Типичные ошибки егэ математика профиль 2021 - Ремонт и установка крупной бытовой техники

Подготовила учитель математики
МОУ «СОШ №2 г.Верхнеуральска»
Почтова О.Н.

2. „Математика — это ключ и дверь ко всем наукам.“ — Галилео Галилей

„Математика — это ключ
и дверь ко всем наукам.“
— Галилео Галилей

3. ЕГЭ математика (профильный уровень)

Подготовка к профильному экзамену –
это заключительная часть этапа обучения,
а не цель!
Успешная сдача экзамена – это
качественное системное преподавание
математики и работа в части ликвидации
пробелов в базовых математических
знаниях.

4. ЕГЭ математика (профильный уровень)

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике представляет
собой форму государственной итоговой аттестации, проводимой в целях
определения соответствия результатов освоения обучающимися основных
образовательных программ среднего общего образования по математике
требованиям федерального государственного образовательного стандарта.
ЕГЭ проводится в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2012 №
273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» и Порядком проведения
государственной итоговой аттестации по образовательным программам
среднего общего образования, утверждённым приказом Минпросвещения
России и Рособрнадзора от 07.11.2018 № 190/1512.
Контрольно-измерительные
материалы
(КИМ)
единого
государственного экзамена по математике представляют собой комплекты
заданий стандартизированной формы, соответствующие спецификации и
демонстрационному варианту. Содержание КИМ определяется на основе
федерального компонента государственного стандарта основного общего и
среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования России от
05.03.2004 № 1089).

5. ЕГЭ математика (профильный уровень)

КИМ ЕГЭ 2021 г. по математике профильного уровня сохранили
преемственность с экзаменационной моделью прошлого года в тематике,
примерном содержании и уровнях сложности заданий. Каждый вариант
содержал 12 заданий с кратким ответом и 7 заданий с развёрнутым ответом.
Задания относились к основным разделам курса математики: числа и
вычисления, алгебра и начала математического анализа, геометрия,
вероятность и статистика. Проверка логических навыков включена в
большинство заданий и особенно проявлялась в требованиях к решению
заданий с развёрнутым ответом.
Вариант экзаменационных материалов по математике профильного уровня
состоит из 19 заданий, сгруппированных в две части. Часть 1 содержит 8
заданий базового уровня, часть 2 содержит 11 заданий повышенного и
высокого уровней сложности. При этом задания 1–12 подразумевают краткий
числовой ответ и оцениваются 0 или 1 баллом. Задания 13–19 политомические
с развёрнутым ответом. В большинстве политомических заданий требования
на промежуточные баллы определяются критериями однозначно за счёт
разбиения задания на законченные по смыслу пункты.

6. ЕГЭ математика (профильный уровень)

Изменений в структуре и содержании КИМ ЕГЭ по
математике профильного уровня в 2021 г. по сравнению с 2020 г.
не было.
Результаты участников профильного экзамена 2021 г. близки
к результатам 2019 г. и несколько выше результатов 2020 г., что
может быть связано с совершенствованием дистанционной
формы обучения во многих регионах, где в 2020 г. могли
наблюдаться значительные трудности с обеспечением доступа
обучающихся и учителей к дистанционным учебным
платформам.

7. ЕГЭ математика (профильный уровень)

Как важный результат ЕГЭ 2021 г. следует отметить некоторое
улучшение результатов участников в части заданий базового уровня
сложности в сравнении с прошлым годом
Процент выполнения заданий первых пяти задач части 1 в 2021 г.
вернулся к показателям 2019 г.: все задания выполнены на 92% или выше.
Значительно
выросла
доля
участников
экзамена,
выполнивших
геометрические задания 6 и 8. Незначительно снизился результат выполнения
задания 7, требующего соотнесения графика и свойств функции и её
производной.
В среднем уровень выполнения заданий 9–12 (задания части 2 с
кратким ответом повышенного уровня) практически не изменился по
сравнению с предыдущими годами. Наиболее трудным остаётся задание 12 по
математическому анализу.
В результатах выполнения заданий части 2 существенные изменения по
сравнению с прошлыми двумя годами также отсутствуют.

8. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, базовый уровень
Задание 1. проверяет сформированность умения использовать приобретённые
знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Для
выполнения этого задания выпускник должен уметь выполнять
арифметические действия с целыми числами. Проблемы у участников
возникают на стадии интерпретации полученных результатов.
Типичная ошибка – в ответе указана не общая стоимость, а только стоимость
сборки.
По всей совокупности участников экзамена задание 1 выполняется на уровне
75,8/99,5%.
(Здесь и далее первое число – процент выполнения участниками со слабой подготовкой, второе число
– процент выполнения участниками с высоким уровнем подготовки. )

9. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, базовый уровень
Задание 2. Задание проверяет сформированность умения анализировать
информацию, представленную на диаграмме, графике. Для выполнения этого
задания выпускник должен находить наибольшее значение функции на
заданном интервале. Ошибки, как правило, возникают из-за невнимательности
при чтении условия.
Типичная ошибка в выполнении задания – неверно прочитанное условие:
наиболее массовый неверный ответ 11 получается, если прочитать слово
«меньше» как «больше». Задание выполняется на уровне 86,1/99,3%

10. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, базовый уровень
Задание 4. Задание проверяет сформированность понятия «вероятность
случайного события» и умения находить вероятность в простейших
практических ситуациях. Проблемы у участников экзамена возникают из-за
вычислительных ошибок, а у слабо подготовленных участников и из-за
отсутствия сформированного понятия «вероятность».
Наиболее распространённая ошибка (1,1%) вычислительная: при делении
3 на 60 неверно поставлена запятая. Незначительная часть участников
экзамена в ответе записала вероятность противоположного события. Это
говорит о несформированности понятия «вероятность» при наличии
механического навыка выполнения действий: участник экзамена помнит, что
нужно делить 3 на 60 или 57 на 60, но что именно нужно делить угадывает.
Задание выполняется на уровне 52,8/99,6%. Этот показатель
существенно вырос по сравнению с 2014 г., когда задание на расчёт
вероятности впервые было включено в ЕГЭ.

11. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, базовый уровень
Задание 5. Решение уравнения
Задание выполняется на уровне 61,2/99,7%. Большинство ошибок
вычислительные. Наиболее распространённый неверный ответ, скорее всего,
получился у тех участников, кто посчитал, что 81= 3 3.

12. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, базовый уровень
Задание 7 базового уровня сложности традиционно вызывает затруднения у
участников экзамена.
Задание 7. Задание проверяет знание связи между характером монотонности
функции и знаком её производной, умение по графику производной функции
охарактеризовать свойства самой функции. Проблемы у участников возникают
из-за невнимательного чтения условия задачи и непонимания связи свойств
функции с её производной.
Задание выполняется на уровне 13,8/93,2%. Типичным неверным ответом
является –7 (35%) – левый конец указанного отрезка. Получение неверного
ответа связано с тем, что участники ЕГЭ путали функцию с её производной

13. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, повышенный уровень
Задание 9. Задание проверяет сформированность умения по заданному
значению одной тригонометрической функции от некоторого аргумента
находить значение другой от того же аргумента. Задание проверяет знание
основного тригонометрического тождества. Проблемы у участников
возникают на стадии выполнения арифметических действий и определения
знака тригонометрической функции.
Массовый неверный ответ 8 получается, если забыть множитель 2 в формуле
синуса удвоенного аргумента. Таких ответов 18%.
Задание выполняется на уровне 11,9/98,7%.

14. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, повышенный уровень
Задание 10. Задание проверяет сформированность умения использовать
приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной
жизни. Для выполнения этого задания нужно уметь выразить одну из величин
через другие, когда все величины связаны известной формулой, т.е. требуется
решить простейшее уравнение. Проблемы у участников возникают на стадии
чтения условия задачи или при подстановке данных в формулу.
Типичный неверный ответ 18 связан с вычислительной ошибкой. Задание
выполняется на уровне 10,4/98,6%.

15. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, повышенный уровень
Задание 11. Задание проверяет сформированность умения использовать
математические знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни. Для выполнения нужно уметь составить уравнение по
условию задачи и верно интерпретировать результаты его решения.
.
Типичный неверный ответ в таких задачах обычно является посторонним
корнем полученного квадратного уравнения либо ответом на другой вопрос. В
данном случае массовый неверный ответ 16 (производительность труда
второго рабочего) дало около 8% участников.
Задание выполняется на уровне 4,7/94,0%.

16. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, повышенный уровень
Задание 12. Задание проверяет сформированность умения пользоваться
математическим анализом и свойствами производной для исследования
функции.
.
5% дали ответ 9, который говорит о непонимании природы логарифма
и/или о попытках угадывания ответа.
Задание выполняется на уровне 4,0/94,2%.

17. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, повышенный уровень
Задание 15. Задание проверяет сформированность умения решать
неравенства.
Задание 15 верно решают от 0% (слабая группа) до 94,1% (сильная группа)
участников.
Неравенства решают преимущественно экзаменуемые с высоким и средним
уровнями подготовки, а слабо подготовленные участники к этому заданию не
приступают. Ошибки в выполнении задания 15 свидетельствуют о
существующей проблеме в подготовке заметной доли выпускников –
несформированности умения решать не только логарифмические неравенства, но
и неравенства вообще. Основанием для этого вывода стали выявленные ошибки:
неумение решать квадратные, дробно-рациональные неравенства; неумение
находить и записывать решение системы неравенств; непонимание сути метода
интервалов; выполнение неравносильных преобразований.

18. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, повышенный уровень
Задание 17. Задание проверяет сформированность умения использовать
приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной
жизни. Для выполнения этого задания нужно уметь решать текстовую задачу с
экономическим содержанием.
Выполнение: от 0% (слабая группа) до 88% (сильная группа) участников.
Участники экзамена, которые не смогли выполнить данное задание, делятся на
две группы: те, кто не смог составить математическую модель решения (или
составил её неверно), и те, кто допустил ошибки (как правило,
вычислительные) при решении полученного уравнения.

19. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, высокий уровень
Задание 18. Задание проверяет сформированность умения применять
математические знания, исследовать уравнения и функции, их графики и
взаимное расположение алгебраически заданных кривых.
.
Задача даёт возможность участнику экзамена, претендующему на
поступление в вуз с высокими требованиями к уровню математической
подготовки, показать умение верно проводить рассуждения, проверки,
преобразования. Поэтому за задачу берутся в основном выпускники с высоким
уровнем подготовки. Выполнение задания является одним из характерных
признаков наиболее сильной группы участников. Хотя и в этой группе успеха в
решении достигает лишь 11% при общем выполнении около 1%. Навыки,
необходимые для верного выполнения данного задания, формируются на
протяжении многих лет обучения математике.

20. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Алгебра и начала математического анализа, высокий уровень
Задание 19. Задание проверяет способность находить пути решения,
комбинируя известные методы и алгоритмы. Особенность состоит в том, что
практически все задания этой линии апеллируют к целочисленной
арифметике, причём к фактам, известным из курса 5–7 классов.
.
На ненулевой балл решают задачу от 2,8% (слабая группа) до 47,1% (сильная
группа) участников, а на полный балл – всего 3,2% участников из сильной
группы.

21. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Геометрия, базовый уровень
Задание 3. Задание проверяет умение применять знания из курса
геометрии, сформированность наглядных представлений о геометрических
фигурах, длине и площади фигуры.
.
Распространённые ошибки связаны с подсчётом длин отрезков или
решением другой задачи.
Задание выполняется на уровне 48,0/99,6%. Наихудший результат
возникает тогда, когда срабатывает инертность мышления, и экзаменуемый,
привыкший к подготовке на вариантах прошлых лет, вместо условия данной
задачи воспринимает рисунок как иллюстрацию другой задачи (найдите
среднюю линию трапеции, высоту и т.п.).

22. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Геометрия, базовый уровень
Задание 6. Задание проверяет сформированность умений выполнять
действия с геометрическими фигурами, применять изученные геометрические
факты.
.
Задание выполняется на уровне 14,1/96,8%. Распространённый неверный
ответ 15 (4,3%) дали участники, которые вписали в поле ответа
промежуточный результат или по какой-то причине решили, что искомый угол
равен углу A.

23. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Геометрия, базовый уровень
Задание
8.
Задание
проверяет
сформированность
наглядных
стереометрических представлений и соотношений между объёмами
изученных пространственных фигур.
.
Задание выполняется на уровне 11,4/96,5%. Распространённый неверный
ответ 72 дали 11% участников экзамена. Это скорее всего связано с попыткой
использовать множитель 1/3 из формулы объёма конуса без вникания в
стереометрическую конфигурацию.

24. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Геометрия, повышенный уровень
Задание 14. Задание проверяет сформированность наглядных
представлений об изученных стереометрических фигурах, а также умения
строить сечения, проводить доказательства, пользуясь изученными фактами о
взаимном расположении прямых и плоскостей, находить геометрические
величины, пользуясь теоремами об объёмах и площадях поверхности
геометрических тел.
Задание разбито на два пункта. Первый пункт считается выполненным, если
проведено верное доказательство. Наиболее трудными, как правило, являются
логические построения, связанные с доказательством от противного. Процент
выполнения задания 14 составляет 0/21,7.

25. ЕГЭ математика (анализ заданий)

Геометрия, повышенный уровень
Задание 16. Задача планиметрическая. Проверяет умение пользоваться
изученными геометрическими фактами и теоремами, исследовать
геометрические конфигурации на плоскости.
Планиметрические
задачи традиционно входили в состав вступительных
.
испытаний технических и математических специальностей вузов. Выполнение
задания 16 в ЕГЭ 2021 г. находится на уровне 14,2% на полный балл в наиболее
сильной группе. Участники из слабой группы за задание 16, как правило, не
берутся.

26. Рекомендации по совершенствованию преподавания учебного предмета всем обучающимся

Составлять индивидуальную траекторию подготовки к ГИА на
основе диагностики недостатков и их устранения в усвоении отдельных тем в
процессе итогового повторения.
Планировать обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, с
учетом основных содержательных линий курса.
Кроме того, т.к. КИМ-ы ЕГЭ профильного уровня проверяют и усвоение
материала курсов математики 5 — 6 классов, алгебры 7 — 9 классов и
геометрии 7 — 11 классов, необходимо систематически повторять некоторые
разделы курса математики, алгебры и геометрии основной и средней школы.
Для своевременной корректировки системы подготовки учащихся к итоговой
аттестации необходимо выявить пробелы в знаниях учащихся. С этой целью
следует проводить диагностические работы с последующим выстраиванием
индивидуальной траектории развития обучающегося.

27. Рекомендации по совершенствованию преподавания учебного предмета всем обучающимся

Параллельно с изучением новых тем в курсе алгебры и начал анализа,
стереометрии в XI классах следует предусмотреть возможность повторения
слабо усвоенных тем и разделов. На уроках повторения целесообразно
проводить регулярный контроль усвоения знаний на базовом уровне в
соответствии с открытым банком тестовых заданий.
Необходимо существенно усилить внимание к преподаванию курса геометрии
в основной и старшей школе, делая акцент не только на овладение
теоретическими фактами курса, но и на формирование умения проводить
обоснованные решения геометрических задач и математически грамотно их
записывать.
Особое внимание следует обратить на практико-ориентированные задачи,
поскольку они являются отличительной чертой новых образовательных
стандартов.
В процессе обучения не нужно злоупотреблять тестовой формой
контроля; необходимо, чтобы учащийся предъявлял свои рассуждения как
материал для дальнейшего их анализа и обсуждения.

28. Методическая помощь учителям и обучающимся при подготовке к ЕГЭ

материалы с сайта ФИПИ (www.fipi.ru):
• документы, определяющие структуру и содержание КИМ ЕГЭ
2022 г.;
• открытый банк заданий ЕГЭ;
• Навигатор самостоятельной подготовки к ЕГЭ (fipi.ru);
• Учебно-методические материалы для председателей и членов
региональных предметных комиссий по проверке выполнения
заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ;
• Методические рекомендации на основе анализа типичных
ошибок участников ЕГЭ прошлых лет (2015, 2016, 2017, 2018, 2019,
2020 гг.);
• Методические рекомендации для учителей школ с высокой долей
обучающихся с рисками учебной неуспешности (fipi.ru);
• журнал «Педагогические измерения»;
• Youtube-канал Рособрнадзора (видеоконсультации по подготовке
к ЕГЭ 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 гг.).

29. СПАСИБО за внимание!!!

Чтобы успешно сдать экзамен, подготовку нужно начинать заранее. И если вы не можете самостоятельно определить свои слабые места и проблемы, рекомендуем начать с разбора типичных ошибок ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Здесь мы приведем анализ типичных ошибок 2023 и дадим советы, как их не допустить при сдаче ОГЭ/ЕГЭ по математике. Следите за нашим телеграм-каналом – там мы будем разбирать и другие дисциплины, чтобы помочь вам в поступлении.

Базовый уровень математики

Ошибки в задачах на проценты

Чаще всего их допускают, так как не разбираются в сути процента.

Возьмем пример задачи, когда нужно сначала снизить цену на 25%, а потом повысить ее на 25%. Самая частая ошибка – полагать, что эти проценты будут равны одной и той же сумме. На самом же деле база их зачисления будет совершенно разной.

Ошибки в задачах на проценты

В этом примере 6% участников допустили вариант, что новую цену нужно понизить на 25%. На самом же деле новая цена – это 125% от старой. И вопрос в этой задаче – узнать, сколько будет 100% от старой цены.

Совет: повторить основы расчета процентов, повторить взаимосвязи величин, подумать над способом решения таких задач.

Невнимательное прочтение условия задания

Волнение и психологическое напряжение приводят к тому, что участники часто неправильно понимают условие задания. В итоге – снижение итогового балла по невнимательности, а не по незнанию.

Например:

Невнимательное прочтение условия задания

В 24% участников упомянули те точки, где значение функции (а не производной) положительное. Еще 2% указали номера точек, где производная принимает положительное значение.

Совет: вдумчиво, медленно и несколько раз читайте задание.

Непонимание текста задачи (на повышенном уровне и в практико-ориентированных заданиях)

Учащиеся могут не только неправильно понять, но и вовсе не понять условия. Иногда это происходит из-за незнания величин, единиц их измерения или плохой работы с формулами. Многие просто пропускают эту часть тестирования.

Вот пример задачи:

Непонимание текста задачи (на повышенном уровне и в практико-ориентированных заданиях)

Её выполнило только 57% участников тестирования. 8% вообще не дали ответа, 6% дали ответ «чем ближе, тем лучше», 4% – «лампочку необходимо поместить в середину разрешенного интервала», еще 4,5% приняли фокус за основной параметр.

