Тавтология это ошибка или нет

Всего найдено: 90

Здравствуйте! Является ли выражение «приводит к выводу» тавтологией?

Ответ справочной службы русского языка

Слова приводит и вывод однокоренные, поэтому сочетание их можно считать тавтологией. Однако нужно иметь в виду, что термин тавтология имеет несколько разных осмыслений. Ваш вопрос, вероятно, в том, является ли это сочетание лексической ошибкой. Полагаем, что ошибки в нем нет. В слове вывод в значении ‘итог рассуждения, умозаключение’ корень —вод— затемнен, поэтому в словах приводит и вывод общий элемент смысла не осознается и не мешает их соединению в одной фразе. Сочетание встречается на страницах научных изданий.

Здравствуйте, хочу узнать «полностью завершить» — это тавтология или нет?

Ответ справочной службы русского языка

Сочетание корректно, хотя возможен контекст, в котором оно будет восприниматься как избыточное.

Здравствуйте! Прошу ответить на вопрос: «чужеземная земля» — это тавтология?

Ответ справочной службы русского языка

Верно, это тавтология.

Добрый день! Подскажите, пожалуйста, окружающий вокруг-это плеоназм?

Ответ справочной службы русского языка

Правильнее сказать, что это тавтология. Тавтология (от греч. tauto – то же самое + …логия) – это употребление в пределах одного или соседних предложений однокоренных или близких по звучанию слов. Плеоназм [от греч. pleonasmós – излишество] – это повтор смыслов, выраженных разнокорневыми словами. Окружающий вокруг – это тавтология, а, например, памятный сувенир – это плеоназм.

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, можно ли считать тавтологией повторение местоимения «тебя» в следующем предложении: «Хочу, чтобы в твоей жизни появился человек, который одарит ТЕБЯ любовью и сделает ТЕБЯ счастливой». Существует ли правило в русском языке, которое объясняет необходимость многократного употребления местоимения в данном случае? Буду благодарен за объяснение.

Ответ справочной службы русского языка

Специального правила о местоимениях нет. Тавтологию (употребление однокоренных слов) обычно отличают от лексического повтора (повтора одного и того же слова). В Вашем предложении тавтологией можно назвать встречу местоимений твой и тебя. Дважды употребленное тебя — это лексический повтор. Не всегда лексический повтор или тавтология ошибочны. Из Вашего предложения вполне можно убрать повтор, а местоимения твой и тебя слух не режут, их можно оставить: Хочу, чтобы в твоей жизни появился человек, который одарит тебя любовью и сделает счастливой.

Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, в чём разница между тавтологией и плеоназмом? Заранее спасибо!

Ответ справочной службы русского языка

Эти термины обозначают речевую избыточность. Тавтология (от греч. tauto – то же самое + …логия) – это употребление в пределах одного или соседних предложений однокоренных или близких по звучанию слов. Плеоназм [от греч. pleonasmós – излишество] – это повтор смыслов, выраженных разнокорневыми словами. Спросить вопрос – это тавтология, памятный сувенир – это плеоназм. Если тавтология и плеоназм используются намеренно для создания какого-то стилистического эффекта, то их нужно считать средствами художественной выразительности (Искатель новых впечатлений, Я вас бежал, отечески края; Я вас бежал, питомцы наслаждений, Минутной младости минутные друзья… [А. С. Пушкин]). Если повторы непреднамеренные, не оправданные стилистическим контекстом, то это речевые ошибки (Новое оборудование нужно использовать с большей пользой).

Здравствуйте. Допустимо ли говорить «ДТП произошло»? Получается аналогия с «СD-диском». Не является ли это тавтологией?

Ответ справочной службы русского языка

Это тавтология (происшествие произошло), однако ошибкой такое сочетание не является.

московские ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ДИАМЕТРЫ — разве это не тавтология?

Ответ справочной службы русского языка

Учитывая, что диаметр — это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, сочетание, названное Вами, плеонастично (лексически избыточно).

Возможно ли написание фразы «Согласен, не спорю» или это тавтология? Если это не тавтология, то относится ли это к плеоназму?

Ответ справочной службы русского языка

Фраза корректна. Тавтологии или плеоназма нет.

Здравствуйте! Правильно ли сказать: «любви твоей шит меня защитит»? Или это тавтология? Спасибо!

Ответ справочной службы русского языка

Фраза корректна.

Должно было бы быть тавтология ли? Если нет, то почему, я в интернете ничего не нашёл, а очень хотел, пожалуйста ответьте с доказательством. Хотел доказать утверждение: «Есть некоторые речевые обороты, которые нельзя построить без повторений корней в словах, например «должно было бы быть», они выглядят как тавтология, но тем не менее ею не являются, ведь тавтология — это необоснованное повторение, а не повторение как таковое». И протолкнуть его в Википедию, в статью тавтология (риторика), а без доказательств и аи нельзя — отменяют.

Ответ справочной службы русского языка

Формально это тавтология, но поскольку речевой ошибки нет, то и тавтологией считать указанный пример не следует. 

Скажите, является ли тавтологией словосочетание «в перспективе планируется»?

Ответ справочной службы русского языка

Нет, это не тавтология.

Здравствуйте! Допустимо ли словосочетание «сегодняшний день» или это тавтология? Заранее большое спасибо.

Ответ справочной службы русского языка

Сочетание сегодняшний день, изначально плеонастичное, уже вошло в литературный язык и нарушением нормы не является. Например, «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова фиксирует: На сегодняшний день (в настоящий момент). Жить сегодняшним днём (не думая о будущем).

Здравствуйте! Допустима ли тавтология «разлинованный в линейку» в описании товара? Или лучше сформулировать по-другому?

Ответ справочной службы русского языка

Лучше по-другому (или разлинованный, или в линейку): тетрадь в линейку.

Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, неужели так можно говорить «венчать брак»? В интернете нашла множество таких упоминаний, а, по-моему, это тавтология. Спасибо. С уважением, Наталья

Ответ справочной службы русского языка

Такое сочетание в большинстве контекстов некорректно.

Что такое тавтология? Примеры

Тавтология — это спе­ци­аль­ный или непред­на­ме­рен­ный повтор одно­ко­рен­ных слов в сло­во­со­че­та­нии или предложении.

Тавтология — это лексическая ошибка речи

Одной из раз­но­вид­но­стью плео­назма явля­ет­ся тав­то­ло­гия. Чтобы понять суть иссле­ду­е­мо­го явле­ния в линг­ви­сти­ке, выяс­ним, что зна­чит этот тер­мин. Он скла­ды­ва­ет­ся из двух гре­че­ских слов:

Буквально «тав­то­ло­гия» — это тож­десло­вие. Исходя из это­го зна­че­ния, мож­но опре­де­лить, что этот тер­мин выра­жа­ет какое-либо поня­тие или явле­ние повто­ром близ­ких или одно­ко­рен­ных слов.

Если плео­назм высту­па­ет как скры­тое смыс­ло­вое изли­ше­ство, то тав­то­ло­гия явля­ет­ся рече­вой ошиб­кой, кото­рая харак­те­ри­зу­ет­ся явным повто­ром одно­ко­рен­ных слов с одним и тем же или похо­жим значением.

Понаблюдаем, как про­яв­ля­ет­ся тав­то­ло­гия в словосочетаниях:

• лил про­лив­ной ливень;
• все­об­щее при­зна­ние всех людей;
• объ­еди­нить­ся воедино;
• повсе­днев­ная обыденность;
• реор­га­ни­за­ция орга­ни­за­ции и пр.

Как видим, эта лек­си­че­ская ошиб­ка воз­ни­ка­ет в речи тогда, когда гово­ря­щий слу­чай­но, не учи­ты­вая смыс­ла слов или не зная точ­но­го их зна­че­ния, упо­треб­ля­ет в сво­ей речи одно­ко­рен­ные сло­ва, одно из кото­рых дуб­ли­ру­ет смысл дру­го­го. Создаётся явное рече­вое излишество.

