К системам автоматического регулирования (САР) предъявляются требования не только
устойчивости процессов регулирования. Для работоспособности системы не менее необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества процесса управления.
Если исследуемая САР является устойчивой, возникает вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям обьекта управления.На практике качество регулирования определяется визуально по графику переходной характеристики. Однако, имеются точные но более сложные математические методы, дающие конкретные числовые значения (которые не рассматриваются в данной методике).
Классификация показателей качества состоит из нескольких групп:
- прямые — определяемые непосредственно по переходной характеристике процесса,
- корневые — определяемые по корням характеристического полинома,
- частотные — по частотным характеристикам,
- интегральные — получаемые путем интегрирования функций.
Прямыми показателями качества процесса управления, определяемые непосредственно по
переходной характеристике являются:
- Установившееся значение выходной величины Yуст,
- Степень затухания ?,
- Время достижения первого максимума tmax,
- Время регулирования tp,
- Ошибка регулирования Ест (статистическая или среднеквадратическая составляющие),
- Перерегулирование у,
- Динамический коэффициент регулирования Rd,
- Показатель колебательности М.
Например, переходная характеристика, снятая на объекте управления при отработке ступенчатого воздействия, имеет колебательный вид и представлена на рис.1.
Рисунок 1 — Определение показателей качества по переходной характеристике
Установившееся значение выходной величины Yуст
Установившееся значение выходной величины Yуст определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.
Степень затухания ?
Степень затухания ? определяется по формуле:
где А1 и А3 — соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной характеристики рис.1.
Время достижения первого максимума tmax
Время достижения первого максимума tmax определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.
Время регулирования tp
Время регулирования tp определяется согласно рис.1 следующим образом:Находится допустимое отклонение Д, например, задано Д = 5%Yуст и строится «зона» толщиной 2 Д(см. рис.1). Время tp соответствует последней точке пересечения Y(t) с данной границей. То есть время,когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.
Настройки регулятора необходимо выбирать так, чтобы обеспечить минимально возможное значение общего времени регулирования, либо минимальное значение первой полуволны переходного процесса.
В непрерывных системах с типовыми регуляторами это время бывает минимальным при так называемых оптимальных апериодических переходных процессах. Дальнейшего уменьшения времени регулирования до абсолютного минимума можно достичь при использовании специальных оптимальных по быстродействию систем регулирования.
Ошибка регулирования Ест
Статическая ошибка регулирования Ест = Ув — Ууст, где Ув — входная величина (см. рис.1).В некоторых САР наблюдается ошибка, которая не исчезает даже по истечении длительногоинтервала времени — это статическая ошибка регулирования Ест. Данная ошибка не должна превышатьнекоторой наперед заданной величины. У регуляторов с интегральной составляющей ошибки в установившемся состоянии теоретическиравны нулю, но практически незначительные ошибки могут существовать из-за наличия зоннечувствительности в элементах системы.
Перерегулирование у
Величина перерегулирования у зависит от вида отрабатываемого сигнала.При отработке ступенчатого воздействия (по сигналу задания) – см. рис.1 величина перерегулирования у определяется по формуле:
где значения величин Ymax и Yуст определяются согласно рис.1.
При отработке возмущающего воздействия, величина перерегулирования у определяется изсоотношения:
где значения величин Xm и X1 определяются согласно рис. 2.
Рисунок 2 — График переходного процесса при отработке возмущения
Динамический коэффициент регулирования Rd
Динамический коэффициент регулирования Rd определяется из формулы:
где значения величин Y1 и Y0 определяются согласно рис. 3.
Рисунок 3 — К понятию динамического коэффициента регулирования
Величина динамического коэффициента Rd характеризует степень воздействия регулятора напроцесс, т.е. степень понижения динамического отклонения в системе с регулятором и без него.
Показатель колебательности М
Показатель колебательности M характеризует величину максимума модуля частотной передаточной функции замкнутой системы (на частоте резонанса) и, тем самым, характеризует колебательные свойства системы. Показатель колебательности наглядно иллюстрируется на рисунке 4.
Рисунок 4 — График модуля частотной передаточной функции замкнутой системы
Условно считается, что значение М=1,5-1,6 является оптимальным для промышленных САР, т.к. вэтом случае у обеспечивается в районе от 20% до 40%. При увеличении значения M колебательность всистеме возрастает.
