Содержание
- Расчет ошибки средней арифметической
- Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
- Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
- Вопросы и ответы
Стандартная ошибка или, как часто называют, ошибка средней арифметической, является одним из важных статистических показателей. С помощью данного показателя можно определить неоднородность выборки. Он также довольно важен при прогнозировании. Давайте узнаем, какими способами можно рассчитать величину стандартной ошибки с помощью инструментов Microsoft Excel.
Расчет ошибки средней арифметической
Одним из показателей, которые характеризуют цельность и однородность выборки, является стандартная ошибка. Эта величина представляет собой корень квадратный из дисперсии. Сама дисперсия является средним квадратном от средней арифметической. Средняя арифметическая вычисляется делением суммарной величины объектов выборки на их общее количество.
В Экселе существуют два способа вычисления стандартной ошибки: используя набор функций и при помощи инструментов Пакета анализа. Давайте подробно рассмотрим каждый из этих вариантов.
Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
Прежде всего, давайте составим алгоритм действий на конкретном примере по расчету ошибки средней арифметической, используя для этих целей комбинацию функций. Для выполнения задачи нам понадобятся операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ.
Для примера нами будет использована выборка из двенадцати чисел, представленных в таблице.
- Выделяем ячейку, в которой будет выводиться итоговое значение стандартной ошибки, и клацаем по иконке «Вставить функцию».
- Открывается Мастер функций. Производим перемещение в блок «Статистические». В представленном перечне наименований выбираем название «СТАНДОТКЛОН.В».
- Запускается окно аргументов вышеуказанного оператора. СТАНДОТКЛОН.В предназначен для оценивания стандартного отклонения при выборке. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)«Число1» и последующие аргументы являются числовыми значениями или ссылками на ячейки и диапазоны листа, в которых они расположены. Всего может насчитываться до 255 аргументов этого типа. Обязательным является только первый аргумент.
Итак, устанавливаем курсор в поле «Число1». Далее, обязательно произведя зажим левой кнопки мыши, выделяем курсором весь диапазон выборки на листе. Координаты данного массива тут же отображаются в поле окна. После этого клацаем по кнопке «OK».
- В ячейку на листе выводится результат расчета оператора СТАНДОТКЛОН.В. Но это ещё не ошибка средней арифметической. Для того, чтобы получить искомое значение, нужно стандартное отклонение разделить на квадратный корень от количества элементов выборки. Для того, чтобы продолжить вычисления, выделяем ячейку, содержащую функцию СТАНДОТКЛОН.В. После этого устанавливаем курсор в строку формул и дописываем после уже существующего выражения знак деления (/). Вслед за этим клацаем по пиктограмме перевернутого вниз углом треугольника, которая располагается слева от строки формул. Открывается список недавно использованных функций. Если вы в нем найдете наименование оператора «КОРЕНЬ», то переходите по данному наименованию. В обратном случае жмите по пункту «Другие функции…».
- Снова происходит запуск Мастера функций. На этот раз нам следует посетить категорию «Математические». В представленном перечне выделяем название «КОРЕНЬ» и жмем на кнопку «OK».
- Открывается окно аргументов функции КОРЕНЬ. Единственной задачей данного оператора является вычисление квадратного корня из заданного числа. Его синтаксис предельно простой:
=КОРЕНЬ(число)Как видим, функция имеет всего один аргумент «Число». Он может быть представлен числовым значением, ссылкой на ячейку, в которой оно содержится или другой функцией, вычисляющей это число. Последний вариант как раз и будет представлен в нашем примере.
Устанавливаем курсор в поле «Число» и кликаем по знакомому нам треугольнику, который вызывает список последних использованных функций. Ищем в нем наименование «СЧЁТ». Если находим, то кликаем по нему. В обратном случае, опять же, переходим по наименованию «Другие функции…».
- В раскрывшемся окне Мастера функций производим перемещение в группу «Статистические». Там выделяем наименование «СЧЁТ» и выполняем клик по кнопке «OK».