А вот какое опре­де­ле­ние тав­то­ло­гии мож­но про­честь в Википедии:

Учтём, что в неко­то­рых сло­во­со­че­та­ни­ях тав­то­ло­гия не ощу­ща­ет­ся в резуль­та­те забы­то­го пер­вич­но­го зна­че­ния глав­но­го слова:

• низ­кий бас;
• чёр­ные чер­ни­ла (чер­ни­ла быва­ют и синие, и красные);
• белое бельё;
• души­стый запах.

Приведем при­ме­ры рече­вых оши­бок с тав­то­ло­ги­ей в предложениях.

Примеры тавтологий

А вы зна­е­те, она живет доволь­но скуч­ной жиз­нью в про­вин­ци­аль­ном городке.

Гарантийный талон гаран­ти­ру­ет устра­не­ние скры­тых дефек­тов прибора.

Это при­род­ное явле­ние явля­ет­ся уни­каль­ным в этом регионе.

От моей зара­бо­тан­ной зар­пла­ты почти ниче­го уже не осталось.

В сво­ей пове­сти писа­тель ярко опи­сы­ва­ет при­ро­ду Сибири.

Чтобы не допус­кать подоб­ных рече­вых оши­бок, сове­ту­ем позна­ко­мить­ся со сло­ва­рем плео­назмов и тав­то­ло­гий.

Но не все­гда это рече­вое изли­ше­ство вос­при­ни­ма­ет­ся как ошиб­ка речи. В худо­же­ствен­ных про­из­ве­де­ни­ях оно высту­па­ет в каче­стве образ­но­го средства.

Тавтология — стилистический приём в литературе

Тавтология вос­тре­бо­ва­на в лите­ра­ту­ре как сти­ли­сти­че­ский при­ём, кото­рый созда­ёт образ­ность, выра­зи­тель­ность и эмо­ци­о­наль­ность язы­ка худо­же­ствен­но­го тек­ста. В сво­их про­из­ве­де­ни­ях авто­ры охот­но при­бе­га­ют к исполь­зо­ва­нию тавтологии:

Ты гре­ми, гром, а я дождь разо­лью (А. Островский).

Правда прав­дой оста­ет­ся, а мол­ва себе мол­вой (А. Твардовский).

В поэ­ти­че­ских про­из­ве­де­ни­ях ино­гда повто­ря­ют­ся сло­ва, раз­ные по зву­ча­нию, но близ­кие по смыс­лу (тоска-печаль, море-океан, зна­ет — веда­ет, пла­чет — тужит,) либо исполь­зу­ют­ся одно­род­ные по зву­ча­нию и смыс­лу сло­ва (веет — пове­ва­ет, гре­ет — при­гре­ва­ет).

Для уси­ле­ния эмо­ци­о­наль­но­сти речи и эффек­тив­но­го воз­дей­ствия на слу­ша­те­лей тав­то­ло­гия в виде повто­ра одно­го и того же сло­ва или одно­ко­рен­ных лек­сем рас­про­стра­не­на в пуб­ли­ци­сти­ке и ора­тор­ском искусстве.

Не сле­ду­ет нам ого­род горо­дить из-за этого!

В фольк­ло­ре актив­но исполь­зу­ет­ся этот сти­ли­сти­че­ский при­ём, кото­рый харак­те­ри­зу­ет­ся повто­ром одно­ко­рен­ных лек­сем, одно­го и того же сло­ва или его грам­ма­ти­че­ских форм.

Понаблюдаем за упо­треб­ле­ни­ем тав­то­ло­гии в рус­ских посло­ви­цах и поговорках:

В зачи­нах ска­зок, легенд и былин типич­на тавтология:

Видеоурок «Плеоназм и тавтология»

Речевая избыточность. Тавтология, плеоназм

Одна из проблем современной филологии – речевая избыточность и её недостаточность. Она указывает на скудный словарный запас, неумение чётко излагать свои мысли. Особенно губительно проявление речевой избыточности в произведениях начинающих писателей, журналистов. К основным её проявлениям можно отнести повтор слов, тавтологию и плеоназм.

Умение находить в текстах эти речевые ошибки, своевременно исправлять их является залогом грамотного, красивого и легко читаемого текста. Правда, далеко не всегда тавтология и плеоназм – грубые речевые ошибки. В некоторых случаях они могут стать прекрасным средством выразительности и эмоционального оформления текста.

Основные виды речевых ошибок

Речевая избыточность, или же многословие, подразумевает передачу одной и той же мысли в предложении и высказывании. К основным видам подобных ошибок, связанных с лексической недостаточностью, относятся в первую очередь тавтология, плеоназм и повтор слов в предложениях. Эти речевые ошибки указывают на низкий уровень культуры речи. Но в то же время используются в художественной литературе как средство эмоциональной выразительности.

К речевым ошибкам относится и использование лишних слов в предложении, расщепление понятия, то есть ситуация, в которой глагольное сказуемое заменяется на глагольно-именное сочетание. Яркими примерами являются следующие выражения: совершать прогулку (вместо гулять), вести борьбу (вместо бороться). Также к наиболее распространённым ошибкам, встречающимся в устной речи, относятся слова-паразиты: вот, ну, типа и т. д.

Повтор слов как одна из речевых ошибок

Довольно часто в текстах можно встретить повтор слов. Например: «Газета выходила раз в неделю. Утром газета доставлялась в киоск». Так писать недопустимо. Слово «газета» используется и в первом, и во втором предложении, что является довольно грубой речевой ошибкой. В этом случае правильным решением было бы заменить его синонимом или же местоимением.

Повтор слов указывает на то, что автор не может чётко и лаконично сформулировать свою мысль, владеет скудным словарным запасом. Правда, стоит отметить, что в некоторых случаях такая речевая избыточность может быть оправдана. Она способна стать прекрасным стилистическим приёмом, с помощью которого автором подчёркивается та или иная мысль. К примеру: «Они шли, и шли, и шли, не один день, не одну ночь». В этом случае повтор глагола указывает на продолжительность процесса.

Плеоназм

Термин «плеоназм» (pleonasmos) переводится с греческого языка, как «чрезмерность», «избыток». И означает употребление в речи близких по смыслу, лишних в предложении слов. Яркие примеры плеоназмов можно встретить в таких предложениях:

1. «Ко мне подошла светлая блондинка».
2. «В комнате они обнаружили мёртвый труп».
3. «Он работал молча, без слов».
4. «Масло очень масляное».
5. «Он писал свою автобиографию».
6. «Его заинтересовала свободная вакансия в фирме».
7. «Василий упал вниз».
8. «Мы топчем ногами родную землю».

Все эти предложения перегружены лишними уточнениями или плеоназмами. Так, блондинка в любом случае светлая, автобиография происходит от двух греческих слов и означает написанную самостоятельно историю собственной жизни и т. д.

Как и любая другая речевая избыточность, плеоназм является признаком недостаточной образованности человека, весьма скудного словарного запаса. Следует тщательно анализировать свою лексику. А также вовремя находить и исправлять ошибки, связанные с употреблением в речи плеоназмов.

Тавтология

Термин тавтология состоит из двух греческих слов. Первое — tauto — означает «то же самое», второе — logos – «слово». Трактуется, как повторение однокоренных слов или морфем в предложении. Большинство филологов отмечают, что тавтология является одной из разновидностей плеоназма.

В ней так же проявляется речевая избыточность. Примеры этого явления ярко выражены в следующих словосочетаниях: рассказать рассказ, в автобусном парке стоят автобусы и т. д. Выделяют также скрытую тавтологию, когда в словосочетании соединяется русское и иностранное слово с близким, тождественным значением. К примеру: впервые дебютировал, внутренний интерьер, народный фольклор, своя автобиография.

