Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения азимута равно 30

9.6. Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения азимута равно 30′(математическое ожидание равно нулю). Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет 1°.

Ответ: P(X ≤ 60)≥ 0,917 .

9.7. Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 50 мм. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,2 мм. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 мм.

Ответ: P ≥ 0,75.

9.8.За значение некоторой величины принимают среднеарифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,5 мм.

Ответ: P ≥ 0,9 .

9.9.Среднее квадратическое отклонение каждой из 450 000 независимых случайных величин не превосходит 10. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднеарифметической этих случайных величин от среднеарифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,02.

Ответ: P ≥ 94 .

9.10. Емкость изготовляемого заводом конденсатора по техническим условиям должна быть равной 2 мкф с разрешенным допуском ± 0,1 мкф. Завод до-

бился средней емкости, равной 2 мкф, с дисперсией, равной 0,002 мкф2 . Какой

процент составляет вероятный брак при изготовлении конденсаторов? Расчет произвести по неравенству Чебышева и формуле Лапласа.

Ответ: P ≤ 0,2, P ≈ 0,03.

9.11. Выборочным путем требуется определить средний рост мужчин двадцатилетнего возраста. Какое количество мужчин, отобранных случайным образом, нужно измерить, чтобы с вероятностью, превышающей 0,98, можно было утверждать, что средний рост у отобранной группы будет отличаться от среднего роста всех двадцатилетних мужчин по абсолютной величине не более

131

чем на 1 см. Известно, что среднеквадратичное отклонение роста для каждого мужчины из отобранной группы не превышает 5 см.

Ответ: n ≥1250 .

9.12.Технический контролер проверяет партию однотипных приборов.

Свероятностью 0,01 прибор имеет дефект А и, независимо от этого, с вероятностью 0,02 — дефект В. В каких границах будет заключено практически наверняка число бракованных изделий в партии из 1000 шт., если за вероятность практической достоверности принимается 0,997?

Ответ: 0 < m <128 .

9.13.Оценить вероятность того, что в партии из 5000 изделий отклонение частости бракованных деталей от вероятности 0,02 быть бракованной деталью превысит 0,01.

Ответ: P ≤ 0,039.

9.14.Вероятность изготовления нестандартной радиолампы равна 0,04. Какое наименьшее число радиоламп следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что доля нестандартных радиоламп будет отличаться от вероятности изготовления нестандартной радиолампы по абсолютной величине не более чем на 0,02?

Ответ: n =800 .

9.15.В рассматриваемом технологическом процессе в среднем 75 % изделий имеет допуск ± 5 %. Какое число изделий из партии в 200 000 шт. с вероятностью 0,99 можно планировать с допуском ± 5 %?

Ответ: 150 000 ±1936 .

9.16.Произведено 500 независимых испытаний; в 200 из них вероятность появления события А была равна 0,4, в 180 — 0,5 и в 120 — 0,6. Оценить снизу вероятность того, что отклонение частости от средней вероятности не превысит по абсолютной величине 0,05.

Ответ: P ≥ 0,807.

9.17.Стрельба ведется поочередно из трех орудий. Вероятности попадания в цель при одном выстреле из каждого орудия равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Таким образом произведено 600 выстрелов. Оценить снизу вероятность того, что отклонение частости от средней вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,05.

132

Ответ: P ≥ 193225 .

9.18. Из 5000 произведенных испытаний в 2000 вероятность появления события А равна 0,2, в 1400 — 0,5 и в 1600 — 0,6. Найти границы, в которых должна находиться частость появления события А, если это необходимо гарантировать с вероятностью 0,95.

Ответ: 0,382 ≤ mn ≤ 0,443.

10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов

Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называется функцией случайного аргумента Х и записывается Y = ϕ(X ).

Если Х — дискретная случайная величина и функция Y = ϕ(X ) монотонна, то различным значениям Х соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений Х и Y одинаковы:

yi = ϕ(xi ) и P(Y = yi )= P(X = xi ).

Если же Y = ϕ(X ) немотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y. В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения.

Пример 10.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

2

3

5

7

Р

0,3

0,2

0,1

0,4

Найти закон распределения случайной величины Y, равной 2Х. Решение. Находим возможные значения Y:

Y1 = 2x1 = 2 2 = 4 ; Y2 = 2x2 = 2 3 = 6 ;Y3 = 2x3 = 2 5 =10 ; Y4 = 2x4 =14 .

Так как функция ϕ(x) монотонна, то вероятности P(yi )= P(xi ), т.е.

133

P(Y = 4)= P(X = 2)= 0,3; P(Y = 6)= P(X =3)= 0,2 ;

P(Y =10)= P(X =5)= 0,1; P(Y =14)= P(X = 7)= 0,4.

Запишем искомый закон распределения Y

Y

4

6

10

14

Р

0,3

0,2

0,1

0,4

Пример 10.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

–3

–2

–1

0

1

2

Р

0,1

0,2

0,2

0,1

0,3

0,1

Найти закон распределения случайной величины Y = X2 .

Решение. Находим возможные значения случайной величины Y = X2 :

Y = (−3)2 =9 ;

Y =

(− 2)2 = 4;

Y = (−1)2 =1;

Y

= 02 = 0; Y =12 =1;

1

2

3

4

5

Y = 22

= 4. Значения

Y =

9 и Y = 0 встречаются только по одному разу, а зна-

6

1

4

чения Y2 =Y6 = 4 совпадают,

поэтому вероятность того, что Y = 4 , будет равна

сумме

вероятностей

0,2

+

0,1 =

0,3.

Аналогично,

Y3 =Y5 =1, поэтому

P(Y =1)= 0,2 + 0,3 = 0,5 .

Напишем искомый закон распределения Y, расположив значения Y в по-

рядке возрастания

Y

0

1

4

9

Р

0,1

0,5

0,3

0,1

Если Х — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f (x), и если y = ϕ(x) — дифференцируемая строго монотонная функ-

ция, обратная функция которой x = ψ(y), то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства

g(y)= f (ψ(y)) ψ′(y) .

Если функция y = ϕ(x) в интервале возможных значений Х не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция ϕ(x) монотонна, и найти плотности распределения gi (y) для каждого интервала монотонности, а затем представить g(y) в виде суммы

134

g(y)= ∑gi (y).

Пример 10.3. Задана плотность распределения f (x) случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале (a, b). Найти плотность распределения случайной величины Y =3X .

Решение. Так как функция y =3x дифференцируемая и строго возрастает,

то применима формула

g(y)= f (ψ(y))

′

, где ψ(y) — функция, обратная

ψ (y)

функции y =3x.

ψ(y)= x =

y

y

′

1

Находим

ψ(y):

.

Тогда

f (ψ(y))= f

,

=

. Искомая

3

ψ (y)

3

y

3

плотность распределения g(y)= 1 f

. Так как х изменяется в интервале (a, b)

3

3

и у = 3х, то 3a < y <3b.

y

Ответ: g(y)= 1 f

,

y (3a, 3b).

3

3

Пример 10.4. Случайная величина Х распределена по закону Коши

p(x)=

1

π(1 + x2 ).

Найти плотность распределения случайной величины Y = X3 + 2.

Решение.

Функция

y = x3 + 2

монотонно

возрастающая

при

всех

x (− ∞; + ∞). Находим обратную функцию ψ(y): ψ(y)= x = 3

. Тогда

y − 2

f (ψ(y))=

1

, ψ′(y)=

1

,

ψ′(y)

=

1

.

π

33

+3

(y

−

2

33

(y − 2)2

(y − 2)2

1

2)

Следовательно,

g(y)= f (ψ(y))

ψ′(y)

=

1

1

=

1

.

2

3

(y

2

3

2

4

π 1+

−2)

3

(y −2)

3π 3

(y −2) +3

(y −2)

Ответ: g(y)=

1

.

3π 3

(y − 2)2 + 3

(y

− 2)4

135

Пример 10.5. Задана плотность f (x)=

1

e−

x2

2 нормально распределенной

2π

случайной величины Х. Найти плотность распределения g(y)случайной величины Y = X2 .

Решение. Так как в интервале (− ∞; + ∞) функция y = x2 не монотонна, то разобъем этот интервал на интервалы (− ∞; 0)и (0; + ∞), в которых она моно-

тонна. В интервале (− ∞; 0)обратная функция ψ1(y)= −

, в интервале (0; + ∞)

y

(y)=

ψ1′(y)

ψ2′(y)

1

, f (ψ1(y))=

1

e−

y

, f (ψ2 (y))=

1

e−

y

ψ2

,

=

=

2

2

.

y

2

y

2π

2π

Искомую плотность распределения находим из равенства

g(y)= f (ψ

(y))

ψ ′(y)

+ f (ψ

2

(y))

ψ

′(y)

,

1

1

2

g(y)=

1

e−

y

1

1

e−

y

1

1

e−

y

+

=

.