- Запускается окно аргументов функции СЧЁТ. Указанный оператор предназначен для вычисления количества ячеек, которые заполнены числовыми значениями. В нашем случае он будет подсчитывать количество элементов выборки и сообщать результат «материнскому» оператору КОРЕНЬ. Синтаксис функции следующий:
=СЧЁТ(значение1;значение2;…)В качестве аргументов «Значение», которых может насчитываться до 255 штук, выступают ссылки на диапазоны ячеек. Ставим курсор в поле «Значение1», зажимаем левую кнопку мыши и выделяем весь диапазон выборки. После того, как его координаты отобразились в поле, жмем на кнопку «OK».
- После выполнения последнего действия будет не только рассчитано количество ячеек заполненных числами, но и вычислена ошибка средней арифметической, так как это был последний штрих в работе над данной формулой. Величина стандартной ошибки выведена в ту ячейку, где размещена сложная формула, общий вид которой в нашем случае следующий:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13))Результат вычисления ошибки средней арифметической составил 0,505793. Запомним это число и сравним с тем, которое получим при решении поставленной задачи следующим способом.
Но дело в том, что для малых выборок (до 30 единиц) для большей точности лучше применять немного измененную формулу. В ней величина стандартного отклонения делится не на квадратный корень от количества элементов выборки, а на квадратный корень от количества элементов выборки минус один. Таким образом, с учетом нюансов малой выборки наша формула приобретет следующий вид:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1)
Урок: Статистические функции в Экселе
Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
Вторым вариантом, с помощью которого можно вычислить стандартную ошибку в Экселе, является применение инструмента «Описательная статистика», входящего в набор инструментов «Анализ данных» («Пакет анализа»). «Описательная статистика» проводит комплексный анализ выборки по различным критериям. Одним из них как раз и является нахождение ошибки средней арифметической.
Но чтобы воспользоваться данной возможностью, нужно сразу активировать «Пакет анализа», так как по умолчанию в Экселе он отключен.
- После того, как открыт документ с выборкой, переходим во вкладку «Файл».
- Далее, воспользовавшись левым вертикальным меню, перемещаемся через его пункт в раздел «Параметры».
- Запускается окно параметров Эксель. В левой части данного окна размещено меню, через которое перемещаемся в подраздел «Надстройки».
- В самой нижней части появившегося окна расположено поле «Управление». Выставляем в нем параметр «Надстройки Excel» и жмем на кнопку «Перейти…» справа от него.
- Запускается окно надстроек с перечнем доступных скриптов. Отмечаем галочкой наименование «Пакет анализа» и щелкаем по кнопке «OK» в правой части окошка.
- После выполнения последнего действия на ленте появится новая группа инструментов, которая имеет наименование «Анализ». Чтобы перейти к ней, щелкаем по названию вкладки «Данные».
- После перехода жмем на кнопку «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ», который расположен в самом конце ленты.
- Запускается окошко выбора инструмента анализа. Выделяем наименование «Описательная статистика» и жмем на кнопку «OK» справа.
- Запускается окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика».
В поле «Входной интервал» необходимо указать диапазон ячеек таблицы, в которых находится анализируемая выборка. Вручную это делать неудобно, хотя и можно, поэтому ставим курсор в указанное поле и при зажатой левой кнопке мыши выделяем соответствующий массив данных на листе. Его координаты тут же отобразятся в поле окна.
В блоке «Группирование» оставляем настройки по умолчанию. То есть, переключатель должен стоять около пункта «По столбцам». Если это не так, то его следует переставить.
Галочку «Метки в первой строке» можно не устанавливать. Для решения нашего вопроса это не важно.
Далее переходим к блоку настроек «Параметры вывода». Здесь следует указать, куда именно будет выводиться результат расчета инструмента «Описательная статистика»:
- На новый лист;
- В новую книгу (другой файл);
- В указанный диапазон текущего листа.
