Типичные ошибки при решении тригонометрических уравнений

math4school.ru

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

5 – x	–	5 + 3х	= 0 .
x – 1	x 2 – 1

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

2	+ х 2 –	2	– 4х = 0 .
3х 2	3х 2

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

tg ( x + y ) =	tg x + tg y
1 – tg x · tg y

sin 2 x =	2 tg x
1 + tg 2 x

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^<1/4>-6=left(x-3 right)^<1/2>.)

L Неправильное решение.

Сделав замену ( left(x-3 right)^<1/2>=t), считают, что ( left(x-3 right)^<1/4>=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^<1/4>=t), тогда ( left(x-3 right)^<1/2>=t^2) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt<2x^2-8x+12>=6.)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt<(x+3)^2>=x+3.)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _<5>>^2 ;x=0.)

L Неправильное решение.

(left(1 +2 log _<5>xright)log _<5>x=0;)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_<4x>sqrt+ 7log_<16x>x^3-3log _x^2=0.)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .

Типичные ошибки в заданиях по тригонометрии на ГИА

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Типичные ошибки, допускаемые учащимися при выполнении ГИА

(Никифоренко Инга Николаевна, Макеевская ОШ 21-3 ст. № 53)

1. Типичная ошибка: при нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла.

1. Упражнение. Найти ctg α, если sin α = 0,8.

1 + ctg2 α = sin–2 α,

1 + ctg2 α = 25/16,

Комментарий: здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.

Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:

1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;

2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.

Комментарий: При объяснении данной темы необходимо как можно больше внимания уделять единичной окружности, работе с ней. Учащиеся должны четко усвоить, что от того, в какой четверти может находиться искомая функция, зависит не только значение, но и знак функции, которую находим.

Во избежание подобных ошибок необходимо многократное повторение и решение подобных упражнений, выработка навыка работы с единичной окружностью.

2.При упрощении тригонометрических выражений необходимо не только хорошо знать тригонометрические формулы, но и владеть навыками преобразования алгебраических выражений: правилами раскрытия скобок и заключения в скобки, формулами сокращенного умножения и т.п. Именно недостаточное знание формул курса алгебры провоцирует неправильное решение упражнений.

Пример. Упростить выражение: .

Решение: Перепишем выражение в виде: ·(1-

Здесь мы представили дробь в виде произведения, затем первый множитель заменили, используя формулу, и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений.

Комментарий: Трудности и ошибки при упрощении данного выражения возникают именно из-за незнания, либо плохого владения умением применить формулу суммы кубов двух выражений, а также неумения преобразовать дробь в произведение. Поэтому необходимо постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета, выполнения тестовых заданий и т.п.

3.При доказательстве тригонометрических тождеств учащиеся из-за незнания некоторых тригонометрических формул «придумывают свои», неправильно выполняют преобразования: раскрывают скобки либо выносят за скобки, производят неправильное сокращение дробей, а также не учитывают область допустимых значений.

Пример: Доказать тождество:

В данном тождестве некоторые учащиеся, например, производили неверное сокращение синусов, что свидетельствует о незнании правил сокращения дробей, а также не учитывали область допустимых значений.

2 способ :

Комментарии: Необходимо перед изучением темы разработать комплекс устных, тестовых и письменных упражнений с целью минимализации подобных ошибок. При объяснении материала необходимо акцентировать внимание учащихся на том, что тождество справедливо лишь при допустимых значениях переменных.

4. В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений неизвестного, ошибки по причине невнимательного отношения ко всем заданным в уравнении условиям; учащиеся также часто забывают, что сокращение всех членов уравнения на функцию, содержащую неизвестное, нередко приводит к потере корней уравнения. Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

Комментарий: этих и других ошибок можно избежать путем многократного решения однотипных уравнений. Нужно также учить не формальному подходу к решению уравнений, а рассуждать, объяснять ход своего решения.

Пример. Решить уравнение cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.

2sin 2x – 1 = sin 2x;

2x = π /2 + 2 π k, k ∈ Z;

x = π /4 + π k, k ∈ Z.

Ответ : π /4 + π k, k ∈ Z.

cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0;

cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;

cos x (sin 2x – 1) = 0;

1) cos x = 0; x = π /2 + π n, n ∈ Z;

2) sin 2x – 1 = 0; sin 2x = 1; 2x = π /2 + 2 π k, k ∈ Z; x = π /4 + π k, k ∈ Z.

Ответ : π /2 + π n, n ∈ Z; π /4 + π k, k ∈ Z.

Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

Пример. Решить уравнение sin x + cos x = 1.

(sin x + cos x) 2 = 12;

sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1;

1 + 2sin x cos x = 1;

Ответ: π n /2, n ∈ Z .

Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.

Дополним приведенное выше решение следующими рассуждениями.

Значениям x = πn/2, n ∈ Z соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – посторонним корням.

Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а на оси Оу – значения n = 4m + 1, гдеm ∈ Z, то

1) x = 4πk/2 = 2πk, k ∈ Z;

2) x = 4πm+π/2 = π/2 + 2πm, m ∈ Z.

Ответ: 2πk, k ∈ Z и π/2 + 2πm, m ∈ Z.

5. Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному, формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Пример. Решите неравенство

Решение . Все решения данного неравенства являются решениями двойного неравенства откуда получаем, что Ответ :

Комментарий. Здесь при решении тригонометрических неравенств допускались ошибки, связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной окружности.

Методы решения тригонометрических уравнений
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

В работе рассматриваются различные способы решения тригонометрических уравнений

и основные ошибки, которые при этом допускаются. Материал можно использовать

при подготовке к ЕГЭ как наиболее подготовленными школьниками, так и учителями.

Скачать:

Вложение	Размер
metody_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy.doc	425.5 КБ

Предварительный просмотр:

Методы решения тригонометрических уравнений, неравенств и систем.

Тригонометрическим уравнением называется равенство тригонометрических выражений, содержащих переменную только под знаком тригонометрических функций. Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. Тригонометрические уравнения сводятся цепочкой равносильных преобразований, заменами и решениями алгебраических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям. Уравнения sin x = х; tg 3x = х 2 +1 и т.д. не являются тригонометрическими и, как правило, решаются приближенно или графически. Может случится так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому. Например, 2(х – 6) cos 2x = х – 6, (х – 6)(2 cos 2x – 1) = 0, откуда х = 6 или cos 2x = , х = + π n, nZ.

Выделим основные методы решения тригонометрических равнений

1. Разложение на множители.
2. Введение новой переменной:

а) сведение к квадратному;

б) универсальная подстановка;

в) введение вспомогательного аргумента.

3. Сведение к однородному уравнению.

4. Применение формул.

5. Использование свойств функций, входящих в уравнение:

а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;

б) использование свойства ограниченности функции.

1.Уравнения, в которых все функции выражаются через одну тригонометрическую функцию от одного и того же аргумента.

Примеры: sin 2 x – cos x – 1 = 0,

tg 3x + 2 ctg 3x – 3 = 0.

Преобразованиями sin 2 x= 1 — cos 2 x и ctg 3x = эти уравнения приводятся к алгебраическим, решая которые получаем простейшие тригонометрические уравнения. Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

2.Уравнения, решаемые разложением на множители.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

sin 4x — cos 2x = 0,

2 sin 2x cos 2x — cos 2x = 0,

cos 2x (2 sin 2x – 1) = 0,

cos 2x = 0 или 2 sin 2x – 1 = 0.

3.Уравнения однородные относительно sin x и cos x.

Примеры: 3 sin 2 x + 4 sin x cos x + cos 2 x =0,

2 sin 3 5x — 2 sin 2 5x cos 5x + sin 5x cos 2 5x – cos 3 x =0,

3 sin 7x — 2 cos 7x =0.

Если первый коэффициент не равен нулю, то разделив обе части уравнения на cos n x, получим уравнение n- степени, относительно tg. Решая полученное уравнение перейдем к простейшему. При делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения cos x =0 корнями данного уравнения. Если cos x =0, то из уравнений следует, что sin x = 0. Однако sin x и cos x не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством sin 2 x + cos 2 x = 1. Следовательно, при делении уравнения на cos n x, получаем уравнение, равносильное данному. В случае, если первый или последний коэффициент равен нулю, то имеет смысл вынести за скобки sin x или cos x. Решить уравнение приравняв к нулю каждый множитель.

4.Уравнения, сводящиеся к однородным.

Примеры: 3 sin 2 x — sin x cos x — 4cos 2 x =2,

sin 3 x + sin x cos 2 x – 2cos x =0.