Использование в стилистике

Стоит отметить, что речевая избыточность, примеры которой можно встретить в художественной литературе, далеко не всегда является речевой ошибкой. Так, в стилистике использование плеоназмов и тавтологии помогает усилить действенность и эмоциональность речи, подчеркнуть афористичность высказывания. Писатели-юмористы эти ошибки используют для создания каламбуров.

Отметим основные функции, которые играет речевая избыточность и тавтология в стилистике:

1. Использование в речи главных героев для того, чтобы подчеркнуть бедность его словарного запаса, необразованность.
2. Для усиления смысловой значимости того или иного момента, выделения определённой мысли в тексте.
3. Использование тавтологических повторов для подчёркивания интенсивности или длительности действия. Например: «Мы писали и писали».
4. Использование плеоназмов для того, чтобы подчеркнуть или уточнить признак предмета, его характеристику.
5. Предложения с речевой избыточностью также могут употребляться для обозначения большого скопления предметов. Например: «А повсюду книги, книги, книги…».
6. Использование для создания каламбуров. К примеру: «Позвольте мне не позволить».

Заметим, что наиболее часто тавтология и плеоназм встречаются в фольклоре. Например: жили-были, путь-дорожка, видимо не видимо, диво дивное, чудо чудное, горе горевать. В основе большинства фразеологических оборов, поговорок лежит тавтология: мал мала меньше, слыхом не слыхать, виды видать, ходить ходуном, всякая всячина, горе горькое, сиднем сидеть.

Нормативные случаи использования

Стоит отметить, что в некоторых случаях плеоназм и тавтология могут быть нормативными. Зачастую это происходит тогда, когда в словосочетании не чувствуется смысловая перегруженность. Так, речевая избыточность отсутствует в таких выражениях: белое бельё, чёрные чернила. Объясняется это просто. Ведь бельё может быть и серым, и жёлтым. А чернила могут быть как чёрного, так и синего, зелёного, красного цветов.

Выводы

Одна из главных ошибок, которую можно часто встретить в устной и письменной речи – речевая избыточность. Тавтология и плеоназм – основные её проявления, которые указывают на скудность языка, бедный словарный запас. В то же время эти лексические явления могут использоваться в художественной литературе для создания ярких, красочных картин, выделения той или иной мысли.

Для любого образованного человека, в особенности если он работает в сфере журналистики или увлекается написанием книг, важно уметь находить в тексте плеоназм и тавтологию, своевременно исправлять их для того, чтобы тексты читались легко. Речевая избыточность и недостаточность словарного запаса делают изложенный материал неинтересным для широкой аудитории.

Тавтология и плеоназм, речевая избыточность

Когда в коротком высказывании масса ненужных слов, то это называется речевой избыточностью или многословием. Например, в течение последних суток были сильные снегопады и выпало большое количество снега.

Когда в письменной или устной речи много лишних слов, то это называется стилистической небрежностью. Она доказывает, что автор не имеет представления об объекте, который описывает. Между многословием и пустословием тонкая грань.

Пример речевой избыточности. Спортивный комментатор соревнований уведомляет: спортсмены, прибывшие на спортивные соревнования, принимают участие в соревнованиях с иностранными спортсменами.

Многословие выступает в виде:

• плеоназмов — использование слов, которые имеют одинаковый смысл, но лишние в тексте (в результате повседневной обыденности, поднялся вверх, главная суть).
• тавтологии (вариация плеоназма). Повторный термин, только другими словами (дважды умножаем, необъяснимые феномены). Тавтология явно выражена в соединении слов с одним корнем: Как спросить правильно вопрос?

Лексический повтор, встречающийся в тексте — признак того, что писателю не хватает четкости, лаконичности для формулирования мысли, возможно эпитетов. Иногда лексический повтор способен помочь автору сконцентрировать внимание на чем-то главном, например: Век живи, век учись.

Как использовать речевую избыточность?

Речевая недостаточность и речевая избыточность не во всех ситуациях оказывается погрешностью во время написания художественных произведений. Еще хуже, когда человек использует речевые штампы и канцеляризм.

Плеоназмы и тавтологии используются в стилистике для усиления результативности и воодушевления высказываний, а также, чтобы выделить афористичность речи. К этим приемам прибегают литераторы юмористы, чтобы создать шутку.

Главная цель речевой избыточности и тавтологии в стилистике:

• указать на бедность речи, необразованность определенных героев;
• усилить смысловую значимость ситуации;
• выделить определенную мысль в тексте;
• тавтологическое повторение подчеркивает насыщенность или длительность ситуации, например: “Мы шли и шли”;
• подчеркнуть плеоназмами признаки предмета или его характеристику. Авторы могут использовать для того, чтобы уточнить чрезмерное количество предметов, например: “А повсюду шарики, шарики, шарики, шарики…”;
• создание смешных ситуаций, например:“Разрешите мне не разрешать”.

Тавтология

Тавтология — мысль, представленная необоснованными повторениями одних и тех же однокоренных слов. Есть такое понятие, как тавтологическая рифма — повторение одного слова в измененном виде в стихотворной форме. Но для риторики — это нельзя использовать.

Однокоренные слова в одном предложении, создающие тавтологию — одна из распространенных ошибок. Таким образом, в одном предложении мы топчемся на одном месте. Это похоже на переспам в тексте.

Чтобы в предложении выделить определенную мысль, необходимо очистить его от лишнего, то есть избавиться от тавтологии, примеры: … совершенно закономерно могут вытекать определения, указывающие, что производительность трудового процесса на определенной ступени развития технического процесса определяется совершенно определенной закономерностью.

В данном предложении все запутанно и слишком много повторений. Очищаем его от мусора и получаем:
Производительность труда на разной степени развития технического процесса определена объективной закономерностью — это обоснованный вывод.

Не во всех ситуациях стоит воспринимать слова с одним корнем, как ошибку стилистики. Их не всегда нужно заменять синонимами в одном суждении, в некоторых ситуациях это невозможно, тест может обеднеть.
Пару слов с одним корнем, которые упомянуты в одном отрывке текста стилистически оправдываются, когда считаются единственными носителями значения. Приходится смириться с тем, что в предложении присутствует тавтология, примеры: на кустах расцветают розовые цветы, тренировать команду будет главный тренер.

В русском языке существуют тавтологические совмещения, которые неизбежны: словарь русских слов, бригадир двух бригад, следователи оперативной группы вели расследование.

Когда авторы сталкиваются с такой проблемой, как сочетание русского слова и иностранного, то не понимают точного смысла второго, например: маленький вундеркинд, ведущие лидеры. Прежде чем сочетать иностранные слова с другими, надо думать об их значении.

Тавтологию можно встретить в русском фольклоре и пословицах. Писатели намеренно применяют их для лексической выразительности: дружба дружбой, а служба службой; ходить ходуном; жизнь прожить не поле перейти.

Плеоназм

Этот термин имеет греческие корни и переводится, как “чрезмерный”, “избыточный”.
Разберемся, что такое плеоназм? Означает переизбыток в одном суждении слов одинакового смысла.

Примеры: они увидели мертвый труп; я познакомился с темной брюнеткой; он сидел без слов и молчал.

Перечисленные суждения усложнены лишними уточнениями. Как и другие формы речевой избыточности, плеоназм указывает на недостаточную образованность автора. Нужно проанализировать лексику и научиться вовремя устранять ошибки.

В русском языке существует такой тезис, как “мнимый плеоназм”. Писатели используют его сознательно, чтобы усилить выразительность речи и эффект восприятия.

Плеонастические сочетания используются для фольклора. Еще ранее авторы пользовались экспрессивно окрашенными плеоназмами в рассказах, например: море-океан, пути-дорожки, жили- были.