2

2

2

2π

2 y

2π

2

y

2π y

Так как y = x2 , причем − ∞ < x < +∞,

то 0 < y < ∞. Таким образом, в интер-

вале (0; + ∞) искомая плотность распределения

(y)=

1

e−

y

g

2

, вне этого ин-

2πy

тервала g(y)= 0.

Ответ: g(y)=

1

e−

y

при y (0; + ∞), g(y)

= 0 при y (− ∞; 0).

2

2πy

Задачи для самостоятельного решения

10.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

1

3

5

Р

0,4

0,1

0,5

Найти закон распределения случайной величины Y =3X .

Ответ:

Y

3

9

15

Р

0,4

0,1

0,5

10.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

136

Найти закон распределения случайной величины Y = 2X +1.

Ответ:

10.3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

–1

–2

–1

2

Р

0,3

0,1

0,2

0,4

Найти закон распределения случайной величины Y = X2 .

Ответ:

10.4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

π

π

3π

4

2

4

Р

0,2

0,7

0,1

Найти закон распределения случайной величины Y =sin X .

Ответ:

Y

1

1

2

Р

0,3

0,7

10.5. Задана плотность распределения f (x) случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале (0; ∞). Найти плотность рас-

пределения

g(y) случайной

величины

Y,

если а) Y = e−X ; б) Y = ln X;

в) Y = X 3; г) Y =

1

; д)

Y =

X .

X2

1

g(y)= ey f (ey ), y (− ∞; ∞);

Ответ:

а)

g(y)=

f ln

1

,

y (0;1);

б)

y

y

137

1

f (3 y), y (0; + ∞); г) g(y)

в) g(y)=

=

1

f

1

,

y (0; + ∞);

33

y2

2y

y

y

д) g(y)= 2yf (y2), y (0; + ∞).

10.6. Задана плотность распределения

f (x) случайной величины Х, воз-

можные значения которой заключены в интервале (− ∞; ∞).

Найти плотность

распределения g(y)

случайной

величины

Y,

если а)

Y = X 2;

б) Y = e−X 2 ;

в) Y =

X

; г) Y = arctgX;

д) Y =

1

.

1 + X 2

Ответ: а) g(y)=

1

(f (

)+ f (−

)),

y (0; + ∞);

y

y

2

y

1

f (−

б) g(y)=

1

1

f

ln y +

ln y) , y (0;1);

2y

ln

y

в) g(y)= f (y)+ f (− y), y (0; + ∞);

г) g(y)=

1

f (tgy),

π

π

y

−

;

;

cos2 y

2

2

д) g(y)=

1

1

1

−

+

−

,

y (0;1).

1

f

y

1

f −

y

1

2y2

−1

y

f (x)=

1

e−

x2

10.7. Задана плотность распределения

2

нормально распре-

2π

деленной случайной величины Х. Найти плотность распределения случайной

величины Y = 1 X2 .

2

1

Ответ: g(y)=

e−y в интервале (0; ∞); вне этого интервала

g(y)

= 0.

πy

10.8. Задана функция распределения F (x) случайной величины Х.

Найти

функцию распределения G(y) случайной величины Y =3X + 2.

Ответ: G(y)= F y − 2 .3

138

10.9. Задана функция распределения F (x) случайной величины Х. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y = −23 X + 2.

Ответ: G(y)=1 − F 3(2 − y) .2

10.10. Задана функция распределения F (x) случайной величины Х. Найти

функцию распределения G(y) случайной

величины Y, если а) Y = 4X + 6;

б) Y = −5X +1; в) Y = aX + b.

y − 6

1 − y

Ответ: а) G(y)= F

; б) G(y)=1

− F

;

4

5

y −b

y −b

в) G(y)= F

при a > 0, G(y)=1

− F

при a < 0.

a

a

Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных случайных величин Х и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Х и Yи пишут

Z = ϕ(X , Y ).

Если Х и Y −дискретные независимые случайные величины, то для нахождения распределения функции Z = ϕ(X , Y ), надо найти все возможные значе-

ния Z , для чего достаточно для каждого возможного значения Х, равного xi , и каждого возможного значения Y, равного yj , вычислить значение Z, равное zij = ϕ(xi , y j ). Вероятности найденных возможных значений Z равны произведениям вероятностей P(X = xi ) и P(Y = x j ).

Пример 10.6. Дискретные независимые случайные величины Х и Yзаданы распределениями:

Х

–2

–1

3

4

Р

0,3

0,1

0,5

0,1

Y

1

2

3

Р

0,4

0,1

0,5

Найти распределения случайных величин: а)

Z = X +Y; б) Z = 2X −Y;

в) Z = XY; г) Z = XY 2.

139

Решение. Для того чтобы составить указанные распределения величины

Z, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.

Все вычисления

поместим в таблицу

Х

Y

Z = X +Y

Z = 2X −Y

Z = XY

Z = XY 2

P(Z)= P(X )P(Y )

–2

1

–1

–5

–2

–2

0,3 · 0,4 = 0,12

–2

2

0

–6

–4

–8

0,3 · 0,1 = 0,03

–2

3

1

–7

–6

–18

0,3 · 0,5 = 0,15

–1

1

0

–3

–1

–1

0,1 · 0,4 = 0,04

–1

2

1

–4

–2

–4

0,1 · 0,1 = 0,01

–1

3

2

–5

–3

–9

0,1 · 0,5 = 0,05

3

1

4

5

3

3

0,5 · 0,4 = 0,20

3

2

5

4

6

12

0,5 · 0,1 = 0,05

3

3

6

3

9

27

0,5 · 0,5 = 0,25

4

1

5

7

4

4

0,1 · 0,4 = 0,04

4

2

6

6

8

16

0,1 · 0,1 = 0,01

4

3

7

5

12

36

0,1 · 0,5 = 0,05

1,00

Объединив одинаковые значения Z и расположив их в порядке возраста-

ния, получим следующие распределения:

а)

Z = X +Y

–1

0

1

2

4

5

6

7

P

0,12

0,07

0,16

0,05

0,20

0,09

0,26

0,05

б)

Z = 2X −Y

–7

–6

–5

–4

–3

3

4

5

6

7

P

0,15

0,03

0,17

0,01

0,04

0,25

0,05

0,25

0,01

0,04

в)

Z = XY

–6

–4

–3

–2

–1

3

4

6

8

9

12

P

0,15

0,03

0,05

0,13

0,04

0,20

0,04

0,05

0,01

0,25

0,05

г)

Z = XY2

–18

–9

–8

–4

–2

–1

3

4

12

16

27

36

P

0,15

0,05

0,03

0,01

0,12

0,04

0,2

0,04

0,05

0,01

0,25

0,05

Если Х и Y непрерывные независимые случайные величины,

то плотность

распределения g(z) суммы Z = X +Y (при условии, что плотность распределе-

140

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

8.49. Срок службы батареек для слуховых аппаратов приблизительно подчиняется экспоненциальному закону с λ =112 . Какова доля батареек со сроком

службы больше чем 9 дней?

Ответ: P(T >9)= 0,47237 .

8.50. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с λ = 0,25 дня. Найти долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя 7 дней.

Ответ: P(T > 7)= 0,17399 .

8.51. Компьютерный программист использует экспоненциальное распределение для оценки надежности своих программ. После того, как он нашел 10 ошибок, он убедился, что время (в днях) до нахождения следующей ошибки подчиняется экспоненциальному распределению с λ = 0,25 . Найти среднее время, потраченное для нахождения первой ошибки; определить вероятность того, что для нахождения первой ошибки понадобится более 5 дней; найти вероятность того, что на нахождение одиннадцатой ошибки потребуется от 3 до 10 дней.

Ответ: М (Х) = 4; P(T >5)= 0,8825; P(3 <T <10)= 0,148955 .

8.52.Случайная величина Х распределена по показательному закону: р(х) =

=0 при х < 0, p(x)= 6e−6x при x ≥ 0 . Найти математическое ожидание, диспер-

сию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания случайной величины Х в ин-

тервал (0,2; 1,1).

Ответ: М (Х) = 1/6; D(X )=1/ 36 ; σ(X )=1/ 6 ; F(x)=1 − e−6x ;

P(0,2 <T <1,1)= 0,512 .

Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ2 , если ее плотность вероятности имеет вид

p(x)=

1

e−

(x−a)2

2у2 .

σ

2π

109

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или га-

уссовой кривой.

На рис. 8.14 приведены нормальная кривая р(х) с параметрами а и σ2 , т.е. N (a;σ2 ), и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон

р(х)

F(х)

1

1

σ

2π

1

σ

2πe

0,5

0

а-σ

а

а+σ

0

а

х

х

Рис. 8.14

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет мак-

симум в точке х = а, равный σ 12π , и две точки перегиба x = a ± σ с ординатой

1 .

σ2π e

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,

M (X )= a , D(X )= σ2 .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле

F(x)=

1

1

x − a

2

+

2

Ц

,

σ

Ц(x)=

2

x

t2

где

∫e 2 dt .