Эти уравнения сводятся к однородным уравнениям следующим образом:

3 sin 2 x — sin x cos x — 4cos 2 x =2 (sin 2 x + cos 2 x),

sin 3 x + sin x cos 2 x – 2cos x(sin 2 x + cos 2 x) =0.

5. Уравнения, линейные относительно sin x и cos x

а sin x + в cos x = с, где а, в и с – любые действительные числа.

Если а=в=0, а с0, то уравнение теряет смысл;

Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество.

Рассмотрим случай, когда а,в,с 0.

sin x + 4 cos x = 1,

3 sin 5x — 4 cos 5x = 2,

2 sin 3x + 5 cos 3x = 8.

Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7.

Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tg ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими.

Рассмотрим последний из них.

Разделим обе части уравнения на .

Так как += 1, то найдется аргумент φ, при котором

Уравнение примет вид sin x cos φ + sin φ cos x = .

Используя формулу получим sin (x+ φ) = .

Следовательно решением уравнения будет х = (-1) n arcsin — arccos+ π n, nZ.

Решение этого уравнения существует при a 2 + b 2 c 2 .

6.Уравнения, сводящиеся к равенству одной тригонометрической функции от различных аргументов:

1) sin x = sin у, 2) cos x = cos у, 3) tg x = tg у.

При решении этих уравнений можно применить метод использования условий равенства одноименных тригонометрических функций. Равенство этих функций имеет место тогда и только тогда, когда, соответственно, x = (-1) n y + π n,

f(x) = π — g(x) + 2 π n

Примеры: cos 4x = sin 6х, сtg x = tg .

Первое уравнение с помощью формул приведения приводим к виду : sin(- 4x) = sin 6х, а второе – к виду tg (- x) = tg .

Решим уравнение tg 3x tg (5x + ) = 1.

Разделим обе части уравнения на tg 3x. Это допустимо, так как в данных условиях tg 3x не может равняться нулю:

tg (5x + ) = , tg (5x + ) = сtg 3x, tg (5x + ) = tg ( — 3x).

На основании условия равенства тангенсов двух углов имеем:

8х = + π n; х = + ; х = (6n + 1) , nZ.

При каждом значении х из этой совокупности каждая из частей уравнения tg (5x + ) = tg ( — 3x) существует.

Уравнения sin x = sin у и cos x = cos у можно решать и с применением формул, заменив разность функций произведением.

7. Выделение полного квадрата в тригонометрических уравнениях.

sin 4 x + cos 4 x = sin 2х,

cos 6 x + sin 6 х = cos 2x,

cos 6 x + sin 6 х + sin 4 x + cos 4 x = 1 — sin 2х.

Данный метод можно применить для уравнений, содержащих следующие выражения:

sin 4 x + cos 4 x, cos 6 x sin 6 х, sin 8 х cos 8 x.

Преобразуем первое выражение:

sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x +cos 4 x — 2 sin 2 x cos 2 x = (sin 2 x + cos 2 x) 2 — 2= 1 — sin 2 2х .

Преобразуем второе выражение:

cos 6 x + sin 6 х = (cos 2 x + sin 2 х) ( sin 4 x — sin 2 x cos 2 x +cos 4 x) = 1 — sin 2 2х — sin 2 2х = 1 — sin 2 2х.

cos 6 x — sin 6 х = (cos 2 x — sin 2 х) ( sin 4 x + sin 2 x cos 2 x +cos 4 x) = cos 2x (1 — sin 2 2х + sin 2 2х) = cos 2x (1 — sin 2 2х).

Можно упростить эти выражения и с помощью формул понижения степени.

8. Уравнения вида f(sin х + cos x, sinх cosx) = 0, f(sin х — cos x, sinх cosx) = 0.

Решить такие уравнения можно заменой sin х + cos x = t или sin х — cos x = t.

sin х + cos x = 1 + sin 2х,

6 sinх cosx + 2 sin х = 2 + 2 cos x,

3 sin 3х = 1 + 3 cos 3x — sin 6х.

После преобразования и соответствующей замены эти уравнения сводятся к квадратным. В первом уравнении, сделав замену sin х + cos x = t, получим

sin 2 x + 2 sin x cos x +cos 2 x = t 2 , 1 + sin 2х = t 2 , sin 2х = 1 — t 2 . Уравнение примет вид t = 1 + 1 — t 2 .

9. Универсальная тригонометрическая подстановка tg = t.

Эта подстановка позволяет рационально выразить все тригонометрические функции через одну переменную.

sin х = ; cos x = ; tg x = .

Значит, если tg = t, то sin х = , cos x = , tg x = . Универсальная подстановка может привести к потере корней, так как tg не существует при = + π n, значит x π + 2 π n.

ctg + sin х + tg x = 1,

sin 2х + cos x = 2 — tg x.

Решим уравнение ctg = 2 — sin х.

Пусть tg = t, тогда sin х = , а так как tg ctg = 1, то ctg = .

Получим = 2 — , 2 t 3 – 3t 2 + 2t – 1= 0, (t — 1)(2t 2 – t + 1) = 0.

Уравнение 2t 2 – t + 1 = 0 не имеет решений, значит t – 1 = 0, t = 1.

Следовательно, tg = 1, x = + 2 π n, nZ. Убедимся, что x = π + 2 π n не является решением исходного уравнения.

10 . Метод использования свойства ограниченности функции.

Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(х) и g(х) таковы, что для всех х выполняются неравенства f(х)а и g(х) в, и дано уравнение

f(х) + g(х) = а + в, то оно равносильно системе

3 sin 5 x + 2 cos 5 x = 5 ⇔

2 sin 2 2x + 1 = cos 5x ⇔

sin 9х + cos 3x = — 2 ⇔

Решим последнее уравнение sin — cos 6x = 2.

Так как и , то имеем систему: ; ;

Покажем общее решение на тригонометрической окружности. Решение первого уравнения системы обозначим , а второго – точкой и найдем их общее решение.

Нужна ли проверка решения тригонометрического уравнения? На этот вопрос утвердительно ответить нельзя. Если тригонометрическое уравнение представляет собой целый многочлен относительно синуса и косинуса и если грамотно решать уравнение, то проверка может понадобится только для самоконтроля – для уверенности в правильности решения. Проверка, как правило, не нужна. Если следить в процессе решения уравнения за равносильностью перехода, то проверку решения можно не делать. Если же решать уравнение без учета равносильности перехода, то проверка обязательно нужна, особенно когда уравнение содержит тангенс, котангенс, дробные члены или тригонометрические функции от неизвестного, входящие под знак радикала. Не сделав в этом случае проверку, приходят к грубым ошибкам, к посторонним решениям. При решении уравнений, содержащих дробные члены, нужно следить за сокращением дробей, ссылаясь на основное свойство дроби. В этом случае мы избегаем посторонних корней и избавляем себя от проверки найденных решений.

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

1. Делим на g(х).
2. Применяем опасные формулы.

1 сosx = sinx* sin,

Заменим левую часть уравнения по формуле 1 — сosx = 2sin 2 ,

а правую часть уравнения по формуле sinx = 2sin *cos , получим

2sin 2 = 2sin * сos *sin , разделим на 2 sin 2 обе части уравнения, получим 1 = сos , решая это уравнение, найдем корни = 2 π n, x = 4 π n, n Z.

Потеряли корни sin = 0, х = 2 π k, k Z.

Правильное решение: 2sin 2 (1 – сos ) = 0.

sin 2 = 0 или 1 – сos = 0

x = 2 π k, k ∈ Z. x = 4 π n, n ∈ Z.

Ответ: x = 2 π k, k ∈ Z, x = 4 π n, n ∈ Z.

2. Посторонние корни.

1. Освобождаемся от знаменателя.
2. Возводим в четную степень.

( sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx — 1):(2sin2x — ) = 0.

Практическое занятие №2

Тема: «Разобрать с методическими комментариями типичные ошибки, допускаемые обучающимися при выполнении ГИА»

1)Тригонометрические функции.

Допускаемые ошибки:

1) ученики плохо понимают, что такое тригонометрическая окружность и как с нею связаны тригонометрические функции;

2) не владеют умением распознавать разные типы тригонометрических уравнений и применять нужные алгоритмы для их решения, выбирать решения уравнения, принадлежащие заданному интервалу;

3) допускают ошибки при определении знаков тригонометрических функций;

4) неправильно наносят точки поворота на целое число радиан;

5) вычислять значения тригонометрических выражений,

6) что такое обратные функции и как их находить;

Комментарии: Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:

— область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;

— периодичность всех тригонометрических функций, наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой  . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.