Ляпалиссиады

Одной из форм речевой избыточности выступают ляпалиссиады. Они создают эффект юмора в трагической (неуместной) ситуации,

Например:
Мертвое тело лежало и не подавало признаков жизни, слепой человек абсолютно ничего не видел.

Одной из главных ошибок в письменной речи выступает речевая избыточность — это проявление тавтологии и плеоназма. Такие ошибки придают словарному запасу скудности и бедности. Но их используют в написании художественной литературы, с целью придать ей ярких красок.

При работе с текстом всегда нужно стремиться к тому, чтобы своевременно устранять тавтологию и плеоназм. В этом случае тексты читаются быстрее и будут интереснее. Маленький словарный запас и речевая избыточность ухудшают подачу информации.

Если вам понравилась статья на Редачим, оставляйте комментарии и делитесь с друзьями.

Тавтология — это спе­ци­аль­ный или непред­на­ме­рен­ный повтор одно­ко­рен­ных слов в сло­во­со­че­та­нии или предложении.

Разберемся, что такое тав­то­ло­гия в рус­ском язы­ке, что­бы не не допус­кать лек­си­че­ских оши­бок в сво­ей речи.

Тавтология — это лексическая ошибка речи

Одной из раз­но­вид­но­стью плео­назма явля­ет­ся тав­то­ло­гия. Чтобы понять суть иссле­ду­е­мо­го явле­ния в линг­ви­сти­ке, выяс­ним, что зна­чит этот тер­мин. Он скла­ды­ва­ет­ся из двух гре­че­ских слов:

• tauto зна­чит «то же самое»;
• logos обо­зна­ча­ет «сло­во».

Буквально «тав­то­ло­гия» — это тож­десло­вие. Исходя из это­го зна­че­ния, мож­но опре­де­лить, что этот тер­мин выра­жа­ет какое-либо поня­тие или явле­ние повто­ром близ­ких или одно­ко­рен­ных слов.

Если плео­назм высту­па­ет как скры­тое смыс­ло­вое изли­ше­ство, то тав­то­ло­гия явля­ет­ся рече­вой ошиб­кой, кото­рая харак­те­ри­зу­ет­ся явным повто­ром одно­ко­рен­ных слов с одним и тем же или похо­жим значением.

Понаблюдаем, как про­яв­ля­ет­ся тав­то­ло­гия в словосочетаниях:

• лил про­лив­ной ливень;
• все­об­щее при­зна­ние всех людей;
• объ­еди­нить­ся воедино;
• повсе­днев­ная обыденность;
• реор­га­ни­за­ция орга­ни­за­ции и пр.

Как видим, эта лек­си­че­ская ошиб­ка воз­ни­ка­ет в речи тогда, когда гово­ря­щий слу­чай­но, не учи­ты­вая смыс­ла слов или не зная точ­но­го их зна­че­ния, упо­треб­ля­ет в сво­ей речи одно­ко­рен­ные сло­ва, одно из кото­рых дуб­ли­ру­ет смысл дру­го­го. Создаётся явное рече­вое излишество.

ОпределениеТавтология — это спе­ци­аль­ное или непред­на­ме­рен­ное упо­треб­ле­ние одно­ко­рен­ных слов в сло­во­со­че­та­нии или пред­ло­же­нии или необос­но­ван­ный повтор одно­го и того же сло­ва в высказывании.

А вот какое опре­де­ле­ние тав­то­ло­гии мож­но про­честь в Википедии:

Тавтоло́гия (от др.-греч. ταὐτολογία ← ταὐτό «то же самое» + λόγος «речь, сло­во­мысль, при­чи­на») — рито­ри­че­ская фигу­ра, пред­став­ля­ю­щая собой необос­но­ван­ное повто­ре­ние одних и тех же (или одно­ко­рен­ных) или близ­ких по смыс­лу слов, напри­мер, «мас­ло мас­ля­ное», «спро­сить вопрос» и тому подоб­ное; тер­мин антич­ной сти­ли­сти­ки, обо­зна­ча­ю­щий повто­ре­ние одно­знач­ных или тех же слов. Античная сти­ли­сти­ка под­во­дит мно­го­сло­вие речи под три понятия.

Учтём, что в неко­то­рых сло­во­со­че­та­ни­ях тав­то­ло­гия не ощу­ща­ет­ся в резуль­та­те забы­то­го пер­вич­но­го зна­че­ния глав­но­го слова:

• низ­кий бас;
• чёр­ные чер­ни­ла (чер­ни­ла быва­ют и синие, и красные);
• белое бельё;
• души­стый запах.

Приведем при­ме­ры рече­вых оши­бок с тав­то­ло­ги­ей в предложениях.

Примеры тавтологий

А вы зна­е­те, она живет доволь­но скуч­ной жиз­нью в про­вин­ци­аль­ном городке.

Учитель начал дик­то­вать дик­тант.

Гарантийный талон гаран­ти­ру­ет устра­не­ние скры­тых дефек­тов прибора.

Это при­род­ное явле­ние явля­ет­ся уни­каль­ным в этом регионе.

От моей зара­бо­тан­ной зар­пла­ты почти ниче­го уже не осталось.

В сво­ей пове­сти писа­тель ярко опи­сы­ва­ет при­ро­ду Сибири.

Чтобы не допус­кать подоб­ных рече­вых оши­бок, сове­ту­ем позна­ко­мить­ся со сло­ва­рем плео­назмов и тав­то­ло­гий.

Но не все­гда это рече­вое изли­ше­ство вос­при­ни­ма­ет­ся как ошиб­ка речи. В худо­же­ствен­ных про­из­ве­де­ни­ях оно высту­па­ет в каче­стве образ­но­го средства.

Тавтология — стилистический приём в литературе

Тавтология вос­тре­бо­ва­на в лите­ра­ту­ре как сти­ли­сти­че­ский при­ём, кото­рый созда­ёт образ­ность, выра­зи­тель­ность и эмо­ци­о­наль­ность язы­ка худо­же­ствен­но­го тек­ста. В сво­их про­из­ве­де­ни­ях авто­ры охот­но при­бе­га­ют к исполь­зо­ва­нию тавтологии:

Ты гре­ми, гром, а я дождь разо­лью (А. Островский).

Дорого вовре­мя вре­мя (С. Я. Маршак).

Правда прав­дой оста­ет­ся, а мол­ва себе мол­вой (А. Твардовский).

В поэ­ти­че­ских про­из­ве­де­ни­ях ино­гда повто­ря­ют­ся сло­ва, раз­ные по зву­ча­нию, но близ­кие по смыс­лу (тоска-печаль, море-океан, зна­ет — веда­ет, пла­чет — тужит,) либо исполь­зу­ют­ся одно­род­ные по зву­ча­нию и смыс­лу сло­ва (веет — пове­ва­ет, гре­ет — при­гре­ва­ет).

Для уси­ле­ния эмо­ци­о­наль­но­сти речи и эффек­тив­но­го воз­дей­ствия на слу­ша­те­лей тав­то­ло­гия в виде повто­ра одно­го и того же сло­ва или одно­ко­рен­ных лек­сем рас­про­стра­не­на в пуб­ли­ци­сти­ке и ора­тор­ском искусстве.

Не сле­ду­ет нам ого­род горо­дить из-за этого!

В фольк­ло­ре актив­но исполь­зу­ет­ся этот сти­ли­сти­че­ский при­ём, кото­рый харак­те­ри­зу­ет­ся повто­ром одно­ко­рен­ных лек­сем, одно­го и того же сло­ва или его грам­ма­ти­че­ских форм.

Понаблюдаем за упо­треб­ле­ни­ем тав­то­ло­гии в рус­ских посло­ви­цах и поговорках:

Сколько лет, сколь­ко зим.