2π 0

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в ин-

тервал [α,β]определяется формулой

P(α ≤ X ≤ β)=

1

β −a

α −a

Ц

−Ц

.

2

σ

σ

110

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину ε > 0 (по абсолютной величине), равна

P((X −a )≤ε)=Ц ε .

σ

«Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и у2, т.е. N (a;σ2 ), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a −3σ; a + 3σ)

P((X − a )≤3σ )=Ц(3)= 0,9973 .

Асимметрия нормального распределения А = 0; эксцесс нормального распределения Е = 0.

Пример 8.23. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией

p(x)= 6 12π e−(x72−1)2 .

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.

Решение. Сравнивая данную функцию р(х) с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а = 1 и σ = 6.

Тогда M (X )=1, σ(X )= 6 , D(X )=36 .

Функция распределения случайной величины Х имеет вид

F(x)= 12 + 12Ц x 6−1 .

Пример 8.24. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед.

Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. С помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

Решение. Так как а = 15 и у = 0,2 , то

111

P(X ≤15,3)= F(15,3)= 1 +

1

15,3 −15

= 1

+

1 Ц(1,5)

=

1

+ 1

0,8664 = 0,9332,

Ц

2

2

0,2

2

2

2

2

P(X ≥15,4)=1 − F(15,4)=1 −

1

1

15,4 −15

1

1

Ц(2)=

+

−

2

2

Ц

0,2

=

2

2

= 1

− 1 0,9545 = 0,0228,

2

2

P(14,9 ≤ X ≤15,3)=

1

15,3 −15

14,9 −15

=

1

[Ц(1,5)+Ц(0,5)]=

2

Ц

0,2

−

Ц

0,2

2

=

1

(0,8664 + 0,3829)=

0,6246.

2

По «правилу трех сигм» P(X −15 ≤0,6)=0,9973 и, следовательно, 15 − 0,6 ≤

≤ X ≤15 + 0,6 . Окончательно 14,4 ≤ X ≤15,6 .

Пример 8.25. Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонение Х от контрольного размера по модулю не превышает 0,8 мм. Каково наиболее вероятное число годных деталей из 150, если случайная величина Х распределена нормально с σ = 0,4 мм?

Решение. Найдем вероятность отклонения при σ = 0,4 и ε = 0,8:

P(X − a ≤ 0,8)=Ц 0,8 =Ц(2)= 0,9545.0,4

Считая приближенно р = 0,95 и q = 0,05, в соответствии с формулой

np − q ≤ m0 ≤ np + p,

где m0 — наивероятнейшее число, находим при n =150 150 0,95 − 0,05 ≤ m0 ≤150 0,95 + 0,95,

откуда m0 =143.

Пример 8.26. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием а = 2,5 см и средним квадратическим отклонением σ = 0,01см. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?

112

Решение. По «правилу трех сигм» P(X − 2,5 ≤3 0,01)= 0,9973 . Отсюда

2,5 − 0,03 ≤ m0 ≤ 2,5 + 0,03 , т.е. 2,47 ≤ X ≤ 2,53 .

Пример 8.27. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение — 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от

170 до 180 см.

Решение. Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу (170;180):

P(170 < X <180)=

1

180 −175

170 −175

1

[Ц(0,83)+Ц(0,83)]=

Ц

−Ц

=

2

6

6

2

=Ц(0,83)= 0,5935 ≈ 0,6.

Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интер-

валу (170; 180) q = 1 — 0,6 = 0,4.

Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см равна

P =1 − q5 =1 − 0,45 = 0,9898 .

Пример 8.28. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром d1 , но про-

ходит через отверстие диаметром d2 > d1, то его размер считается приемлемым.

Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика d есть случайная величина с характеристиками

M (X )= d1 +2 d2 и σ(X )= d2 4− d1 . Определить вероятность того, что шарик бу-

дет забракован.

Решение.

P =1 − P(d1 < d < d2 )=1 −

1

d

2

− M (X )

d

1

− M (X )

Ц

−Ц

=

σ

σ

2

1

d

2

− d

1

d

1

− d

2

=1 −

Ц

−Ц

.

2

2σ

2σ

Так как Ц(− x)= −Ц(x), то P =1 −

d

2

− d

=1 −Ц(2)=1 − 0,9545 = 0,0455.

Ц

1

2σ

113

Задачи для самостоятельного решения

8.53. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее

плотность распределения вероятностей задана функцией p(x)= 181 π e−(x18+2)2 .

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.

Ответ: M (X )= −2;

D(X )=9;

F(x)=

1

1

x + 2

+

Ц

.

2

2

3

8.54. Независимые случайные величины Х и Y распределены нормально, причем M (X )= 2 , D(X )= 4 , M (Y )= −3, D(Y )=5 . Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения их суммы.

Ответ: p(x)=

1

−(x+1)2

F(x)=

1

1

x +1

e 18

;

+

Ц

.

3

2π

2

2

3

8.55. Случайная

величина

Х распределена

по

нормальному закону с

M (X )=10, D(X )= 4 . Найти: а) P(12 < X <14); б) P(8 < X <12). Ответ: а) 0,1359; б) 0,6827.

8.56. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что 5 % коробок имеет массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых: а) менее 470 г; б) от 500 до 550 г; в) более 550 г; г) отличается от средней не более, чем на 30 г (по абсолютной величине)?

Ответ: а) P(X ≤ 470)= 0,002; б) P(500 ≤ X ≤550)= 0,613; в) P(X >550)= 0,341; г) P(X −540 ≤30)= 0,781.

8.57. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10;15) равна 0,09. Чему равна вероятность попадания Х в интервал: а) (35; 40); б) (30; 35)?

Ответ: а) P(35 < X < 40)= 0,09; б) P(30 < X <35)= 0,15 (у ≈10).

8.58. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами а = 375 г; σ = 25г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от

300до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

Ответ: а) 0,9759; б) 0,9987; в) 0,9987.

114

8.59. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с а = 0, σ =1. Что больше

P(− 0,5 ≤ X ≤ −0,1) или P(1 ≤ X ≤ 2)?

Ответ: P(− 0,5 ≤ X ≤ −0,1)= 0,1616; P(1 ≤ X ≤ 2)= 0,1359.

8.60. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Ответ: P(X <10)= 0,383.

8.61. Случайная величина Х — ошибки измерений — распределена нормально. Найти вероятность того, что Х примет значение между –3σ и 3σ (предполагается, что систематические погрешности отсутствуют).

Ответ: P(X <3σ)= 0,9973.

8.62.Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, их средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Ответ: у = 0,0365 кг.

8.63.Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины Х и Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

Ответ: а) P(X <15)P(Y < 4)= 0,6741; б) P =1 − (1 − 0,6741)2 = 0,8938.

8.64. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием a =950 кг и средним квадратическим отклонением σ =150 кг. Определите вероятность того, что вес случайно отобран-

115

ной туши: а) окажется больше 1250 кг; б) окажется меньше 850 кг; в) будет находиться между 800 и 1300 кг; г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг.

Ответ: а) 0,02275; б) 0,25143; в) 0,83144; г) 0,2586.

8.65. При условии задачи 8.47 с вероятностью 0,899 определите границы, в которых будет находиться вес случайно отобранной туши.

Ответ: 704; 1196.

8.66. Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2 % и средним квадратическим отклонением 0,6 %. Производителям корма необходимо, чтобы в 99 % продаваемого корма доля протеина составляла не менее x1 %, но не более x2 %. Найдите x1 и x2 .

Ответ: x1 = 9,655 %; x2 =12,775 % .

8.67. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, — нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25 % — имеют вес меньше 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

Ответ: а = 5,8293; σ = 2,4138 .

8.68. В магазине 10 000 книг. Вероятность продажи каждой из них в течение дня равна 0,8. Какое макимальное число книг будет продано в течение дня с вероятностью 0,999, если предположить, что число проданных книг есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

Ответ: 8124.

8.69. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с а = 0 и σ =1. Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше, чем 2,4?

Ответ: 0,0164.

116

8.70.Для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с

а= 32 и σ = 7 найдите два значения х1 и х2, симметричные относительно а с

P(x1 < X < x2 )= 0,99.

Ответ: x1 =13,975 ; x2 =50,025.

8.71. Еженедельный выпуск продукции на заводе распределен приблизительно по нормальному закону со средним значением а = 134786 единиц продукции в неделю и σ =13000ед. Найти вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 150000 единиц; б) окажется ниже 100000 единиц в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры и недельный выпуск продукции стал ниже 80000 единиц. Менеджеры обвиняют профсоюзы в беспрецендентном падении выпуска продукции, а профсоюзы утверждают, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня (± 3σ ). Доверяете ли Вы профсоюзам?

Ответ: а) 0,121; б) 0,00368; в) нет.

8.72. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением σ =560 и неизвестным математическим ожиданием а. В 90 % случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Ответ: а = 13158,6.