2) Тригонометрические преобразования

В преобразованиях очень часто допускают ошибку, что

tg60⁰=2tg30⁰; sin60⁰=2sin30⁰, т.е. tg2α=2tgα; sin2α=2sinα

Предупреждение этой ошибки можно проводить двумя способами:

а) с помощью графика функций.

Из графика видно, что тригонометрические функции не пропорциональны углам, поэтому sin2α ≠ 2sinα; tg2α ≠ 2tgα; 

б) sin60⁰≠2sin30⁰; sin2α≠2sinα, т.к.  ; 

Поэтому необходимо постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета и выполнения тестовых заданий.

3) Доказательство тождеств

При доказательстве тождеств чаще всего допускаются ошибки при использовании тригонометрических формул, формул зависимости между синусом и косинусом, тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом, тангенсом и котангенсом при этом соблюдать алгоритм доказательств тождеств:

— преобразование правой части к левой;

— преобразование левой части к правой;

— установление того, что разность между правой и левой частями равна нулю;

— преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.

Пример:

Доказать тождество cos² α = (1 – sin α)(1 + sin α).

Доказательство:

(1 – sin α)(1 + sin α) = 1 – sin² α = cos² α

Поэтому для выполнения тождественных преобразований тригонометрических выражений необходимо использовать не только данные тригонометрические тождества, но и другие формулы тригонометрии, а также алгебраические преобразования, например, действия с дробями, вынесение за скобки общего множителя, формулы сокращённого умножения. 

4) Тригонометрические уравнения

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения рекомендуется выделить три этапа:

1. подготовительный,

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства,

3. введение тригонометрических уравнений и неравенств других видов и установление приемов их решения.

При решении уравнений вида sin2x = 1,5 ученики допускают ошибки,

чтобы устранить их , надо еще раз вспомнить определение тригонометрической функции синус угла и обратить внимание на то, что синус угла – это единое целое, что это число и разрывать его нельзя.

При решении уравнения sin2x = 1,5 ученики начинают по таблицам искать угол 2x, по значению функции, забывая, что синус угла по абсолютной величине не превышает 1. Надо здесь поставить вопрос: «Какие значения принимает синус угла? Ученики дают верный ответ: Значит, sinα ≠ 1,5. Синус любого угла по абсолютной величине не больше 1, следовательно sin2х ≠ 1,5, т.е. данное уравнение не имеет решения.

5) Тригонометрические неравенства

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства, также можно выделить 3 этапа.

1. подготовительный,

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;

3. введение тригонометрических неравенств других видов.

Допускают ошибки:

• при решении тригонометрических неравенств , связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной окружности

• при решении простейшие неравенства вида sinx  1, sinx  x  1, cosx с помощью свойств функций синус и косинус;

• при составлении двойных неравенства для дуг числовой окружности или для дуг графиков функций;

• при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.

Учитель должен обратить внимание учащихся на различные способы выполнения задания, дать соответствующий образец решения неравенства и графическим способом и с помощью тригонометрического круга.

Решить неравенство 

Решение неравенства с помощью круга.

Решим тригонометрическое неравенство  .

1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку   и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен  .

2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем  . Эта дуга расположена выше проведенной прямой.

3. Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности  .

4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги  .Таким образом, мы видим, что неравенству  удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство  . Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде 

Поэтому, чтобы решить неравенство  , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни  и  , и записать ответ неравенства в виде:  .

Преподавание темы «Тригонометрические функции» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.

Изучение тригонометрических функций будет более эффективным в том случае, когда:

1) построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;

2) каждое свойство функции четко обосновано и все они сведены в систему;

3) твердое знание всех формул, как в прямом, так и в обратном порядке.

Для предупреждения и устранения ошибок, необходимо больше уделять внимание решению задач и упражнений, как в школе, так и дома. Для развития и поддержания интереса к данной теме следует использовать на уроках упражнения практического характера по тригонометрии, рассмотреть тригонометрические функции в алгебраических и физических задачах.

Методика работы с задачами с ошибками может быть следующей:

• Индивидуальная, парная или групповая работа. Задачи с ошибками могут быть представлены в раздаточном материале (карточки) или на слайдах презентации.

• Совместное обсуждение ошибок.

• Проверка результатов и подведение итогов учителем.

• Примеры заданий с ошибками по многим темам можно составить самим или найти в литературных и интернет-источниках.

• Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика для поступающих в ВУЗы.

Раздел пособия так и называется: «Учимся на чужих ошибках».

• http://math4school.ru/rabota_nad_oshibkami.html

• Раздел сайта «Мath4school» называется «Работа над ошибками», содержит большое количество примеров с решениями и подробным анализом ошибок.

Типичные ошибки в заданиях по тригонометрии на ГИА

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Типичные ошибки, допускаемые учащимися при выполнении ГИА

(Никифоренко Инга Николаевна, Макеевская ОШ 21-3 ст. № 53)

1. Типичная ошибка: при нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла.

1. Упражнение. Найти ctg α, если sin α = 0,8.

1 + ctg2 α = sin–2 α,

1 + ctg2 α = 25/16,

Комментарий: здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.

Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:

1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;

2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.

Комментарий: При объяснении данной темы необходимо как можно больше внимания уделять единичной окружности, работе с ней. Учащиеся должны четко усвоить, что от того, в какой четверти может находиться искомая функция, зависит не только значение, но и знак функции, которую находим.

Во избежание подобных ошибок необходимо многократное повторение и решение подобных упражнений, выработка навыка работы с единичной окружностью.

2.При упрощении тригонометрических выражений необходимо не только хорошо знать тригонометрические формулы, но и владеть навыками преобразования алгебраических выражений: правилами раскрытия скобок и заключения в скобки, формулами сокращенного умножения и т.п. Именно недостаточное знание формул курса алгебры провоцирует неправильное решение упражнений.

Пример. Упростить выражение: .

Решение: Перепишем выражение в виде: ·(1-

Здесь мы представили дробь в виде произведения, затем первый множитель заменили, используя формулу, и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений.

Комментарий: Трудности и ошибки при упрощении данного выражения возникают именно из-за незнания, либо плохого владения умением применить формулу суммы кубов двух выражений, а также неумения преобразовать дробь в произведение. Поэтому необходимо постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета, выполнения тестовых заданий и т.п.

3.При доказательстве тригонометрических тождеств учащиеся из-за незнания некоторых тригонометрических формул «придумывают свои», неправильно выполняют преобразования: раскрывают скобки либо выносят за скобки, производят неправильное сокращение дробей, а также не учитывают область допустимых значений.

Пример: Доказать тождество:

В данном тождестве некоторые учащиеся, например, производили неверное сокращение синусов, что свидетельствует о незнании правил сокращения дробей, а также не учитывали область допустимых значений.

2 способ :

Комментарии: Необходимо перед изучением темы разработать комплекс устных, тестовых и письменных упражнений с целью минимализации подобных ошибок. При объяснении материала необходимо акцентировать внимание учащихся на том, что тождество справедливо лишь при допустимых значениях переменных.

4. В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений неизвестного, ошибки по причине невнимательного отношения ко всем заданным в уравнении условиям; учащиеся также часто забывают, что сокращение всех членов уравнения на функцию, содержащую неизвестное, нередко приводит к потере корней уравнения. Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

Комментарий: этих и других ошибок можно избежать путем многократного решения однотипных уравнений. Нужно также учить не формальному подходу к решению уравнений, а рассуждать, объяснять ход своего решения.

Пример. Решить уравнение cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.

2sin 2x – 1 = sin 2x;

2x = π /2 + 2 π k, k ∈ Z;

x = π /4 + π k, k ∈ Z.

Ответ : π /4 + π k, k ∈ Z.

cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0;

cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;

cos x (sin 2x – 1) = 0;

1) cos x = 0; x = π /2 + π n, n ∈ Z;

2) sin 2x – 1 = 0; sin 2x = 1; 2x = π /2 + 2 π k, k ∈ Z; x = π /4 + π k, k ∈ Z.

Ответ : π /2 + π n, n ∈ Z; π /4 + π k, k ∈ Z.

Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

Пример. Решить уравнение sin x + cos x = 1.

(sin x + cos x) 2 = 12;

sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1;

1 + 2sin x cos x = 1;

Ответ: π n /2, n ∈ Z .

Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.