Дружба друж­бой, а служ­ба службой.

Час от часу не легче.

Сердце серд­цу весть подаёт.

Без вины виноват.

В зачи­нах ска­зок, легенд и былин типич­на тавтология:

• в ста­ро­дав­ние времена
• жили-были
• давным-давно
• на веки вечные
• живут-поживают.

Видеоурок «Плеоназм и тавтология»

Русский язык

Тавтология и плеоназм, речевая избыточность

Когда в коротком высказывании масса ненужных слов, то это называется речевой избыточностью или многословием. Например, в течение последних суток были сильные снегопады и выпало большое количество снега.

Когда в письменной или устной речи много лишних слов, то это называется стилистической небрежностью. Она доказывает, что автор не имеет представления об объекте, который описывает. Между многословием и пустословием тонкая грань.

Пример речевой избыточности. Спортивный комментатор соревнований уведомляет: спортсмены, прибывшие на спортивные соревнования, принимают участие в соревнованиях с иностранными спортсменами.

Многословие выступает в виде:

• плеоназмов — использование слов, которые имеют одинаковый смысл, но лишние в тексте (в результате повседневной обыденности, поднялся вверх, главная суть).
• тавтологии (вариация плеоназма). Повторный термин, только другими словами (дважды умножаем, необъяснимые феномены). Тавтология явно выражена в соединении слов с одним корнем: Как спросить правильно вопрос?

Лексический повтор, встречающийся в тексте — признак того, что писателю не хватает четкости, лаконичности для формулирования мысли, возможно эпитетов. Иногда лексический повтор способен помочь автору сконцентрировать внимание на чем-то главном, например: Век живи, век учись.

Как использовать речевую избыточность?

Речевая недостаточность и речевая избыточность не во всех ситуациях оказывается погрешностью во время написания художественных произведений. Еще хуже, когда человек использует речевые штампы и канцеляризм.

Плеоназмы и тавтологии используются в стилистике для усиления результативности и воодушевления высказываний, а также, чтобы выделить афористичность речи. К этим приемам прибегают литераторы юмористы, чтобы создать шутку.

Главная цель речевой избыточности и тавтологии в стилистике:

• указать на бедность речи, необразованность определенных героев;
• усилить смысловую значимость ситуации;
• выделить определенную мысль в тексте;
• тавтологическое повторение подчеркивает насыщенность или длительность ситуации, например: “Мы шли и шли”;
• подчеркнуть плеоназмами признаки предмета или его характеристику. Авторы могут использовать для того, чтобы уточнить чрезмерное количество предметов, например: “А повсюду шарики, шарики, шарики, шарики…”;
• создание смешных ситуаций, например:“Разрешите мне не разрешать”.

Тавтология

Тавтология — мысль, представленная необоснованными повторениями одних и тех же однокоренных слов. Есть такое понятие, как тавтологическая рифма — повторение одного слова в измененном виде в стихотворной форме. Но для риторики — это нельзя использовать.

Однокоренные слова в одном предложении, создающие тавтологию — одна из распространенных ошибок. Таким образом, в одном предложении мы топчемся на одном месте. Это похоже на переспам в тексте.

Чтобы в предложении выделить определенную мысль, необходимо очистить его от лишнего, то есть избавиться от тавтологии, примеры: … совершенно закономерно могут вытекать определения, указывающие, что производительность трудового процесса на определенной ступени развития технического процесса определяется совершенно определенной закономерностью.

В данном предложении все  запутанно и слишком много повторений. Очищаем его от мусора и получаем:
Производительность труда на разной степени развития технического процесса определена объективной закономерностью — это обоснованный вывод.

Не во всех ситуациях стоит воспринимать слова с одним корнем, как ошибку стилистики. Их не всегда нужно заменять синонимами в одном суждении, в некоторых ситуациях это невозможно, тест может обеднеть.
Пару слов с одним корнем, которые упомянуты в одном отрывке текста стилистически оправдываются, когда считаются единственными носителями значения. Приходится смириться с тем, что в предложении присутствует тавтология, примеры: на кустах расцветают розовые цветы, тренировать команду будет главный тренер.

В русском языке существуют тавтологические совмещения, которые неизбежны: словарь русских слов, бригадир двух бригад, следователи оперативной группы вели расследование.

Когда авторы сталкиваются с такой проблемой, как сочетание русского слова и иностранного, то не понимают точного смысла второго, например: маленький вундеркинд, ведущие лидеры. Прежде чем сочетать иностранные слова с другими, надо думать об их значении.

Тавтологию можно встретить в русском фольклоре и пословицах. Писатели намеренно применяют их для лексической выразительности: дружба дружбой, а служба службой; ходить ходуном; жизнь прожить не поле перейти.

Плеоназм

Этот термин имеет греческие корни и переводится, как “чрезмерный”, “избыточный”.
Разберемся, что такое плеоназм?  Означает переизбыток в одном суждении слов одинакового смысла.

Примеры: они увидели мертвый труп; я познакомился с темной брюнеткой; он сидел без слов и молчал.

Перечисленные суждения усложнены лишними уточнениями. Как и другие формы речевой избыточности, плеоназм указывает на недостаточную образованность автора. Нужно проанализировать лексику и научиться вовремя устранять ошибки.

В русском языке существует такой тезис, как “мнимый плеоназм”. Писатели используют его сознательно, чтобы усилить выразительность речи и эффект восприятия.

Плеонастические сочетания используются для фольклора. Еще ранее авторы пользовались экспрессивно окрашенными плеоназмами в рассказах, например: море-океан, пути-дорожки, жили- были.

Ляпалиссиады

Одной из форм речевой избыточности выступают ляпалиссиады. Они создают эффект юмора в трагической (неуместной) ситуации,

Например:
Мертвое тело лежало и не подавало признаков жизни, слепой человек абсолютно ничего не видел.

Одной из главных ошибок в письменной речи выступает речевая избыточность — это проявление тавтологии и плеоназма. Такие ошибки придают словарному запасу скудности и бедности. Но их используют в написании художественной литературы, с целью придать ей ярких красок.

При работе  с текстом всегда нужно стремиться к тому, чтобы своевременно устранять тавтологию и плеоназм. В этом случае тексты читаются быстрее и будут интереснее.  Маленький словарный запас и речевая избыточность ухудшают подачу информации.

Если вам понравилась статья на Редачим, оставляйте комментарии и делитесь с друзьями.

Интересное:

In mathematical logic, a tautology (from Greek: ταυτολογία) is a formula or assertion that is true in every possible interpretation. An example is «x=y or x≠y». Similarly, «either the ball is green, or the ball is not green» is always true, regardless of the colour of the ball.

The philosopher Ludwig Wittgenstein first applied the term to redundancies of propositional logic in 1921, borrowing from rhetoric, where a tautology is a repetitive statement. In logic, a formula is satisfiable if it is true under at least one interpretation, and thus a tautology is a formula whose negation is unsatisfiable. In other words, it cannot be false. It cannot be untrue.

Unsatisfiable statements, both through negation and affirmation, are known formally as contradictions. A formula that is neither a tautology nor a contradiction is said to be logically contingent.

Such a formula can be made either true or false based on the values assigned to its propositional variables. The double turnstile notation is used to indicate that S is a tautology. Tautology is sometimes symbolized by «Vpq«, and contradiction by «Opq«. The tee symbol is sometimes used to denote an arbitrary tautology, with the dual symbol (falsum) representing an arbitrary contradiction; in any symbolism, a tautology may be substituted for the truth value «true», as symbolized, for instance, by «1».^[1]

Tautologies are a key concept in propositional logic, where a tautology is defined as a propositional formula that is true under any possible Boolean valuation of its propositional variables.^[2] A key property of tautologies in propositional logic is that an effective method exists for testing whether a given formula is always satisfied (equiv., whether its negation is unsatisfiable).