8.73. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина Х распределена нормально с параметром σ = 0,4 мм?

Ответ: m0 =95 .

8.74. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент разговаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова?

Ответ: 130 каналов.

117

9. Закон больших чисел

Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел.

Лемма 1 (неравенство Маркова). Пусть Х — неотрицательная случайная величина, т.е. X ≥ 0 . Тогда для любого е > 0

P(X ≥ е)≤ Mе(X ),

где М(Х) — математическое ожидание Х.

Следствие 1. Так как события X ≥ е и X < е противоположные, то неравенство Маркова можно записать в виде

P(X < е)≥1 − Mе(X ).

Пример 9.1. Оценить вероятность того, что в течение ближайшего дня потребность в воде в населенном пункте превысит 150 000 л, если среднесуточная потребность в ней составляет 50 000 л.

Решение. Используя неравенство Маркова в виде P(X ≥ е)≤ M е(X ), полу-

чим P(X ≥150 000)≤15050 000000 = 13 .

Ответ: P(X ≥150 000)≤ 13 .

Пример 9.2. Среднее число солнечных дней в году для данной местности равно 90. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет не более 240 солнечных дней.

Решение. Согласно неравенству

P(X ≤ е)≥1

−

M (X )

, имеем P(X ≤ 240)≥

е

90

≥1 −

=1 − 0,375 = 0,625 .

240

Ответ: P(X ≤ 240)≥ 0,625.

Лемма 2 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого е > 0

118

P(X − M (X ) ≥ е)≤ Dе(2X ).

Следствие 2. Для любой случайной величины Х с конечной дисперсией и любого е > 0

P(X − M (X )< е)≥1 − Dе(2X ).

Пример 9.3. Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 50 мм. Среднеквадратичное отклонение этой величины равно 0,2 мм. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 мм.

Решение. Для оценки вероятности используем неравенство Чебышева

P(X − M (X )< е)≥1 − Dе(2X ),

P(X −50 < 0,4)≥1 − 00,,2422 =1 − 0,25 = 0,75 .

Ответ: P(X −50 < 0,4)≥ 0,75 .

Пример 9.4. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 20 000 кВт/ч, а среднеквадратичное отклонение — 200 кВт/ч. Какого потребления электроэнергии в этом населенном пункте можно ожидать в

ближайшие сутки с вероятностью, не меньшей 0,96?

P(

X − M (X )

< е)≥

Решение. Воспользуемся неравенством

Чебышева

≥1 −

D(X ). Подставим в правую часть неравенства вместо

D(X ) величину

е2

2002 = 40 000 , сделаем ее большей или равной 0,96:

1 − 40 000 ≥ 0,96

40 000 ≤ 0,04

е2 ≥

40 000

,

е≥1000 .

е2

е2

0,04

Следовательно, в этом населенном пункте можно ожидать с вероятностью не меньшей 0,96 потребление электроэнергии 20 000 ±1000 , т.е. X [19 000; 21000].

Ответ: от 19 000 до 21 000.

119

Теорема Чебышева. Если X1, X 2 , …, X n последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями M (X1 ), M (X 2 ), …, M (X n ) и дисперсиями D(X1 ), D(X 2 ), …, D(X n ), ограниченными одной и той же постоянной D(Xi )≤C (i =1,n), то какова бы ни была постоянная е > 0

1

n

n

=1.

lim P

∑Xi − 1

∑M (Xi )

< е

n→∞

n i =1

n i =1

При доказательстве предельного равенства используется неравенство

n

n

C

P

1

∑Xi − 1

∑M (Xi )

< е

≥1 −

,

nе2

n i =1

n i =1

которое вытекает из неравенства Чебышева.

Пример 9.5. За значение некоторой величины принимают среднеарифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднеквадратичное отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,5 мм.

Решение. Воспользуемся неравенством

n

n

C

P

1

∑Xi − 1

∑M (Xi )

< е

≥1 −

.

n i =1

n i =1

nе2

По условию n =1000 , е = 0,5, C =52 = 25. Итак, искомая вероятность

1

1000

1

1000

25

P

∑ Xi −

∑M (Xi )

< 0,5

≥1 −

= 0,9.

1000 0,25

1000 i =1

1000 i =1

Ответ: P ≥ 0,9.

Частными случаями теоремы Чебышева являются теоремы Бернулли и Пуассона.

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов частость появления mn некоторого события А сходится по вероятности к его вероятности р = Р(А):

120

m − p

=1,

lim P

< е

n→∞

n

где е— сколь угодно малое положительное число.

m − p

≥

ПридоказательстветеоремыБернуллиполучаемтакуюоценку P

<е

n

≥1 −

pq

, которая применяется на практике.

nе2

Теорема Пуассона. Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в k -м опыте равна pk , то при увеличинении n час-

тость mn события А сходится по вероятности к среднеарифметическому вероят-

ностей pk :

m − 1

n

=1,

lim P

∑pk

< е

n→∞

n

n k =1

где е — сколь угодно малое положительное число. При доказательстве этой теоремы используется неравенство

m − 1

∞

1

P

∑pk

< е

≥1 −

,

4nе2

n n k =1

имеющее практическое применение.

Пример 9.6. При контрольной проверке изготавливаемых приборов было установлено, что в среднем 15 шт. из 100 оказывается с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания этой доли не более чем на 0,05.

Решение. Воспользуемся неравенством

m − p

pq

P

< е ≥1

−

.

nе2

n

По условию n = 400, е = 0,05. В качестве р возьмем величину, полученную

при проверке для доли брака p =

15

= 0,15 .

100

m − p

0,15 0,85

Итак, P

< е

≥1 −

= 0,8725.

400

2

n

0,05

Ответ: P ≥ 0,8725 .

121

Пример 9.7. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,9 не превысит 0,01?

Решение. Воспользуемся неравенством

m − p

pq

P

< е

≥1 −

.

nе2

n

По условию

p = 0,9,

q =1 − 0,9 = 0,1,

е = 0,01. Подставим в правую часть

вышеприведенного неравенства эти значения

1 −

0,9 0,1

≥ 0,95

900

≤ 0,05

n ≥18 000 .

n 0,0001

n

Ответ: n ≥18 000 .

Задачи для самостоятельного решения

9.1. Случайная величина Х распределена по следующему закону:

Х

2,1

2,3

2,5

2,8

3,1

3,3

3,6

3,9

4,0

Р

0,05

0,09

0,10

0,12

0,14

0,20

0,16

0,10

0,04

Определить вероятность того, что она примет значение, не превышающее

3,6, пользуясь законом распределения и неравенством Маркова.

Ответ: P(X ≤3,6)= 0,86;

M (X )=3,118.

9.2.Средний вес клубня картофеля равен 150 г. Какова вероятность того, что наудачу взятый клубень картофеля весит не более 500 г?

Ответ: P ≥ 0,7.

9.3.Среднее значение скорости ветра у земли в данном пункте равно 16 км/ч. Определить вероятность того, что в этом пункте скорость ветра (при одном наблюдении) не превысит 80 км/ч.

Ответ: P(X ≤80)≥ 54 .

122

9.4.Среднее потребление электроэнергии за май населением одного из микрорайонов Минска равно 360 000 кВт/ч. Оценить вероятность того, что по-

требление электроэнергии в мае текущего года превзойдет 1 000 000 кВт/ч.

Ответ: P(X >1 000 000)≤ 0,36 .

9.5.Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения курса самолета

у= 2°. Считая математическое ожидание ошибки измерения равным нулю, оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курса самолета

будет более 5°.

Ответ: P(X >5)≤ 0,16.

9.6.Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения азимута равно 30′(математическое ожидание равно нулю). Оценить вероятность того, что ошиб-

ка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет 1°.

Ответ: P(X ≤ 60)≥ 0,917 .

9.7.Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 50 мм. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,2 мм. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 мм.

Ответ: P ≥ 0,75.

9.8.За значение некоторой величины принимают среднеарифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,5 мм.

Ответ: P ≥ 0,9 .

9.9.Среднее квадратическое отклонение каждой из 450 000 независимых случайных величин не превосходит 10. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднеарифметической этих случайных величин от среднеарифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,02.

Ответ: P ≥ 94 .

9.10.мкость изготовляемого заводом конденсатора по техническим условиям должна быть равной 2 мкф с разрешенным допуском ± 0,1 мкф. Завод до-

бился средней емкости, равной 2 мкф, с дисперсией, равной 0,002 мкф2 . Какой

123

процент составляет вероятный брак при изготовлении конденсаторов? Расчет произвести по неравенству Чебышева и формуле Лапласа.

Ответ: P ≤ 0,2, P ≈ 0,03.