Дополним приведенное выше решение следующими рассуждениями.

Значениям x = πn/2, n ∈ Z соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – посторонним корням.

Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а на оси Оу – значения n = 4m + 1, гдеm ∈ Z, то

1) x = 4πk/2 = 2πk, k ∈ Z;

2) x = 4πm+π/2 = π/2 + 2πm, m ∈ Z.

Ответ: 2πk, k ∈ Z и π/2 + 2πm, m ∈ Z.

5. Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному, формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Пример. Решите неравенство

Решение . Все решения данного неравенства являются решениями двойного неравенства откуда получаем, что Ответ :

Комментарий. Здесь при решении тригонометрических неравенств допускались ошибки, связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной окружности.

math4school.ru

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

5 – x	–	5 + 3х	= 0 .
x – 1	x 2 – 1

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

2	+ х 2 –	2	– 4х = 0 .
3х 2	3х 2

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

tg ( x + y ) =	tg x + tg y
1 – tg x · tg y

sin 2 x =	2 tg x
1 + tg 2 x

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^<1/4>-6=left(x-3 right)^<1/2>.)

L Неправильное решение.

Сделав замену ( left(x-3 right)^<1/2>=t), считают, что ( left(x-3 right)^<1/4>=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^<1/4>=t), тогда ( left(x-3 right)^<1/2>=t^2) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt<2x^2-8x+12>=6.)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt<(x+3)^2>=x+3.)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _<5>>^2 ;x=0.)

L Неправильное решение.

(left(1 +2 log _<5>xright)log _<5>x=0;)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_<4x>sqrt+ 7log_<16x>x^3-3log _x^2=0.)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .

Типичные ошибки в решении задания С1(потеря корней, появление «посторонних» корней)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

В презентации для подготовки к ЕГЭ по математике представлены решения двух заданий (тригонометрических уравнений), где подробно рассмотрены возможности появления посторонних корней и потери корней при различных преобразованиях. Это типичные ошибки в решении учащихся.Презентацию можно использовать для интерактивной доски.

Скачать:

Вложение	Размер
tipichnye_oshibki_v_reshenii_zadaniya_s1.pptx	230.52 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Типичные ошибки в решении задания С1 ЕГЭ по математике (потеря корней, появление «посторонних» корней) Учитель математики МБОУ СОШ № 143 г.Красноярска Князькина Т. В.

Первое задание: а) Решите уравнение: б ) Найдите все корни на промежутке [ ] При решении уравнения попытаемся представить тангенс суммы двух углов по формуле Получилось: И – внимание! – потеря корня!

Смотрите внимательно: после этого преобразования мы получили отдельно стоящий tgx . Но tgx не определен при . А в исходном уравнении x вполне мог быть равен . То есть, выполняя это невинное преобразование, мы сузили ОДЗ . Поэтому, выполняя преобразование нужно следить за тем, что происходит с областью допустимых значений.

Итак, мы идем другим путем. Запишем tgx и ctgx через sin и cos : Используем формулы синуса и косинуса суммы:

Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на : Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю : Перенесем все влево:

Вынесем за скобку общий множитель : Приведем выражение в скобках к общему знаменателю : Знаменатель дроби не равен нулю, то есть и

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю : или 1. — вот он, потерянный корень ! 2. Раскроем скобки, приведем подобные члены :

Итак, мы получили два решения:

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку [ ]: ]:

На рисунке красными точками обозначены решения уравнения; синей дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни ; угловая величина сиреневой дуги равна дуги равна Двигаясь из точки , мы встречаем на пути , Это и есть корни уравнения, принадлежащие промежутку [ ]. не принадлежит заданному промежутку.

Мы видим, что корень не принадлежит заданному промежутку . Ответ: а) б) , ,

И второе задание : а) Решите уравнение: б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [ ] Засада в этом уравнении такая: когда мы ищем ОДЗ, то записываем и Будет ошибкой записать ОДЗ : Нельзя забывать, что не определен при , то есть в конечном итоге мы получаем такую ОДЗ:

Собственно, больше никаких сложностей в этом уравнении нет . Умножим обе части на :

Отсюда: или И вот в этом месте важно не пропустить, что корень уравнения – посторонний корень, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения ! Но у нас еще есть корни уравнения или

Осталось выбрать корни, принадлежащие промежутку [ ] На рисунке красными точками на зеленой окружности обозначены решения уравнения; красной дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни; угловая величина сиреневой дуги равна

Двигаясь из точки мы встречаем на пути – это и есть корень уравнения, принадлежащий промежутку . Ответ: а) или б)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Типичные ошибки при выполнении заданий части С теста ЕГЭ по химии

Каждый сдающий ЕГЭ по химии должен быть готов к тому, что на выполнение экзаменационной рабо­ты, состоящей из трех частей и включающей в себя 45 заданий, отводится 3 астрономических часа, или 180 мину.

ЕГЭ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ: Типичный ошибки при выполнении задания 27

Рекомендиции по выполнению задания 27.

Методические приемы решения заданий части С: типичные ошибки учащихся.

В заданиях Части 2 сделан акцент:на проверку владения алгебраическим аппаратом;на проверку освоения базовых идей математического анализа;на проверку умения логически грамотно излагать свои аргументы;н.

Самостоятельная работа на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»

Вашему вниманию предлагаю самостоятельную работу на тему «Комплекс уравнений, при ре​шении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их.

Самостоятельная работа «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»

Работа в помощь слушателям курсов преподавания алгебры.

Типичные ошибки учащихся при решении пробных заданий ОГЭ (модуль «Алгебра») и методы их предотвращения

При выполнении пробных заданий ОГЭ учащимися допускается ряд типичных ошибок, в связи с чем, была предпринята попытка их систематизировать и предложить методы их предотвращения.

Конспект урока по теме «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств»

Даннная разработка может быть интересна для учителей, которые хотят обратить внимание учащихся на типичные ошибки при решении логарифмических уравненияхи неравенств.

Методы решения тригонометрических уравнений, неравенств и систем.

   Тригонометрическим уравнением называется равенство тригонометрических выражений, содержащих переменную только под знаком тригонометрических функций. Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. Тригонометрические уравнения сводятся цепочкой равносильных преобразований, заменами и решениями алгебраических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям. Уравнения sin x = х; tg 3x = х2+1 и т.д. не являются тригонометрическими и, как правило, решаются приближенно или графически. Может случится так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому. Например,    2(х – 6) cos 2x = х – 6, (х – 6)(2 cos 2x – 1) = 0, откуда х = 6 или  cos 2x = , х =   + πn, nZ.

Выделим основные методы решения тригонометрических равнений

1. Разложение на множители.
2. Введение новой переменной:

а)   сведение к квадратному;

б)   универсальная подстановка;

в)   введение вспомогательного аргумента.

3.   Сведение к однородному уравнению.

4.   Применение формул.

5.   Использование свойств функций, входящих в уравнение:

      а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;

      б) использование свойства ограниченности функции.

1.Уравнения, в которых все функции выражаются через одну тригонометрическую функцию от одного и того же аргумента.

Примеры:    sin2 x – cos x – 1 = 0,

                      tg 3x + 2 ctg 3x – 3 = 0.

Преобразованиями  sin2 x= 1 — cos2 x и  ctg 3x =  эти уравнения приводятся к алгебраическим, решая которые получаем простейшие тригонометрические уравнения. Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

2.Уравнения, решаемые разложением на множители.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Например:  

 sin 4x — cos 2x = 0,

2 sin 2x cos 2x — cos 2x = 0,

cos 2x (2 sin 2x – 1) = 0,

cos 2x = 0  или  2 sin 2x – 1 = 0.

3.Уравнения однородные относительно sin x и cos x.

Примеры:     3 sin2 x + 4 sin x cos x + cos2 x =0,

        2 sin3 5x — 2 sin2 5x cos 5x +  sin 5x cos 25x – cos3 x =0,

                             3 sin 7x — 2 cos 7x =0.

Если первый коэффициент не равен нулю, то разделив обе части уравнения на cosn x, получим уравнение n- степени, относительно tg. Решая полученное уравнение перейдем к простейшему. При делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения cos x =0 корнями данного уравнения. Если cos x =0, то из уравнений следует, что sin x = 0. Однако  sin x  и cos x не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством  sin2 x + cos2 x = 1.  Следовательно, при делении  уравнения  на  cosn x, получаем уравнение,  равносильное данному. В случае, если первый или последний коэффициент равен нулю, то имеет смысл вынести за скобки sin x  или cos x. Решить уравнение приравняв к нулю каждый множитель.

