельности (приложение). Данная работа была направлена
- на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее;
- на развитие логического мышления;
- на формирование математической грамотности учащихся.
Исследование проводилось среди учащихся восьмого и девятого классов.
В седьмом классе был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим софизмам по теме «Равносильные уравнения», а в девятом данного урока не проводилось. Затем по этой теме была проведена самостоятельная работа.
По итогам самостоятельных работ средние баллы в каждом из классов разошлись. Так, средний балл в 7 классе составил – 4,1 , в 9 классе – 3,3. Только два учащихся из 7 класса допустили ошибку по данной теме, когда в 9 классе 8 учащихся допустили ошибки в решении задач.
Все полученные данные я оформил в виде диаграмм (приложение), которые наглядно показали различия по уровню усвоения темы.
Таким образом, проанализировав полученные результаты, я сделал вывод, что ученики, разобравшие варианты возможных ошибок, научились находить и устранять их. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме.
Заключение
Я узнал, что софизм – это рассуждение, содержащее замаскированные ошибки. Умение маскировать и маскироваться является основным в таких сферах, как военное дело, защита информации и криптографии, банковское дело.
Математический софизм представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату. Причем полученный результат может противоречить всем нашим представлениям, но найти ошибку в рассуждении зачастую не так-то просто. Она может быть и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная демонстрация “доказательства” явно неверного результата, в чем и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению.
Рассмотрев софизмы, я узнал многое из мира логики. Даже небольшое представление о софизмах значительно расширяет кругозор. Многие вещи, кажущиеся сначала необъяснимыми, выглядят совсем по-иному. Жаль, что в школьном курсе математики не изучаются основы логики. Логическое мышление — ключ к пониманию происходящего, недостаток его сказывается во всем.
Я рассмотрел математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики. Проанализировав учебники математики, сборники олимпиадных задач и другую дополнительную литературу, я пришел к выводу, что математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем.
Например:
- на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
- в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках;
- при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
- на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
- при написании реферативных и исследовательских работ.
При разборе математических софизмов выделяются основные ошибки:
- деление на 0;
- неправильные выводы из равенства дробей;
- неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
- нарушения правил действия с именованными величинами;
- проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
- неравносильный переход от одного неравенства к другому;
Самыми популярными являются первые три. В результате я отобрал и систематизировал задачи на софизмы по классам с 6 по 9.
Как видно из решений задач на софизмы, многие «крайне неразрешимые парадоксы» имеют довольно-таки простое решение. Нужно только увидеть корень противоречия.
Список используемой литературы
- Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от античности до эпохи
Возрождения. — М.: 1974.
- Уемов А. И. Логические ошибки. — М.: 1957.
- Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин Математическая шкатулка. — М., “Просвещение”, 1984г.
- А.Г. Мадера и Д.А.Мадера, “Математические софизмы”, М., “Просвещение”,2003г.
- Обреимов В.И., , “Математические софизмы”,СПб,1989г.
- Т.Н. Михеева. Софизмы.
- Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Составители А.П. Савин, В. В. Станцо, А.Ю. Котова: под общей редакцией О.Г.Хинн.-М.:АСТ,1995.
- Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-Xкл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1983.
- Микиша А.М. Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов.- М.:-Рус.яз.,1989. Ивлев Ю.В. Логика. — М.: Проспект, 2006.
- Гусев В.А. Мордкович А.Г. Математика. Справочник – М.: Просвещение, 1990.
- Ивлев Ю.В. Логика. — М.: Проспект, 2006.
Приложение
Результаты выполнения самостоятельной работы
в седьмом и девятом классах
Диаграмма 1
Диаграмма 2 Диаграмма 3
Диаграмма 4
Результаты анкетирования в седьмом и девятом классах
Анкета
(Перед уроком – презентацией)
- Укажите ваш возраст.
- Укажите ваш пол.
- Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем»?
- Знакомо ли вам понятия «Софизм»?
(После урока – презентации)
- Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами?
- Как ты думаешь, для чего нужны софизмы?
- Хотел бы ты больше узнать о софизмах?
- Как ты считаешь, какую роль для тебя может сыграть более глубокое знакомство с софизмами?
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа №8 г. Белорецк
муниципального района Белорецкий район
Республики Башкортостан
III МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
«ЕВРОПА – АЗИЯ. ОТКРЫВАЯ ГОРИЗОНТЫ»
Направление исследования: «Математика»
Тема: «Математические софизмы»
Автор работы: Кривошеева Екатерина Игоревна, обучающаяся 6 А класса МОБУ СОШ №8 г. Белорецк МР Белорецкий район РБ
Руководитель: Лукманова Гульсина Хакимовна, учитель математики МОБУ СОШ №8 г. Белорецк МР Белорецкий район РБ
2018
Оглавление
Введение…………………………………………………………………..3 стр.
ГЛАВА 1 Исторические условия возникновения софизмов ………..…5 стр. 1.1 Понятие софизма. Из истории возникновения софизмов…….…5 стр. 1.2 Классификация математических софизмов.………..…………..……7 стр.
Выводы по главе 1…………………………………………………….8 стр.
ГЛАВА 2 Исследование в сфере учебной деятельности
2.1 Классификация ошибок и их причины….. ………………………9 стр.
2.2 Анализ ошибок учащихся по математике…………………….….9 стр.
Выводы по главе 2……………………………………………………10 стр.
Заключение…………………………………..……………………………11 стр.
Список источников литературы и интернет – ресурсов.………….…..12 стр. Приложение «Классификация математических софизмов с примерами » Приложение «Классификация ошибок и их причин» Приложение «Результаты исследования»
Приложение «Анализ ошибок учащихся по математике»
Приложение «Анкета»
Введение
«Правильно понятая ошибка — путь к открытию»
И. П. Павлов
Знаменитый комик Чарли Чаплин сказал: «Способность думать, подобно игре на скрипке или рояле, требует ежедневной практики». Невозможно с этим не согласиться! Мыслительная деятельность человека − своеобразный инструмент, пользуясь которым, можно добиться духовных, нравственных, научных высот. Такое понятие, как «софизм» бесспорно свидетельствует о блестяще развитом уме и логике владеющего им человека.
Актуальность исследования. Наше общество развивается большими темпами, и все больше требуются техники, инженеры, ученые, знания которых базируются на точных науках: математика, физика, химия. Но эти науки надо не только знать, но и понимать. Для лучшего усвоения математики существуют софизмы. Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме — это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.
Целью настоящей работы как раз является показать значимость математических софизмов при изучении математики, их роль в формировании полноценной личности, способной адаптироваться в условиях современного общества.
Гипотеза: если неточно знать формулировки определений, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.
Задачи исследования:
-
Узнать, что называют софизмами и выяснить исторические условия возникновения софизмов; выяснить, какие виды математических софизмов бывают;
-
Рассмотреть влияние софизмов в математике, проанализировать и классифицировать ошибки в работах учащихся по математике;
-
Научиться самой обосновывать свои ошибки и познакомить своих одноклассников с софизмами и показать, что они встречаются чаще, чем они думают, просто они об этом не задумываются.
Предмет исследования: математические софизмы.
Объект исследования: ошибки учащихся в работах по математике.
В ходе исследования решались следующие проблемные вопросы:
-
Как появились софизмы?
-
Какие виды математических софизмов бывают?
-
В каких заданиях и как делают «математические» ошибки учащиеся?
-
Как использование софизмов помогает в понимании математики?
-
Как научиться «видеть» ошибки?
Чтобы достичь своей цели, использовались такие методы исследования: изучение литературы, сбор информации, анкетирование учащихся, обработка данных, составление таблиц и диаграмм, просмотр сайтов в Интернете.
Практическая значимость: тема исследования я считаю, значима, так как понимание математики пригодится в жизни и в первую очередь для успешной учебы в школе, надо не только точно знать правила и формулы, но уметь находить свои ошибки и ошибочные рассуждения.
ГЛАВА 1 Исторические условия возникновения софизмов 1.1 Понятие софизма. Из истории софизмов.
Софизмы… Редко кто встречался с этим понятием в жизни.
В самом начале своей работы, мы выяснили, а знают ли другие школьники о софизмах. Поэтому провели с руководителем анкету, на вопросы которой ответили 40 учеников 6 классов. И я выяснила, что практически с понятием софизмов они не знакомы. Тогда мы привели примеры известных софизмов: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». И снова лишь 17% опрошенных ответили, что слышали о них, 27 % — считают, что встречались с софизмами на уроках математики, 30 % считают, что в повседневной действительности встречаются с софизмами.
Так что же это такое?
Софизм — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.
Софизм — (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. (Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.:Педагогика, 1989г.)
Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
Что же такое математический софизм? Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашла ошибку в софизме, значит, ты ее осознала, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.
Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм — гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения.
Софизмы появились в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса.
Аристотель называл софизмами «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению.
Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель создал логику.
Этапы возникновения софизмов
1. Первая в истории проба проведения «логической профилактики» в математике принадлежит гениальному древнегреческому математику — Эвклиду. Он был автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов (сборник «Псевдарий»).
2. Софистам идейно противостоял знаменитый греческий философ Сократ. Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины зародилась приблизительно в V в. до н.э.
3. Наши дни: появление мысли о том, что человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его, так как это — маленькое открытие и прекрасная школа, культура математических вычислений.
1.2 Классификация математических софизмов
Распределим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики.
В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические (Приложение 1)
Арифметические софизмы — числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
Пример: «Число, которое равно другому числу, и больше его, и меньше одновременно».
Алгебраические софизмы — намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Пример: «Дважды два равно пяти».
Геометрические софизмы — это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. Пример: «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».
Выводы по главе 1
Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. По началу, я думала, что софизмы бывают исключительно математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я поняла, что софистика — это целая наука, а именно математические софизмы — это лишь часть одного большого течения.
Очень важно, чтобы человек умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их.