9.11Выборочным путем требуется определить средний рост мужчин двадцатилетнего возраста. Какое количество мужчин, отобранных случайным образом, нужно измерить, чтобы с вероятностью, превышающей 0,98, можно было утверждать, что средний рост у отобранной группы будет отличаться от среднего роста всех двадцатилетних мужчин по абсолютной величине не более чем на 1 см. Известно, что среднеквадратичное отклонение роста для каждого мужчины из отобранной группы не превышает 5 см.

Ответ: n ≥1250 .

9.12Технический контролер проверяет партию однотипных приборов.

Свероятностью 0,01 прибор имеет дефект А и, независимо от этого, с вероятностью 0,02 — дефект В. В каких границах будет заключено практически наверняка число бракованных изделий в партии из 1000 шт., если за вероятность практической достоверности принимается 0,997?

Ответ: 0 < m <128 .

9.13Оценить вероятность того, что в партии из 5000 изделий отклонение частости бракованных деталей от вероятности 0,02 быть бракованной деталью превысит 0,01.

Ответ: P ≤ 0,039.

9.14Вероятность изготовления нестандартной радиолампы равна 0,04. Какое наименьшее число радиоламп следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что доля нестандартных радиоламп будет отличаться от вероятности изготовления нестандартной радиолампы по абсолютной величине не более чем на 0,02?

Ответ: n =800 .

9.15В рассматриваемом технологическом процессе в среднем 75 % изделий имеет допуск ± 5 %. Какое число изделий из партии в 200 000 шт. с вероятностью 0,99 можно планировать с допуском ± 5 %?

Ответ: 50 000 ±1936 .

9.16Произведено 500 независимых испытаний; в 200 из них вероятность появления события А была равна 0,4, в 180 — 0,5 и в 120 — 0,6. Оценить снизу

124

вероятность того, что отклонение частости от средней вероятности не превысит по абсолютной величине 0,05.

Ответ: P ≥ 0,807 .

9.17Стрельба ведется поочередно из трех орудий. Вероятности попадания

вцель при одном выстреле из каждого орудия равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Оценить снизу вероятность того, что отклонение частости от средней вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,05.

Ответ: P ≥ 193225 .

9.18 Из 5000 произведенных испытаний в 2000 вероятность появления события А равна 0,2, в 1400 — 0,5 и в 1600 — 0,6. Найти границы, в которых должна находиться частость появления события А, если это необходимо гарантировать с вероятностью 0,95.

Ответ: 0,383 ≤ mn ≤ 0,441.

9.19Геодезические измерения показали, что расстояние между двумя пунктами равно в среднем 1000 м при среднем квадратическом отклонении, равном 2 м. Какова вероятность того, что это расстояние не более 1005 м? В каких границах будет заключено это расстояние с вероятностью 0,995?

Ответ: Р = 0,99379; (997,2;1002,8).

10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов

Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называется функцией случайного аргумента Х и записывается Y = ϕ(X ).

Если Х — дискретная случайная величина и функция Y = ϕ(X ) монотонна, то различным значениям Х соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений Х и Y одинаковы:

yi = ϕ(xi ) и P(Y = yi )= P(X = xi ).

Если же Y = ϕ(X ) немотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y. В этом случае для отыскания вероят-

125

ностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения.

Пример 10.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

2

3

5

7

Р

0,3

0,2

0,1

0,4

Найти закон распределения случайной величины Y, равной 2Х. Решение. Находим возможные значения Y:

Y1 = 2x1 = 2 2 = 4 ; Y2 = 2x2 = 2 3 = 6 ;Y3 = 2x3 = 2 5 =10 ; Y4 = 2x4 =14 .

Так как функция ϕ(x) монотонна, то вероятности P(yi )= P(xi ), т.е.

P(Y = 4)= P(X = 2)= 0,3; P(Y = 6)= P(X =3)= 0,2 ;

P(Y =10)= P(X =5)= 0,1; P(Y =14)= P(X = 7)= 0,4.

Запишем искомый закон распределения Y

Y

4

6

10

14

Р

0,3

0,2

0,1

0,4

Пример 10.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

–3

–2

–1

0

1

2

Р

0,1

0,2

0,2

0,1

0,3

0,1

Найти закон распределения случайной величины Y = X 2 .

Решение. Находим возможные значения случайной величины Y = X 2 :

Y = (−3)2 =9 ; Y = (− 2)2 = 4; Y = (−1)2 =1; Y = 02 = 0 ; Y =12 =1;

1

2

3

4

5

Y = 22

= 4. Значения Y =9 и Y = 0 встречаются только по одному разу, а зна-

6

1

4

чения Y2 =Y6 = 4 совпадают,

поэтому вероятность того, что Y = 4 , будет равна

сумме

вероятностей 0,2 +

0,1 = 0,3.

Аналогично, Y3 =Y5 =1,

поэтому

P(Y =1)= 0,2 + 0,3 = 0,5 .

Напишем искомый закон распределения Y, расположив значения Y в порядке возрастания

126

Y

0

1

4

9

Р

0,1

0,5

0,3

0,1

Если Х — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f (x), и если y = ϕ(x) — дифференцируемая строго монотонная функ-

ция, обратная функция которой x = ш(y), то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства

g(y)= f (ψ(y)) ψ′(y) .

Если функция y = ϕ(x) в интервале возможных значений Х не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция ϕ(x) монотонна, и найти плотности распределения gi (y) для каждого интервала монотонности, а затем представить g(y) в виде суммы

g(y)= ∑gi (y).

Пример 10.3. Задана плотность распределения f (x) случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале (a, b). Найти плотность распределения случайной величины Y =3X .

Решение. Так как функция y =3x дифференцируемая и строго возрастает, то применима формула g(y)= f (ψ(y)) ψ′(y) , где ψ(y) — функция, обратная функции y =3x .

y

y

1

Находим ψ(y): ψ(y)= x =

. Тогда

f (ψ(y))= f

,

′

=

. Искомая

3

3

3

плотность распределения g(y)= 13 f 3y . Так как х изменяется в интервале (a, b)

и у = 3х, то 3a < y <3b .

y

Ответ: g(y)= 1 f

,

y (3a, 3b).

3 3

Пример 10.4. Случайная величина Х распределена по закону Коши

f (x)=

1

π(1 + x2 ).

Найти плотность распределения случайной величины Y = X 3 + 2 .

Решение. Функция

y = x3 + 2

монотонно возрастающая при всех

x (− ∞; + ∞). Находим обратную функцию ψ(y): ψ(y)= x = 3 y − 2 . Тогда

127

f (ψ(y))=

1

, ψ′(y)=

1

,

ψ′(y)

=

1

.

π

+3

(y

−

2

33

(y − 2)2

33 (y − 2)2

1

2)

Следовательно,

g(y)= f (ψ(y))

ψ′(y)

=

1

1

=

1

.

3

2

3

2

2

4

π 1+

(y −2)

3 (y −

2)

3π 3 (y −2) +3

(y −2)

Ответ: g(y)=

1

.

3π 3

(y − 2)2 + 3 (y − 2)4

f (x)=

1

e−

x2

Пример 10.5. Задана плотность

2

нормально распределенной

2π

случайной величины Х. Найти плотность распределения g(y)случайной вели-

чины Y = X 2 .

Решение. Так как в интервале (− ∞; + ∞) функция y = x2

не монотонна, то

разобъем этот интервал на интервалы (− ∞; 0)и (0; + ∞), в которых она моно-

тонна. В интервале (− ∞; 0)обратная функция ψ1(y)= −

y , в интервале (0; + ∞)

ψ2 (y)= y ,

ψ1′(y)

=

ψ2′(y)

=

1

, f (ψ1(y))=

1

e−

y

, f (ψ2

(y))=

1

e−

y

.

2

2

2 y

2π

2π

Искомую плотность распределения находим из равенства

g(y)= f (ψ (y))

ψ ′(y)

+ f (ψ

(y))

ψ ′(y)

,

1

1

2

2

g(y)=

1

e−

y

1

1

e−

y

1

1

e−

y

+

=

.

2

2

2

2π

2 y

2π

y

2

2π y

Так как y = x2 , причем − ∞ < x < +∞, то 0 < y < ∞. Таким образом, в интер-

вале (0; + ∞) искомая плотность распределения g(y)=

1

e−

y

2 , вне этого ин-

2πy

тервала g(y)= 0.

1

e−

y

Ответ: g(y)=

при y (0; + ∞),

g(y)= 0 при y (− ∞; 0).

2

2πy

Задачи для самостоятельного решения

10.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

128

Найти закон распределения случайной величины Y =3X .

Ответ:

10.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти закон распределения случайной величины Y = 2X +1.

Ответ:

10.3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

–1

–2

–1

2

Р

0,3

0,1

0,2

0,4

Найти закон распределения случайной величины Y = X 2 .

Ответ:

10.4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

π

π

3π

4

2

4

Р

0,2

0,7

0,1

Найти закон распределения случайной величины Y =sin X .