Совет: изучайте задания прошлых лет, просите учителя практиковать как можно более разные задачи.

Ошибки в вычислениях

Школьная привычка использовать даже в самых легких примерах калькулятор приводит к плачевному результату на экзамене. Если учащийся не научиться быстро считать в уме или хотя бы на бумаге, во время тестирования он может ошибиться даже в самых простых заданиях.

Особенно сложно участникам тестирования даются дроби, отрицательные числа, элементарные преобразования выражений и другие проблемы, копившиеся еще с 5 класса.

Совет: если в чем-то не разбираетесь, обязательно отработайте эту тему до автоматизма перед экзаменом, потому что она обязательно попадется.

Ошибки теоретического характера

Это касается фактов по геометрии и алгебре, незнание которых приводит к снижению процента выполнения заданий и базового, и профильного уровней.

Например:

Ошибки теоретического характера

В этой задаче около 8% участников вообще не ответили на поставленное условие, 38% дали ответ с ошибками относительно боковой поверхности конуса, а 12% совершили ошибки в расчёте объёма.

Статистика показывает, что в таких заданиях ошибок гораздо больше, чем в гораздо более сложных профильных заданиях.

Совет: потренируйтесь перед тестированием. Если ответы не сходятся с ключами, обратитесь за помощью к стороннему специалисту (репетитору или сервису студенческой помощи), чтобы они указали, где вы ошибаетесь.

Ошибки в алгоритмах и методах решения

Этот тип ошибок встречается во всех заданиях.

Например:

Ошибки в алгоритмах и методах решения

Около 15% участников получили нулевые баллы из-за проблем с невнимательным чтением неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств.

Хватает ошибок и в решении дробнорациональных неравенств, когда ученики забывают про знаменатель.

Совет: всегда проверяйте решение. Научитесь правильно находить последовательность в решении алгоритмов.

Ошибки в чтении и построении чертежа

Такое случается, когда ученик не понимает взаимосвязь элементов геометрических конструкций, а также не обладает основными пространственными представлениями.

Например:

Ошибки в чтении и построении чертежа

Около 10% участников экзамена сделали ошибки в вычислении углов по их записи, просто перепутав буквы или не понимая, где расположены вершины всех углов. Еще 5% решили, что угол ACD прямой. А 3% увидели в угле ABD равносторонний треугольник.

Совет: тренируйтесь находить взаимосвязь элементов геометрических конструкций.

Неумение обосновывать и доказывать

14 и 16 задания по стереометрии и планиметрии отличаются повышенным уровнем сложности и требуют развернутого ответа. В каждом по 2 пункта: в первом нужно доказать, во втором – произвести вычисления.

Самые распространенные ошибки касаются первого пункта, так как у участников выявились проблемы с умением доказывать.

Есть проблемы и в оформлении доказательств. Например:

Неумение обосновывать и доказывать

Основная трудность в отсутствии понимания логики построения доказательства.

Совет: тренируйтесь в доказательной базе, повышайте математическую культуру, учитесь обосновывать выбранные методы и способы их решения.

Ошибки в заданиях по тригонометрии

Из-за невнимательности и неаккуратности, а также отсутствия знаний по большому количеству теоретических фактов и способности их применять на практике, участники совершают частые ошибки в решении тригонометрических заданий.

Например:

Ошибки в заданиях по тригонометрии

Только 34% участников выполнили его. Самые частые ошибки (около 12%) связаны в первую очередь с нахождением тригонометрического знака – чаще всего потеря знака «минус». Еще 22% ждут «красивого» ответа, равного 1 или 2.

Ошибки математического моделирования

В 11 и 17 заданиях проверяют способность учащихся к построению и исследованию простейших математических моделей.

В текстовых задачах основную роль играет сюжетная часть – она имеет практическую ориентацию. И часто из-за непонимания взаимосвязи величин в этих заданиях допускают ошибки.

Например, в задачах на движение примерно 10% не понимают принципы движения по реке – они умножают собственную скорость на время движения.

Совет: тренируйте текстовые задачи, внимательно читайте условие задачи.

Профильный уровень

Здесь приведем краткий список трудностей и ошибок участников ЕГЭ по математике:

Задание 2 – учащиеся не понимают разницу в сравнении отрицательных чисел и их моделей.
Задание 6 – не понимают геометрический рисунок (относятся к нему как к чертежу, где соблюдены все размеры).
Задание 7 – отвечают наугад в решениях производных и попытках увидеть ее на чертеже.
Задание 8 – ошибаются в наглядном решении.
Задание 9 – неправильно применяют свойства степеней, ошибаются в решении логарифмов из-за отсутствия практики.
Задание 12 – ошибаются в задачах с нулями производной.

Как правильно читать задание, чтобы не совершать ошибок по невнимательности

Есть несколько рекомендаций, чтобы избежать ошибок из-за невнимательного прочтения задания. Это и будет алгоритмом решения задачи:

прочтите условие;
выпишите данные величины, сделайте рисунок в геометрическом задании;
установите и запишите отношения и взаимосвязи между известными данными;
выпишите что найти, ответ на какой вопрос нужно дать;
определите тип задания;
сформулируйте содержание и последовательность действий.

Это будет ваш своеобразный чек-лист, который обязательно нужно соблюдать при решении любой задачи, чтобы не допустить обидных ошибок.

Данные условия важно именно выписывать, а не иметь в виду. Фиксация их в уме чаще всего приводит к записи неправильного ответа.

И еще момент: не приступайте к решению задачи сразу же после ее прочтения. Психологи утверждают, что важно выдержать паузу между стимулом и реакцией – именно при этом условии удастся добиться оптимальных результатов:

сориентироваться в условии,
обдумать и спланировать ее решение,
понять уровень ее сложности и решить, откладывать ли ее решение напоследок.

Кроме сложности задачи оцените, сколько баллов она принесет и насколько она утомительна. Важно оставить энергию для решения других заданий при сдаче единого государственного экзамена.

Начинайте с самой простой задачи, постепенно продвигаясь к самой сложной. На экзамене важно количество решенных заданий, а не их сложность.