ГЛАВА 2 Исследование в сфере учебной деятельности
2.1 Классификация ошибок и их причин.
Основные ошибки в математических софизмах (Приложение 2)
-
Деление на 0;
-
Неправильные выводы из равенства дробей;
-
Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
-
Нарушения правил действия с именованными величинами;
-
Путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
-
Не правильное использование теорем;
-
Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
-
Неравносильный переход от одного неравенства к другому;
-
Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
-
Ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.
2.2 Анализ ошибок учащихся по математике
Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов в жизни, мы провели исследовательскую работу в сфере учебной деятельности (Приложение 3, 5).
Данная работа была направлена: на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее; на развитие логического мышления; на формирование математической грамотности учащихся.
Исследование проводилось среди учащихся шестых классов. В 6 Б классе был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим софизмам по теме «Распределительное свойство умножения», а в 6 А данного урока не проводилось. Затем по этой теме была проведена самостоятельная работа. По итогам самостоятельных работ средние баллы в каждом из классов разошлись. В 6 Б классе средний балл был равен – 3,4, а в 6 А классе – 3,2. Только два учащихся (10%) 6 Б класса допустили ошибку по данной теме, когда в 6 А ошибки допустили 4 человека (21%). Все полученные данные мы оформили в виде диаграмм (приложение 3), которые наглядно показали нам различия по уровню усвоения темы самостоятельной. Таким образом, проанализировав полученные результаты, мы сделали вывод, что ученики, разобравшие варианты возможных ошибок, научились находить и устранять их. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме.
Также в своей работе мы провели анализ ошибок в работах учащихся 6 классов по математике. Как я уже отмечала ранее, неточное знание формулировок, правил и условий, при которых эти правила выполняются, приводят учащихся к неправильным, а иногда и абсурдным результатам.
В настоящем исследовании рассмотрели некоторые ошибки из контрольных работ обучающихся по математике (приложение 4).
Выводы по главе 2:
По результатам анализа ошибок, допущенных учащимися 6 классов в тестовых работах по математике, можно сделать вывод, что поверхностное изучении теории (а чаще её незнание) приводит к абсурдным результатам. Софизмы наглядно показывают, почему это происходит.
Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Заключение
Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сама попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научиться грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Если есть желание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерства в искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.
В своей работе мы доказали, что софизмы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показали практическое применение софизмов и их актуальность и в наше время. Мы рассмотрели математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики. Вот почему имеет первостепенное значение глубокое изучение школьной математики. И математические софизмы вам покажут, как важно строго соблюдать правила и формулировки теорем при логических умозаключениях.
«Решайте задачи и не бойтесь трудностей. Преодоление их вам доставит не только глубокое удовлетворение, но и большую радость, так как «в математике есть своя красота, как в поэзии и музыке» (Н.Е.Жуковский).
«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным». Б. Паскаль
Список источников литературы и интернет ресурсов:
-
Ахманов А.С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960г.
-
Брадис В.М., Минковский В.Л., Еленев Л.К., Ошибка в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967г.
-
Брутян Г., Паралогизм, софизм и парадокс//Вопросы философии, 1959г. № 1 с. 56-66.
-
Гарднер Мартин. Математические головоломки и развлечения.М.: Оникс, 1994г.
-
Глейзер Г.И. История математики в школе. М.:Просвещение, 1982г.
-
Кордемский Б.А. Великие жизни в математике. М.:Просвещение, 1995г.
-
Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? М.-.МЦНМО, 2004
-
Морозов И.А., О научном значении математических софизмов// Известия научного института им. П.Ф.Лесгафта, Пг., 1919г., с. 193-207.
-
Л.Ф.Пичурин. За страницами учебника алгебры. М. -.Просвещение, 1991г.
-
Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.:Педагогика, 1989г.
-
Софизмы http://sophisms.ucoz.ru/index/geometricheskie_sofizmy/0-9 (15.10.18г)
-
Софизмы http://sofizmy.narod.ru/ (20.10.18г)
Приложение 1
Классификация математических софизмов с примерами
Алгебраические софизмы. Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Приведем примеры таких софизмов.
1. «Сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места» Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередно равных плюс единице и минус единице, т.е. S=1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +… (1)
И попробуем найти значение этой суммы. Сначала поступим следующим образом. Будем объединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждой парой «минус», т.е. S=1 — (1 — 1) — (1 — 1) -…=1 – 0 – 0 — …= 1
Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда S= -1 +1 – 1 + 1 – 1 + 1 — …= -1 +(1-1)+(1-1)+…=-1+0+0+…= -1.
Итак, по-разному переставляя слагаемые суммы (1), мы пришли к различным значениям этой суммы: 1 и –1, в итоге сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых, а сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места.
Где ошибка??? Данное свойство суммы может оказаться неверным, если некоторые члены суммы сгруппированы иначе.
2. «Дважды два равно пяти»
Имеем числовое равенство (верное): 4:4=5:5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4=5, или 2 * 2=5.
Где ошибка? Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4:4=5:5.
3. «Отрицательное число больше положительного»
Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:
а: (-с) и -а : с
Они равны, так как каждое из них равно –(а:с). Можно составить пропорцию:
а: (-с) = (-а) : с
Но, если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего.
В нашем случае а -с, следовательно, должно быть -ас, т.е. отрицательное число больше положительного.
Где ошибка??? Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.
« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть а дм— длина спички и b дм — длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b — a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 — ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2— ab — bc = ca + c2 — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.
Где ошибка??? В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.
Арифметические софизмы. Арифметика — (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда. Приведем примеры таких софизмов.
1. « 4 руб. = 40000 коп.» Возьмём верное равенство: 2руб.=200 коп. и возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 4 руб.=40 000 коп. В чем ошибка?
В чем ошибка? Возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины.
2.«Один рубль не равен ста копейкам»
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1) 10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп. (3)
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Где ошибка??? Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство 10 р. =100 000 к . , которое после деления на 10 дает
1 р. = 10 000 коп., (*) а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп.
-
«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его»
Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем для них следующие очевидные неравенства:
А-В и В-В. (1) Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство А*ВВ*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В0, придем к выводу, что АВ. (2) Записав же два других столь же бесспорных неравенства В-А и А-А (3)
Аналогично предыдущему получим, что В*АА*А, а разделив на А0, придем к неравенству АВ. (4) Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.
Где ошибка??? Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.
Проделаем правильные преобразования неравенств. Запишем неравенство (1) в виде А+В0, В+В0. Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства (А+В)(В+В)0, или А-В, что представляет собой просто верное неравенство.
Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде (В+А)0, А+А0, получим просто верное неравенство В-А.
Приложение 2
Классификация ошибок и их причин
Логические ошибки. Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. (Силлогизм — тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)).
Терминологические ошибки. Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы (всякое quaternio terminorum предполагает такое словоупотребление);
В устную речь математиками введены такие слова как «сумма», «произведение», «разность». Так — сумма произведения два на два и пятерки, а — удвоенная сумма двух и пяти.
Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.
Психологические причины. Бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма поэтому предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.
Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio) и т. п. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм.
Аффективные причины ошибок. Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т. д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей
Волевые причины. При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика и т. п. (
) действуют неотразимым образом на лиц, легко поддающихся внушению, особенно на массы. С другой стороны, пассивность (
) слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Таким образом, всякий софизм предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: 
. Успешность софизма определяется величиной этой суммы, в которой 
составляет показатель силы диалектика, 
есть показатель слабости его жертвы. Прекрасный психологический анализ софистики даёт Шопенгауэр в своей «Эристике» (перев. кн. Д. Н. Цертелева). Само собой разумеется, что логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой; поэтому софизм, представляющий, например, с логической точки зрения quaternio ter.
Приложение 3
Результаты исследования
Средний балл выполнения самостоятельной работы
в 6 классах
Диаграмма 1 Средний балл выполнения самостоятельной работы
в 6 классах
Классификация ошибок в работах учащихся 6 классов
Диаграмма 2 Классификация ошибок в работах учащихся 6 классов
Приложение 4
Анализ ошибок учащихся по математике
6 класс Выражения, тождества, уравнения
1.Ученики знают распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
Правило: а(b + с) = ab + ас а(b — с) = аb — ас.
Ошибки: — 2(а + 4) = -2а + 8; — 2(а — 4) = -2а — 8.
«Минус» и «плюс» в формулах сыграли плохую роль после того, как ученики познакомились с отрицательными числами. Надо быть внимательными.
2.Правила раскрытия скобок все знают, а при применении забывают и выполняют его только для первого слагаемого.
Правило: + (а -b + с) = а — b + с; -(а-b- с) = -а + b — с.
Ошибки: — (5a + b- х) =-5а+ b- х.
3.Правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
Правило: при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные. 5х — 7 = 2x + 9;
Ошибки: 5х + 2x = 9 — 7.
4.Решение линейного уравнения. Привычка из начальной школы большее число делить на меньшее «заставляет» при решении уравнений учащихся совершать ошибку, а надо всего то знать правило нахождения неизвестного множителя или правило деления обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля число. Правило ах = b; (а не равно 0) х = 
Ошибки: 6х =2; х = 3
5. Правило: при раскрытии скобок с применением распределительного свойства умножения нужно каждое слагаемое умножить на число.
2х — 5(х + 2) = 2х — 5х — 10;
Ошибки: 2х — 5(х + 2) = 2х — 5х +10.
Приложение 5
Анкета (Перед уроком – презентацией)
- Укажите ваш возраст.
- Укажите ваш пол.
- Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем»?
- Знакомо ли вам понятие «Софизм»?
(После урока – презентации)
- Постарайся дать определение этого понятия самостоятельно.
- Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами?
- Как ты думаешь, для чего нужны софизмы?
- Хотел бы ты больше узнать о софизмах?
- Как ты считаешь, какую роль для тебя может сыграть более глубокое знакомство с софизмами?