В некоторых случаях нормируется полоса пропускания системы щп, которая соответствует уровню усиления в замкнутой системе 0,05. Чем больше полоса пропускания, тем больше быстродействие замкнутой системы. Однако при этом повышается чувствительность системы к шумам в канале измерения и возрастает дисперсия ошибки регулирования.
Лекция 17.
Расчет
установившейся ошибки в системах
управления. Структурные признаки
астатизма. Коэффициенты ошибок
Установившейся
(статической) ошибкой называют постоянное
значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании
переходного процесса:
,
рисунок 116.
Очевидно,
установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик
входных сигналов системы. Поэтому при
ее определении принято рассматривать
так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют
степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:
,
,
и так далее.
При наличии
нескольких воздействий на линейную
систему для определения xуст
используется принцип суперпозиции –
реакция линейной системы на совокупность
входных сигналов совпадает с алгебраической
суммой ее реакций на каждый из сигналов
в отдельности:
,
где каждое слагаемое,
или составляющая сигнала ошибки,
определяется
для i-го
входного сигнала при условии, что
остальные тождественно равны нулю.
Такой подход полностью соответствует
определению передаточной функции и
позволяет выполнять расчет установившейся
ошибки на основе структурной схемы
системы.
Рассмотрим порядок
расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере
(рисунок 117).
В соответствии с
принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде
суммы трех составляющих
.
Изображение по
Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке
при известном изображении задающего
воздействия G(s):
,
где (s)
– основная передаточная функция
замкнутой системы. Для структурной
схемы на рисунке 117
,
где
— передаточная функция разомкнутой
системы, или прямой цепи системы, для
рассматриваемого примера.
Непосредственно
для расчета установившегося значения
ошибки от задающего воздействия
используют теорему о конечном значении
для преобразования Лапласа:
В результате:
.
Изображение по
Лапласу ошибки от возмущающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке от возмущения
при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):
,
где f(s)
–передаточная функция замкнутой системы
по возмущающему воздействию,
;
Wf(s)
– передаточная функция разомкнутой
системы по возмущению (передаточная
функция участка прямой цепи системы от
точки приложения возмущающего воздействия
до выхода системы).
Для структурной
схемы на рисунке 8 необходимо учитывать
два возмущающих воздействия, приложенные
в различные точки системы.
Для f1:
,
,
.
Для f2:
,
,
.
Расчет упрощается
для системы с единичной отрицательной
обратной связью (рисунок 118):
,
,
где k=k1k2k3
– коэффициент передачи разомкнутой
системы.
Найдем установившуюся
ошибку для некоторых типовых вариантов
задающего воздействия.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
Если установившаяся
ошибка тождественно равна нулю при
каком-либо типовом варианте входного
сигнала, независимо от его численных
характеристик, систему называют
астатической по рассматриваемому
входному сигналу.
Количество типовых
вариантов входного сигнала – членов
степенного ряда, при которых установившаяся
ошибка тождественно равна нулю, определяет
порядок астатизма.
Рассматриваемая
система обладает свойством астатизма
второго порядка по задающему воздействию.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f1:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f1.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим тот же результат.
Отметим, что по
возмущению f1
рассматриваемая система не является
астатической. Кроме того, она не в
состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f2:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f2.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
По возмущению f2
рассматриваемая система имеет астатизм
первого порядка. Она не в состоянии
отработать возмущающее воздействие,
изменяющееся во времени с постоянным
ускорением.
Подведем некоторые
итоги:
1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки
приложения входного сигнала.
2. Постоянные
времени звеньев системы не влияют на
ее точность.
3. Увеличение
значения коэффициента передачи
разомкнутой системы приводит к снижению
величины установившейся ошибки.
Для систем с
единичной отрицательной обратной связью
существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.
Рассмотрим
структуру, показанную на рисунке 119.
В общем случае
передаточная функция разомкнутой
системы может быть представлена в
следующей форме:
,
где l0.
Тогда получим:
и для общего вида
задающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Результат нахождения
этого предела зависит от соотношения
показателей степени:
— при l>v
установившаяся ошибка равна нулю
независимо от остальных параметров, то
есть имеет место астатизм;
— при l=v
получаем константу;
— при l<v
установившаяся ошибка стремится к
бесконечности, то есть система не в
состоянии отработать входной сигнал.
Учитывая, что
минимальное значение v
нулевое, получаем условие астатизма по
задающему воздействию: l>0.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
задающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
разомкнутой системы, или интегрирующих
звеньев в прямой цепи системы.