Ответ:

129

Y

1

1

2

Р

0,3

0,7

10.5. Задана плотность распределения

f (x) случайной величины Х, воз-

можные значения которой заключены в интервале (0; ∞). Найти плотность рас-

пределения

g(y) случайной

величины

Y ,

если а) Y = e−X ; б) Y = ln X;

в) Y = X 3; г) Y =

1

; д)

Y = X .

X 2

1

g(y)= ey f (ey ), y (− ∞; ∞);

Ответ:

а)

g(y)=

f ln

1

,

y (0;1);

б)

y

y

1

f (3 y), y (0; + ∞); г) g(y)=

в) g(y)=

1

f

1

,

y (0; + ∞);

33 y2

2y y

y

д) g(y)= 2yf (y2), y (0; + ∞).

10.6. Задана плотность распределения

f (x) случайной величины Х, воз-

можные значения которой заключены в интервале (− ∞; ∞). Найти плотность

распределения g(y)

случайной

величины

Y,

если

а)

Y = X 2; б) Y = e−X 2 ;

в) Y =

X

; г) Y = arctgX ; д) Y =

1

.

1 + X 2

Ответ: а) g(y)=

1

(f (

y)+ f (−

y)),

y (0; + ∞) ;

2

y

б) g(y)=

1

1

y (0;1);

,

1

ln

f

y + f (− ln y )

2y

ln

y

в) g(y)= f (y)+ f (− y), y (0; + ∞);

г) g(y)=

1

f (tgy),

π

π

y

−

;

;

cos2 y

2

2

д) g(y)=

1

1

1

−

+

−1

y (0;1).

1

f

y

1

f −

y

,

2y2

−1

y

130

10.7. Задана плотность распределения f (x)=

1

e−

x2

2 нормально распре-

2π

деленной случайной величины Х. Найти плотность распределения случайной

величины Y = 1 X 2 .

2

1

Ответ: g(y)=

e−y в интервале (0; ∞) ; вне этого интервала g(y)= 0.

πy

10.8. Задана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y =3X + 2.

Ответ: G(y)= F y − 2 .3

10.9. Задана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y = −23 X + 2.

3(2 − y)

Ответ: G(y)=1 − F

.

2

10.10. Задана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти

функцию распределения G(y) случайной

величины Y, если а) Y = 4X + 6;

б) Y = −5X +1; в) Y = aX + b.

y − 6

1 − y

Ответ: а) G(y)= F

; б) G(y)=1

− F

;

4

5

y −b

y −b

в) G(y)= F

при a > 0, G(y)=1 − F

при a < 0 .

a

a

Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных случайных величин Х и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Х и Y и пишут

Z = ϕ(X , Y ).

Если Х и Y −дискретные независимые случайные величины, то для нахождения распределения функции Z = ϕ(X , Y ), надо найти все возможные значе-

ния Z , для чего достаточно для каждого возможного значения Х, равного xi , и каждого возможного значения Y, равного yj , вычислить значение Z, равное

131

zij = ϕ(xi , y j ). Вероятности найденных возможных значений Z равны произведениям вероятностей P(X = xi ) и P(Y = x j ).

Пример 10.6. Дискретные независимые случайные величины Х и Y заданы распределениями:

Х

–2

–1

3

4

Р

0,3

0,1

0,5

0,1

Y

1

2

3

Р

0,4

0,1

0,5

Найти распределения случайных величин:

а)

Z = X +Y;

б) Z = 2X −Y;

в) Z = XY; г) Z = XY 2.

Решение. Для того чтобы составить указанные распределения величины

Z, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Все вычисления

поместим в таблицу

P(Z)= P(X)P(Y)

Х

Y

Z = X +Y

Z = 2X −Y

Z = XY

Z = XY 2

–2

1

–1

–5

–2

–2

0,3 · 0,4 = 0,12

–2

2

0

–6

–4

–8

0,3 · 0,1 = 0,03

–2

3

1

–7

–6

–18

0,3 · 0,5 = 0,15

–1

1

0

–3

–1

–1

0,1 · 0,4 = 0,04

–1

2

1

–4

–2

–4

0,1 · 0,1 = 0,01

–1

3

2

–5

–3

–9

0,1 · 0,5 = 0,05

3

1

4

5

3

3

0,5 · 0,4 = 0,20

3

2

5

4

6

12

0,5 · 0,1 = 0,05

3

3

6

3

9

27

0,5 · 0,5 = 0,25

4

1

5

7

4

4

0,1 · 0,4 = 0,04

4

2

6

6

8

16

0,1 · 0,1 = 0,01

4

3

7

5

12

36

0,1 · 0,5 = 0,05

1,00

Объединив одинаковые значения Z и расположив их в порядке возраста-

ния, получим следующие распределения:

а)

Z = X +Y

–1

0

1

2

4

5

6

7

P

0,12

0,07

0,16

0,05

0,20

0,09

0,26

0,05

132

б)

Z = 2X −Y

–7

–6

–5

–4

–3

3

4

5

6

7

P

0,15

0,03

0,17

0,01

0,04

0,25

0,05

0,25

0,01

0,04

в)

Z = XY

–6

–4

–3

–2

–1

3

4

6

8

9

12

P

0,15

0,03

0,05

0,13

0,04

0,20

0,04

0,05

0,01

0,25

0,05

г)

Z = XY 2

–18

–9

–8

–4

–2

–1

3

4

12

16

27

36

P

0,15

0,05

0,03

0,01

0,12

0,04

0,2

0,04

0,05

0,01

0,25

0,05

Если Х и Y непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения g(z) суммы Z = X +Y (при условии, что плотность распределе-

ния хотя бы одного из аргументов задана в интервале (− ∞; + ∞) одной формулой) может быть найдена по формуле

g(z)= +∫∞f1(x)f2(z − x)dx,

−∞

либо по равносильной формуле

g(z)= +∫∞f1(z − y)f2(y)dy,

−∞

где f1 и f2 — плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z = X +Y находят по формуле

g(z)= ∫z f1(x)f2(z − x)dx,

0

либо по равносильной формуле

g(z)= ∫z f1(z − y)f2(y)dy.

0

В том случае, когда обе плотности f1(x) и f2 (y) заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности g(z) величины Z = X +Y целесообразно сначала найти функцию распределения G(z), а затем продифференцировать ее по Z

g(z)=G′(z).

133

Если Х и Y — независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения f1(x) и f2 (y), то вероятность попадания

случайной точки (X , Y ) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения

P((X , Y ) D)= ∫∫ f1(x)f2(y)dx dy.

D

Пример 10.7. Независимые нормально распределенные случайные величины

(x)=

1

e−

x 2

(y)=

1

e−

y 2

Х и

Y заданы плотностями распределений f

1

2 ,

f

2

2 .

2π

2π

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X +Y.

Решение. Используем формулу g(z)= +∫∞f1(x)f2(z − x)dx. Тогда

−∞

+∞

x2

(z −x)2

+∞

x2

z2

x2

g(z)=

1

∫

e−

e−

2 dx =

1

∫

e−

e−

ezxe−

dx =

2

2

2

2

2π

2π

−∞

−∞

z

2

+∞

z

2

+∞

2

z

2

z

2

1

−

1

−

− x

−xz +

+

=

e

2

∫

e−(x2 −xz)dx =

e

2 ∫

e

4

4 dx =

2π

−∞

2π

−∞

1

−

z

2

−

z2 +∞

−

(z −x)2

z

1

−

z2

+∞

−t

2

=

2π

e

2 e

2 ∫

e

2

d x

−

=

2π

e

4

∫ e

dt =

−∞

2

−∞

=

1

e−

z2

π =

1

e−

z2

.

4

4

2π

2

π

Ответ: g(x)=

1

e−

z2

4

.

2

π

Пример 10.8. Заданы плотности распределения независимых равномерно

распределенных случайных величин Х и Y :

f1(x)=

1

в интервале (0; 2), вне

f2 (y)= 1

2

этого интервала

f1(x)= 0 ,

в интервале (0;

3),

вне этого интервала

3

f2 (y)= 0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X +Y. Построить график распределения g(z).

134

ODE = 16 12 z2 =121 z2.

Решение. По условию, возможные значения Х определяются неравенством 0 < x < 2, Y — неравенством 0 < y <3. Отсюда следует, что возможные случай-

ные точки (X ; Y ) расположены в прямоугольнике ОАВС (рис. 10.1).

У

3

А

М

В

F

N

D

К

С

0

z

Е 2

Х

Рис. 10.1

Неравенствуx + y <z удовлетворяют те точки (x; y) плоскости XOY, которые лежат ниже прямой Z = X +Y; если же брать только возможные значения х

иу, то неравенство x + y < z выполняется только для точек, лежащих в прямоугольнике ОАВС ниже прямой x + y = z. С другой стороны, так как величины Х

иY независимы, то

G(z)=

∫∫

f (x)f

2

(y)dx dy = 1

∫∫

dx dy = 1 S,

1

6

6

(S)

(S )

где S — величина той части площади прямоугольника ОАВС, которая лежит ниже прямой x + y = z. Величина этой площади зависит от значения z.