26
ГБОУ СПО НО «Нижегородский медицинский базовый колледж»
Кафедра общенаучных дисциплин
СОФИЗМЫ ВОКРУГ НАС
Белова Лариса Григорьевна – преподаватель математики
2019 год
СОФИЗМЫ ВОКРУГ НАС
Белова Л. Г.
Кафедра общенаучных дисциплин
В своей работе «Софизмы вокруг нас» автор приводит понятие софизма, его историю, виды софизмов, отдельно выделяя математические софизмы.
Все мы с детства знаем и пытались решать задачи: почему Ахиллес никогда не догонит черепаху, как может спичка быть длиннее телеграфного столба, почему дважды два равно пяти и т.д.
Далее автор стремится показать, что математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций.
Кроме математических софизмов рассматриваются и другие: полупустое и полуполное, «вор, который не желает мне ничего дурного», «рогатый», «чем больше, тем не лучше» и т.д.
В конце работы я привожу классификацию ошибок в софизмах. Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме (Силлогизм — тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)), то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Автор пытается объяснить в своей работе, что наиболее типичными источниками ошибок логических софизмов являются нарушения правил силлогизма (силлогизм — тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо).
В заключение делается вывод, что разбор софизмов развивает логическое мышление; помогает сознательному усвоению изучаемого материала; воспитывает вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Обнаружить ошибку в софизме — это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.
Содержание
Введение………………………………………………….………..3
Софизм — интеллектуальное мошенничество?………………………….4
История…………………………………………………………….5
Современный софизм………………..……………………………7
Математический софизм…………………………………………..9
Прочие софизмы……………………………………………….…13
Классификация ошибок ………………………………………….17
Заключение………………………………………………..…..…..19
Список литературы…………………………………………….…20
«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию».
И.П. Павлов
1. Введение
Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает нас от повторения её в других математических рассуждениях.
Софизм – это умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия, не учитываются условия применимости формул и правил. Софизм является особым приёмом интеллектуального мошенничества, попыткой выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение. Поиск заключённых в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключённой в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, в чём и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилам, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и «закрепить» то или иное математическое правило или убеждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому её пониманию и осмыслению.
Актуальностью работы является знакомство с миром софизмов – это погружение в проблемы философии, математики древности, обучение глубине мышления, развитие интуиции, восприятие познавательной активности, настойчивости в достижении цели. Данная работа открывает уникальную возможность проследить, как математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Думаю, многие не раз слышали такие высказывания, как: «Все числа равны» или «два равно трём». И услышав их, я заинтересовался: что они значат? кто это придумал? можно — ли как-то объяснить эти высказывания или всё это – вымысел? Целью моего исследования является доказательство того, что софизмы – это не просто интеллектуальное мошенничество, а важный двигатель человеческой мысли.
2. Софизм — интеллектуальное мошенничество?
Софи́зм (в переводе с греческого — «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.
В обычном и распространенном понимании софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил языка или логики. Но обман тонкий и завуалированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть.
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы строятся на том, что в рассуждении незаметно подменяются понятия, отождествляются разные вещи или же, наоборот, — различаются тождественные объекты. Будучи интеллектуальными уловками или подвохами, все софизмы разоблачимы, только в некоторых из них логическая ошибка в виде нарушения закона тождества лежит на поверхности и поэтому, как правило, почти сразу заметна. Такие софизмы разоблачить не трудно. Однако встречаются софизмы, в которых подвох спрятан достаточно глубоко, хорошо замаскирован, в силу чего над ними надо изрядно поломать голову.
Итак, любой софизм полностью раскрыт, или разоблачен только в том случае, если нам удалось ясно и определенно установить, какие нетождественные вещи преднамеренно и незаметно отождествляются в том или ином рассуждении. Софизмы встречаются довольно часто и в самых различных областях жизни: в математике, в экономике, в философии, в логике и, особенно, в риторике (науке и искусству красноречия).
3. История
С
офизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.
Во второй половине 5 века до н.э. в Греции появились софисты. Они появились во время становления демократии в Афинах и на подвластных Афинам территориях.
Софисты — это мудрецы, но мудрецы особого рода. Этих мудрецов истина не интересовала. Они были, как правило, платными “учителями мудрости”. Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою предвыборную компанию, в частности, переспорить оппонентов на собрании, а также для того, чтобы выиграть судебное дело Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Софизмы древних нередко использовались с намерением ввести в заблуждение. Но они имели и другую, гораздо более интересную сторону. Сформулированные в тот период, когда науки логики еще не было, древние софизмы прямо ставили вопрос о необходимости ее построения. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. И в этом плане софизмы непосредственно содействовали возникновению особой науки о правильном, доказательном мышлении.
Софизмы использовались и теперь продолжают использоваться для тонкого, завуалированного обмана. В этом случае они выступают в роли особого приема интеллектуального мошенничества, попытки выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение. А вот софизм — песенка английских студентов.
Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
Не философия, а мечта лентяев!
Софисты придавали исключительное значение человеческому слову и первыми не только подчеркнули, но и показали на деле его силу. “Слово, — говорил софист Горгий, — есть великий властелин, который, обладая весьма малым и совершенно незаметным телом, совершает чудеснейшие дела. Ибо оно может и страх изгнать, и печаль уничтожить, и радость вселить, и сострадание пробудить… То же самое значение имеет, какую сила лекарства относительно природы тел. Ибо подобно тому, как из лекарств одни изгоняют из тела одни соки, другие иные, и одни из них устраняют болезнь, а другие прекращают жизнь, точно так же и из речей одни печалят, другие радуют, третьи устрашают, четвертые ободряют, некоторые же отравляют и околдовывают душу, склоняя ее к чему-нибудь дурному”.
Софизм обескураживает: дескать, возможны положения, когда человек не знает того, что он хорошо знает. С другой стороны — хорошо было в древности! Все знали, что добродетель есть добро, и не сомневались в этом.
Само слово “софист” означает не только “интеллектуального мошенника”, но и философа, впервые задумавшегося над проблемами языка и логики.
4. Современный софизм
Современный софизм, основной задачей которого является манипуляция общественным сознанием, существует в многочисленных формах.
Современные софисты, прежде всего, — специалисты по пиару, работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных политических деятелей. Во время предвыборных компаний никто не борется за истину, борются за голоса избирателей; борьба идёт межу софистами, упражняющимися в красноречии. Побеждает тот, кому удается обмануть избирателей. Все это делается изощренно, с учетом современных достижений софистов в области психологии и манипуляции общественным сознанием.
Суды, где вопрос виновности и невиновности подсудимых зависят от действий адвоката — софиста, умеющего манипулировать общественным сознанием, судьями и толкованием подчас спорных законов.
Например, такой софизм:
«Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, теперь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».
Реклама: Наш шампунь для роста волос лучше
Информацию о товарах заменили рекламой. Специалисты по рекламе -софисты, стараются обмануть потребителей (быстрый эффект, лучше, скидки, низкие цены и т.д.) Что характерно: специалист по рекламе, цель которого обмануть людей, не осуждается в современном обществе.
Недостатки стандартного истолкования софизмов
Таково стандартное истолкование софизмов, подкупающее своей простотой. За ним стоит многовековая традиция. Однако, несмотря на кажущуюся очевидность, слишком многое оно оставляет недосказанным и неясным. Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Уже из одних общих соображений ясно, что с софизмами дело обстоит далеко не так просто, как это принято обычно представлять.
5. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Для развития познавательной деятельности математические софизмы можно применять при изучении математики в школе, колледже, техникуме:
на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку в МС, придумать свои МС);
при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
при написании реферативных и исследовательских работ.
a
b
1) Спичка вдвое длиннее телеграфного столба
Пусть а дм— длина спички и b дм — длина столба. Разность между b и a обозначим через c .
Имеем b — a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 — ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2— ab — bc = ca + c2 — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда
b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.
Где ошибка??
В выражении b(b—a—c )= —c(b—a—c) производится деление на (b—a—c), а этого делать нельзя, так как b—a—c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.
2) 2 * 2 = 5
Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.
Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).
Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или 
.
(Ошибка: ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки.)
3) Оценка 2 равна оценке 5
В
озьмем числовое равенство:
14 + 4 – 18 = 35 + 10 – 45
Вынесем общие множители левой и правой части за скобки:
2(7+2-9)=5(7+2-9)
Разделим обе части на общий множитель:2 = 5
Значит оценка 2 равна оценке 5?
Мы допускаем ошибку при делении на общий множитель:
7+2—9 = 0
4) Размещение 10 коней в 9 стойлах
На конеферме старший конюх предложил ребятам, пришедшим на экскурсию, необычную задачу: попробовать разместить 10 коней в 9 стойлах конюшни так, чтобы в каждом стойле находился 1 конь. Задача была неразрешима.
Тогда конюх сказал: «Слушайте внимательно, как я буду размещать лошадей. Сначала 10 коня временно помещу в 1 стойло. Тогда в 1 стойле будет 2 коня, третий — во 2 стойле, четвертый – в 3, пятый – в 4, шестой – в 5, седьмой – в 6, восьмой – в 7, девятый – в 8, а девятое стойло окажется свободно, переведем туда 10 коня из первого стойла, где он помещался временно».
На самом деле в первом стойле окажутся первый и десятый кони, а во втором не третий, а второй, в третьем – третий, и т.д., в девятом – девятый, а десятому стойла не хватит.
5)«Один рубль не равен ста копейкам»
И
звестно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.
Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
10 р.=100000 коп. (3)
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Где ошибка??
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство
2 2
10 р. =100 000 к . ,
которое после деления на 10 дает
2 2
1 р. = 10 000 коп., (*)
а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.
Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп.
6. Прочие софизмы
Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
1.«Полупустое и полуполное»
«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».
2. «Вор»
«Вор не желает приобрести ничего дурного.
Приобретение хорошего есть дело хорошее.
Следовательно, вор желает хорошего».
3.«Рогатый»
«
Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».
4.«Чем больше»
«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки.
Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного
я проливаю.
Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю.
Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».
5.«Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное»
Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
6.«Медимн зерна»
Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом!
7 
.«Куча»
Имеется утверждение: разница между «кучей» и «не кучей» не в одном элементе.
Возьмем некоторую кучу, например, орехов.
Теперь начнем брать из нее по ореху:
50 орехов — куча,
49 — куча,
48 — тоже куча и т.д.
Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу.
Вот тут-то и парадокс – сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей.
Такое рассуждение нельзя применять, так как не определено само понятие «куча».
Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:
1. «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
2. «Сократ — человек; человек — не то же самое, что Сократ; значит, Сократ — это нечто иное, чем Сократ».
3.«Глаза»
4. «Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить».
5. Движение летящей стрелы невозможно ввиду того, что в каждый неделимый момент времени она покоится, а промежуток времени является суммой бесконечного числа неделимых моментов.
4. Классификация ошибок
4.1 Логические
Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме (Силлогизм — тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)), то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:
1. Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа».
2. Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной».
3. Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено».
4. Особенно распространённая ошибка «Учетвере́ние те́рминов» (лат. quaternio terminorum), то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы – простые тела, бронза — металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.
4.2 Терминологические ошибки
Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы наиболее характерные:
Ошибка омонимия. Например: реакция в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор как врач и как учёная степень.
Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника < π в том смысле, что сумма < π.
Ошибка разделения, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника = π» в смысле «каждый угол = сумме 2 прямых углов».
Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: «сколько будет дважды два плюс пять?» Здесь трудно решить имеется ли в виду (2 * 2) + 5 или 2 * (2 + 5).
4.3 Психологические ошибки
Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизмов предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизмов зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.
4.3.1 Интеллектуальные причины
Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в невнимание, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности знаний по данному предмету, лености в мышлении и т.д. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм. Обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через a.
4.3.2 Аффективные причины
Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет и т.д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через c, а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через d.
6. Заключение
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то чаще они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Я поняла, что софистика — это целая наука, а именно математические софизмы — это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненную череду его рассуждений. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.
Поиск заключенных в софизме ошибок, понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение. Такой подход способствует пониманию того, что математика – это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле.
7. Список литературы
А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математические софизмы»
Москва, «Просвещение», 2003 г.
Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка»
Москва, «Просвещение», 1988 г.
«Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004 г.»
Ахманов А. С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960;
Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К.,
Ошибки в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967.
А.Г. Мадера, Д.А. Мадера Математические софизмы.- Москва, 2003.
Статья «Математические софизмы»
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%E2%E5%F0%EE%FF%F2%ED%EE%F1%F2%E5%E9
Статья «Вероятность события»
http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/veroyatnost-sobytiya.html
Статья «Софизмы в обычной жизни»
http://images.yandex.ru/
СОФИЗМ (от греч. sophisma — уловка, ухищрение, выдумка, головоломка) — рассуждение, умозаключение или убеждающая речь (аргументация), обосновывающие какую-либо заведомую нелепость (абсурд} или утверждение, противоречащее общепринятым представлениям (парадокс). Вот пример софизма, основанного на разъединении смысла целого: “5 = 2 + 3, но 2 четно, а 3 нечетно, следовательно 5 одновременно четно и нечетно”. А вот софизм, построенный с нарушением закона тождества и семиотической роли кавычек: “Если Сократ и человек не одно и то же, то Сократ не то же, что Сократ, поскольку Сократ — человек”. Оба эти софизма приводит Аристотель. Он называл софизмами “мнимые доказательства”, в которых обоснованность заключения лишь кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Внешняя убедительность многих софизмов, их “логичность” обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической (за счет метафоричности речи, амонимии или полисемии слов, амфиболии и пр.), нарушающей однозначность мысли и приводящей к смешению значений терминов, или же логической (за счет игнорирования или подмены тезиса в случае доказательств или опровержений, ошибок в выведении следствий, использования “неразрешенных” или даже “запрещенных” правил или действий, к примеру, деления на нуль в математических софизмах).
Исторически с понятием “софизм” неизменно связывают мысль о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, заботясь не об истине, а о практической выгоде, об успехе в споре или в судебной тяжбе. С этой же задачей обычно связывают и его известный “критерий основания”: мнение человека есть мера истины. Уже Платон, который называл софистику “постыдной риторикой”, заметил на это, что основание не должно заключаться в субъективной воле человека, иначе придется признать законность противоречий, и поэтому любые суждения считать обоснованными. Эта мысль Платона нашла отражение в аристотелевском “принципе непротиворечия” (см. Закон логический) и, уже в современной логике, — в требовании доказательства абсолютной непротиворечивости теорий. Но вполне уместное в области “истин разума” это требование не всегда оправдано в области “фактических истин”, где критерий основания Протагора, понятый, однако, более широко, как относительность истины к условиям и средствам ее познания, оказывается весьма существенным. Поэтому многие рассуждения, приводящие к парадоксам, но в остальном безупречные, не являются софизмами. По существу они только демонстрируют интервальный характер связанных с ними гносеологических ситуаций. Таковы, в частности, известные апории Зенона Элейского или т. н. софизм “куча”: “Одно зерно — не куча. Если η зерен не куча, то η + 1 — тоже не куча. Следовательно, любое число зерен — не куча”. Это не софизм, а лишь один из парадоксов транзитивности, возникающих в ситуациях неразличимости (или интервального равенства), в которых принцип математической индукции неприменим. Стремление усматривать в такого рода ситуациях “нетерпимое противоречие” (А. Пуанкаре), преодолеваемое в абстрактом понятии математической непрерывности (континуума), не решает вопроса в общем случае. Достаточно сказать, что содержание идеи равенства (тождества) в области фактических истин существенно зависит от того, какими средствами отождествления при этом пользуются. К примеру, далеко не всегда нам удается абстракцию неразличимости заменить абстракцией отождествления. А только в этом случае и можно рассчитывать на “преодоление” противоречий типа парадокса транзитивности.
Первыми, кто понял важность теоретического анализа софизмов были, по-видимому, сами софисты (см. Софистика). Учение о правильной речи, о правильном употреблении имен Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов представлены и в диалогах Платона. Но их систематический анализ, основанный уже на теории силлогистических умозаключений (см. Силлогистика), принадлежит Аристотелю. Позднее математик Евклид написал “Псевдарий” — своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательствах, но он не сохранился.
Лит.: Платон. Соч., т. 1. M., 1968 (диалоги: “Протагор”, “Горгай”, “Менон”, “Кратил”), т. 2. M., 1970 (диалоги: “Теэтет”, “Софист”); Аристотель. “О софистических опровержениях”.— Соч., т. 2. M., 1978; АхмановА, С. Логическое учение Аристотеля. М., I960, гл. 1, § 3.
M. M. Новосёлов
Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль.
Под редакцией В. С. Стёпина.
2001.
Математические софизмы
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
Атеев А.С. 1Самарина Е.А. 1
1МБОУ «ООШ № 12» Асбестовского городского округа
Самофалова В.В. 1
1МБОУ «ООШ № 12»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
1. Введение
Математика — один из наших любимых школьных предметов. Он нам нравится не только потому, что это основной школьный предмет, но и потому, что без математических знаний в жизни не обойтись. Занятие математикой развивает логическое мышление, сосредоточенность, находчивость, устойчивое внимание, хорошую память, смекалку.
Тема нашей работы «Софизмы в нашей жизни». Мы выбрали эту тему для своего проекта не случайно. Как-то вечером папа задал мне вопрос: «Саша, а ты знаешь, что 6 = 7? Мне стало интересно. Папа с легкостью доказал это равенство.
Вот как это было: 6=7.
Запишем верное равенство: 42 +12 — 54 = 49 +14 – 63.
Вынесем общий множитель за скобки: 6(7 + 2 – 9) = 7(7 + 2 – 9)
Разделим обе части на общий множитель (7 + 2 – 9).
Получим, что 6 = 7 , что и требовалось доказать. Где ошибка? Ведь этого быть не может. Папа сказал, что есть такое понятия, как софизм. Так я определился с темой проекта. Катя сама выбрала тему из списка, который был предложен учителем математики. Для нее понятие софизм тоже было неизвестно, поэтому она решила узнать, что означает это незнакомое и интересное слово.
В процессе работы мы выяснили, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой (например, 34 =7), так и то, что прямой угол равен тупому.
Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм — это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.
Цель: узнать, что такое софизмы и научиться находить ошибку в софизмах.
Задачи:
1. Познакомиться с историей софизмов.
2. Узнать, какие бывают софизмы. Классификация софизмов.
3. Понять, как найти ошибку в софизмах?
4. Разбор софизмов.
5. Составить анкету для обучающихся, познакомить одноклассников с результатами работы.
6. Составить рекомендации для нахождения ошибок в софизмах.
Гипотеза: софизмы — тренировка для ума.
Объект и предмет исследования: софизмы
Методы исследования:
1. Анализ литературы и информации, полученной из Интернет источников
2. Обсуждение темы с учителем, родными и одноклассниками
3. Анкетирование одноклассников
4. Анализ и обобщение полученных данных.
2. Теоретическая часть
Что такое софизмы?
Софизм (от греч. — мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.
Что же такое математический софизм? Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм — гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.
2.2. История возникновения софизмов
Мы изучили историю возникновения софизмов. Софистика – это искусство ведения спора. Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. Имея в этом выгоду или просто интерес, многие умные и хитрые люди строго логически доказывали, что черное – это белое, истина – это ложь, добро – это зло и т.д. Так появились софизмы – формально кажущиеся правильными, но по существу ложными умозаключениями. Эти рассуждения могут быть истинны в каждой отдельной части, но неверные в целом.
Софизм – слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на формально – логическое установление абсурдного положения. В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях.
Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: «неправильности речи» и ошибки «вне речи», т.е. в мышлении. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит замаскированные ошибки. Часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил.
Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.