4.Уравнения, сводящиеся к однородным.

Примеры:           3 sin2 x —  sin x cos x — 4cos2 x =2,

                              sin3 x +  sin x cos 2x – 2cos x =0.

Эти уравнения сводятся к однородным уравнениям следующим образом:

                              3 sin2 x —  sin x cos x — 4cos2 x =2 (sin2 x  +  cos2 x),

                              sin3 x +  sin x cos 2x – 2cos x(sin2 x  +  cos2 x) =0.

5. Уравнения, линейные относительно sin x и cos x

                  а sin x + в cos x = с, где а, в и с – любые действительные числа.

Если а=в=0, а с0, то уравнение теряет смысл;

Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество.

Рассмотрим случай, когда а,в,с 0.

Примеры:

                                    sin x + 4 cos x = 1,

        3 sin 5x — 4 cos 5x = 2,

                                    2 sin 3x + 5 cos 3x = 8.

Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7.

Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tg ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими.

Рассмотрим последний из них.

Разделим обе части уравнения на .

Так как += 1, то найдется аргумент φ, при котором

cos φ = ,   sin φ = .

Уравнение примет вид   sin x cos φ + sin φ cos x = .

Используя формулу получим  sin (x+ φ) = .

Следовательно решением уравнения будет х =   (-1)n arcsin  — arccos+πn, nZ.

Решение этого уравнения существует при a2 + b2  c2.

6.Уравнения, сводящиеся к равенству одной тригонометрической функции от различных аргументов:

1) sin x =  sin у,              2) cos x = cos у,       3) tg x = tg у.

При решении этих уравнений можно применить метод использования условий равенства одноименных тригонометрических функций. Равенство этих функций имеет место тогда и только тогда, когда, соответственно, x = (-1)n y +πn,

x =  ,    x = y + .

sin f(x) =  sin g(x) f(x) = g(x) + 2πk f(x) = π — g(x) + 2πn nZ, kZ

cos f(x)  = cos g(x) f(x) = g(x) + 2πk f(x) = -g(x) + 2πn nZ, kZ

tg f(x)  = tg g(x) f(x) = g(x) + πk g(x) + πn nZ, kZ

Примеры:         cos 4x =  sin 6х,         сtg x = tg .

Первое уравнение с помощью формул приведения приводим к виду :                  sin(- 4x) = sin 6х, а второе – к виду  tg (- x) = tg .

Решим уравнение tg 3x tg (5x + ) = 1.

Разделим обе части уравнения на tg 3x. Это допустимо, так как в данных условиях tg 3x не может равняться нулю:

 tg (5x + ) = , tg (5x + ) = сtg 3x, tg (5x + ) = tg ( — 3x).

На основании условия равенства тангенсов двух углов имеем:

5x + —  + 3x = πn;

8х =  + πn; х = + ; х = (6n + 1) , nZ.

При каждом значении х из этой совокупности каждая из частей уравнения  tg (5x + ) = tg ( — 3x) существует.

Уравнения  sin x =  sin у и  cos x = cos у можно решать и с применением формул, заменив разность функций произведением.

7.  Выделение полного квадрата в тригонометрических уравнениях.

Примеры:

        sin4 x + cos4 x  =  sin 2х,

                           cos6 x +  sin6 х  =  cos 2x,

          cos6 x +  sin6 х +  sin4 x + cos4 x  = 1 — sin 2х.

Данный метод можно применить для уравнений, содержащих следующие выражения:

                     sin4 x + cos4 x,    cos6 x   sin6 х,    sin8 х  cos8 x.

Преобразуем первое выражение:

sin4 x + cos4 x = sin4 x + 2 sin2 x cos 2x +cos4 x — 2 sin2 x cos 2x = (sin2 x + cos 2x)2 — 2= 1 —  sin2 2х .

Преобразуем второе выражение:

 cos6 x +  sin6 х  = (cos2 x +  sin2 х) ( sin4 x —  sin2 x cos 2x +cos4 x) = 1 —  sin2 2х —  sin2 2х = 1 —  sin2 2х.

cos6 x —  sin6 х =  (cos2 x —  sin2 х) ( sin4 x +  sin2 x cos 2x +cos4 x) = cos 2x (1 —  sin2 2х +  sin2 2х) = cos 2x (1 —  sin2 2х).

Можно упростить эти выражения и с помощью формул понижения степени.

8. Уравнения вида  f(sin х + cos x, sinх cosx) = 0,  f(sin х — cos x, sinх cosx) = 0.

Решить такие уравнения можно заменой  sin х + cos x = t или  sin х — cos x = t.

Примеры:  

                       sin х + cos x = 1 +  sin 2х,

                       6 sinх cosx + 2 sin х = 2 + 2 cos x,

                       3 sin 3х = 1 + 3 cos 3x — sin 6х.

После преобразования и соответствующей замены эти уравнения сводятся к квадратным. В первом уравнении, сделав замену sin х + cos x = t, получим

sin2 x + 2 sin x cos x +cos2 x = t2, 1 + sin 2х = t2, sin 2х = 1 — t2. Уравнение примет вид t = 1 + 1 — t2.

9. Универсальная тригонометрическая подстановка tg = t.   

Эта подстановка позволяет рационально выразить все тригонометрические функции через одну переменную.

            sin х = ;       cos x = ;     tg x = .

Значит, если tg = t, то  sin х = , cos x = , tg x = . Универсальная подстановка может привести к потере корней, так как tg не существует при =  + πn, значит x π + 2πn.

Примеры:

                   ctg + sin х + tg x = 1,

                   sin 2х + cos x = 2 — tg x.

Решим уравнение ctg = 2 — sin х.

Пусть tg = t, тогда  sin х = , а так как  tg ctg = 1, то ctg = .

Получим    = 2 — ,  2 t3 – 3t2 + 2t – 1= 0, (t — 1)(2t2 – t + 1) = 0.

Уравнение  2t2 – t + 1 = 0 не имеет решений, значит t – 1 = 0, t = 1.

Следовательно, tg = 1, x =  + 2πn,  nZ. Убедимся, что  x = π + 2πn не является решением исходного уравнения.

10. Метод использования свойства ограниченности функции.

Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(х) и g(х) таковы, что для всех х выполняются неравенства  f(х)а и g(х) в, и дано уравнение

f(х) + g(х) = а + в, то оно равносильно системе

Примеры:

                   3 sin5 x + 2 cos5 x = 5 ⇔ 

                   2 sin2 2x + 1 = cos 5x  ⇔ 

                   sin 9х + cos 3x = — 2  ⇔   

                   sin  — cos 6x = 2.

Решим последнее уравнение  sin  — cos 6x = 2.

Так как  и , то имеем систему: ; ;  

.

Покажем общее решение на тригонометрической окружности. Решение первого уравнения системы обозначим , а второго – точкой и найдем их общее решение.

Ответ: + 6πm, m.

      Нужна ли проверка решения тригонометрического уравнения? На этот вопрос утвердительно ответить нельзя. Если тригонометрическое уравнение представляет собой целый многочлен относительно синуса и косинуса и если грамотно решать уравнение, то проверка может понадобится только для самоконтроля – для уверенности в правильности решения. Проверка, как правило, не нужна. Если следить в процессе решения уравнения за равносильностью перехода, то проверку решения можно не делать. Если же решать уравнение без учета равносильности перехода, то проверка обязательно нужна, особенно когда уравнение содержит тангенс, котангенс, дробные члены или тригонометрические функции от неизвестного, входящие под знак радикала. Не сделав в этом случае проверку, приходят к грубым ошибкам, к посторонним решениям. При решении уравнений, содержащих дробные члены, нужно следить за сокращением дробей, ссылаясь на основное свойство дроби. В этом случае мы избегаем посторонних корней и избавляем себя от проверки найденных решений.

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

1.Потеря корней.

1. Делим на g(х).
2. Применяем опасные формулы.

1   сosx =  sinx* sin,

Решение.

Заменим левую часть уравнения по формуле           1 —  сosx = 2sin2 ,  

а правую часть уравнения по формуле                  sinx = 2sin *cos  , получим

2sin2  = 2sin * сos  *sin  , разделим на 2 sin2  обе части уравнения, получим 1 = сos ,   решая это уравнение, найдем корни        = 2 πn,        x = 4πn,       n   Z.

Потеряли корни  sin  = 0,   х = 2πk,  k  Z.