Знание типичных ошибок ЕГЭ и ОГЭ по математике даст вам полную картину того, к каким заданиями нужно готовиться с большим усилием. А чтобы не отвлекаться на другие учебные дела, не забывайте: рядом есть сервис студенческой помощи, который подставит плечо в трудную минуту.

Профильная математика по праву считается одним из самых сложных экзаменов, по которому трудно набрать 90+ баллов. Однако это возможно, если избавиться от проблем с основными темами. Для этого стоит изучить некоторые опасные номера экзамена.

Ошибки ЕГЭ: чего опасаться на профильной математике

Типичные ошибки в Задании 2

Большинство проблем с №2 варианта возникают из-за непонимания сущности модуля. Модуль — это всегда положительное число, то есть все числа больше нуля остаются неизменными, а числа меньше нуля лишаются минуса. Из-за разницы между этими понятиями сравнение чисел в принципе и их модулей будет различаться. Ошибки ЕГЭ по профильной математике во втором задании возникают именно из-за путаницы в сравнении графиков по модулю (все «горки» ниже нуля должны перевернуться, так как отрицательные числа становятся положительными).

Основные ошибки в Задании 6

Основные проблемы с шестым заданием возникают из-за чертежа. Одна из самых распространенных проблем — неумение строить рисунок в соответствии с заданием, в корне которого лежит незнание основных аксиом, теорем и принципов.

Другая же опасность задания №6 состоит в буквальном понимании чертежа, из-за чего измерения проводятся не в соответствии с теорией, а практически с помощью специальных инструментов.

Ошибки в Задании 7

Задания на производные выпускники по большей части решают наугад. Корень ошибки ЕГЭ по профильной математике в №7 кроется в непонимании сущности производной. Для подготовки к этому заданию необходимо изучить таблицу основных производных и их графики, а также их свойства.

Ошибки в Задании 8

Проблемы в последнем номере первой части так же, как и с №6, возникают из-за неумения работать с чертежом и недостаточном знании теории. Большинство выпускников пытается найти заданную величину с помощью инструментов или на глаз, часть из них не знает терминологии и находит не ту величину. Чтобы не допустить этого, стоит научиться работать с объемными фигурами: находить площадь их поверхности (всей или боковой), объемы и их части.

Ошибки, типичные для ЕГЭ по профильной математике

Распространенные ошибки в Задании 9

В задании №9 возникают самые распространенные ошибки ЕГЭ по профильной математике — вычислительные. При достаточной знании теории выпускники допускают досадные оплошности: упускают минус, забывают исключить решения, не входящие в ОДЗ, ошибаются в вычислении.

Также сложности могут возникнуть из-за незнания свойств логарифмов и степеней, без которых невозможно произвести вычисления. Отдельно стоит обратить внимание на тригонометрические тождества и функции с их свойствами.

Ошибки в Задании 12

Точки экстремума (максимума и минимума) функций — сложная тема, для решения заданий на которую необходимо ориентироваться в производных и их графиках. Помимо советов, которые были предложены к №7, здесь стоит попрактиковаться в нахождении нулей производных. Они помогут определить все точки экстремума, из которых можно будет найти наибольшее и наименьшее значения функций.

Таким образом, многие ошибки ЕГЭ по профильной математике касаются простых тем и заданий, терять баллы на которых непозволительно. Если заранее проработать эти моменты и довести решение этих номеров до автоматизма, то при подготовке получится уделить больше внимания более сложным заданиям второй части и набрать 90+ баллов на ЕГЭ!

В этой статье собрали распространённые ошибки, которые допускают выпускники при сдаче ЕГЭ по профильной математике.

Причины ошибок в ЕГЭ по профильной математике

Мы попросили наставников онлайн-школы Вебиума проанализировать работы школьников по профильной математике, чтобы выделить самые частые причины, из-за которых теряются баллы на ЕГЭ.

Среди таких ошибок:

отсутствие ограничений;
неправильное составление формул приведения;
непонимание тригонометрии;
оформление;
невнимательность.

Шпаргалка: Полезные материалы для подготовки к ЕГЭ по профильной математике

Отсутствие ограничений

Эту ошибку ребята допускают как и в первой, так и во второй части. Ограничения необходимо прописывать в ходе решения задачи, иначе большая вероятность, что вы забудете это сделать.

Как избежать ошибку: выучить, что корни, логарифмы, тангенсы, котангенсы вызывают ОДЗ (область допустимых значений).

Лайфхаки для первой части ЕГЭ по математике

Неправильное составление формул приведения

Самая распространённая ошибки в формуле — sin(3pi/2 + A) = -cosA. Знак у косинуса смотрится по синусу, а не наоборот.

Как избежать ошибку: выучить формулы приведения. Как их запомнить, рассказываем в видео.

Непонимание тригонометрии

В школах курсу тригонометрии уделяют мало времени, поэтому ребята не умеют работать с окружностью и не понимают её в целом. Все знаки преобразования обычно выбирают на окружности без определения четвертей и чётности — а это неправильно.

Лучшие ресурсы и пособия для подготовки к ЕГЭ по профильной математике

Как избежать ошибку: научиться самостоятельно чертить тригонометрическую окружность, запомни все оси (тангенс, котангенс) и углы, чтобы не путаться со знаками и аргументами.

Шпаргалка: Основные формулы тригонометрии

Оформление

Чаще всего на ЕГЭ по профильной математике снижают баллы за оформление задания.

Роман Махмутов, наставник по профильной математике в команде Вебиума, рассказал, как избежать эту ошибку: «Если говорить про недочёты в оформлении, то для большинства важно дойти до правильного ответа, поэтому не все реагируют на мои комментарии по этому поводу. Чтобы это исправить, могу дать несколько советов:

Чаще обсуждайте решения заданий с наставником;
Не только смотреть на правильность/неправильность ответа, но и на советы по оформлению, так как это тоже играет очень важную роль.

Я часто сталкивался со студентами, у которых такая логика мышления: «Самое главное — получить правильный ответ, а красиво оформлять на экзамене буду». Если вы не хотите потерять баллы на экзамене, научитесь учитывать все критерии оценивания работы как можно раньше».

Техники запоминания чисел

Невнимательность

Наставники команды Вебиума отмечают, что школьники часто невнимательно читают условие задачи. Из-за этого ход решения сразу становится неверным: приходится переделывать задание полностью.