The definition of tautology can be extended to sentences in predicate logic, which may contain quantifiers—a feature absent from sentences of propositional logic.^[3]
Indeed, in propositional logic, there is no distinction between a tautology and a logically valid formula. In the context of predicate logic, many authors define a tautology to be a sentence that can be obtained by taking a tautology of propositional logic, and uniformly replacing each propositional variable by a first-order formula (one formula per propositional variable). The set of such formulas is a proper subset of the set of logically valid sentences of predicate logic (i.e., sentences that are true in every model).

History[edit]

The word tautology was used by the ancient Greeks to describe a statement that was asserted to be true merely by virtue of saying the same thing twice, a pejorative meaning that is still used for rhetorical tautologies. Between 1800 and 1940, the word gained new meaning in logic, and is currently used in mathematical logic to denote a certain type of propositional formula, without the pejorative connotations it originally possessed.

In 1800, Immanuel Kant wrote in his book Logic:

The identity of concepts in analytical judgments can be either explicit (explicita) or non-explicit (implicita). In the former case analytic propositions are tautological.

Here, analytic proposition refers to an analytic truth, a statement in natural language that is true solely because of the terms involved.

In 1884, Gottlob Frege proposed in his Grundlagen that a truth is analytic exactly if it can be derived using logic. However, he maintained a distinction between analytic truths (i.e., truths based only on the meanings of their terms) and tautologies (i.e., statements devoid of content).

In his Tractatus Logico-Philosophicus in 1921, Ludwig Wittgenstein proposed that statements that can be deduced by logical deduction are tautological (empty of meaning), as well as being analytic truths. Henri Poincaré had made similar remarks in Science and Hypothesis in 1905. Although Bertrand Russell at first argued against these remarks by Wittgenstein and Poincaré, claiming that mathematical truths were not only non-tautologous but were synthetic, he later spoke in favor of them in 1918:

Everything that is a proposition of logic has got to be in some sense or the other like a tautology. It has got to be something that has some peculiar quality, which I do not know how to define, that belongs to logical propositions but not to others.

Here, logical proposition refers to a proposition that is provable using the laws of logic.

During the 1930s, the formalization of the semantics of propositional logic in terms of truth assignments was developed. The term «tautology» began to be applied to those propositional formulas that are true regardless of the truth or falsity of their propositional variables. Some early books on logic (such as Symbolic Logic by C. I. Lewis and Langford, 1932) used the term for any proposition (in any formal logic) that is universally valid. It is common in presentations after this (such as Stephen Kleene 1967 and Herbert Enderton 2002) to use tautology to refer to a logically valid propositional formula, but to maintain a distinction between «tautology» and «logically valid» in the context of first-order logic (see below).

Background[edit]

Propositional logic begins with propositional variables, atomic units that represent concrete propositions. A formula consists of propositional variables connected by logical connectives, built up in such a way that the truth of the overall formula can be deduced from the truth or falsity of each variable. A valuation is a function that assigns each propositional variable to either T (for truth) or F (for falsity). So by using the propositional variables A and B, the binary connectives and representing disjunction and conjunction respectively, and the unary connective representing negation, the following formula can be obtained:.

A valuation here must assign to each of A and B either T or F. But no matter how this assignment is made, the overall formula will come out true. For if the first conjunction is not satisfied by a particular valuation, then one of A and B is assigned F, which will make one of the following disjunct to be assigned T.

Definition and examples[edit]

A formula of propositional logic is a tautology if the formula itself is always true, regardless of which valuation is used for the propositional variables. There are infinitely many tautologies. Examples include:

• («A or not A«), the law of excluded middle. This formula has only one propositional variable, A. Any valuation for this formula must, by definition, assign A one of the truth values true or false, and assign A the other truth value. For instance, «The cat is black or the cat is not black».
• («if A implies B, then not-B implies not-A«, and vice versa), which expresses the law of contraposition. For instance, «If it’s a book, it is blue; if it’s not blue, it’s not a book.»
• («if not-A implies both B and its negation not-B, then not-A must be false, then A must be true»), which is the principle known as reductio ad absurdum. For instance, «If it’s not blue, it’s a book, if it’s not blue, it’s also not a book, so it is blue.»
• («if not both A and B, then not-A or not-B«, and vice versa), which is known as De Morgan’s law. «If it is not both blue and a book, then it’s either not a book or it’s not blue»
• («if A implies B and B implies C, then A implies C«), which is the principle known as syllogism. «If it’s a book, then it’s blue and if it’s blue, then it’s on that shelf, then if it’s a book, it’s on that shelf.»
• («if at least one of A or B is true, and each implies C, then C must be true as well»), which is the principle known as proof by cases. «Books and blue things are on that shelf. If it’s either a book or it’s blue, it’s on that shelf.»

A minimal tautology is a tautology that is not the instance of a shorter tautology.

Verifying tautologies[edit]

The problem of determining whether a formula is a tautology is fundamental in propositional logic. If there are n variables occurring in a formula then there are 2ⁿ distinct valuations for the formula. Therefore, the task of determining whether or not the formula is a tautology is a finite and mechanical one: one needs only to evaluate the truth value of the formula under each of its possible valuations. One algorithmic method for verifying that every valuation makes the formula to be true is to make a truth table that includes every possible valuation.^[2]

For example, consider the formula

There are 8 possible valuations for the propositional variables A, B, C, represented by the first three columns of the following table. The remaining columns show the truth of subformulas of the formula above, culminating in a column showing the truth value of the original formula under each valuation.

T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	F	F	T
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	F	T	T	T	T
F	T	F	F	T	F	T	T
F	F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	T	T	T	T

Because each row of the final column shows T, the sentence in question is verified to be a tautology.

It is also possible to define a deductive system (i.e., proof system) for propositional logic, as a simpler variant of the deductive systems employed for first-order logic (see Kleene 1967, Sec 1.9 for one such system). A proof of a tautology in an appropriate deduction system may be much shorter than a complete truth table (a formula with n propositional variables requires a truth table with 2ⁿ lines, which quickly becomes infeasible as n increases). Proof systems are also required for the study of intuitionistic propositional logic, in which the method of truth tables cannot be employed because the law of the excluded middle is not assumed.

Tautological implication[edit]

A formula R is said to tautologically imply a formula S if every valuation that causes R to be true also causes S to be true. This situation is denoted . It is equivalent to the formula being a tautology (Kleene 1967 p. 27).

For example, let be . Then is not a tautology, because any valuation that makes false will make false. But any valuation that makes true will make true, because is a tautology. Let be the formula . Then , because any valuation satisfying will make true—and thus makes true.

It follows from the definition that if a formula is a contradiction, then tautologically implies every formula, because there is no truth valuation that causes to be true, and so the definition of tautological implication is trivially satisfied. Similarly, if is a tautology, then is tautologically implied by every formula.

Substitution[edit]

There is a general procedure, the substitution rule, that allows additional tautologies to be constructed from a given tautology (Kleene 1967 sec. 3). Suppose that S is a tautology and for each propositional variable A in S a fixed sentence S_A is chosen. Then the sentence obtained by replacing each variable A in S with the corresponding sentence S_A is also a tautology.

For example, let S be the tautology

.

Let S_A be and let S_B be .

It follows from the substitution rule that the sentence

Semantic completeness and soundness[edit]

An axiomatic system is complete if every tautology is a theorem (derivable from axioms). An axiomatic system is sound if every theorem is a tautology.

Efficient verification and the Boolean satisfiability problem[edit]

The problem of constructing practical algorithms to determine whether sentences with large numbers of propositional variables are tautologies is an area of contemporary research in the area of automated theorem proving.