Правильное решение:        2sin2 (1 – сos ) = 0.

sin2  = 0        или      1 – сos  = 0

                                                    x = 2πk, k ∈ Z.               x = 4πn, n ∈ Z.

Ответ:   x = 2πk, k ∈ Z,   x = 4πn, n ∈ Z.

 2. Посторонние корни.

1. Освобождаемся от знаменателя.
2. Возводим в четную степень.                                                          

(sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx  — 1):(2sin2x — ) = 0.              

Решение.

О.Д.З.:   sin 2x ≠ .

2сos 3х sinx – сos3x + 2sinx  — 1 = 0

(сos3x + 1)(2sinx  — 1) = 0

1.  сos3x + 1 = 0,                               2.  2sinx  — 1 = 0

    х =  + ,   n ∈ Z.                    x = (-1)k + πk,   k ∈ Z.

π

У

Х

/

/

2π

                      0≤ х < π                                                                                               I. х =  + , n  Z               II. x = (-1)k  + πk, k Z                                       

      1.   n = 0                                         1.   k = 0                                    

            sin  =                                 sin  =                                          

          не удовл-т. О.Д.З.                         не удовл-т О.Д.З.                        

        2.   n = 1                                        2.    k = 1                                                                                    

            sin 2π = 0                                     sin  = —  

           удовл-т О.Д.З.                             удовл-т О.Д.З.

       3.   n = 2                             

                                                                   sin  = —                                 

                                                                   удовл-т О.Д.З.                                       

Ответ: х = π + 2πk,     x =  + 2πk,     x =  + 2πk,    k ∈ Z.

Решение систем тригонометрических уравнений и тригонометрических неравенств.

Методы решения систем тригонометрических уравнений объединяют приемы, характерные для решения систем любого типа, и технику решения тригонометрических уравнений.

 Например:    

1. Решить систему уравнений:

Из второго уравнения имеем: у = -х. Подставим это выражение в первое уравнение, получим      Значит, х = arctg 3 +πn и y=  — arctg 3 — πn, nZ.

1. Решить систему уравнений    

Преобразуем первое уравнение:

   tg x + tg y =

Применяя для числителя формулу синуса суммы и подставляя значение знаменателя из второго уравнения, получим уравнение  sin (x + y) = 1,

Из которого следует, что х + у =  + 2πn, значит у =  + 2πn – х.  Подставим это значение во второе уравнение, получим cosx cos( + 2πn – х) = , cosx sinx = ,

 sin 2x = , sin 2x = 1, 2x =  + 2πm, х =  + πm.   Следовательно,

у =  + 2πn —  — πm =  + (2n – m), n,m .

         Решение тригонометрических неравенств осложняется тем, что решения тригонометрических уравнений состоят из бесконечной серии корней и поэтому применение метода интервалов потребовало бы определения знака функции в бесконечном количестве интервалов. Но благодаря периодичности тригонометрических функций достаточно решить неравенство на отрезке длиной в период, а затем перенести полученный ответ на бесконечное число интервалов.

1. Решим неравенство

                                        cos 2x + sin x ≤ 0.

Выразим cos 2x через sin x, получим

                                             1 – 2sin2x + sin x ≤ 0.

Обозначим  sin x  через у, получим

                                                1 – 2у – 1 ≤ 0.

Корни уравнения  1 – 2у – 1 = 0 равны у1 = 1, у2 = — . Используя метод интервалов получим решение:

Следовательно, sin x ≤ —  или  sin x≥ 1. Так как  при всех значениях х, неравенство sin x≥ 1 равносильно равенству sin x = 1, что дает значения х =   + 2πn. Для решения неравенства sin x ≤ — используем единичную окружность.
Учитывая, что период равен 2π получим решение неравенства sin x ≤ — :

Окончательное решение:

, х =   + 2πn, n .

Системы неравенств можно решать с помощью единичной окружности придерживаясь следующего алгоритма:

1. Отметить на окружности решение первого неравенств.
2. Отметить решение второго неравенства.
3. Выделить общее решение (пересечение дуг).
4. Записать общее решение системы неравенств с учетом периода.

Например:

Ответ: t∈ (tb  + 2πn; ta + 2πn], n .

Типичные
ошибки, допускаемые учащимися при выполнении ГИА

(Никифоренко
Инга Николаевна, Макеевская ОШ 21-3 ст. № 53)

1. Типичная ошибка: при нахождении одной
из тригонометрических функций через заданное значение другой не
учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения
угла. 

1. Упражнение. Найти
 ctg α, если  sin α = 0,8.

Неправильное решение. 

1 + ctg2 α
= sin–2 α, 

1 + ctg2 α
= 25/16,

ctg2 α = 9/16,

ctg α
= 3/4.

Комментарий: здесь ошибка заключается в
том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так
и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо
искать решение отдельно в каждой четверти.

 Правильное решение.

Так как sin α > 0,
то α может находиться только в I или во II четверти, значит:

1) если α – угол первой
четверти, то ctg α = 3/4;

2) если α – угол второй
четверти, то ctg α = – 3/4.

Комментарий: При объяснении данной
темы необходимо как можно больше внимания уделять единичной окружности, работе
с ней. Учащиеся должны четко усвоить, что от того, в какой четверти может
находиться искомая функция, зависит не только значение, но и знак функции,
которую находим.

Во избежание  подобных ошибок необходимо 
многократное повторение и решение подобных упражнений, выработка навыка работы
с единичной окружностью.

2.При упрощении тригонометрических
выражений необходимо не только хорошо знать тригонометрические формулы, но и
владеть навыками преобразования алгебраических выражений: правилами раскрытия
скобок и заключения в скобки, формулами сокращенного умножения и т.п. Именно
недостаточное знание формул курса алгебры провоцирует неправильное решение
упражнений.

Пример. Упростить выражение: .

Решение: Перепишем выражение в виде: ·(1-

Здесь мы представили дробь в виде
произведения, затем первый множитель заменили, используя формулу, и получили
произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений –
формулу суммы кубов двух выражений.

Комментарий: Трудности и ошибки при
упрощении данного выражения возникают именно из-за незнания, либо плохого
владения умением применить формулу суммы кубов двух выражений, а также неумения
преобразовать дробь в произведение. Поэтому необходимо постоянное повторение
формул с помощью упражнений для устного счета, выполнения тестовых заданий и
т.п.

3.При доказательстве тригонометрических
тождеств учащиеся  из-за незнания некоторых тригонометрических формул
«придумывают свои», неправильно выполняют преобразования: раскрывают скобки
либо выносят за скобки, производят неправильное сокращение дробей, а также не
учитывают область допустимых значений.

Пример: Доказать тождество:

В данном тождестве некоторые учащиеся, например, производили
неверное сокращение синусов, что свидетельствует о незнании правил сокращения
дробей, а также не учитывали область допустимых значений.

Правильное решение.

1 способ:

  

2 способ:

Комментарии: Необходимо перед изучением темы разработать
комплекс устных, тестовых  и письменных упражнений с целью минимализации
подобных ошибок. При объяснении материала необходимо акцентировать внимание
учащихся на том, что тождество справедливо лишь при допустимых значениях переменных.

 4.
В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной
многих ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых
значений неизвестного, ошибки по причине невнимательного отношения ко всем
заданным в уравнении условиям; учащиеся также часто забывают,
что сокращение всех членов уравнения на функцию, содержащую неизвестное,
нередко приводит к потере корней уравнения. Еще одна причина появления ошибок
– недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке
посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать
единичную окружность.

Комментарий: этих и других ошибок можно
избежать путем многократного решения однотипных уравнений. Нужно также учить не
формальному подходу к решению уравнений, а рассуждать, объяснять ход своего
решения.

Пример. Решить уравнение
 cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.

  Неправильное решение. 

2sin 2x – 1 = sin 2x;

sin 2x = 1;

2x =   π/2 +
2πk, k ∈
Z;

x =   π/4 +
πk, k ∈
Z.

Ответ:  π/4 +
πk,
 k ∈ Z.

  Правильное решение.

cos x (2sin 2x – 1) –
cos x sin 2x = 0;

cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;

cos x (sin 2x – 1) = 0;

1) cos x = 0;  x =  π/2 +
πn, n ∈
Z;

2) sin 2x – 1 = 0;   sin 2x =
1;  2x = π/2 +
2πk, k ∈
Z;  x = π/4 + πk, k ∈
Z.

Ответ:  π/2 +
πn, n ∈
Z;   π/4 + πk, k ∈
Z.