Софист – это:
1. Человек, прибегающий к софизмам для доказательства заведомо неверных мыслей, положений.
2. В древней Греции первоначальный мудрец, знаток, потом платный учитель философии, красноречия, искусства спора, а также — философ, расходившийся с общепринятыми взглядами в вопросах религии и морали и обвинявшийся противниками в пользовании софизмами.
Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элеи. Например, одна из них: «В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не сможет начаться».
В истории развития математики софизмы способствовали повышению строгости в рассуждениях и более глубокому пониманию понятий и методов математики.
2.3. Классификация ошибок в софизмах
Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.
Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:
Логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство. Но закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено», или «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа;
Терминологические ошибки – неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы треугольника равны 180 градусам» в смысле «Сумма углов треугольника равна 180 градусам».
Ошибки в применении формул. Например : Чётное и нечётное. 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!
Практическая часть
3.1. Разбор математических софизмов
Рассмотрим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики. Как было сказано ранее, в математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Математические софизмы делятся на 4 вида: арифметические, алгебраические, геометрические, логические. Мы рассмотрим некоторые из них.
Арифметические софизмы– это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
Дважды два – пять (2 * 2 = 5)
Доказательство:
Пусть исходное соотношение — очевидное равенство:
4:4= 5:5 (1) .
Вынесем за скобки общий множитель каждой части (1) равенства, и мы получим:
4*(1:1)=5*(1:1) (2)
Разложим число 4 на произведение 2 *2
(2*2)* (1:1)=5*(1:1) (3)
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2) устанавливаем: 2*2=5.
Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в в частном, множитель можно выносить либо из суммы, либо из разности.
Один рубль не равен ста копейкам
Доказательство:
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.
Наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп., таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: необходимо переходить к единым единицам измерения.
Софизм «5 = 6»
Докажем, что 5 =6. С этой целью возьмем числовое равенство 35 + 10- 45 = 42 + 12 — 54. Вынесем общий множитель левой и правой части за скобки. Получим 5(7 + 2 — 9) = 6 (7 + 2 — 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (7 + 2 — 9). Получаем 5=6. В чем ошибка?
Ошибка: нельзя делить на равенство (7 + 2 — 9), т. к. (7 + 2 — 9)= 0. Ма знаем еще из начальной школы, что на 0 делить нельзя.
Таки образом, можно доказать равенство любых разных двух чисел.
Софизм «Пропавший рубль»
Три подруги зашли в кафе выпить по чашке кофе7 Выпили. Официант принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли. Однако хозяин кафе решил сделать скидку посетительницам, сказав что кофе стоит 25 рублей. Официант взял деньги и побежал доганять подруг, но пока он бежал, подумал, что им будет трудно делить 5 рублей, ведь их трое, поэтому решил отдать им по 1 рублю, а 2 рубля оставить себе. Так и сделал.
Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей. 9 . 3 = 27 рублей, да 2 рубля осталось у официанта. А где же еще 1 рубль?
Ошибка. Задача сформулирована так, чтобы запутать читателя. Подруги заплатили 27 рублей, из этой суммы 25 рублей осталось у хозяина кафе, а 2 рубля у официанта. И никакого пропавшего рубля!
Логические софизмы
Софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры:
Полный стакан равен пустому
Рассмотрим стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому.
Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен
стакану пустому. Где ошибка?
Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно, т.к. пустое увеличить вдвое не возможно.
Софизм учебы
Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:
The more you study, the more you know
The more you know, the more you forget
The more you forget, the less you know
The less you know, the less you forget
The less you forget, the more you know
So why study?
Перевод:
Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
Это стихотворение можно смело назвать логическим софизмом!
Геометрические софизмы
Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
Софизм «Загадочное исчезновение» (Приложение 1). У нас есть произвольный прямоугольник на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Куда исчезла 13-я линия?
Разбор софизма. 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины.
Примеры софизмов приведены в Приложении 2.
Работая над проектом, мы составили рекомендации по нахождению ошибок в софизмах (Приложение 3).
3.2. Анкетирование
Мы провели анкетирование среди обучающихся 7 классов на знание софизмов. В анкетировании приняло участие 40 человек. Были заданы следующие вопросы:
1. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы «Два равно трём»?
«Да» – 24 человека, 60 %
2. Знакомо ли вам понятие «софизм»?
«Да» — 10 человек, 25 %
3. Хотелось ли вам познакомиться с софизмами?
«Да» — 36 человек, 90 %.
Анкетирование показало, что немногим ребятам известно понятие «софизм». 90 % обучающихся хотели бы больше узнать о софизмах. Мы выступим перед ребятами с нашим проектом.
Заключение
Из года в год появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих быстро забудут. Ведь софизмы — это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений.
Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.
Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться. К концу работы над проектом ошибки стали находиться быстрее. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свою речь.
Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Работая над проектом, мы составили рекомендации по разбору софизмов (Приложение 3). Наш проект будет полезен людям, которые начинают работать с софизмами с целью развития свих интеллектуальных способностей.
Мы считаем, наш проект актуален и имеет практическое применение. Задачи выполнены, цель достигнута.
Решение софизмов тренируют наш мозг, то есть наша гипотеза верна.
Действительно, софизмы являются тренировкой для ума.
Информационные источники
«Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.
«Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.
Т.Н. Михеева. Софизмы
«Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.
«Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство «Молодая гвардия», 1978 г.
Приложение 1
«Загадочное исчезновение»
Приложение 2
Лекарства
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
Девушка — не человек
Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка – молодая, значит девушка – молодой человек. Молодой человек – это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.
Вор
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.
Разговор софиста и любителя спорить
Софист: “Может ли мёд быть сладким и несладким одновременно?”
Любитель: “нет”
Софист: “ А мёд сладкий?”
Любитель: “Да”
Софист: “А мёд желтый?”
Любитель: “Да”
Софист: “А жёлтый — значит сладкий?”
Любитель: “Нет”
Софист: “Значит мёд сладкий и несладкий одновременно!”
Не знаешь то, что знаешь
— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.
— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.
Примеры геометрических софизмов, которые можно услышать на уроке геометрии:
— Смежные углы равны 180 градусам;
— Накрест лежащие углы равны.
Приложение 3
Рекомендации по нахождению ошибок в софизмах
Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи.
Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат получается из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки.
Установить темы, которые отражены в софизме. Обучающиеся, учителя привыкли, что задания, предлагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. И если вы увидели эти темы, попытайтесь зрительно разбить «большой софизм» на маленькие.
Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, логичности. Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений, используемых в софизме. Например: 2 * 2 =5. Если произнести эту фразу вслух, то мы можем услышать ошибку, услышав самого себя, или более подробно разобраться в смысле софизма.
Проверять преобразования. После каждого перехода проверить полученный результат обратным действием. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».
Просмотров работы: 12722
ГБОУ СПО НО «Нижегородский медицинский базовый колледж»
Кафедра общенаучных дисциплин
СОФИЗМЫ ВОКРУГ НАС
Белова Лариса Григорьевна – преподаватель математики
2019 год
СОФИЗМЫ ВОКРУГ НАС
Белова Л. Г.
Кафедра общенаучных дисциплин
В своей работе «Софизмы вокруг нас» автор приводит понятие софизма, его историю, виды софизмов, отдельно выделяя математические софизмы.
Все мы с детства знаем и пытались решать задачи: почему Ахиллес никогда не догонит черепаху, как может спичка быть длиннее телеграфного столба, почему дважды два равно пяти и т.д.
Далее автор стремится показать, что математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций.
Кроме математических софизмов рассматриваются и другие: полупустое и полуполное, «вор, который не желает мне ничего дурного», «рогатый», «чем больше, тем не лучше» и т.д.
В конце работы я привожу классификацию ошибок в софизмах. Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме (Силлогизм — тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)), то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Автор пытается объяснить в своей работе, что наиболее типичными источниками ошибок логических софизмов являются нарушения правил силлогизма (силлогизм — тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо).
В заключение делается вывод, что разбор софизмов развивает логическое мышление; помогает сознательному усвоению изучаемого материала; воспитывает вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Обнаружить ошибку в софизме — это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.
Содержание
Введение………………………………………………….………..3
Софизм — интеллектуальное мошенничество?………………………….4
История…………………………………………………………….5
Современный софизм………………..……………………………7
Математический софизм…………………………………………..9
Прочие софизмы……………………………………………….…13
Классификация ошибок ………………………………………….17
Заключение………………………………………………..…..…..19
Список литературы…………………………………………….…20
«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию».
И.П. Павлов
1. Введение
Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает нас от повторения её в других математических рассуждениях.
Софизм – это умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия, не учитываются условия применимости формул и правил. Софизм является особым приёмом интеллектуального мошенничества, попыткой выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение. Поиск заключённых в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключённой в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, в чём и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилам, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и «закрепить» то или иное математическое правило или убеждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому её пониманию и осмыслению.
Актуальностью работы является знакомство с миром софизмов – это погружение в проблемы философии, математики древности, обучение глубине мышления, развитие интуиции, восприятие познавательной активности, настойчивости в достижении цели. Данная работа открывает уникальную возможность проследить, как математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Думаю, многие не раз слышали такие высказывания, как: «Все числа равны» или «два равно трём». И услышав их, я заинтересовался: что они значат? кто это придумал? можно — ли как-то объяснить эти высказывания или всё это – вымысел? Целью моего исследования является доказательство того, что софизмы – это не просто интеллектуальное мошенничество, а важный двигатель человеческой мысли.
2. Софизм — интеллектуальное мошенничество?
Софи́зм (в переводе с греческого — «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.
В обычном и распространенном понимании софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил языка или логики. Но обман тонкий и завуалированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть.