Если z ≤ 0, то S = 0, т.е. G(z)= 0. Если z (0; 2], то G(z)= 16 S

Если z (2; 3], то G(z)=

1

1 OF + KC

1 z + z −2

Sтр.OFKС =

OC

=

2

=

6

2

2

1

6

6

=

(z −1).

3

1 SOAMNC

= 1

(6 − SMNB )= 1

6 − 1

− z)2

Если z (3; 5], то G(z)=

(5

=

1

(5 − z)2.

6

6

6

2

=1

−

12

Если z >5, то G(z)= 16 6 =1.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

135

0 при z ≤ 0,

1 (z −

1) при z (0; 2],

2

G(z)= 1 (z −1) при z (2; 3],

3

1 −

1

(5 − z)2 при z (3; 5],

12

z >5.

1 при

Найдем плотность распределения

0 при z ≤ 0,

z

при z (0; 2],

6

g(z)=

1

при z (2; 3],

3

16 (5 − z) при z (3; 5],

0 при z >5.

Построим график этой функции (рис. 10.2)

g(z)

1

3

0

1

2

3

4

5

z

Рис. 10.2

136

Задачи для самостоятельного решения

10.11. Дискретные независимые случайные величины Х и Y заданы распределениями:

Найти распределение случайной величины Z = X +Y.

Ответ:

10.12. Дискретные случайные величины Х и Y заданы распределениями:

Найти распределение случайной величины Z = X +Y .

Ответ: а)

Z

11

12

13

14

17

18

Р

0,08

0,32

0,02

0,08

0,10

0,40

б)

Z

5

11

17

Р

0,56

0,38

0,06

10.13. Независимые случайные величины Х и Y заданы плотностями рас-

пределений:

f (x)= e−x

(0 ≤ x < ∞),

f

2

(y)=

1

e−y / 2

(0 ≤ y < ∞). Найти компо-

1

2

зицию этих

законов,

т.е. плотность

распределения случайной величины

Z = X +Y .

Ответ: g(z)= e−z / 2 (1 − e−z / 2 )при z ≥ 0 , 0 при z < 0.

137

10.14. Независимые случайные величины Х и Y заданы плотностями рас-

пределений: f (x)= 1 e−x / 3

(0 ≤ x < ∞),

f

2

(y)= 1 e− y / 5

(0 ≤ y < ∞). Найти плот-

1

3

5

ность случайной величины Z = X +Y.

Ответ: g(z)= 0 при z < 0,

g(z)= 1 e−z / 5 (1 − e−2z /15 )при z ≥ 0.

2

10.15. Заданы плотности равномерно распределенных независимых слу-

чайных величин

Х и Y :

f1

(x)=1 в

интервале (0;1), вне этого интервала

f1(x)= 0 , f2 (y)=1

в

интервале (0;1),

вне

этого интервала

f2(y)= 0. Найти

функцию распределения и плотность случайной величины Z = X +Y.

0

при z ≤ 0,

z

2

при z (0;1],

0

при z ≤ 0,

при 0 < z ≤1,

Ответ: G(z)

2

z

=

(2 − z)2

g(z)=

− z при

1< z ≤ 2,

1

−

2

2

при z (1; 2],

при z > 2.

0

при z > 2.

1

10.16. Заданы плотности распределения равномерно распределенных неза-

висимых случайных величин Х и Y : f1(x)= 12 в интервале (1; 3), вне этого ин-

тервала

f (x)= 0,

f

2

(y)= 1

в интервале (2; 6), вне этого интервала

f

2

(y)= 0.

1

4

Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величи-

ны Z = X +Y. Построить график плотности распределения g(z).

0

при z ≤3,

0

при z ≤ 0,

2

−3

(z −3)

при 3 < z ≤5,

z

при 3

< z ≤5,

8

16

g(z)=

1

Ответ: G(z)=

z

−1при 5 < z ≤ 7,

при 5 < z ≤ 7,

4

(9 − z)2

4

9 − z

при 7

< z ≤9,

1

−

при 7 < z ≤9,

16

8

при z >9.

1

при z >9.

0

138

Источник

.3Тогда. Предположим, что выполненоусловие Ляпунова1 n3Μ ξ k (ω) n→0 .3 ¦→∞Βn k =1Воспользуемся неравенством Ляпунова для математического ожидания(Μ ξ (ω) ) ≤ (Μ ξ (ω) ) , 0 < s < t ,k1s stk1tиз которого вытекает, что()3σ3k = Μξ k2 (ω) 2 ≤ Μ ξ k (ω) ,3и поэтому11 n 33maxσ≤→ 0 .¦ σ k nk→∞Βn3 k ≤ nΒn3 k =1Но т.к. σ k < Βn , k = 1, n , то1max σ k2 n→ 0 ,2 k ≤n→∞Βnа из этого соотношения следует условие Линдеберга, т.е.

в данномслучае справедлива центральная предельная теорема.Нужно отметить, что если все ξ k (ω) , k = 1, 2 , .. , независимы и114одинаково распределены,Линдеберга также выполняется и, k = 1, 2, … , то условие.Практический смысл центральной предельной теоремы состоитв следующем: если некоторый процесс происходит под воздействиембольшого числа независимо действующих случайных факторов, каждый из которых лишь очень мало изменяет ход процесса, то распределение суммарного действия этих случайных факторов можно оченьблизко аппроксимировать нормальным законом.Пример 10.4.

Нагрузка потребительской сети (телефонной, информационной, электрической и т.п.) в данный момент времени является результатом суммирования большого числа элементарных нагрузок, вносимых индивидуальными потребителями. Поскольку случайности, определяющиеповедение потребителей, естественно считать½D­x k (ω)n =ξs (2ω<) −Ґ na2¦kx − t суммирование большого числа незавинезависимыми,тоимеет° k =1°1 место°°2P ®ω :dt< x ¾пренебрежимоn→³ e влияющих→∞CB,на сумму.

Различные статиnσ симых2π −мало∞°°стические °°¯¿исследования подтверждают нормальный закон нагрузки.Пример 10.5. Всякое измерение неизбежно сопряжено с погрешностями; систематические погрешности можно устранить, случайныеже ошибки измерения полностью никогда не могут быть устранены.Случайная погрешность измерения вызывается многими причинами,каждая из которых лишь незначительно влияет на результат. Каждаяиз причин порождает свою, так называемую элементарную, погрешность измерения. Например, при взвешивании некоторого тела наточных весах случайная ошибка в определении его веса складывается из элементарных погрешностей, вызываемых атмосферными причинами (колебаниями плотности температуры, влажности воздуха,воздушными потоками); попаданием на чаши весов пылинок; неточностями, допущенными измерителем при снятии показаний со шка-115лы весов; незначительными вибрациями основания весов (которые всвою очередь могут вызываться многими причинами) и т.п.

Реальнонаблюдаемая случайная погрешность измерения есть сумма элементарных погрешностей. Так как количество элементарных погрешностей велико, и роль каждой из них в образовании случайной погрешности измерения мала, то в силу теоремы Ляпунова случайная погрешность измерения должна быть распределена приближенно понормальному закону.Опыт показывает, что наблюдающиеся распределения вероятностей случайных ошибок измерения очень хорошо согласуются с нормальным законом. Итак, при прямых измерениях случайная погрешность измерения распределена по закону, близкому к нормальному.Пример 10.6.

Дано 5000 независимых одинаково распределенных CB с дисперсией 50. Найти вероятность того, что среднее арифметическое этих CB отклонится от своего математического ожидания не более, чем на ∆ = 0.,12 .Решение. Пусть, Dξ k (ω) = σ 2 . Тогда искомая вероятность равнаn½­ξ k (ω) − a¦°°n½­ 1σ k =1°°P = P ®ω : ¦ ξ k (ω) − a ≤ ∆ ¾ = P ®ω :≤ ∆¾ =nσ n¿¯ n k =1°°°°¿¯n­ξ (ω) − a¦°n° k =1 k= P ®ω :≤σσ n°°¯½°§ n ·§§ n ·n ·¸°∆ ¸¸ − Φ¨¨ −∆ ¸ = 2Φ¨¨∆ ¾ ≈ Φ¨¨∆ ¸¸,σσσ°©¹©¹©¹°¿t21 x −2где Φ( x ) =³ e dt . Подставляя значения n = 5000 , σ = 50 ,2π 0∆ = 0,12 , получаем.116Задачи10.1.Данапоследовательность{ξ k (ω), k = 1, 2, …}, причемнезависимыхCB1­°− k с вероятностью k ,°1°ξ k (ω) = ® k с вероятностью ,k°2°°0 c вероятностью 1 − k .¯Выполняется ли для нее закон больших чисел?10.2. Дана последовательность независимыхCB{ξk (ω), k = 1, 2, …}, при этом Μξk (ω) = 0 , Dξ k (ω) = k , α < 1 .