The method of truth tables illustrated above is provably correct – the truth table for a tautology will end in a column with only T, while the truth table for a sentence that is not a tautology will contain a row whose final column is F, and the valuation corresponding to that row is a valuation that does not satisfy the sentence being tested. This method for verifying tautologies is an effective procedure, which means that given unlimited computational resources it can always be used to mechanistically determine whether a sentence is a tautology. This means, in particular, the set of tautologies over a fixed finite or countable alphabet is a decidable set.

As an efficient procedure, however, truth tables are constrained by the fact that the number of valuations that must be checked increases as 2^k, where k is the number of variables in the formula. This exponential growth in the computation length renders the truth table method useless for formulas with thousands of propositional variables, as contemporary computing hardware cannot execute the algorithm in a feasible time period.

The problem of determining whether there is any valuation that makes a formula true is the Boolean satisfiability problem; the problem of checking tautologies is equivalent to this problem, because verifying that a sentence S is a tautology is equivalent to verifying that there is no valuation satisfying . It is known that the Boolean satisfiability problem is NP complete, and widely believed that there is no polynomial-time algorithm that can perform it. Consequently, tautology is co-NP-complete. Current research focuses on finding algorithms that perform well on special classes of formulas, or terminate quickly on average even though some inputs may cause them to take much longer.

Tautologies versus validities in first-order logic[edit]

The fundamental definition of a tautology is in the context of propositional logic. The definition can be extended, however, to sentences in first-order logic.^[4] These sentences may contain quantifiers, unlike sentences of propositional logic. In the context of first-order logic, a distinction is maintained between logical validities, sentences that are true in every model, and tautologies (or, tautological validities), which are a proper subset of the first-order logical validities. In the context of propositional logic, these two terms coincide.

A tautology in first-order logic is a sentence that can be obtained by taking a tautology of propositional logic and uniformly replacing each propositional variable by a first-order formula (one formula per propositional variable). For example, because is a tautology of propositional logic, is a tautology in first order logic. Similarly, in a first-order language with a unary relation symbols R,S,T, the following sentence is a tautology:

It is obtained by replacing with , with , and with in the propositional tautology .

Not all logical validities are tautologies in first-order logic. For example, the sentence

is true in any first-order interpretation, but it corresponds to the propositional sentence which is not a tautology of propositional logic.

See also[edit]

Normal forms[edit]

• Algebraic normal form
• Conjunctive normal form
• Disjunctive normal form
• Logic optimization

[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

• Bocheński, J. M. (1959) Précis of Mathematical Logic, translated from the French and German editions by Otto Bird, Dordrecht, South Holland: D. Reidel.
• Enderton, H. B. (2002) A Mathematical Introduction to Logic, Harcourt/Academic Press, ISBN 0-12-238452-0.
• Kleene, S. C. (1967) Mathematical Logic, reprinted 2002, Dover Publications, ISBN 0-486-42533-9.
• Reichenbach, H. (1947). Elements of Symbolic Logic, reprinted 1980, Dover, ISBN 0-486-24004-5
• Wittgenstein, L. (1921). «Logisch-philosophiche Abhandlung», Annalen der Naturphilosophie (Leipzig), v. 14, pp. 185–262, reprinted in English translation as Tractatus logico-philosophicus, New York City and London, 1922.

External links[edit]

• «Tautology», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

In mathematical logic, a tautology (from Greek: ταυτολογία) is a formula or assertion that is true in every possible interpretation. An example is «x=y or x≠y». Similarly, «either the ball is green, or the ball is not green» is always true, regardless of the colour of the ball.

The philosopher Ludwig Wittgenstein first applied the term to redundancies of propositional logic in 1921, borrowing from rhetoric, where a tautology is a repetitive statement. In logic, a formula is satisfiable if it is true under at least one interpretation, and thus a tautology is a formula whose negation is unsatisfiable. In other words, it cannot be false. It cannot be untrue.

Unsatisfiable statements, both through negation and affirmation, are known formally as contradictions. A formula that is neither a tautology nor a contradiction is said to be logically contingent.

Such a formula can be made either true or false based on the values assigned to its propositional variables. The double turnstile notation is used to indicate that S is a tautology. Tautology is sometimes symbolized by «Vpq«, and contradiction by «Opq«. The tee symbol is sometimes used to denote an arbitrary tautology, with the dual symbol (falsum) representing an arbitrary contradiction; in any symbolism, a tautology may be substituted for the truth value «true», as symbolized, for instance, by «1».^[1]

Tautologies are a key concept in propositional logic, where a tautology is defined as a propositional formula that is true under any possible Boolean valuation of its propositional variables.^[2] A key property of tautologies in propositional logic is that an effective method exists for testing whether a given formula is always satisfied (equiv., whether its negation is unsatisfiable).

The definition of tautology can be extended to sentences in predicate logic, which may contain quantifiers—a feature absent from sentences of propositional logic.^[3]
Indeed, in propositional logic, there is no distinction between a tautology and a logically valid formula. In the context of predicate logic, many authors define a tautology to be a sentence that can be obtained by taking a tautology of propositional logic, and uniformly replacing each propositional variable by a first-order formula (one formula per propositional variable). The set of such formulas is a proper subset of the set of logically valid sentences of predicate logic (i.e., sentences that are true in every model).

History[edit]

The word tautology was used by the ancient Greeks to describe a statement that was asserted to be true merely by virtue of saying the same thing twice, a pejorative meaning that is still used for rhetorical tautologies. Between 1800 and 1940, the word gained new meaning in logic, and is currently used in mathematical logic to denote a certain type of propositional formula, without the pejorative connotations it originally possessed.

In 1800, Immanuel Kant wrote in his book Logic:

The identity of concepts in analytical judgments can be either explicit (explicita) or non-explicit (implicita). In the former case analytic propositions are tautological.

Here, analytic proposition refers to an analytic truth, a statement in natural language that is true solely because of the terms involved.

In 1884, Gottlob Frege proposed in his Grundlagen that a truth is analytic exactly if it can be derived using logic. However, he maintained a distinction between analytic truths (i.e., truths based only on the meanings of their terms) and tautologies (i.e., statements devoid of content).

In his Tractatus Logico-Philosophicus in 1921, Ludwig Wittgenstein proposed that statements that can be deduced by logical deduction are tautological (empty of meaning), as well as being analytic truths. Henri Poincaré had made similar remarks in Science and Hypothesis in 1905. Although Bertrand Russell at first argued against these remarks by Wittgenstein and Poincaré, claiming that mathematical truths were not only non-tautologous but were synthetic, he later spoke in favor of them in 1918:

Everything that is a proposition of logic has got to be in some sense or the other like a tautology. It has got to be something that has some peculiar quality, which I do not know how to define, that belongs to logical propositions but not to others.

Here, logical proposition refers to a proposition that is provable using the laws of logic.

During the 1930s, the formalization of the semantics of propositional logic in terms of truth assignments was developed. The term «tautology» began to be applied to those propositional formulas that are true regardless of the truth or falsity of their propositional variables. Some early books on logic (such as Symbolic Logic by C. I. Lewis and Langford, 1932) used the term for any proposition (in any formal logic) that is universally valid. It is common in presentations after this (such as Stephen Kleene 1967 and Herbert Enderton 2002) to use tautology to refer to a logically valid propositional formula, but to maintain a distinction between «tautology» and «logically valid» in the context of first-order logic (see below).

Background[edit]

Propositional logic begins with propositional variables, atomic units that represent concrete propositions. A formula consists of propositional variables connected by logical connectives, built up in such a way that the truth of the overall formula can be deduced from the truth or falsity of each variable. A valuation is a function that assigns each propositional variable to either T (for truth) or F (for falsity). So by using the propositional variables A and B, the binary connectives and representing disjunction and conjunction respectively, and the unary connective representing negation, the following formula can be obtained:.