Нетрудно также
убедиться, что положительное значение
l
совпадает с порядком астатизма.
Для получения
признака астатизма по возмущающему
воздействию представим передаточные
функции на рисунке 10 в форме:
,
,
где l1+l2=l,
k1k2=k,
m1+m2=m,
n1+n2=n,
причем
и
.
Тогда получим:
и для общего вида
возмущающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Все вышеприведенные
выводы можно повторить для показателя
степени l1.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
возмущающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
участка системы до точки приложения
воздействия, или интегрирующих звеньев
на том же участке.
Более общий подход
к оценке точности линейных систем
управления основан на получении и
использовании коэффициентов ошибок.
Рассмотрим его на примере анализа
реакции системы на задающее воздействие.
Если рассматривать
произвольный закон изменения задающего
воздействия g(t),
то эта функция времени может быть
разложена в степенной ряд относительно
аргумента t.
Члены степенного ряда, как известно,
находятся через производные
,
,
…,
,
…
В общем случае ряд
бесконечен. Поэтому с практической
точки зрения рассматривать такое
представление сигнала целесообразно
только при достаточно плавном его
изменении, когда можно ограничиться
конечным числом членов ряда, имея в
виду, что при n
большем некоторого m
можно принять
,
n>m.
Для задачи оценки
установившейся ошибки при
с формулированное допущение вполне
корректно, так как в противном случае
эта задача не имеет смысла.
Коэффициенты
ошибки получают разложением передаточной
функции замкнутой системы по ошибке в
степенной ряд (ряд Тейлора) относительно
аргумента s:
,
где коэффициенты
разложения в общем случае находят как
значения производных в точке s=0:
.
Передаточные
функции, представляющие собой отношения
полиномов, при достаточно высоком
порядке системы могут оказаться слишком
сложными для дифференцирования. Поэтому
на практике коэффициенты их разложения
в ряд чаще находят путем деления полиномов
– числителя на знаменатель.
С учетом разложения
передаточной функции в ряд можно записать
изображение по Лапласу сигнала ошибки
в следующей форме:
.
Отметим, что с
учетом сформулированного выше допущения
такое представление сигнала ошибки
соответствует
или
.
Перейдя к оригиналу
с учетом теоремы дифференцирования
получим:
.
Вернемся к
рассмотренному выше примеру и предположим,
что задающее воздействие изменяется
по произвольному закону, но при достаточно
больших значениях времени этот закон
аппроксимируется выражением
.
Найдем коэффициенты
разложения передаточной функции по
ошибке
в степенной ряд.
Здесь сразу можно
отметить, что номер первого ненулевого
члена ряда определяется низшей степенью
аргумента s
в числителе дроби, то есть первые два
коэффициента c0
и c1
здесь получаем тождественно равными
нулю.
Далее получим:
В результате
получаем
,
,
,
и так далее.
Найдем производные
задающего воздействия:
,
,
.
Ясно, что для
определения установившейся ошибки
достаточно первых трех коэффициентов:
.
В заключение
отметим, что порядок астатизма системы
по какому-либо входному сигналу совпадает
с количеством нулевых коэффициентов
ошибки, получаемых в разложении в ряд
передаточной функции по ошибке от
данного входного сигнала.
Соседние файлы в папке Конспект ТАУ
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Макеты страниц
где коэффициенты 
принято называть коэффициентами ошибок. Формула (4.3) получена следующим образом.
Передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки (рис. 4.1)
Из (4.4) можно найти выражение для изображения ошибки:
Разложим передаточную функцию по ошибке 
в ряд по возрастающим степеням s в окрестности точки 
что соответствует большим значениям времени 
т. е. значению установившейся ошибки при заданном управляющем воздействии.
В соответствии с (4.5) можно записать
Если передаточная функция 
является дробно-рациональной функцией
то разложение в ряд 
можно осуществить делением числителя на знаменатель, располагая члены полинома в порядке возрастания степеней. Переходя в (4.6) от изображений к оригиналам, можно получить для 
выражение (4.3).
Коэффициенты ошибок 
определяют по формулам разложения функции 
в ряд Тейлора:
Если 
то все производные 
тогда
В данном случае 
— значение установившейся ошибки в замкнутой системе.
Если 
; коэффициенты 
и т. д.