Чтобы сдать ЕГЭ по профильной математике на высокий балл, нужно ознакомиться с темами, которые попадутся на экзамене. А также познакомиться со всеми изменениями в демоверсии — демонстрационном варианте ЕГЭ, по которому составляются реальные варианты экзамена.

Частые ошибки в ЕГЭ по профильной математике

Научиться решать все виды уравнений — рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, смешанные — можно на курсе «Задание 12 — уравнения». Также курс можно взять с проверкой задач от наставника.

Не ошибаться — это навык, который можно проработать путём многочисленной практики. Рассмотренные нами ошибки в большей степени зависят от внимательности и ответственного подхода к заданию. Рекомендуем несколько раз проверять домашнюю работу перед сдачей и выписывать, в каких заданиях были допущены ошибки, чтобы их проанализировать.

Теорию, которая нужна для ЕГЭ по профильной математике, объясняем на наших курсах. А практику можно отработать на бесплатных пробниках.

А если вы готовитесь к ЕГЭ по базовой математике, то набрать нужные баллы и сэкономить время для подготовки к другим предметам наш спецкурс.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

В 2021 году самый популярный предмет по выбору — профильная математика. ЕГЭ будут сдавать более 404 тысяч участников. Экзамен состоится в понедельник, 7 июня. В выходные ребята могут поработать над ошибками, основные из них назвали в Рособрнадзоре.

Чаще всего выпускники ошибаются в следующих заданиях: начало математического анализа, математические модели; Экономически задачи. Сложно даются геометрические задания, особенно стереометрия повышенного уровня сложности.

Кроме того, часты элементарные арифметические ошибки. Достаточно много ребят решают сложные задачи из второй части, но допускают обидные ошибки в простой задаче с кратким ответом, отметили эксперты федерального института педагогических измерений (ФИПИ), которые готовят задания на государственную аттестацию.

Руководитель федеральной группы разработчиков ЕГЭ по математике, научный руководитель Центра педагогического мастерства Иван Ященко отметил еще одну часто встречающуюся ошибку: «К сожалению, до 40% ошибок тех, кто плохо сдал экзамен, связаны с тем, что ученик неправильно понял условие. Каждый год десятки тысяч ребят решают, казалось бы, „правильно“, но вовсе не ту задачу, которая дана».

Для поступления в вузы надо минимум набрать 27 баллов. Базовая математика для получения аттестата в 2021 году отменена.

Фото: pixabay.com.

Неудобно на сайте? Читайте самое интересное в Telegram и самое полезное в

Vk.

Это статья написана в первую очередь для выпускников, которые совсем скоро пойдут на важный и ответственный бой, называемый единым государственным экзаменом. От исхода этого поединка зависит дальнейший вектор развития. Но прошу Вас, не думайте, что от результатов зависит вся ваша жизнь. Экзамен – это лишь рубеж, испытание, которое нужно пройти с высоко поднятой головой.

Я достаточно давно и интенсивно занимаюсь подготовкой абитуриентов к единому государственному экзамену по математике и физике. После экзамена ребята активно делятся впечатлениями, когда приходят результаты – отправляют сканы работ, которые я внимательно изучаю. И я вижу, что из года в год ребята теряют баллы на вполне конкретных заданиях. И чтобы Ваши потери на экзамене на фоне волнения были минимальными, давайте разберем типичные ошибки ученика на ЕГЭ.

1) Уравнения с квадратным корнем

Не забывайте про ограничения!!! Вообще говоря можно наложить ограничения и на подкоренное выражение и на правую часть:

begin{cases} 2x+6geq0 -xgeq0 end{cases}

begin{cases} xgeq-3 xle0 end{cases}

… но если решаете возведением обеих частей в квадрат, то первое неравенство избыточно.
Как альтернатива, выполните проверку, подставив полученные корни в уравнение. Составители очень часто ловят на этом задании, провоцируют указать именно тот корень, который не удовлетворяет ограничениям.
Ограничения актуальны и для обычных дробных уравнений такого вида:

$frac{2x-8}{3x-11}=frac{6}{x^2}$

$begin{cases} 3x-11neq0 x^2neq0 end{cases}$

$begin{cases} xneqfrac{11}{3} xneq0 end{cases}$

Ну и конечно, куда без ограничений при решении логарифмических уравнений:

$log_7{left(x^2+3xright)}=log_7{left(49right)}$

Напоминаю, что аргумент логарифма должен быть СТРОГО БОЛЬШЕ НУЛЯ:

Ну а если Вы имеете дело с логарифмом с переменным основанием

$log_{x+6}{left(32right)}=5$

то не забудьте, что основание должно быть положительным и не равняться единице.

begin{cases} x+6>0 x+6neq1 end{cases}

2) Планиметрия
Что касается планиметрии, советую повторить:
1. Формулы для расчета площадей все фигур. Не забудьте повторить, как находится длина дугового сектора и площадь сектора, на всякий случай. Хотя встречаются на ЕГЭ они не так часто.
2. Помните, что медиана в прямоугольном треугольнике не только делит гипотенузу пополам, но и равна половине гипотенузы.

$BO=frac{AC}{2}$

3. Повторите свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике. Высота, проведенная из вершины прямого угла делит прямоугольный треугольник на два подобных. Расписав отношения сторон всех подобных треугольников Вы придете к формулам:

${AB}^2=AHcdot AC$

4. Повторите теоремы синусов и косинусов. Теорема синусов бывает весьма полезна для нахождения радиуса описанной окружности

Теорема синусов:

$frac{a}{sin{left(angle Aright)}}=frac{b}{sin{left(angle Bright)}}=frac{C}{sin{left(angle Cright)}}=2R$

Теорема косинусов:

$a^2=b^2+c^2-2bc cdot cos{left(angle BACright)}$

5. Из года в год найдется ученик, который забудет формулу для расчета радиуса вписанной окружности. А она ведь такая простая!

И работает не только для треугольников, но и для четырехугольников, пятиугольников и так далее. Не забудьте, что в формуле берется ПОЛУПЕРИМЕТР, а S – это площадь фигуры, а не круга!

3) Немного поговорим про преобразование выражений. Чаще всего ребята ошибаются именно в тригонометрии при использовании формул приведения.

Напоминаю алгоритм:

1. Определяем номер четверти, в которой лежит угол.

2. Определяем знак функции. Напоминаю, что знак смотрится по исходной функции.