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы строятся на том, что в рассуждении незаметно подменяются понятия, отождествляются разные вещи или же, наоборот, — различаются тождественные объекты. Будучи интеллектуальными уловками или подвохами, все софизмы разоблачимы, только в некоторых из них логическая ошибка в виде нарушения закона тождества лежит на поверхности и поэтому, как правило, почти сразу заметна. Такие софизмы разоблачить не трудно. Однако встречаются софизмы, в которых подвох спрятан достаточно глубоко, хорошо замаскирован, в силу чего над ними надо изрядно поломать голову.
Итак, любой софизм полностью раскрыт, или разоблачен только в том случае, если нам удалось ясно и определенно установить, какие нетождественные вещи преднамеренно и незаметно отождествляются в том или ином рассуждении. Софизмы встречаются довольно часто и в самых различных областях жизни: в математике, в экономике, в философии, в логике и, особенно, в риторике (науке и искусству красноречия).
3. История
С офизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.
Во второй половине 5 века до н.э. в Греции появились софисты. Они появились во время становления демократии в Афинах и на подвластных Афинам территориях.
Софисты — это мудрецы, но мудрецы особого рода. Этих мудрецов истина не интересовала. Они были, как правило, платными “учителями мудрости”. Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою предвыборную компанию, в частности, переспорить оппонентов на собрании, а также для того, чтобы выиграть судебное дело Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Софизмы древних нередко использовались с намерением ввести в заблуждение. Но они имели и другую, гораздо более интересную сторону. Сформулированные в тот период, когда науки логики еще не было, древние софизмы прямо ставили вопрос о необходимости ее построения. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. И в этом плане софизмы непосредственно содействовали возникновению особой науки о правильном, доказательном мышлении.
Софизмы использовались и теперь продолжают использоваться для тонкого, завуалированного обмана. В этом случае они выступают в роли особого приема интеллектуального мошенничества, попытки выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение. А вот софизм — песенка английских студентов.
Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
Не философия, а мечта лентяев!
Софисты придавали исключительное значение человеческому слову и первыми не только подчеркнули, но и показали на деле его силу. “Слово, — говорил софист Горгий, — есть великий властелин, который, обладая весьма малым и совершенно незаметным телом, совершает чудеснейшие дела. Ибо оно может и страх изгнать, и печаль уничтожить, и радость вселить, и сострадание пробудить… То же самое значение имеет, какую сила лекарства относительно природы тел. Ибо подобно тому, как из лекарств одни изгоняют из тела одни соки, другие иные, и одни из них устраняют болезнь, а другие прекращают жизнь, точно так же и из речей одни печалят, другие радуют, третьи устрашают, четвертые ободряют, некоторые же отравляют и околдовывают душу, склоняя ее к чему-нибудь дурному”.
Софизм обескураживает: дескать, возможны положения, когда человек не знает того, что он хорошо знает. С другой стороны — хорошо было в древности! Все знали, что добродетель есть добро, и не сомневались в этом.
Само слово “софист” означает не только “интеллектуального мошенника”, но и философа, впервые задумавшегося над проблемами языка и логики.
4. Современный софизм
Современный софизм, основной задачей которого является манипуляция общественным сознанием, существует в многочисленных формах.
Современные софисты, прежде всего, — специалисты по пиару, работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных политических деятелей. Во время предвыборных компаний никто не борется за истину, борются за голоса избирателей; борьба идёт межу софистами, упражняющимися в красноречии. Побеждает тот, кому удается обмануть избирателей. Все это делается изощренно, с учетом современных достижений софистов в области психологии и манипуляции общественным сознанием.
Суды, где вопрос виновности и невиновности подсудимых зависят от действий адвоката — софиста, умеющего манипулировать общественным сознанием, судьями и толкованием подчас спорных законов.
Например, такой софизм:
«Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, теперь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».
Реклама: Наш шампунь для роста волос лучше
Информацию о товарах заменили рекламой. Специалисты по рекламе -софисты, стараются обмануть потребителей (быстрый эффект, лучше, скидки, низкие цены и т.д.) Что характерно: специалист по рекламе, цель которого обмануть людей, не осуждается в современном обществе.
Недостатки стандартного истолкования софизмов
Таково стандартное истолкование софизмов, подкупающее своей простотой. За ним стоит многовековая традиция. Однако, несмотря на кажущуюся очевидность, слишком многое оно оставляет недосказанным и неясным. Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Уже из одних общих соображений ясно, что с софизмами дело обстоит далеко не так просто, как это принято обычно представлять.
5. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Для развития познавательной деятельности математические софизмы можно применять при изучении математики в школе, колледже, техникуме:
на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку в МС, придумать свои МС);
при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
при написании реферативных и исследовательских работ.
a
b
1) Спичка вдвое длиннее телеграфного столба
Пусть а дм— длина спички и b дм — длина столба. Разность между b и a обозначим через c .
Имеем b — a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 — ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2— ab — bc = ca + c2 — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда
b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.
Где ошибка??
В выражении b(b—a—c )= —c(b—a—c) производится деление на (b—a—c), а этого делать нельзя, так как b—a—c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.
2) 2 * 2 = 5
Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.
Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).
Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или .
(Ошибка: ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки.)
3) Оценка 2 равна оценке 5
В озьмем числовое равенство:
14 + 4 – 18 = 35 + 10 – 45
Вынесем общие множители левой и правой части за скобки:
2(7+2-9)=5(7+2-9)
Разделим обе части на общий множитель:2 = 5
Значит оценка 2 равна оценке 5?
Мы допускаем ошибку при делении на общий множитель:
7+2—9 = 0
4) Размещение 10 коней в 9 стойлах
На конеферме старший конюх предложил ребятам, пришедшим на экскурсию, необычную задачу: попробовать разместить 10 коней в 9 стойлах конюшни так, чтобы в каждом стойле находился 1 конь. Задача была неразрешима.
Тогда конюх сказал: «Слушайте внимательно, как я буду размещать лошадей. Сначала 10 коня временно помещу в 1 стойло. Тогда в 1 стойле будет 2 коня, третий — во 2 стойле, четвертый – в 3, пятый – в 4, шестой – в 5, седьмой – в 6, восьмой – в 7, девятый – в 8, а девятое стойло окажется свободно, переведем туда 10 коня из первого стойла, где он помещался временно».
На самом деле в первом стойле окажутся первый и десятый кони, а во втором не третий, а второй, в третьем – третий, и т.д., в девятом – девятый, а десятому стойла не хватит.
5)«Один рубль не равен ста копейкам»
И звестно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.
Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
10 р.=100000 коп. (3)
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Где ошибка??
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство
2 2
10 р. =100 000 к . ,
которое после деления на 10 дает
2 2
1 р. = 10 000 коп., (*)
а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.
Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп.
6. Прочие софизмы
Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
1.«Полупустое и полуполное»
«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».
2. «Вор»
«Вор не желает приобрести ничего дурного.
Приобретение хорошего есть дело хорошее.
Следовательно, вор желает хорошего».
3.«Рогатый»
« Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».
4.«Чем больше»
«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки.
Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного
я проливаю.
Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю.
Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».
5.«Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное»
Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
6.«Медимн зерна»
Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом!
7 .«Куча»
Имеется утверждение: разница между «кучей» и «не кучей» не в одном элементе.
Возьмем некоторую кучу, например, орехов.
Теперь начнем брать из нее по ореху:
50 орехов — куча,
49 — куча,
48 — тоже куча и т.д.
Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу.
Вот тут-то и парадокс – сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей.
Такое рассуждение нельзя применять, так как не определено само понятие «куча».
Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:
1. «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
2. «Сократ — человек; человек — не то же самое, что Сократ; значит, Сократ — это нечто иное, чем Сократ».
3.«Глаза»
4. «Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить».
5. Движение летящей стрелы невозможно ввиду того, что в каждый неделимый момент времени она покоится, а промежуток времени является суммой бесконечного числа неделимых моментов.
4. Классификация ошибок
4.1 Логические
Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме (Силлогизм — тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)), то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:
1. Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа».
2. Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной».
3. Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено».
4. Особенно распространённая ошибка «Учетвере́ние те́рминов» (лат. quaternio terminorum), то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы – простые тела, бронза — металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.
4.2 Терминологические ошибки
Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы наиболее характерные:
Ошибка омонимия. Например: реакция в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор как врач и как учёная степень.
Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника < π в том смысле, что сумма < π.
Ошибка разделения, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника = π» в смысле «каждый угол = сумме 2 прямых углов».
Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: «сколько будет дважды два плюс пять?» Здесь трудно решить имеется ли в виду (2 * 2) + 5 или 2 * (2 + 5).
4.3 Психологические ошибки
Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизмов предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизмов зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.
4.3.1 Интеллектуальные причины
Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в невнимание, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности знаний по данному предмету, лености в мышлении и т.д. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм. Обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через a.
4.3.2 Аффективные причины
Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет и т.д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через c, а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через d.
6. Заключение
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то чаще они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Я поняла, что софистика — это целая наука, а именно математические софизмы — это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненную череду его рассуждений. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.
Поиск заключенных в софизме ошибок, понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение. Такой подход способствует пониманию того, что математика – это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле.
7. Список литературы
А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математические софизмы»
Москва, «Просвещение», 2003 г.
Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка»
Москва, «Просвещение», 1988 г.
«Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004 г.»
Ахманов А. С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960;
Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К.,
Ошибки в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967.
А.Г. Мадера, Д.А. Мадера Математические софизмы.- Москва, 2003.
Статья «Математические софизмы»
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%E2%E5%F0%EE%FF%F2%ED%EE%F1%F2%E5%E9
Статья «Вероятность события»
http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/veroyatnost-sobytiya.html
Статья «Софизмы в обычной жизни»
http://images.yandex.ru/
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа №8 г. Белорецк
муниципального района Белорецкий район
Республики Башкортостан
III МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
«ЕВРОПА – АЗИЯ. ОТКРЫВАЯ ГОРИЗОНТЫ»
Направление исследования: «Математика»
Тема: «Математические софизмы»
Автор работы: Кривошеева Екатерина Игоревна, обучающаяся 6 А класса МОБУ СОШ №8 г. Белорецк МР Белорецкий район РБ
Руководитель: Лукманова Гульсина Хакимовна, учитель математики МОБУ СОШ №8 г. Белорецк МР Белорецкий район РБ
2018
Оглавление
Введение…………………………………………………………………..3 стр.