Коэффициент 
называют коэффициентом статической или позиционной ошибки; коэффициент С — коэффициентом скоростной ошибки, 
— коэффициентом ошибки от ускорения.
В статических системах коэффициент 
отличен от нуля. В системах с астатизмом первого порядка 
. В системах с астатизмом второго порядка 
. Увеличение числа интегрирующих звеньев приводит к повышению порядка астатизма системы, т. е. к нулевым значениям нескольких коэффициентов ошибок, но при этом усложняется обеспечение устойчивости системы. Если на систему помимо задающего воздействия 
действует и возмущение 
(рис. 4.2), то астатизм системы относительно 
зависит от места включения интегрирующего звена.
Пусть воздействия на САУ являются постоянными величинами и равны 
Рассмотрим несколько случаев.
1. В системе отсутствуют интегрирующие звенья. Элементы 1 и 2 системы (рис. 4.2) являются инерционными звеньями и соответственно равны
Рис. 4.2
Тогда на основании метода суперпозиции установившаяся ошибка САУ
где 
— ошибка отработки системой задающего воздействия:
а 
— ошибка, вызванная действием помехи:
В данном случае САУ является статической относительно обоих воздействий, так как 
.
2. Допустим, что в элемент 2 рассматриваемой системы (рис. 4.2) включено интегрирующее звено, а элемент 
является инерционным звеном, как и в случае 1. При этом передаточная функция элемента 2
Тогда составляющие 
ошибки системы (4.9)
Следовательно, САУ является астатической относительно задающего воздействия 
и статической относительно возмущения 
3. Пусть интегрирующее звено включено в элемент 
передаточная функция его при этом равна
Второе звено является инерционным звеном, а передаточная функция его та же, что и в случае 1.
Рассчитаем составляющие ошибки 
Поскольку и 
система является астатической и относительно воздействия 
и относительно возмущения 
Нужно отметить, что метод коэффициентов ошибок применяется при сравнительно медленно меняющихся воздействиях.
Пример 4.1. Для системы (рис. 4.1) определить значение устано вившейся ошибки системы. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии
где 
Выходной сигнал меняется по закону 
Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно ошибки:
Коэффициенты ошибок 
так как система астатическая) определяют по (4.7) или разложением в ряд по возрастающим степеням s функции 
делением числителя на знаменатель:
Коэффициенты 
вычислять не имеет смысла, так как функция 
имеет только две производные, не равные нулю.
Определим первую и вторую производные входного воздействия
Тогда 
The deviation of the output of control system from desired response during steady state is known as steady state error. It is represented as $e_{ss}$. We can find steady state error using the final value theorem as follows.
$$e_{ss}=lim_{t to infty}e(t)=lim_{s to 0}sE(s)$$
Where,
E(s) is the Laplace transform of the error signal, $e(t)$
Let us discuss how to find steady state errors for unity feedback and non-unity feedback control systems one by one.
Steady State Errors for Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having unity negative feedback.
Where,
- R(s) is the Laplace transform of the reference Input signal $r(t)$
- C(s) is the Laplace transform of the output signal $c(t)$
We know the transfer function of the unity negative feedback closed loop control system as
$$frac{C(s)}{R(s)}=frac{G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow C(s)=frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
The output of the summing point is —
$$E(s)=R(s)-C(s)$$
Substitute $C(s)$ value in the above equation.
$$E(s)=R(s)-frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)}{1+G(s)}$$
Substitute $E(s)$ value in the steady state error formula
$$e_{ss}=lim_{s to 0} frac{sR(s)}{1+G(s)}$$
The following table shows the steady state errors and the error constants for standard input signals like unit step, unit ramp & unit parabolic signals.
| Input signal | Steady state error $e_{ss}$ | Error constant |
|---|---|---|
|
unit step signal |
$frac{1}{1+k_p}$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)$ |
|
unit ramp signal |
$frac{1}{K_v}$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)$ |
|
unit parabolic signal |
$frac{1}{K_a}$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)$ |
Where, $K_p$, $K_v$ and $K_a$ are position error constant, velocity error constant and acceleration error constant respectively.
Note − If any of the above input signals has the amplitude other than unity, then multiply corresponding steady state error with that amplitude.
Note − We can’t define the steady state error for the unit impulse signal because, it exists only at origin. So, we can’t compare the impulse response with the unit impulse input as t denotes infinity.