Выполняется ли для нее закон больших чисел?α10.3. Независимые CB{ξ.a−ξ1k((k(kωω(ω1)))), ξ 2 (ω) ,… имеют нормальное распре-деление и Μξ k (ω) = 0 , Dξ k (ω) = ck α , c > 0 , α ≥ 0 . При каких пос= 1 ледовательность2 }этих величин удовлетворяет закону больших чисел?10.4. CBпринимает значения−k ,, 1 ,…, (k-1) , k ,,…, − 1 ,при этом12§11 ·P{ω : ξ k (ω) = 0} = 1 − ¨1 + 3 + … + 3 ¸ , P{ω : ξ k (ω) = i} = 3 , i = 1, k .3© 2k ¹2iУдовлетворяет ли последовательность {ξ k (ω), k = 1, 2 , …} закону больших чисел?10.5. CB ξ k (ω) принимает значения − k ,P{ω : ξ k (ω) = k } =, k , при этом1, k = 1, 2 , …

.k3Удовлетворяет ли последовательностьших чисел?117закону боль-10.6. Последовательность независимых CB {ξ k (ω), k = 1, 2 , …}задана законом распределенияξk(ω)Pa−ann +12n + 12n + 1Удовлетворяет ли она закону больших чисел?10.7. Дана последовательность независимых CB ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,…,при этомx1 1+ arctg , k = 1, 2, … .a2 ρМожно ли применить к этой последовательности теорему Хинчина?Fξ k (x ) =10.8. Пусть– последовательность независимыхCB, причем ξ k (ω) принимает значения 2 k и − 2 k с вероятностями1.2Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?10.9.

Пусть ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,… – последовательность независимыхCB. В случае, когда k – точный квадрат, ξ k (ω) принимает значения− k,k с вероятностью1каждое; при остальных k ξ k (ω) при21каждое. Применим ли2к этой последовательности закон больших чисел?10.10. Среднее значение скорости ветра у земли в данном пункте равна 10 км/ч.

Оценить вероятность того, что в этом пункте скорость ветра при одном наблюдении не превысит 80 км/ч.10.11. Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения курса самолета σ = 3 . Среднее значение ошибки измерения равно нулю.Оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курсасамолета будет более 4 .нимает значения − 2 − k , 2 − k с вероятностью11810.12. ЭВМ вырабатывает случайные двоичные числа так, чтознаки 0 и 1 на каждой позиции появляются с одинаковой вероятностью и независимо от других позиций. Последовательность знаковделится на группы, состоящие из одинаковых знаков, например,001101001110 . Подсчитывается число знаков в каждой группе и делится на число групп. Как будет себя вести эта средняя величина принеограниченном увеличении числа групп n ?10.13.

Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равна 30′, а математическое ожидание равно нулю. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет .10.14. Нужно сделать 10 измерений x1 , x2 ,…, x10 неизвестнойвеличины a . Будем считать их независимыми и.

Подобрать ∆ так, чтобы.10.15. Проводятся n независимых измерений некоторой неизвестной величины . Ошибки измерений , δ 2 ,…, δ n – CB, Μδ k = 0 ,an.»σDP=10δx1in­Dηη~N1(1a, 0.01)½1η¦xδk k−Daδ≤k =∆ ¾σ 2≥, 0k,99= 1, n . За значение величины a примем среднее арифмеPn® = ¦n¯ 10 kk=1=1 тическое¿ результатов измерений, тогда ошибка для будет равна.Оценить количество измерений n , при которых ошибкаше ∆ с достаточно большой вероятностьюда P = 0,99 , ∆ = 0,1 ,. Может либудет не боль-.

Рассмотрим случай, когбыть меньше, чем?10.16. Можно ли принять величину1 n2¦ (ξ k (ω) − a )n k =1в качестве приближенного значения дисперсии ошибок прибора, еслиsn2 =ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,…, ξ n (ω) – независимые измерения постоянной величины a , имеющие одинаковые ф.р.?11910.17. Пусть, ξ 2 (ω) ,… – последовательность независимыходинаково распределенных невырожденных CB, Dξ k (ω) < ∞ ,k = 1, 2 , … ,.

Доказать, что для лю-бых конечных чисел a иlim P{ω : a ≤ ηn (ω) ≤ b} = 0 .n →∞10.18. Пусть ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,… – последовательность независимыходинаково распределенных CB, Μξ k (ω) = 0 , Dξ k (ω) < ∞ , k = 1, 2 , … ,. Найти Dξ k (ω) , если­ η (ω) ½ 1lim P ®ω : n> 1¾ = .n¯¿ 310.19.

Будет ли выполняться центральная предельная теорема дляn →∞последовательности независимых CB ξ1 (ω) , ξ 2 (ω) ,… с распределениями, задаваемыми следующим образом:{}а) P ω : ξ k (ω) = ±2 k =1;211−1 −б) P{ω : ξ k (ω) = ± k } = k 2 , P{ω : ξ k (ω) = 0} = 1 − k 2 .210.20. CB η(ω) является средним арифметическим одинаковораспределенных ошибок независимых измерений некоторой величины, дисперсия каждой из которых равна 5. Сколько нужно сделатьизмерений, чтобы CB η(ω) с вероятностью, не меньшей 0,9973 , име-ла отклонение от своего среднего значения, не превосходящее 0,01 ?10.21. Для предыдущей задачи известно, что ошибки измеренийявляются независимыми одинаково распределенными случайнымивеличинами с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией,равной 2.

Произведено 3000 независимых измерений. Найти вероят-ность того, что η(ω) примет значение в промежутке (2, 3) .12010.22. В задаче 10.20 известно, что среднее квадратичное отклонение каждой из ошибок равно 2; произведено 10000 независимых измерений. Какое максимальное отклонение величины η(ω)от ее среднего значения можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9544 ?10.23.

Для измерения некоторой величины с помощью прибора,лишенного систематической ошибки, но имеющего случайные с дисперсией σ 2 = 0,22 , сделано 100 независимых измерений. Найти вероятность того, что среднее арифметическое результатов отклонитсяот истинной величины больше, чем на 0,05.10.24. Производится выборочное обследование партии электролампочек для определения средней продолжительности их горения.Каков должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99 , утверждать, что средняя продолжительность горения лампочки по всей партии отклонится от средней, полученной в выборке,не более чем на 100 часов, если среднее квадратичное отклонениепродолжительности горения лампочки равно 200 часов?10.25.

В условиях предыдущей задачи найти наименьшее числоламп, которые нужно взять для обследования, чтобы с вероятностью0,99 утверждать, что средняя продолжительность горения лампы вовсей партии отклонится от полученной в выборке не более чем на 50часов.10.26. Для определения средней продолжительности работы некоторого прибора из данной партии выбирают наугад 100 штук.

Источник

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Ваш е-мэйл

Заполните, если хотите получить ответ

Оцените наш проект

1

2

3

4

5

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Алгебра
Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Решение задачи
Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того 18 февраля 2021
Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Выполнен, номер заказа №16224
Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Прошла проверку преподавателем МГУ
Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того  245 руб. 

Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того

Напишите мне в чат, пришлите ссылку на эту страницу в чат, оплатите и получите файл!

Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того

Закажите у меня новую работу, просто написав мне в чат!

Описание заказа и 38% решения ( + фото):

Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического 3 независимых измерений не превзойдет 1°.

Решение

Оценим, сперва, вероятность того, что ошибка среднего арифметического одного измерения не превзойдет 1°. Неравенство Чебышева:  Тогда при  получим:  Найдем вероятность события 𝐴 − ошибка среднего арифметического 3 независимых измерений не превзойдет 1°. Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая Ответ:

Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того

Похожие готовые решения по алгебре:

  • Для определения средней урожайности на участке площадью в 1800 га взято на выборку по 1 м2 с каждого гектара
  • В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна
  • Устройство состоит из 60 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время T равна
  • В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули (с возвращением) 50 шаров. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того
  • Монета бросается 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты появления «герба» от 1/2 меньше
  • Принимая вероятность вызревания кукурузного стебля с 3 початками равной 0,75, оценить с помощью неравенства
  • Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках, изготовленных для обточки, равна 0,2. Оценить
  • Дисперсия каждой из 4500 независимых, одинаково распределенных случайных величин равна 5. Найти вероятность
  • Преподаватель на экзамене задает студенту дополнительные вопросы. Он прекращает задавать вопросы, как только студент
  • Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений с вероятностями соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины
  • Для определения средней урожайности на участке площадью в 1800 га взято на выборку по 1 м2 с каждого гектара
  • задан закон распределения дискретной случайной величины Найти интегральную функцию распределения математическое
Источник

  • Среднее арифметическое ошибка среднего арифметического
  • Срединная ошибка через среднеквадратичное отклонение
  • Срединная ошибка измерения дальности
  • Средиземье тени мордора ошибка
  • Среди трех чисел найти среднее если среди чисел есть равные вывести сообщение ошибка python