Давайте выберем последний из этих вариантов. Для этого переставляем переключатель в позицию «Выходной интервал» и устанавливаем курсор в поле напротив данного параметра. После этого клацаем на листе по ячейке, которая станет верхним левым элементом массива вывода данных. Её координаты должны отобразиться в поле, в котором мы до этого устанавливали курсор.
Далее следует блок настроек определяющий, какие именно данные нужно вводить:
- Итоговая статистика;
- К-ый наибольший;
- К-ый наименьший;
- Уровень надежности.
Для определения стандартной ошибки обязательно нужно установить галочку около параметра «Итоговая статистика». Напротив остальных пунктов выставляем галочки на свое усмотрение. На решение нашей основной задачи это никак не повлияет.
После того, как все настройки в окне «Описательная статистика» установлены, щелкаем по кнопке «OK» в его правой части.
- После этого инструмент «Описательная статистика» выводит результаты обработки выборки на текущий лист. Как видим, это довольно много разноплановых статистических показателей, но среди них есть и нужный нам – «Стандартная ошибка». Он равен числу 0,505793. Это в точности тот же результат, который мы достигли путем применения сложной формулы при описании предыдущего способа.
Урок: Описательная статистика в Экселе
Как видим, в Экселе можно произвести расчет стандартной ошибки двумя способами: применив набор функций и воспользовавшись инструментом пакета анализа «Описательная статистика». Итоговый результат будет абсолютно одинаковый. Поэтому выбор метода зависит от удобства пользователя и поставленной конкретной задачи. Например, если ошибка средней арифметической является только одним из многих статистических показателей выборки, которые нужно рассчитать, то удобнее воспользоваться инструментом «Описательная статистика». Но если вам нужно вычислить исключительно этот показатель, то во избежание нагромождения лишних данных лучше прибегнуть к сложной формуле. В этом случае результат расчета уместится в одной ячейке листа.
Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).
Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.
Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).
Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.
Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?
Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической
Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:
где xi – значения переменной,
n – количество значений.
Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:
Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:
где σ2 – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.
На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:
Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.
Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии
Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии
Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.
Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической
Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:
Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.
Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).
Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.
Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.
Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).
Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.
Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.
Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.
Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.
Поделиться в социальных сетях:
-
Ошибка среднего арифметического или ошибка выборочности.
Пусть изучается некоторая достаточно
большая совокупность. Методика измерений
построена таким образом, что вся
эта большая совокупность разделена на
несколько малых выборок. Найдены средние
арифметические значения исследуемого
параметра для каждой выборки
и
среднее арифметическое значение для
всей большой совокупности (почти
генеральной)
.
Если сравнить отклонения отдельных
вариант
от
общего среднего
с отклонениями средних значений малых
выборок
от
общего среднего
,
то совершенно ясно, что последние будут
значительно меньше.
Распределение выборочных
средних арифметических
будет близко к нормальному, поэтому к
нему относятся все закономерности
нормального распределения. Тогда
вариацию случайной величины
можно измерять своим среднеквадратичным
отклонением
,
которое называют ошибкой среднего
арифметического. Исходя из того, что
,
можно утверждать, опираясь на строгое
математическое доказательство, что
,
где
по-прежнему объем выборки,
оценка среднеквадратичного отклонения
выборки.
Тогда ошибка среднего арифметического:
.
Ошибку среднего арифметического часто
называют ошибкой выборочности или
ошибкой репрезентативности (representative).
Чем больше объем выборки, тем меньше
ошибка среднего арифметического, так
как
,
то есть тем меньше расхождение между
значениями признаков в выборочной
совокупности и генеральной,
характеристикой которого является
истинное значение признака или
математическое ожидание
При увеличении объема
отдельных выборок происходит взаимное
погашение индивидуальных
отклонений от
некоторого уровня, характерного для
всей совокупности в целом. Именно тогда
проявляется
закономерность, лежащая в основе
биологического процесса.