Example
Let us find the steady state error for an input signal $r(t)=left( 5+2t+frac{t^2}{2} right )u(t)$ of unity negative
feedback control system with $G(s)=frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$
The given input signal is a combination of three signals step, ramp and parabolic. The following table shows the error constants and steady state error values for these three signals.
| Input signal | Error constant | Steady state error |
|---|---|---|
|
$r_1(t)=5u(t)$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)=infty$ |
$e_{ss1}=frac{5}{1+k_p}=0$ |
|
$r_2(t)=2tu(t)$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)=infty$ |
$e_{ss2}=frac{2}{K_v}=0$ |
|
$r_3(t)=frac{t^2}{2}u(t)$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)=1$ |
$e_{ss3}=frac{1}{k_a}=1$ |
We will get the overall steady state error, by adding the above three steady state errors.
$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$
$$Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$
Therefore, we got the steady state error $e_{ss}$ as 1 for this example.
Steady State Errors for Non-Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having nonunity negative feedback.
We can find the steady state errors only for the unity feedback systems. So, we have to convert the non-unity feedback system into unity feedback system. For this, include one unity positive feedback path and one unity negative feedback path in the above block diagram. The new block diagram looks like as shown below.
Simplify the above block diagram by keeping the unity negative feedback as it is. The following is the simplified block diagram.
This block diagram resembles the block diagram of the unity negative feedback closed loop control system. Here, the single block is having the transfer function $frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$ instead of $G(s)$. You can now calculate the steady state errors by using steady state error formula given for the unity negative feedback systems.
Note − It is meaningless to find the steady state errors for unstable closed loop systems. So, we have to calculate the steady state errors only for closed loop stable systems. This means we need to check whether the control system is stable or not before finding the steady state errors. In the next chapter, we will discuss the concepts-related stability.
The deviation of the output of control system from desired response during steady state is known as steady state error. It is represented as $e_{ss}$. We can find steady state error using the final value theorem as follows.
$$e_{ss}=lim_{t to infty}e(t)=lim_{s to 0}sE(s)$$
Where,
E(s) is the Laplace transform of the error signal, $e(t)$
Let us discuss how to find steady state errors for unity feedback and non-unity feedback control systems one by one.
Steady State Errors for Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having unity negative feedback.
Where,
- R(s) is the Laplace transform of the reference Input signal $r(t)$
- C(s) is the Laplace transform of the output signal $c(t)$
We know the transfer function of the unity negative feedback closed loop control system as
$$frac{C(s)}{R(s)}=frac{G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow C(s)=frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
The output of the summing point is —
$$E(s)=R(s)-C(s)$$
Substitute $C(s)$ value in the above equation.
$$E(s)=R(s)-frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)}{1+G(s)}$$
Substitute $E(s)$ value in the steady state error formula
$$e_{ss}=lim_{s to 0} frac{sR(s)}{1+G(s)}$$
The following table shows the steady state errors and the error constants for standard input signals like unit step, unit ramp & unit parabolic signals.
| Input signal | Steady state error $e_{ss}$ | Error constant |
|---|---|---|
|
unit step signal |
$frac{1}{1+k_p}$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)$ |
|
unit ramp signal |
$frac{1}{K_v}$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)$ |
|
unit parabolic signal |
$frac{1}{K_a}$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)$ |
Where, $K_p$, $K_v$ and $K_a$ are position error constant, velocity error constant and acceleration error constant respectively.
Note − If any of the above input signals has the amplitude other than unity, then multiply corresponding steady state error with that amplitude.
Note − We can’t define the steady state error for the unit impulse signal because, it exists only at origin. So, we can’t compare the impulse response with the unit impulse input as t denotes infinity.
Example
Let us find the steady state error for an input signal $r(t)=left( 5+2t+frac{t^2}{2} right )u(t)$ of unity negative
feedback control system with $G(s)=frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$
The given input signal is a combination of three signals step, ramp and parabolic. The following table shows the error constants and steady state error values for these three signals.
| Input signal | Error constant | Steady state error |
|---|---|---|
|
$r_1(t)=5u(t)$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)=infty$ |
$e_{ss1}=frac{5}{1+k_p}=0$ |
|
$r_2(t)=2tu(t)$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)=infty$ |
$e_{ss2}=frac{2}{K_v}=0$ |
|
$r_3(t)=frac{t^2}{2}u(t)$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)=1$ |
$e_{ss3}=frac{1}{k_a}=1$ |
We will get the overall steady state error, by adding the above three steady state errors.