3. Не забываем, что в точках $frac{pi}{2}$ и $frac{3pi}{2}$ функция меняется на ко-функцию, то есть синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и т.д.

Для лучшего понимания приведу пример

Упростить $ctg{left(frac{3pi}{2}+alpharight)}$ , где $alphainleft(0;frac{pi}{2}right)$

Шаг 1: Определяем четверть
$left(frac{3pi}{2}+alpharight) epsilon IV$ четв.

Шаг 2: Определяем знак исходной функции в данной четверти. Знак в IV четв. будет отрицательным.
Шаг 3: Так как в выражении есть $frac{3pi}{2},$ то заменим на . В итоге получим $ctg{left(frac{3pi}{2}+alpharight)}=-tgleft(alpharight)$

4) Переходим к стереометрии. Тут советы будут аналогичны советам по планиметрии. Повторите все формулы объемов фигур и площадей поверхностей, особенно шара. Легче всего эта формула запоминается, если вы запомните, что площадь поверхности шара – это производная от его объема.

$V=frac{4}{3}pi r^3$

Если Вы имеете дело с комбинацией тел, то внимательно несколько раз прочитайте условие задачи. Цилиндр вписан в призму или описан около призмы, параллелепипед вписан в цилиндр или описан около цилиндра и так далее. Советую держать в голове картинки:
Это – пример призмы, описанной около цилиндра

А это – пример призмы, вписанной в цилиндр

Ну а теперь поговорим о самых распространенных ошибках в стереометрии первой части:
1. Угол между двумя прямыми всегда не более 90 градусов.
Пример:

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$ , все рёбра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и $D_{1}E_{1}$ . Ответ дайте в градусах.

Большая часть ребят проводит прямую $D_{1}C_{1}$ , параллельную FA и берут угол $E_{1}D_{1}C_{1}$ , тем самым получая ответ в 120 градусов. Но это не правильно. Брать нужно смежный угол, который будет равен 60 градусов.

2. Ошибки в применении коэффициента подобия

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем этой призмы, если объём отсеченной призмы равен 20.

Классический пример – призма и плоскость проведенная через среднюю линию треугольника, лежащего в основании. Ребята полагают, что отношение объемов малой призмы к большой призме равно кубу коэффициента подобия, который в нашем случае равен ½. Но это не так. Отличаются эти призмы только основанием, а вот высоты одинаковы. Следовательно, отношение объемов будет равно отношению площадей оснований. А это квадрат коэффициента подобия.

3. Ошибки в расчете площадей поверхностей составных многогранников.
Классическая проблема в данном случае заключается в том, что ребята достраивают фигуру до куба или параллелепипеда. В этом случае возникает опасность либо посчитать лишнюю поверхность, либо потерять нужную.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Возможно это немного дольше, но я советую посчитать площадь каждого прямоугольника по отдельности и сложить все значения.

5) График функции и её производной. Наше счастье и наша боль. Мне кажется, эта задача напоминает квест на внимательность. Прежде чем записывать ответ в бланк, советую внимательно несколько раз прочитать задание и для себя ответить на вопрос: я имею дело с графиком функции или ее производной.
1. Если Вы имеете дело с графиком самой функции, то помните, что точки экстремума – это точки, где функция переходит с возрастания на убывание или с убывания на возрастание. Точки пересечения графика с осью х ничего не означают.
Для примера предлагаю рассмотреть следующую функцию:

Там, где функция возрастает (зелёные стрелки), производная функции положительна, а там, где функция убывает (красные стрелки), производная функции отрицательная. Производная равна нулю в точках экстремума .

2. Если на экзамене Вам попалась производная функции, то помните: там, где график лежит выше оси х, функция возрастает, там, где график лежит ниже оси х – функция убывает, а точки пересечения графика с осью х-это точки экстремума.

– т. экстремума, – т. max, – т. min

3. Внимательно посмотрите на касательную к графику функции. Если она возрастает, значит значение производной положительно, если убывает-отрицательно.

$tgleft({180}^0-alpharight)=-tg{left(alpharight)}=-frac{AB}{BC}=-frac{2}{8}=-0,25$

НЕ ТЕРЯЙТЕ МИНУС В ОТВЕТЕ!

6) Текстовые задачи тоже довольно часто становятся камнем преткновения у выпускников. Советую повторить формулы для суммы арифметической прогрессии, связь концентрации и массы раствора, производительности и работы.
Любимая ошибка выпускников находить среднюю скорость как среднее арифметическое. Не делайте так! Средняя скорость – это общий путь, деленный на общее время.

$v_{cp}=s_{общ}/t_{общ}=(s_1+s_2)/(frac{s_1}{v_1} +frac{s_2}{v_2} )$

(Работа = Производительность Время)

(Путь = Скорость Время)

M_{кислоты}=n∙M_{раствора}

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $s_n=frac{left(a_1+a_nright)}{2}cdot n=frac{2a_1+left(n-1right)d}{2}cdot n$

Достаточно тяжело идут у ребят задачи на проценты такого вида:

В 2000 году диван подешевел на 7 процентов, в 2001 подорожал на 8 процентов. Конечная цена 25000 рублей. Найти начальную стоимость.

Советую начальную стоимость обозначить за х, тогда в 2000 году стоимость дивана станет (х-0.07х) =0.93 х рублей, а в 2001 году стоимость будет равна 0.93х*1.08 рублей, которая будет равна 25000 рублей. Можно, конечно, идти с конца, но тогда у ребят возникают сложности, что какую величину обозначить за 100 процентов, что за 107 процентов или может быть за 93 процента.

7) Графики функций. Для правильного выполнения данного номера я советую Вам повторить , какие коэффициенты в функции отвечают за смещение графика вправо или влево, какие вверх или вниз, повторить формулу для расчета вершины параболы $x_0=frac{-b}{2a}$ .
Если у Вас функция вида $fleft(xright)=b+log_a{left(xright)}$ , то коэффициент b отвечает за смещение графика функции вверх или вниз.

А здесь – график с положительным коэффициентом b, равным 2:

Если же Ваш график имеет вид $fleft(xright)=log_a{left(x+bright)}$ , то вы должны понимать, что при положительном значении b ваш график смещается влево, а при отрицательном значении b вправо.