Еще одна причина появления ошибок
– недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке
посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать
единичную окружность.

Пример. Решить уравнение
 sin x + cos x = 1.

 Неправильное решение. 

(sin x + cos x)² =
12;

sin2 x + 2sin x cos x +
cos2 x = 1;

1 + 2sin x cos x = 1;

sin 2x = 0;

2x = πn, n ∈
Z;

x = πn/2,
 n ∈ Z.

Ответ:  πn/2,
 n ∈
Z.

Комментарий. Так как при решении обе части
исходного уравнения возводили в квадрат, а его левая часть может быть как
положительной, так и отрицательной величиной, могли появиться посторонние
корни, следовательно, проверка обязательна.

  Правильное решение.

Дополним приведенное выше решение
следующими рассуждениями.

Значениям  x = πn/2,
 n ∈
Z  соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной окружности.
Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – посторонним
корням.

Так как зеленой точке
на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а
на оси Оу – значения n = 4m + 1, гдеm ∈ Z,
то

1) 
x = 4πk/2 = 2πk, k ∈
Z; 

2)
 x = 4πm+π/2 = π/2 + 2πm, m ∈
Z. 

Ответ: 2πk, k ∈
Z   и   π/2 + 2πm, m ∈
Z. 

 5. Тема “Тригонометрические неравенства”
является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися. Поэтому
очень важно последовательно, от простого к сложному,  формировать понимание
алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических
неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений
и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания
тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные
неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к.
любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших
тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики
синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать
тригонометрические неравенства на окружности.

Пример.  Решите
неравенство 

Решение. Все решения данного неравенства являются решениями двойного
неравенства  откуда получаем, что Ответ: 

Комментарий. Здесь при решении тригонометрических неравенств допускались
ошибки, связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на
единичной окружности.    

Практическое занятие №2

Тема: «Разобрать с методическими комментариями типичные ошибки, допускаемые обучающимися при выполнении ГИА»

1)Тригонометрические функции.

Допускаемые ошибки:

1) ученики плохо понимают, что такое тригонометрическая окружность и как с нею связаны тригонометрические функции;

2) не владеют умением распознавать разные типы тригонометрических уравнений и применять нужные алгоритмы для их решения, выбирать решения уравнения, принадлежащие заданному интервалу;

3) допускают ошибки при определении знаков тригонометрических функций;

4) неправильно наносят точки поворота на целое число радиан;

5) вычислять значения тригонометрических выражений,

6) что такое обратные функции и как их находить;

Комментарии: Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:

— область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;

— периодичность всех тригонометрических функций, наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой  . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.

2) Тригонометрические преобразования

В преобразованиях очень часто допускают ошибку, что

tg60⁰=2tg30⁰; sin60⁰=2sin30⁰, т.е. tg2α=2tgα; sin2α=2sinα

Предупреждение этой ошибки можно проводить двумя способами:

а) с помощью графика функций.

Из графика видно, что тригонометрические функции не пропорциональны углам, поэтому sin2α ≠ 2sinα; tg2α ≠ 2tgα; 

б) sin60⁰≠2sin30⁰; sin2α≠2sinα, т.к.  ; 

Поэтому необходимо постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета и выполнения тестовых заданий.

3) Доказательство тождеств

При доказательстве тождеств чаще всего допускаются ошибки при использовании тригонометрических формул, формул зависимости между синусом и косинусом, тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом, тангенсом и котангенсом при этом соблюдать алгоритм доказательств тождеств:

— преобразование правой части к левой;

— преобразование левой части к правой;

— установление того, что разность между правой и левой частями равна нулю;

— преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.

Пример:

Доказать тождество cos² α = (1 – sin α)(1 + sin α).

Доказательство:

(1 – sin α)(1 + sin α) = 1 – sin² α = cos² α

Поэтому для выполнения тождественных преобразований тригонометрических выражений необходимо использовать не только данные тригонометрические тождества, но и другие формулы тригонометрии, а также алгебраические преобразования, например, действия с дробями, вынесение за скобки общего множителя, формулы сокращённого умножения. 

4) Тригонометрические уравнения

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения рекомендуется выделить три этапа:

1. подготовительный,

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства,

3. введение тригонометрических уравнений и неравенств других видов и установление приемов их решения.

При решении уравнений вида sin2x = 1,5 ученики допускают ошибки,

чтобы устранить их , надо еще раз вспомнить определение тригонометрической функции синус угла и обратить внимание на то, что синус угла – это единое целое, что это число и разрывать его нельзя.

При решении уравнения sin2x = 1,5 ученики начинают по таблицам искать угол 2x, по значению функции, забывая, что синус угла по абсолютной величине не превышает 1. Надо здесь поставить вопрос: «Какие значения принимает синус угла? Ученики дают верный ответ: Значит, sinα ≠ 1,5. Синус любого угла по абсолютной величине не больше 1, следовательно sin2х ≠ 1,5, т.е. данное уравнение не имеет решения.

5) Тригонометрические неравенства

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства, также можно выделить 3 этапа.

1. подготовительный,

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;

3. введение тригонометрических неравенств других видов.

Допускают ошибки:

• при решении тригонометрических неравенств , связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной окружности

• при решении простейшие неравенства вида sinx  1, sinx  x  1, cosx с помощью свойств функций синус и косинус;

• при составлении двойных неравенства для дуг числовой окружности или для дуг графиков функций;

• при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.

Учитель должен обратить внимание учащихся на различные способы выполнения задания, дать соответствующий образец решения неравенства и графическим способом и с помощью тригонометрического круга.

Решить неравенство 

Решение неравенства с помощью круга.

Решим тригонометрическое неравенство  .

1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку   и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен  .

2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем  . Эта дуга расположена выше проведенной прямой.

3. Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности  .

4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги  .Таким образом, мы видим, что неравенству  удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство  . Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде 

Поэтому, чтобы решить неравенство  , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни  и  , и записать ответ неравенства в виде:  .

Преподавание темы «Тригонометрические функции» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.

Изучение тригонометрических функций будет более эффективным в том случае, когда:

1) построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;

2) каждое свойство функции четко обосновано и все они сведены в систему;

3) твердое знание всех формул, как в прямом, так и в обратном порядке.

Для предупреждения и устранения ошибок, необходимо больше уделять внимание решению задач и упражнений, как в школе, так и дома. Для развития и поддержания интереса к данной теме следует использовать на уроках упражнения практического характера по тригонометрии, рассмотреть тригонометрические функции в алгебраических и физических задачах.

Методика работы с задачами с ошибками может быть следующей:

• Индивидуальная, парная или групповая работа. Задачи с ошибками могут быть представлены в раздаточном материале (карточки) или на слайдах презентации.

• Совместное обсуждение ошибок.

• Проверка результатов и подведение итогов учителем.

• Примеры заданий с ошибками по многим темам можно составить самим или найти в литературных и интернет-источниках.

• Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика для поступающих в ВУЗы.

Раздел пособия так и называется: «Учимся на чужих ошибках».

• http://math4school.ru/rabota_nad_oshibkami.html

• Раздел сайта «Мath4school» называется «Работа над ошибками», содержит большое количество примеров с решениями и подробным анализом ошибок.

Слайд 1

Типичные ошибки в решении задания С1 ЕГЭ по математике (потеря корней, появление «посторонних» корней) Учитель математики МБОУ СОШ № 143 г.Красноярска Князькина Т. В.

Слайд 2

Первое задание: а) Решите уравнение: б ) Найдите все корни на промежутке [ ] При решении уравнения попытаемся представить тангенс суммы двух углов по формуле Получилось: И – внимание! – потеря корня!

Слайд 3

Смотрите внимательно: после этого преобразования мы получили отдельно стоящий tgx . Но tgx не определен при . А в исходном уравнении x вполне мог быть равен . То есть, выполняя это невинное преобразование, мы сузили ОДЗ . Поэтому, выполняя преобразование нужно следить за тем, что происходит с областью допустимых значений.

Слайд 4

Итак, мы идем другим путем. Запишем tgx и ctgx через sin и cos : Используем формулы синуса и косинуса суммы:

Слайд 5

Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на : Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю : Перенесем все влево:

Слайд 6

Вынесем за скобку общий множитель : Приведем выражение в скобках к общему знаменателю : Знаменатель дроби не равен нулю, то есть и

Слайд 7

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю : или 1. — вот он, потерянный корень ! 2. Раскроем скобки, приведем подобные члены :

Слайд 8

Итак, мы получили два решения:

Слайд 9

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку [ ]: ]:

Слайд 10

На рисунке красными точками обозначены решения уравнения; синей дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни ; угловая величина сиреневой дуги равна дуги равна Двигаясь из точки , мы встречаем на пути , Это и есть корни уравнения, принадлежащие промежутку [ ]. не принадлежит заданному промежутку.