$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$
$$Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$
Therefore, we got the steady state error $e_{ss}$ as 1 for this example.
Steady State Errors for Non-Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having nonunity negative feedback.
We can find the steady state errors only for the unity feedback systems. So, we have to convert the non-unity feedback system into unity feedback system. For this, include one unity positive feedback path and one unity negative feedback path in the above block diagram. The new block diagram looks like as shown below.
Simplify the above block diagram by keeping the unity negative feedback as it is. The following is the simplified block diagram.
This block diagram resembles the block diagram of the unity negative feedback closed loop control system. Here, the single block is having the transfer function $frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$ instead of $G(s)$. You can now calculate the steady state errors by using steady state error formula given for the unity negative feedback systems.
Note − It is meaningless to find the steady state errors for unstable closed loop systems. So, we have to calculate the steady state errors only for closed loop stable systems. This means we need to check whether the control system is stable or not before finding the steady state errors. In the next chapter, we will discuss the concepts-related stability.
Лекция 17.
Расчет
установившейся ошибки в системах
управления. Структурные признаки
астатизма. Коэффициенты ошибок
Установившейся
(статической) ошибкой называют постоянное
значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании
переходного процесса:
,
рисунок 116.
Очевидно,
установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик
входных сигналов системы. Поэтому при
ее определении принято рассматривать
так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют
степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:
,
,
и так далее.
При наличии
нескольких воздействий на линейную
систему для определения xуст
используется принцип суперпозиции –
реакция линейной системы на совокупность
входных сигналов совпадает с алгебраической
суммой ее реакций на каждый из сигналов
в отдельности:
,
где каждое слагаемое,
или составляющая сигнала ошибки,
определяется
для i-го
входного сигнала при условии, что
остальные тождественно равны нулю.
Такой подход полностью соответствует
определению передаточной функции и
позволяет выполнять расчет установившейся
ошибки на основе структурной схемы
системы.
Рассмотрим порядок
расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере
(рисунок 117).
В соответствии с
принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде
суммы трех составляющих
.
Изображение по
Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке
при известном изображении задающего
воздействия G(s):
,
где (s)
– основная передаточная функция
замкнутой системы. Для структурной
схемы на рисунке 117
,
где
— передаточная функция разомкнутой
системы, или прямой цепи системы, для
рассматриваемого примера.
Непосредственно
для расчета установившегося значения
ошибки от задающего воздействия
используют теорему о конечном значении
для преобразования Лапласа:
В результате:
.
Изображение по
Лапласу ошибки от возмущающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке от возмущения
при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):
,
где f(s)
–передаточная функция замкнутой системы
по возмущающему воздействию,
;
Wf(s)
– передаточная функция разомкнутой
системы по возмущению (передаточная
функция участка прямой цепи системы от
точки приложения возмущающего воздействия
до выхода системы).
Для структурной
схемы на рисунке 8 необходимо учитывать
два возмущающих воздействия, приложенные
в различные точки системы.
Для f1:
,
,
.
Для f2:
,
,
.
Расчет упрощается
для системы с единичной отрицательной
обратной связью (рисунок 118):
,
,
где k=k1k2k3
– коэффициент передачи разомкнутой
системы.
Найдем установившуюся
ошибку для некоторых типовых вариантов
задающего воздействия.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
Если установившаяся
ошибка тождественно равна нулю при
каком-либо типовом варианте входного
сигнала, независимо от его численных
характеристик, систему называют
астатической по рассматриваемому
входному сигналу.
Количество типовых
вариантов входного сигнала – членов
степенного ряда, при которых установившаяся
ошибка тождественно равна нулю, определяет
порядок астатизма.
Рассматриваемая
система обладает свойством астатизма
второго порядка по задающему воздействию.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f1:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f1.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим тот же результат.
Отметим, что по
возмущению f1
рассматриваемая система не является
астатической. Кроме того, она не в
состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f2:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f2.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
По возмущению f2
рассматриваемая система имеет астатизм
первого порядка. Она не в состоянии
отработать возмущающее воздействие,
изменяющееся во времени с постоянным
ускорением.
Подведем некоторые
итоги:
1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки
приложения входного сигнала.
2. Постоянные
времени звеньев системы не влияют на
ее точность.
3. Увеличение
значения коэффициента передачи
разомкнутой системы приводит к снижению
величины установившейся ошибки.