-
Распределение Стьюдента.
Нормальное распределение достаточно
хорошо описывает поведение непрерывной
случайной
величины не только при
,
но и при конечных, но достаточно больших
объемах выборок
(N>30). Что
касается малых выборок (N<30),
здесь распределение непрерывной
случайной
величины может заметно отличаться от
нормального.
Для таких ситуаций было предложено
распределение случайной величины
.
Результат был указан в 1908 году английским
исследователем Вильямом Госсетом,
опубликовавшим
свою работу под псевдонимом Стьюдент,
но строго был получен З.Фишером в 1925
году.
По виду эта формула напоминает выражение
для нормированной случайной величины
.
Однако, между ними весьма существенная
разница. В числителе вместо индивидуальных
значений Х стоит выборочное среднее
арифметическое, а в знаменателе вместо
среднеквадратичного отклонения
генеральной совокупностистоит ошибка среднего арифметического
для выборки.
Плотность вероятности
случайной величины
,
подчиняющейся распределению Стьюдента,
выражается формулой:
,
где BN
зависит от объема выборки. При малых
значенияхN
кривая плотности вероятности
значительно
отличается от нормальной кривой. По
мере увеличения числа наблюденийN
распределение Стьюдента довольно
быстро приближается к нормальному
распределению и уже приN=20
практически не отличается от него. Оно
отражает специфику изменения малой
выборки (N<30),
распределяющейся по нормальному закону
в зависимости отN.
Практическим следствием открытия закона
распределения Стьюдента явилось
изменение формул, определяющих границы
доверительного интервала для
математического ожидания случайной
величины при заданной доверительной
вероятности РD.
Доверительный интервал должен
вычисляться по формуле:
.
Сравним значения доверительных интервалов
в случае распределения Гаусса и
распределения Стьюдента
для одной и той же доверительной
вероятности:
-
PD
Распределение Гаусса
Распределение Стьюдента
0,95
Через
обозначена ошибка среднего для генеральной
совокупности.
Исследования Стьюдента сыграли громадную
роль, так как дали возможность работать
с малыми выборками.
Обратим еще раз ваше внимание на то, что
главная задача, которую решает
математическая
статистика
(ради чего, собственно говоря, эта наука
и существует), заключается в том, чтобы
на основании
изучения выборки делать выводы о
свойствах генеральной совокупности.
Выборкаэто лишь
часть генеральной совокупности.
17 авг. 2022 г.
читать 2 мин
Стандартная ошибка среднего — это способ измерить, насколько разбросаны значения в наборе данных. Он рассчитывается как:
Стандартная ошибка = с / √n
куда:
- s : стандартное отклонение выборки
- n : размер выборки
Вы можете рассчитать стандартную ошибку среднего для любого набора данных в Excel, используя следующую формулу:
= СТАНДОТКЛОН (диапазон значений) / КОРЕНЬ ( СЧЁТ (диапазон значений))
В следующем примере показано, как использовать эту формулу.
Пример: Стандартная ошибка в Excel
Предположим, у нас есть следующий набор данных:
На следующем снимке экрана показано, как рассчитать стандартную ошибку среднего значения для этого набора данных:
Стандартная ошибка оказывается равной 2,0014 .
Обратите внимание, что функция =СТАНДОТКЛОН() вычисляет выборочное среднее, что эквивалентно функции =СТАНДОТКЛОН.С() в Excel.
Таким образом, мы могли бы использовать следующую формулу для получения тех же результатов:
И снова стандартная ошибка оказывается равной 2,0014 .
Как интерпретировать стандартную ошибку среднего
Стандартная ошибка среднего — это просто мера того, насколько разбросаны значения вокруг среднего. При интерпретации стандартной ошибки среднего следует помнить о двух вещах:
1. Чем больше стандартная ошибка среднего, тем более разбросаны значения вокруг среднего в наборе данных.