Слайд 11

Мы видим, что корень не принадлежит заданному промежутку . Ответ: а) б) , ,

Слайд 12

И второе задание : а) Решите уравнение: б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [ ] Засада в этом уравнении такая: когда мы ищем ОДЗ, то записываем и Будет ошибкой записать ОДЗ : Нельзя забывать, что не определен при , то есть в конечном итоге мы получаем такую ОДЗ:

Слайд 13

Собственно, больше никаких сложностей в этом уравнении нет . Умножим обе части на :

Слайд 14

Отсюда: или И вот в этом месте важно не пропустить, что корень уравнения – посторонний корень, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения ! Но у нас еще есть корни уравнения или

Слайд 15

Осталось выбрать корни, принадлежащие промежутку [ ] На рисунке красными точками на зеленой окружности обозначены решения уравнения; красной дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни; угловая величина сиреневой дуги равна

Слайд 16

Двигаясь из точки мы встречаем на пути – это и есть корень уравнения, принадлежащий промежутку . Ответ: а) или б)

Типичные ошибки при изучении темы  «Тригонометрия»
Страшный зверь по имени «Тригонометрия» становится совсем ручным и послушным, если 
относиться к нему с пониманием. А для этого его нужно вырастить  буквально с 
«младенчества».
Типичные ошибки:
1) некоторые уч­ся плохо понимают, что такое тригонометрическая окружность, как с нею 
связаны тригонометрические функции;
2) не владеют умением распознавать разные типы тригонометрических уравнений и 
применять нужные алгоритмы для их решения,  выбирать решения уравнения, 
принадлежащие заданному интервалу;
3) допускают ошибки при определении знаков тригонометрических функций;
4) неправильно наносят точки поворота на целое число радиан;
 5)  пользоваться формулами приведения, не заучивая их,
 6) находить значения тригонометрических функций некоторых углов не только первой 
четверти,
 7) вычислять значения тригонометрических выражений ( незнание формул или неумение  
их применять); 
 что такое обратные функции и как их находить;
Методические рекомендации по предупреждению ошибок:
1. Типичная ошибка: при нахождении одной из тригонометрических функций через 
заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в 
зависимости от положения угла. 
1. Упражнение. Найти  ctg 
α
, если 
 sin 
α
 = 0,8.
Неправильное решение. 
,α  
 =α  sin–2 
1 + ctg2 
1 + ctg2 α = 25/16,
ctg2 α = 9/16,
ctg α = 3/4.
Комментарий: здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем 
получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg 
необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.
 = ±α
 3/4, поэтому 
 Правильное решение. α может находиться только в I или во II четверти, значит:
α
 > 0, то
Так как sin 
1) если α – угол первой четверти, то ctg 
2) если α – угол второй четверти, то ctg 
 =α  3/4;
 = –α
 3/4.
Комментарий: При объяснении данной темы необходимо как можно больше внимания 
уделять единичной окружности, работе с ней. Учащиеся должны четко усвоить, что от 
того, в какой четверти может находиться искомая функция, зависит не только значение, но
и знак функции, которую находим.
Во избежание  подобных ошибок я использую  многократное повторение и решение 
подобных упражнений, вырабатываю  у учащихся навык  работы с единичной окружностью.
2.При упрощении тригонометрических выражений необходимо не только хорошо знать 
тригонометрические формулы, но и владеть навыками преобразования алгебраических 
выражений: правилами раскрытия скобок и заключения в скобки, формулами 
сокращенного умножения и т.п. Именно недостаточное знание формул курса алгебры 
провоцирует неправильное решение упражнений.
Пример. Упростить выражение: 
1−tg2α+tg4α
cos2α
.
Решение: Перепишем выражение в виде: 
1−tg2α+tg4α
cos2α
= 1
cos2α ?(1­
tg2α
¿
¿
tg2α++tg4α¿=(1+tg2α)∙(1−tg2α+tg4α)=13+¿
Здесь мы представили дробь в виде произведения, затем первый множитель заменили, 
используя формулу, и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат
разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений.
Комментарий: Трудности и ошибки при упрощении данного выражения возникают именно 
из­за незнания, либо плохого владения умением применить формулу суммы кубов двух 
выражений, а также неумения преобразовать дробь в произведение. Поэтому необходимо 
постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета, выполнения 
тестовых заданий и т.п.
3.При доказательстве тригонометрических тождеств учащиеся  из­за незнания некоторых 
тригонометрических формул «придумывают свои», неправильно выполняют 
преобразования: раскрывают скобки либо выносят за скобки, производят неправильное 
сокращение дробей, а также не учитывают область допустимых значений.
Пример: Доказать тождество: В данном тождестве некоторые учащиеся, например, производили неверное сокращение 
синусов, что свидетельствует о незнании правил сокращения дробей, а также не учитывали 
область допустимых значений.
Правильное решение.
1 способ:
  
2 способ:
Комментарии: перед изучением темы разрабатываю  комплекс устных, тестовых  и 
письменных упражнений с целью минимализации подобных ошибок. При объяснении 
материала  акцентирую  внимание учащихся на том, что тождество справедливо лишь при 
допустимых значениях переменных.
 4. В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих 
ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений 
неизвестного, ошибки по причине невнимательного отношения ко всем заданным в 
уравнении условиям; учащиеся также часто забывают, что сокращение всех членов 
уравнения на функцию, содержащую неизвестное, нередко приводит к потере корней 
уравнения. Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. 
Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических 
уравнений часто удобно использовать единичную окружность.
Комментарий: этих и других ошибок можно избежать путем многократного решения 
однотипных уравнений. Нужно также учить не формальному подходу к решению 
уравнений, а рассуждать, объяснять ход своего решения. 
Пример. Решить уравнение  cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.
  Неправильное решение. 
2sin 2x – 1 = sin 2x;
sin 2x = 1;
2x =   π/2 + 2πk, k ∈ Z;
x =   π/4 + πk, k ∈ Z. Ответ:  π/4 + πk,  k ∈ Z.
  Правильное решение.
cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0;
cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;
cos x (sin 2x – 1) = 0;
1) cos x = 0;  x =  π/2 + πn, n ∈ Z;
2) sin 2x – 1 = 0;   sin 2x = 1;  2x = π/2 + 2πk, k ∈ Z;  x = π/4 + πk, k ∈ Z.
Ответ:  π/2 + πn, n ∈ Z;   π/4 + πk, k ∈ Z.
Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не 
забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто 
удобно использовать единичную окружность.
Пример. Решить уравнение  sin x + cos x = 1.
 Неправильное решение. 
(sin x + cos x)2 = 12;
sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1;
1 + 2sin x cos x = 1;
sin 2x = 0;
2x = πn, n ∈ Z;
x = πn/2,  n ∈ Z.
Ответ:  πn/2,  n ∈ Z.
Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а 
его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли 
появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.
  Правильное решение. Дополню  приведенное выше решение следующими рассуждениями.
π
 n ∈ Z  соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной 
Значениям  x =  n/2, 
окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – 
посторонним корням.
Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а на оси Оу – 
значения n = 4m + 1, гдеm ∈ Z, то
1)  x = 4 k/2π  = 2 k,π  k ∈ Z; 
π
/2π  + 2 m,π  m ∈ Z. 
π  = 
2)  x = 4 m+ /2
Ответ: 2 k,π  k ∈ Z   и   
/2π  + 2 m,π  m ∈ Z. 
 5. Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия 
и осмысления учащимися. Поэтому стараюсь последовательно, от простого к сложному,  
формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения 
тригонометрических неравенств.
Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств 
тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания 
тригонометрических формул, умения решать целые и дробно­рациональные неравенства, 
основные виды тригонометрических уравнений.
Особый упор  делаю  на методике обучения решения простейших тригонометрических 
неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших 
неравенств.
Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств ввожу , 
используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учу решать 
тригонометрические неравенства на окружности. Пример.  Решите неравенство 
Решение. Все решения данного неравенства являются решениями двойного неравенства
откуда получаем, что 
Ответ: 
Комментарий. Здесь при решении тригонометрических неравенств допускались ошибки, 
связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной 
окружности.