Для систем с
единичной отрицательной обратной связью
существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.
Рассмотрим
структуру, показанную на рисунке 119.
В общем случае
передаточная функция разомкнутой
системы может быть представлена в
следующей форме:
,
где l0.
Тогда получим:
и для общего вида
задающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Результат нахождения
этого предела зависит от соотношения
показателей степени:
— при l>v
установившаяся ошибка равна нулю
независимо от остальных параметров, то
есть имеет место астатизм;
— при l=v
получаем константу;
— при l<v
установившаяся ошибка стремится к
бесконечности, то есть система не в
состоянии отработать входной сигнал.
Учитывая, что
минимальное значение v
нулевое, получаем условие астатизма по
задающему воздействию: l>0.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
задающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
разомкнутой системы, или интегрирующих
звеньев в прямой цепи системы.
Нетрудно также
убедиться, что положительное значение
l
совпадает с порядком астатизма.
Для получения
признака астатизма по возмущающему
воздействию представим передаточные
функции на рисунке 10 в форме:
,
,
где l1+l2=l,
k1k2=k,
m1+m2=m,
n1+n2=n,
причем
и
.
Тогда получим:
и для общего вида
возмущающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Все вышеприведенные
выводы можно повторить для показателя
степени l1.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
возмущающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
участка системы до точки приложения
воздействия, или интегрирующих звеньев
на том же участке.
Более общий подход
к оценке точности линейных систем
управления основан на получении и
использовании коэффициентов ошибок.
Рассмотрим его на примере анализа
реакции системы на задающее воздействие.
Если рассматривать
произвольный закон изменения задающего
воздействия g(t),
то эта функция времени может быть
разложена в степенной ряд относительно
аргумента t.
Члены степенного ряда, как известно,
находятся через производные
,
,
…,
,
…
В общем случае ряд
бесконечен. Поэтому с практической
точки зрения рассматривать такое
представление сигнала целесообразно
только при достаточно плавном его
изменении, когда можно ограничиться
конечным числом членов ряда, имея в
виду, что при n
большем некоторого m
можно принять
,
n>m.
Для задачи оценки
установившейся ошибки при
с формулированное допущение вполне
корректно, так как в противном случае
эта задача не имеет смысла.
Коэффициенты
ошибки получают разложением передаточной
функции замкнутой системы по ошибке в
степенной ряд (ряд Тейлора) относительно
аргумента s:
,
где коэффициенты
разложения в общем случае находят как
значения производных в точке s=0:
.
Передаточные
функции, представляющие собой отношения
полиномов, при достаточно высоком
порядке системы могут оказаться слишком
сложными для дифференцирования. Поэтому
на практике коэффициенты их разложения
в ряд чаще находят путем деления полиномов
– числителя на знаменатель.
С учетом разложения
передаточной функции в ряд можно записать
изображение по Лапласу сигнала ошибки
в следующей форме:
.
Отметим, что с
учетом сформулированного выше допущения
такое представление сигнала ошибки
соответствует
или
.
Перейдя к оригиналу
с учетом теоремы дифференцирования
получим:
.
Вернемся к
рассмотренному выше примеру и предположим,
что задающее воздействие изменяется
по произвольному закону, но при достаточно
больших значениях времени этот закон
аппроксимируется выражением
.
Найдем коэффициенты
разложения передаточной функции по
ошибке
в степенной ряд.
Здесь сразу можно
отметить, что номер первого ненулевого
члена ряда определяется низшей степенью
аргумента s
в числителе дроби, то есть первые два
коэффициента c0
и c1
здесь получаем тождественно равными
нулю.
Далее получим:
В результате
получаем
,
,
,
и так далее.
Найдем производные
задающего воздействия:
,
,
.
Ясно, что для
определения установившейся ошибки
достаточно первых трех коэффициентов:
.
В заключение
отметим, что порядок астатизма системы
по какому-либо входному сигналу совпадает
с количеством нулевых коэффициентов
ошибки, получаемых в разложении в ряд
передаточной функции по ошибке от
данного входного сигнала.
Соседние файлы в папке Конспект ТАУ
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
К системам автоматического регулирования (САР) предъявляются требования не только
устойчивости процессов регулирования. Для работоспособности системы не менее необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества процесса управления.