ГЛАВА 1 Исторические условия возникновения софизмов ………..…5 стр. 1.1 Понятие софизма. Из истории возникновения софизмов…….…5 стр. 1.2 Классификация математических софизмов.………..…………..……7 стр.
Выводы по главе 1…………………………………………………….8 стр.
ГЛАВА 2 Исследование в сфере учебной деятельности
2.1 Классификация ошибок и их причины….. ………………………9 стр.
2.2 Анализ ошибок учащихся по математике…………………….….9 стр.
Выводы по главе 2……………………………………………………10 стр.
Заключение…………………………………..……………………………11 стр.
Список источников литературы и интернет – ресурсов.………….…..12 стр. Приложение «Классификация математических софизмов с примерами » Приложение «Классификация ошибок и их причин» Приложение «Результаты исследования»
Приложение «Анализ ошибок учащихся по математике»
Приложение «Анкета»
Введение
«Правильно понятая ошибка — путь к открытию»
И. П. Павлов
Знаменитый комик Чарли Чаплин сказал: «Способность думать, подобно игре на скрипке или рояле, требует ежедневной практики». Невозможно с этим не согласиться! Мыслительная деятельность человека − своеобразный инструмент, пользуясь которым, можно добиться духовных, нравственных, научных высот. Такое понятие, как «софизм» бесспорно свидетельствует о блестяще развитом уме и логике владеющего им человека.
Актуальность исследования. Наше общество развивается большими темпами, и все больше требуются техники, инженеры, ученые, знания которых базируются на точных науках: математика, физика, химия. Но эти науки надо не только знать, но и понимать. Для лучшего усвоения математики существуют софизмы. Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме — это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.
Целью настоящей работы как раз является показать значимость математических софизмов при изучении математики, их роль в формировании полноценной личности, способной адаптироваться в условиях современного общества.
Гипотеза: если неточно знать формулировки определений, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.
Задачи исследования:
-
Узнать, что называют софизмами и выяснить исторические условия возникновения софизмов; выяснить, какие виды математических софизмов бывают;
-
Рассмотреть влияние софизмов в математике, проанализировать и классифицировать ошибки в работах учащихся по математике;
-
Научиться самой обосновывать свои ошибки и познакомить своих одноклассников с софизмами и показать, что они встречаются чаще, чем они думают, просто они об этом не задумываются.
Предмет исследования: математические софизмы.
Объект исследования: ошибки учащихся в работах по математике.
В ходе исследования решались следующие проблемные вопросы:
-
Как появились софизмы?
-
Какие виды математических софизмов бывают?
-
В каких заданиях и как делают «математические» ошибки учащиеся?
-
Как использование софизмов помогает в понимании математики?
-
Как научиться «видеть» ошибки?
Чтобы достичь своей цели, использовались такие методы исследования: изучение литературы, сбор информации, анкетирование учащихся, обработка данных, составление таблиц и диаграмм, просмотр сайтов в Интернете.
Практическая значимость: тема исследования я считаю, значима, так как понимание математики пригодится в жизни и в первую очередь для успешной учебы в школе, надо не только точно знать правила и формулы, но уметь находить свои ошибки и ошибочные рассуждения.
ГЛАВА 1 Исторические условия возникновения софизмов 1.1 Понятие софизма. Из истории софизмов.
Софизмы… Редко кто встречался с этим понятием в жизни.
В самом начале своей работы, мы выяснили, а знают ли другие школьники о софизмах. Поэтому провели с руководителем анкету, на вопросы которой ответили 40 учеников 6 классов. И я выяснила, что практически с понятием софизмов они не знакомы. Тогда мы привели примеры известных софизмов: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». И снова лишь 17% опрошенных ответили, что слышали о них, 27 % — считают, что встречались с софизмами на уроках математики, 30 % считают, что в повседневной действительности встречаются с софизмами.
Так что же это такое?
Софизм — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.
Софизм — (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. (Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.:Педагогика, 1989г.)
Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
Что же такое математический софизм? Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашла ошибку в софизме, значит, ты ее осознала, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.
Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм — гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения.
Софизмы появились в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса.
Аристотель называл софизмами «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению.
Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель создал логику.
Этапы возникновения софизмов
1. Первая в истории проба проведения «логической профилактики» в математике принадлежит гениальному древнегреческому математику — Эвклиду. Он был автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов (сборник «Псевдарий»).
2. Софистам идейно противостоял знаменитый греческий философ Сократ. Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины зародилась приблизительно в V в. до н.э.
3. Наши дни: появление мысли о том, что человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его, так как это — маленькое открытие и прекрасная школа, культура математических вычислений.
1.2 Классификация математических софизмов
Распределим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики.
В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические (Приложение 1)
Арифметические софизмы — числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
Пример: «Число, которое равно другому числу, и больше его, и меньше одновременно».
Алгебраические софизмы — намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Пример: «Дважды два равно пяти».
Геометрические софизмы — это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. Пример: «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».
Выводы по главе 1
Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. По началу, я думала, что софизмы бывают исключительно математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я поняла, что софистика — это целая наука, а именно математические софизмы — это лишь часть одного большого течения.
Очень важно, чтобы человек умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их.
ГЛАВА 2 Исследование в сфере учебной деятельности
2.1 Классификация ошибок и их причин.
Основные ошибки в математических софизмах (Приложение 2)
-
Деление на 0;
-
Неправильные выводы из равенства дробей;
-
Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
-
Нарушения правил действия с именованными величинами;
-
Путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
-
Не правильное использование теорем;
-
Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
-
Неравносильный переход от одного неравенства к другому;
-
Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
-
Ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.
2.2 Анализ ошибок учащихся по математике
Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов в жизни, мы провели исследовательскую работу в сфере учебной деятельности (Приложение 3, 5).
Данная работа была направлена: на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее; на развитие логического мышления; на формирование математической грамотности учащихся.
Исследование проводилось среди учащихся шестых классов. В 6 Б классе был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим софизмам по теме «Распределительное свойство умножения», а в 6 А данного урока не проводилось. Затем по этой теме была проведена самостоятельная работа. По итогам самостоятельных работ средние баллы в каждом из классов разошлись. В 6 Б классе средний балл был равен – 3,4, а в 6 А классе – 3,2. Только два учащихся (10%) 6 Б класса допустили ошибку по данной теме, когда в 6 А ошибки допустили 4 человека (21%). Все полученные данные мы оформили в виде диаграмм (приложение 3), которые наглядно показали нам различия по уровню усвоения темы самостоятельной. Таким образом, проанализировав полученные результаты, мы сделали вывод, что ученики, разобравшие варианты возможных ошибок, научились находить и устранять их. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме.
Также в своей работе мы провели анализ ошибок в работах учащихся 6 классов по математике. Как я уже отмечала ранее, неточное знание формулировок, правил и условий, при которых эти правила выполняются, приводят учащихся к неправильным, а иногда и абсурдным результатам.
В настоящем исследовании рассмотрели некоторые ошибки из контрольных работ обучающихся по математике (приложение 4).
Выводы по главе 2:
По результатам анализа ошибок, допущенных учащимися 6 классов в тестовых работах по математике, можно сделать вывод, что поверхностное изучении теории (а чаще её незнание) приводит к абсурдным результатам. Софизмы наглядно показывают, почему это происходит.
Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Заключение
Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сама попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научиться грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Если есть желание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерства в искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.
В своей работе мы доказали, что софизмы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показали практическое применение софизмов и их актуальность и в наше время. Мы рассмотрели математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики. Вот почему имеет первостепенное значение глубокое изучение школьной математики. И математические софизмы вам покажут, как важно строго соблюдать правила и формулировки теорем при логических умозаключениях.
«Решайте задачи и не бойтесь трудностей. Преодоление их вам доставит не только глубокое удовлетворение, но и большую радость, так как «в математике есть своя красота, как в поэзии и музыке» (Н.Е.Жуковский).
«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным». Б. Паскаль
Список источников литературы и интернет ресурсов:
-
Ахманов А.С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960г.
-
Брадис В.М., Минковский В.Л., Еленев Л.К., Ошибка в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967г.
-
Брутян Г., Паралогизм, софизм и парадокс//Вопросы философии, 1959г. № 1 с. 56-66.
-
Гарднер Мартин. Математические головоломки и развлечения.М.: Оникс, 1994г.
-
Глейзер Г.И. История математики в школе. М.:Просвещение, 1982г.
-
Кордемский Б.А. Великие жизни в математике. М.:Просвещение, 1995г.
-
Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? М.-.МЦНМО, 2004
-
Морозов И.А., О научном значении математических софизмов// Известия научного института им. П.Ф.Лесгафта, Пг., 1919г., с. 193-207.
-
Л.Ф.Пичурин. За страницами учебника алгебры. М. -.Просвещение, 1991г.
-
Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.:Педагогика, 1989г.
-
Софизмы http://sophisms.ucoz.ru/index/geometricheskie_sofizmy/0-9 (15.10.18г)
-
Софизмы http://sofizmy.narod.ru/ (20.10.18г)
Приложение 1
Классификация математических софизмов с примерами
Алгебраические софизмы. Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Приведем примеры таких софизмов.
1. «Сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места» Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередно равных плюс единице и минус единице, т.е. S=1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +… (1)
И попробуем найти значение этой суммы. Сначала поступим следующим образом. Будем объединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждой парой «минус», т.е. S=1 — (1 — 1) — (1 — 1) -…=1 – 0 – 0 — …= 1
Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда S= -1 +1 – 1 + 1 – 1 + 1 — …= -1 +(1-1)+(1-1)+…=-1+0+0+…= -1.