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим, изменим ли мы последнее значение в предыдущем наборе данных на гораздо большее число:
Обратите внимание на скачок стандартной ошибки с 2,0014 до 6,9783.Это указывает на то, что значения в этом наборе данных более разбросаны вокруг среднего значения по сравнению с предыдущим набором данных.
2. По мере увеличения размера выборки стандартная ошибка среднего имеет тенденцию к уменьшению.
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим стандартную ошибку среднего для следующих двух наборов данных:
Второй набор данных — это просто первый набор данных, повторенный дважды. Таким образом, два набора данных имеют одинаковое среднее значение, но второй набор данных имеет больший размер выборки, поэтому стандартная ошибка меньше.
Представление результатов исследования
В научных публикациях важно представление результатов исследования. Очень часто окончательный результат приводится в следующем виде: M±m, где M – среднее арифметическое, m –ошибка среднего арифметического. Например, 163,7±0,9 см.
Прежде чем разбираться в правилах представления результатов исследования, давайте точно усвоим, что же такое ошибка среднего арифметического.
Ошибка среднего арифметического
Среднее арифметическое, вычисленное на основе выборочных данных (выборочное среднее), как правило, не совпадает с генеральным средним (средним арифметическим генеральной совокупности). Экспериментально проверить это утверждение невозможно, потому что нам неизвестно генеральное среднее. Но если из одной и той же генеральной совокупности брать повторные выборки и вычислять среднее арифметическое, то окажется, что для разных выборок среднее арифметическое будет разным.
Чтобы оценить, насколько выборочное среднее арифметическое отличается от генерального среднего, вычисляется ошибка среднего арифметического или ошибка репрезентативности.
Ошибка среднего арифметического обозначается как m или 
Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:
где: S — стандартное отклонение, n – объем выборки; Например, если стандартное отклонение равно S=5 см, объем выборки n=36 человек, то ошибка среднего арифметического равна: m=5/6 = 0,833.
Ошибка среднего арифметического показывает, какая ошибка в среднем допускается, если использовать вместо генерального среднего выборочное среднее.
Так как при небольшом объеме выборки истинное значение генерального среднего не может быть определено сколь угодно точно, поэтому при вычислении выборочного среднего арифметического нет смысла оставлять большое число значащих цифр.
Правила записи результатов исследования
- В записи ошибки среднего арифметического оставляем две значащие цифры, если первые цифры в ошибке «1» или «2».
- В остальных случаях в записи ошибки среднего арифметического оставляем одну значащую цифру.
- В записи среднего арифметического положение последней значащей цифры должно соответствовать положению первой значащей цифры в записи ошибки среднего арифметического.
Представление результатов научных исследований
В своей статье «Осторожно, статистика!», опубликованной в 1989 году В.М. Зациорский указал, какие числовые характеристики должны быть представлены в публикации, чтобы она имела научную ценность. Он писал, что исследователь «…должен назвать: 1) среднюю величину (или другой так называемый показатель положения); 2) среднее квадратическое отклонение (или другой показатель рассеяния) и 3) число испытуемых. Без них его публикация научной ценности иметь не будет “с. 52
В научных публикациях в области физической культуры и спорта очень часто окончательный результат приводится в виде: (М±m) (табл.1).
Таблица 1 — Изменение механических свойств латеральной широкой мышцы бедра под воздействием физической нагрузки (n=34)
| Эффективный модуль
упругости (Е), кПа |
Эффективный модуль
вязкости (V), Па с |
|||
| Этап
эксперимента |
Рассл. | Напряж. | Рассл. | Напряж. |
| До ФН | 7,0±0,3 | 17,1±1,4 | 29,7±1,7 | 46±4 |
| После ФН | 7,7±0,3 | 18,7±1,4 | 30,9±2,0 | 53±6 |
Литература
- Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
- Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
- Зациорский В.М. Осторожно — статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.- №2.
- Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
- Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.