Абсолютно аналогично и с графиками показательной функции.
Если вы имеете дело с графиком вида , то при положительном b график смещается вверх, при отрицательном b вниз.
На первом графике пример отрицательного коэффициента b, на втором графике пример положительного b.

Ну и не забывайте о графиках показательной функции вида $fleft(xright)=a^{x+b}$ . Здесь коэффициент b отвечает за смещение графика функции вправо или влево.

Если вдруг у Вас на экзамене все эти смещения туда-сюда вылетели их головы, то берите одну-две-три точки (по ситуации), подставляйте в уравнение функции и находите нужные Вам коэффициенты.

И хотелось бы напомнить , что основание логарифма и основание показательной функции МОГУТ БЫТЬ ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ.

Ну и нельзя оставить без внимания задания на нахождение точек максимума и минимума и на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Тут советов будет несколько:

1) Повторите таблицу производных функций и вспомните формулы для производной частного и произведения.

2) Если Вам нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции, содержащей логарифм, например $y=ln{left(x+5right)^5}-5x$ , то в большинстве случаев это значение достигается при таком х, когда логарифм обращается в нуль, а число под логарифмом рано единице. В данном случае точка экстремума равна -4. Именно в этой точке достигается наименьшее значение функции.

3) Если Вы имеете дело с иррациональной функцией, например $y=sqrt{x^2-6x+11}$ , то точка экстремума может быть найдена с помощью формулы для расчета вершины параболы. Одним словом, координата вершины параболы это и есть точка экстремума.

4) Теперь поговорим о показательных и логарифмических функциях. Если график возрастающий, то есть основание больше единицы, например $y=2^{x^2+2x+5}$ , то экстремум (в данном случае минимум) достигается в вершине квадратичной функции . Ну а подставив точку минимума в саму функцию, Вы имеете все шансы быстро и легко найти наименьшее значение.

С логарифмической функцией дела обстоят аналогичным образом. Давайте рассмотрим функцию вида $y=log_5{left(4-2x-x^2right)}+3$ . Основание больше единицы и равно 5. Значит функция возрастающая. Смотрим внимательно на аргумент под логарифмом. Он представляет собой квадратичную функцию, графиком является парабола с ветвями вниз. Найдя вершину параболы по формуле x_верш=-b/(2a), вы найдете точку экстремума, в данном случае максимума, ну а подставив ее в саму функцию, вы найдите ее наибольшее значение. И для полноты картины, предлагаю рассмотреть убывающую логарифмическую функцию $y=log_frac{1}{3}{left(x^2+6x+12right)}$ с основанием меньше единицы и равным 1/3. Подлогарифмическое выражение также представляет собой параболу с ветвями вверх. Найдя вершину параболы, вы найдите точку минимума, а подставив ее в саму функцию, вы получите наибольшее значение функции.

PS: Наверное, многие задумались, почему, подставляя точки минимума, мы получаем наибольшее значение. Ответ прост – если Ваша функция убывающая, то чем больше аргумент, тем меньше значение самой функции.

9) В своей статье я совсем не затронула задачи на вероятность. Думаю, со вторым номером из кимов справляются практически все. А вот 10 номер такой непредсказуемый, столько интересных и новых задач. И каждая задача не похожа на предыдущую… Здесь сложно дать какой-либо совет. Проработайте задачи из открытого банка ФИПИ, с сайта Решу ЕГЭ, посмотрите свежие сборники 2022 года, варианты Статграда.

Я постаралась очень кратко пробежаться по основным ошибкам выпускников. Если Вам эта статья будет хоть на 0,01 процента будет полезна, то значит, писалась она не зря.

PS: Хотелось бы выразить благодарность Филину Арсению Андреевичу за ценные замечания и помощь в публикации. Он опытный преподаватель, выпускник Физфака МГУ, в прошлом призер олимпиад Физтех и Ломоносов.
Ну а если Вы хотите повторить все темы перед экзаменом, обобщить знания, проработать свои ошибки и узнать еще больше подводных камней, смело могу порекомендовать финальный курс по математике, который будет проводить сам Арсений. Старт 17 мая.

Источник

Ошибки ЕГЭ: чего опасаться на профильной математике

Типичные ошибки в Задании 2

Основные ошибки в Задании 6

Ошибки в Задании 7

Ошибки в Задании 8

Ошибки, типичные для ЕГЭ по профильной математике

Распространенные ошибки в Задании 9

Ошибки в Задании 12

Источник

Подготовила учитель математики
МОУ «СОШ №2 г.Верхнеуральска»
Почтова О.Н.

2. „Математика — это ключ и дверь ко всем наукам.“ — Галилео Галилей

„Математика — это ключ
и дверь ко всем наукам.“
— Галилео Галилей

3. ЕГЭ математика (профильный уровень)

4. ЕГЭ математика (профильный уровень)

5. ЕГЭ математика (профильный уровень)

6. ЕГЭ математика (профильный уровень)

7. ЕГЭ математика (профильный уровень)

8. ЕГЭ математика (анализ заданий)

9. ЕГЭ математика (анализ заданий)

10. ЕГЭ математика (анализ заданий)

11. ЕГЭ математика (анализ заданий)

12. ЕГЭ математика (анализ заданий)

13. ЕГЭ математика (анализ заданий)

14. ЕГЭ математика (анализ заданий)

15. ЕГЭ математика (анализ заданий)

16. ЕГЭ математика (анализ заданий)

17. ЕГЭ математика (анализ заданий)

18. ЕГЭ математика (анализ заданий)

19. ЕГЭ математика (анализ заданий)

20. ЕГЭ математика (анализ заданий)

21. ЕГЭ математика (анализ заданий)

22. ЕГЭ математика (анализ заданий)

23. ЕГЭ математика (анализ заданий)

24. ЕГЭ математика (анализ заданий)

25. ЕГЭ математика (анализ заданий)

26. Рекомендации по совершенствованию преподавания учебного предмета всем обучающимся

27. Рекомендации по совершенствованию преподавания учебного предмета всем обучающимся

28. Методическая помощь учителям и обучающимся при подготовке к ЕГЭ

29. СПАСИБО за внимание!!!

Здесь мы приведем анализ типичных ошибок 2022 и дадим советы, как их не допустить при сдаче ОГЭ/ЕГЭ по математике. Следите за нашим телеграм-каналом – там мы будем разбирать и другие дисциплины, чтобы помочь вам в поступлении.