A valuation here must assign to each of A and B either T or F. But no matter how this assignment is made, the overall formula will come out true. For if the first conjunction is not satisfied by a particular valuation, then one of A and B is assigned F, which will make one of the following disjunct to be assigned T.

Definition and examples[edit]

A formula of propositional logic is a tautology if the formula itself is always true, regardless of which valuation is used for the propositional variables. There are infinitely many tautologies. Examples include:

• («A or not A«), the law of excluded middle. This formula has only one propositional variable, A. Any valuation for this formula must, by definition, assign A one of the truth values true or false, and assign A the other truth value. For instance, «The cat is black or the cat is not black».
• («if A implies B, then not-B implies not-A«, and vice versa), which expresses the law of contraposition. For instance, «If it’s a book, it is blue; if it’s not blue, it’s not a book.»
• («if not-A implies both B and its negation not-B, then not-A must be false, then A must be true»), which is the principle known as reductio ad absurdum. For instance, «If it’s not blue, it’s a book, if it’s not blue, it’s also not a book, so it is blue.»
• («if not both A and B, then not-A or not-B«, and vice versa), which is known as De Morgan’s law. «If it is not both blue and a book, then it’s either not a book or it’s not blue»
• («if A implies B and B implies C, then A implies C«), which is the principle known as syllogism. «If it’s a book, then it’s blue and if it’s blue, then it’s on that shelf, then if it’s a book, it’s on that shelf.»
• («if at least one of A or B is true, and each implies C, then C must be true as well»), which is the principle known as proof by cases. «Books and blue things are on that shelf. If it’s either a book or it’s blue, it’s on that shelf.»

A minimal tautology is a tautology that is not the instance of a shorter tautology.

Verifying tautologies[edit]

The problem of determining whether a formula is a tautology is fundamental in propositional logic. If there are n variables occurring in a formula then there are 2ⁿ distinct valuations for the formula. Therefore, the task of determining whether or not the formula is a tautology is a finite and mechanical one: one needs only to evaluate the truth value of the formula under each of its possible valuations. One algorithmic method for verifying that every valuation makes the formula to be true is to make a truth table that includes every possible valuation.^[2]

For example, consider the formula

There are 8 possible valuations for the propositional variables A, B, C, represented by the first three columns of the following table. The remaining columns show the truth of subformulas of the formula above, culminating in a column showing the truth value of the original formula under each valuation.

T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	F	F	T
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	F	T	T	T	T
F	T	F	F	T	F	T	T
F	F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	T	T	T	T

Because each row of the final column shows T, the sentence in question is verified to be a tautology.

It is also possible to define a deductive system (i.e., proof system) for propositional logic, as a simpler variant of the deductive systems employed for first-order logic (see Kleene 1967, Sec 1.9 for one such system). A proof of a tautology in an appropriate deduction system may be much shorter than a complete truth table (a formula with n propositional variables requires a truth table with 2ⁿ lines, which quickly becomes infeasible as n increases). Proof systems are also required for the study of intuitionistic propositional logic, in which the method of truth tables cannot be employed because the law of the excluded middle is not assumed.

Tautological implication[edit]

A formula R is said to tautologically imply a formula S if every valuation that causes R to be true also causes S to be true. This situation is denoted . It is equivalent to the formula being a tautology (Kleene 1967 p. 27).

For example, let be . Then is not a tautology, because any valuation that makes false will make false. But any valuation that makes true will make true, because is a tautology. Let be the formula . Then , because any valuation satisfying will make true—and thus makes true.

It follows from the definition that if a formula is a contradiction, then tautologically implies every formula, because there is no truth valuation that causes to be true, and so the definition of tautological implication is trivially satisfied. Similarly, if is a tautology, then is tautologically implied by every formula.

Substitution[edit]

There is a general procedure, the substitution rule, that allows additional tautologies to be constructed from a given tautology (Kleene 1967 sec. 3). Suppose that S is a tautology and for each propositional variable A in S a fixed sentence S_A is chosen. Then the sentence obtained by replacing each variable A in S with the corresponding sentence S_A is also a tautology.

For example, let S be the tautology

.

Let S_A be and let S_B be .

It follows from the substitution rule that the sentence

Semantic completeness and soundness[edit]

An axiomatic system is complete if every tautology is a theorem (derivable from axioms). An axiomatic system is sound if every theorem is a tautology.

Efficient verification and the Boolean satisfiability problem[edit]

The problem of constructing practical algorithms to determine whether sentences with large numbers of propositional variables are tautologies is an area of contemporary research in the area of automated theorem proving.

The method of truth tables illustrated above is provably correct – the truth table for a tautology will end in a column with only T, while the truth table for a sentence that is not a tautology will contain a row whose final column is F, and the valuation corresponding to that row is a valuation that does not satisfy the sentence being tested. This method for verifying tautologies is an effective procedure, which means that given unlimited computational resources it can always be used to mechanistically determine whether a sentence is a tautology. This means, in particular, the set of tautologies over a fixed finite or countable alphabet is a decidable set.

As an efficient procedure, however, truth tables are constrained by the fact that the number of valuations that must be checked increases as 2^k, where k is the number of variables in the formula. This exponential growth in the computation length renders the truth table method useless for formulas with thousands of propositional variables, as contemporary computing hardware cannot execute the algorithm in a feasible time period.

The problem of determining whether there is any valuation that makes a formula true is the Boolean satisfiability problem; the problem of checking tautologies is equivalent to this problem, because verifying that a sentence S is a tautology is equivalent to verifying that there is no valuation satisfying . It is known that the Boolean satisfiability problem is NP complete, and widely believed that there is no polynomial-time algorithm that can perform it. Consequently, tautology is co-NP-complete. Current research focuses on finding algorithms that perform well on special classes of formulas, or terminate quickly on average even though some inputs may cause them to take much longer.

Tautologies versus validities in first-order logic[edit]

The fundamental definition of a tautology is in the context of propositional logic. The definition can be extended, however, to sentences in first-order logic.^[4] These sentences may contain quantifiers, unlike sentences of propositional logic. In the context of first-order logic, a distinction is maintained between logical validities, sentences that are true in every model, and tautologies (or, tautological validities), which are a proper subset of the first-order logical validities. In the context of propositional logic, these two terms coincide.

A tautology in first-order logic is a sentence that can be obtained by taking a tautology of propositional logic and uniformly replacing each propositional variable by a first-order formula (one formula per propositional variable). For example, because is a tautology of propositional logic, is a tautology in first order logic. Similarly, in a first-order language with a unary relation symbols R,S,T, the following sentence is a tautology:

It is obtained by replacing with , with , and with in the propositional tautology .

Not all logical validities are tautologies in first-order logic. For example, the sentence

is true in any first-order interpretation, but it corresponds to the propositional sentence which is not a tautology of propositional logic.

See also[edit]

Normal forms[edit]

• Algebraic normal form
• Conjunctive normal form
• Disjunctive normal form
• Logic optimization

[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

• Bocheński, J. M. (1959) Précis of Mathematical Logic, translated from the French and German editions by Otto Bird, Dordrecht, South Holland: D. Reidel.
• Enderton, H. B. (2002) A Mathematical Introduction to Logic, Harcourt/Academic Press, ISBN 0-12-238452-0.
• Kleene, S. C. (1967) Mathematical Logic, reprinted 2002, Dover Publications, ISBN 0-486-42533-9.
• Reichenbach, H. (1947). Elements of Symbolic Logic, reprinted 1980, Dover, ISBN 0-486-24004-5
• Wittgenstein, L. (1921). «Logisch-philosophiche Abhandlung», Annalen der Naturphilosophie (Leipzig), v. 14, pp. 185–262, reprinted in English translation as Tractatus logico-philosophicus, New York City and London, 1922.

External links[edit]

• «Tautology», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]