Итак, по-разному переставляя слагаемые суммы (1), мы пришли к различным значениям этой суммы: 1 и –1, в итоге сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых, а сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места.
Где ошибка??? Данное свойство суммы может оказаться неверным, если некоторые члены суммы сгруппированы иначе.
2. «Дважды два равно пяти»
Имеем числовое равенство (верное): 4:4=5:5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4=5, или 2 * 2=5.
Где ошибка? Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4:4=5:5.
3. «Отрицательное число больше положительного»
Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:
а: (-с) и -а : с
Они равны, так как каждое из них равно –(а:с). Можно составить пропорцию:
а: (-с) = (-а) : с
Но, если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего.
В нашем случае а -с, следовательно, должно быть -ас, т.е. отрицательное число больше положительного.
Где ошибка??? Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.
« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть а дм— длина спички и b дм — длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b — a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 — ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2— ab — bc = ca + c2 — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.
Где ошибка??? В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.
Арифметические софизмы. Арифметика — (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда. Приведем примеры таких софизмов.
1. « 4 руб. = 40000 коп.» Возьмём верное равенство: 2руб.=200 коп. и возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 4 руб.=40 000 коп. В чем ошибка?
В чем ошибка? Возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины.
2.«Один рубль не равен ста копейкам»
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1) 10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп. (3)
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Где ошибка??? Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство 10 р. =100 000 к . , которое после деления на 10 дает
1 р. = 10 000 коп., (*) а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп.
-
«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его»
Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем для них следующие очевидные неравенства:
А-В и В-В. (1) Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство А*ВВ*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В0, придем к выводу, что АВ. (2) Записав же два других столь же бесспорных неравенства В-А и А-А (3)
Аналогично предыдущему получим, что В*АА*А, а разделив на А0, придем к неравенству АВ. (4) Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.
Где ошибка??? Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.
Проделаем правильные преобразования неравенств. Запишем неравенство (1) в виде А+В0, В+В0. Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства (А+В)(В+В)0, или А-В, что представляет собой просто верное неравенство.
Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде (В+А)0, А+А0, получим просто верное неравенство В-А.
Приложение 2
Классификация ошибок и их причин
Логические ошибки. Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. (Силлогизм — тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)).
Терминологические ошибки. Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы (всякое quaternio terminorum предполагает такое словоупотребление);
В устную речь математиками введены такие слова как «сумма», «произведение», «разность». Так — сумма произведения два на два и пятерки, а — удвоенная сумма двух и пяти.
Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.
Психологические причины. Бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма поэтому предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.
Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio) и т. п. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм.
Аффективные причины ошибок. Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т. д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей
Волевые причины. При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика и т. п. () действуют неотразимым образом на лиц, легко поддающихся внушению, особенно на массы. С другой стороны, пассивность () слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Таким образом, всякий софизм предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: . Успешность софизма определяется величиной этой суммы, в которой составляет показатель силы диалектика, есть показатель слабости его жертвы. Прекрасный психологический анализ софистики даёт Шопенгауэр в своей «Эристике» (перев. кн. Д. Н. Цертелева). Само собой разумеется, что логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой; поэтому софизм, представляющий, например, с логической точки зрения quaternio ter.
Приложение 3
Результаты исследования
Средний балл выполнения самостоятельной работы
в 6 классах
Диаграмма 1 Средний балл выполнения самостоятельной работы
в 6 классах
Классификация ошибок в работах учащихся 6 классов
Диаграмма 2 Классификация ошибок в работах учащихся 6 классов
Приложение 4
Анализ ошибок учащихся по математике
6 класс Выражения, тождества, уравнения
1.Ученики знают распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
Правило: а(b + с) = ab + ас а(b — с) = аb — ас.
Ошибки: — 2(а + 4) = -2а + 8; — 2(а — 4) = -2а — 8.
«Минус» и «плюс» в формулах сыграли плохую роль после того, как ученики познакомились с отрицательными числами. Надо быть внимательными.
2.Правила раскрытия скобок все знают, а при применении забывают и выполняют его только для первого слагаемого.
Правило: + (а -b + с) = а — b + с; -(а-b- с) = -а + b — с.
Ошибки: — (5a + b- х) =-5а+ b- х.
3.Правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
Правило: при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные. 5х — 7 = 2x + 9;
Ошибки: 5х + 2x = 9 — 7.
4.Решение линейного уравнения. Привычка из начальной школы большее число делить на меньшее «заставляет» при решении уравнений учащихся совершать ошибку, а надо всего то знать правило нахождения неизвестного множителя или правило деления обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля число. Правило ах = b; (а не равно 0) х = Ошибки: 6х =2; х = 3
5. Правило: при раскрытии скобок с применением распределительного свойства умножения нужно каждое слагаемое умножить на число.
2х — 5(х + 2) = 2х — 5х — 10;
Ошибки: 2х — 5(х + 2) = 2х — 5х +10.
Приложение 5
Анкета (Перед уроком – презентацией)
- Укажите ваш возраст.
- Укажите ваш пол.
- Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем»?
- Знакомо ли вам понятие «Софизм»?
(После урока – презентации)
- Постарайся дать определение этого понятия самостоятельно.
- Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами?
- Как ты думаешь, для чего нужны софизмы?
- Хотел бы ты больше узнать о софизмах?
- Как ты считаешь, какую роль для тебя может сыграть более глубокое знакомство с софизмами?
26
Библиографическое описание:
Хидоятова, М. А. Роль софизмов в истории развития математики / М. А. Хидоятова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 26 (212). — С. 8-11. — URL: https://moluch.ru/archive/212/51822/ (дата обращения: 28.06.2023).
Известно, что софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое кажется правильным. Каков бы не был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещённые действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизм, содержащие и другие ошибки.
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Особенно поучительна в этом отношении история аксиома Евклида о параллельных прямых. Формулируется эта аксиома, так: «Через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной». Эту аксиому на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, т. е. вывести из остальных аксиом геометрии, многие выдающиеся математики разных времён и разных народов. Все эти попытки не увенчались успехом. Многочисленные «доказательства», какие были найдены, оказались ошибочными [3]. «Строгого доказательства сей истины», — писал великий русский математик Н. И. Лобачевский в 1823 году в своем учебнике геометрии, до сих пор не смогли сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснением, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами» [1]. И всё же, несмотря на ошибочность этих доказательств, они принести пользу развитию геометрии. Были основательно выяснены связи между различными теоремами геометрии. Можно сказать, что эти «доказательства» подготовили одно из величайших открытий в области геометрии и всей математики- открытие новой неевклидовой геометрии. Честь этого открытия и разработка новой геометрии принадлежит великому русскому математику Н. И. Лобачевскому.
Н. И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому о параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. В 1826 году он установил, что утверждение, выражаемое аксиомой о параллельных, при помощи остальных аксиом геометрии доказать нельзя. Путь, идя которым Лобачевский установил невозможность доказательства аксиомы параллельных, и привёл его к открытию новой геометрии. Это открытие прославило русскую математику [1].
Примеров подобного рода можно было бы привести несколько. Они убеждают в том, что преодоление ошибок в математических рассуждениях содействует развитию математики.
Чем же полезны софизмы для излучающихся математику? Что могут они дать?
Разбор софизмов, прежде всего развивает логическое мышление, т. е. прививает необходимых в жизни навыки правильного мышления.
Обнаружить ошибку в софизме это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает повторение ее в дальнейшем в других математических рассуждениях.
Особенно важно, что разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Значит, математические софизм заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Всё это нужно и полезно. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в её правах. И чем труднее софизм, тем больше удовлетворение доставляет разбор его. В этой статье приведены несколько софизмов. При разборе этих софизмов надо постараться самостоятельно найти содержащиеся в них ошибки и отчётливо понять их. Очень важно добиться отчётливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны, и может быть даже вредны.
Задача: Всякий треугольник — равнобедренный [2].
Пусть АВС (рис. 1) — произвольный треугольник. Проведём биссектрису угла А и перпендикуляр к стороне ВС, проходящей через её середину D. Может оказаться так, что точке пересечения биссектрисы и перпендикуляра (К) будет лежать внутри треугольника АВС.
Опустим из точки К перпендикуляры КЕ и КF на стороны АС и АВ. Имеем ∆АЕК=∆ АFК, а значит КЕ = КFи АЕ=АF. Треугольники ВКD и СКD также равны, а поэтому КВ=КС. Остаётся рассмотреть прямоугольные треугольники ВКF и СКЕ. Они равны, так как КЕ = КF и АЕ=АF. Из равенства этих треугольников вытекает, что ЕС=FВ. Возьмём два равенства АЕ=АF и СЕ=ВF. Сложив их по частям, получаем АС=АВ. Аналогично можно провести рассуждения в случае, если точка К будет лежать вне треугольника АВС (рис.2).
Рис. 1.
Рис. 2.
Рассуждения в случае, если точка К будет лежать на стороне ВС (совпадает с D), также не сложны. Во всех случаях, приходим к выводу, что треугольник АВС–равнобедренный. Значит, любой треугольник равнобедренный. Где ошибка?
Ответ: Единственный возможный случай, если треугольник АВС не является равнобедренным, иллюстрируется рисунком 3.
Рис. 3.
Также можно привести много различных примеров “например решения рациональных и иррациональных уравнений и неравенств”, при решении которых способствуют повышению строгости в математических рассуждениях и уяснениям понятий и методов математики.
Литература:
- Я. С. Дубнов «Ошибки геометрических доказательствах», Гостехиздать., 1953 г.
- В. И. Обреимов «Математические софизмы» Учпедгиз, Москва, 1957 г.
- В. Брадис и А. Харчева «Ошибки в математических рассуждениях», Учпедгиз, 1938 г.
Основные термины (генерируются автоматически): софизм, развитие математики, рассуждение, треугольник, великий русский математик, метод математики, остальная аксиома геометрии, повышение строгости, разбор софизмов, сторона ВС.