Если исследуемая САР является устойчивой, возникает вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям обьекта управления.На практике качество регулирования определяется визуально по графику переходной характеристики. Однако, имеются точные но более сложные математические методы, дающие конкретные числовые значения (которые не рассматриваются в данной методике).
Классификация показателей качества состоит из нескольких групп:
- прямые — определяемые непосредственно по переходной характеристике процесса,
- корневые — определяемые по корням характеристического полинома,
- частотные — по частотным характеристикам,
- интегральные — получаемые путем интегрирования функций.
Прямыми показателями качества процесса управления, определяемые непосредственно по
переходной характеристике являются:
- Установившееся значение выходной величины Yуст,
- Степень затухания ?,
- Время достижения первого максимума tmax,
- Время регулирования tp,
- Ошибка регулирования Ест (статистическая или среднеквадратическая составляющие),
- Перерегулирование у,
- Динамический коэффициент регулирования Rd,
- Показатель колебательности М.
Например, переходная характеристика, снятая на объекте управления при отработке ступенчатого воздействия, имеет колебательный вид и представлена на рис.1.
Рисунок 1 — Определение показателей качества по переходной характеристике
Установившееся значение выходной величины Yуст
Установившееся значение выходной величины Yуст определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.
Степень затухания ?
Степень затухания ? определяется по формуле:
где А1 и А3 — соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной характеристики рис.1.
Время достижения первого максимума tmax
Время достижения первого максимума tmax определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.
Время регулирования tp
Время регулирования tp определяется согласно рис.1 следующим образом:Находится допустимое отклонение Д, например, задано Д = 5%Yуст и строится «зона» толщиной 2 Д(см. рис.1). Время tp соответствует последней точке пересечения Y(t) с данной границей. То есть время,когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.
Настройки регулятора необходимо выбирать так, чтобы обеспечить минимально возможное значение общего времени регулирования, либо минимальное значение первой полуволны переходного процесса.
В непрерывных системах с типовыми регуляторами это время бывает минимальным при так называемых оптимальных апериодических переходных процессах. Дальнейшего уменьшения времени регулирования до абсолютного минимума можно достичь при использовании специальных оптимальных по быстродействию систем регулирования.
Ошибка регулирования Ест
Статическая ошибка регулирования Ест = Ув — Ууст, где Ув — входная величина (см. рис.1).В некоторых САР наблюдается ошибка, которая не исчезает даже по истечении длительногоинтервала времени — это статическая ошибка регулирования Ест. Данная ошибка не должна превышатьнекоторой наперед заданной величины. У регуляторов с интегральной составляющей ошибки в установившемся состоянии теоретическиравны нулю, но практически незначительные ошибки могут существовать из-за наличия зоннечувствительности в элементах системы.
Перерегулирование у
Величина перерегулирования у зависит от вида отрабатываемого сигнала.При отработке ступенчатого воздействия (по сигналу задания) – см. рис.1 величина перерегулирования у определяется по формуле:
где значения величин Ymax и Yуст определяются согласно рис.1.
При отработке возмущающего воздействия, величина перерегулирования у определяется изсоотношения:
где значения величин Xm и X1 определяются согласно рис. 2.
Рисунок 2 — График переходного процесса при отработке возмущения
Динамический коэффициент регулирования Rd
Динамический коэффициент регулирования Rd определяется из формулы:
где значения величин Y1 и Y0 определяются согласно рис. 3.
Рисунок 3 — К понятию динамического коэффициента регулирования
Величина динамического коэффициента Rd характеризует степень воздействия регулятора напроцесс, т.е. степень понижения динамического отклонения в системе с регулятором и без него.
Показатель колебательности М
Показатель колебательности M характеризует величину максимума модуля частотной передаточной функции замкнутой системы (на частоте резонанса) и, тем самым, характеризует колебательные свойства системы. Показатель колебательности наглядно иллюстрируется на рисунке 4.
Рисунок 4 — График модуля частотной передаточной функции замкнутой системы
Условно считается, что значение М=1,5-1,6 является оптимальным для промышленных САР, т.к. вэтом случае у обеспечивается в районе от 20% до 40%. При увеличении значения M колебательность всистеме возрастает.
В некоторых случаях нормируется полоса пропускания системы щп, которая соответствует уровню усиления в замкнутой системе 0,05. Чем больше полоса пропускания, тем больше быстродействие замкнутой системы. Однако при этом повышается чувствительность системы к шумам в канале измерения и возрастает дисперсия ошибки регулирования.